2013届中考数学图形的相似专题复习
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（备战中考）2013年中考数学（教案+中考真题+模拟试题+单元测试）图形的相似知识梳理1．相似形：形状相同，大小不一定相等的图形称为______．2．相似多边形的特征：对应边______，对应角______．3．成比例线段：如果四条线段a，b，c，d中，•某两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．如a：b=c：d或a：d=b：c，则a，b，c，d叫___________；若a，b，b，c成比例，即a：b=b：•c，•则称b•是a•和c•的_______．4．相似三角形：对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形．•对应边之比叫做________．当相似比为1时，两个三角形就称为_______．5．相似三角形的识别：（1）两组对应角分别__________的两个三角形相似；（2）两组对应边成比例，且_______相等的两个三角形相似；（3）三组对应边________的两个三角形相似；（4）平行于三角形一边的直线和其他两边（或其延长线）相交，所得的三角形与原三角形________．6．相似三角形的性质：（1）相似三角形对应边成_________，对应角_______．（2）相似三角形对应线段（对应角，对应中线，对应角平分线，•外接圆半径和内切圆半径）之比和周长之比都等于_______；（3）相似三角形的面积比等于_______．7．黄金分割：若线段AB上一点P分线段成AP与PB两条线段，且AP PBAB AP（可求出比值为0.618……），这种分割叫黄金分割．P点叫线段AB的黄金分割点，一条线段有_____个黄金分割点．8．位似：对应顶点的连线_________的相似叫位似．•作位似图形的方法是先确定位似中心和每个顶点之间的直线，在直线的另一侧取原多边形的对应顶点，连结各点即得放大或缩小的位似图形（注意“放大”和“放大到”的区别）．9．相似三角形中常见的基本图形：条件：DE∥BC∠1=∠B∠1=∠B条件：AB∥DE∠A=∠DCD是斜边AB上的高识记梳理参考答案:1．相似形2．成比例相等3．比例线段比例中项4．相似比全等三角形5．（1）相等（2）夹角（3）成比例（4）相似6．（1）比例相等（2）相似比•（3）相似比的平方7．两8．相交于一点◆重点热点考点1．线段的比、成比例线段、黄金分割、相似图形有关概念及性质．2．三角形相似的性质及条件，•并能利用相似三角形的性质解决问题．3．图形位似的概念，用位似的性质将一个图形放大或缩小．4．用坐标表示图形的位置与变换，在给定的坐标系中，•会根据坐标描出点的位置或由点的位置写出它的坐标，灵活运用不同方式确定物体的位置．难点1．线段的比、成比例线段、黄金分割、相似图形有关概念及性质．2．三角形相似的性质及条件，•并能利用相似三角形的性质解决问题易错点1求线段的比时忽视单位的统一2相似三角形的性质,面积比、周长比与相似比的关系容易混淆◆典例解析例1如图，已知平行四边形ABCD中，E是AB边的中点，DE交AC于点F，AC，DE把平行四边形ABCD分成的四部分的面积分别为S1，S2，S3，S4．下面结论：①只有一对相似三角形；②EF：ED=1：2；③S1：S2：S3：S4=1：2：4：5．其中正确的结论是（）A．①③B．③C．①D．①②解析∵AB∥DC，∴△AEF•∽△CDF，•但本题还有一对相似三角形是△ABC•≌△CDA（全等是相似的特例）．∴①是错的．∵12AE EFCD DF==，∴②EF：ED=1：2是错的．∴S△AEF：S△CDF=1：4，S△AEF：S△ADF=1：2．∴S1：S2：S3：S4=1：2：4：5，③正确．答案B点拨①利用相似三角形的特征和等高三角形的面积比等于底边之比；（共底三角形的面积之比等于高之比）②和全等三角形一样，中考试题往往把需要证明的两个相似三角形置于其他图形（如等边三角形、等腰直角三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形和梯形）中，在解题时要充分挖掘其中隐含的相等角、成比例的线段和平行线，注意从复杂的图形中分离出基本的相似三角形．拓展变式点E是 ABCD的边BC延长线上的一点，AE与CD相交于点G，则图中相似三角形共有（）A．2对B．3对C．4对D．5对答案C拓展变式如图，在梯形ABCD中，若AB∥DC，AD=BC，对角线BD，AC把梯形分成了四个小三角形．（1）列出从这四个小三角形中任选两个三角形的所有可能情况，并求出选取到的两个三角形是相似三角形的概率是多少？（注意：全等看成相似的特例）（2）请你任选一组相似三角形，并给出证明．解析（1）任选两个三角形的所有可能情况如下六种情况：①②，①③，①④，•②③，②④，③④．其中有两组（①③，②④）是相似的．∴选取到的两个三角形是相似三角形的概率P=1 3．（2）证明：选择①③证明． 在△AOB 与△COD 中，∵AB ∥CD ， ∴∠CDB=∠DBA ，∠DCA=∠CAB ， ∴△AOB ∽△COD ． 选择②④证明．∵四边形ABCD 是等腰梯形，∴∠DAB=∠CAB ． 在△DABC 与△CBA 中， AD=BC ，∠DAB=∠CAB ，AB=AB ， ∴△DAB ≌△CBA ， ∴∠ADO=∠BCO ．又∠DOA=∠COB ，∴DOA ≌△COB ．例2如图，是某城市一个主题雕塑的平面示意图，它由置放于地面L 上两个半径为2米的半圆与半径为4米的⊙A 构成．点B ，C 分别是两个半圆的圆心，⊙A•分别与两个半圆相切于点E ，F ，BC 长为8米，求EF 的长．解析∵⊙A 分别与两个半圆相切于点E ，F ，点A ，B ，C 分别是三个圆的圆心． ∴AE=AF=4，BE=CF=2，AB=AC=6． 在△AEF 和△ABC 中，∠EAF=∠BAC ，AE AB =46AF AC =23， ∴△AEF ∽△ABC ，故EF BC =AEAB．则EF=BC ·AE AB =8×23=163（米）．点拨解决实际问题时，一定要先转化成数学问题，画出图形，•再运用相应的知识解决．拓展变式 （2008，山东聊城）如图，路灯（P 点）距地面8米，身高1．6米的小明从距路灯的底部（O 点）20米的A 点，沿OA 所在的直线行走14米到B 点时，•身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？ 解析∵∠MAC=∠MOP=90°， ∠AMC=∠OMP ，∴△MAC ∽△MOP ，∴AM ACMO OP =． 即 1.6208MA MA =+，解得MA=5．同理，由△NBD ∽△NOP 可求得NB=1.5，所以小明的身影变短了3.5米．例3如图，在矩形ABCD 中，AB=4，AD=10，直角尺的直角顶点P 在AD 上滑动时（•点P 与A ，D 不重合），一直角边经过点C ，另一直角边交AB 于点E ．我们知道，结论“Rt•△AEP ∽Rt △DPC ”成立．（1）当∠CPD=30°时，求AE 的长；（2）是否存在这样的点P ，使△DPC 的周长等于△AEP 周长的2倍？若存在，求出DP 的长；若不存在，请说明理由．解析（1）在Rt △PCD 中，由tan ∠CPD=CDPD，得PD=4tan tan30CD CPD =∠︒∴．由△AEP ∽△DPC 知，AE APPD CD=,∴AE=AP PDCD-12． （2）假设存在满足条件的点P ，设DP=x ，则AP=10-x ． 由△AEP ∽△DPC ，知CDAP=2． ∴410x-=2，解得x=8． 此时AP=4，AE=4符合题意．故存在点P ，使△DPC 的周长等于△AEP 周长的2倍，DP=8．点拨①本题考查用相似三角形的性质得到等量关系（比例式），建立方程解决实际问题．除了掌握相似三角形对应边、对应角的性质以外，还要注意相似三角形对应线段（对应高，对应中线，对应角平分线）之比和周长之比都等于相似比；②解决存在性问题时，一般先假设存在，建立方程，若方程有解，并且经过检验解符合题意，则存在；若方程无解或解不符合题意，则不存在．考试真题一、选择题1.（2011浙江金华，9，3分）如图，西安路与南京路平行，并且与八一街垂直，曙光路与环城路垂直.如果小明站在南京路与八一街的交叉口，准备去书店，按图中的街道行走，最近的路程约为（）A.600mB.500mC.400mD.300m2.（2011安徽，9，4分）如图，四边形ABCD 中，∠BAD =∠ADC =90°，AB =AD =22，CD =2，点P 在四边形ABCD 的边上．若P 到BD 的距离为32，则点P 的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B3.（2011广东东莞，31,3分）将左下图中的箭头缩小到原来的12，得到的图形是（）4.（2011浙江省，6，3分）如图，直角三角形纸片的两直角边长分别为6、8，按如图那样折叠，使点A 与点B 重合，折痕为DE，则S △BCE ：S △BDE 等于（）A.2：5B.14:25C.16:25D.4:215.（2011浙江台州，5,4分）若两个相似三角形的面积之比为1:4，则它们的周长之比为（）A.1:2B.1:4C.1:5D.1:166.（2011浙江省嘉兴，7，4分）如图，边长为4的等边△ABC 中，DE 为中位线，则四边形BCED 的面积为（ ）（A ）32（B ）33（C ）34（D ）367.（2011浙江丽水，9，3分）如图，西安路与南京路平行，并且与八一街垂直，曙光路与环城路垂直.如果小明站在南京路与八一街的交叉口，准备去书店，按图中的街道行走，最近的路程约为（）A.600mB.500mC.400mD.300m8.（2011台湾台北，26）图(十)为一ABC ∆，其中D 、E 两点分别在AB 、AC 上，且AD＝31，DB ＝29，AE ＝30，EC ＝32。
若︒∠50＝A ，则图中1∠、2∠、3∠、4∠的大小关系，下列何者正确？（第7题）ABCD EA ．1∠＞3∠B ．2∠＝4∠C ．1∠＞4∠D ．2∠＝3∠9.（2011甘肃兰州，13，4分）现给出下列四个命题：①无公共点的两圆必外离；②位似三角形是相似三角形；③菱形的面积等于两条对角线的积；④对角线相等的四边形是矩形。
其中真命题的个数是A ．1B ．2C ．3D ．4 10．（2011山东聊城，11，3分）如图，在直角坐标系中，矩形OABC 的顶点O 在坐标原点，边OA 在x 轴上，OC 在y 轴上，如果矩形OA ′B ′C ′与矩形OABC 关于点O 位似，且矩形OA ′B ′C ′的面积等于矩形OABC 面积的14，那么点B ′的坐标是（）A ．（3，2）B ．（－2，－3）C ．（2，3）或（－2，－3）D ．（3，2）或（－3，－2）11.（2011广东汕头，31,3分）将左下图中的箭头缩小到原来的12，得到的图形是（）12.（2011四川广安，7，3分）下列命题中，正确的是（） A ．过一点作已知直线的平行线有一条且只有一条 B ．对角线相等的四边形是矩形C ．两条边及一个角对应相等的两个三角形全等D ．位似图形一定是相似图形13.（2011重庆江津，8，4分）已知如图(1)、(2)中各有两个三角形,其边长和角的度数已在图上标注,图(2)中AB 、CD 交于O 点,对于各图中的两个的两个三角形而言,下列说法正确的是()A.都相似B.都不相似C.只有(1)相似D.只有(2)相似 AD 4 314.(2011重庆綦江，4，4分)若相似△ABC 与△DEF 的相似比为1：3，则△ABC 与△DEF 的面积比为（）A ．1：3B ．1：9C ．3：1D ．1：315.（2011山东泰安，15，3分）如图，点F 是□ABCD 的边CD 上一点，直线BF 交AD 的延长线于点E ，则下列结论错误．．的是A.ED EA =DF AB B.DE BC =EF FB C.BC DE =BF BE D.BF BE =BCAE16.（2011山东潍坊，3，3分）如图，△ABC 中，BC=2，DE 是它的中位线，下面三个结论：⑴DE=1；⑵△ADE ∽△ABC ；⑶△ADE 的面积与△ABC 的面积之比为1:4。
