中考数学题型八 几何探究题

中考数学基本几何模型探究【专题综述】许多中考试题都是以教材的例题、习题为背景，经过命题专家巧妙构思编拟而成.中考试题的权威性和导向性是由命题专家独具匠心精心打造的，其思路和方法常具有类比迁移和拓广探索性.因此，教师在教学中若能引导学生提炼出基本几何模型，用基本几何模型解决问题，则能提高学习效率，提升创新创造能力.【方法解读】一、中考试题呈现和探源题目 如图1，正方形ABCD 的边长为3cm, ,P Q 分别从,B A 出发沿,BC AD 方向运动，P 点的运动速度是1cm/秒，Q 点的运动速度是2 cm/秒.连结AP 并过点Q 作QE AP ⊥，垂足为E . (1)求证:ABP QEA ;(2)当运动时间t 为何值时，ABP QEA ≅?(3)设QEA 的面积为y ，用运动时间t 表示QEA 的面积y .(不要求考虑t 的取值范围) (提示:解答(2)(3)时可不分先后)此题动静分明，梯度清晰，较好考察了学生全等、相似、函数的有关知识.仔细观察，不难看出此题由课本题变化而来.课本原题为:如图2，四边形ABCD 是正方形，点G 是边BC 的中点，,//DE AG BF DE ⊥交AG 于点F ，求证: AF BF EF -=.(人教版义务教育教科书八年级数学2013年10月第一版P62页第15题) 将此题的条件“//BF DE 交AG 于点F ”去掉，即可变为上述中考题. 二、探寻基本图形和基本模型由课本习题和中考题不难找出它们蕴含的基本图形和几何模型:如图3，在正方形ABCD 中，点,E F 分别在边,BC CD 上，,AE BF 交于点O .性质1 若AE BF ⊥，则AE BF = (或BE CF =). 性质2 若AE BF = (或BE CF =)，则AE BF ⊥.性质3 若点O 是中心对称图形的对称中心，且AE BF ⊥，则,AE BF 把该图形的面积四等分. 若将线段,AE BF 分别平移到,GH EF 处(如图4)，结论EF GH =仍成立.由于以上主要利用直角和互余的性质，不难猜想到若由正方形变为矩形，会有三角形相似和对应线段成比例.如图5，在矩形ABCD 中，点,E F 分别在,AB AD 上，且DE CF ⊥，则DE ADCF CD=. 若将线段,DE CF 分别平移到,NM HQ 处(如图6)，结论MN ADQH CD=仍成立.由以上图形可提炼出如下模型:模型1 正方形+线段垂直(或线段相等)=线段相等(或线段垂直)模型2 中心对称图形+线段垂直(或面积四等分)=面积四等分(或线段垂直) 模型3 矩形+线段垂直(或线段成比例)=线段成比例(或线段垂直) 三、模型解题提升能力 1、用模型1解决问题例1 已知:如图7，在正方形ABCD 中，点E 在边CD 上，AQ BE ⊥于点,Q DP AQ ⊥于点P . (1)求证: AP BQ =;(2)在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中四对线段，使每对中较长线段与较短线段长度的差等于PQ 的长.分析 由模型1易得AQ DP =，得本题证明思路是证全等形，进而得AP BQ =，由全等形可得AQ BQ PQ -=或PD AP PQ -=.例2 如图8，正方形ABCD 的面积为3cm 2, E 为BC 边上一点，30BAE ∠=︒,F 为AE 的中点，过点F 作直线分别与,AB DC 相交于点,M N ，若MN AE =，则AM 的长等于 cm.分析 由模型2可得MN AE ⊥，用勾股定理和30BAE ∠=︒，求得AE =2，则AF =1，所以3AM =2、用模型2解决问题 例3 问题探究(在图9中作出两条直线，使它们将圆的面积四等分.(2)如图10, M 是正方形ABCD 内一定点，在图9中作出两条直线(要求其中一条直线必须过点M )，使正方形ABCD 的面积四等分，并说明理由.问题解决(3)如图11，在四边形ABCD 中，//,AB CD AB CD BC +=，点P 是AD 的中点.如果,AB a CD b ==，且b a >，那么在边BC 上是否存在一点Q ，使PQ 所在的直线将四边形ABCD 的面积分成相等的两部分?若存在，求出PQ 的长;若不存在，说明理由.分析 (1)据模型2，只要作两条过圆心且互相垂直的直线即可，如图9所示.(2)据模型2，过点M 和正方形ABCD 对角线的交点O 作直线OM ，分别交,AD BC 于,P Q 两点，再过点O 作OM 的垂线，交,AB CD 于,E F 两点，则直线,OM EF 将正方形ABCD 的面积四等分，如图10所示.(3)如图11，延长BA 至点E ，使AE b =,延长CD 至F 点，使DF a =，连结EF .由//,BC CF BC BE CF a b ===+，易证四边形BCEF 是菱形，连结BF 交AD 于点M ，则MAB MDF ≅，得AM DM =，所以点M 与P 重合，点P 是菱形对角线的交点.在BC 上截取BQ CD b ==，则CQ AB a ==.设点P 到菱形一边的距离为d ，则1()2ABP QBP S S AB BQ ∆∆+=+1()2CQ CD d =+ CPQ CPD S S ∆∆=+.所以，当BQ b =时，直线PQ 将四边形ABCD 分成面积相等的两部分. 3、用模型3解题 例3 探究证明(1)某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，提出下列问题，请你给出证明.如图12，矩形ABCD 中，,EF GH EF ⊥分别交,AB CD 于点,,E F GH 分别交,AD BC 于点,G H .求证:EF ADGH AB=.结论应用(2)如图13，在满足(1)的条件下，又AM BN ⊥，点,M N 分别在边,BC CD 上，若1115EF GH =,则BNAM的值为 . 联系拓展(3)如图14，四边形ABCD 中，90,10,5,ABC AB AD BC CD AM DN ∠=︒====⊥,点,M N 分别在边,BC AB 上，求DNAM的值.分析 (1)由模型3，过点A 作//AP EF ,交CD 于P ，过点B 作//BQ GH ，交AD 于Q ，如图15，易证,,AP EF GH BQ PDA QAB ==∆∆，然后运用相似三角形的性质就可解决问题.(2)只需运用(1)中的结论,可得到EF AD BNGH AB AM==，就可解决问题.(3)过点D 作平行于AB 的直线，交过点A 平行于BC 的直线于点R ，交BC 的延长线于点S ，如图16，易证四边形ABSR 是矩形，由模型3可得DN ARAM AB=. 设,SC x DS y ==，则5,10AR BS x RD y ==+=-，在Rt CSD 中，根据勾股定理，可得2225x y+=. ①在Rt ARD中，根据勾股定理，可得22(5)(10)100x y++-=.②解①②就可求出x，即可得到AR，问题得以解决.【强化训练】1. （2017四川省广元市）如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC，垂足为F，连结DF，下列四个结论：①△AEF∽△CAB；②tan∠CAD=2；③DF=DC；④CF=2AF，正确的是（）A．①②③B．②③④C．①③④D．①②④2．（2017四川省泸州市）如图，在矩形ABCD中，点E是边BC的中点，AE⊥BD，垂足为F，则tan∠BDE 的值是（）A．24B．14C．13D．233. （2017湖北省十堰市）如图，正方形ABCD中，BE=EF=FC，CG=2GD，BG分别交AE，AF于M，N．下列结论：①AF⊥BG；②BN=43NF；③38BMMG=；④12CGNF ANGDS S=．其中正确的结论的序号是．4. （2017四川省广安市）如图，四边形ABCD是正方形，E、F分别是了AB、AD上的一点，且BF⊥CE，垂足为G，求证：A F=BE．5. （2017浙江省宁波市）如图，四边形ABCD是边长为6的正方形，点E在边AB上，BE=4，过点E作EF∥BC，分别交BD，CD于G，F两点．若M，N分别是DG，CE的中点，则MN的长为（）A．3B．23C．13D．46. （2017丽水）如图，在矩形ABCD中，点E是AD上的一个动点，连接BE，作点A关于BE的对称点F，且点F落在矩形ABCD的内部，连接AF，BF，EF，过点F作GF⊥AF交AD于点G，设ADn AE．（1）求证：A E=GE；（2）当点F落在AC上时，用含n的代数式表示ADAB的值；（3）若AD=4AB，且以点F，C，G为顶点的三角形是直角三角形，求n的值．7. （2017江苏省南通市）如图，在矩形ABCD中，E是AD上一点，PQ垂直平分BE，分别交AD、BE、BC于点P、O、Q，连接BP、EQ．（1）求证：四边形BPEQ是菱形；（2）若AB=6，F为AB的中点，OF+OB=9，求PQ的长．8. （2016内蒙古赤峰市）如图，正方形ABCD的面积为3cm2，E为BC边上一点，∠BAE=30°，F为AE 的中点，过点F作直线分别与AB，DC相交于点M，N．若MN=AE，则AM的长等于cm．9. （2016内蒙古包头市）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，若∠EAC=2∠CAD，则∠BAE=度．10. （2016广西贺州市）如图，AC是矩形ABCD的对角线，过AC的中点O作EF⊥AC，交BC于点E，交AD于点F，连接AE，CF．（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）若AB=3，∠DCF=30°，求四边形AECF的面积．（结果保留根号）。

2021年中考数学复习——几何探究型问题班级姓名1. （2020年湖南长沙中考）如图，点P在以MN为直径的半圆上运动（点P不与M、N重合），PQ⊥MN，NE平分∠MNP，交PM于点E，交PQ于点F。

（1）=+PMPEPQPF（2）若MNPMPN•=2，则=NQMQ2.（2020年湖南岳阳中考）如图，AB为半⊙O的直径，M，C是半圆上的三等分点，8AB=，BD与半⊙O相切于点B，点P为AM上一动点（不与点A，M重合），直线PC交BD于点D，BE OC⊥于点E，延长BE交PC于点F，则下列结论正确的是______________．（写出所有正确结论的序号）①PB PD=；②BC的长为43π；③45DBE∠=︒；④BCF PFB△∽△；⑤CF CP⋅为定值．3.（2020年湖南湘西中考）问题背景：如图1，在四边形ABCD中，90BAD∠=︒，90BCD∠=︒，BA BC=，120ABC∠=︒，60MBN∠=︒，MBN∠绕B点旋转，它的两边分别交AD、DC于E、F．探究图中线段AE，CF，EF之间的数量关系．小李同学探究此问题的方法是：延长FC到G，使CG AE=，连接BG，先证明BCG BAE△≌△，再证明BFC BFE△≌△，可得出结论，他的结论就是_______________；探究延伸1：如图2，在四边形ABCD中，90BAD∠=︒，90BCD∠=︒，BA BC=，2ABC MBN∠=∠，MBN∠绕B点旋转，它的两边分别交AD、DC于E、F．上述结论是否仍然成立？请直接写出结论（直接写出“成立”或者“不成立”），不要说明理由．探究延伸2：如图3，在四边形ABCD中，BA BC=，180BAD BCD∠+∠=︒，2ABC MBN∠=∠，MBN∠绕B点旋转，它的两边分别交AD、DC于E、F．上述结论是否仍然成立？并说明理由．实际应用：如图4，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30的A处舰艇乙在指挥中心南偏东70︒的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以75海里/小时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东50︒的方向以100海里/小时的速度前进，1.2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E、F处，且指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为70 ，试求此时两舰艇之间的距离．4.（2020年湖南常德中考）已知D是Rt△ABC斜边AB的中点，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，过点D作Rt△DEF使∠DEF＝90°，∠DFE＝30°，连接CE并延长CE到P，使EP＝CE，连接BE，FP，BP，设BC与DE 交于M，PB与EF交于N．（1）如图1，当D，B，F共线时，求证：①EB＝EP；②∠EFP＝30°；（2）如图2，当D，B，F不共线时，连接BF，求证：∠BFD+∠EFP＝30°．5.（2020年湖南湘潭中考）算筹是在珠算发明以前我国独创并且有效的计算工具，为我国古代数学的发展做出了很大的贡献．在算筹计数法中，以“纵式”和“横式”两种方式来表示数字如图：表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空．示例如下：67286708，则表示的数是________．6. 2020年湖南怀化中考）定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做垂等四边形． （1）下面四边形是垂等四边形的是____________（填序号） ①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形（2）图形判定：如图1，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AC BD ⊥，过点D 作BD 垂线交BC 的延长线于点E ，且45DBC ∠=︒，证明：四边形ABCD 是垂等四边形．（3）由菱形面积公式易知性质：垂等四边形的面积等于两条对角线乘积的一半．应用：在图2中，面积为24的垂等四边形ABCD 内接于⊙O 中，60BCD ∠=︒．求⊙O 的半径．7. （2020年湖南省衡阳市中考）如图1，平面直角坐标系xOy 中，等腰ABC ∆的底边BC 在x 轴上，8BC =，顶点A 在y 的正半轴上，2OA =，一动点E 从(3,0)出发，以每秒1个单位的速度沿CB 向左运动，到达OB 的中点停止．另一动点F 从点C 出发，以相同的速度沿CB 向左运动，到达点O 停止．已知点E 、F 同时出发，以EF 为边作正方形EFGH ，使正方形EFGH 和ABC ∆在BC 的同侧．设运动的时间为t 秒（0t ≥）．（1）当点H 落在AC 边上时，求t 的值；（2）设正方形EFGH 与ABC ∆重叠面积为S ，请问是存在t 值，使得9136S =？若存在，求出t 值；若不存在，请说明理由；（3）如图2，取AC 的中点D ，连结OD ，当点E 、F 开始运动时，点M 从点O 出发，以每秒位的速度沿OD DC CD DO ---运动，到达点O 停止运动．请问在点E 的整个运动过程中，点M 可能在正方形EFGH 内（含边界）吗？如果可能，求出点M 在正方形EFGH 内（含边界）的时长；若不可能，请说明理由．8. （2020年湖南岳阳中考）如图1，在矩形ABCD 中，6,8AB BC ==，动点P ，Q 分别从C 点，A 点同时以每秒1个单位长度的速度出发，且分别在边,CA AB 上沿C A →，A B →的方向运动，当点Q 运动到点B 时，,P Q 两点同时停止运动，设点P 运动的时间为()t s ，连接PQ ，过点P 作PE PQ ⊥，PE 与边BC 相交于点E ，连接QE ．（1）如图2，当5t s =时，延长EP 交边AD 于点F ．求证：AF CE =；（2）在（1）的条件下，试探究线段,,AQ QE CE 三者之间的等量关系，并加以证明； （3）如图3，当94t s >时，延长EP 交边AD 于点F ，连接FQ ，若FQ 平分AFP ∠，求AF CE的值．9. （2020年湖南株洲中考）如图所示，BEF 的顶点E 在正方形ABCD 对角线AC 的延长线上，AE 与BF 交于点G ，连接AF 、CF ，满足ABF CBE △≌△．（1）求证：90EBF ∠=︒．（2）若正方形ABCD 的边长为1，2CE =，求tan AFC ∠的值．教师用：2021年中考数学——几何探究型问题1. （2020年湖南长沙中考）如图，点P 在以MN 为直径的半圆上运动（点P 不与M 、N 重合），PQ ⊥MN ，NE 平分∠MNP ，交PM 于点E ，交PQ 于点F 。

河南数学中考题型汇总几何探究题题型练习含答案类型 1 实践操作类探究题角度1 折叠类1.[2022河南]综合与实践综合与实践课上,老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动.(1)操作判断操作一:对折矩形纸片ABCD,使AD与BC重合,得到折痕EF,把纸片展平;操作二:在AD上选一点P,沿BP折叠,使点A落在矩形内部点M处,把纸片展平,连接PM,BM.根据以上操作,当点M在EF上时,写出图(1)中一个30°的角:.(2)迁移探究小华将矩形纸片换成正方形纸片,继续探究,过程如下.将正方形纸片ABCD按照(1)中的方式操作,并延长PM交CD于点Q,连接BQ.①如图(2),当点M在EF上时,∠MBQ= °,∠CBQ= °;②改变点P在AD上的位置(点P不与点A,D重合),如图(3),判断∠MBQ与∠CBQ的数量关系,并说明理由.(3)拓展应用在(2)的探究中,已知正方形纸片ABCD的边长为8 cm,当FQ=1 cm时,直接写出AP 的长.图(1)图(2)图(3)2.[2022河南省实验模拟]问题情境数学活动课上,同学们开展了以折叠为主题的探究活动,如图(1),已知矩形纸片ABCD(AD>AB),其中宽AB=8.动手实践(1)如图(1),威威同学将矩形纸片ABCD折叠,点A落在BC边上的点M处,折痕为BN,连接MN,然后将纸片展平,得到四边形ABMN,则折痕BN的长为;探究发现(2)如图(2),胜胜同学将图(1)中的四边形ABMN剪下,取AN边的中点E,将△ABE 沿BE折叠得到△A'BE,延长BA'交MN于点F.点Q为BM边的中点,点P是MN边上一动点,将△MQP沿PQ折叠,当点M的对应点M'落在线段BF上时,求此时tan∠PQM的值;反思提升(3)明明同学改变图(2)中点Q的位置,即点Q为BM边上一动点,点P仍是MN边上一动点,按照(2)中方式折叠△MQP,使点M'落在线段BF上,明明同学不断改变点Q 的位置,发现在某一位置∠QPM与(2)中的∠PQM相等,请直接写出此时BQ的长.图(1)图(2)备用图3.综合与实践——探究平行四边形折叠中的数学问题问题情境已知▱ABCD中,ÐA为锐角,AB<AD,点E,F分别是AB,CD边的中点,点G,H分别是AD,BC边上的点,分别沿EG和FH折叠▱ABCD,点A,C的对应点分别为点A',C'.操作分析(1)如图(1),点A'与点B重合,点C'与点D重合.①四边形BHDG 平行四边形(填“是”或“不是”).②当▱ABCD满足某个条件时,四边形BHDG能成为矩形.这个条件可以是.(2)点A',C'均落在▱ABCD内部(含边界),连接A'H,C'G,若AG=CH,则四边形A'HC'G是平行四边形吗?若是,请就图(2)进行证明;若不是,请说明理由.拓展探究(3)在(2)的条件下,若ÐA=60°,AD=2AB=8,且A'G与▱ABCD的一边平行,则此时四边形A'HC'G的面积为.图(1)图(2)备用图4.综合与实践数学活动课上,张老师找来若干张等宽的矩形纸条,让学生们进行折纸探究. (1)希望小组将如图(1)所示的矩形纸片ABCD沿过点A的直线折叠,使点D落在AB边上的点D'处,折痕为AE.填空:图(1)中四边形ADED'的形状是.(2)智慧小组准备了一张如图(2)所示的长、宽之比为3∶2的矩形纸片ABCD,用希望小组的方法折叠纸片,得到四边形ADED',接着沿过点B的直线折叠纸片,使点C落在ED'上的点M处,折痕为BF.求∠MBC的度数.(3)勤奋小组拿着一张如图(3)所示长为4,宽为2的矩形纸片ABCD,利用希望小组的方法折叠纸片,得到四边形ADED',在CE上取一点F(不与点C,E重合),沿BF 折叠△BCF,点C的对应点为N,射线FN交直线AB于点H.①HF与HB的数量关系为.②当射线FN经过△AED'的直角边的中点时,直接写出FC的长.图(1)图(2)图(3)5.综合与实践问题情境数学活动课上,老师让同学们以“矩形纸片的折叠”为主题,开展数学活动,如图(1),在矩形ABCD中,AB=8,BC=4.观察发现(1)如图(2),智慧小组连接对角线BD,将矩形纸片ABCD沿直线BD折叠,使点A落在点P的位置,PB交CD于点Q,连接AP.直接写出图中所有的等腰三角形:.(不再添加字母)探究证明(2)求实小组在智慧小组的启发下,又对矩形纸片ABCD进行了如下操作,并对其中所产生的问题进行了探究:如图(3),沿过点A的直线折叠,使点B的对应点F 落在CD上,折痕交BC于点E,过点F作FG∥BC交AE于点G,连接BG.①小组成员发现四边形BEFG是特殊四边形.请你判断四边形BEFG的形状,并说明理由.②小组成员通过计算求得四边形BEFG的面积.请你直接写出这个面积:.探索拓广(3)参照上面的探究方式,对图(1)进行一次折叠操作,使点B的对应点B'落在BD 的三等分点上,设折痕与AB交于点N.请直接写出BN的长.图(1)图(2)图(3)角度2 旋转类6.综合与实践——图形变换中的数学问题问题情境数学活动课上,老师出示了一个问题:如图(1),已知正方形ABCD、矩形BCEF,点E,F分别在边CD,AB上,且BF=k(3<k<5),BC=5.将矩形BCEF绕点B顺时针旋转得到矩形BGHK,点G,H,K分别是点C,E,F的对应点,如图(2).图(1)图(2)图(3)图(4)同学们通过小组合作,提出下列数学问题,请你解答.(1)在图(2)中,连接BE,BH,EH,CG,得到图(3),可以发现在旋转过程中存在一个三角形始终与△BCG相似,这个三角形是,它与△BCG的相似比为(用含k的式子表示).(2)如图(4),矩形BGHK的顶点K恰好落在正方形ABCD的对角线AC上,KH交DC 的延长线于点T.求证:BK=KT.(3)在旋转过程中,连接CH,CK.若k=23,则当CH=CK时,直接写出CK的长.备用图(1)备用图(2)角度3 平移类7.综合与实践问题背景如图(1),在矩形ABCD中,AB=10,BC=8,点E为边BC上一点,沿直线DE将矩形折叠,使点C落在AB边上的点C'处.问题解决(1)填空:AC'的长为.(2)如图(2),展开后,将△DC'E沿线段AB向右平移,使点C'的对应点与点B重合,得到△D'BE',D'E'与BC交于点F,D'B与DE交于点G.求EF的长.拓展探究(3)如图(3),在△DC'E沿射线AB向右平移的过程中,设点C'的对应点为C″,则当△D'C″E'在线段BC上截得的线段PQ(D'E',折线D'C″E'分别与BC交于点P,Q)的长度为2时,直接写出平移的距离.图(1)图(2)图(3)角度4 尺规作图类8.[2022南阳宛城区一调]下面是某数学兴趣小组探究用不同方法作线段AB的垂直平分线的讨论片段,请仔细阅读,并完成相应的任务.任务:(1)小明的作图依据是.(2)小军作图得到的直线CP是线段AB的垂直平分线吗?请判断并说明理由.(3)如图(3),已知△ABC中,CA=CB,∠ACB=30°,点D,E分别是射线CA,CB上的动点,且CD=CE,连接BD,AE,交点为P.当AB=6,∠PAB=45°时,请直接写出线段CD 的长.图(3)9.[2022开封二模]中华文明源远流长,图(1)是汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的图形,人们称它为“赵爽弦图”.2002年北京国际数学家大会依据赵爽弦图制作了会标,该图由4个全等的直角三角形围成一个大正方形和中间一个小正方形,巧妙地证明了勾股定理.问题发现如图(1),若直角三角形的直角边BC=3,斜边AB=5,则中间小正方形的边长CD= ,连接BD,△ABD的面积为.知识迁移如图(2),P是正方形ABCD内一点,连接PA,PB,PC,当∠BPC=90°,BP=10时,△PAB的面积为.拓展延伸如图(3),已知∠MBN=90°,以点B为圆心,适当长为半径画弧,分别交射线BM,BN 于点A,C.(1)已知D为线段AB上一动点,连接CD,过点B作BE⊥CD,垂足为点E,在线段CE 上取一点F,使EF=BE,过点F作GF⊥CD交BC于点G,试判断BE,DE,GF这三条线段之间的数量关系,并说明理由.(2)在(1)的条件下,若D为射线BM上一动点,F为射线EC上一点,当AB=10,CF=2时,直接写出线段DE的长.图(1)图(2)图(3)备用图类型 2 阅读理解类探究题10.[2022许昌二模]问题情境数学课上,王老师出示了这样一个问题:如图(1),在矩形ABCD中,AD=2AB,点E是AB延长线上一点,且BE=AB,连接DE,交BC于点M,以DE为一边在DE的左下方作正方形DEFG,连接AM.试判断线段AM与DE的位置关系.探究展示小明发现,AM垂直平分DE,并展示了如下的证明方法:证明:∵BE=AB,∴AE=2AB.又∵AD=2AB,∴AD=AE.∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC,∴.(平行线分线段成比例)∵BE=AB,∴EM=1,∴EM=DM,DM即AM是△ADE的边DE上的中线.又∵AD=AE,∴.(等腰三角形的“三线合一”)∴AM垂直平分DE.反思交流(1)请将上述证明过程补充完整;(2)小颖受到小明的启发,继续进行探究,如图(2),连接CE,以CE为一边在CE的左下方作正方形CEFG,发现点G在线段BC的垂直平分线上,请你给出证明;图(1)图(2)拓展应用(3)如图(3),连接CE,以CE为一边在CE的右上方作正方形CEFG,分别以点B,C 为圆心,m为半径作弧,两弧交于点M,连接MF.若MF=AB=1,请直接写出m的值.图(3)11.[2022商丘二模]如下是小明复习全等三角形时遇到的一个问题及由此引发的思考,请帮助小明完成以下学习任务.如图(1),OC平分∠AOB,点P在OC上,点M,N分别是OA,OB上的点,且OM=ON.求证:PM=PN.小明的思考:要证明PM=PN,只需证明△MOP≌△NOP即可.证明:如图(1),∵OC平分∠AOB,∴∠AOC=∠BOC.又∵OP=OP,OM=ON,∴△MOP≌△NOP,∴PM=PN.请仔细阅读并完成以下任务.(1)小明得出△MOP≌△NOP的依据是(填序号).①SSS ②SAS ③AAS ④ASA⑤HL(2)如图(2),在四边形ABCD中,AB=AD+BC,∠DAB的平分线和∠ABC的平分线交于CD边上的点P.求证:PC=PD.,当△PBC有一个内角是45°时,△PAD(3)在(2)的条件下,若AB=10,tan∠PAB=12的面积是.图(1)图(2)备用图(1)备用图(2)类型 3 类比、拓展探究题12.[2021湖北仙桃]已知△ABC和△DEC都为等腰三角形,AB=AC,DE=DC,∠BAC=∠EDC=n°.(1)当n=60时:①如图(1),当点D在AC上时,请直接写出BE与AD的数量关系:;②如图(2),当点D不在AC上时,判断线段BE与AD的数量关系,并说明理由.(2)当n=90时:①如图(3),探究线段BE 与AD 的数量关系,并说明理由; ②当BE ∥AC ,AB=3√2,AD=1时,请直接写出DC 的长.图(1) 图(2) 图(3)答案：1.(1)∠ABP ,∠PBM ,∠MBC 或∠BME (注:任意写出一个即可) (2)①15 15②∠MBQ=∠CBQ. 理由如下:∵四边形ABCD 是正方形,∴AB=BC ,∠A=∠C=90°. 由轴对称性质,得BM=AB ,∠BMP=∠A=90°,∴∠BMQ=90°=∠C ,BM=BC.又∵BQ 是公共边,∴Rt △MBQ ≌Rt △CBQ ,∴∠MBQ=∠CBQ.(3)4011 cm 或2413cm. 解法提示:由翻折的性质知AP=PM ,DF=CF=4. 由(2)可知,△MBQ ≌△CBQ ,∴MQ=CQ. 分两种情况讨论.①当点Q 在EF 下方时,如图(1),则MQ=CQ=4-1=3,DQ=4+1=5,PQ=AP+3,PD=8-AP. 由勾股定理,得PD 2+DQ 2=PQ 2,∴(8-AP )2+52=(AP+3)2,∴AP=4011.图(1)②当点Q 在EF 上方时,如图(2),则MQ=CQ=4+1=5,DQ=4-1=3,PQ=AP+5,PD=8-AP. 由勾股定理,得PD 2+DQ 2=PQ 2,∴(8-AP )2+32=(AP+5)2,∴AP=2413.图(2)综上所述,AP 的长为4011 cm 或2413cm. 2.(1)8√2(2)如图(1),连接MM'交PQ 于点O ,连接EF.图(1)由折叠的性质知,点O 为MM'的中点. 又∵点Q 为BM 边的中点,∴QO ∥BM',即QP ∥BF ,∴∠PQM=∠FBM.∵点E 是AN 边的中点,且将△ABE 沿BE 折叠得到△A'BE , ∴EN=EA',∠EA'F=∠N=90°. 又∵EF=EF ,∴Rt △NEF ≌Rt △A'EF. 设NF=x ,则A'F=x ,MF=8-x ,∴BF=BA'+A'F=BA+A'F=8+x.在Rt △BMF 中,由勾股定理,得BM 2+FM 2=BF 2, 即82+(8-x )2=(8+x )2,解得x=2,∴FM=6,∴tan ∠FBM=FM BM =68=34,∴tan ∠PQM=34. (3)BQ 的长为398. 解法提示:如图(2),连接MM'交PQ 于点G.图(2)由折叠的性质知,PQ 垂直平分MM',∴∠QPM+∠PMM'=90°.∵∠PMQ=90°,∴∠PMM'+∠M'MB=90°, ∴∠QPM=∠M'MB.由(2)知,(2)中∠PQM=∠M'BM. 又∵∠QPM 与(2)中的∠PQM 相等,∴∠M'BM=∠M'MB.过点M'作M'H ⊥BM 于点H ,则BH=MH=4,M'H BH =34, ∴M'H=3.设MQ=M'Q=a ,则HQ=4-a.在Rt △M'HQ 中,根据勾股定理,得M'H 2+HQ 2=M'Q 2, 即32+(4-a )2=a 2,解得a=258, ∴BQ=8-258=398. 3.(1)①是解法提示:∵四边形ABCD 是平行四边形,∴∠A=∠C ,∠ABC=∠ADC ,AD ∥BC. 如图(1),由折叠可知,∠A=∠1,∠C=∠2,图(1)∴∠1=∠2,∴∠ABC-∠1=∠ADC-∠2,即∠3=∠4. ∵AD ∥BC ,∴∠4+∠5=180°,∴∠3+∠5=180°, ∴BG ∥DH ,∴四边形BHDG 是平行四边形. ②∠A=45°(答案不唯一,正确即可) 解法提示:∵四边形BHDG 是矩形,∴∠BGD=90°,∴∠AGB=90°, 又由折叠可知,AG=A'G ,∴∠A=45°. (2)四边形A'HC'G 是平行四边形. 证明:如图(2),连接GH.图(2)∵四边形ABCD 是平行四边形, ∴∠A=∠C ,AB=CD ,AD ∥BC. ∵点E ,F 分别是AB ,CD 的中点,∴AE=12AB ,CF=12CD ,∴AE=CF. ∵AG=CH ,∴△AEG ≌△CFH , ∴∠1=∠3.由折叠可知,∠1=∠2,∠3=∠4,AG=A'G ,CH=C'H ,∴∠1=∠2=∠3=∠4,A'G=C'H. ∵AD ∥BC ,∴∠AGH=∠CHG ,∴∠5=∠6, ∴A'G ∥C'H ,∴四边形A'HC'G 是平行四边形. (3)2√3或4√3解法提示:当A'G ∥BC 时,如图(3),点A'落在AD 上,EG ⊥AD ,则A'G=AG=12AE=1,∴S 四边形A'HC'G =A'G ·AB sin 60°=1×4×√32=2√3.图(3)当A'G ∥AB 时,如图(4),则∠AGA'=120°,∴∠AGE=∠A'GE=60°,图(4)从而易得△AEG ,△A'EG ,△CHF ,△C'HF 均是等边三角形,EA'∥BC ,C'F ∥AD ,∴S 四边形A'HC'G =S ▱ABCD -4S △AEG -2S 四边形A'EBH=8×4×√32-4×√34×22-2×12×(2+6)×2×√32=4√3. 综上可知,四边形A'HC'G 的面积为2√3或4√3. 4.(1)正方形(2)由题意可知,AB∶AD=3∶2,∴设AD=2a ,AB=3a , ∴BM=BC=AD'=2a ,∴BD'=a ,∴sin ∠BMD'=a 2a =12,∴∠BMD'=30°.又ED'∥AD ∥BC ,∴∠MBC=∠BMD'=30°. (3)①HF=HB②FC 的长为3-√5或23. 解法提示:①∵DC ∥AB ,∴∠CFB=∠ABF. 由折叠可知∠CFB=∠NFB ,∴∠ABF=∠NFB ,∴HF=HB.②设FC=NF=x ,分两种情况讨论.a.当射线FN 经过AD'的中点时,点H 即为AD'的中点,如图(1),则HF=HB=3,∴HN=3-x.在Rt △HBN 中,由勾股定理,得HN 2+BN 2=HB 2,∴(3-x )2+22=32,解得x=3-√5(不合题意的值已舍去),∴FC=3-√5.图(1)b.当射线FN 经过ED'的中点P 时,如图(2), 易证△HD'P ≌△FEP ,∴HD'=EF=2-x ,∴HF=HB=2-x+2=4-x , ∴HN=4-x-x=4-2x.在Rt △HBN 中,由勾股定理,得BN 2+HN 2=HB 2,∴22+(4-2x )2=(4-x )2,解得x=23(不合题意的值已舍去),∴FC=23.图(2)综上可知,当射线FN 经过△AED'的直角边的中点时,FC 的长为3-√5或23. 5.(1)△ADP ,△ABP ,△BDQ (2)①四边形BEFG 是菱形. 理由如下:由折叠知∠BEG=∠FEG.∵FG ∥BC ,∴∠EGF=∠BEG , ∴∠EGF=∠FEG ,∴FG=FE. 又∵FE=BE ,∴FG=BE ,∴四边形BEFG 是平行四边形. 又∵FE=BE ,∴四边形BEFG 是菱形.②224-128√3解法提示:由折叠的性质知AF=AB=8.在Rt △ADF 中,由勾股定理得DF=√AF 2-AD 2=√82-42=4√3,∴CF=8-4√3. 设BE=y ,则EF=y ,CE=4-y.在Rt △CEF 中,由勾股定理得EF 2=CF 2+CE 2, 即y 2=(8-4√3)2+(4-y )2,解得y=16-8√3,∴S 四边形BEFG =BE ·CF=(16-8√3)×(8-4√3)=128-64√3-64√3+96=224-128√3.(3)BN 的长为103或53. 解法提示:分两种情况讨论.①当点B'落在离点D 较近的三等分点上时,如图(1),过点B'作B'H ⊥AB 于点H ,易知B'H=83,BH=163,B'N=BN ,∴HN=163-BN. 根据勾股定理,得B'H 2+HN 2=B'N 2,即(83)2+(163-BN )2=BN 2,∴BN=103.图(1) 图(2)②当点B'落在离点B 较近的三等分点上时,如图(2),同理可求得BN=53. 综上可知,BN 的长为103或53. 6.(1)△BEH√k 2+255(2)证明:如图(1),过点K 分别作KN ⊥BC 于点N ,KM ⊥CD 于点M , 则KN=KM ,∠MKN=90°=∠BKH ,∴∠TKM=∠BKN.又∠TMK=∠BNK=90°,∴△TMK ≌△BNK ,∴BK=KT.图(1)(3)CK 的长为√7或√67.解法提示:分如图(2)、图(3)所示的两种情况讨论,连接CG ,过点K 作KP ⊥BC ,垂足为点P.图(2)图(3)∵CK=CH ,∴∠CKH=∠CHK ,∴∠CKB=∠CHG. 又KB=HG ,∴△CKB ≌△CHG ,∴CG=CB=BG ,∴△CBG 是等边三角形, ∴∠CBG=60°. 图(2)中∠KBC=30°,∴KP=12KB=√3,BP=√32KB=3, ∴CP=2,∴CK=√(√3)2+22=√7. 图(3)中∠KBP=30°,∴KP=12KB=√3,BP=√32KB=3, ∴CP=8,∴CK=√(√3)2+82=√67. 综上可知,CK 的长为√7或√67. 7.(1)6(2)由(1)得AC'=6,∴BC'=AB -AC'=10-6=4.在Rt △BEC'中,设BE=x ,则EC'=EC=8-x ,根据勾股定理,得(8-x )2=x 2+42, 解得x=3,即BE=3,∴EC'=EC=5.连接EE',由平移可知,EE'=C'B=4,EE'∥AB ∥CD ,DE ∥D'E',∴△FEE'∽△FCD'∽△ECD , ∴EF∶EE'=EC∶DC=5∶10=1∶2, 又EE'=4,∴EF=2.(3)平移的距离为85或385. 解法提示:设平移的距离为x. 分两种情况讨论.①当点C″在BC 左侧时,如图(1),则BC″=4-x ,D'C=10-x ,∴CP=D'C ·tan ∠CD'P=D'C ·tan ∠CDE=510(10-x )=12(10-x ),BQ=BC″·tan ∠QC″B=BC″·tan ∠ADC'=68(4-x )=34(4-x ). 又CP+PQ+BQ=8,PQ=2,∴12(10-x )+2+34(4-x )=8,解得x=85.图(1) 图(2)②当点C″在BC 右侧时,如图(2),则BC″=x -4,D'C=10-x ,∴CP=D'C ·tan ∠CD'P=12(10-x ),BQ=BC″·tan ∠QC″B=BC″·tan ∠AC'D=43(x-4). 又CP+PQ+BQ=8,PQ=2,∴12(10-x )+2+43(x-4)=8,解得x=385.综上可知,平移的距离为85或385. 8.(1)等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合 (2)是. 理由如下:由作图可知,CA=CB ,CD=CE. 又∵∠ACE=∠BCD ,∴△ACE ≌△BCD , ∴∠CAE=∠CBD. ∵CA=CB ,∴∠CAB=∠CBA , ∴∠PAB=∠PBA ,∴AP=BP ,∴直线CP 是线段AB 的垂直平分线. (3)线段CD 的长为√3+1或3√3+3. 解法提示:∵CD=CE ,∠C=∠C ,CA=CB ,∴△CAE ≌△CBD ,∴∠CAE=∠CBD. ∵CA=CB ,∠ACB=30°, ∴∠CAB=∠CBA=75°,∴∠PBA=∠PAB=45°,∴∠APB=90°, ∴PA=PB=√22AB=√3. 分两种情况讨论.①当点P 在AB 上方时,如图(1),图(1)则∠DAP=∠EBP=30°,∠APD=90°,∴DB=DC ,DP=√33AP=1,∴CD=DB=√3+1. ②当点P 在AB 下方时,如图(2), 则∠DAP=∠EBP=60°,∠APD=90°,∴∠ADP=30°,∴BD=BC,DP=√3AP=3,AD=2AP=2√3,∴BC=BD=√3+3,∴CD=CA+AD=CB+AD=√3+3+2√3=3√3+3.综上可知,线段CD的长为√3+1或3√3+3.图(2) 9.问题发现192知识迁移 5拓展延伸(1)BE=DE+GF.理由:如图(1),过点G作GH⊥BE于点H.图(1)∵BE⊥CD,GF⊥CD,∴∠HEF=∠EFG=∠EHG=90°,∴四边形EFGH为矩形,∴EH=GF,EF=GH.∵EF=BE,∴GH=BE.∵∠MBN=90°,∠BHG=90°,∴∠1+∠2=90°,∠2+∠3=90°,∴∠1=∠3.又∵∠BED=∠GHB=90°,BE=GH,∴△BDE≌△GBH(ASA),∴DE=BH,∴BE=BH+EH=DE+GF.(2)92或323. 解法提示:分两种情况讨论.①当点F 在线段EC 上时,如图(2).图(2)由(1)可得BE=DE+GF. 设BE=EF=m ,则EC=m+2.在Rt △BEC 中,根据勾股定理,得BE 2+CE 2=BC 2, 即m 2+(m+2)2=102,解得m=6(负值已舍),∴BE=EF=6.易证△CFG ∽△CEB ,∴CF CE =GF BE ,即22+6=GF 6, ∴GF=32,∴DE=BE -GF=6-32=92. ②当点F 在线段EC 的延长线上时,如图(3).图(3)同(1)中方法可得BE=DE-GF. 设BE=EF=n ,则EC=n-2.在Rt △BEC 中,根据勾股定理,得BE 2+CE 2=BC 2, 即n 2+(n-2)2=102,解得n=8(负值已舍),∴BE=EF=8.易证△CFG ∽△CEB ,∴CF CE =GF BE ,即28−2=GF 8, ∴GF=83,∴DE=BE+GF=8+83=323.10.(1)EM DM =EBAB AM ⊥DE(2)证明:如图(1),过点G 作GH ⊥BC 于点H.图(1)∵四边形ABCD 是矩形,点E 在AB 的延长线上, ∴∠CBE=∠GHC=90°,∴∠BCE+∠BEC=90°. ∵四边形CEFG 为正方形, ∴CG=CE ,∠GCE=90°,∴∠BCE+∠BCG=90°,∴∠BEC=∠BCG , ∴△GHC ≌△CBE ,∴HC=BE. ∵AD=BC=2AB ,BE=AB ,∴BC=2BE=2HC , ∴HC=BH ,∴GH 垂直平分BC , 即点G 在线段BC 的垂直平分线上. (3)√5或√17.解法提示:同(2)中思路可证得点F 在线段BC 的垂直平分线上.如图(2),过点F 作FN ⊥BC 于点N ,连接CF ,则CF=√2CE=√2×√22+12=√10,CN=1,∴NF=√(√10)2-12=3.图(2)由作图过程可知,点M 在线段BC 的垂直平分线上,故分两种情况讨论.①当点M 在点F 左侧时,如图(3),连接MC ,图(3)则NM=3-1=2,∴m=CM=√22+12=√5.②当点M在点F右侧时,如图(4),连接MC,图(4)则NM=3+1=4,∴m=CM=√42+12=√17.综上可知,m的值为√5或√17.11.(1)②(2)如图(1),在AB上取点E,使得AE=AD,连接PE.图(1)∵AP平分∠DAE,∴∠DAP=∠EAP.又∵AP=AP,AD=AE,∴△DAP≌△EAP,∴PD=PE.∵AD+BC=AB=AE+BE,AD=AE,∴BC=BE.∵BP平分∠CBE,∴∠CBP=∠EBP.又∵BP=BP,∴△EBP≌△CBP,∴PE=PC,∴PC=PD.(3)8或403解法提示:如图(1),由(2)可得△DAP ≌△EAP ,△EBP ≌△CBP ,∴∠DPA=∠EPA ,∠CPB=∠EPB ,∠D=∠AEP ,∠C=∠BEP. 又∵∠DPA+∠EPA+∠CPB+∠EPB=180°,∠AEP+∠BEP=180°,∴∠APB=∠EPA+∠EPB=90°,∠D+∠C=180°, ∴AD ∥BC.在Rt △PAB 中,tan ∠PAB=12,∠APB=90°, 故可设BP=x ,AP=2x ,∴AB=√x 2+(2x)2=√5x=10, 解得x=2√5,∴AP=4√5,sin ∠PAB=1√5. 易知∠PBC>45°,故分两种情况讨论.①当∠C=45°时,如图(2),图(2)过点P 作PM ⊥AD ,交AD 的延长线于点M ,则∠MDP=∠C=45°,∴MP=MD. 又∵tan ∠MAP=tan ∠PAB=12,∴AM=2MP , ∴AD=MD=MP=AP ·sin ∠MAP=4, ∴S △PAD =12×4×4=8. ②当∠BPC=45°时,如图(3),图(3)过点D 作DN ⊥AP 于点N ,则∠DPN=180°-45°-90°=45°,∴NP=ND.∵tan ∠DAP=tan ∠PAB=12,∴AN=2ND. 又∵AP=AN+NP ,∴4√5=2ND+ND ,∴ND=4√53,∴S △PAD =12×4√5×4√53=403. 综上可知,△PAD 的面积为8或403.12.(1)①BE=AD②BE=AD. 理由如下:当点D 不在AC 上时,∵∠ACB=∠ACD+∠DCB=60°,∠DCE=∠BCE+∠DCB=60°,∴∠ACD=∠BCE. 在△ACD 和△BCE中,{AC =BC,∠ACD =∠BCE,DC =EC,∴△ACD ≌△BCE ,∴AD=BE. (2)①BE=√2AD. 理由如下:当n=90时,在等腰直角三角形DEC 中,DC EC =sin 45°=√22, 在等腰直角三角形ABC 中,AC BC =sin 45°=√22.∵∠ACB=∠ACE+∠ECB=45°,∠DCE=∠ACE+∠DCA=45°,∴∠ECB=∠DCA. 在△DCA 和△ECB中,{DCEC=AC BC=√22,∠DCA =∠ECB,∴△DCA ∽△ECB ,∴AD BE =√22,∴BE=√2AD. ②5或√13.解法提示:当点D 在△ABC 外部时,设EC 与AB 交于点F ,如图(1)所示.图(1)∵AB=3√2,AD=1,由上可知:AC=AB=3√2,BE=√2AD=√2. 又∵BE ∥AC ,∴∠EBF=∠CAF=90°.而∠EFB=∠CFA ,∴△EFB ∽△CFA ,∴EF CF =BF AF =BE AC =√23√2=13,∴AF=3BF ,而AB=BF+AF=3√2,∴BF=14×3√2=3√24. 在Rt △EBF 中,EF=√EB 2+BF 2=(√2)2+(3√24)2=5√24. 又∵CF=3EF=3×5√24=15√24, ∴EC=EF+CF=5√24+15√24=5√2. 在等腰直角三角形DEC 中,DC=EC ·sin 45°=5√2×√22=5.当点D 在△ABC 内部时,设AB 延长线与CE 延长线交于点F ,如图(2),图(2)∵AB=3√2,AD=1,由上可知:AC=AB=3√2,BC=√2AB=6,BE=√2AD=√2. 又∵BE ∥AC ,∴△EFB ∽△CFA ,∴FB FA =BE AC =13, ∴BF=12AB=3√22,AF=AB+BF=3√2+3√22=9√22. 在Rt △ACF 中,CF=√AC 2+AF 2=3√262.CE=23CF=23×3√262=√26. 在等腰直角三角形DEC 中,DC=√22CE=√13. 综上所述,满足条件的CD 的值为5或√13.。

中考数学复习《几何探究型问题》经典题型及测试题（含答案）题型解读1.考查类型：①动点探究题；②平移、旋转、折叠探究题；③图形形状变化探究题.2.考查内容：①多与特殊四边形的性质、三角形全等、相似的判定和性质有关；②涉及平移、旋转或折叠的相关性质；③多与二次函数的性质有关.3.备考指导：在做此类题型时，要观察题中已知条件，并结合题设，联系相关的知识解题，对结果猜想题根据前面问题大胆猜想，往往是解题的突破口．类型一动点探究题1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5 cm，∠BAC＝60°，动点M从点B出发，在BA边上以每秒2 cm的速度向点A匀速运动，同时动点N从点C出发，在CB边上以每秒3 cm的速度向点B匀速运动，设运动时间为t秒(0≤t≤5)，连接MN.(1)若BM＝BN，求t的值；(2)若△MBN与△ABC相似，求t的值；(3)当t为何值时，四边形ACNM的面积最小？并求出最小值．2.如图①，菱形ABCD中，已知∠BAD＝120°，∠EGF＝60°，∠EGF的顶点G在菱形对角线AC上运动，角的两边分别交边BC、CD于点E、F.(1)如图②，当顶点G运动到与点A重合时，求证：EC＋CF＝BC；(2)知识探究：①如图③，当顶点G运动到AC中点时，探究线段EC、CF与BC的数量关系；②在顶点G 的运动过程中，若ACCG ＝t ，请直接写出线段EC 、CF 与BC 的数量关系(不需要写出证明过程)；(3)问题解决：如图④，已知菱形边长为8，BG ＝7，CF ＝65，当t ＞2时，求EC 的长度．图①3.已知：如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6 cm ，BC ＝8 cm .对角线AC ，BD 交于点O ，点P 从点A 出发，沿AD 方向匀速运动，速度为1 cm /s ；同时，点Q 从点D 出发，沿DC 方向匀速运动，速度为1 cm /s ；当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．连接PO 并延长，交BC 于点E ，过点Q 作QF∥AC，交BD 于点F.设运动时间为t(s )(0<t<6)，解答下列问题： (1)当t 为何值时，△AOP 是等腰三角形？(2)设五边形OECQF 的面积为S(cm 2)，试确定S 与t 的函数关系式；(3)在运动过程中，是否存在某一时刻t ，使S 五边形OECQF ∶S △ACD ＝9∶16？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由；(4)在运动过程中，是否存在某一时刻t ，使OD 平分∠COP？若存在，求出t 值；若不存在，请说明理由．4.某数学兴趣小组在数学课外活动中，研究三角形和正方形的性质时，做了如下探究：在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，点D 为直线BC 上一动点(点D 不与B ，C 重合)，以AD 为边在AD 右侧作正方形ADEF ，连接CF. (1)观察猜想如图①，当点D 在线段BC 上时，①BC 与CF 的位置关系为：____________． ②BC ，CD ，CF 之间的数量关系为：____________(将结论直接写在横线上)． (2)数学思考如图②，当点D 在线段CB 的延长线上时，结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明． (3)拓展延伸如图③，当点D 在线段BC 的延长线上时，延长BA 交CF 于点G ，连接GE.若已知AB ＝22，CD ＝14BC ，请求出GE 的长．类型二 平移、旋转、折叠探究题5.如图①，△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，四边形ADEF 是正方形，点B 、C 分别在边AD、AF上，此时BD＝CF，BD⊥CF成立．(1)当△ABC绕点A逆时针旋转θ(0°<θ<90°)时，如图②，BD＝CF成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．(2)当△ABC绕点A逆时针旋转45°时，如图③，延长DB交CF于点H.①求证：BD⊥CF；②当AB＝2，AD＝32时，求线段DH的长．图①图②图③6.在△ABC中，AB＝6，AC＝BC＝5，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转，得到△ADE，旋转角为α(0°＜α＜180°)，点B的对应点为点D，点C的对应点为点E，连接BD，BE.(1)如图，当α＝60°时，延长BE交AD于点F.①求证：△ABD是等边三角形；②求证：BF⊥AD，AF＝DF；③请直接．．写出BE的长；(2)在旋转过程中，过点D作DG垂直于直线AB，垂足为点G，连接CE，当∠DAG＝∠ACB，且线段DG与线段AE无公共点时，请直接．．写出BE＋CE的值．温馨提示：考生可以根据题意，在备用图中补充图形，以便作答．7.已知矩形ABCD中AD＝8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处．(1)如图①，已知折痕与边BC交于点O，连接AP、OP、OA，若△OCP与△PDA的面积比为1∶ 4，求边CD 的长；(2)如图②，在(1)的条件下擦去AO、OP，连接BP，动点M在线段AP上(点M不与点P、A重合)，动点N 在线段AB的延长线上，且BN＝PM，连接MN交PB于点F，作ME⊥BP于点E，试问当点M、N在移动过程中，线段EF的长度是否发生变化？若变化，说明变化规律，若不变，求出线段EF的长度．图①图②8.问题情境在综合与实践课上，老师让同学们以“菱形纸片的剪拼”为主题开展数学活动．如图①，将一张菱形纸片ABCD(∠BAD>90°)沿对角线AC剪开，得到△ABC和△ACD.操作发现(1)将图①中的△ACD以A为旋转中心，按逆时针方向旋转角α，使α＝∠BAC，得到如图②所示的△AC′D，分别延长BC和DC′交于点E，则四边形ACEC′的形状是________；(2)创新小组将图①中的△ACD以A为旋转中心，按逆时针方向旋转角α，使α＝2∠BAC，得到如图③所示的△AC′D，连接DB、C′C，得到四边形BCC′D，发现它是矩形．请你证明这个结论；实践探究(3)缜密小组在创新小组发现结论的基础上，量得图③中BC＝13 cm，AC＝10 cm，然后提出一个问题：将△AC′D沿着射线DB方向平移a cm，得到△A′C″D′，连接BD′，CC″，使四边形BCC″D′恰好为正方形，求a的值．请你解答此问题；(4)请你参照以上操作，将图①中的△ACD在同一平面内进行一次平移，得到△A′C′D，在图④中画出平移后构造出的新图形，标明字母，说明平移及构图方法，写出你发现的结论，不必证明．9.如图，已知一个直角三角形纸片ACB，其中∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，E、F分别是AC、AB边上的点，连接EF.(1)如图①，若将纸片ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在AB边上的点D处，且使S四边形ECBF＝3S△EDF，求AE的长；(2)如图②，若将纸片ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在BC边上的点M处，且使MF∥CA.①试判断四边形AEMF的形状，并证明你的结论；②求EF的长；(3)如图③，若FE 的延长线与BC 的延长线交于点N ，CN ＝1，CE ＝47，求AFBF的值．10.如图①，矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝5，BP ＝1，∠MPN ＝90°，将∠MPN 绕点P 从PB 处开始按顺时针方向旋转，PM 交边AB(或AD)于点E ，PN 交边AD(或CD)于点F ，当PN 旋转至PC 处时，∠MPN 的旋转随即停止．(1)特殊情形：如图②，发现当PM 过点A 时，PN 也恰好过点D ， 此时，△ABP________△PCD(填“≌”或“∽”)；(2)类比探究：如图③，在旋转过程中，PEPF 的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由；(3)拓展延伸：设AE ＝t ，△EPF 的面积为S ，试确定S 关于t 的函数关系式；当S ＝4.2时，求所对应的t 值．11.如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝1，D为AB的中点，EF为△ACD的中位线，四边形EFGH为△ACD的内接矩形(矩形的四个顶点均在△ACD的边上)．(1)计算矩形EFGH的面积；(2)将矩形EFGH沿AB向右平移，F落在BC上时停止移动．在平移过程中，当矩形与△CBD重叠部分的面积为316时，求矩形平移的距离；(3)如图③，将(2)中矩形平移停止时所得的矩形记为矩形E1F1G1H1，将矩形E1F1G1H1绕G1点按顺时针方向旋转，当H1落在CD上时停止转动，旋转后的矩形记为矩形E2F2G1H2，设旋转角为α，求cosα的值．类型三图形形状变化探究题12.如图①，②，③分别以△ABC的AB和AC为边向△ABC外作正三角形(等边三角形)、正四边形(正方形)、正五边形，BE和CD相交于点O.(1)在图①中，求证：△ABE≌△ADC.图①(2)由(1)证得△ABE≌△ADC，由此可推得在图①中∠BOC＝120°，请你探索在图②中∠BOC的度数，并说明理由或写出证明过程．图②(3)填空：在上述(1)(2)的基础上可得在图③中∠BOC＝________(填写度数)．图③图④(4)由此推广到一般情形(如图④)，分别以△ABC的AB和AC为边向△ABC外作正n边形，BE和CD仍相交于点O，猜想∠BOC的度数为____________________(用含n的式子表示)．13.阅读理解：我们知道，四边形具有不稳定性，容易变形．如图①，一个矩形发生变形后成为一个平行四边形，设这个平行四边形相邻两个内角中较小的一个内角为α，我们把1sinα的值叫做这个平行四边形的变形度．(1)若矩形发生形变后的平行四边形有一个内角是120°，则这个平行四边形的变形度是________；猜想证明：(2)设矩形的面积为S1，其变形后的平行四边形面积为S2，试猜想S1，S2，1sinα之间的数量关系，并说明理由；拓展探究：(3)如图②，在矩形ABCD中，E是AD边上的一点，且AB2＝AE·AD，这个矩形发生变形后为平行四边形A1B1C1D1，E1为E的对应点，连接B1E1，B1D1，若矩形ABCD的面积为4m(m>0)，平行四边形A1B1C1D1的面积为2m(m>0)，试求∠A1E1B1＋∠A1D1B1的度数．14.已知AC ，EC 分别为四边形ABCD 和EFCG 的对角线，点E 在△ABC 内，∠CAE ＋∠CBE＝90°. (1)如图①，当四边形ABCD 和EFCG 均为正方形时，连接BF. ①求证：△CAE∽△CBF； ②若BE ＝1，AE ＝2，求CE 的长；(2)如图②，当四边形ABCD 和EFCG 均为矩形，且AB BC ＝EFFC ＝k 时，若BE ＝1，AE ＝2，CE ＝3，求k 的值；(3)如图③，当四边形ABCD 和EFCG 均为菱形，且∠DAB ＝∠GEF＝45°时，设BE ＝m ，AE ＝n ，CE ＝p ，试探究m ，n ，p 三者之间满足的等量关系(直接写出结果，不必写出解答过程)．15.已知点O 是△ABC 内任意一点，连接OA 并延长到E ，使得AE ＝OA ，以OB ，OC 为邻边作▱OBFC ，连接OF ，与BC 交于点H ，再连接EF.(1)如图①，若△ABC 为等边三角形，求证：①EF⊥BC； ②EF ＝3BC ；(2)如图②，若△ABC 为等腰直角三角形(BC 为斜边)，猜想(1)中的两个结论是否成立？若成立，直接写出结论即可；若不成立，请你直接写出你的猜想结果；(3)如图③，若△ABC 是等腰三角形，且AB ＝AC ＝kBC ，请你直接写出EF 与BC 之间的数量关系．类型一 动点探究题1. 解：(1)根据题意BM ＝2t ，BN ＝BC －3t ，而BC ＝5×tan 60°＝5 3.∴当BM ＝BN 时，2t ＝53－3t ，解得t ＝103－15. (2)分类讨论：①当∠BMN ＝∠ACB ＝90°时，如解图①， △NBM ∽△ABC ，cos B ＝cos 30°＝BM BN ，∴2t 53－3t ＝32，解得t ＝157.②当∠BNM ＝∠ACB ＝90°时，如解图②， △MBN ∽△ABC ，cos B ＝cos 30°＝BNBM， ∴53－3t 2t ＝32，解得t ＝52. 因此当运动时间是157秒或52秒时，△MBN 与△ABC 相似．第1题解图(3)由于△ABC 面积是定值，∴当四边形ACNM 面积最小时，△MBN 面积最大， 而△MBN 的面积是S ＝12BM ×BN ×sin B＝12×2t ×(53－3t)×12＝－32t 2＋532t ， 由于a ＝－32＜0， ∴当t ＝－5322×（－32）＝52时，△MBN 面积最大，最大值是－32×(52)2＋532×52＝2538， 因此四边形ACNM 面积最小值是12×5×53－2538＝7538.2. (1)证明：∵四边形ABCD 是菱形，∠BAD ＝120°，∴∠BAC ＝60°，∠B ＝∠ACF ＝60°，AB ＝BC ， ∴AB ＝AC ，∵∠BAE ＋∠EAC ＝∠EAC ＋∠CAF ＝60°， ∴∠BAE ＝∠CAF ， 在△BAE 和△CAF 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠BAE ＝∠CAF AB ＝AC ∠B ＝∠ACF， ∴△BAE ≌△CAF(ASA )， ∴BE ＝CF ，∴EC ＋CF ＝EC ＋BE ＝BC ，即EC ＋CF ＝BC ；(2)解：①线段EC ，CF 与BC 的数量关系为： EC ＋CF ＝12BC.理由如下：如解图①，过点A 作AE′∥EG ，AF ′∥GF ，分别交BC 、CD 于E′、F′.第2题解图①类比(1)可得：E′C ＋CF′＝BC ， ∵G 为AC 中点，AE ′∥EG ， ∴CE CE′＝CG AC ＝12， ∴CE ＝12CE′，同理可得：CF ＝12CF′，∴CE ＋CF ＝12CE′＋12CF′＝12(CE′＋CF′)＝12BC ，即CE ＋CF ＝12BC ；②CE ＋CF ＝1tBC ；【解法提示】类比(1)可得：E′C ＋CF′＝BC ， ∵AE ′∥EG ，ACCG ＝t ，∴CE CE′＝CG AC ＝1t，∴CE ＝1tCE′，同理可得：CF ＝1tCF′，∴CE ＋CF ＝1t CE′＋1t CF′＝1t (CE′＋CF′)＝1t BC ，即CE ＋CF ＝1tBC.(3)解：如解图②，连接BD 与AC 交于点H.第2题解图②在Rt △ABH 中，∵AB ＝8，∠BAC ＝60°， ∴BH ＝AB·sin 60°＝8×32＝43， AH ＝CH ＝AB·cos 60°＝8×12＝4，∴GH ＝BG 2－BH 2＝72－（43）2＝1， ∴CG ＝4－1＝3， ∴CG AC ＝38， ∴t ＝83(t ＞2)，由(2)②得：CE ＋CF ＝1t BC ，∴CE ＝1t BC －CF ＝38×8－65＝95.∴EC 的长度为95.3. 解：(1)分三种情况： ①若AP ＝AO ，在矩形ABCD 中，∵AB ＝6，BC ＝8， ∴AC ＝10，第3题解图①∴AO ＝CO ＝5，∴AP ＝5， ∴t ＝5，②若AP ＝PO ＝t ， 在矩形ABCD 中， ∵AD ∥BC ，∴∠PAO ＝∠OCE ，∠APO ＝∠OEC ， 又∵OA ＝OC ，∴△APO ≌△CEO ，∴PO ＝OE ＝t.如解图①，作AG ∥PE 交BC 于点G ，则四边形APEG 是平行四边形， ∴AG ＝PE ＝2t ，GE ＝AP ＝t. 又∵EC ＝AP ＝t ，∴BG ＝8－2t.在Rt △ABG 中，根据勾股定理知62＋(8－2t)2＝(2t)2， 解得t ＝258.第3题解图②③若OP ＝AO ＝5，则t ＝0或t ＝8，不合题意，舍去． 综上可知，当t ＝5或t ＝258时，△AOP 是等腰三角形．(2)如解图②，作OM ⊥BC ，垂足是M ，作ON ⊥CD ，垂足是N. 则OM ＝12AB ＝3，ON ＝12BC ＝4，∴S △OEC ＝12·CE·OM ＝12·t·3＝32t ，S △OCD ＝12·CD·ON ＝12·6·4＝12.∵QF ∥AC ，∴△DFQ ∽△DOC ， ∴S △DFQ S △DOC ＝(DQ DC)2，即S △DFQ 12＝(t 6)2，∴S △DFQ ＝13t 2，∴S 四边形OFQC ＝12－13t 2，∴S 五边形OECQF ＝S 四边形OFQC ＋S △OEC ＝12－13t 2＋32t ，即S ＝－13t 2＋32t ＋12(0＜t ＜6)．(3)存在．理由如下：要使S 五边形OECQF ：S △ACD ＝9∶16，即(－13t 2＋32t ＋12)∶(12×6×8)＝9∶16，解得t 1＝3，t 2＝1.5，两个解都符合题意，∴存在两个t 值，使S 五边形OECQF ∶S △ACD ＝9∶16，此时t 1＝3，t 2＝1.5； (4)存在．理由如下：如解图③，作DI ⊥OP ，垂足是I ，DJ ⊥OC ，垂足是J ，第3题解图③作AG ∥PE 交BC 于点G.∵S △OCD ＝12·OC·DJ ＝12·5·DJ ，且由(2)知，S △OCD ＝12，∴DJ ＝245.∵OD 平分∠POC ，DI ⊥OP ，DJ ⊥OC ， ∴DI ＝DJ ＝245＝4.8.∵AG ∥PE ，∴∠DPI ＝∠DAG .∵AD ∥BC ，∴∠DAG ＝∠AGB ，∴∠DPI ＝∠AGB ， ∴Rt △ABG ∽Rt △DIP.由(1)知，在Rt △ABG 中，BG ＝8－2t ， ∴AB DI ＝BG IP ，∴64.8＝8－2t IP， ∴IP ＝45(8－2t)．在Rt △DPI 中，根据勾股定理得 (245)2＋[45(8－2t)]2＝(8－t)2， 解得t ＝11239.(t ＝0不合题意，舍去)4. (1)解：①BC ⊥CF ；②BC ＝CD ＋CF. 【解法提示】①∵∠BAC ＝∠DAF ＝90°， ∴∠BAD ＝∠CAF ， 又∵AB ＝AC ，AD ＝AF ， ∴△ABD ≌△ACF ， ∴∠ACF ＝∠ABC ＝45°， ∵∠ACB ＝45°，∴∠BCF ＝90°，即BC ⊥CF ； ②∵△ABD ≌△ACF ， ∴BD ＝CF ， ∵BC ＝CD ＋BD ， ∴BC ＝CD ＋CF.(2)解：结论①仍然成立，②不成立． ①证明：∵∠BAC ＝∠DAF ＝90°， ∴∠BAD ＝∠CAF ，又∵AB ＝AC ，AD ＝AF ， ∴△ABD ≌△ACF ，∴∠ACF ＝∠ABD ＝180°－45°＝135°， ∵∠ACB ＝45°， ∴∠BCF ＝90°，即BC ⊥CF ； ②结论为：BC ＝CD －CF. 证明：∵△ABD ≌△ACF ， ∴BD ＝CF ，∵BC ＝CD －BD ，∴BC ＝CD －CF.(3)解：如解图，过点E 作EM ⊥CF 于M ，作EN ⊥BD 于点N ，过点A 作AH ⊥BD 于点H. ∵AB ＝AC ＝22，第4题解图∴BC ＝4，AH ＝12BC ＝2，∵CD ＝14BC ，∴CD ＝1，∵∠BAC ＝∠DAF ＝90°， ∴∠BAD ＝∠CAF ，又∵AB ＝AC ，AD ＝AF ， ∴△ABD ≌△ACF ， ∴∠ACF ＝∠ABC ＝45°， ∵∠ACB ＝45°， ∴∠BCF ＝90°，∴CN ＝ME ，CM ＝EN ， ∴∠AGC ＝∠ABC ＝45°， ∴CG ＝BC ＝4，∵∠ADE ＝90°，∴∠ADH ＋∠EDN ＝∠EDN ＋∠DEN ＝90°， ∴∠ADH ＝∠DEN ，又∵∠AHC ＝∠DNE ＝90°，AD ＝DE ， ∴△AHD ≌△DNE ，∴DN ＝AH ＝2，EN ＝DH ＝3， ∴CM ＝EN ＝3，ME ＝CN ＝3， 则GM ＝CG －CM ＝4－3＝1， ∴EG ＝EM 2＋GM 2＝10.类型二 平移、旋转、折叠探究题5. (1)解：BD ＝CF 成立．理由如下：∵AC ＝AB ，∠CAF ＝∠BAD ＝θ，AF ＝AD ， ∴△ACF ≌△ABD ，∴CF ＝BD.(2)①证明：由(1)得，△ACF ≌△ABD ， ∴∠HFN ＝∠ADN ， 在△HFN 与△ADN 中，∵∠HFN ＝∠ADN ，∠HNF ＝∠AND ， ∴∠NHF ＝∠NAD ＝90°，第5题解图∴HD ⊥HF ，即BD ⊥CF.②解：如解图，连接DF ，延长AB ，与DF 交于点M ， 在△MAD 中，∵∠MAD ＝∠MDA ＝45°， ∴∠BMD ＝90°.在Rt △BMD 与Rt △FHD 中， ∵∠MDB ＝∠HDF ，∴△BMD ∽△FHD.∵AB ＝2，AD ＝32，四边形ADEF 是正方形， ∴MA ＝MD ＝322＝3，∴MB ＝MA －AB ＝3－2＝1，BD ＝MB 2＋MD 2＝12＋32＝10， 又∵MD HD ＝BD FD ，即3HD ＝106，∴DH ＝9105.6. (1)①证明：∵△ABC 绕点A 顺时针方向旋转60°得到△ADE ， ∴AB ＝AD ，∠BAD ＝60°， ∴△ABD 是等边三角形；②证明：由①得△ABD 是等边三角形， ∴AB ＝BD ，∵△ABC绕点A顺时针方向旋转60°得到△ADE，∴AC＝AE，BC＝DE，又∵AC＝BC，∴EA＝ED，∴点B，E在AD的中垂线上，∴BE是AD的中垂线，∵点F在BE的延长线上，∴BF⊥AD，AF＝DF；③解：BE的长为33－4；【解法提示】由②知AF＝12AD＝12AB＝3，AE＝AC＝5，BF⊥AD，由勾股定理得EF＝AE2－AF2＝4.在等边△ABD中，AB＝6，BF⊥AD，∴BF＝32AB＝33，∴BE＝33－4.(2)解：BE＋CE的值为13；第6题解图【解法提示】如解图，∵∠DAG＝∠ACB，∴∠DAB＝2∠CAB.∵∠DAE＝∠CAB，∴∠BAE＝∠CAB，∴∠BAE＝∠CBA，∴AE∥BC，∵AE＝AC＝BC，∴四边形ACBE是菱形，∴CE 垂直平分AB ，BE ＝AC ＝5.设CE 交AB 于M ，则CM ⊥AB ，CM ＝EM ，AM ＝BM ， ∴在Rt △ACM 中，AC ＝5，AM ＝3， 由勾股定理得CM ＝4， ∴CE ＝8， ∴CE ＋BE ＝13.7. 解：(1)由矩形性质与折叠可知，∠APO ＝∠B ＝∠C ＝∠D ＝90°， ∴∠CPO ＋∠DPA ＝∠DPA ＋∠DAP ＝90°， ∴∠DAP ＝∠CPO ， ∴△OCP ∽△PDA ， ∴S △OCP S △PDA ＝(CP DA)2，即14＝(CP8)2，∴CP ＝4，设CD ＝x ，则DP ＝x －4，AP ＝AB ＝CD ＝x ， ∵AP 2－DP 2＝AD 2， ∴x 2－(x －4)2＝82， 解得x ＝10， 故CD ＝10. (2)第7题解图线段EF 的长度始终不发生变化，为2 5.证明：如解图，过点N 作NG ⊥PB ，与PB 的延长线相交于点G ， ∵AB ＝AP ，∴∠APB ＝∠ABP ＝∠GBN ， 在△PME 和△BNG 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠MEP ＝∠NGB ＝90°∠MPE ＝∠NBG MP ＝NB， ∴△PME ≌△BNG(AAS )， ∴ME ＝NG ，PE ＝BG ， 在△FME 和△FNG 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠MEF ＝∠NGF ∠MFE ＝∠NFG ME ＝NG，∴△FME ≌△FNG(AAS )， ∴EF ＝GF ， ∴EF ＝12EG ，∵BP ＝BE ＋EP ＝BE ＋GB ＝EG ， ∴EF ＝12BP ，∵BP ＝BC 2＋CP 2＝82＋42＝45， ∴EF ＝12BP ＝2 5.8. (1)解：菱形．(2)证明：如解图①，作AE ⊥CC′于点E ， 由旋转得AC′＝AC ，∴∠CAE ＝∠C′AE ＝12α＝∠BAC ，第8题解图①∵四边形ABCD 是菱形， ∴BA ＝BC ，BC ＝DC′， ∴∠BCA ＝∠BAC ， ∴∠CAE ＝∠BCA ， ∴AE ∥BC ， 同理AE ∥DC′， ∴BC ∥DC ′，∴四边形BCC′D 是平行四边形， 又∵AE ∥BC ，∠CEA ＝90°， ∴∠BCC ′＝180°－∠CEA ＝90°，∴四边形BCC′D 是矩形．(3)解：如解图①，过点B 作BF ⊥AC 于点F ， ∵BA ＝BC ，∴CF ＝AF ＝12AC ＝12×10＝5.在Rt △BCF 中，BF ＝BC 2－CF 2＝132－52＝12. 在△ACE 和△CBF 中，∵∠CAE ＝∠BCF ，∠CEA ＝∠BFC ＝90°， ∴△ACE ∽△CBF ， ∴CE BF ＝AC BC ，即CE 12＝1013， 解得CE ＝12013.∵AC ＝AC′，AE ⊥CC ′， ∴CC ′＝2CE ＝2×12013＝24013.当四边形BCC″D′恰好为正方形时，分两种情况： ①点C″在边CC′上，a ＝CC′－13＝24013－13＝7113，②点C″在边C′C 的延长线上，a ＝CC′＋13＝24013＋13＝40913.综上所述，a 的值为7113或40913.第8题解图②(4)解：答案不唯一，例：画出正确图形如解图②所示．平移及构图方法：将△ACD 沿着射线CA 方向平移，平移距离为12AC 的长度，得到△A ′C ′D ，连接A′B ，DC.结论：四边形A′BCD 是平行四边形．9. 解：(1)∵折叠后点A 落在AB 边上的点D 处， ∴EF ⊥AB ，△AEF ≌△DEF ， ∴S △AEF ＝S △DEF .∵S 四边形ECBF ＝3S △EDF ，∴S 四边形ECBF ＝3S △AEF .∵S △ACB ＝S △AEF ＋S 四边形ECBF ，∴S △ACB ＝S △AEF ＋3S △AEF ＝4S △AEF ， ∴S △AEF S △ACB ＝14. ∵∠EAF ＝∠BAC ，∠AFE ＝∠ACB ＝90°， ∴△AEF ∽△ABC ， ∴S △AEF S △ABC ＝(AE AB )2， ∴(AE AB )2＝14. 在Rt △ACB 中，∵∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝3， ∴AB ＝42＋32＝5， ∴(AE 5)2＝14，∴AE ＝52.(2)第9题解图①①四边形AEMF 是菱形．证明：如解图①，∵折叠后点A 落在BC 边上的点M 处， ∴∠CAB ＝∠EMF ，AE ＝ME ， 又∵MF ∥CA ，∴∠CEM ＝∠EMF ， ∴∠CAB ＝∠CEM ， ∴EM ∥AF ，∴四边形AEMF 是平行四边形． 又∵AE ＝ME ，∴四边形AEMF 是菱形．②如解图①，连接AM ，AM 与EF 交于点O ，设AE ＝x ，则ME ＝AE ＝x ，EC ＝4－x. ∵∠CEM ＝∠CAB ，∠ECM ＝∠ACB ＝90°， ∴△ECM ∽△ACB. ∴EC AC ＝EMAB ， ∵AB ＝5，AC ＝4， ∴4－x 4＝x5， 解得x ＝209，∴AE ＝ME ＝209，EC ＝169.在Rt △ECM 中，∵∠ECM ＝90°，∴CM 2＝EM 2－EC 2， 即CM ＝EM 2－EC 2＝（209）2－（169）2＝43. ∵四边形AEMF 是菱形，∴OE ＝OF ，OA ＝OM ，AM ⊥EF ， ∴S 菱形AEMF ＝4S △AOE ＝2OE·AO. 在Rt △AOE 和Rt △ACM 中， ∵tan ∠EAO ＝tan ∠MAC ， ∴OE AO ＝CM AC. ∵CM ＝43，AC ＝4，∴AO ＝3OE ，∴S 菱形AEMF ＝6OE 2. 又∵S 菱形AEMF ＝AE·CM ，∴6OE 2＝209×43，∴OE ＝2109，∴EF ＝4109. (3)如解图②，第9题解图②过点F 作FH ⊥CB 于点H ，在Rt △NCE 和Rt △NHF 中， ∵tan ∠ENC ＝tan ∠FNH ， ∴EC NC ＝FH NH， ∵NC ＝1，EC ＝47，∴FH NH ＝47， 设FH ＝x ，则NH ＝74x ，∴CH ＝NH －NC ＝74x －1.∵BC ＝3，∴BH ＝BC －CH ＝3－(74x －1)＝4－74x.在Rt △BHF 和Rt △BCA 中，∵tan ∠FBH ＝tan ∠ABC ， ∴HF BH ＝CA BC ， ∴x4－74x ＝43， 解得x ＝85，∴HF ＝85.∵∠B ＝∠B ，∠BHF ＝∠BCA ＝90°， ∴△BHF ∽△BCA ， ∴HF CA ＝BFBA，即HF·BA ＝CA·BF ， ∴85×5＝4BF ，∴BF ＝2，∴AF ＝AB －BF ＝3， ∴AF BF ＝32. 10. 解：(1)△ABP ∽△PCD. 【解法提示】∵∠MPN ＝90°， ∴∠APB ＋∠DPC ＝90°， ∵∠B ＝90°，∴∠APB ＋∠BAP ＝90°， ∴∠DPC ＝∠BAP ， 又∵∠B ＝∠C ＝90°， ∴△ABP ∽△PCD.(2)在旋转过程中，PEPF 的值为定值．如解图，过点F 作FG ⊥BC ，垂足为G.第10题解图类比(1)可得：△EBP ∽△PGF ， ∴EP PF ＝PB FG， ∵∠A ＝∠B ＝∠FGB ＝90°， ∴四边形ABGF 是矩形， ∴FG ＝AB ＝2， ∵BP ＝1， ∴PE PF ＝12， 即在旋转过程中，PE PF 的值为定值12.(3)由(2)知△EBP ∽△PGF ， ∴EB PG ＝BP GF ＝12， 又∵AE ＝t ， ∴BE ＝2－t ，∴PG ＝2(2－t)＝4－2t ，∴AF ＝BG ＝BP ＋PG ＝1＋(4－2t)＝5－2t ，∴S ＝S 矩形ABGF －S △AEF －S △BEP －S △PFG＝2(5－2t)－12t(5－2t)－12×1×(2－t)－12×2×(4－2t)＝t 2－4t ＋5,即S ＝t 2－4t ＋5(0≤t ≤2)， 当S ＝4.2时，4.2＝t 2－4t ＋5，解得：t 1＝2－455，t 2＝2＋455(不合题意，舍去)．∴t 的值是2－455.11. 解：(1)如解图①，在△ABC 中， ∵∠ACB ＝90°，∠B ＝30°，AC ＝1， ∴AB ＝2，又∵D 是AB 的中点，第11题解图①∴AD ＝1，CD ＝12AB ＝1，又∵EF 是△ACD 的中位线，∴EF ＝DF ＝12，在△ACD 中，AD ＝CD ，∠A ＝60°，∴△ACD 为等边三角形， ∴∠ADC ＝60°， 在△FGD 中，GF ＝DF·sin 60°＝34， ∴矩形EFGH 的面积S ＝EF·GF ＝12×34＝38.(2)如解图②，设矩形移动的距离为x ，则0＜x ≤12，①当矩形与△CBD 重叠部分为三角形时，则0＜x ≤14，重叠部分的面积S ＝12x·3x ＝316，第11题解图②∴x ＝24＞14(舍去)， ②当矩形与△CBD 重叠部分为直角梯形时，则14＜x ≤12，重叠部分的面积S ＝34x －12×14×34＝316， ∴x ＝38，即矩形移动的距离为38时，矩形与△CBD 重叠部分的面积是316.第11题解图③(3)如解图③，作H 2Q ⊥AB 于Q ， 设DQ ＝m ，则H 2Q ＝3m ， 又DG 1＝14，H 2G 1＝12，在Rt △H 2QG 1中， (3m)2＋(m ＋14)2＝(12)2，解得m 1＝－1＋1316，m 2＝－1－1316＜0(舍去)，∴cos α＝QG 1F 1G 1＝－1＋1316＋1412＝3＋138.类型三 图形形状变化探究题12. (1)证明：∵△ABD 、△ACE 是等边三角形， ∴AB ＝AD ，AC ＝AE ，∠CAE ＝∠DAB ＝60°，∴∠CAE ＋∠BAC ＝∠DAB ＋∠BAC ，即∠BAE ＝∠DAC ， 在△ABE 和△ADC 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AD ∠BAE ＝∠DAC AE ＝AC， ∴△ABE ≌△ADC(SAS )． (2)解：∠BOC ＝90°.理由如下： 由(1)得△ABE ≌△ADC ，∴∠EBA ＝∠CDA.∵∠FBA ＋∠FDA ＝180°，∴∠FBA －∠EBA ＋∠FDA ＋∠CDA ＝180°， 即∠FBO ＋∠FDO ＝180°.在四边形FBOD 中，∠F ＝90°， ∴∠DOB ＝360°－∠F －(∠FBO ＋∠FDO)＝90°， ∴∠BOC ＝90°. (3)解：72°.【解法提示】∠BOC ＝180°－108°＝72°.(4)解：180°－180°·（n －2）n.【解法提示】由(3)可知，∠BOC 度数应为180°减去正多边形内角度数． 13. 解：(1)233.【解法提示】sin 120°＝32，故这个平行四边形的变形度是233. (2)1sin α＝S 1S 2，理由如下： 如解图，设矩形的长和宽分别为a ，b ，其变形后的平行四边形的高为h ，第13题解图则S 1＝ab ，S 2＝ah ，sin α＝hb ，∴S 1S 2＝ab ah ＝b h ， 又∵1sin α＝b h ，∴1sin α＝S 1S 2. (3)由AB 2＝AE·AD ，可得A 1B 21＝A 1E 1·A 1D 1，即A 1B 1A 1D 1＝A 1E 1A 1B 1. 又∵∠B 1A 1E 1＝∠D 1A 1B 1， ∴△B 1A 1E 1∽△D 1A 1B 1， ∴∠A 1B 1E 1＝∠A 1D 1B 1， ∵A 1D 1∥B 1C 1，∴∠A 1E 1B 1＝∠C 1B 1E 1，∴∠A 1E 1B 1＋∠A 1D 1B 1＝∠C 1B 1E 1＋∠A 1B 1E 1＝∠A 1B 1C 1. 由(2)结论1sin α＝S 1S 2，可得1sin ∠A 1B 1C 1＝4m2m ＝2，∴sin ∠A 1B 1C 1＝12，∴∠A 1B 1C 1＝30°，∴∠A 1E 1B 1＋∠A 1D 1B 1＝30°. 14. (1)①证明：如解图①， ∵∠ACE ＋∠ECB ＝45°，∠BCF ＋∠ECB ＝45°，第14题解图①∴∠ACE ＝∠BCF ，又∵四边形ABCD 和EFCG 是正方形， ∴AC BC ＝CECF＝2， ∴△CAE ∽△CBF.②解：∵AE BF ＝ACBC ＝2，AE ＝2，∴BF ＝AE2＝2， 由△CAE ∽△CBF 可得∠CAE ＝∠CBF ， 又∵∠CAE ＋∠CBE ＝90°， ∴∠CBF ＋∠CBE ＝90°，即∠EBF ＝90°，第14题解图②由CE 2＝2EF 2＝2(BE 2＋BF 2)＝6， 解得CE ＝ 6.(2)解：连接BF ，如解图②，同(1)证△CAE ∽△CBF ，可得∠EBF ＝90°，AC BC ＝AE BF， 由AB BC ＝EFFC＝k ，可得BC ∶AB ∶AC ＝1∶k ∶k 2＋1， CF ∶EF ∶EC ＝1∶k ∶k 2＋1，∴CE EF ＝ACAB ＝k 2＋1k ，AE BF ＝AC BC＝k 2＋1， ∴EF ＝kCE k 2＋1，EF 2＝k 2CE 2k 2＋1，BF ＝AE k 2＋1，BF 2＝AE 2k 2＋1，∴CE 2＝k 2＋1k 2×EF 2＝k 2＋1k2(BE 2＋BF 2)， ∴32＝k 2＋1k 2(12＋22k 2＋1)， 解得k ＝104. (3)解：p 2－n 2＝(2＋2)m 2.【解法提示】如解图③，连接BF ，同(1)证△CAE ∽△CBF ，可得∠EBF ＝90°， 过点C 作CH ⊥AB 交AB 延长线于点H ， 类比第(2)问得AB 2∶BC 2∶AC 2＝1∶1∶(2＋2)，第14题解图③EF 2∶FC 2∶EC 2＝1∶1∶(2＋2)， ∴p 2＝(2＋2)EF 2＝(2＋2)(BE 2＋BF 2)＝(2＋2)(m 2＋n 22＋2)＝(2＋2)m 2＋n 2，∴p 2－n 2＝(2＋2)m 2.15. 证明：(1)①连接AH ，如解图①. 第15题解图①∵四边形OBFC 是平行四边形， ∴BH ＝HC ＝12BC ，OH ＝HF ，∵△ABC 是等边三角形， ∴AB ＝BC ，AH ⊥BC ，在Rt △ABH 中，AH 2＝AB 2－BH 2， ∴AH ＝BC 2－（12BC ）2＝32BC ，∵OA ＝AE ，OH ＝HF ，∴AH 是△OEF 的中位线， ∴AH ＝12EF ，AH ∥EF ，∴EF ⊥BC.②由①得AH ＝32BC ，∵AH ＝12EF∴32BC ＝12EF ，∴EF ＝3BC.(2)EF ⊥AB 仍然成立，EF ＝BC.第15题解图②【解法提示】如解图②，连接AH，∵四边形OBFC是平行四边形，∴BH＝HC＝12BC，OH＝HF，∵△ABC是等腰直角三角形，∴AH⊥BC，在Rt△ABH中，AH2＝AB2－BH2＝(2BH)2－BH2＝BH2，∴AH＝BH＝12BC，∵OA＝AE，OH＝HF，∴AH是△OEF的中位线，∴AH＝12EF，AH∥EF，∴EF⊥BC，EF＝2AH＝BC.第15题解图③(3)EF＝4k2－1 BC.【解法提示】如解图③，连接AH，∵四边形OBFC是平行四边形，∴BH＝HC＝12BC，OH＝HF，∵△ABC是等腰三角形，AB＝kBC，∴AH⊥BC，在Rt△ABH中，AH2＝AB2－BH2＝(kBC)2－(12＝(k2－14)BC2，2BC)∴AH＝12－1 BC，24k∵OA＝AE，OH＝HF，∴AH是△OEF的中位线，∴AH＝12EF，AH∥EF，∴EF⊥BC，12－1 BC＝12EF，24k∴EF＝4k2－1 BC.。

2023年九年级数学中考专题：几何探究压轴题一、解答题1．如图，在ABC 中，4AC =，3BC =，90ACB ∠=︒，D 是边AC 上一动点（不与点A 、C 重合），CE BD ⊥，垂足为E ，交边AB 于点F ．(1)当点D 是边AC 中点时，求DE ，EC 的值；(2)设CD x =，AF y =，求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域；(3)当EFD △与EFB △相似时，求线段CD 的长．2．【温故知新】黄金分割是一种最能引起美感的分割比例，具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值．我们知道：如图1，点C 把线段AB 分成两部分，如果BC AC AC AB=，那么称点C 为线段AB 的黄金分割点．(1)【问题发现】如图1，点C 为线段AB 的黄金分割点，且AC BC >，若2AB =，请直接写出CB 的值是__________．(2)【问题探究】如图2，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，2AC =，1BC =，在BA 上截取BD BC =，再在AC 上截取AE AD =，则AE AC的值为__________． (3)【问题解决】如图3，用边长为6的正方形纸片进行如下操作：对折正方形ABDE 得折痕MN ，连接EN ，将AE 折叠到EN 上，点A 对应点H ，得折痕CE ，试说明：C 是AB 的黄金分割点．3．定义：若连接三角形一个顶点和对边上一点的线段能把该三角形分成一个等腰三角形和一个直角三角形，我们称这条线段为该三角形的智慧线，这个三角形叫做智慧三角形．(1)如图1，在智慧三角形ABC 中，AD BC ⊥，AD 为该三角形的智慧线，1CD =，则BD 长为_____，B ∠的度数为_____．(2)如图2，ABC 为等腰直角三角形，90BAC ∠︒＝，2AB =，F 是斜边BC 延长线上一点，连接AF ，以AF为直角边作等腰直角三角形AFE （点A ，F ，E 按顺时针排列），90EAF ∠=︒, CF =AE 交BC 于点D ，连接EC ，EB ．当2BDE BCE ∠=∠时，求线段ED 的长；(3)如图3，ABC 中，5AB AC ==，BC =BCD △是智慧三角形，且AC 为智慧线，求BCD △的面积．4．【问题提出】如图1，在等边三角形ABC 内部有一点P ，3PA＝，4PB ＝，5PC ＝，求APB ∠的度数．(1)【尝试解决】将APC △绕点A 逆时针旋转60︒，得到AP B '△，连接PP '，则APP '为等边三角形． ∵3P P PA '==，4PB =，5P B PC '==，∴222=P P PB P B ''+∴BPP '为三角形∴APB ∠的度数为．(2)【类比探究】如图2，在等边三角形ABC 外部有一点P ，若∠BP A ＝30°，求证222PA PB PC +=．(3)【联想拓展】如图3，在ABC 中，90BAC ∠︒＝，AB AC ＝．点P 在直线BC 上方且45APB ∠︒＝，PC BC ==求PA 的长．5．已知正方形 ABCD 和正方形 CEFG ，连接 AF 交 BC 于点 O ，点 P 是 AF 的中点，过点 P 作 PH DG ⊥ 于 H ，2CD =，1CG =．(1)如图1，点 D ，C ，G 在同一直线上，点 E 在 BC 边上，求 PH 的长；(2)把正方形 CEFG 绕着点C 逆时针旋转 ()0180αα<<．①如图2，当点E 落在AF 上时，求CO 的长；②如图3，当DG =PH 的长．6．在ABC ∆中，点E 为AC 边上一动点，以CE 为边在CE 上方作等边CEN ．(1)如图1，EN 与AB 交于点P ，连接PC ，若tan A =，1AE =，5CN =，求PC 的长： (2)如图2．当N 与B 重合时，在BC 上取一点D ，过点D 作DF AC ∥，连接BF ，EF ，过C 作CH EF ⊥交EF 于点H ，若30FBC DFE ︒∠-∠=，求证：CH BF +=；(3)如图3，若BC AB ⊥，且4AB BC ==，过点B 作BQ AC ∥，I 为射线.BQ 上一动点，取AC 中点M ，连接MI ，过点B 作BK MI ⊥交M 于点K ，连接NK ，直接写出NK 的最小值．7．问题情境：如图1，在Rt △ABC 和Rt △BEF 中，∠ACB ＝∠EFB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，且M ，N 分别为AE ，CF 的中点．(1)猜想证明：如图2，将Rt △BEF 绕点B 按逆时针方向旋转90°，其他条件不变．试判断54AM CN =是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．(2)解决问题：如图3，将图2中的Rt △BEF 沿BF 所在直线折叠得到Rt BE F '，连接AE '，CF ，并分别取它们的中点P ，H ，连接CP ，FP ，PH ．①试判断CP 与FP 之间的数量关系，并说明理由．②若AB ＝2BE '，BC ＝2BF ，请直接写出PH 的长．8．【方法尝试】（1）如图1，矩形ABFC 是矩形ADGE 以点A 为旋转中心，按逆时针方向旋转90︒所得的图形，CB ED 、分别是它们的对角线．则CB 与ED 数量关系________，位置关系________．【类比迁移】（2）如图2，在Rt ABC 和Rt ADE △中，90,9,6,3,2BAC DAE AC AB AE AD ∠=∠=︒====．将DAE 绕点A 在平面内逆时针旋转，设旋转角BAE ∠为()0360αα︒<︒，连接,CE BD ．请判断线段CE 和BD 的数量关系和位置关系，并说明理由；【拓展延伸】（3）如图3，在Rt ABC 中，90,6ACB AB ∠=︒=，过点A 作AP BC ∥，在射线AP 上取一点D ，连结CD，使得3tan4ACD∠=，请求写出线段BD的最大值．9．如图①，在正方形ABCD中，点N、M分别在边BC、CD上，连接AM、AN、MN．∠MAN＝45°，将△AMD 绕点A顺时针旋转90°，点D与点B重合，得到△ABE．易证：△ANM≌△ANE，从而得DM＋BN＝MN．【实践探究】(1)在图①条件下，若CN＝6，CM＝8，则正方形ABCD的边长是______．(2)如图②，点M、N分别在边CD、AB上，且BN＝DM．点E、F分别在BM、DN上，∠EAF＝45°，连接EF，猜想三条线段EF、BE、DF之间满足的数量关系，并说明理由．(3)【拓展应用】如图③，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点M、N分别在边DC、BC上，连接AM，AN，已知∠MAN＝45°，BN＝2，求DM的长．10．小圆同学对图形旋转前后的线段之间、角之间的关系进行了拓展探究．(1)猜测探究：在△ABC中，AB＝AC，M是平面内任意一点，将线段AM绕点A按顺时针方向旋转与∠BAC 相等的角度，得到线段AN，连接NB．①如图1，若M是线段BC上的任意一点，请直接写出∠NAB与∠MAC的数量关系是，NB与MC的数量关系是；②如图2，点E是AB延长线上点，若M是∠CBE内部射线BD上任意一点，连接MC，（1）中结论是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由．(2)拓展应用：如图3，在△A 1B 1C 1中，A 1B 1＝8，∠A 1B 1C 1＝60°，∠B 1A 1C 1＝75°，P 是B 1C 1上的任意点，连接A 1P ，将A 1P 绕点A 1按顺时针方向旋转75°，得到线段A 1Q ，连接B 1Q ．求线段B 1Q 长度的最小值． 11．如图，在Rt ABC △中，90BAC ∠=︒，AB AC =，D 为AC 边上一点，连接BD ，作AP BD ⊥于点P ，过点C 作CE AC ⊥交AP 延长线于点E ．(1)如图1，求证：AD CE =；(2)如图2，以AD ，BD 为邻边作ADBF ，连接EF 交BC 于点G ，连接AG ，①求证：AG EF ⊥；②若点D 为AC 中点，EF 、AB 交于点H ，求BH AB的值． 12．如图1，在ABC 中，90ACB ∠=︒，D 为AC 边上的一点，过点D 作DE AB ⊥，垂足为E ，连接BD ，P 为BD 中点，连接PC ，PE ．(1)求证：PC PE =；(2)将图1中ADE 绕着点A 顺时针旋转如图2的位置，其他条件不变，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明：若不成立，请说明理由；(3)若10AB =，6AD =，30BAC DAE ∠=∠=︒，在平面内，将Rt ADE △绕点A 旋转一周，当A ，C ，E 三点共线时，请直接写出PCE 的面积．13．如图1，在直角坐标系中，点()2,0A ，点()0,2C ，点D ，点E 分别为OA ，OC 的中点，ODE 绕原点O 顺时针旋转α角（090α︒<<︒）得11OD E ，射线1CD ，1AE 相交于点F ．(1)求证：11OCD OAE △≌△；(2)如图2，在ODE 旋转过程中，当点1D 恰好落在线段CE 上时，求AF 的长；(3)如图3，在旋转α角从090α︒≤≤︒逐渐增大ODE 旋转过程中，求点F 的运动路线长．14．已知ABC 为等边三角形，边长为4，点D 、E 分别是BC 、AC 边上一点，连接AD 、BE ．AE CD =．(1)如图1，若2AE =，求BE 的长度；(2)如图2，点F 为AD 延长线上一点，连接BF 、CF ，AD 、BE 相交于点G ，连接CG ，已知60,∠=︒=EBF CE CG ，求证：2+=BF GE CF ；(3)如图3，点P 是ABC 内部一动点，顺次连接PA PB PC 、、++的最小值．15．【问题提出】（1）如图1，在ABC 中，90C ∠=︒，BD 平分ABC ∠交AC 于点D ，设CD 的长为m ，点D 到边AB 的距离为n ，则m _______n ；（填“＞”“＜”或“＝”）【问题探究】（2）如图2，在梯形ABCD 中，90A ∠=︒，AD BC ∥，(201AB =，BD 为对角线，且45BDC ∠=︒，求BCD △面积的最小值；【问题解决】（3）某景点有一个形状为菱形ABCD 的草坪，如图3，AB ==60B ∠︒，现欲将该草坪扩建为BEF △，使得点E 、F 分别在BA 、BC 的延长线上，且边EF 经过点D ，为了节省成本，要求扩建后的草坪面积（BEF △的面积）尽可能小，问BEF △的面积是否存在最小值？若存在，求出其最小值；若不存在，请说明理由．16．综合与实践：数学课外小组研究了两个问题，请你帮助解答．问题一：如图1，在矩形ABCD 中，6AB =，8AD =，E ，F 分别为AB ，AD 边的中点，四边形AEGF 为矩形，连接CG ．问题二：数学小组对图形的旋转进行了拓展研究，如图4，在平行四边形ABCD 中，=60B ∠︒，6AB =，8AD =，E ，F 分别为AB ，AD 边的中点，四边形AEGF 为平行四边形，连接CG ．数学小组发现DF 与CG 仍然存在着特定的数量关系．(1)请直接写出CG 的长是______．如图2，当矩形AEGF 绕点A 旋转（如顺时针旋转）至点G 落在边AB 上时，DF =______，CG =______，DF 与CG 之间的数量关系是______．(2)当矩形AEGF 绕点A 旋转至如图3的位置时，（1）中DF 与CG 之间的数量关系是否还成立？并说明理由．(3)如图5，当平行四边形ABCD 绕点A 旋转（如顺时针旋转），其它条件不变时，数学小组发现DF 与CG 仍然存在着这一特定的数量关系．请你直接写出这个特定的数量关系是______．17．如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，AD ＝CD ，O 是对角线AC 的中点，连接BO 并延长交边AD 或边CD 于点E ．(1)如图1，当点E 在AD 上时，连接CE ，求证：四边形ABCE 是矩形．(2)如图2，当点E 在CD 上时，当AC ＝4，BC ＝3时，求DAC S △与OBC S的比值．(3)若DE ＝2，OE ＝3，直接写出CD 的长．18．已知在正方形ABCD 中，E 是BC 边上一动点，作点B 关于AE 的对称点F ，BF 交AE 于点G ，连结DF ．(1)如图1，求DFB ∠的度数；(2)如图2，过点D 作DM BF ⊥交BF 的延长线于点M ，连结,CM CF ．若DF CM =，试探究四边形DFCM 的形状，并说明理由；(3)如图3，连结BD ，在AG 上截取=GT GB ，点P ，Q 分别是,AD BD 上的动点．若正方形ABCD 的面积为32，直接写出PTQ 周长的最小值．。

中考数学复习专题——几何探究型问题1.(2019•北京)在△ABC中，D，E分别是△ABC两边的中点，如果 DE上的所有点都在△ABC的内部或边上，则称 DE为△ABC的中内弧.例如，图1中 DE是△ABC的一条中内弧.(1)如图2，在Rt△ABC中，AB=AC22=，D，E分别是AB，AC的中点，画出△ABC的最长的中内弧 DE，并直接写出此时 DE的长；(2)在平面直角坐标系中，已知点A(0，2)，B(0，0)，C(4t，0)(t>0)，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点.①若t12=，求△ABC的中内弧 DE所在圆的圆心P的纵坐标的取值范围；②若在△ABC中存在一条中内弧 DE，使得 DE所在圆的圆心P在△ABC的内部或边上，直接写出t的取值范围.2.(2019•天津)在平面直角坐标系中，O为原点，点A(6，0)，点B在y轴的正半轴上，∠ABO=30°.矩形CODE的顶点D，E，C分别在OA，AB，OB上，OD=2. (Ⅰ)如图①，求点E的坐标；(Ⅱ)将矩形CODE沿x轴向右平移，得到矩形C′O′D′E′，点C，O，D，E的对应点分别为C′，O′，D′，E′.设OO′=t，矩形C′O′D′E′与△ABO重叠部分的面积为S.①如图②，当矩形C′O′D′E′与△ABO重叠部分为五边形时，C′E′，E′D′分别与AB 相交于点M，F，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围；②当3 S≤53时，求t的取值范围(直接写出结果即可).3.(2019•陕西)问题提出：(1)如图1，已知△ABC，试确定一点D，使得以A，B，C，D为顶点的四边形为平行四边形，请画出这个平行四边形；问题探究：(2)如图2，在矩形ABCD中，AB=4，BC=10，若要在该矩形中作出一个面积最大的△BPC，且使∠BPC=90°，求满足条件的点P到点A的距离；问题解决：(3)如图3，有一座塔A，按规定，要以塔A为对称中心，建一个面积尽可能大的形状为平行四边形的景区BCDE.根据实际情况，要求顶点B是定点，点B到塔A的距离为50米，∠CBE=120°，那么，是否可以建一个满足要求的面积最大的平行四边形景区BCDE？若可以，求出满足要求的平行四边形BCDE的最大面积；若不可以，请说明理由.(塔A的占地面积忽略不计)4.(2019•海南)如图，在边长为1的正方形ABCD中，E是边CD的中点，点P是边AD上一点(与点A、D不重合)，射线PE与BC的延长线交于点Q.(1)求证：△PDE≌△QCE；(2)过点E作EF∥BC交PB于点F，连结AF，当PB=PQ时，①求证：四边形AFEP是平行四边形；②请判断四边形AFEP是否为菱形，并说明理由.5.(2019•江西)在图1，2，3中，已知 ABCD，∠ABC=120°，点E为线段BC上的动点，连接AE，以AE为边向上作菱形AEFG，且∠EAG=120°.(1)如图1，当点E与点B重合时，∠CEF=__________°；(2)如图2，连接AF.①填空：∠FAD__________∠EAB(填“>”“<”“=”)；②求证：点F在∠ABC的平分线上.(3)如图3，连接EG，DG，并延长DG交BA的延长线于点H，当四边形AEGH是平行四边形时，求BCAB的值.6.(2019•宁夏)如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=4，点M，Q分别是边AB，BC上的动点(点M不与A，B重合)，且MQ⊥BC，过点M作BC的平行线MN，交AC于点N，连接NQ，设BQ为x.(1)试说明不论x为何值时，总有△QBM∽△ABC；(2)是否存在一点Q，使得四边形BMNQ为平行四边形，试说明理由；(3)当x为何值时，四边形BMNQ的面积最大，并求出最大值.7.(2019•安徽)如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P为△ABC内部一点，且∠APB=∠BPC=135°.(1)求证：△PAB∽△PBC；(2)求证：PA=2PC；(3)若点P到三角形的边AB，BC，CA的距离分别为h1，h2，h3，求证h12=h2·h3.8.(2019•重庆A卷)如图，在平行四边形ABCD中，点E在边BC上，连结AE，EM⊥AE，垂足为E，交CD于点M，AF⊥BC，垂足为F，BH⊥AE，垂足为H，交AF于点N，点P是AD上一点，连接CP.(1)若DP=2AP=4，CP17=，CD=5，求△ACD的面积.(2)若AE=BN，AN=CE，求证：AD2=CM+2CE.9.如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=50，AD=75，BC=135，点P从点B出发沿折线段BA-AD-DC以每秒5个单位长度的速度向点C匀速运动，点Q 从点C出发沿线段CB方向以每秒3个单位长度的速度匀速运动，过点Q向上作射线QK⊥BC，交折线段CD-DA-AB于点E，点P、Q同时开始运动，当点P与点C重合时停止运动，点Q也随之停止，设点P、Q运动的时间是t秒(t>0)(1)当点P到达终点C时，求t的值，并指出此时BQ的长；(2)当点P运动到AD上时，t为何值能使PQ∥DC?(3)设射线QK扫过梯形ABCD的面积为S，分别求出点E运动到CD，DA上时，S与t的函数关系式；(不必写出t的取值范围)10.如图，在平面直角坐标系中，点A (3，0)，B (33，2)，C (0，2)，动点D 以每秒1个单位的速度从点O 出发沿OC 向终点C 运动，同时动点E 以每秒2个单位的速度从点A 出发沿AB 向终点B 运动，过点E 作EF ⊥AB 交BC 于点F ，连结OA 、OF ，设运动时间为t 秒.(1)求∠ABC 的度数；(2)当t 为何值时，AB ∥DF ；(3)设四边形AEFD 的面积为S ，①求S 关于t 的函数关系式；②若一抛物线y =x 2+mx 经过动点E ，当S <23时，求m 的取值范围.11.ABC ∆中，90C ∠=︒，60A ∠=︒，2cm AC =.长为1cm 的线段MN 在ABC ∆的边AB 上沿AB 方向以1cm/s 的速度向点B 运动(运动前点M 与点A 重合).过M N ，分别作AB的垂线交直角边于P，Q两点，线段MN运动的时间为ts.(1)若AMP∆的面积为y，写出y与t的函数关系式(写出自变量t的取值范围)；(2)线段MN运动过程中，四边形MNQP有可能成为矩形吗？若有可能，求出此时t的值；若不可能，说明理由；(3)t为何值时，以C，P，Q为顶点的三角形与ABC∆相似？QPBAC12.如图，在矩形ABCD中，BC=20cm，P，Q，M，N分别从A、B、C、D出发沿AD，BC，CB，DA方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止.已知在相同时间内，若BQ=x cm(x≠0)，AP=2x cm，CM=3x cm，DN=x2cm.⑴当x为何值时，以PQ，MN为两边，以矩形的边(AD或BC)的一部分为第三边构成一个三角形⑵当x为何值时，以P、Q、M、N为顶点的四边形是平行四边形；⑶以P、Q、M、N为顶点的四边形能否为等腰梯形？如果能，求x的值；如果不能，请说明理由.A BDC PQ MN参考答案1.【解析】(1)如图2，以DE为直径的半圆弧 DE，就是△ABC的最长的中内弧 DE，连接DE，∵∠A=90°，AB=AC22=，D，E分别是AB，AC的中点，∴BC22sin sin45ACB===︒4，DE12=BC12=⨯4=2，∴弧 12DE=⨯2π=π.(2)如图3，由垂径定理可知，圆心一定在线段DE的垂直平分线上，连接DE，作DE垂直平分线FP，作EG⊥AC交FP于G，①当t12=时，C(2，0)，∴D(0，1)，E(1，1)，F(12，1)，设P(12，m)由三角形中内弧定义可知，圆心线段DE上方射线FP上均可，∴m≥1，∵OA=OC，∠AOC=90°，∴∠ACO=45°，∵DE∥OC，∴∠AED=∠ACO=45°，作EG⊥AC交直线FP于G，FG=EF1 2 =，根据三角形中内弧的定义可知，圆心在点G的下方(含点G)直线FP上时也符合要求，∴m1 2≤，综上所述，m12≤或m≥1.②如图4，设圆心P在AC上，∵P在DE中垂线上，∴P为AE中点，作PM⊥OC于M，则PM3 2 =，∴P(t，32 )，∵DE∥BC，∴∠ADE=∠AOB=90°，∴AE===∵PD=PE，∴∠AED=∠PDE，∵∠AED+∠DAE=∠PDE+∠ADP=90°，∴∠DAE=∠ADP，∴AP =PD =PE 12=AE ，由三角形中内弧定义知，PD ≤PM ，∴12AE 32≤，AE ≤3≤3，解得：t ≤，∵t >0，∴0<t ≤2.【解析】(Ⅰ)∵点A (6，0)，∴OA =6，∵OD =2，∴AD =OA -OD =6-2=4，∵四边形CODE 是矩形，∴DE ∥OC ，∴∠AED =∠ABO =30°，在Rt △AED 中，AE =2AD =8，ED ===，∵OD =2，∴点E 的坐标为(2，(Ⅱ)①由平移的性质得：O ′D ′=2，E ′D ME ′=OO ′=t ，D ′E ′∥O ′C ′∥OB ，∴∠E ′FM =∠ABO =30°，∴在Rt △MFE ′中，MF =2ME ′=2t ，FE ′===，∴S △MFE ′12=ME ′·FE ′12=⨯t t 22=，∵S 矩形C ′O ′D ′E ′=O ′D ′·E ′D =，∴S =S 矩形C ′O ′D ′E ′-S △MFE ′232-，∴S32=-t2+83，其中t的取值范围是：0<t<2；②当S3=时，如图③所示：O'A=OA-OO'=6-t，∵∠AO'F=90°，∠AFO'=∠ABO=30°，∴O'F3=O'A3=(6-t)，∴S12=(6-t)⨯3(6-t)=3，解得：t=6-2，或t=6+2(舍去)，∴t=6-2；当S=53时，如图④所示：O'A=6-t，D'A=6-t-2=4-t，∴O'G3=t)，D'F3=t)，∴S12=3(6-t)3+t3解得：t5 2 =，∴3≤S3时，t的取值范围为52≤t≤62-.3.【解析】(1)如图记为点D所在的位置.(2)如图，∵AB=4，BC=10，∴取BC的中点O，则OB>AB.∴以点O为圆心，OB长为半径作⊙O，⊙O一定于AD相交于P1，P2两点，连接BP1，P1C，P1O，∵∠BPC=90°，点P不能再矩形外，∴△BPC的顶点P1或P2位置时，△BPC的面积最大，作P1E⊥BC，垂足为E，则OE=3，∴AP1=BE=OB-OE=5-3=2，由对称性得AP2=8.(3)可以，如图所示，连接BD，∵A为 BCDE的对称中心，BA=50，∠CBE=120°，∴BD=100，∠BED=60°，作△BDE的外接圆⊙O，则点E在优弧 BD上，取BED的中点E′，连接E′B，E′D，则E′B=E′D，且∠BE′D=60°，∴△BE′D为正三角形.连接E′O并延长，经过点A至C′，使E′A=AC′，连接BC′，DC′，∵E′A⊥BD，∴四边形E′D为菱形，且∠C′BE′=120°，作EF⊥BD，垂足为F，连接EO，则EF≤EO+OA-E′O+OA=E′A，∴S△BDE12=·BD·EF12≤·BD·E′A=S△E′BD，∴S平行四边形BCDE≤S平行四边形BC′DE′=2S△E′BD=10022)，所以符合要求的 BCDE的最大面积为2.4.【解析】(1)∵四边形ABCD是正方形，∴∠D=∠ECQ=90°，∵E是CD的中点，∴DE=CE，又∵∠DEP=∠CEQ，∴△PDE≌△QCE.(2)①∵PB=PQ，∴∠PBQ=∠Q，∵AD∥BC，∴∠APB=∠PBQ=∠Q=∠EPD，∵△PDE≌△QCE，∴PE=QE，∵EF∥BQ，∴PF=BF，∴在Rt△PAB中，AF=PF=BF，∴∠APF=∠P AF，∴∠PAF=∠EPD，∴PE∥AF，∵EF∥BQ∥AD，∴四边形AFEP是平行四边形；②四边形AFEP不是菱形，理由如下：设PD=x，则AP=1-x，由(1)可得△PDE≌△QCE，∴CQ=PD=x，∴BQ=BC+CQ=1+x，∵点E、F分别是PQ、PB的中点，∴EF是△PBQ的中位线，∴EF12=BQ12x+=，由①知AP=EF，即1-x12x+ =，解得x1 3 =，∴PD13=，AP23=，在Rt△PDE中，DE1 2 =，∴PE136==，∴AP≠PE，∴四边形AFEP不是菱形.5.【解析】(1)∵四边形AEFG是菱形，∴∠AEF=180°-∠EAG=60°，∴∠CEF=∠AEC-∠AEF=60°，故答案为：60°.(2)①∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠DAB=180°-∠ABC=60°，∵四边形AEFG是菱形，∠EAG=120°，∴∠FAE=60°，∴∠FAD=∠EAB，故答案为：=.②如图，作FM⊥BC于M，FN⊥BA交BA的延长线于N，则∠FNB=∠FMB=90°，∴∠NFM=60°，又∠AFE=60°，∴∠AFN=∠EFM，∵EF=EA，∠FAE=60°，∴△AEF为等边三角形，∴FA=FE，在△AFN和△EFM中，AFN EFM FNA FME FA FE∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AFN≌△EFM(AAS)∴FN=FM，又FM⊥BC，FN⊥BA，∴点F在∠ABC的平分线上.(3)如图，∵四边形AEFG是菱形，∠EAG=120°，∴∠AGF=60°，∴∠FGE=∠AGE=30°，∵四边形AEGH为平行四边形，∴GE∥AH，∴∠GAH=∠AGE=30°，∠H=∠FGE=30°，∴∠GAN=90°，又∠AGE=30°，∴GN=2AN，∵∠DAB=60°，∠H=30°，∴∠ADH=30°，∴AD=AH=GE，∵四边形ABCD为平行四边形，∴BC=AD，∴BC=GE，∵四边形ABEH为平行四边形，∠HAE=∠EAB=30°，∴平行四边形ABEN为菱形，∴AB=AN=NE，∴GE=3AB，∴BC AB=3.6.【解析】(1)∵MQ⊥BC，∴∠MQB=90°，∴∠MQB=∠CAB，又∠QBM=∠ABC，∴△QBM∽△ABC.(2)当BQ=MN时，四边形BMNQ为平行四边形，∵MN∥BQ，BQ=MN，∴四边形BMNQ为平行四边形.(3)∵∠A=90°，AB=3，AC=4，∴BC==5，∵△QBM∽△ABC，∴QB QM BMAB AC BC==，即345x=QM=BM，解得，QM43=x，BM53=x，∵MN∥BC，∴MN AMBC AB=，即53353xMN-=，解得，MN=5259-x，则四边形BMNQ 的面积12=⨯(5259-x +x )43⨯x 3227=-(x 4532-)27532+，∴当x 4532=时，四边形BMNQ 的面积最大，最大值为7532.7.【解析】(1)∵∠ACB =90°，AB =BC ，∴∠ABC =45°=∠PBA +∠PBC ，又∠APB =135°，∴∠PAB +∠PBA =45°，∴∠PBC =∠PAB ，又∵∠APB =∠BPC =135°，∴△PAB ∽△PBC .(2)∵△PAB ∽△PBC ，∴PA PB AB PB PC BC==，在Rt △ABC 中，AB =AC ，∴2AB BC=，∴PB =2PC ，PA =2PB ，∴PA =2PC .(3)如图，过点P 作PD ⊥BC ，PE ⊥AC 交BC 、AC 于点D ，E ，∴PF =h 1，PD =h 2，PE =h 3，∵∠CPB +∠APB =135°+135°=270°，∴∠APC =90°，∴∠EAP +∠ACP =90°，又∵∠ACB =∠ACP +∠PCD =90°，∴∠EAP =∠PCD ，∴Rt △AEP ∽Rt △CDP ，∴2PE AP DP PC ==，即322h h =，∴h 3=2h 2，∵△PAB ∽△PBC ，∴122h AB h =BC=，∴h 1=2h 2，∴h 12=2h 22=2h 2⋅h 2=h 2h 3.即：h 12=h 2·h 3.8.【解析】(1)作CG ⊥AD 于G ，如图1所示：设PG =x ，则DG =4-x ，在Rt △PGC 中，GC 2=CP 2-PG 2=17-x 2，在Rt △DGC 中，GC 2=CD 2-GD 2=52-(4-x )2=9+8x -x 2，∴17-x 2=9+8x -x 2，解得：x=1，即PG=1，∴GC=4，∵DP=2AP=4，∴AD=6，∴S△ACD12=⨯AD×CG12=⨯6×4=12.(2)连接NE，如图2所示：∵AH⊥AE，AF⊥BC，AE⊥EM，∴∠AEB+∠NBF=∠AEB+∠EAF=∠AEB+∠MEC=90°，∴∠NBF=∠EAF=∠MEC，在△NBF和△EAF中，NBF EAF BFN EFA AE BN∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△NBF≌△EAF，∴BF=AF，NF=EF，∴∠ABC=45°，∠ENF=45°，FC=AF=BF，∴∠ANE=∠BCD=135°，AD=BC=2AF，在△ANE和△ECM中，MEC EAF AN EC ANE ECM ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ANE≌△ECM，∴CM =NE ，又∵NF 22=NE 22=MC ，∴AF 22=MC +EC ，∴AD =+2EC .9.【解析】⑴507550355t ++==()s 时，点P 到达终点C ，此时，353105QC =⨯=，所以BQ 的长为13510530-=.⑵如图1，若PQ DC ∥，又AD BC ∥，则四边形PQCD 为平行四边形，从而PD QC =,由35QC t BA AP t=+=，得507553t t +-=，解得1258t =，经检验：当1258t =时，有PQ DC ∥.⑶①当点E 在CD 上运动时，如图2，分别过点A 、D 作AF ⊥BC 于点F ，DH ⊥BC 于点H ，则四边形ADHF 为矩形，且△ABF ≌△DCH ，从而FH =AD =75，于是BF =CH =30，∴DH =AF =40.又QC =3t ，从而QE QC tan C 3t DH 4t CH=⋅=⋅=(注：用相似三角形求解亦可)∴2162QCE S S QE QC t ==⋅=△.②当点E 在DA 上运动时，如图1，过点D 作DH BC ⊥于点H ，由①知4030DH CH ==，，又3QC t =，从而330ED QH QC CH t ==-=-∴()11206002QCDE S S ED QC DH t ==+=-梯形.10.【解析】(1)过点B 作BM x ⊥轴于点M∵()()022C B ，，，∴BC OA ∥，∴ABC BAM ∠=∠，∵2BM AM ==，，∴3tan 303BAM ABC BAM ∠=∠=∠=︒，.(2)∵AB DF ∥，∴30CFD CBA ∠=∠=︒，在直角三角形DCF 中，230CD t CFD =-∠=︒，，∴)2CF t =-，∵4AB =，∴4230BE t FBE =-∠=︒，，∴242BF -=，)2422t --+=，∴57t =.(3)①解法一：过点E 作EG x ⊥轴于点G ，则EG t =，OG =，∴)E t +，，∴DE x ∥轴，1112222DEF DEA S S S DE CD DE OD =+=⨯+⨯=⨯=△△.解法二：∵242BF -=，∴242CF -==，∴ODA BFE CDFOABC S S S S S =---△△△梯形)())233324142266t t t t =--+--=+，②当S <+<，∴1t <，因为0t >，所以01t <<，m <<11.【解析】⑴当点P 在AC 上时，∵AM t =，∴tg60PM AM =⋅︒=.∴()2130122y t t ==≤≤.当点P 在BC上时，)tan 304PM BM t =⋅︒=-.)()214132363y t t t t =⋅-=+≤≤.⑵∵2AC =，∴4AB =.∴413BN AB AM MN t t =--=--=-.∴()3tan 3033QN BN t =⋅︒=-.由条件知，若四边形MNQP 为矩形，需PM QN =)3t =-，∴34t =.∴当34t s =时，四边形MNQP 为矩形.⑶由⑵知，当34t s =时，四边形MNQP 为矩形，此时PQ AB ∥，∴PQC ABC ∆∆∽.除此之外，当30CPQ B ∠=∠=︒时，QPC ABC ∆∆∽，此时tan 303CQ CP =︒=.∵1cos602AM AP=︒=，∴22AP AM t ==.∴22CP t =-.∵cos30BN BQ =︒=∴)3BQ t ==-.又∵BC =，∴)333CQ =-t =.∵33223t =-，12t =.∴当12t s =或34s 时，以C P Q ，，为顶点的三角形与ABC ∆相似.12.【解析】⑴当点P与点N重合或点Q与点M重合时，以PQ，MN为两边，以矩形的边(AD或BC)的一部分为第三边可能构成一个三角形.当点P与点N重合时，由x2+2x=20，得x=1，x2=1(舍去)1∵BQ+CM=x+3x=4-1)<20，∴此时点Q与点M不重合，∴x-1符合题意.当点Q与点M重合时，由x+3x=20，得x=5，此时DN=x2=25>20不符合题意，故点Q与点M不能重合，∴x1.⑵由⑴知，点Q只能在点M的左侧，当点P在点N的左侧时，由20-(x+3x)=20-(2x+x2)得x1=0，x2=2，舍去x1，当x=2时，四边形PQMN是平行四边形；当点P在点N的右侧时，由20-(x+3x)=(2x+x2)-20得x1=-10，x2=4，舍去x1，当x=4时，四边形NQMP是平行四边形.∴当x=2或者x=4时，以P、Q、M、N为顶点的四边形是平行四边形⑶过点Q，M分别作AD的垂线，垂足分别为点E，F.由于2x>x，∴点E一定在点P的左侧，若以P、Q、M、N为顶点的四边形是等腰梯形，则点F一定在点N的右侧，且PE=NF，即2x-x=x2-3x，∴x=0，x2=4，可知当x=0时不成立.1由于当x=4时，以P、Q、M、N为顶点的四边形是平行四边形，∴以P、Q、M、N为顶点的四边形不能是等腰梯形.。

中考数学初二几何问题1（08黑龙江鸡西26题）26．（本小题满分8分）已知：正方形ABCD 中，45MAN ∠=，MAN ∠绕点A 顺时针旋转，它的两边分别交CB DC ，（或它们的延长线）于点M N ，． 当MAN ∠绕点A 旋转到BM DN =时（如图1），易证BM DN MN +=． （1）当MAN ∠绕点A 旋转到BM DN ≠时（如图2），线段BM DN ，和MN 之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明．（2）当MAN ∠绕点A 旋转到如图3的位置时，线段BM DN ，和MN 之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．2（08辽宁沈阳）25．已知：如图①所示，在ABC △和ADE △中，AB AC =，AD AE =，BAC DAE ∠=∠，且点B A D ，，在一条直线上，连接BE CD M N ，，，分别为BE CD ，的中点． （1）求证：①BE CD =；②AMN △是等腰三角形．（2）在图①的基础上，将ADE △绕点A 按顺时针方向旋转180，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立；（3）在（2）的条件下，请你在图②中延长ED 交线段BC 于点P ．求证：PBD AMN △∽△．B B M BC N C NMC N M 图1 图2图3 A A A D D D C E N D A BM图① C A EM B D N图② 第25题图C A BEF M N 图①CABE MN 图②3（08辽宁大连）25．点A 、B 分别是两条平行线m 、n 上任意两点，在直线n 上找一点C ，使BC = kAB ，连结AC ，在直线AC 上任取一点E ，作∠BEF =∠A BC ，EF 交直线m 于点F ． ⑴如图15，当k = 1时，探究线段EF 与EB 的关系，并中以说明；说明：①如果你经过反复探索没有解决问题，请写出探索过程(要求至少写三步)；②在完成①之后，可以自己添加条件(添加的条件限定为∠ABC 为特殊角)，在图16中补全图形，完成证明(选择添加条件比原题少得3分)．⑵如图17，若∠ABC = 90°，k ≠1，探究线段EF 与EB 的关系，并说明理由．4（08天津市卷）25．（本小题10分）已知Rt △ABC 中，︒=∠90ACB ，CB CA =，有一个圆心角为︒45，半径的长等于CA 的扇形CEF 绕点C 旋转，且直线CE ，CF 分别与直线AB 交于点M ，N ． （Ⅰ）当扇形CEF 绕点C 在ACB ∠的内部旋转时，如图①，求证：222BN AM MN +=；思路点拨：考虑222BN AM MN +=符合勾股定理的形式，需转化为在直角三角形中解决．可将△ACM 沿直线CE 对折，得△DCM ，连DN ，只需证BN DN =，︒=∠90MDN 就可以了．请你完成证明过程：（Ⅱ）当扇形CEF 绕点C 旋转至图②的位置时，关系式222BN AM MN +=是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 图 17图 16图 15A E BC F n m m n n mF EABC5（08河北省卷24题）24．（本小题满分10分）如图14-1，ABC △的边BC 在直线l 上，AC BC ⊥，且AC BC =；EFP △的边FP 也在直线l 上，边EF 与边AC 重合，且EF FP =．（1）在图14-1中，请你通过观察、测量，猜想并写出AB 与AP 所满足的数量关系和位置关系； （2）将EFP △沿直线l 向左平移到图14-2的位置时，EP 交AC 于点Q ，连结AP ，BQ ．猜想并写出BQ 与AP 所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想；（3）将EFP △沿直线l 向左平移到图14-3的位置时，EP 的延长线交AC 的延长线于点Q ，连结AP ，BQ ．你认为（2）中所猜想的BQ 与AP 的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．6（08山西太原）28．（本小题满分10分）将一张透明的平行四边形胶片沿对角线剪开，得到图①中的两张三角形胶片ABC △和DEF △．将这两张三角形胶片的顶点B 与顶点E 重合，把DEF △绕点B 顺时针方向旋转，这时AC 与DF 相交于点O ．（1）当DEF △旋转至如图②位置，点()B E ，C D ，在同一直线上时，AFD ∠与DCA ∠的数量关系是 ． 2分（2）当DEF △继续旋转至如图③位置时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由． （3）在图③中，连接BO AD ，，探索BO 与AD 之间有怎样的位置关系，并证明． A （E ）BC （F ） PlllB FC 图14-1图14-2图14-3C A E F BD OA FB (E ) A DO F CB (E ) 图① 图② 图③7（08山东临沂）25．（本小题满分11分）已知∠MAN ，AC 平分∠MAN 。

几何探究题（10道）1.如图①，在锐角△ABC中，∠ABC=45°，高线AD、BE相交于点F．（1）判断BF与AC的数量关系并说明理由．（2）如图②，将△ACD沿线段AD对折，点C落在BD 上的点M，AM与BE相交于点N，当DE∥AM时，①求证：AE=EC；②求∠MAC的度数以及线段NE与AC的数量关系．第1题图解：（1）BF=AC，理由是：∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠ADB=∠AEF=90°，∵∠ABC=45°，∴△ABD是等腰直角三角形，∴AD =BD ，∵∠AFE =∠BFD ，∴∠DAC =∠EBC ，在△ADC 和△BDF 中，⎪⎩⎪⎨⎧︒=∠=∠=∠=∠90BDF ADC BDAD DBF DAC ， ∴△ADC ≌△BDF （ASA ），∴BF =AC ；（2）①由折叠得：MD =DC ，∵DE ∥AM ，∴AE =EC ，②∵AE =EC ，BE ⊥AC ，∴AB =BC ，由（1）得：△ADC ≌△BDF ，∵△ADC ≌△ADM ，∴△BDF ≌△ADM ，∴∠DBF=∠MAD=22.5°，∴∠MAC=2∠MAD=45°，∵∠NEA=90°，∴△AEN是等腰直角三角形，1AC．∴EN=AE=EC，∴EN=22.在长方形ABCD中，点E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到对应的△GBE，将BG延长交直线DC于点F．（1）如果点G在长方形ABCD的内部，如图①所示．①求证：GF=DF；1DC，AD=4，求AB的长度．②若DF=2（2）如果点G在长方形ABCD的外部，如图②所示，AD的值. DF=kDC（k＞1）．请用含k的代数式表示AB第2题图解：（1）①连接EF ，如解图第2题解图根据翻折的性质得，∠EGF =∠A =90°，EG =AE =ED ， 在Rt △EGF 和Rt △EDF 中，⎩⎨⎧==EF EF ED EG ， ∴Rt △EGF ≌Rt △EDF （HL ），∴GF =DF ；②由①知，GF =DF ，设DF =x ，BC =y ，则GF =x ，AD =y ， ∵DC =2DF ，∴CF =x ，DC =AB =BG =2x ，∴BF =BG +GF =3x ；在Rt △BCF 中，BC 2+CF 2=BF 2，即y 2+x 2=（3x ）2 ∴y =22x ，∴ABAD ＝x y 2=2；∵AD=4，（2）由（1）知，GF=DF，设DF=x，BC=y，则GF=x，AD=y，在Rt△BCF中，BC2+CF2=BF2，3.将一副三角尺按图①摆放，等腰直角三角尺的直角边DF 恰好垂直平分AB，与AC相交于点G，BC=23cm.（1）求GC的长；（2）如图②，将△DEF绕点D顺时针旋转，使直角边DF 经过点C，另一直角边DE与AC相交于点H，分别过H、C作AB的垂线，垂足分别为M、N，通过观察，猜想MD与ND的数量关系，并验证你的猜想；（3）在（2）的条件下，将△DEF沿DB方向平移得到△D'E'F'，当D'E'恰好经过（1）中的点G时，请直接写出DD'的长度.第3题图解：（1）在Rt△ABC中，∠BAC=30°，BC=23cm，∴AC=23×3=6cm，AB=43cm，又∵AD=BD，GD⊥AB，∴AD=23cm，在Rt△ADG中，∠BAC=30°，∴DG=2cm，AG=4cm，∴GC=AC－AG=6－4=2cm；（2）MD=ND，证明如下：∵D是AB的中点，∠ACB=90°，∠A=30°，∴BC=BD=AD，∵∠B=60°，∴△CDB为等边三角形.1BD，∵CN⊥BD，∴DN=NB=2在△ADH中，∠HDA=180°－60°－90°=30°，∴∠HDA=∠A=30°，1AD，∴MD=ND；∵HM⊥AB，∴AM=MD=2（3）DD'=23cm.【解法提示】如解图，连接GD,GB；∵GD垂直平分AB，∴AG=BG，∴∠GBA=∠A=30°，∠E'D'A=30°，当点D'与点B 重合时，点G在D'E'上，∴DD'=DB=23cm.第3题解图4.（1）如图①，已知等边△ABC，将直角三角板的60°角顶点D任意放在BC边上（点D不与点B、C重合），使两边分别交线段AB、AC于点E、F．①若AB=6，AE=4，BD=2，则CF= ；②求证：△EBD∽△DCF．（2）若将图①中的三角板的顶点D在BC边上移动，保持三角板与边AB、AC的两个交点E、F都存在，连接EF，如图②所示，问：点D是否存在某一位置，使BD的ED平分∠BEF且FD平分∠CFE？若存在，求出BC 值；若不存在，请说明理由．（3）如图③，在等腰△ABC中，AB=AC，点O为BC 边的中点，将三角形透明纸板的一个顶点放在点O处（其中∠MON=∠B），使两条边分别交边AB、AC于点E、F（点E、F均不与△ABC的顶点重合），连接EF．设∠B=α，则△AEF与△ABC的周长之比为（用含α的表达式表示）．图①图②图③第4题图解：（1）①4；【解法提示】∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC=6，∠B=∠C=60°．∵AE=4，∴BE=2，则BE=BD，∴△BDE是等边三角形，∴∠BED=60°，又∵∠EDF=60°，∴∠CDF=180°－∠EDF－∠B=60°，则∠CDF=∠C=60°，∴△CDF是等边三角形，∴CF=CD=BC－BD=6－2=4．②证明：∵∠EDF=60°，∠B=60°，∴∠CDF+∠BDE=120°，∠BED+∠BDE=120°，∴∠BED=∠CDF．又∠B=∠C=60°，∴△EBD∽△DCF；（2）存在，如解图①，过D作DM⊥BE，DG⊥EF，DN⊥CF，垂足分别是M、G、N，第4题解图①∵ED 平分∠BEF 且FD 平分∠CFE ．∴DM =DG =DN ．又∠B =∠C =60°，∠BMD =∠CND =90°，∴△BDM ≌△CDN ，∴BD =CD ，即点D 是BC 的中点，∴BC BD =21； （3）如解图②，连接AO ，作OG ⊥BE ，OD ⊥EF ，OH ⊥CF ，垂足分别是G 、D 、H ．第4题解图②则∠BGO =∠CHO =90°，∵AB =AC ，O 是BC 的中点，∴∠B =∠C ，OB =OC ，∴△OBG ≌△OCH ，∴OG =OH ，GB =CH ，∠BOG =∠COH =90°－α， 则∠GOH =180°－（∠BOG +∠COH ）=2α，∴∠EOF =∠B =α，由（2）题可猜想应用EF =ED +DF =GE +FH （可通过半角旋转证明），则C △AEF =AE +EF +AF =AE +EG +FH +AF =AG +AH =2AG ， 设AB =m ，则OB =mcosα，GB =mcos 2α．ααcos cos )(222m m m m OB AB AG OB AB AG C C ABC AEF +-=+=+=∆∆=1－cos α． 5.如图，Rt △ACB 中，∠ACB =90°，AC =BC ，E 点为射线CB 上一动点，连接AE ，作AF ⊥AE 且AF =AE ．（1）如图①，过F 点作FD ⊥AC 交AC 于D 点，求证：FD =BC ；（2）如图②，连接BF 交AC 于G 点，若AG =3，CG =1，求证：E 点为BC 中点；（3）当E 点在射线CB 上，连接BF 与直线AC 交于G 点，若BC =4，BE =3，直接写出CGAG 的值.第5题图 （1）证明：∵FD ⊥AC ，∴∠FDA =90°， ∴∠DFA +∠DAF =90°， 同理，∵AF ⊥AE ，∴∠CAE +∠DAF =90°，∴∠DFA =∠CAE ，在△AFD 和△EAC 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠︒=∠=∠AE AF EACAFD ECA ADF 90， ∴△AFD ≌△EAC （AAS ），∴DF =AC ，∵AC =BC ，∴FD =BC ；（2）如解图①，过点F 作FD ⊥AC 于点D ，第5题解图①由（1）得，FD =AC =BC ，AD =CE ，在△FDG 和△BCG 中，⎪⎩⎪⎨⎧=︒=∠=∠∠=∠BC FD BCG FDG BGC FGD 90， ∴△FDG ≌△BCG （AAS ），∴DG =CG =1，∴AD =2，∴CE =2，∵BC =AC =AG +CG =4，∴E 点为BC 中点；（3）311或35.【解法提示】当点E 在CB 的延长线上时，过F 作FD ⊥AG 与AG 的延长线交于点D ，如解图②，第5题解图②BC =AC =4，CE =CB +BE =7，由（1）（2）知：△ADF ≌△ECA ，△GDF ≌△GCB ， ∴CG =GD ，AD =CE =7，∴CG =DG =1.5， ∴CG AG =5.15.14+=311， 同理，当点E 在线段BC 上时，CG AG =5.15.14-=35. 6.如图，在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，点D 为AB 延长线上一点，连接CD ，过A 分别作AM ⊥CD ，垂足为M ，交BC 于点N ，作AP ⊥BC ，垂足为P ，交CD 于点Q ．（1）求证：AN =CQ ；（2）如图，点E 在BA 的延长线上，且AE =BD ，连接EN 并延长交CD 于点F ，求证：DQ =EN ；（3）在（2）的条件下，当AE =32AB 时，求FNEN 的值.第6题图证明：（1）∵AP ⊥BC ，AM ⊥CD ，∴∠APN =∠CPQ =90°，∴∠PNA +∠NAP =∠NAP +∠CQP =90°，∴∠PNA =∠CQP ，∵AB =AC ，∠BAC =90°，∴AP =PC ，∴△APN ≌△CPQ （ASA ），∴AN =CQ ；（2）如解图①，连接BQ ，第6题解图① 由（1）知：AP 是BC 的垂直平分线， ∴BQ =CQ ， ∵AN =CQ ，∴AN =BQ ，∵BQ =CQ ，∴∠QBC =∠QCB =∠NAP ，∵∠PBA =∠PAB =45°，∴∠QBA =∠BAN ，∴∠DBQ =∠NAE ，在△DBQ 和△NAE 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=AE BD EAN DBQ AN BQ , ∴△DBQ ≌△EAN （SAS ），∴DQ =EN ； （3）∵AE =32AB ，即AB AE ＝32， ∴设AE =2x ，AB =3x ，则BD =2x ，DC =34x ，如解图②，过E 作EH ⊥AM ，交MA 的延长线于H ，第6题解图②∴∠H =∠AMD =90°，∴EH ∥DC ，∴△AHE ∽△AMD ，∴52322=+==x x x AD AE AM AH ， ∵∠MAC =∠CDA ，∠ACN =∠DAQ =45°，∴△DQA ∽△ANC ，∴3535===x x AN DQ AC AD ,由（2）知：CQ=AN，∴设AH=8m，AM=20m，AN=17m，则MN=3m，∵EH∥FM，∴△EHN∽△FMN，7.如图，点P是正方形ABCD外一点，连接PA、PD，作BM⊥PA，垂足为E，使BM=PA，再作CN⊥PD，垂足为F，使CN=PD，连接PM、PN．（1）如图①，当PA=PD时，直接写出线段PM、PN的位置关系和数量关系；（2）在（1）的条件下，若∠APD=40°，则∠ABM= ；（3）如图②，当PA≠PD时，（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．第7题图解：（1）结论：PM=PN，PM⊥PN．理由：如解图①，连接AM，DN．第7题解图①∵四边形ABCD是正方形，∴AB =BC =CD =AD ，∴∠BAD =90°，∵PE ⊥BM ，∴∠AEB =90°，∴∠PAD +∠EAB =90°，∠EAB +∠ABE =90°， ∴∠PAD =∠ABE ，∵PA =PD ，在△PAD 和△ABE 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=BAAD ABM PAD BMPA , ∴△PAD ≌△MBA （SAS ），∴AM =PD ，∠AMB =∠APD ，∴MA =MB =PA =PD ，同理可证：ND =NC =PA =PD ，∠DNC =∠APD ，∴∠AME =∠DNF ，∵∠AME +∠MAE =90°，∠DNF +∠NDF =90°， ∴∠MAE =∠NDF ，∴∠PAM =∠PDN ，∴△PAM≌△PDN（SAS），∴PM=PN，∠APM=∠DPN=∠AMP=∠DNP，∵∠AME+∠MAE=90°，∠MAE=∠AMP+∠APM=∠APM+∠NPD，∴∠APD+∠APM+∠NPD=90°，∴∠MPN=90°，∴MP⊥PN．（2）70°;【解法提示】∵PA=PD，∠P=40°，∴∠PAD=∠PDA=70°，由（1）可知：∠ABM=∠PAD=70°．（3）结论仍然成立，理由如下：如解图②，连接MA，延长MA交PF于点Q．第7题解图②由（1）可知：∠PAD=∠ABM，在△PAD 和△ABM 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=BA AD ABM PAD BM PA ∵PA =BM ，AD =BA ，∴△PAD ≌△MBA （SAS ），∴AM =PD ，∠ADP =∠MAB ，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠BAD =∠ADC =90°，AB =AD =CD ，∵∠MAB +∠QAD =90°，∴∠QAD +∠ADP =90°，∴∠AQD =90°，∵PF ⊥CN ，∴∠AQD =∠DFC =90°，∴∠ADQ +∠CDF =90°，∠CDF +∠DCF =90°，∴∠ADQ =∠DCF ，在△ADQ 和△DCF 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠CD AD DCF ADQ DFC AQD ，∴△AQD ≌△DFC （AAS ），∴AQ =DF ，DQ =CF ，∵PD =CN ，∴PQ =FN ，MQ =PF ，∵∠MQP =∠PFN =90°，∴△MQP ≌△PFN （SAS ），∴PM =PN ，∠MPQ =∠N ，∵∠N +∠FPN =90°，∴∠MPQ +∠FPN =90°，∴∠MPN =90°，∴PM ⊥PN ．8、在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠B =30°，M 为AB 中点，点P 为BC 延长线上一点，CP ＜BC ，连接PM ，AC =n ，CP =m ．（1）如图①，将射线MP 绕点M 逆时针旋转60°交CA 延长线于点D ，且BC =AD +CP.①在图中找出与∠MDC相等的角，并加以证明；m的值；②求n（2）如图②，若将射线MP绕点M顺时针旋转60°交AC延长线于点H，求CH的长（用含有m，n的式子表示）第8题图①第8题图②解：（1）①结论：∠ADM=∠PMA．理由：如解图①，连接CM．∵∠ACB=90°，∠B=30°，∴∠BAC=60°，∵BM=MA，∴CM=MA=BM，∴△AMC是等边三角形，∴∠AMC=∠PMN=60°，∴∠PMC=∠AMD，∵∠BAC=∠AMD+∠ADM=60°，∠AMP+∠PMC=60°∴∠ADM=∠PMA．第8题解图①②如解图①，连接CM、作CK∥AB交PM于点K．∵CK∥AB，由（1）知△AMC是等边三角形，∴∠MAC=∠MCA=∠AMC=60°，MA=MC,∵CK∥AB，∴∠ACK=∠MAC=60°，∠AMK=∠MKC,∴∠DAM=∠MCK=120°，∵∠ADM=∠AMP,∴∠MKC=∠MDA，在△MCK 和△MAD 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠MCMA MAD MCK MDAMKC ，∴△MCK ≌△MAD ，∵CK ∥BM ，∴△PKC ∽△PMB ，∴AD =CK ，∵BC =AD +PC ，整理得：m 2+mn －3n 2=0，（3）如解图②，连接CM 、作CK ∥AB 交PM 于点K ．第8题解图② ∵∠PMH =∠ACM =60°， ∴∠PMC +∠CMH =∠CMH +∠H ，∴∠CMK =∠H ，∵∠HCM =∠MCK =120°，∴△HCM ∽△MCK ，∴CK CM MC HC =， ∴nm mnn n HC 3+=, ∴HC =mn mn 23+. 9. 已知四边形ABCD 是正方形，△BEF 是等腰直角三角形，∠BEF =90°，BE =EF ，连接DF ，G 为DF 的中点，连接EG，CG，EC．（1）如图①，若点E在CB边的延长线上，直接写出EC的值；EG与GC的位置关系及GC（2）将图①中的△BEF绕点B顺时针旋转至图②所示位置，请问（1）中所得的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；（3）将图①中的△BEF绕点B顺时针旋转α（0°＜α＜90°），若BE=1，AB=2，当E，F，D三点共线时，求DF的长及tan∠ABF的值．第9题图EC=2，解：（1）EG⊥CG，GC理由如下：如解图①，过G作GH⊥EC于点H，∵∠FEB=∠DCB=90°，∴EF∥GH∥DC，∵G 为DF 中点， ∴H 为EC 中点， ∴EG =GC ，GH =21（EF +DC ）=21（EB +BC ）， 即GH =EH =HC ，∴∠EGC =90°，即△EGC 是等腰直角三角形， ∴GC EC =2；第9题解图① 第9题解图② （2）解：结论还成立，理由如下：如图②，延长EG 到H ，使EG =GH ，连接CH 、EC ，延长CD 交EH 于点N ，过E 作BC 的垂线交CB 延长线于点R ，交DF 延长线于点Q ，∵在△EFG 和△HDG 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=HG EG DGH FGE GD GF ，∴△EFG ≌△HDG （SAS ），∴DH =EF =BE ，∠FEG =∠DHG ，∴EF ∥DH ，又易证ER ∥CD ，∴∠1=∠2，∴∠1=∠2=90°－∠3=∠4，∴∠EBC =180°－∠4=180°－∠1=∠HDC ，在△EBC 和△HDC 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=CD BC HDC EBC DH BE ，∴△EBC ≌△HDC ．∴CE =CH ，∠BCE =∠DCH ，∴∠ECH =∠DCH +∠ECD =∠BCE +∠ECD =∠BCD =90°，∴△ECH 是等腰直角三角形， ∵G 为EH 的中点，∴EG ⊥GC ，GCEC =2， 即（1）中的结论仍然成立；（3）解:如解图③，连接BD ，第9题解图③∵在正方形ABCD 中，AB =2，∴BD =2，∴cos ∠DBE =BD BE =21， ∴∠DBE =60°，∴∠ABE =∠DBE －∠ABD =15°，∴∠ABF =45°－15°=30°，∴tan ∠ABF =33，∴DE =3BE =3， ∴DF =DE －EF =3－1．10.在△ABC 和△ADE 中，AB =AC ，∠BAC =120°，∠ADE =90°，∠DAE =60°，F 为BC 中点，连接BE 、DF ，G 、H 分别为BE ，DF 的中点，连接GH ．（1）如图①，若D 在△ABC 的边AB 上时，请直接写出线段GH 与HF 的位置关系 ，HFGH = ． （2）如图②，将图①中的△ADE 绕A 点逆时针旋转至图②所示位置，其他条件不变，（1）中结论是否改变？请说明理由；（3）如图③，将图①中的△ADE 绕A 点顺时针旋转至图③所示位置，若C 、D 、E 三点共线，且AE =2，AC =5，求线段BE 的长.图① 图② 图③第10题图 解：（1）如解图①，连接DG ，FG ．第10题解图①∵AB =AC ，BF =CF ，∴AF ⊥BC ，∴∠BAF =∠CAF =60°，∵ED ⊥AB ，∴∠BFE =∠BDE =90°，∵BG =GE ，∴DG =21BE ，GF =21BE ，∴DG =FG ，∵DH =HF ，∴GH ⊥DF ，∵∠BAE =60°，∴∠ABE +∠AEB =120°，∵DG=BG=GF=GE，∴∠GBD=∠GDB，∠GEF=∠GFE，∴∠BGD+∠EGF=120°，∴∠DGF=60°，∴△DGF是等边三角形，GH=tan60°=3．∴HF（2）结论不变．理由：如解图②，延长ED至S，使DS=DE，连接AS，BS，CE，FG，DG．第10题解图②∵∠ADE=90°，DS=DE，∴AS=AE，∠DAE=∠DAS=60°，∴∠BAC=∠SAE=120°，∴∠SAB=∠EAC，∵AB=AC，∴△ABS≌△ACE.∴BS=CE，∠ABS=∠ACE，∵F，G分别为BC，BE中点，∴DG=FG，∵H为DF中点，∴GH⊥HF，延长SB交CE延长线于T，∵∠ABS+∠ABT=∠ACE+∠ABT=180°，∴∠BAC+∠T=180°，∴∠T=60°，延长FG交BT于P，∴∠T=∠BPF=∠DGF=60°，（3）如解图③，延长ED到H，使得DH=DE，连接AH，BH，作BM⊥EC于M，设BC交AH于点O．第10题解图③∵AD⊥EH，ED=DH，∴AE=AH，∴∠AEH=∠AHE=30°，∴∠EAH=∠BAC=120°，∴∠BAH=∠CAE，∵AB=AC，AH=AE，∴△BAH≌△CAE（SAS），∴∠BHA=∠AEC=30°，BH=CE，∴∠OBA=∠OHC=30°，∵∠AOB =∠COH ，∴△AOB ∽△COH ，∴△AOC ∽△BOH ，∴∠BHO =∠AOC =30°，∴∠BHE =30°+30°=60°，在Rt △ADE 中，∵AE =2，∠AED =30°，在Rt △EBM 中，11)1233()]332(21[22=-++=.。

几何探究题1题（1）如图1，图2，图3，在ABC △中，分别以AB AC ，为边，向ABC △外作正三角形，正四边形，正五边形,BE CD ，相交于点O ．①如图1,求证：ABE ADC △≌△；②探究：如图1，BOC ∠= ；如图2,BOC ∠=; 如图3，BOC ∠= ．（2)如图4,已知：AB AD ，是以AB 为边向ABC △外所作正n 边形的一组邻边；AC AE ，是以AC 为边向ABC △外所作正n 边形的一组邻边．BE CD ，的延长相交于点O ．①猜想：如图4，BOC ∠= （用含n 的式子表示）；②根据图4证明你的猜想．2题.请阅读下列材料: 问题：如图1，在菱形ABCD 和菱形BEFG 中,点A B E ，，在同一条直线上，P 是线段()()a a b a b +-的中点，连结PG PC ，．若60ABC BEF ∠=∠=，探究PG 与PC 的位置关系及PGPC的值． 小聪同学的思路是:延长GP 交DC 于点H ,构造全等三角形，经过推理使问题得到解决．问题：(1）写出上面问题中线段PG 与PC 的位置关系及PGPC的值； （2）将图1中的菱形BEFG 绕点B 顺时针旋转，使菱形BEFG 的对角线BF 恰好与菱形ABCD 的边AB 在同一条直线上,原问题中的其他条件不变（如图2）．你在（1）中得到的两个结论是否发生变化?写出你的猜想并加以证明．（3）若图1中2(090)ABC BEF ∠=∠=<<αα，将菱形BEFG 绕点B 顺时针旋转任意角度，原问题中的其他条件不变，请你直接写出PGPC的值（用含α的式子表示）． D A BE F C P G 图1 D C G PA B F图23题。

如图，等腰梯形ABCD 中，AB =4,CD =9，∠C =60°，动点P 从点C 出发沿CD 方向向点D 运动，动点Q 同时以相同速度从点D 出发沿DA 方向向终点A 运动,其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动. （1)求AD 的长；（2）设CP =x ，问当x 为何值时△PD Q 的面积达到最大，并求出最大值；（3）探究:在BC 边上是否存在点M 使得四边形PD Q M 是菱形?若存在，请找出点M ，并求出BM 的长；不存在,请说明理由.4题已知矩形ABCD 和点P ，当点P 在BC 上任一位置（如图（1）所示）时，易证得结论：2222PA PC PB PD +=+，请你探究：当点P 分别在图（2)、图（3）中的位置时，2222PA PB PC PD 、、和又有怎样的数量关系？请你写出对上述两种情况的探究结论，并利用图（2）证明你的结论．答:对图（2)的探究结论为____________________________________． 对图(3）的探究结论为_____________________________________． 证明：如图（2)（第25题图） （备用图）5题如图,以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴,建立平面直角坐标系．已知OA＝3,OC＝2，点E是AB的中点，在OA上取一点D，将△BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处．（1）直接写出点E、F的坐标;（2)设顶点为F的抛物线交y轴正半轴．．．于点P，且以点E、F、P为顶点的三角形是等腰三角形,求该抛物线的解析式；（3）在x轴、y轴上是否分别存在点M、N，使得四边形MNFE的周长最小?如果存在,求出周长的最小值;如果不存在,请说明理由．6题如图1，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点(点G与C、D不重合），以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连结BG，DE．我们探究下列图中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系：(1）①猜想如图1中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系；②将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针（或逆时针)方向旋转任意角度α，得到如图2、如图3情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立,并选取图2证明你的判断．(2）将原题中正方形改为矩形（如图4—6），且AB=a,BC=b，CE=ka，CG=kb（a≠b，k>0)，第（1)题①中得到的结论哪些成立，哪些不成立？若成立，以图5为例简要说明理由．（3）在第（2)题图5中,连结DG、BE，且a=3，b=2，k=12,求22BE DG+的值．7题正方形ABCD中,点O是对角线AC的中点，P是对角线AC上一动点，过点P作PF⊥CD于点F。

几何图形探究题1．(1)问题发现如图①，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝2，AC ＝4，点D 为BC 的中点，过点D 作射线DE ⊥DF ，分别交AB ，AC 于点E ，F ，当DE ⊥AB ，DF ⊥AC 时，DEDF ＝________； (2)类比探究若∠EDF 绕着点D 旋转到图②的位置，(1)中其他条件不变，DEDF ＝________；若改变点D 的位置，当CD BD ＝a b 时，求DEDF 的值，请就图③的情形写出解答过程；图① 图②第1题图(3)问题解决如图③，AB ＝2，AC ＝4，连接EF ，当CD ＝____时，△DEF 为等腰直角三角形；当CD ＝____时，△DEF 与△ABC 相似．图③ 第1题图解：(1)2；【解法提示】∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∠BAC ＝90°，∴DF ∥AE ，DE ∥AC ，∴△BED∽△BAC，△CDF∽△CBA，∴DEAC＝BDBC，DFAB＝CDBC，∵点D为BC的中点，AB＝2，AC＝4，∴DE4＝12，DF2＝12，∴DE＝2，DF＝1，∴DEDF＝2.(2)2；【解法提示】如解图①，过点D作DM⊥AB于点M，作DN⊥AC于点N，∵∠A＝∠DMA＝∠DNA＝90°，∴∠MDN＝90°，∵∠MDE＋∠EDN＝∠NDF ＋∠EDN，∴∠MDE＝∠NDF，又∵∠DME＝∠DNF，∴△DEM∽△DFN，∴DEDF＝DMDN，由(1)可得DMDN＝2，∴DEDF＝2.第1题解图①如解图②，过点D作DG⊥AB于点G，作DH⊥AC于点H，∴∠GDH＝90°，∴∠EDG＋∠GDF＝∠FDH＋∠GDF＝90°，∴∠EDG＝∠FDH，又∵∠DGE＝∠DHF＝90°，第1题解图②∴△DGE∽△DHF，∴DEDF＝DGDH，∵∠BAC＝90°，∴DG ∥AC ，DH ∥AB ，∴△BDG ∽△BCA ，△CDH ∽△CBA ， ∴DG AC ＝BD BC ，CD BC ＝DH AB ， ∵CD BD ＝a b ，∴BD BC ＝BD BD ＋CD ＝b a ＋b ，CD BC ＝CD BD ＋CD ＝a a ＋b ，∴DG 4＝b a ＋b ，DH 2＝aa ＋b ，∴DE DF ＝DG DH ＝2ba ； (3)453；855或 5.【解法提示】∵∠EDF ＝90°，∴当△DEF 为等腰直角三角形时，DE ＝DF ，由(2)中的结论可知，DE DF ＝2ba ＝1，∴a ＝2b ，∴BC ＝3b ，在Rt △ABC 中，∵AB ＝2，AC ＝4，由勾股定理得BC ＝22＋42＝25，∴CD ＝23BC ＝453.∵∠EDF ＝∠A ＝90°，∴△DEF 与△ABC 相似有两种情况：①当△DEF ∽△ABC 时，DE AB ＝DF AC ，即DE DF ＝AB AC ＝12，∴2b a ＝12，∴a ＝4b ，∴CD ＝45BC ＝855；②当△DEF ∽△ACB 时，DE AC ＝DF AB ，即DE DF ＝AC AB ＝2，∴2b a ＝2，∴a ＝b ，∴CD ＝12BC＝ 5.综上所述，当CD ＝855或5时，△DEF 与△ABC 相似．2．在数学兴趣小组活动中，小亮进行数学探究活动．△ABC 是边长为2的等边三角形，E 是AC 上一点，小亮以BE 为边向BE 的右侧作等边三角形BEF ，连接CF .(1)如图①，当点E 在线段AC 上时，EF 、BC 相交于点D ，小亮发现有两个三角形全等，请你找出来，并证明；(2)当点E 在线段AC 上运动时，点F 也随着运动，若四边形ABFC 的面积为734，求AE的长；(3)如图②，当点E在AC的延长线上运动时，CF、BE相交于点D，请你探求△ECD的面积S1与△DBF的面积S2之间的数量关系，并说明理由；(4)如图②，当△ECD的面积S1＝36时，求AE的长．图①图②第2题图解：(1)△ABE≌△CBF.理由如下：∵△ABC与△EBF都是等边三角形，∴AB＝CB，BE＝BF，∠ABC＝∠EBF＝60°，∴∠CBF＝∠ABE＝60°－∠CBE，∴△ABE≌△CBF(SAS)；(2)由(1)知点E在运动过程中始终有△ABE≌△CBF.∵S四边形BECF＝S△BCF＋S△BCE，∴S四边形BECF＝S△ABC，∵△ABC是边长为2的等边三角形，∴S△ABC＝34×22＝3，∴S四边形BECF＝3，又∵S四边形ABFC ＝734，∴S △ABE ＝S 四边形ABFC －S 四边形BECF ＝334， 在△ABE 中，∵∠A ＝60°，∴AB 边上的高为AE ·sin60°，则S △ABE ＝12AB ·AE ·sin60°＝12×2×32AE ＝334，∴AE ＝32； (3)S 2－S 1＝ 3.理由如下：∵△ABC 与△EBF 都是等边三角形，∴AB ＝CB ，BE ＝BF ，∠ABC ＝∠EBF ＝60°，∴∠CBF ＝∠ABE ＝60°＋∠CBE ，∴△ABE ≌△CBF ， ∴S △ABE ＝S △CBF ，∴S △FDB ＝S △ECD ＋S △ABC ， ∴S △FDB －S △ECD ＝S △ABC ＝3，即S 2－S 1＝3； (4)由(3)知S 2－S 1＝3，即S △FDB －S △ECD ＝3， 由S △ECD ＝36得S △BDF ＝736，∵△ABE ≌△CBF ， ∴AE ＝CF ，∠BAE ＝∠BCF ＝60°，又∵∠BAE ＝∠ABC ＝60°，得∠ABC ＝∠BCF ，∴CF ∥AB ，则在△BDF 中，DF 边上的高是AC ·sin60°＝3，∴12DF ×3＝736，解得DF ＝73，设CE ＝x ，则2＋x ＝CD ＋DF ＝CD ＋73， ∴CD ＝x －13，在△ABE 中，由CD ∥AB 得，CD AB ＝CE AE ，即x －132＝xx ＋2，化简得3x2－x－2＝0，∴x＝1或x＝－23(舍)，即CE＝1，∴AE＝3.3．如图①，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，若点E在AB的延长线上，EF∥AD，EF＝BE，点P是DE的中点，连接FP并延长交AD于点G，连接FB.(1)过D点作DH⊥AB，垂足为点H，若DH＝23，BE＝14AB，求DG的长；(2)连接CP，求证：CP⊥FP；(3)如图②，若点E在CB的延长线上运动，点F在AB的延长线上运动，且BE＝BF，连接DE，点P为DE的中点，连接FP，CP，那么第(2)问的结论成立吗？若成立，求出PFCP的值；若不成立，请说明理由．图①图②第3题图(1)解：∵四边形ABCD为菱形，∠ABC＝60°，∴DA∥BC，CD＝CB，∠CDG＝∠CBA＝60°，∴∠DAH＝∠ABC＝60°，∵DH⊥AB，∴∠DHA＝90°，在Rt△ADH中，sin∠DAH＝DH AD，∴AD＝DHsin∠DAH＝2332＝4，又∵AB＝AD，∴BE＝14AB＝14×4＝1，∵EF∥AD，∴∠PDG＝∠PEF，∵P为DE的中点，∴PD＝PE，又∵∠DPG＝∠EPF，∴△PDG≌△PEF(ASA)，∴DG＝EF，又∵EF＝BE，∴DG＝EF＝1；(2)证明：如解图①，连接CG，CF，第3题解图①由(1)知△PDG≌△PEF，∴PG＝PF，∵EF∥AD，AD∥BC，∴EF ∥BC ，∴∠FEB ＝∠CBA ＝60°， ∵EF ＝BE ，∴△BEF 为等边三角形， ∴BF ＝EF ＝BE ，∠EBF ＝60°， ∵DG ＝EF ，∠ABC ＝60°，∴BF ＝DG ，∠CBF ＝∠ABC ＝∠CDG ＝60°， 在△CDG 与△CBF 中，⎩⎨⎧CD ＝CB∠CDG ＝∠CBF DG ＝BF， ∴△CDG ≌△CBF (SAS)， ∴CG ＝CF ， ∵PG ＝PF ， ∴CP ⊥FP ；(3)解：CP ⊥FP 仍成立．如解图②，过D 作EF 的平行线，交FP 的延长线于点G ，连接CG ，CF ，第3题解图②易证△PEF ≌△PDG ，∴DG ＝EF ＝BF ， ∵DG ∥EF ， ∴∠GDP ＝∠FEP ， ∵DA ∥BC ， ∴∠ADP ＝∠PEC ，∴∠GDP －∠ADP ＝∠FEP －∠PEC ， ∴∠GDA ＝∠BEF ＝60°，∴∠CDG ＝∠ADC ＋∠GDA ＝120°， ∵∠CBF ＝180°－∠ABC ＝120°， 在△CDG 和△CBF 中，⎩⎨⎧CD ＝CB∠CDG ＝∠CBF ，DG ＝BF∴△CDG ≌△CBF (SAS)， ∴CG ＝CF ，∠DCG ＝∠FCB ， ∵PG ＝PF ，∴CP ⊥PF ，∠GCP ＝∠FCP ， ∵∠DCB ＝180°－∠ABC ＝120°， ∴∠DCG ＋∠GCE ＝120°， ∴∠FCE ＋∠GCE ＝120°， 即∠GCF ＝120°，∴∠FCP＝12∠GCF＝60°，在Rt△CPF中，tan∠FCP＝tan60°＝PFCP＝ 3.∴PFCP＝ 3.4．已知点O是△ABC内任意一点，连接OA并延长到点E，使得AE＝OA，以OB，OC为邻边作▱OBFC，连接OF，与BC交于点H，再连接EF.(1)如图①，若△ABC为等边三角形，求证：①EF⊥BC；②EF＝3BC；(2)如图②，若△ABC为等腰直角三角形(BC为斜边)，猜想(1)中的两个结论是否成立？若成立，直接写出结论即可；若不成立，请说明理由；(3)如图③，若△ABC是等腰三角形，且AB＝AC＝kBC，求EF与BC之间的数量关系．图①图②图③第4题图(1)证明：①如解图①，连接AH，∵四边形OBFC 是平行四边形， ∴BH ＝HC ＝12BC ，OH ＝HF ， ∵△ABC 是等边三角形， ∴AB ＝BC ，AH ⊥BC ， 又∵OA ＝AE ，OH ＝HF ， ∴AH 是△OEF 的中位线， ∴AH ＝12EF ，AH ∥EF ， ∴EF ⊥BC ；②由①得AH ⊥BC ，AH ＝12EF ， ∵在Rt △ABH 中，AH 2＝AB 2－BH 2， ∴AH ＝BC 2－（12BC ）2＝32BC ，∴32BC ＝12EF ， ∴EF ＝3BC ；(2)解：EF ⊥BC 仍然成立，EF ＝BC ； 【解法提示】如解图②，连接AH ，∵四边形OBFC是平行四边形，∴BH＝HC＝12BC，OH＝HF，又∵△ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形，∴AH⊥BC，AH＝BH＝12BC，又∵OA＝AE，OH＝HF，∴AH是△OEF的中位线，∴AH＝12EF，AH∥EF，∴EF⊥BC，EF＝2AH＝BC，∴(1)中的结论①EF⊥BC仍成立，但结论②不成立，EF 与BC的关系应为EF＝BC；(3)解：如解图③，连接AH，第4题解图③∵四边形OBFC是平行四边形，∴BH＝HC＝12BC，OH＝HF，又∵△ABC是等腰三角形，AB＝kBC，∴AH ⊥BC ，在Rt △ABH 中，AH 2＝AB 2－BH 2＝(kBC )2－(12BC )2＝(k 2－14)BC 2， ∴AH ＝4k 2－12BC ，又∵OA ＝AE ，OH ＝HF ， ∴AH 是△OEF 的中位线， ∴AH ＝12EF ， ∴4k 2－12BC ＝12EF ， ∴EF ＝4k 2－1 BC .5．如图①，在△ABC 中，∠ABC ＝45°，AH ⊥BC 于点H ，点D 在AH 上，且DH ＝CH ，连接BD . (1)求证：BD ＝AC ；(2)将△BHD 绕点H 旋转，得到△EHF (点B ，D 分别与点E ，F 对应)，连接AE .①如图②，当点F 落在AC 上(F 不与C 重合)时，若BC ＝4，tan C ＝3，求AE 的长；②如图③，△EHF 是由△BHD 绕点H 逆时针旋转30°得到的，设射线CF 与AE 相交于点G ，连接GH .试探究线段GH 与EF 之间满足的等量关系，并说明理由．图① 图② 图③第5题图(1)证明：∵∠ABC ＝45°，AH ⊥BC ， ∴△ABH 是等腰直角三角形， ∴BH ＝AH ，在△BHD 和△AHC 中，⎩⎨⎧BH ＝AH∠BHD ＝∠AHC DH ＝CH， ∴△BHD ≌△AHC (SAS)， ∴BD ＝AC ；(2)解：①如解图①，过点H 作HM ⊥AE 交AE 于点M ，第5题解图①在Rt △AHC 中，tan C ＝3， ∴AHHC ＝3， ∴BH ＝AH ＝3CH ， 又∵BC ＝4，∴BC ＝BH ＋HC ＝4CH ＝4，∴CH＝1，BH＝3，由旋转的性质可以得到，HE＝BH＝3，HF＝DH＝HC＝1，∠EHF＝∠AHB＝∠AHC＝90°，∴∠EHA＝∠FHC，∴∠EAH＝∠C＝∠AEH，∴AM＝EM，∴tan∠EAH＝tan C＝3，设AM＝x，则HM＝AM·tan∠EAH＝3x，在Rt△AHM中，由AH2＝AM2＋HM2，得32＝x2＋(3x)2，∴x＝310 10，∴AE＝2AM＝2x＝310 5；②EF＝2GH.理由：设AH交CG于点N，如解图②，由旋转的性质可得，HE＝HB＝HA，HF＝HD＝HC，∵旋转角度为30°，∴∠FHD＝∠BHE＝30°，∴∠EHA＝∠FHC＝120°，第5题解图②∴∠FCH＝∠GAH＝30°，又∵∠ANG＝∠HNC，∴△ANG∽△CNH，∴∠AGN＝∠CHN＝90°，GN AN＝HN CN，又∵∠GNH＝∠ANC，∴△GNH∽△ANC，∴GHAC＝GNAN＝12，∵由(1)可知，△BHD≌△AHC. ∴△EHF≌△AHC，∴EF＝AC，∴EFGH＝ACGH＝2，∴EF＝2GH.6．我们定义：如图①，在△ABC中，把AB绕点A顺时针旋转α(0°＜α＜180°)得到AB′，把AC绕点A逆时针旋转β得到AC′，连接B′C′.当α＋β＝180°时，我们称△AB′C′是△ABC的“旋补三角形”，△AB′C′边B′C′上的中线AD叫做△ABC的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．特例感知(1)在图②，图③中，△AB′C′是△ABC的“旋补三角形”，AD是△ABC的“旋补中线”．①如图②，当△ABC为等边三角形时，AD与BC的数量关系为AD＝____BC；②如图③，当∠BAC＝90°，BC＝8时，则AD长为________；猜想论证(2)在图①中，当△ABC为任意三角形时，猜想AD与BC的数量关系，并给予证明；拓展应用(3)如图④，在四边形ABCD中，∠C＝90°，∠D＝150°，BC＝12，CD＝23，DA＝6.在四边形内部是否存在点P，使△PDC是△P AB的“旋补三角形”？若存在，给予证明，并求△P AB的“旋补中线”长；若不存在，说明理由．图①图②图③图④第6题图解：(1)①12；② 4；【解法提示】①由旋转可得到AB＝AB′＝AC＝AC′，∵∠BAC＝60°，∴∠B′AC′＝120°，∴∠AB′C′＝30°，又∵AD为B′C′上的中线，∴AD⊥B′C′，∴AD＝12AB′＝12AB＝12BC；②由“旋补三角形”定义可得：∠B′AC′＝90°，易证△AB′C′≌△ABC，∴B′C′＝BC，∵点D为B′C′的中点，∴AD＝12BC＝4.(2)AD＝12BC.证明：如解图①，延长AD至E，使DE＝AD.第6题解图①∵AD是△ABC的“旋补中线”，∴B′D＝C′D.∴四边形AB′EC′是平行四边形，∴EC′∥B′A，EC′＝B′A，∴∠AC′E＋∠B′AC′＝180°.由定义可知∠B′AC′＋∠BAC＝180°，B′A＝BA，AC＝AC′，∴∠AC′E＝∠BAC，EC′＝BA，∴△AC′E≌△CAB，∴AE＝BC，∵AD＝12AE，∴AD＝12BC；(3)存在；证明：如解图②，作PE垂直平分BC，且使PE＝CD，连接P A，PB，PC，PD，可得PC＝PB，∵∠DCE＝∠CEP＝90°，∴PE∥CD；∴四边形PECD为矩形；∴PE＝CD＝23，PD＝CE＝AD＝6，∠PDC＝90°；∴tan∠PCE＝PECE＝33，∴∠PCE＝∠PBE＝30°，即∠BPC＝120°，又由∠ADC＝150°，可得∠ADP＝60°，∴△P AD为等边三角形，第6题解图②∴PD＝P A，∠APD＝60°.∵∠BPC＋∠DP A＝120°＋60°＝180°，∴△PCD是△P AB的“旋补三角形”；取CD的中点M，连接PM，可得DM ＝3，PD ＝6.由勾股定理得PM ＝DM 2＋PD 2＝（3）2＋62＝39， ∴△P AB 的“旋补中线”长为39.7．如图，在△ABC 中，矩形EFGH 的一边EF 在AB 上，顶点G 、H 分别在BC 、AC 上，CD 是边AB 上的高，CD 交GH 于点I ，若CI ＝4，HI ＝3，AD ＝92，矩形DFGI 恰好为正方形．(1)求正方形DFGI 的边长；(2)如图，延长AB 至P ，使得AC ＝CP ，将矩形EFGH 沿BP 的方向向右平移，当点G 刚好落在CP 上时，试判断移动后的矩形与△CBP 重叠部分的形状是三角形还是四边形，为什么？第7题图解：(1)∵四边形EFGH 为矩形， ∴HG ∥EF ，∴HI AD ＝CI CD ，即392＝4CD ，解得CD ＝6，∴ID ＝CD －CI ＝2，即正方形DFGI 的边长为2； (2)移动后的矩形与△CBP 重叠部分的形状是三角形． 理由如下：如解图，设在移动过程中，当点G 刚好落在CP 上时，矩形EFGH 移动到矩形E ′F ′G ′H ′，∵AC ＝PC ，CD ⊥AB ， ∴∠A ＝∠P ，AD ＝PD ， 在△AEH 和△PF ′G ′中，∵⎩⎨⎧∠A ＝∠P∠AEH ＝∠PF ′G ′EH ＝F ′G ′，第7题解图∴△AEH ≌△PF ′G ′(AAS)， ∴AE ＝PF ′， ∵AD ＝PD ，∴AD －AE ＝PD －PF ′， 即DE ＝DF ′＝3， ∵HG ∥AB ， ∴△CHG ∽△CAB ， ∴HG AB ＝CI CD ，即3＋2AB ＝44＋2，解得AB ＝152， ∴DB ＝AB －AD ＝3，∴DB＝DF′，即点F′与点B重合，也就是说在移动过程中，当点G刚好落在CP上时，矩形EFGH的F点刚好运动到点B，∴移动后的矩形与△CBP重叠部分的形状是三角形．8．如图①，在▱ABCD中，DH⊥AB于点H，CD的垂直平分线交CD于点E，交AB于点F，AB＝6，DH＝4，BF∶F A＝1∶5.(1)如图②，作FG⊥AD于点G，交DH于点M，将△DGM沿DC方向平移，得到△CG′M′，连接M′B.①求四边形BHMM′的面积；②直线EF上有一动点N，求△DNM周长的最小值．(2)如图③，延长CB交EF于点Q，过点Q作QK∥AB，过CD边上的动点P作PK∥EF，并与QK交于点K，将△PKQ沿直线PQ翻折，使点K的对应点K′恰好落在直线AB上，求线段CP的长．图①图②图③备用图第8题图解：(1)①在▱ABCD中，AB＝6，∵直线EF垂直平分CD，∴EF⊥CD，∵CD∥AB，∴EF⊥BH，又∵DH⊥AB，∴四边形EFHD为矩形，∴DE＝FH＝3，又∵BF∶F A＝1∶5，∴AH＝2，第8题解图①∵Rt△AHD∽Rt△MHF，∴HMFH＝AHDH，即HM3＝24，∴HM＝1.5，根据平移的性质，MM'＝CD＝6，如解图①，连接BM，∴四边形BHMM′的面积为12×(6＋4)×1.5＝7.5；②如解图②，连接CM交直线EF于点N，连接DN，第8题解图②∵直线EF垂直平分CD，∴CN＝DN，∵MH＝1.5，∴DM＝2.5，在Rt△CDM中，MC2＝DC2＋DM2，∴MC2＝62＋(2.5)2，解得MC＝6.5，∴MN＋DN＝MN＋CN＝MC，∴△DNM周长的最小值为DM＋MC＝9；(2)∵BF∥CE，∴QFQF＋4＝BFCE＝13，∴QF＝2，∴PK＝PK′＝6，如解图③，过点K′作E′F′∥EF，分别交CD于点E'，交QK于点F'，第8题解图③当点P在线段CE上时，在Rt△PK′E′中，PE′2＝PK′2－E′K′2，∴PE′＝25，∵Rt△PE′K′∽Rt△K′F′Q，∴PE′K′F′＝E′K′QF′，即252＝4QF′，解得QF′＝45 5，第8题解图④∴PE＝PE′－EE′＝25－455＝655，∴CP＝15－655，同理可得，如解图④，当点P在线段DE上时，CP′＝15＋655，综上所述，CP的长为15－655或15＋655.9．问题发现(1)如图①，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD ＝40°，连接AC，BD交于点M.填空：①ACBD的值为________；②∠AMB的度数为________．类比探究(2)如图②，在△OAB和△OCD中，∠AOB＝∠COD＝90°，∠OAB＝∠OCD＝30°，连接AC交BD的延长线于点M.请判断ACBD的值及∠AMB的度数，并说明理由；拓展延伸(3)在(2)的条件下，将△OCD绕点O在平面内旋转，AC，BD所在直线交于点M.若OD＝1，OB＝7，请直接写出当点C与点M重合时AC的长．图①图②备用图第9题图解：(1)①1；②40°；(2)ACBD＝3，∠AMB＝90°；理由如下：∵∠AOB＝∠COD＝90°，∠OAB＝∠OCD＝30°，∴CODO＝AOBO＝3，∠COD＋∠AOD＝∠AOB＋∠AOD，即∠AOC＝∠BOD，∴△AOC∽△BOD，∴ACBD＝CODO＝3，∠CAO＝∠DBO.∵∠AOB＝90°，∴∠DBO＋∠ABD＋∠BAO＝90°.∴∠CAO＋∠ABD＋∠BAO＝90°，∴∠AMB＝90°；(3)①点C与点M重合时，如解图①，同理得：△AOC∽△BOD，∴∠AMB＝90°，设BD＝x，则AC＝3x，Rt△COD中，∠OCD＝30°，OD＝1，∴CD＝2，BC＝x－2，Rt△AOB中，∠OAB＝30°，OB＝7，∴AB＝2OB＝27，在Rt△AMB中，由勾股定理得：AC2＋BC2＝AB2，(3x)2＋(x－2)2＝(27)2，解得x1＝3，x2＝－2(舍去)，∴AC＝33；②点C与点M重合时，如解图②，同理可得：∠AMB＝90°，ACBD＝3，设BD＝x，则AC＝3x，在Rt△AMB中，由勾股定理得：AC2＋BC2＝AB2，(3x)2＋(x＋2)2＝(27)2解得x1＝－3(舍去)，x2＝2，∴AC＝23，综上所述，AC的长为33或2 3.图①图②第9题解图10．如图，已知△BAD和△BCE均为等腰直角三角形，∠BAD＝∠BCE＝90°，点M为DE的中点，过点E作EN∥AD交AM的延长线于点N.(1)当A，B，C三点在同一条直线上时(如图①)，直接写出线段AD与NE的数量关系为________．(2)将图①中的△BCE绕点B旋转，当A，B，E三点在同一直线上时(如图②)，判断△ACN是什么特殊三角形并说明理由．(3)将图①中△BCE绕点B旋转到图③位置，此时A，B，M三点在同一直线上．求证：若AC＝32，AD＝1，则四边形ACEN的面积为21 2.图①图②图③第10题图(1)解：AD＝NE.【解法提示】∵EN∥AD，∴∠MAD＝∠MNE，∠ADM＝∠NEM.∵点M为DE的中点，∴DM＝EM.∴△ADM≌△NEM(AAS)．∴AD＝NE；(2)解：△ACN为等腰直角三角形．理由如下：∵△BAD和△BCE均为等腰直角三角形，∴AB＝AD，CB＝CE，∠CBE＝∠CEB＝45°.∵AD∥NE，∴∠DAE＋∠NEA＝180°.∵∠DAE＝90°，∴∠NEA＝90°.∴∠NEC＝135°.∵A，B，E三点在同一条直线上，∴∠ABC＝180°－∠CBE＝135°.∴∠ABC＝∠NEC.∵△ADM≌△NEM，∴AD＝NE.∵AD＝AB，∴AB＝NE，∴△ABC≌△NEC.∴AC＝NC，∠ACB＝∠NCE.∴∠ACN＝∠BCE＝90°.∴△ACN为等腰直角三角形；(3)证明：如解图，连接CM.第10题解图∵AD∥NE，M为DE的中点，∴易得△ADM≌△NEM，∴AD＝NE.∵AD＝AB，∴AB＝NE，∵AD∥NE，∴AN⊥NE，在四边形BCEN中，∵∠BCE＝∠BNE＝90°，∴∠NBC＋∠NEC＝360°－180°＝180°，∵∠NBC＋∠ABC＝180°，∴∠ABC＝∠NEC，∴△ABC≌△NEC.∴AC＝NC，∠ACB＝∠NCE.∴∠ACN＝∠BCE＝90°.∴△ACN为等腰直角三角形，由(1)可知，△AMD≌△NME，∴AM＝MN，AD＝NE＝1，∴CM⊥AN，AM＝CM＝MN，∵AC＝32，∴AM＝CM＝MN＝3，∴S四边形ACEN ＝S△AMC＋S直角梯形MNEC＝12×3×3＋12×(3＋1)×3＝212.31。

2020年中考数学热点专练八动态几何问题（江苏版）（解析版）专题导读动态几何问题，是近年来的热点问题.它几乎成了每个城市中考试卷中的亮点，拿到一套试卷，总是习惯先看看有没有关于动态几何的问题.动态几何问题也就是关于图形运动的一类问题，它主要是牵扯到图形的三种变换：平移、旋转、轴对称及动点问题.当然考查图形的运动问题有小题，也有大题，小题主要分布在选择和填空的最后一两个题，也就是小压轴题，解答题中也会有关于图形的运动问题，主要有两类，一类是关于平移、旋转、轴对称的作图，这个比较简单，我们这里就不说了；另一类就是我们介绍的重点一一研究图形在运动过程中产生的一些图形性质上的变化和不变的情况.这几乎成了压轴题基本上共同的特点.中考要求中考要求课程标准和中考说明都要求学生要具备一定的用运动观点分析问题的能力.学会在运动变化中寻求不变的图形性质.学会运用函数的观点研究关于图形运动中性质的变化情况.专题集训考向1图形的运动与最值1.（2019江苏省连云港市）如图，在矩形ABCD中，AB=4,AD=3,以点C为圆心作。

与直线相切，点P是QC±一个动点，连接AP交于点T,则业的最大值是AT2.（2019江苏省无锡市）如图，在AABC中，AB=AC=5,BC=4逐，D为边AB上一动点（3点除外），以CD为一边作正方形CDEF,连接8E,则ABDE面积的最大值为.3.（2019江苏省宿迁市）如图，ZMAN^60°,若△ABC的顶点3在射线AM上，且A3=2,点。

在射线AN上运动，当AABC是锐角三角形时，BC的取值范围是.4.（2019江苏省宿迁市）如图，正方形ABCQ的边长为4,E为BC上一点，且BE=1,F为AB边上的一个动点，连接EF,以EF为边向右侧作等边△EFG,连接CG,则CG的最小值为.5.(2019江苏省扬州市)如图，己知等边△ABC的边长为8,点F是边上的一个动点(与点A、B不重合).直线1是经过点P的一条直线，把△ABC沿直线1折叠，点B的对应点是点B'.(1)如图1,当PB=4时，若点可恰好在AC边上，则菌，的长度为；(2)如图2,当PB=5时，若直线1〃AC,则33,的长度为；(3)如图3,点P在AB边上运动过程中，若直线1始终垂直于AC,AACB'的面积是否变化？若变化，说明理由；若不变化，求出面积；(4)当PB=6时，在直线1变化过程中，求可面积的最大值.6.(2019江苏省苏州市)已知矩形ABCD AB=5cm,点F为对角线AC上的一点，且AP =26cm.如图①，动点M从点A出发，在矩形边上沿着的方向匀速运动(不包含点C).设动点M的运动时间为I(s),A4PM的面积为S(enF),S与f的函数关系如图②所示:(1)直接写出动点M的运动速度为cm/s,BC的长度为cm-,(2)如图③，动点M重新从点A出发，在矩形边上，按原来的速度和方向匀速运动.同时，另一个动点N从点£＞出发，在矩形边上沿着D t C t B的方向匀速运动，设动点N的运动速度为v(cm/s).已知两动点M、N经过时间x(s)在线段BC上相遇(不包含点C),动点N相遇后立即停止运动，记此时AARW与AZJRV的面积为5]（＜?麻）,$2（伽2）.①求动点N运动速度v（cm/s）的取值范围；②试探究S] .S?是否存在最大值.若存在，求出S|・S2的最大值并确定运动速度时间x的值;若不存在，请说明理由.(B®)7.（2019江苏省扬州市）如图，四边形A3CD是矩形，A3=20,BC=10,以CD为一边向矩形外部作等腰直角△GDC,ZG=90°.点M在线段AB上，且AM=a,点P沿折线AQ-DG运动，点Q沿折线BC-CG运动（与点G不重合），在运动过程中始终保持线段PQ//AQ.设PQ与AB之间的距离为x.（1）若a=12.①如图1,当点F在线段AD上时，若四边形AMQF的面积为48,则x的值为；②在运动过程中，求四边形AMQP的最大面积；（2）如图2,若点P在线段ZJG上时，要使四边形AMQP的面积始终不小于50,求a的取值范围.考向2动点与函数的结合问题1.(2019江苏省连云港市)如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线L：y^x+bx+c过点C(0,-3),与抛物线£2：-lx2-旦t+2的一个交点为A,且点A的横坐标为2,点22P、Q分别是抛物线3、3上的动点.(1)求抛物线3对应的函数表达式；(2)若以点A、C、P、Q为顶点的四边形恰为平行四边形，求出点F的坐标；(3)设点R为抛物线3上另一个动点，且CA平分ZPCR.若OQ//PR,求出点。