平面的法向量求法及简单应用

两直线确定的平面的法向量引言在三维空间中，平面可以由不共线的两条直线唯一确定。

这两条直线决定了平面的位置和方向。

而平面的法向量是与平面垂直的向量，它可以通过两条直线的方向向量求得。

本文将介绍如何根据两条直线确定平面的法向量，并给出相关示例和应用。

1. 平面与直线在三维空间中，一个平面可以通过一个点和一个法向量来唯一确定。

而一个直线可以通过一个点和一个方向向量来唯一确定。

因此，当我们有两条直线时，我们可以利用它们来确定一个平面。

2. 确定法向量的方法要确定由两条直线确定的平面的法向量，我们需要知道这两条直线的方向向量。

假设有两个方向向量A和B分别表示两条直线上某一点到另一点的矢量。

首先，我们可以计算出这两个方向向量的叉积C。

叉积是一种二元运算，其结果是垂直于原始矢量所在平面上的新矢量。

根据叉积运算规则可知：C = A × B接下来，我们需要对C进行归一化，即将其长度变为1。

这可以通过将C除以其长度来实现。

最终，归一化后的向量C就是由两条直线确定的平面的法向量。

它垂直于这个平面，并且指向平面的正方向。

3. 示例让我们通过一个示例来演示如何确定由两条直线确定的平面的法向量。

假设有两条直线L1和L2，它们分别由以下参数表示：L1: P1(1, 2, 3) + t * V1(2, -1, 4) L2: P2(-2, 0, 5) + s * V2(3, 2, -1)其中P1和P2分别是直线上的点，V1和V2是方向向量，t和s是参数。

首先，我们计算出直线L1和L2的方向向量：V1 = (2, -1, 4) V2 = (3, 2, -1)然后，我们计算出这两个方向向量的叉积：C = V1 × V2 = (-9, 11, 7)接下来，我们对C进行归一化：|C| = √((-9)^2 + 11^2 + 7^2) ≈ √211 ≈ 14.53归一化后的法向量N可以通过将C除以其长度得到：N = C / |C| ≈ (-0.62, 0.76, 0.45)因此，由直线L1和L2确定的平面的法向量为N ≈ (-0.62, 0.76, 0.45)。

法向量求法及应用方法法向量是指与一些曲面上的每一点的切平面垂直的向量。

在三维空间中，法向量可以方便地描述曲面的几何特征和方向。

一、法向量的求法：1.平面的法向量：平面的法向量可以通过两个不平行的向量叉积得到。

设平面上两个向量为a和b，法向量n=a×b。

2.曲面的法向量：曲面的法向量可以通过曲面的方程求得。

常见的曲面方程包括参数方程、隐函数方程和显函数方程。

对于参数方程和隐函数方程，可以通过求偏导数来得到曲面的切向量，然后再将切向量进行标准化得到法向量。

例如，对于参数方程x=x(u,v)，y=y(u,v)，z=z(u,v)，法向量可以通过求∂(x,y,z)/∂(u,v)的叉积来得到。

而对于隐函数方程F(x,y,z)=0，可以通过对F(x,y,z)进行偏导数得到一个方程组，然后解这个方程组来得到法向量。

二、法向量的应用方法：1.曲面法向量的判定：通过计算曲面的法向量可以判断曲面的朝向和几何特征。

例如，在渲染图形时，可以通过曲面的法向量来决定光线对曲面的照射效果，以实现更真实的光影效果。

2.曲面法向量的插值和平滑：在计算机图形学中，通常需要对曲面进行插值和平滑处理。

曲面的法向量可以帮助我们在曲面上进行平滑采样。

例如，在曲面细分中，通过计算曲面的法向量来过滤掉尖锐的细分结果，使得细分结果更加平滑自然。

3.曲面的切平面和法向量的切线：对于空间曲线上的点，可以通过曲线的参数方程求得曲线的切线向量。

而对于空间曲面上的点，可以通过曲面的法向量和曲面上其中一点的切平面求得曲线的切向量。

切平面上的切向量和曲面的法向量垂直，并且与曲线相切。

4.计算曲面的面积和体积：曲面的法向量可以用来计算曲面的面积和体积。

对于平面，面积等于法向量的模长；对于曲面，可以通过对曲面分割成小区域然后计算每个小区域的法向量，并对法向量进行积分得到曲面的面积或体积。

5.平面和曲面的方程：法向量可以帮助我们确定平面和曲面的方程。

对于平面，通过平面上一点和法向量，可以得到平面的方程；对于曲面，通过曲面上一点和法向量，可以得到曲面的方程。

平面的法向量和方向向量平面的法向量和方向向量是平面几何中的重要概念，它们在描述平面的性质和运动方向时起到了关键作用。

本文将分别介绍平面的法向量和方向向量，并探讨它们的应用和相关性质。

一、平面的法向量平面的法向量是指垂直于该平面的向量。

设平面P上有一条直线L，经过L上的两点A和B可以确定一条向量AB。

如果向量AB垂直于平面P，那么向量AB就是平面P的法向量。

平面的法向量有以下性质：1. 法向量与平面上任意两个垂直向量的内积为零。

设向量a和向量b是平面P上的两个垂直向量，向量n是平面P的法向量，则有a·n=0，b·n=0。

2. 平面上的两个垂直向量的内积为零时，它们是平面的法向量的倍数关系。

设向量a和向量b是平面P上的两个垂直向量，向量n是平面P的法向量，则有a·n=0，b·n=0，因此存在实数k，使得a=k·n，b=k·n。

3. 平面上的两个非零向量的叉积是平面的法向量的倍数。

设向量a 和向量b是平面P上的两个非零向量，向量n是平面P的法向量，则有向量a×b=k·n，其中k为实数。

平面的法向量在几何和物理学中有广泛的应用。

例如，在计算平面上的点到另一平面的距离时，可以利用平面的法向量来求解。

同时，在力学中，平面的法向量也被用来描述平面上的压力和力的作用方向。

二、平面的方向向量平面的方向向量是指平面上的一个非零向量，它表示了平面上的一个方向。

设平面P上有一条直线L，经过L上的两点A和B可以确定一条向量AB。

如果向量AB不是平面P的法向量，那么向量AB 就是平面P的方向向量。

平面的方向向量有以下性质：1. 平面上的两个非零向量的线性组合是平面的方向向量。

设向量a 和向量b是平面P上的两个非零向量，向量c=k1·a+k2·b，其中k1和k2为实数，则向量c是平面P的方向向量。

2. 平面上的两个方向向量的叉积是平面的法向量。

两个向量的平面法向量在 3D 空间中，我们经常需要求解两个向量对应向量积的平面法向量。

这个平面法向量有很多应用，比如说图形学中的纹理映射、计算机视觉中的深度测量等。

下面，我们将分步骤阐述求解两个向量的平面法向量的方法。

步骤一：求两个向量的向量积首先，我们需要求解两个向量的向量积。

向量积的结果是一个新的向量，这个向量垂直于这两个向量所在的平面，并且它的大小等于这两个向量所在平行四边形的面积。

向量积可以用下面的公式表示：A ×B = | A | | B | sinΘ n其中，A 和 B 分别表示两个向量，Θ 表示 A 和 B 之间的夹角，| A | 和 | B | 分别表示 A 和 B 的模长，n 表示垂直于 A 和 B 所在平面的单位向量，它的方向由右手定则确定。

步骤二：求向量积的模长求解向量积之后，我们还需要求解它的模长。

向量积的模长等于这两个向量所在平行四边形的面积。

面积可以通过向量的模长和夹角的正弦值计算得到：Area = | A | | B | sinΘ因为向量积等于面积乘以垂直于平面的单位向量，所以向量积的模长等于面积的大小。

因此，我们可以直接用上面的公式求解向量积的模长。

步骤三：求平面法向量有了向量积，我们就可以很容易地求出平面法向量了。

平面法向量是指垂直于这两个向量所在平面的单位向量。

为了求出单位向量，我们需要将向量积除以它的模长。

具体而言，平面法向量可以用如下公式表示：n = (A × B) / | A × B |其中A × B 是求解向量积得到的向量，| A × B | 是向量积的模长。

我们将向量积除以它的模长，就能够得到平面法向量了。

总结通过上面的步骤，我们可以很容易地求解两个向量的平面法向量。

这个方法在很多应用场景都很有用，比如说图形学中的光照计算、机器人控制中的路径规划等。

平面法向量是 3D 空间中的一个重要概念，学习它的求解方法可以帮助我们更好地理解这个概念，并能够更好地应用到实践中。

平面的法向量公式在我们学习空间几何的时候，平面的法向量公式可是个相当重要的“家伙”。

它就像是一把神奇的钥匙，能帮我们打开很多几何难题的大门。

先来说说啥是平面的法向量。

想象一下，有一个平平的面，就像一张超级大的纸铺在那里。

而法向量呢，就是垂直于这个面的向量，它就像一根直直站立在纸上的针，和纸面完全垂直。

平面的法向量公式是：设平面的方程为 Ax + By + Cz + D = 0 ，（A、B、C 不同时为 0），那么这个平面的法向量就是 n = (A, B, C) 。

这个公式看起来好像挺简单，可真要用起来，还得好好琢磨琢磨。

我记得有一次给学生们讲这个知识点的时候，有个学生一脸迷茫地问我：“老师，这法向量到底有啥用啊？”我笑了笑，拿起一支笔在黑板上画了一个立方体。

“同学们，咱们假设这立方体的一个面是由平面方程表示的，那如果我们知道了这个面的法向量，是不是就能很容易地求出这个面和其他面的夹角啦？这在解决很多空间几何问题时，可是超级有用的哦！”我一边说，一边在立方体上比划着。

那堂课上，我带着学生们做了好多练习题，通过实际的操作让他们更深刻地理解平面的法向量公式。

比如说，有这样一道题：已知平面方程 2x - 3y + 4z - 5 = 0 ，求它的法向量。

这时候，直接根据公式就能得出法向量是 (2, -3, 4) 。

再复杂一点，让求两个平面的夹角。

这时候，先分别求出两个平面的法向量，然后利用向量的夹角公式，就能算出平面的夹角啦。

学习平面的法向量公式，就像是在探索一个神秘的宝藏，每一次运用它解决问题，都像是找到了一颗璀璨的宝石。

而且呀，这个公式在实际生活中也有不少用处呢。

比如建筑设计中，工程师们要确定建筑物各个面的朝向和角度，就得用到平面的法向量知识；在计算机图形学里，制作逼真的 3D 模型，也离不开对平面法向量的准确计算。

总之，平面的法向量公式虽然看起来有点小复杂，但只要咱们多练习、多思考，就能把它运用得得心应手，让它成为我们解决空间几何问题的有力武器！希望同学们都能和这个公式成为好朋友，在数学的海洋里畅游无阻！。

平面求法向量公式1. 平面法向量的定义。

- 设平面α，如果向量→n与平面α内的任意一条直线都垂直，那么称向量→n 为平面α的法向量。

2. 求平面法向量的公式推导（设平面α内有两个不共线向量→a=(x_1,y_1,z_1)，→b=(x_2,y_2,z_2)）- 设平面α的法向量为→n=(x,y,z)。

- 因为→n是平面α的法向量，所以→n⊥→a且→n⊥→b。

- 根据向量垂直的性质，若两个向量垂直，则它们的数量积为0。

- 可得<=ft{begin{array}{l}→n·→a = 0 →n·→b=0end{array}right.，即<=ft{begin{array}{l}x_1x + y_1y+z_1z = 0 x_2x + y_2y + z_2z=0end{array}right.。

- 为了求解x,y,z，我们可以采用赋值法。

例如，先令z = 1（当z_1和z_2不全为0时），然后解关于x和y的二元一次方程组<=ft{begin{array}{l}x_1x + y_1y=-z_1 x_2x + y_2y=-z_2end{array}right.。

- 由二元一次方程组的求解方法，先计算x的值：- 对于方程组<=ft{begin{array}{l}x_1x + y_1y=-z_1 x_2x + y_2y=-z_2end{array}right.，x=(<=ftbegin{array)/(ll)-z_1y_1 -z_2y_2end{array}}{<=ftbegin{array}{ll}x_1y_1 x_2y_2end{array}}=(-z_1y_2 +z_2y_1)/(x_1y_2 - x_2y_1)（当x_1y_2 - x_2y_1≠0时）。

- 再计算y的值：- y=(<=ftbegin{array)/(ll)x_1-z_1 x_2-z_2end{array}}{<=ftbegin{array}{ll}x_1y_1 x_2y_2end{array}}=(-x_1z_2 +x_2z_1)/(x_1y_2 - x_2y_1)（当x_1y_2 - x_2y_1≠0时）。

三点求平面法向量在三维空间中，平面是由无数个点组成的。

平面有许多重要的性质，其中之一就是法向量。

法向量是与平面垂直的向量，它是平面的重要特征之一。

本文将从三个不同的角度来讨论如何求平面的法向量。

一、已知三个点求平面法向量如果我们已知平面上的三个不共线的点A、B和C，那么我们可以通过这三个点来求平面的法向量。

我们可以先求出两个向量AB和AC，然后通过向量的叉乘来求得平面的法向量。

具体步骤如下：1. 求向量AB：将点B的坐标减去点A的坐标，得到向量AB。

2. 求向量AC：将点C的坐标减去点A的坐标，得到向量AC。

3. 求法向量：将向量AB和向量AC进行叉乘运算，得到平面的法向量。

二、已知平面上一点和法向量求平面方程如果我们已知平面上的一点P和该平面的法向量n，那么我们可以通过这个点和法向量来求平面的方程。

平面的方程通常使用点法式表示，即`(x-x0)*A + (y-y0)*B + (z-z0)*C = 0`，其中`(x0, y0, z0)`是平面上的一点，`(A, B, C)`是平面的法向量。

具体步骤如下：1. 根据已知的法向量n，得到平面的法向量`(A, B, C)`。

2. 根据已知的点P的坐标`(x0, y0, z0)`，将这些值代入点法式中，得到平面的方程。

三、已知平面上一点和平面的法向量求点到平面的距离如果我们已知平面上的一点P和该平面的法向量n，那么我们可以通过这个点和法向量来求点到平面的距离。

点到平面的距离可以通过将点P到平面上的任意一点Q的向量投影到法向量上来计算。

具体步骤如下：1. 根据已知的法向量n，得到平面的法向量`(A, B, C)`。

2. 根据已知的点P的坐标`(x0, y0, z0)`，将这些值代入平面的方程，得到平面上的一点Q的坐标`(x1, y1, z1)`。

3. 求向量PQ：将点Q的坐标减去点P的坐标，得到向量PQ。

4. 求点P到平面的距离：将向量PQ投影到法向量`(A, B, C)`上，得到向量PQ的法向量分量，即点P到平面的距离。

求平面法向量的简便方式一、引言在几何学和向量代数中，平面法向量是一个重要的概念。

平面法向量垂直于给定平面的每一点，并且可以用于解决许多几何问题和物理问题。

本文将介绍一种简便的方式来求解平面的法向量，帮助读者更好地理解和应用这一概念。

二、求解思路要求一个平面的法向量，需要知道平面上的两个线性无关的向量。

以下是一种简便的方式来求解平面的法向量：步骤1：确定两个平面上的点首先，在给定的平面上选择任意两个不共线的点，记作点A和点B。

步骤2：求得平面上的向量计算向量AB，并将其记作向量a。

步骤3：求得平面法向量根据向量a，可以求得平面的法向量n。

法向量n垂直于平面上的任意向量，它的方向可以通过向量a叉乘自身得到。

n=a×a三、示例为了更好地理解上述求解思路，下面给出一个具体的示例。

假设我们有一个平面，它经过点P(1,2,3)、点Q(4,5,6)和点R(7,8,9)。

我们想要求解这个平面的法向量。

步骤1：确定两个平面上的点选择点P和点Q作为平面上的两个点。

步骤2：求得平面上的向量计算向量PQ，并将其记作向量a。

a=Q-P=(4,5,6)-(1,2,3)=(3,3,3)步骤3：求得平面法向量根据向量a，可以求得平面的法向量n。

n=a×a=(3,3,3)×(3,3,3)=(0,0,0)根据计算结果，我们可以得出结论：这个平面的法向量是(0,0,0)。

四、总结通过以上的步骤，我们可以使用一种简便的方式来求解平面的法向量。

首先确定平面上的两个点，然后计算得到两点之间的向量。

最后，通过向量的叉乘得到平面的法向量。

这种方法适用于求解二维和三维平面的法向量，并且简单易用。

希望本文所介绍的求解方式能够帮助读者更好地理解和应用平面法向量的概念。

通过掌握这种简便的方式，读者可以更加轻松地解决与平面法向量相关的问题。

平面上某点的法向量一、直接法：找一条与平面垂直的直线，求该直线的方向向量。

待定系数法：建立空间直角坐标系。

①设平面的法向量为n=（x，y，z）。

②在平面内找两个不共线的向量a和b。

③建立方程组：n点乘a=0，n点乘b=0。

④解方程组，取其中的一组解即可。

法向量，是空间解析几何的一个概念，垂直于平面的直线所表示的向量为该平面的法向量。

法向量适用于解析几何。

由于空间内有无数个直线垂直于已知平面，因此一个平面都存在无数个法向量（包括两个单位法向量）。

二、平面法向量的具体步骤：（待定系数法）1、建立恰当的直角坐标系2、设平面法向量n=（x，y，z）3、在平面内找出两个不共线的向量，记为a=（a1，a2, a3）b=（b1，b2，b3）4、根据法向量的定义建立方程组①n·a=0 ②n·b=05、解方程组，取其中一组解即可。

例如已知三个点求那个平面的法向量：设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),C(x3,y3,z3)是已知平面上的3个点A,B,C可以形成3个向量,向量AB,向量AC和向量BC则AB（x2-x1,y2-y1,z2-z1）,AC(x3-x1,y3-y1,z3-z1),BC(x3-x2,y3-y2,z3-z2) 设平面的法向量坐标是（x,y,z）有(x2-x1)*x+(y2-y1)*y+(z2-z1)*z=0 且(x3-x1)*x+(y3-y1)*y+(z3-z1)*z=0 且(x3-x2)*x+(y3-y2)*y+(z3-z2)*z=0可以解得x,y,z。

扩展资料三维平面的法线是垂直于该平面的三维向量。

曲面在某点P处的法线为垂直于该点切平面（tangent plane）的向量。

法线是与多边形（polygon）的曲面垂直的理论线，一个平面（plane）存在无限个法向量（normal vector）。

在电脑图学（computer graphics）的领域里，法线决定着曲面与光源（light source）的浓淡处理（Flat Shading），对于每个点光源位置，其亮度取决于曲面法线的方向。

求平面的法向量平面的法向量是描述平面方向的一个重要概念。

在三维空间中，任意的平面都有一个法向量，它垂直于平面并且指向一个确定的方向。

本文将详细介绍平面的法向量，包括法向量的定义、计算方法以及相关应用。

一、法向量的定义平面的法向量是指垂直于平面的一个向量，在数学中通常用符号n 表示。

对于二维平面，法向量n可以有两个方向，但我们通常取与顺时针方向垂直的那个方向作为法向量。

对于三维平面，法向量只有一个确定的方向。

平面的法向量其实是平面上两个方向垂直向量的叉乘结果。

二、计算方法下面我们将介绍如何计算平面的法向量。

首先，我们需要确定平面上的任意两个非平行的向量A和B。

然后，通过向量A和B的叉乘，我们可以得到平面的法向量n。

具体计算过程如下：1. 向量A和向量B的定义：向量A：A = (x1, y1, z1)向量B：B = (x2, y2, z2)2. 通过向量A和向量B计算法向量n：n = (y1 * z2 - z1 * y2, z1 * x2 - x1 * z2, x1 * y2 - y1 * x2)三、应用场景平面的法向量在几何学以及计算机图形学中有很多应用。

以下列举几个常见的应用场景：1. 确定平面的方向：通过计算平面的法向量，我们可以确定平面的方向。

法向量指向的方向是平面的一个重要属性，它可以帮助我们判断物体在平面上的位置以及平面所处的空间位置。

2. 碰撞检测：在计算机图形学和物理模拟中，平面的法向量常被用于碰撞检测。

通过计算物体与平面的碰撞情况，可以判断物体是否与平面相交或者相切。

3. 光照计算：在计算机图形学中，平面的法向量经常被用于光照计算。

根据平面的法向量和光源的位置，可以计算出光线照射在平面上的强度和颜色。

这个过程对于模拟真实场景中的光照效果非常重要。

4. 三维建模和渲染：在三维建模和渲染中，知道平面的法向量可以帮助我们确定物体表面的方向和形状。

通过对法向量进行计算和处理，可以实现真实感渲染和物体表面的绘制。

平面向量的法向量和单位向量平面向量是二维空间中的箭头，可以用来表示位置、方向和大小。

在平面向量中，除了有定义明确的概念如零向量、负向量和共线向量等，法向量和单位向量也是非常重要的概念。

本文将对平面向量的法向量和单位向量进行详细阐述。

一、平面向量的法向量1. 定义平面向量的法向量，简称法向量，是与给定向量垂直的向量。

对于平面上的向量 A = (a₁, a₂)，其法向量 N = (b₁, b₂)应满足以下条件：a₁ * b₁ + a₂ * b₂ = 0这就是法向量的定义。

2. 求解方法根据定义，可以通过解线性方程组的方法求解平面向量的法向量。

以向量 A = (3, 4)为例，设法向量为 N = (x, y)，代入定义的等式可以得到：3 * x +4 * y = 0根据上述方程，我们可以得到一个关系式 x = -4/3 * y。

取 y = 3，代入公式可以得到一个解 N = (-4, 3)。

同理，可以得到无数个解。

二、平面向量的单位向量1. 定义在平面向量中，单位向量是长度为1的向量，通常用^A 表示。

对于非零向量 A = (a₁, a₂)，其单位向量 ^A = (c₁, c₂)应满足以下条件：c₁² + c₂² = 1这就是单位向量的定义。

2. 求解方法根据定义，可以通过向量的模与法向量来求解平面向量的单位向量。

以向量 A = (3, 4)为例，首先计算向量 A 的模长：|A| = √(3² + 4²) = 5然后根据单位向量的定义，计算单位向量 ^A：^A = (3/5, 4/5)可以看出，单位向量 ^A 的模长为1，符合定义。

三、法向量和单位向量的应用1. 法向量的应用法向量在几何学、物理学等方面有着广泛的应用。

在几何学中，法向量可以用来表示平面的垂直方向；在物理学中，法向量可以用来描述力的作用方向、地形的陡峭程度等。

2. 单位向量的应用单位向量在计算中有着重要的应用。

法向量求法及应用方法法向量是指与平面或曲面相切且垂直于切平面或切曲面的向量。

在数学和物理领域中，法向量的求法和应用非常广泛。

本文将介绍法向量的求法以及在几何学、物理学和计算机图形学中的应用方法。

一、法向量的求法1.平面的法向量：给定平面方程Ax+By+Cz+D=0，其中A、B、C是平面的法向量的分量，可以直接读取得到。

这是最常见也是最简单的求法。

2.曲面的法向量：对于一般的曲面方程F(x,y,z)=0，其中F是曲面方程的函数，可以使用梯度算子求解法向量：-计算曲面方程在其中一点(x0,y0,z0)处的梯度矢量：∇F(x0,y0,z0)=(∂F/∂x,∂F/∂y,∂F/∂z)，其中∂F/∂x、∂F/∂y、∂F/∂z是偏导数。

-梯度矢量就是曲面在该点处的法向量。

3.曲线的法向量：对于曲线方程F(t)=(x(t),y(t),z(t))，其中t是曲线的参数，可以使用导数求解法向量：-对曲线方程求导得到F'(t)=(x'(t),y'(t),z'(t))，其中x'(t)、y'(t)、z'(t)是曲线的导数。

-导数矢量就是曲线在该点处法向量的方向。

二、法向量的应用方法1.几何学中的应用：法向量是几何学中一个重要的概念，它可以用来判断两个平面或曲面的关系，如判断两个平面是否相交、平行或垂直。

在几何图形的旋转、平移和投影中，法向量也起到了重要的作用。

此外，法向量还可以用来计算曲面的面积和曲线的弯曲性等几何属性。

2.物理学中的应用：在物理学中，法向量有广泛的应用。

例如在力学中，力的方向可以通过物体表面的法向量来表示。

在光学中，光线的传播也可以通过曲面上的法向量来描述。

在电磁学中，电场和磁场的变化也可以通过法向量来表示。

法向量还可以用来计算曲面的斜率、曲率和高斯曲率等物理量。

3.计算机图形学中的应用：在计算机图形学中，法向量通常用于表达物体表面的方向，以便进行光照和着色计算。

平面法向量的 求法及其应用四川省华蓥中学 叶超本专题是我编写的一套书中的一篇，更多精彩，请参见我编写的那套书。

1、平面法向量的求法： 先来看看比较笨的方法。

(1)利用待定系数（参数）法，根据“平面的法向量⇔与平面内不共线的两向量均垂直的非零向量”及“两向量垂直⇔两向量的内积为0”确定待定参数。

例：已知四棱锥P —ABCD 的底面为直角梯形，AB//DC ，∠DAB ＝90°，PA ⊥底面ABCD ，且PA ＝AD ＝DC ＝21AB ＝1，M 是PB 的中点。

求面AMC 的一个法向量。

析：建系：以A 为原点，如图建立空间直角坐标系，则： 标点：A （0，0，0），C （1，1，0），P （0，0，1） B （0，2，0），M （0，1，1/2）列向量：AC ＝（1，1，0）， AM ＝（0，1，1/2）待定参数法：设面AMC 的法向量为n ＝（x ，y ，z ）于是n ＝（x ，－x ，2x ）＝x （1，－1，2） 其中，x 决定长度（和方向），可取n ＝（1，－1，2），它是图中的1n 还是2n 呢？ 可用观察法确定：n ＝（1，－1，2）是以原点为起点、（1，－1，2）为终点的向量，是图中的1n 。

说明：这种方法虽能求解，但是：①要根据“两向量垂直⇔两向量的内积为0”列方程组并求解，计算量较大； ②利用观察法确定法向量的具体方向也不太方便。

综上，在高考的宝贵时间里，时间和精力都是很重要的，如果有一种方法可以很简便地求出平面的法向量，不仅可以节约时间，还可以节省精力，甚至提高准确度，那该多好啊！还真的有这种方法！这种方法不是我总结的，但如何用它来简便地求法向量却是我在半年前总结的，请看——A BPM D y ＝－x z ＝2x ⇒021=+=•z y AM n 0=+=•y x AC n(2)利用向量的矢量积求平面的法向量：（请重点看下面第②点中的第2个例题）①向量的矢量积的定义：向量a ＝（x 1，y 1，z 1）和b ＝（x 2，y 2，z 2）的矢量积=⨯b a （2211z y z y ，2211x z x z ，2211y x y x ）=（y 1z 2-z 1y 2，z 1x 2-x 1z 2，x 1y 2-y 1x 2） 说明：2211z y z y 是二阶行列式，其值等于交叉相乘再相减（即：y 1z 2-z 1y 2），其余同理。