【数学】1.2《点、线、面之间的位置关系--平面的基本性质1》课件 新

1.2.1 平面的基本性质与推论典题精讲例1根据图形,写出图形中点、直线和平面之间的关系.图1-2-1-4图1-2-1-4(1)可以用几何符号表示为:___________________________________________. 图1-2-1-4(2)可以用几何符号表示为:___________________________________________. 思路解析：本题关键是找出图中基本元素点、直线、平面,然后再仔细分析点与直线、点与平面、直线与平面的位置关系,最后用文字语言和符号语言写出.答案：图1-2-1-4(1)可以用几何符号表示为:α∩β=AB,a⊂α,b⊂β,a∥AB,b∥AB.图1-2-1-4(2)可以用几何符号表示为:α∩β=MN,△ABC的三个顶点满足条件A∈MN,B∈α,C∈β,B∉MN,C∉MN.绿色通道：熟练掌握图形、文字、符号三者之间的相互转化是学习立体几何的基本要求之一.要正确解决此类问题需要从两个方面入手:一是从观察图形方面,可以联想图形对应的实物情形;二是正确理解对应符号的含义,可以结合集合的含义加以理解.变式训练1(1)观察下面的三个图形,说出它们有何异同;(2)用虚线画出图1-2-1-5(4)正方体和图1-2-1-5(5)三棱锥中被遮挡的棱,完成图形.图1-2-1-5思路解析：要注意不同侧面观察出的结果是不同的,可以结合实物加以理解.答案：(1)图(1)可能是平面图形,也可能是空间图形的直观图；图(2)是MN凸在外面的一个空间图形的直观图；图(3)是MN凹在里面的一个空间图形的直观图.(2)补充后如图1-2-1-6:图1-2-1-6例2求证：两两相交且不共点的四条直线共面.思路分析：可以结合公理3及其推论进行证明.需要注意的是,要根据条件画出满足条件的所有图形的情况进行证明.答案:已知a、b、c、d是两两相交且不共点的四条直线，求证：a、b、c、d共面.图1-2-1-7证明:(1)无三线共点情况，如图1-2-1-7，设a∩d=M，b∩d=N，c∩d=P，a∩b=Q，a∩c=R，b∩c=S.∵a∩d=M，∴a、d可确定一个平面α.∵N∈d，Q∈a，∴N∈α，Q∈α.∴NQ⊂α，即b⊂α.同理,c⊂α.∴a、b、c、d共面.(2)有三线共点的情况，如图1-2-1-8,图1-2-1-8设b、c、d三线相交于点K，与a分别交于N、P、M且K∉a，∵K∉a，∴K和a确定一个平面，设为β.∵N∈a，a⊂β，∴N∈β.∴NK⊂β,即b⊂β.同理,c⊂β，d⊂β，∴a、b、c、d共面.由(1)(2)知a、b、c、d共面.变式训练2四条直线两两平行,任意三条不共面,过其中的任意两条作一个平面,共可以作平面__________.思路解析:任意两条确定一个平面,四条直线确定6个平面.答案:6问题探究问题（1）一个平面将空间分成几部分？（2）两个平面将空间分成几部分？（3）三个平面将空间分成几部分？画出图形(要求：至少有两种情况有画法过程).导思:可以根据实际例子进行联想,也可以根据直线将平面分成多少部分进行类比.采用从简单到复杂递进的方法，首先对两个平面在空间的位置分类讨论，再让第3个平面以不同情况介入，然后分类解决.探究：（1）一个平面将空间分成两部分.（2）两个平面平行时，将空间分成三部分;两个平面相交时,将空间分成四部分.（3）情况比较复杂,需分类予以处理.情况1：当平面α、平面β、平面γ互相平行（即α∥β∥γ）,将空间分成四个部分,其图形如图1-2-1-9.图1-2-1-9情况2：当平面α与平面β平行，平面γ与它们相交，（即α∥β，γ与其相交），将空间分成六部分，其图形如图1-2-1-10.图1-2-1-10情况3：当平面α、平面β、平面γ都相交，且三条交线重合（即α∩β=l且α∩γ=l）. 将空间分成六部分，其图形如图1-2-1-11.图1-2-1-11共点，但互不重合（即α∩β=l，且γ与α、β都相交，三条交线共点）.将空间分成八部分，其图形如图1-2-1-12.图1-2-1-12情况4：平面α、平面β、平面γ两两相交且三条交线平行.（即α∩β=l，γ与α、β都相交且三条交线平行）将空间分成七部分，其图形如图1-2-1-13.图1-2-1-13。

一个图是
()
解析：A中PQ∥RS；B中RS∥PQ； D中RS和PQ相交． 答案：C
4．三个不重合的平面可以把空间分成n部分，则n的 可能取值为________．
解析：当三个平面两两平行时，n＝4； 当三个平面两个平行，第三个与这两个都相交时，n ＝6； 当三个平面两两相交于同一直线时，n＝6； 当三个平面两两相交，交线平行时，n＝7； 当三个平面两两相交，只有一个公共点时，n＝8. 答案：4,6,7,8
，可加深对公理的掌握与理解．其中确定平面的公理2是将立体几何问题转化为平面几何问题的依据．
连结QP并延长与CB的延长线交于点M，连结MR交BB′于点E，连结PE、RE为截面的部分外形．
垂直于同一直线的两直线的位置关系是怎样的？
知AA1C1C为平行四边形，
①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间中任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的
④若直线l1、l2是异面直线，则与l1、l2都相交的两条直线是异面直线．
即A1C1与B1C所成角为60°.
G、H 分别为 FA、FD 的中点．
(1)证明：四边形BCHG是平行四边形； (2)C、D、F、E 四点是否共面？为什么？
(2)分析一：证明D点在EF、CH确定的平面内． 分析二：延长FE、DC分别与AB交于M，M′，可证M 与M′重合，从而FE与DC相交．
5．如下图所示，正方体ABCD—A1B1C1D1中，
(1)求A1C1与B1C所成角的大小； (2)若E、F分别为AB、AD的中点，求A1C1与EF所成角 的大小．
解：(1)如右图，连接AC、AB1， 由ABCD—A1B1C1D1是正方体， 知AA1C1C为平行四边形， 所以AC∥A1C1， 从而B1C与AC所成的 锐角或直角就是A1C1与B1C所成的角． 由AB1＝AC＝B1C可知∠B1CA＝60°， 即A1C1与B1C所成角为60°.

a与A共属于平面α且平面α唯一 .
（2）推论2 文字语言 :经过两条相交直线，有且只有一 个平面. 图形语言： a是任意一条直线 符号语言： b是任意一条直线 a∩b=A a，b共面于平面α，且α是唯一的 .
（2）推论3 文字语言 :经过两条平行直线，有且只有一 个平面. 图形语言： a ， b 是两条直线 符号语言： a//b
异面直线的画法: 通常用一个或两个平面来衬托, 异面直 线不同在任何一个平面的特点.
A


b
a
b
B
l


a
小组讨论以下问题：
6.空间中两两相交的三条直线一定确定一个平面； 7.空间中两两平行的三条直线一定确定一个平面； 8.分别在两个平面内的直线一定是异面直线；
把长方体的棱看作直线，试指出这些 练习：
（3）平面α与平面β相交于直线l，记作 α∩β=l； （4）直线l和m相交于点A，记作l∩m={A}, 简记为l∩m=A.
例1．如图，平面ABEF记作α，平面 ABCD记作β，根据图形填写： （1）A∈α，B ∈α，E ∈ α， C α，D α； （2）A∈β，B ∈β，C ∈ β， D ∈ β，E β，F β； （3）α∩β= AB ；

a，b共面于平面α，且α是惟一的 .
练习：A组4
思考与讨论：
已知两条直线相交，过其中任意一条 直线上的点作另一条直线的平行线，这些 平行线是否都共面？为什么？
A
a
B
b
l
空间中两直线的三种位置关系
(1)相交
m l
(2)平行
m
(3)异面直线
m
P
l
l
P
只有一个公共点 没有公共点

(3) DE ， BF ， CC 1三线交于一点. [解析] 因为 EF ∥ BD 且 EF ＜ BD ，所以 DE 与 BF 相交，设交点为 M ，则由 M ∈ DE ， DE ⊂平面 D 1 DCC 1，得 M ∈平面 D 1 DCC 1，同理， M ∈平面 B 1 BCC 1. 又平面 D 1 DCC 1∩平面 B 1 BCC 1＝ CC 1，所以 M ∈ CC 1. 所以 DE ， BF ， CC 1三线交于一点.
(2)若 A 1 C 交平面 DBFE 于点 R ，则 P ， Q ， R 三点共线. [解析] 记 A 1， C ， C 1三点确定的平面为平面α，平面 BDEF 为平面β.因为 Q ∈ A 1 C 1，所以 Q ∈α.又 Q ∈ EF ，所以 Q ∈β，所以 Q 是α与β的公共点.同理， P 是α与β的公共点，所以α∩β＝ PQ . 又 A 1 C ∩β＝ R ，所以 R ∈ A 1 C ， R ∈α，且 R ∈β，则 R ∈ PQ ，故 P ， Q ， R 三点共线.
B. AC
C. AD1
D. B1C
[解析] 对于A，如图1，当点 P 为 A 1 C 1的中点时，连接 B 1 D 1， BD ，则 P 在 B 1 D 1 上， BP ⊂平面 BDD 1 B 1，又 DD 1⊂平面 BDD 1 B 1，所以 BP 与 DD 1共面，故A错误；
图1
对于B，如图2，连接 AC ，易知 AC ⊂平面 ACC 1 A 1， BP ⊄平面 ACC 1 A 1，且 BP ∩ 平面 ACC 1 A 1＝ P ， P 不在 AC 上，所以 BP 与 AC 为异面直线，故B正确；当点 P 与 点 C 1重合时，连接 AD 1， B 1 C (图略)，由正方体的性质，易知 BP ∥ AD 1， BP 与 B 1 C 相交，故C，D错误.故选B.