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江苏省天一中学2018～2019学年度高二强化班下学期期末考试数学试题及参考答案解析

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江苏省天一中学2018～2019学年第二学期 高中二年级强化班数学期末考试试题一、填空题。

1.已知全集U R =,集合(,0)A =-∞,{1,3,}B a =--,若()U C A B φ⋂≠,则实数a 的取值范围是______.【试题参考答案】0a ≥ 【试题解答】求出集合A 的补集U C A ,结合()U C A B φ⋂≠,即可确定实数a 的取值范围.[)=0U C A +∞，()U C A B φ⋂≠QU C A ∴与B 必有公共元素即0a ≥本题主要考查了集合间的交集和补集运算,属于基础题.2.已知命题“x R ∃∈,使()212102x a x +-+≤”是假命题,则实数a 的取值范围是 .【试题参考答案】()1,3- 【试题解答】试题分析：由题意得()211420132a a ∆=--⨯⨯<⇒-<< 考点：命题真假【方法点睛】(1)对全称(存在性)命题进行否定的两步操作：①找到命题所含的量词,没有量词的要结合命题的含义加上量词,再进行否定；②对原命题的结论进行否定.(2)判定全称命题“∀x∈M ,p(x)”是真命题,需要对集合M 中的每个元素x,证明p(x)成立；要判定一个全称命题是假命题,只要举出集合M 中的一个特殊值x 0,使p(x 0)不成立即可.要判断存在性命题是真命题,只要在限定集合内至少能找到一个x ＝x 0,使p(x 0)成立即可,否则就是假命题.3.设α是第二象限角,P (x ,4)为其终边上的一点,且cos α＝x ,则tan α＝________. 【试题参考答案】－ 【试题解答】先根据已知和三角函数的坐标定义得到cos α＝x ＝,解方程解答x 的值,再利用三角函数的坐标定义求tan α的值. 因为α是第二象限角, 所以cos α＝x <0,即x <0. 又cos α＝x ＝,解得x ＝－3,所以tan α＝＝－. 故答案为：－(1)本题主要考查三角函数的坐标定义,意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 点p(x,y)是角α终边上的任意的一点(原点除外),r 代表点到原点的距离,22r x y =+sin α=y r cos α=x r , tan α=yx.4.若曲线sin y x =经过T 变换作用后纵坐标不变、横坐标变为原来的2倍,则T 变换所对应的矩阵M =_____. 【试题参考答案】2001⎡⎤⎢⎥⎣⎦【试题解答】根据伸缩变换性质即可得出设在这个伸缩变换下,直角坐标系xOy 内任意一点(,)P x y 对应到点(,)P x y '''则2x x y y '=⎧⎨'=⎩从而对应的二阶矩阵20=01M ⎡⎤⎢⎥⎣⎦本题主要考查了伸缩变换对应矩阵,属于基础题.5.已知:44p x a -<-<,:(2)(3)0q x x -->,若p ⌝是q ⌝的充分条件,则实数a 的取值范围是______.【试题参考答案】[1,6]- 【试题解答】对命题进行化简,将p q ⌝⇒⌝转化为等价命题q p ⇒,即可求解.:4444p x a a x a -<-<⇔-<<+ :(2)(3)023q x x x -->⇔<<又p ⌝是q ⌝的充分条件,即p q ⌝⇒⌝,它的等价命题是q p ⇒4243a a -≤⎧∴⎨+≥⎩,解得16a -≤≤本题主要考查了四种命题的关系,注意原命题与逆否命题的真假相同是解题的关键.6.在ABC ∆中,sin()1C A -=,1sin 3B =,则sin A =________.【试题解答】根据特殊角的三角函数值得到90C A =︒+,1sin sin(902)cos 23B A A =︒+==,再由二倍角公式得到结果.∵sin()1C A -=,0180A <<︒︒,0180C ︒<<︒, ∴180180C A -︒<-<︒,∴90C A -=︒,即90C A =︒+. ∵1sin 3B =,∴1sin sin()sin(902)cos 23B A C A A =+=︒+==,由二倍角公式得到：2112sin 3A -=,∴sin A =.这个题目考查了特殊角的三角函数值的应用,以及二倍角公式的应用属于基础题.7.在极坐标系中A(2,)3π-,2B(4,)3π两点间的距离______. 【试题参考答案】6 【试题解答】求出BOA ∠的大小,得出A,O,B 三点共线,即可求解. 设极点为O,由题意可知2=33BOA πππ∠+= 即A,O,B 三点在一条直线上 所以246AB OA OB =+=+=本题主要考查了极坐标的性质,要清楚极坐标(,)ρθ 的含义,属于基础题.8.ABC ∆外接圆的半径为1,圆心为O,且20OA AB AC ++=uu r uu u r uuu r,||||OA AB =u u r u u u r,则CA CB ⋅=uu r uu r______.【试题参考答案】3 【试题解答】利用向量的运算法则将已知等式化简得到OB OC =-u u u v u u u v,得到BC 为直径,故ABC △为直角三角形,求出三边长可得ACB ∠的值,利用两个向量的数量积的定义求出CA CB ⋅u u u r u u u r的值.20OA AB AC ++=r u u u v u u u v u u u v Q 0OA AB OA AC ∴+++=r u u u v u u u v u u u v,OB OC ∴=-u u u v u u u v.O ∴,B,C 共线,BC 为圆的直径,AB AC ∴⊥.||1OA AB OA AB =∴==u u u u v u uu v u u u v u u u vQ 2,3BC AC == ,故6ACB π∠=.则32cos 36CA CB π⋅=⨯=u u u v u u u v ,本题主要考查两个向量的数量积的定义,两个向量垂直的充要条件、圆的直径对的圆周角为直角,求出ABC △为直角三角形及三边长,是解题的关键.9.已知函数2(),||2x f x x R x +=∈+,则()22(34)f x x f x -<-的解集是______.【试题参考答案】(1,2) 【试题解答】讨论x 的值,去掉绝对值,作出函数图像,由图象可得原不等式234020x x x -⎧⎨-<⎩…或2234020234x x x x x x -<⎧⎪-<⎨⎪-<-⎩,分别求出它们,再求并集即可. 根据题意,当0x …时,1()11x f x x +==+,当0x <时,12()111x f x x x +==----由函数()f x 的图象可得()f x 在(,0)-∞上递增,不等式()22(34)f x x f x -<-即为234020x x x -⎧⎨-<⎩…或2234020234x x x x x x -<⎧⎪-<⎨⎪-<-⎩,化简得4302x x ⎧⎪⎨⎪<<⎩…或430214x x x ⎧<⎪⎪<<⎨⎪<<⎪⎩,解得423x <„或413x <<,即12x <<,故解集为(1,2)。

本题主要考查了函数的单调性以及一元二次不等式的解法,利用图像来分析不等式的解是解题的关键,属于中档题.10.已知函数()sin(2)f x x ϕ=+,其中φ为实数,若()()6f x f π≤对x ∈R 恒成立,且()f ()2f ππ>,则()f x 的单调递增区间是______. 【试题参考答案】2,()63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦【试题解答】根据题设条件得出()6f π是函数的最大值或最小值,从而得到6,k k Z πϕπ=+∈,结合()2f f ππ⎛⎫> ⎪⎝⎭,最后得到56π=-ϕ,再根据正弦函数的单调性得到所求函数的单调增区间.解:若()()6f x f π≤对x ∈R 恒成立,则()6f π等于函数的最大值或最小值,即2,62k k Z ππϕπ⨯+=+∈,则6,k k Z πϕπ=+∈ ,又()2f f ππ⎛⎫> ⎪⎝⎭,即 sin 0ϕ<令 1k =-,此时56π=-ϕ ,满足条件 令522,2,622x k k k Z πππππ⎡⎤-∈-+∈⎢⎥⎣⎦, 解得2,()63x k k k Z ππππ⎡⎤∈++∈⎢⎥⎣⎦. 则()f x 的单调递增区间是2,()63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦. 故答案为:2,()63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦. 本题考查的重点是三角函数的单调区间以及形式变换,需要重点掌握.11.设函数()f x 是定义在(,0)-∞上的可导函数,其导函数为()f x ',且有3()()0f x xf x '+>,则不等式3(2019)(2019)27(3)0x f x f +++->的解集是______. 【试题参考答案】(2022,2019)-- 【试题解答】根据题意,构造函数3()()g x x f x =, (,0)x ∈-∞,利用导数判断()g x 的单调性,再把不等式3(2019)(2019)27(3)0x f x f +++->化为(2019)(3)g x g +>-,利用单调性求出不等式的解集.解:根据题意,令3()()g x x f x =,其导函数为232()3()()3()()g x x f x x f x x f x xf x '''⎡⎤=+=+⎣⎦(,0)x ∈-∞Q 时,3()()0f x xf x '+>,()0g x ∴>,()g x ∴在(,0)-∞上单调递增;又不等式3(2019)(2019)27(3)0x f x f +++->可化为33(2019)(2019)(3)(3)x f x f++>--,即(2019)(3)g x g+>-,020193x∴>+>-;解得20192022x->>-,∴该不等式的解集是为(2022,2019)--.故答案为:(2022,2019)--.本题考查了利用导数研究函数的单调性问题,也考查了利用函数的单调性求不等式的解集的问题,是综合性题目.12.如图,在平面四边形ABCD中,AB BC⊥,AD CD⊥,120BAD︒∠=,AB=AD1=.若点E为DC上的动点,则AE BE⋅u u u r u u u r的最小值为______.【试题参考答案】2116【试题解答】建立直角坐标系,得出(1,)AE t=-uu u r,33,2BE t⎛=-⎝⎭uur,利用向量的数量积公式即可得出2332AE BE t⋅=+uu u r uur,结合3]t∈,得出AE BE⋅u u u r u u u r的最小值.因为AD CD⊥,所以以点D为原点,DAu u u r为x轴正方向,DCu u u r为y轴正方向,建立如图所示的平面直角坐标系,因为1AD AB ==,所以(1,0)A ,又因为120DAB ︒∠=,所以直线AB的斜率为3,易得33,22B ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭,因为AB BC ⊥,所以直线BC 的斜率为33-, 所以直线BC 的方程为3332y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭, 令0x =,解得3y =,所以(0,3)C ,设点E 坐标为(0,)E t ,则[0,3]t ∈,则(1,)AE t =-uu u r ,33,2BE t ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭uur , 所以23333122AE BE t t t t ⎛⎫⎛⎫⋅=-⨯-+⋅-=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭uu u r uur 又因为[0,3]t ∈,所以当3t =时,AE BE ⋅u u u r u u u r 取得最小值为2116。

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江苏省天一中学2018-2019学年高一上学期期中考试数学(强化班)试题含答案

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江苏省天一中学2018-2019学年高一上学期期中考试数学（强化班）试题一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.设集合，，，则图中阴影部分表示的集合为A. B. C. D.2.下列函数中，表示同一函数的一组是A.B. ，C. ，D. ，3.已知，，且，则角为A. 第一象限的角B. 第二象限的角C. 第三象限的角D. 第四象限的角4.已知，且，那么A. B. 10 C. D. 185.设函数是奇函数，且在内是增函数，又，则的解集是A. 或B. 或C. 或D. 或6.函数是幂函数，对任意，，且，满足，若a，，且，则的值A. 恒大于0B. 恒小于0C. 等于0D. 无法判断7.函数的零点个数有A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个8.设、、是定义域为R的三个函数，对于以下两个结论：若、、均为增函数，则、、中至少有一个增函数；若、、均是奇函数，则、、均是奇函数，下列判断正确的是A. 正确，正确B. 错误，错误C. 正确，错误D. 错误，正确二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9.计算：______．10.已知某产品的销售价格单位：元件是销量单位：件的函数，而总成本为单位：元，假设生产的产品全部售出，那么产量为______件时，利润最大．11.若，则的值域为______．12.当时，，则在内的单调增区间为______．13.不等式存在正整数解，则a的取值范围为______．14.设，，，，一般地，，其中，则使方程有2018个根的n的值为______．三、解答题（本大题共6小题，共90.0分）15.已知集合，，．求与；若，求a的取值范围．16.已知，若，求的值；若，求的值．17.已知定义域为R的函数是奇函数．求a的值；证明：函数在R上是增函数；若对任意的，不等式恒成立，求实数k的取值范围．18.已知二次函数的图象的对称轴为，且函数的零点为和3．求的解析式；若，求函数的所有零点之和；试求在上的最小值其中19.已知函数，其中且．当时，求的值域；函数能否成为定义域上的单调函数，如果能，则求出实数a的范围；如果不能，则给出理由；在其定义域上恒成立，求实数a的取值范围．20.若函数在定义域内存在实数x，满足，则称为“局部奇函数”．当定义域为，试判断是否为“局部奇函数”；若为定义域R上的“局部奇函数”，求实数m的范围；已知，对于任意的，函数都是定义域为上的“局部奇函数”，求实数a的取值范围．江苏省天一中学2018-2019学年高一上学期期中考试数学（强化班）试题（解析版）一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）21.设集合，，，则图中阴影部分表示的集合为A. B. C. D.【答案】D【解析】解：，，则图中阴影部分表示的集合为．故选：D．利用不等式的解法化简集合A，求出，可得图中阴影部分表示的集合为本题考查了集合与集合之间的关系、不等式的解法、数形结合方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题22.下列函数中，表示同一函数的一组是A.B. ，C. ，D. ，【答案】B【解析】解：对于A，函数，与的定义域不同，不是同一函数；对于B，函数，与的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数；对于C，函数，与的定义域不同，不是同一函数；对于D，函数或，与的定义域不同，不是同一函数．故选：B．根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，即可判断它们是同一函数．本题考查了判断两个函数是否为同一函数的应用问题，是基础题．23.已知，，且，则角为A. 第一象限的角B. 第二象限的角C. 第三象限的角D. 第四象限的角【答案】B【解析】解：由，，可得，，．又，角为第二象限的角．故选：B．由，，可得，，结合得答案．本题考查三角函数的象限符号，是基础题．24.已知，且，那么A. B. 10 C. D. 18【答案】A【解析】解：；；．故选：A．根据即可求出，而，从而求出的值．考查奇函数的定义及判断，已知函数求值的方法．25.设函数是奇函数，且在内是增函数，又，则的解集是A. 或B. 或C. 或D. 或【答案】D【解析】解：是R上的奇函数，且在内是增函数，在内也是增函数，又，，当时，；当时，；的解集是．故选：D．由对或进行讨论，把不等式转化为或的问题解决，根据是奇函数，且在内是增函数，又，把函数值不等式转化为自变量不等式，求得结果．考查函数的奇偶性和单调性解不等式，体现了分类讨论的思想方法，属基础题．26.函数是幂函数，对任意，，且，满足，若a，，且，则的值A. 恒大于0B. 恒小于0C. 等于0D. 无法判断【答案】A【解析】解：函数是幂函数，对任意，，且，满足，解得，，，，且，．．故选：A．由幂函数的性质推导出，由此根据a，，且，得到．本题考查函数值和的符号的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．27.函数的零点个数有A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个【答案】C【解析】解：由得，在同一坐标系中分别作出函数与的图象，如图：由图象可知两个函数的交点个数为2个，故函数的零点个数为2个，故选：C．由得，然后分别作出函数与的图象，利用数形结合即可得到结论本题主要考查函数零点个数的判断，根据函数和方程之间的关系，转化为两个函数图象的交点个数问题，利用数形结合是解决本题的关键28.设、、是定义域为R的三个函数，对于以下两个结论：若、、均为增函数，则、、中至少有一个增函数；若、、均是奇函数，则、、均是奇函数，下列判断正确的是A. 正确，正确B. 错误，错误C. 正确，错误D. 错误，正确【答案】D【解析】解：错误，可举反例：，，，均不是增函数；但、、均为增函数；故错误；，，均是奇函数；为奇函数；为奇函数；同理，，均是奇函数；故正确．故选：D．可判断错误，可举出反例：，，，均不是增函数，但是、、均为增函数，从而得出错误；而可判断正确，根据、、均是奇函数可得出为奇函数，从而为奇函数，而同理可判断出，均是奇函数，从而得出正确．考查增函数的定义，一次函数和分段函数的单调性，举反例说明命题错误的方法，以及奇函数的定义，知道和均是奇函数时，也是奇函数．二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）29.计算：______．【答案】2【解析】解：．故答案为：2．直接利用有理指数幂的运算性质与对数的运算性质化简求值．本题考查对数的运算性质，是基础的计算题．30.已知某产品的销售价格单位：元件是销量单位：件的函数，而总成本为单位：元，假设生产的产品全部售出，那么产量为______件时，利润最大．【答案】300【解析】解：由题意可得，设利润为，则，当时，利润最大，故答案为：300．根据题意可得，利用二次函数的性质即可求出．本题考查了二次函数的性质的应用，属于基础题．31.若，则的值域为______．【答案】【解析】解：；，；；，；的值域为．故答案为：．可变形，从而得出，，根据求出的范围，即得出的值域．考查函数解析式的定义及求法，函数值域的定义及求法，换元法求函数的解析式，以及不等式的性质．32.当时，，则在内的单调增区间为______．【答案】【解析】解：令，则，当时，，且．或．二次函数在上为减函数，在上为增函数，而对数式在上为减函数，在内的单调增区间为．故答案为：．由已知函数解析式求出时的函数解析式，由真数大于0得到x的范围，再由复合函数的单调性求解．本题考查函数解析式的求解及常用方法，考查复合函数的单调性，对应复合函数的单调性，一要注意先确定函数的定义域，二要利用复合函数与内层函数和外层函数单调性之间的关系进行判断，判断的依据是“同增异减”，是中档题．33.不等式存在正整数解，则a的取值范围为______．【答案】【解析】解：由题意知，，由，可得，构造函数，其中，则，由双勾函数的单调性可知，函数在或处取得最小值，因为，，所以，函数的最小值为，所以，，故答案为：．利用参变量分离法得到，其中，构造函数，将问题转化为，从而求出a的取值范围．本题考查一元二次不等式，利用参变量分离法，将问题转化，是解本题的关键，属于中等题．34.设，，，，一般地，，其中，则使方程有2018个根的n的值为______．【答案】2014【解析】解：，可令，，时，，即，解得舍去或或或，由，即，即，即，，，有三个根；由，即，即，即，有一个根；由，即，即，即，有一个根；即时，原方程共有5个根；时，，即，解得舍去或或或或，由，即，即，即，，，有三个根；由，即，即，即，有一个根；由，即，即，即，有一个根；由，即，即，即，有一个根；即时，原方程共有6个根；时，可将中的t换为，t的值增加一个，可得原方程共有7个根；，可得使方程有2018个根的n的值为2014．故答案为：2014．运用归纳法，计算，2，3，原方程的个数，即可得到所求值．本题考查方程的根的个数问题解法，注意运用绝对值的方程解法和换元法，以及指数函数的值域，考查化简变形能力、运算能力和归纳推理能力，属于难题．三、解答题（本大题共6小题，共90.0分）35.已知集合，，．求与；若，求a的取值范围．【答案】解：，，或，，或；，或；，或，；；，或；，或；的取值范围为，或．【解析】进行并集、交集和补集的运算即可；先得出，或，，根据即可得出，或，解出a的范围即可．考查描述法表示集合的定义，绝对值不等式的解法，交集、并集和补集的运算，以及子集的概念．36.已知，若，求的值；若，求的值．【答案】解：，，为第四象限角，，，．，，，或．【解析】利用同角三角函数的基本关系求得的值，可得的值，再利用诱导公式求得要求式子的值．利用同角三角函数的基本关系求得，由此求得的值．本题主要考查同角三角函数的基本关系，诱导公式，属于基础题．37.已知定义域为R的函数是奇函数．求a的值；证明：函数在R上是增函数；若对任意的，不等式恒成立，求实数k的取值范围．【答案】解：由题意，可得，可得，那么可得经验证成立，故，由可得证明：任意取，，且，则，；那么则即，可得；故得函数在R上是增函数；根据奇函数和增函数函数可得，对任意t恒成立；当时，成立当时，则解得．综上可得实数k的取值范围是：．【解析】由定义域为R的函数是奇函数可得，可得a的值；根据定义证明即可；根据奇函数和增函数函数可得，对任意t恒成立，对k讨论可得实数k的取值范围．本题主要考查了函数恒成立问题的求解，分类讨论以及转化思想，奇偶性单调性的应用，二次不等式的恒成立．38.已知二次函数的图象的对称轴为，且函数的零点为和3．求的解析式；若，求函数的所有零点之和；试求在上的最小值其中【答案】解：根据题意，函数的零点为和3，则设；则，又由二次函数的图象的对称轴为，则有，解可得，则；根据题意，，而方程显然有两个不同于1的实根，其两根之和为，另外1个根为1，则方程有3个根，其和为2，则函数的所有零点之和，根据题意，，开口向下，其对称轴为，当时，，当时，，综合可得：．【解析】根据题意，设，可得，由二次函数对称轴的方程可得，解可得a的值，代入函数的解析式，即可得答案；根据题意，，分析可得的零点之和，进而可得的零点，即可得答案；根据题意，，开口向下，其对称轴为，结合二次函数的性质讨论a的取值范围，求出函数在的最小值，综合即可得答案．本题考查二次函数的性质以及应用，涉及函数的最小值，关键是求出函数的最小值．39.已知函数，其中且．当时，求的值域；函数能否成为定义域上的单调函数，如果能，则求出实数a的范围；如果不能，则给出理由；在其定义域上恒成立，求实数a的取值范围．【答案】解：当时，，对称轴为，可得y的最小值为，y的最大值为0；当时，；综上的值域为；当时，函数在递增，故二次函数在也要递增，，故只有符合要求；当时，函数在递减，故二次函数在也要递减，，故无解．综上，a的取值集合为；当时，恒成立，即有，即，由，令，，可得，当且仅当时，取得等号，可得；当时，当时，，，即有，求得，故；当时，求得均符合要求．综上可得a的范围为．【解析】由二次函数和指数函数的值域求法，可得的值域；讨论，，结合指数函数的单调性和二次函数的单调性，即可得到所求范围；讨论x的范围和a的范围，结合参数分离和对勾函数的单调性、指数函数的单调性，计算可得所求范围．本题考查分段函数的值域和单调性的判断和运用，考查分类讨论思想方法和化简运算能力，以及不等式恒成立问题解法，属于中档题．40.若函数在定义域内存在实数x，满足，则称为“局部奇函数”．当定义域为，试判断是否为“局部奇函数”；若为定义域R上的“局部奇函数”，求实数m的范围；已知，对于任意的，函数都是定义域为上的“局部奇函数”，求实数a的取值范围．【答案】解：因为，所以，由得，令，而存在一根，即存在，使得，所以为“局部奇函数”．由题意知，在R上有解，即在R上有解，所以在R上有解，令，所以在上有解，令，当时，即，解得，此时在上必有零点，所以；当时，在上有零点必须满足对称轴综上：．由题意知，，在上都有解，即，在上都有解，即，在上都有解，令，令，由题意知在上的值域包含，因为，又因为，，所以，所以，所以在上单调递增，所以综上：．【解析】若为“局部奇函数”，则根据定义验证条件是否成立即可；根据为定义域R上的“局部奇函数，得到，恒成立，建立条件关系即可求实数m的取值范围；根据为定义域上的“局部奇函数，得到，恒成立，建立条件关系即可求实数a 的取值范围；本题主要考查与函数奇偶性有关的新定义，根据条件建立方程关系是解决本题的关键，考查学生的计算能力，属于难题。

2018-2019学年江苏省无锡市锡山区天一中学八年级(下)期末数学试卷

2018-2019学年江苏省无锡市锡山区天一中学八年级(下)期末数学试卷

第1页（共16页） 2018-2019学年江苏省无锡市锡山区天一中学八年级（下）期末数学试卷 一、选择题 1．（3分）下列图形，可以看作中心对称图形的是（ ）

A． B． C． D． 2．（3分）若x，y的值均扩大为原来的3倍，则下列分式的值保持不变的是（ ）

A． B． C． D． 3．（3分）分式可变形为（ ） A． B．﹣ C． D． 4．（3分）下列事件中，是必然事件的是（ ） A．3天内下雨 B．打开电视机，正在播放广告 C．367人中至少有2人公历生日相同 D．a抛掷1个均匀的骰子，出现4点向上 5．（3分）下列说法正确的是（ ） A．对角线互相垂直的四边形是菱形 B．矩形对角线互相垂直 C．一组对边平行的四边形是平行四边形 D．对角线相等的菱形是正方形 6．（3分）如图，反比例函数y＝﹣的图象与菱形ABCD的边AD交于点E（﹣4，），F（﹣1，2），则函数y＝

﹣的图象在菱形ABCD内的部分所对应的x的取值范围是（ ） 第2页（共16页）

A．＜x＜2或﹣2＜x＜ B．﹣4＜x＜﹣1 C．﹣4＜x＜﹣1或1＜x＜4 D．＜x＜2 7．（3分）在反比例函数y＝﹣图象上有三个点A（x1，y1）B（x2，y2）C（x3，y3），若x1＜0＜x2＜x3，则下列结论正确的是（ ） A．y1＜y3＜y2 B．y2＜y3＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y3＜y2＜y1 8．（3分）已知2＜a＜4，则化简+的结果是（ ） A．2a﹣5 B．5﹣2a C．﹣3 D．3 9．（3分）如图，E、F、G、H分别是BD、BC、AC、AD的中点，且AB＝CD，下列结论：①EG⊥FH；②四边形EFGH是矩形；③HF平分∠EHG；④EG＝BC；⑤四边形EFGH周长等于2AB．其中正确的是（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4 10．（3分）已知：PA＝，PB＝4，以AB为一边作正方形ABCD，使P、D两点落在直线AB的两侧．如图，当∠APB＝45°时，PD的长是（ ）

江苏省无锡市天一中学2018-2019学年高一下学期期中考试数学(平行班)试卷及解析

江苏省无锡市天一中学2018-2019学年高一下学期期中考试数学(平行班)试卷及解析

江苏省无锡市天一中学2018-2019学年高一下学期期中考试数学（平行班）试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明第II 卷（非选择题）一、解答题1.（1）求直线:20l x y -+=在矩阵3012M ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦对应变换作用下的直线l 的方程；（2）在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线cos :1sin x C y αα=⎧⎨=+⎩以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l cos()24πθ+=-，求曲线C 与直线l交点的极坐标(0,0<2)ρθπ≥≤.2.甲、乙两位同学进入新华书店购买数学课外阅读书籍，经过筛选后，他们都对,,A B C 三种书籍有购买意向，已知甲同学购买书籍,,A B C 的概率分别为311,,423,乙同学购买书籍,,A B C 的概率分别为211,,322,假设甲、乙是否购买,,A B C 三种书籍相互独立.（1）求甲同学购买3种书籍的概率；（2）设甲、乙同学购买2种书籍的人数为X ,求X 的概率分布列和数学期望. 3.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，2ACB π∠=，,D E 分别是1,AB BB 的中点，且AC BC ==12AA =.（1）求直线1BC 与1A D 所成角的大小；（2）求直线1A E 与平面1A CD 所成角的正弦值.4.在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C所对的边，且22cos c a B =，a =（Ⅰ）若c =求ABC ∆的面积；（Ⅱ）若ABC ∆为锐角三角形，求c -的取值范围.5.某企业生产一种产品，根据经验，其次品率Q 与日产量x （万件）之间满足关系,1,12(12)1,<112x a x Q a x ⎧≤≤⎪-⎪=⎨⎪≤⎪⎩ （其中a 为常数，且<11a x ≤，已知每生产1万件合格的产品以盈利2万元，但每生产1万件次品将亏损1万元（注:次品率=次品数/生产量， 如0.1Q =表示每生产10件产品，有1件次品，其余为合格品）.（1）试将生产这种产品每天的盈利额()P x （万元）表示为日产量x （万件）的函数； （2）当日产量为多少时，可获得最大利润? 6.已知函数f (x )=x 2−alnx −1,a ∈R .（1）当a=2，求函数f (x )的极值；（2）若函数f (x )有两个零点，求实数a 的取值范围.二、填空题7.已知集合{}2,3,4,3,5A B ==,则A B =_____.8.在极坐标系中，点2,2A π⎛⎫⎪⎝⎭到直线(cos )6ρθθ=的距离为_____. 9.若“3x >”是“x m >”的必要不充分条件，则m 的取值范围是________． 10.函数()2f x log x =在点()A 2,1处切线的斜率为______11.从2个男生、3个女生中随机抽取2人，则抽中的2人不全是女生的概率是____. 12.将函数()sin(2)f xx π=+的图象向右平移4π个单位后,得到函数()g x 的图象，则()4g π的值是____. 13.函数sin y x x =在[0,]π上的单调减区间为______.14.己知函数()f x 是定义在R 上的周期为2的奇函数，01x <<时，()4x f x =，5()(2019)2f f -+的值是____.15.己知矩阵1106,0114A B ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦，若矩阵C 满足AC B =，则矩阵C 的所有特征值之和为____. 16.已知1sin()64x π+=，则 25sin()cos ()63x x ππ-+-的值是_____. 17.已知函数 2(),()4x f x e x g x x bx =-=-+,若对任意1(1,1)x ∈-,存在2(3,4)x ∈,12()()f x g x ≥，则实数b 的取值范围为_____.18.已知函数()4log ,0413,42x x f x x x ⎧<≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若a b c <<且()()()f a f b f c ==，则()1cab +的取值范围是___________．19.用长度分别为3,4,5,6cm cm cm cm 的四根木条围成一个平面四边形，则该平面四边形面积的最大值是____2cm . 20.在ΔABC 中，若sinC=2cosAcosB ，则cos 2A +cos 2B 的最大值为______.参考答案1.（1）20x y -+=；（2）3,2,42ππ⎫⎛⎫⎪ ⎪⎭⎝⎭.【解析】1.（1）设直线上任意一点(,)P x y ，在矩阵M 对应变换作用下的点(,)P x y '，然后矩阵的变换列出关系式，代入原直线方程即可求出变换后的直线.（2）将曲线C 和直线方程转化为直角坐标系下的直角坐标方程，求出交点坐标，然后再转化为极坐标即可.（1）设直线上任意一点(,)P x y ，在矩阵M 对应变换作用下的点(,)P x y '则3012x x y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎣'⎦⎦'，所以32x x x y y ''=⎧⎨-+=⎩，解得1311'62x x y x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+'⎩'⎪. 因为点(,)P x y 在直线上， 所以11120362x x y '''⎛⎫-++= ⎪⎝⎭，即3120x y ''-+=， 所以变换后的直线l '的方程为3120x y -+=. （2）已知曲线cos :1sin x C y aα=⎧⎨=+⎩（α为参数），转换为直角坐标方程为：22(1)1y x +-=， 直线l 'cos 24π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭θ． 转换为直角坐标方程为：20x y -+=.由22(1)120x y x y ⎧+-=⎨-+=⎩，解得：11x y =-⎧⎨=⎩或02x y =⎧⎨=⎩转换为极坐标为32,42ππ⎫⎛⎫⎪⎪⎭⎝⎭. 2.（1）18；（2）分布列见解析，56.【解析】2.（1）这是相互独立事件，所以甲购买书籍的概率直接相乘即可.（2）基本事件为甲购买两本书和乙购买两本书的概率，所以先求出基本事件的概率，然后再求分布列.（1）记“甲同学购买3种书籍”为事件A ，则3111()4238P A =⨯⨯=. 答：甲同学购买3种书籍的概率为18. （2）设甲、乙同学购买2种书籍的概率分别为1p ，2p . 则131********42342342312p =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，2211211111532232232212p =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，所以12p p =，所以5~2,12X B ⎛⎫⎪⎝⎭. 02025749(0)1212144P X C ⎛⎫⎛⎫==⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，11125770(1)1212144P X C ⎛⎫⎛⎫==⋅⋅=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 2225725(2)1212144P X C ⎛⎫⎛⎫==⋅⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 所以X 的概率分布为()0121441441446E X =⨯+⨯+⨯=. 答：所求数学期望为56. 3.（1）6π；（2）．【解析】3.试题由已知有AC 、BC 、CC 1两两互相垂直，故可分别以、、所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系.然后由已知就可写出所需各点的空间坐标．（1）由此就可写出向量的坐标，然后再由两向量的夹角公式：cos ,a b a b a b⋅=求出这两向量的夹角的余弦值，最后转化为对应两直线的夹角大小；只是应该注意两直线的夹角的取值范围是，而两向量的夹角的取值范围是；所以求出两向量的夹角的余弦值后取绝对值才是两直线的夹角的余弦值；（2）由中点坐标公式可求得点Ｅ的坐标，进而就可写出向量的坐标，再设平面的一个法向量为(,,)e x y z =,由10{CA e CD e ⋅=⋅=,就可求出平面的一个法向量，从而就可求得这两向量夹角的余弦值，注意直线与平面所成的角的正弦值就等于直线的方向向量与平面法向量夹角的余弦值． 试题解析：解：分别以、、所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系.则由题意可得：(2,0,0)A ,(0,2,0)B ,(0,0,0)C ,1(2,0,2)A ,1(0,2,2)B ,1(0,0,2)C , 又,D E 分别是1,AB BB 的中点，(1,1,0)D ,(0,2,1)E . 3分（1）因为1(0,2,2)BC =-，1(1,1,2)A D =--，所以111111cos ,22BC A D BC A D BC A D⋅〈〉===-⋅， 7分直线与所成角的大小为6π. 8分 （2）设平面的一个法向量为(,,)e x y z =,由10{CA e CD e ⋅=⋅=,得220{0x z x y +=+=, 可取(1,1,1)e =--， 10分 又1(2,2,1)A E =--，所以1113cos ,33.A E e A E e A E e⋅〈〉===-⨯， 13分直线与平面所成角的正弦值为. 14分4.（Ⅰ）ABC S ∆=【解析】4.（I ）运用正弦的和公式，计算A 角大小，结合余弦定理，计算出b ，结合三角形面积计算公式，即可。

江苏省天一中学高二强化班数学期末试卷

江苏省天一中学高二强化班数学期末试卷

高二强化班第一学期期末数学试卷一．填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分） 1．已知复数z 与2(2)8z i +-均是纯虚数,则z = ． 2．已知在极坐标系内2(4,),(3,)63A B ππ，则__________AB =. 3．曲线sin y x =在矩阵⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡10021作用下得到的曲线为 ． 4．为了了解“预防禽流感疫苗”的使用情况，温州市卫生部门对本地区9月份至11月份使用疫苗的所有养鸡场进行了调查，根据下列图表提供的信息，可以得出这三个月本地区每月注射了疫苗的鸡的数量平均为万只．5．在区间]1,1[-上随机取一个数x ，cos 2x π的值介于0到21之间的概率为_________．6．某程序的伪代码如图所示，则程序运行后的输出结果为 ．7．已知点(,)P x y 在曲线2cos sin x y θθ=-+⎧⎨=⎩（θ为参数）上，则yx 的取值范围为 ．8．一个总体分为A ，B 两层，其个体数之比为4：1，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本，已知B 层中甲、乙都被抽到的概率为128，则总体中的个数为 ．第6题图.19．如图所示，某城镇由6条东西方向的街道和6条南北方向的街道组成，其中有一个池塘，街道在此变成一个菱形的环池大道．现要从城镇的A 处走到B 处，使所走的路程最短，最多可以有 种不同的走法．10．已知数列{}n a 满足111,2n n a a a n +==+，计算数列{}n a 的第20项．现已给出该问题的算法流程图（如图所示），则A 处填__________；B 处填___________．11．“已知数列{}n a 为等差数列，它的前n 项和为n S ，若存在正整数(),m n m n ≠，使得m n S S =，则0m n S +=．”类比前面结论，数列}{n b 为等比数列，_______________________________________________________________________________________________．12.如图是一个正方形纸盒的展开图，若把1、2、3、4、5、6分别填入小正方形后，再折成正方体，则所得正方体对面上两数的和不都相等的概率是_______. 13．23123()(1)n n nx x x x x+++++展开经合并后的常数为 ． 14．已知1()sin xf x e x =，1()(),2n n f x f x n -'=≥，则20081(0)ii f ==∑ ．A B第9题第10题第12题高二强化班第一学期期末数学试卷答卷纸一．填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．_______ 2．________ 3．________ 4．_______ 5．_______6．_______ 7．________ 8．________ 9．_______ 10．_______，________ 11．_______________________________________________________________________ 12．________ 13．_________ 14．__________ 二．解答题（本大题共6小题，共90分）15．（本题满分14分）已知关于x 的一元二次函数14)(2+-=bx ax x f ．（1）设集合P={1，2， 3}和Q={－1，1，2，3，4}，分别从集合P 和Q 中随机取一个数作 为a 和b ，求函数)(x f y =在区间[),1+∞上是增函数的概率；（2）设点(,)a b 是区域⎪⎩⎪⎨⎧>>≤-+0008y x y x 内的随机点，求函数()[1,)y f x =+∞在上是增函数的概率.16．（本题满分14分）已知矩阵M 有特征值14λ=及对应的一个特征向量123e ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，并有特征值21λ=-及对应的一个特征向量211e ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦.（1）求矩阵M 的逆矩阵； (2)求⎥⎦⎤⎢⎣⎡142008M ．17．（本题满分15分）已知双曲线C ：2222x y -=，定点(2,1)M ，过M 作直线l 交双曲线C 于A 、B 两点．（1）当M 是AB 中点时，求直线l 的方程； （2）求MA MB ⋅的范围．18．（本题满分15分）由下列各式：211>，131211>++，237131211>++++ ，215131211>++++，…，你能得到怎样的一般不等式，并用数学归纳法加以证明．19．（本题满分16分）盒中装有一打（12个）乒乓球，其中9个新的，3个旧的（用过的球即．．．．．为旧的．．．），每次从盒中任取1个使用，用完后装回盒中，按照此取法，取3次后盒中旧球个数ξE．是一个随机变量，求ξ的分布列并求出其数学期望20．（本题满分16分）定义1log (,)x y f x y +=，0>x ． （1）比较(1,3)f 与(2,2)f 的大小；（2）若y x e <<，证明：(1,)(1,)f x y f y x ->-；（3）设函数)](log ,1[)(232bx ax x f x g ++=的图象为曲线C ，曲线C 在0x 处的切线的斜率为k ，若)1,1(0a x -∈，且存在实数b 使得4-=k ，求实数a 的取值范围．。