法向量求法及应用方法

法向量求法及应用方法

平面法向量的求法及其应用

一、平面的法向量

1、 定义：如果al：，那么向量a叫做平面：的 法向量。平面:-的法向量共有两大类（从方向 上分），无数条。

2、 平面法向量的求法

方法一（内积法）：在给定的空间直角坐标系中， 设平面:的法向量；=（X, y,1）［或 *=（x,1,z），或： = （1,y,z）］，

在平面:内任找两个不共线的向量a,b。由二，，得 n a=o且nb=o，由此得到关于x,y的方程组，解此方 程组即可得到n。

方法二：任何一个X,y,z的一次次方程的图形是平 面；反之，任何一个平面的方程是 x,y,z的一次方

程。Ax By Cz 0 （A,B,C不同时为0），称为平面的一般 方程。其法

向量n> = （AB,C）；若平面与3个坐标轴的 交点为R（a,0,0）,P2（0,b,0）,P3（0,0,c）,如图所示，则平面方程 为:{ b亍1,称此方程为平面的截距式方程，把它 化为一般式即可求出它的法向量。

方法三（外积法）： 设 必&为空间中两个不平行的非零向量，其外积 a

b为一长度等于|a||b|si n =，（ 9为.,两者交角，且0":::二），而与 , 皆垂直的向量。通常我们采取「右手定则」，也就是右手四指由 …的方向转为

■的方向时，大拇指所指的方向规定为a b的方向，a b a。

、J-1 |tT T J X1 乙 X1 y1

设a ugyszjb二凶卩乙),则 a汉 b =

| y2 Z2 J — X2 Z2 J X2 y2

(注：1、二阶行列式：M=a : =ad_cb ； 2、适合右

c d ‘

手定则。)

例 1、 已知，a'(21,0),bl( — 1,2,1), 试求(i): ( 2): b爲.

Key:⑴ a汉 b=(1,—2,5) ； (2)b3=(-1,2,5)

例2、如图1-1,在棱长为2的正方体ABCD—ABCP中， 求平面 AEF的一y个法量向二AF AE =(1,2,2) 量n。

二、平面法向量的应用

1、 求空间角

(1)、求线面角：如图2-1,

设n是平面:'的法向量， AB是平面:的一条斜线，

A -，则AB与平面: 所成的角为：

n t t n n, AB arccos

2 2 |n||AB|

T T n AB

J -< n, AB arccos 、

2 |n| |

平面角为：

T T

m n 图 2-1-1: >4 --- /sin 日=| cos c n, AB 纠

AB| 2

求面面角：设向量m， n分别是平面.的法

量，则二

的 T T

0

m n

6

v -：：： m, n 二 arccos （图 2-2）；

|m| fn|

T T

J J m n

v -：：： m, n 二:-arccos （图 2-3）

|m| |n|

两个平面的法向量方向选取合适，可使法向量夹 角就等于二面角的平面角。约定，在图 2-2中， m的方向对平面，而言向外，n的方向对平面而 言向内；在图2-3中，m的方向对平面：而言向 内，n的方向对平面「：而言向内。我们只要用两个 向量的向量积（简称“外积”，满足“右手定则”） 使得两个半平面的法向量一个向内一个向外， 则 这两个半平面的法向量的夹角即为二面角 -1-

的平面角

2、 求空间距离

（1 ）、异面直线之间距离：

方法指导：如图2-4,①作直线a、b的方向向量

T T

a、 b，

求a、b的法向量n，即此异面直线平b的公垂 线的方向向量； J . n “ a

② 在直线a、b上各取一点A、B,，作向量 AB ；

③ 求向量AB在n上的射影d，则异面直线a、b间 的距离为

d =|AB：n I,其中 nla,nlbA a, B b

|n|

(2)、点到平面的距离：

方法指导：如图2-5若点B为平面」a夕曙点，点

A

|AB・n|

fn|

(3)、直线与平面间的距离：

方法指导：如图2-6,直线a与平面a之间的距离: 丰，其中A :Ba。 n是平面:的

(4)、平面与平面间的距离： 方法指导：如图2-7,两平行平面 之间的距离：

d=^j，其中A ：,B「：。n是平面:、

|n|

:的法向量。

3、 证明 p

(1)、证明线面垂直：在图2-8中,m向m 为平面a内任一点，平面的法向量为n，则点P 到

平面a的距离公式为d =

AB n

d 二

|n|

mt

“图 a N A n

a

a 图

是平面:的法向量，a是直线a的方向

向量，证明平面的法向量与直线所在向量共线

（2）

、证明线面平行：在图2-9中,m向是平面:的

法向量，a是直线a的方向向量，证明平面的法 向量与直线所在向量垂直（m・a' = o ）。

（3） 、证明面面垂直：在图2-10中，m是平面:的

法向量，n是平面［的法向量，证明两 平面的法向量垂直（m・n=O）

（4）、证明面面平行：在图2-11中,

m'向是平面:的法向量，n是平面的

三、高考真题新解

1、（ 2005全国I，18）（本大题

满分12分）

已知如图3-1,四棱锥P-ABCD

的底面为直角梯形，AB // DC ,

DAB =90 ,PA_ 底面 ABCD，且

PA=AD=DC= 1 AB=1 , M 是 PB 的中点

（I）证明：面PAD丄面PCD ;

（U）求AC与PB所成的角；

（川）求面 AMC与面BMC所成二面角的大小m「n) 法向量，证明两平面的法向量共线（ O

D图C

解:以A点为原点，以分别以AD , AB, AP为x 轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系 A-xyz如 图所示•

(I) . AP =(0,01)， AD =(1,0,0)，设平面 PAD 的法向量为

m =AP AD =(0,一1,0)

又DC =(0,1,0)， DP =(-1,0,1)，设平面PCD的法向量为

n =DC DP =(1,0,1)

.m・n =0， . m_n，即平面 PAD —平面 PCD。

AC PB 10

(II) . AC =(1,1,0)，PB=(0,2,—1)，.：： AC,PB \=arccos arccos—

' ' |AC| |PB| 5

(III ). CM =(-1,0,2)，CA =(一1,一1,0)，设平在 AMC 的法向

量为 m；CM CA=(£,一*1).

又CB十1,1,0)，设平面PCD的法向量为

」 」 " 1 1 n 二CM CB=( , ,-1). 2 2 T T

.5 — arcc。严 jarccos"). |m| |n| 3

面AMC与面BMC所成二面角的大小为

2 、 2 arccos( ).[或二-arccox]

3 3

2、(2006年云南省第一次统测19题)(本题满 分12分)

如图3-2，在长方体 ABCD A

已知 AB= AA= a, BC=V2a, M是 BB A 的中点。

（I ）求证：AD//平面ABC （II）求证：平面AMC_平面ABD;

（皿）求点A到平面AMC勺距离。

解:以D点为原点,分别以DA,DC,DD为x轴,y 轴,z轴,建立空间直角坐标系D-xyz如图所示.

(I). BC =( —、2a,0,0) , BA =(O,—a,a),设平面 A“BC 的法向量

为 n = BC BA, =(0, •. 2a2, .2a2)

又.AD ^-,2a,0,0) , n ；AD=O , AD _ n,即 AD// 平面 AlBC.

(II )• MC =(彳a,0,a) , MA,=(一手a,a,0),设平面 AMC 的法向

量为:m=MC MA—d'a2,-丄a2),

2 2 ，

又 BD, =( — . 2a,—a,a), BA, =(0,—a,a),设平面 ABD 的法向量 丿为:n = BD^i BA, = (0, 一 2a?, 2^),

.m・n =0, m_n,即平面 AlMC —平面 AlBDl.

(III ).设点A到平面AMC的距离为d,

2 2 2 2 2

m = MC MA, =(a , a , a )是平面AIMC的法向量，

2 2

T —?

a,0,0), . A点到平面AMC勺距离为：d = |m'MA 1 一丄 2 =

2 |m|

（1）、建立空间直角坐标系（利用现有三条两两垂直的直线，注意已有的正、直条件 ，相关几何知识的综合运

用，建立右手系），用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题； （化

为向量问题）

（2） 、通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题； （进行向量运 算）

（3） 、把向量的运算结果 翻译”成相应的几何意义。（回到图形问题） a.

四、 用空间向量解决立体几何的“三步曲”