1 2021年中考数学复习——几何探究型问题
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1. （2020年湖南长沙中考）如图，点P在以MN为直径的半圆上运动（点P不与M、N重合），PQ⊥MN，NE平分∠MNP，交PM于点E，交PQ于点F。
（1）PMPEPQPF
（2）若MNPMPN•2，则NQMQ
2.（2020年湖南岳阳中考）如图，AB为半⊙O的直径，M，C是半圆上的三等分点，8AB，BD与半⊙O相切于点B，点P为AM上一动点（不与点A，M重合），直线PC交BD于点D，BEOC于点E，延长BE交PC于点F，则下列结论正确的是______________．（写出所有正确结论的序号）
①PBPD；②BC的长为43；③45DBE；④BCFPFB△∽△；⑤CFCP为定值．
3.（2020年湖南湘西中考）问题背景：如图1，在四边形ABCD中，90BAD，90BCD，BABC，120ABC，60MBN，MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD、DC于E、F．探究图中线段AE，CF，EF之间的数量关系．小李同学探究此问题的方法是：延长FC到G，使CGAE，连接BG，先证明BCGBAE△≌△，再证明BFCBFE△≌△，可得出结论，他的结论就是_______________；
探究延伸1：如图2，在四边形ABCD中，90BAD，90BCD，BABC，2ABCMBN，MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD、DC于E、F．上述结论是否仍然成立？请直接写出结论（直接写出“成立”或者“不成立”），不要说明理由．
探究延伸2：如图3，在四边形ABCD中，BABC，180BADBCD，2ABCMBN，MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD、DC于E、F．上述结论是否仍然成立？并说明理由．
备战2021年中考数学十大题型专练卷之题型09 几何类比、拓展、探究题
一、选择题
二、填空题
三、解答题
1．〔2021临沂〕数学课上，张老师出示了问题：如图1，AC，BD是四边形ABCD的对角线，假设∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=60°，那么线段BC，CD，AC三者之间有何等量关系？
经过思考，小明展示了一种正确的思路：如图2，延长CB到E，使BE=CD，连接AE，证得△ABE≌△ADC，从而容易证明△ACE是等边三角形，故AC=CE，所以AC=BC+CD．
小亮展示了另一种正确的思路：如图3，将△ABC绕着点A逆时针旋转60°，使AB与AD重合，从而容易证明△ACF是等边三角形，故AC=CF，所以AC=BC+CD．
在此根底上，同学们作了进一步的研究：
〔1〕小颖提出：如图4，如果把“∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=60°〞改为“∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=45°〞，其它条件不变，那么线段BC，CD，AC三者之间有何等量关系？针对小颖提出的问题，请你写出结论，并给出证明．
〔2〕小华提出：如图5，如果把“∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=60°〞改为“∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=α〞，其它条件不变，那么线段BC，CD，AC三者之间有何等量关系？针对小华提出的问题，请你写出结论，不用证明．
2．〔2021枣庄〕正方形ABCD，P为射线AB上的一点，以BP为边作正方形BPEF，使点F在线段CB的延长线上，连接EA，EC．
〔1〕如图1，假设点P在线段AB的延长线上，求证：EA=EC；
〔2〕如图2，假设点P在线段AB的中点，连接AC，判断△ACE的形状，并说明理由；
〔3〕如图3，假设点P在线段AB上，连接AC，当EP平分∠AEC时，设AB=a，BP=b，求a：b及∠AEC的度数．
〔1〕如图1，△ABC为等边三角形，现将三角板中的60°角与∠ACB重合，再将三角板绕点C按顺时针方向旋转〔旋转角大于0°且小于30°〕，旋转后三角板的一直角边与AB交于点D，在三角板斜边上取一点F，使CF=CD，线段AB上取点E，使∠DCE=30°，连接AF，EF．
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2023年九年级数学中考专题：几何探究压轴题
一、解答题
1．如图，在ABC中，4AC，3BC，90ACB，D是边AC上一动点（不与点A、C重合），CEBD，垂足为E，交边AB于点F．
(1)当点D是边AC中点时，求DE，EC的值；
(2)设CDx，AFy，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；
(3)当EFD△与EFB△相似时，求线段CD的长．
2．【温故知新】黄金分割是一种最能引起美感的分割比例，具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值．我们知道：如图1，点C把线段AB分成两部分，如果BCACACAB，那么称点C为线段AB的黄金分割点．
(1)【问题发现】如图1，点C为线段AB的黄金分割点，且ACBC，若2AB，请直接写出CB的值是__________．
(2)【问题探究】如图2，在RtABC△中，90C，2AC，1BC，在BA上截取BDBC，再在AC上截取AEAD，则AEAC的值为__________．
(3)【问题解决】如图3，用边长为6的正方形纸片进行如下操作：对折正方形ABDE得折痕MN，连接EN，将AE折叠到EN上，点A对应点H，得折痕CE，试说明：C是AB的黄金分割点． 2
3．定义：若连接三角形一个顶点和对边上一点的线段能把该三角形分成一个等腰三角形和一个直角三角形，我们称这条线段为该三角形的智慧线，这个三角形叫做智慧三角形．
(1)如图1，在智慧三角形ABC中，ADBC，AD为该三角形的智慧线，1CD，则BD长为_____，B的度数为_____．
(2)如图2，ABC为等腰直角三角形，90BAC＝，2AB，F是斜边BC延长线上一点，连接AF，以AF为直角边作等腰直角三角形AFE（点A，F，E按顺时针排列），90EAF, 2CF，AE交BC于点D，连接EC，EB．当2BDEBCE时，求线段ED的长；
几何综合——旋转+线段
1.已知∠ACD=90∘，AC=DC，MN是过点A的直线，过点D作DB⊥MN于点B，连接CB.
(1)问题发现
如图(1)，过点C作CE⊥CB，与MN交于点E，则易发现BD和EA之间的数量关系为
，BD、AB、CB之间的数量关系为 .
(2)拓展探究
当MN绕点A旋转到如图(2)位置时，BD、AB、CB之间满足怎样的数量关系?请写出你的猜想，并给予证明。
(3)解决问题
当MN绕点A旋转到如图(3)位置时(点C. D在直线MN两侧),若此时∠BCD=30∘，BD=2时，CB= .
解答：
(1)如图1,过点CE作⊥CB交MN于点E，
∵∠ACD=90∘，
∴∠ACE=90∘−∠ACB,∠BCD=90∘−∠ACB，
∴∠ACE=∠BCD，
∵DB⊥MN，
∴在四边形ACDB中,∠BAC+∠ACD+∠ABD+∠D=360∘，
∴∠BAC+∠D=180∘，
∵∠CE+∠BAC=180∘，
∠CAE=∠D，
∵AC=DC，
∴△ACE≌△DCB，
∴AE=DB，CE=CB，
∵∠ECB=90∘，
∴△ECB是等腰直角三角形，
∴BE=2CB，
∴BE=AE+AB=DB+AB，
∴BD+AB=2CB；
故答案为：BD=AE,BD+AB=2CB；
(2)如图2,过点C作⊥CB交MN于点E，
∵∠ACD=90∘，
∴∠ACE=90∘+∠ACB,∠BCD=90∘+∠ACB，
∴∠ACE=∠BCD，
∵DB⊥MN，
∴∠CAE=90∘−∠AFB,∠D=90∘−∠CFD，
∵∠AFB=∠CFD，
∴∠CAE=∠D，
∵AC=DC，
∴△ACE≌△DCB，
∴AE=DB，CE=CB，
∵∠ECB=90∘，
∴△ECB是等腰直角三角形，
∴BE=2CB，
∴BE=AE−AB=DB−AB，
∴BD−AB=2CB；
(3)如图3,过点C作⊥CB交MN于点E，
