高中数学 必修二 巩固提升习题：第3章 3.3.3-3.3.4 (人教A版必修2) Word版含答案

直线与平面垂直的性质．平面与平面垂直的性质一、选择题(本大题共小题，每小题分，共分)．对于任意的直线与平面α，在平面α内必有直线，使与( )．平行．相交．垂直．互为异面直线．在下列四个正方体中，能得出⊥的是( )图--．设平面α⊥平面β，若平面α内的一条直线垂直于平面β内的一条直线，则( ) ．直线必垂直于平面β．直线必垂直于平面α．直线不一定垂直于平面β．过的平面与过的平面垂直．已知两条不同的直线，和两个不同的平面α，β，给出下列命题：①若α∥β，⊂α，则∥β；②若∥，∥β，则∥β；③若⊂α，⊂β，则，异面；④若α⊥β，∥α，则⊥β.其中错误命题的个数是( )．．．．．已知直线，，及平面α，下列条件中，能使∥成立的是( )．⊥且⊥．⊥α且⊥α．，与α所成角相等．∥α且∥α．对于直线，和平面α，β，γ，有如下四个命题：①若∥α，⊥，则⊥α；②若⊥α，⊥，则∥α；③若α⊥β，γ⊥β，则α∥γ；④若⊥α，∥，⊂β，则α⊥β.其中真命题的个数是( )．．．．图--．如图--所示，在斜三棱柱-中，∠＝°，⊥，则在平面上的射影必在( )．直线上．直线上．直线上．△内部二、填空题(本大题共小题，每小题分，共分)．给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，则一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中所有真命题的序号是．．在四棱锥-中，⊥底面，底面各边都相等，是上的一动点．当点满足时，平面⊥平面.．已知，是空间两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下面有四个命题：①⊥α，∥β，α∥β⇒⊥；②⊥，α∥β，⊥α⇒∥β；③⊥，α∥β，∥α⇒⊥β；④⊥α，∥，α∥β⇒⊥β.其中所有真命题的序号是．．如图--，在直角梯形中，⊥，⊥，，分别是，的中点，将三角形沿折起．下列说法正确的是．(填上所有正确说法的序号)①不论折至何位置(不在平面内)都有∥平面；②不论折至何位置都有⊥；③不论折至何位置(不在平面内)都有∥；④在折起过程中，一定存在某个位置，使⊥.图--三、解答题(本大题共题，共分)．(分)如图--所示，在四棱锥-中，⊥平面，四边形为正方形，＝，为的中点．求证：⊥平面.。

章末综合检测(四)[学生用书单独成册](时间：分钟，满分：分)一、选择题(本大题共小题，每小题分，共分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)．若坐标原点在圆＋－＋＋－＝的内部，则实数的取值范围是( )．(－，) ．．(－，) ．(－，)解析：选.由题设把原点代入方程＋－×＋×＋－<，所以－<<.故选.．方程＋－＋＋＝表示一个圆，则的范围是( )．<．< ．≤．≤解析：选.由(－)＋－>，得<.故选.．过(，)点作圆(－)＋(－)＝的切线，所得切线方程为( )．＝．＝和＝．＝和＝．不存在答案：．两圆＋＋－＝与＋＋－＝的公共弦长等于( )．．．．解析：选.公共弦方程为－＋＝，圆＋＋－＝的圆心为(－，)，半径＝，圆心到公共弦的距离＝.所以弦长为×＝.．与圆(＋)＋＝相切，且在轴与轴上的截距相等的直线条数是( )．．．．解析：选.当截距均为时，即直线过原点易知有两条切线；当截距不为时，设切线为＋＝，即＋－＝，由圆心(－，)到切线的距离等于半径，解得＝－，即此时切线为＋＋＝，故共有条．．△的顶点坐标是(，，)、(－，，)、，则它在平面上的射影图形的面积是( )．．．．解析：选.△的三个顶点、、在平面上的射影点的坐标分别是(，，)、(，，)、(，，)，它在平面上是一个直角三角形，容易求出它的面积为.故选.．直线(＋)＋(－)＋－＝(∈)与圆＋－－＋＝的交点个数为( )．．．或．或解析：选.由直线系方程可知，直线系恒过直线＋－＝和直线－＋＝的交点(，)，而点(，)在圆＋－－＋＝的内部，故选.．直线＝＋与圆(－)＋(－)＝相交于、两点，若≥，则的取值范围是( )．．[－，] ．解析：选.法一：可联立方程组利用弦长公式求，再结合≥可得答案．法二：利用圆的性质知，圆心到直线的距离的平方加上弦长一半的平方等于半径的平方，求出，再结合≥可得答案，故选.．若点(，)为圆：(－)＋＝的弦的中点，则弦所在直线的方程为( )．－－＝．－＋＝．＋－＝．＋＋＝解析：选.由题意知，圆心坐标为(，)，则＝－，由于与垂直．故的斜率为＝，故弦所在的直线方程为－＝(－)，即－－＝.．若直线＝＋与圆＋＋－＝的两个交点恰好关于轴对称，则等于( )．．．．解析：选.由得(＋)·＋＝.因为两交点恰好关于轴对称，所以＋＝－＝，所以＝.．(·高考全国卷Ⅱ)已知三点(，)，(，)，(，)，则△外接圆的圆心到原点的距离为( )．．解析：选.设圆的方程为＋＋＋＋＝，则解得＝－，＝－，＝.圆心为，所求距离为＝.．若曲线：＋－＝与曲线：(－－)＝有四个不同的交点，则实数的取值范围是( )∪∪解析：选.因为(－－)＝，所以＝或－－＝.当＝时，显然与圆＋－＝有两个不同的交点，要使两曲线有四个不同的交点，只需－－＝与圆＋－＝有两个不同的交点，且≠.由方程组消去，得关于的一元二次方程，再令Δ>，解得∈∪.二、填空题(本大题共小题，每小题分，共分．把答案填在题中横线上)．在轴上与点(－，，)和点(，，－)等距离的点的坐标为．解析：设点的坐标为(，，)，由＝，得＝.于是有＋＋(－)＝＋＋(－－)，解得＝.故点的坐标为.答案：．两个圆：＋＋＋－＝与：＋－－＋＝的公切线的条数是．解析：圆的圆心为(－，－)，半径＝，圆的圆心为(，)，半径＝.圆心距＝＝，－<<＋，所以两圆相交．所以有两条公切线．答案：．若直线＝＋与圆＋＝相交于，两点，且∠＝°(其中为原点)，则的值为．解析：法一：因为＝××°＝，圆心到直线的距离＝＝，所以＝，解得＝±.。

[学生用书P115(单独成册)])[A基础达标]1．设l是直线，α，β是两个不同的平面()A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．l∥α，l⊥β，则α⊥βC．若α⊥β，l⊥α，则l⊥βD．α⊥β，l∥α，则l⊥β解析：选B．对于选项A，两平面可能平行也可能相交；对于选项C，直线l可能在β内也可能平行于β；对于选项D，直线l可能在β内或平行于β或与β相交．2．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P是线段BC1上任意一点，则下列结论中正确的是()A．AD1⊥DP B．AP⊥B1CC．AC1⊥DP D．A1P⊥B1C解析：选B．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，因为B1C⊥BC1，B1C⊥AB，BC1∩AB＝B，所以B1C⊥平面ABC1D1，因为点P是线段BC1上任意一点，所以AP⊥B1C．故选B．3．在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，已知平面AA1C1C⊥平面ABCD，且AB＝BC，AD＝CD，则BD与CC1()A．平行B．共面C．垂直D．不垂直解析：选C．如图所示，在四边形ABCD中，因为AB＝BC，AD＝CD．所以BD⊥AC．因为平面AA1C1C⊥平面ABCD，平面AA1C1C∩平面ABCD＝AC，BD⊂平面ABCD，所以BD⊥平面AA1C1C．又CC1⊂平面AA1C1C，所以BD⊥CC1，故选C．4.如图，设平面α∩平面β＝PQ，EG⊥平面α，FH⊥平面α，垂足分别为G，H.为使PQ⊥GH，则需增加的一个条件是()A．EF⊥平面αB．EF⊥平面βC．PQ⊥GED．PQ⊥FH解析：选B．因为EG⊥平面α，PQ⊂平面α，所以EG⊥PQ.若EF⊥平面β，则由PQ ⊂平面β，得EF⊥PQ.又EG与EF为相交直线，所以PQ⊥平面EFHG，所以PQ⊥GH，故选B．5．如图所示，三棱锥P-ABC的底面在平面α内，且AC⊥PC，平面P AC⊥平面PBC，点P，A，B是定点，则动点C的轨迹是()A．一条线段B．一条直线C．一个圆D．一个圆，但要去掉两个点解析：选D．因为平面P AC⊥平面PBC，AC⊥PC，平面P AC∩平面PBC＝PC，AC⊂平面P AC，所以AC⊥平面PBC．又因为BC⊂平面PBC，所以AC⊥BC．所以∠ACB＝90°.所以动点C的轨迹是以AB为直径的圆，除去A和B两点．6．如图所示，PO⊥平面ABC，BO⊥AC，在图中与AC垂直的直线有______条．解析：因为PO⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，所以PO⊥AC．又AC⊥BO，PO∩BO＝O，所以AC⊥平面PBD，所以PBD内的4条直线PB，PD，PO，BD都与AC垂直，所以图中共有4条直线与AC垂直．答案：47．如图，在三棱锥P-ABC内，侧面P AC⊥底面ABC，且∠P AC＝90°，P A＝1，AB＝2，则PB＝________．解析：因为侧面P AC⊥底面ABC，交线为AC，∠P AC＝90°(即P A⊥AC)，P A⊂平面P AC，所以P A⊥平面ABC，所以P A⊥AB，所以PB＝P A2＋AB2＝1＋4＝ 5.答案： 58．如图，直二面角α-l-β，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，B∈β，BD⊥l，D为垂足，若AB＝2，AC＝BD＝1，则CD的长为______．解析：如图，连接BC，因为二面角α-l-β为直二面角，AC⊂α，且AC⊥l，所以AC⊥β.又BC⊂β，所以AC⊥BC，所以BC2＝AB2－AC2＝3，又BD⊥CD，所以CD＝BC2－BD2＝ 2.答案： 29．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC＝CC1，设AB1的中点为D，B1C∩BC1＝E.求证：(1)DE∥平面AA1C1C；(2)BC1⊥AB1.证明：(1)由题意知，E为B1C的中点，又D为AB1的中点，所以DE∥AC．又因为DE⊄平面AA1C1C，AC⊂平面AA1C1C，所以DE∥平面AA1C1C．(2)因为棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC．因为AC⊂平面ABC，所以AC⊥CC1.又因为AC⊥BC，CC1⊂平面BCC1B1，BC⊂平面BCC1B1，BC∩CC1＝C，所以AC⊥平面BCC1B1，又因为BC1⊂平面BCC1B1，所以BC1⊥AC．因为BC＝CC1，所以矩形BCC1B1是正方形，因此BC1⊥B1C．因为AC，B1C⊂平面B1AC，AC∩B1C＝C，所以BC1⊥平面B1AC．又因为AB1⊂平面B1AC，所以BC1⊥AB1.10．(2018·高考北京卷)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD 为矩形，平面P AD⊥平面ABCD，P A⊥PD，P A＝PD，E，F分别为AD，PB的中点．(1)求证：PE⊥BC；(2)求证：平面P AB⊥平面PCD；(3)求证：EF∥平面PCD．证明：(1)因为P A＝PD，E为AD的中点，所以PE⊥AD．因为底面ABCD为矩形，所以BC∥AD．所以PE⊥BC．(2)因为底面ABCD为矩形，所以AB⊥AD．又因为平面P AD⊥平面ABCD，所以AB⊥平面P AD．所以AB⊥PD．又因为P A ⊥PD ，所以PD ⊥平面P AB ．所以平面P AB ⊥平面PCD ．(3)取PC 中点G ，连接FG ，DG .因为F ，G 分别为PB ，PC 的中点，所以FG ∥BC ，FG ＝12BC ． 因为四边形ABCD 为矩形，且E 为AD 的中点，所以DE ∥BC ，DE ＝12BC ， 所以DE ∥FG ，DE ＝FG ，所以四边形DEFG 为平行四边形，所以EF ∥DG .又因为EF ⊄平面PCD ，DG ⊂平面PCD ，所以EF ∥平面PCD ．[B 能力提升]11．如图所示，平面四边形ABCD 中，AB ＝AD ＝CD ＝1，BD ＝2，BD ⊥CD ，将其沿对角线BD 折成四面体ABCD ，使平面ABD ⊥平面BCD ，则下列说法中正确的是( )①平面ACD ⊥平面ABD ；②AB ⊥CD ；③平面ABC ⊥平面ACD ．A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③解析：选D ．因为BD ⊥CD ，平面ABD ⊥平面BCD ，所以CD ⊥平面ABD ，因为CD ⊂平面ACD ，所以平面ACD ⊥平面ABD ，故①正确；因为平面四边形ABCD 中，AB ＝AD ＝CD ＝1，BD ＝2，所以AB ⊥AD ，又CD ⊥平面ABD ，所以AB ⊥CD ，又AD ∩CD ＝D ，所以AB ⊥平面ACD ，又因为AB ⊂平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面ACD ，故②③正确．12.如图，平面ABC ⊥平面ABD ，∠ACB ＝90°，CA ＝CB ，△ABD是正三角形，O 为AB 中点，则图中直角三角形的个数为________．解析：因为CA ＝CB ，O 为AB 的中点，所以CO ⊥AB ．又平面ABC ⊥平面ABD ，交线为AB ，CO ⊂平面ABC ，所以CO ⊥平面ABD ．因为OD ⊂平面ABD ，所以CO ⊥OD ，所以△COD 为直角三角形，所以图中的直角三角形有△AOC ，△COB ，△ABC ，△AOD ，△BOD ，△COD 共6个． 答案：613．(2018·高考全国卷Ⅱ)如图，在三棱锥P -ABC 中，AB ＝BC ＝22，P A ＝PB ＝PC ＝AC ＝4，O 为AC 的中点．(1)证明：PO ⊥平面ABC ；(2)若点M 在棱BC 上，且MC ＝2MB ，求点C 到平面POM 的距离．解：(1)证明：因为AP ＝CP ＝AC ＝4，O 为AC 的中点，所以OP ⊥AC ，且OP ＝2 3.连接OB ．因为AB ＝BC ＝22AC ，所以△ABC 为等腰直角三角形，且OB ⊥AC ，OB ＝12AC ＝2.由OP 2＋OB 2＝PB 2知，OP ⊥OB ．由OP ⊥OB ，OP ⊥AC 知PO ⊥平面ABC ．。

3.3直线的交点坐标与距离公式3．3.1 & 3.3.2 两直线的交点坐标、两点间的距离第一课时两直线的交点坐标、两点间的距离(新授课)[导入新知]1．两直线的交点坐标2．两直线的位置关系[化解疑难]两直线相交的条件(1)将两直线方程联立解方程组，依据解的个数判断两直线是否相交．当方程组只有一解时，两直线相交．(2)设l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1与l2相交的条件是A1B2－A2B1≠0或A1A2≠B1B2(A2，B2≠0)．(3)设两条直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，则l1与l2相交⇔k1≠k2.[导入新知]两点间的距离公式(1)公式：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2.(2)文字叙述：平面内两点的距离等于这两点的横坐标之差与纵坐标之差的平方和的算术平方根．[化解疑难]两点间距离公式的理解(1)此公式与两点的先后顺序无关，也就是说公式也可写成|P1P2|＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2.(2)当直线P1P2平行于x轴时，|P1P2|＝|x2－x1|.当直线P1P2平行于y轴时，|P1P2|＝|y2－y1|.当点P1、P2中有一个是原点时，|P1P2|＝x2＋y2.[例1] 判断下列各组直线的位置关系．如果相交，求出交点的坐标： (1)l 1：5x ＋4y －2＝0，l 2：2x ＋y ＋2＝0； (2)l 1：2x －6y ＋3＝0，l 2：y ＝13x ＋12；(3)l 1：2x －6y ＝0，l 2：y ＝13x ＋12.[解] (1)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋4y －2＝0，2x ＋y ＋2＝0，得⎩⎨⎧x ＝－103，y ＝143.所以l 1与l 2相交，且交点坐标为⎝⎛⎭⎫－103，143. (2)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －6y ＋3＝0，①y ＝13x ＋12，②②×6整理得2x －6y ＋3＝0.因此，①和②可以化成同一个方程，即①和②表示同一条直线，l 1与l 2重合． (3)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －6y ＝0，①y ＝13x ＋12，②②×6－①得3＝0，矛盾．方程组无解，所以两直线无公共点，l 1∥l 2. [类题通法]判断两直线的位置关系，关键是看两直线的方程组成的方程组的解的情况．(1)解方程组的重要思想就是消元，先消去一个变量，代入另外一个方程能解出另一个变量的值．(2)解题过程中注意对其中参数进行分类讨论． (3)最后把方程组解的情况还原为直线的位置关系． [活学活用]1．判断下列各对直线的位置关系．若相交，求出交点坐标：(1)l 1：2x ＋y ＋3＝0，l 2：x －2y －1＝0； (2)l 1：x ＋y ＋2＝0，l 2：2x ＋2y ＋3＝0.解：(1)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y ＋3＝0，x －2y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1，所以直线l 1与l 2相交，交点坐标为(－1，－1)．(2)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋2＝0，①2x ＋2y ＋3＝0，②①×2－②，得1＝0，矛盾，方程组无解．所以直线l 1与l 2无公共点，即l 1∥l 2.[例2] 求证：不论m 为何实数，直线(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5都过某一定点． [证明] 法一：取m ＝1时，直线方程为y ＝－4；取m ＝12时，直线方程为x ＝9.两直线的交点为P (9，－4)，将点P 的坐标代入原方程左边＝(m －1)×9＋(2m －1)×(－4)＝m －5.故不论m 取何实数，点P (9，－4)总在直线(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5上， 即直线恒过点P (9，－4)．法二：原方程化为(x ＋2y －1)m ＋(－x －y ＋5)＝0. 若对任意m 都成立，则有⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y －1＝0，x ＋y －5＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝9，y ＝－4.所以不论m 为何实数，所给直线都过定点P (9，－4)． [类题通法]解含有参数的直线恒过定点的问题(1)方法一：任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点，从而问题得解．(2)方法二：含有一个参数的二元一次方程若能整理为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0，其中λ是参数，这就说明了它表示的直线必过定点，其定点可由方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0解得．若整理成y －y 0＝k (x －x 0)的形式，则表示的所有直线必过定点(x 0，y 0)．[活学活用]2．求经过两直线l 1：3x ＋4y －2＝0和l 2：2x ＋y ＋2＝0的交点且过坐标原点的直线l 的方程．解：法一：由方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y －2＝0，2x ＋y ＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝2，即l 1与l 2的交点坐标为(－2,2)．∵直线过坐标原点，所以其斜率k ＝2－2＝－1，直线方程为y ＝－x ，一般式为x ＋y ＝0.法二：∵l 2不过原点，∴可设l 的方程为3x ＋4y －2＋λ(2x ＋y ＋2)＝0(λ∈R )， 即(3＋2λ)x ＋(4＋λ)y ＋2λ－2＝0. 将原点坐标(0,0)代入上式，解得λ＝1， ∴l 的方程为5x ＋5y ＝0，即x ＋y ＝0.[例3] 已知点A (1,1)，B (5,3)，C (0,3)，求证：△ABC 为直角三角形． [证明] 法一：∵|AB |＝(5－1)2＋(3－1)2＝25， |AC |＝(0－1)2＋(3－1)2＝5， 又|BC |＝(5－0)2＋(3－3)2＝5， ∴|AB |2＋|AC |2＝|BC |2， ∴△ABC 为直角三角形． 法二：∵k AB ＝3－15－1＝12，k AC ＝3－10－1＝－2，∴k AB ·k AC ＝－1，∴AB ⊥AC ，∴△ABC 是以A 为直角顶点的直角三角形．[类题通法]1．计算两点间距离的方法(1)对于任意两点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，则|P1P2|＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2.(2)对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况，可直接利用距离公式的特殊情况求解．2．解答本题还要注意构成三角形的条件．[活学活用]3．已知点A(－1,2)，B(2，7)，在x轴上求一点P，使|P A|＝|PB|，并求|P A|的值．解：设所求点P(x,0)，于是由|P A|＝|PB|得(x＋1)2＋(0－2)2＝(x－2)2＋(0－7)2，即x2＋2x＋5＝x2－4x＋11，解得x＝1.所以，所求P点坐标为(1,0)，|P A|＝(1＋1)2＋(0－2)2＝2 2.8.两条直线相交求参数中的误区[典例] 若三条直线l 1：ax ＋y ＋1＝0，l 2：x ＋ay ＋1＝0 ，l 3：x ＋y ＋a ＝0能构成三角形，则a 应满足的条件是( )A ．a ＝1或a ＝－2B ．a ≠±1C ．a ≠1且a ≠－2D ．a ≠±1且a ≠－2[解析] 为使三条直线能构成三角形，需三条直线两两相交且不共点．(1)若三条直线交于一点，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋ay ＋1＝0，x ＋y ＋a ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－a －1，y ＝1，将l 2，l 3的交点(－a －1,1)代入l 1的方程解得a ＝1或a ＝－2①；(2)若l 1∥l 2，则由a ×a －1×1＝0，得a ＝±1②， 当a ＝1时，l 1与l 2重合；(3)若l 2∥l 3，则由1×1－a ×1＝0，得a ＝1，当a ＝1时，l 2与l 3重合； (4)若l 1∥l 3，则由a ×1－1×1＝0，得a ＝1，当a ＝1时，l 1与l 3重合． 综上，当a ＝1时，三条直线重合；当a ＝－1时，l 1∥l 2；当a ＝－2时，三条直线交于一点， 所以要使三条直线能构成三角形，需a ≠±1且a ≠－2. [答案] D [易错防范]①处，解题过程中，由a ＝1或a ＝－2得a ≠1且a ≠－2，此种错误只考虑了三条直线相交于一点不能构成三角形，而忽视了任意两条平行或重合的直线也不能构成三角形．②处，若得到a ≠±1，只考虑了直线的斜率不相等的条件，而忽视了三条直线相交于一点也不能构成三角形．解答此类问题由条件不易直接求参数，可考虑从反面入手，同时考虑问题要全面，不要漏掉某些情形．[成功破障](2013·银川高一检测)直线y ＝2x ＋10，y ＝x ＋1，y ＝ax －2交于一点，则a 的值为( ) A.12 B ．－12C.23D ．－23解析：选C 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2x ＋10，y ＝x ＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－9，y ＝－8，即直线y ＝2x ＋10与y ＝x ＋1相交于点(－9，－8)，代入y ＝ax －2，解得a ＝23.[随堂即时演练]1．直线3x ＋2y ＋6＝0和2x ＋5y －7＝0的交点的坐标为( ) A ．(－4，－3) B ．(4,3) C ．(－4,3)D ．(3,4)解析：选C 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋2y ＋6＝0，2x ＋5y －7＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝3.2．已知点A (－2，－1)，B (a,3)，且|AB |＝5，则a 的值为( ) A ．1 B ．－5 C ．1或－5D ．1－或5解析：选C ∵|AB |＝(a ＋2)2＋(3＋1)2＝5， ∴a ＝－5或a ＝1.3．设Q (1,3)，在x 轴上有一点P ，且|PQ |＝5，则点P 的坐标是________．解析：由题意设P (a,0)，则|PQ |＝(a －1)2＋(0－3)2＝5，解得a －1＝±4，即a ＝5或－3.故点P 的坐标是(5,0)或(－3,0)．答案：(5,0)或(－3,0)4．若p ，q 满足p －2q ＝1，直线px ＋3y ＋q ＝0必过一个定点，该定点坐标为________． 解析：因为p ＝2q ＋1代入整理：(2x ＋1)q ＋3y ＋x ＝0对q 为一切实数恒成立，即2x ＋1＝0，且3y ＋x ＝0，所以x ＝－12，y ＝16.答案：⎝⎛⎭⎫－12，16 5．(2012·山东德州高一检测)分别求经过两条直线2x ＋y －3＝0和x －y ＝0的交点，且符合下列条件的直线方程．(1)平行于直线l 1：4x －2y －7＝0； (2)垂直于直线l 2：3x －2y ＋4＝0.解：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －3＝0，x －y ＝0，得交点P (1,1)．(1)若直线与l 1平行， ∵k 1＝2， ∴斜率k ＝2，∴所求直线方程为y －1＝2(x －1) 即：2x －y －1＝0. (2)若直线与l 2垂直， ∵k 2＝32，∴斜率k ＝－1k 2＝－23，∴y －1＝－23(x －1)即：2x ＋3y －5＝0.3．3.3 & 3.3.4 点到直线的距离 两条平行线间的距离[导入新知]点到直线的距离与两条平行线间的距离[化解疑难]1．点到直线的距离公式需注意的问题(1)直线方程应为一般式，若给出其他形式，应先化成一般式再用公式．例如，求P 0(x 0，y 0)到直线y ＝kx ＋b 的距离，应先把直线方程化为kx －y ＋b ＝0，得d ＝|kx 0－y 0＋b |k 2＋1.2．点到几种特殊直线的距离 (1)点P 0(x 0，y 0)到x 轴的距离d ＝|y 0|； (2)点P (x 0，y 0)到y 轴的距离d ＝|x 0|；(3)点P (x 0，y 0)到与x 轴平行的直线y ＝b (b ≠0)的距离d ＝|y 0－b |； (4)点P (x 0，y 0)到与y 轴平行的直线x ＝a (a ≠0)的距离d ＝|x 0－a |. 3．对平行线间的距离公式的理解(1)利用公式求平行线间的距离时，两直线方程必须是一般式，且x ，y 的系数对应相等． (2)当两直线都与x 轴(或y 轴)垂直时，可利用数形结合来解决 ①两直线都与x 轴垂直时，l 1：x ＝x 1，l 2：x ＝x 2，则d ＝|x 2－x 1|； ②两直线都与y 轴垂直时，l 1：y ＝y 1，l 2：y ＝y 2，则d ＝|y 2－y 1|.[例1] 求点P (3，－2)到下列直线的距离： (1)y ＝34x ＋14；(2)y ＝6；(3)x ＝4.[解] (1)直线y ＝34x ＋14化为一般式为3x －4y ＋1＝0，由点到直线的距离公式可得d ＝|3×3－4×(－2)＋1|32＋(－4)2＝185. (2)因为直线y ＝6与y 轴垂直，所以点P 到它的距离d ＝|－2－6|＝8. (3)因为直线x ＝4与x 轴垂直，所以点P 到它的距离d ＝|3－4|＝1. [类题通法]应用点到直线的距离公式应注意的三个问题(1)直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式． (2)点P 在直线l 上时，点到直线的距离为0，公式仍然适用．(3)直线方程Ax ＋By ＋C ＝0中，A ＝0或B ＝0公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解．[活学活用]1．已知点A (a,2)(a ＞0)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1，则a ＝( ) A.2 B ．2－ 2 C.2－1D.2＋1解析：选C 由点到直线的距离公式知 d ＝|a －2＋3|2＝|a ＋1|2＝1，得a ＝－1±2.又∵a ＞0，∴a ＝2－1.2．点P (2,4)到直线l ：3x ＋4y －7＝0的距离是________． 解析：点P 到直线l 的距离d ＝|3×2＋4×4－7|32＋42＝155＝3.答案：3[例2] 求与直线l ：5x －12y ＋6＝0平行且到l 的距离为2的直线方程． [解] 法一：设所求直线的方程为5x －12y ＋C ＝0. 在直线5x －12y ＋6＝0上取一点P 0(0，12)，则点P 0到直线5x －12y ＋C ＝0的距离为|－12×12＋C |52＋(－12)2＝|C －6|13，由题意，得|C －6|13＝2，所以C ＝32，或C ＝－20.故所求直线的方程为5x －12y ＋32＝0，或5x －12y －20＝0. 法二：设所求直线的方程为5x －12y ＋C ＝0， 由两平行直线间的距离公式得2＝|C －6|52＋(－12)2，解得C ＝32，或C ＝－20.故所求直线的方程为5x －12y ＋32＝0，或5x －12y －20＝0. [类题通法]求两平行线间的距离，一般是直接利用两平行线间的距离公式，当直线l 1：y ＝kx ＋b 1，l 2：y ＝kx ＋b 2，且b 1≠b 2时，d ＝|b 1－b 2|k 2＋1；当直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0且C 1≠C 2时，d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2.但必须注意两直线方程中x ，y 的系数对应相等． [活学活用]3．(2012·岳阳高一检测)两直线3x ＋y －3＝0和6x ＋my －1＝0平行，则它们之间的距离为________．解析：因为两直线平行，所以m ＝2.法一：在直线3x ＋y －3＝0上取点(0,3)，代入点到直线的距离公式，得d ＝|6×0＋2×3－1|62＋22＝104. 法二：将6x ＋2y －1＝0化为3x ＋y －12＝0，由两条平行线间的距离公式得d ＝⎪⎪⎪⎪－3＋1232＋12＝104. 答案：104[例3] 求经过点P (1,2)，且使A (2,3)，B (0，－5)到它的距离相等的直线l 的方程． [解] 法一：当直线斜率不存在时，即x ＝1，显然符合题意．当直线斜率存在时，设所求直线的斜率为k ，则直线方程为y －2＝k (x －1)．由条件得|2k －3－k ＋2|k 2＋1＝|5－k ＋2|k 2＋1，解得k ＝4，故所求直线方程为x ＝1或4x －y －2＝0.法二：由平面几何知识知l ∥AB 或l 过线段AB 的中点． ∵直线AB 的斜率k AB ＝4，若l ∥AB ，则l 的方程为4x －y －2＝0.若l 过AB 的中点(1，－1)，则直线方程为x ＝1， 故所求直线方程为x ＝1或4x －y －2＝0. [类题通法]解这类题目常用的方法是待定系数法，即根据题意设出方程，然后由题意列方程求参数．也可以综合应用直线的有关知识，充分发挥几何图形的直观性，判断直线l 的特征，然后由已知条件写出l 的方程．[活学活用]4．求经过两直线l 1：x －3y －4＝0与l 2：4x ＋3y －6＝0的交点，且和点A (－3,1)的距离为5的直线l 的方程．解：由⎩⎪⎨⎪⎧x －3y －4＝0，4x ＋3y －6＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－23，即直线l 过点B ⎝⎛⎭⎫2，－23. ①当l 与x 轴垂直时，方程为x ＝2，点A (－3,1)到l 的距离d ＝|－3－2|＝5，满足题意． ②当l 与x 轴不垂直时，设斜率为k ， 则l 的方程为y ＋23＝k (x －2)，即kx －y －2k －23＝0，由点A 到l 的距离为5，得⎪⎪⎪⎪－3k －1－2k －23k 2＋(－1)2＝5，解得k ＝43，所以l 的方程为43x －y －83－23＝0，即4x －3y －10＝0.综上，所求直线方程为x ＝2或4x －3y －10＝0.9.漏掉直线斜率不存在的情况[典例] 直线l 1过点A (0,1)，l 2过点B (5,0)，如果l 1∥l 2，且l 1与l 2的距离为5，求l 1，l 2的方程．[解] (1)若直线l 1，l 2的斜率存在①，设直线的斜率为k ，由斜截式得l 1的方程y ＝kx ＋1，即kx －y ＋1＝0.由点斜式可得l 2的方程为y ＝k (x －5)，即kx －y －5k ＝0.因为直线l 1过点A (0,1)，则点A 到直线l 2的距离d ＝|－1－5k |(－1)2＋k 2＝5，∴25k 2＋10k ＋1＝25k 2＋25，∴k ＝125，∴l 1的方程为12x －5y ＋5＝0，l 2的方程为12x －5y －60＝0.(2)若l 1，l 2的斜率不存在①，则l 1的方程为x ＝0，l 2的方程为x ＝5，它们之间的距离为5，同样满足条件．综上所述，满足条件的直线方程有两组：l 1：12x －5y ＋5＝0，l 2：12x －5y －60＝0；或l 1：x ＝0，l 2：x ＝5.[易错防范]1．①处容易漏掉l 1，l 2的斜率都不存在的情形而导致错误．2．用待定系数法求直线方程时，一定要对斜率是否存在的情况进行讨论． [成功破障]经过点A (1,2)且到原点的距离等于1的直线方程为________．解析：当过点A 的直线垂直于x 轴时，原点到此直线的距离等于1，所以满足题设条件，其方程为x －1＝0.当过点A 的直线不垂直于x 轴时，设其方程为y －2＝k (x －1)，即kx －y －k ＋2＝0.由|－k ＋2|k 2＋1＝1得k ＝34，故其方程为3x －4y ＋5＝0.故所求的直线方程为x －1＝0，或3x －4y ＋5＝0. 答案：x ＝1或3x －4y ＋5＝0[随堂即时演练]1．原点到直线x ＋2y －5＝0的距离为( ) A ．1 B. 3 C ．2D. 5解析：选D d ＝|－5|5＝ 5.2．已知直线l 1：x ＋y ＋1＝0，l 2：x ＋y －1＝0，则l 1，l 2之间的距离为( ) A ．1 B. 2 C. 3D ．2 解析：选B 在l 1上取一点(1，－2)，则点到直线l 2的距离为|1－2－1|12＋12＝ 2.3．直线4x －3y ＋5＝0与直线8x －6y ＋5＝0的距离为________．解析：直线8x －6y ＋5＝0化简为4x －3y ＋52＝0，则由两平行线间的距离公式得⎪⎪⎪⎪5－5242＋32＝12. 答案：124．若点(2，k )到直线5x －12y ＋6＝0的距离是4，则k 的值是________．解析：∵|5×2－12k ＋6|52＋122＝4，∴|16－12k |＝52，∴k ＝－3，或k ＝173.答案：－3或1735．已知△ABC 三个顶点坐标A (－1,3)，B (－3,0)，C (1,2)，求△ABC 的面积S . 解：由直线方程的两点式得直线BC 的方程为 y 2－0＝x ＋31＋3， 即x －2y ＋3＝0.由两点间距离公式得 |BC |＝(－3－1)2＋(0－2)2＝25，点A 到BC 的距离为d ，即为BC 边上的高， d ＝|－1－2×3＋3|12＋(－2)2＝455， 所以S ＝12|BC |·d ＝12×25×455＝4，即△ABC 的面积为4.[课时达标检测]一、选择题1．点(1，－1)到直线x －y ＋1＝0的距离是( ) A ．3 2 B.22C ．3D.322解析：选D 点(1，－1)到直线x －y ＋1＝0的距离 d ＝|1－1×(－1)＋1|12＋(－1)2＝322.2．两平行线分别经过点A (3,0)，B (0,4)，它们之间的距离d 满足的条件是( ) A ．0＜d ≤3 B ．0＜d ≤5 C ．0＜d ＜4D ．3≤d ≤5解析：选B 当两平行线与AB 垂直时，两平行线间的距离最大为|AB |＝5，所以0＜d ≤5. 3．与直线2x ＋y ＋1＝0的距离等于55的直线方程为( ) A ．2x ＋y ＝0 B ．2x ＋y －2＝0C ．2x ＋y ＝0或2x ＋y －2＝0D ．2x ＋y ＝0或2x ＋y ＋2＝0解析：选D 根据题意可设所求直线方程为2x ＋y ＋c ＝0.因为两直线间的距离等于55，所以d ＝|c －1|22＋12＝55，解得c ＝0，或c ＝2.所以所求直线方程为2x ＋y ＝0，或2x ＋y ＋2＝0. 4．直线l 过点A (3,4)且与点B (－3,2)的距离最远，那么l 的方程为( ) A ．3x －y －13＝0 B ．3x －y ＋13＝0 C ．3x ＋y －13＝0D ．3x ＋y ＋13＝0解析：选C 由已知可知，l 是过A 且与AB 垂直的直线， ∵k AB ＝2－4－3－3＝13，∴k l ＝－3， 由点斜式得，y －4＝－3(x －3)，即3x ＋y －13＝0.5．若动点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)分别在直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0上移动，则AB 的中点M 到原点距离的最小值是( )A ．3 2B ．2 3C ．3 3D ．4 2解析：选A 由题意，结合图形可知点M 必然在直线x ＋y －6＝0上，故M 到原点的最小距离为|－6|2＝3 2.二、填空题6．直线l 到直线x －2y ＋4＝0的距离和原点到直线l 的距离相等，则直线l 的方程是________________．解析：由题意设所求l 的方程为x －2y ＋C ＝0， 则|C －4|12＋22＝|C |12＋22，解得C ＝2，故直线l 的方程为x －2y ＋2＝0. 答案：x －2y ＋2＝07．直线l 在x 轴上的截距为1，又有两点A (－2，－1)，B (4,5)到l 的距离相等，则l 的方程为________________．解析：显然l ⊥x 轴时符合要求，此时l 的方程为x ＝1； 设l 的斜率为k ，则l 的方程为y ＝k (x －1)，即 kx －y －k ＝0.∵点A ，B 到l 的距离相等， ∴|－2k ＋1－k |k 2＋1＝|4k －5－k |k 2＋1.∴|1－3k |＝|3k －5|，∴k ＝1，∴l 的方程为x －y －1＝0. 综上，l 的方程为x ＝1，或x －y －1＝0. 答案：x ＝1或x －y －1＝08．已知直线l 与直线l 1：2x －y ＋3＝0和l 2：2x －y －1＝0的距离相等，则l 的方程是____________________．解析：法一：由题意可设l 的方程为2x －y ＋c ＝0， 于是有|c －3|22＋(－1)2＝|c －(－1)|22＋(－1)2，即|c －3|＝|c ＋1|，解得c ＝1， 则直线l 的方程为2x －y ＋1＝0.法二：由题意知l 必介于l 1与l 2中间，故设l 的方程为2x －y ＋c ＝0， 则c ＝3＋(－1)2＝1.则直线l 的方程为2x －y ＋1＝0. 答案：2x －y ＋1＝0 三、解答题9．已知直线l 经过点P (－2,5)，且斜率为－34.(1)求直线l 的方程；(2)若直线m 与l 平行，且点P 到直线m 的距离为3，求直线m 的方程． 解：(1)由直线方程的点斜式，得y －5＝－34(x ＋2)，整理得所求直线方程为 3x ＋4y －14＝0.(2)由直线m 与直线l 平行，可设直线m 的方程为 3x ＋4y ＋C ＝0， 由点到直线的距离公式得 |3×(－2)＋4×5＋C |32＋42＝3，即|14＋C |5＝3，解得C ＝1或C ＝－29， 故所求直线方程为3x ＋4y ＋1＝0或3x ＋4y －29＝0.10．已知正方形ABCD 一边CD 所在直线的方程为x ＋3y －13＝0，对角线AC ，BD 的交点为P (1,5)，求正方形ABCD 其他三边所在直线的方程．解：(1)点P (1,5)到l CD 的距离为d ，则d ＝310. ∵l AB ∥l CD ，∴可设l AB ：x ＋3y ＋m ＝0. 点P (1,5)到l AB 的距离也等于d ， 则|m ＋16|10＝310， 又∵m ≠－13，∴m ＝－19，即l AB ：x ＋3y －19＝0. ∵l AD ⊥l CD ，∴可设l AD ：3x －y ＋n ＝0，则P (1,5)到l AD 的距离等于P (1,5)到l BC 的距离，且都等于d ＝310， |n －2|10＝310，n ＝5，或n ＝－1， 则l AD ：3x －y ＋5＝0，l BC ：3x －y －1＝0.所以，正方形ABCD 其他三边所在直线方程为x ＋3y －19＝0,3x －y ＋5＝0,3x －y －1＝0.直线与方程一、选择题(共10小题，每小题5分，共50分)1．(2013·嘉兴高一检测)点A (2，－3)关于点B (－1,0)的对称点A ′的坐标是( ) A ．(－4,3) B ．(5，－6) C ．(3，－3)D.⎝⎛⎭⎫12，－32 解析：选A 设A ′(x ′，y ′)，由题意得⎩⎨⎧2＋x ′2＝－1，－3＋y ′2＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝－4，y ′＝3. 2．已知直线l 的方程为y ＝－x ＋1，则直线l 的倾斜角为( ) A ．30° B ．45° C ．60°D ．135°解析：选D 由题意知k ＝－1，故倾斜角为135°.3．(2012·潍坊高一期末检测)点(1,1)到直线x ＋y －1＝0的距离为( ) A ．1B ．2C.22D. 2解析：选C 由点到直线的距离公式d ＝|1＋1－1|12＋12＝22.4．若直线l 与直线y ＝1，x ＝7分别交于P 、Q ，且线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，则直线l 的斜率为( )A.13 B ．－13C ．3D ．－3解析：选B 设P (a,1)，Q (7，b )，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＋7＝2，b ＋1＝－2.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－5，b ＝－3，故直线l 的斜率为－3－17＋5＝－13.a ＝－5.5．过点(－1,3)且平行于直线x －2y ＋3＝0的直线方程为( ) A ．x －2y ＋7＝0 B ．2x ＋y －1＝0 C ．x －2y －5＝0D ．2x ＋y －5＝0解析：选A ∵直线x －2y ＋3＝0的斜率为12，∴所求直线的方程为y －3＝12(x ＋1)，即x －2y ＋7＝0.6．若直线mx ＋ny ＋3＝0在y 轴上的截距为－3，且它的倾斜角是直线3x －y ＝33的倾斜角的2倍，则( )A ．m ＝－3，n ＝1B ．m ＝－3，n ＝－3C ．m ＝3，n ＝－3D ．m ＝3，n ＝1解析：选D 依题意得－3n ＝－3，－mn ＝tan 120°＝－3，得m ＝3，n ＝1.7．和直线3x －4y ＋5＝0关于x 轴对称的直线方程为( ) A ．3x ＋4y ＋5＝0 B ．3x ＋4y －5＝0 C ．－3x ＋4y －5＝0D ．－3x ＋4y ＋5＝0解析：选A 设所求直线上的任一点为(x ，y )，则此点关于x 轴对称的点的坐标为(x ，－y )，因为点(x ，－y )在直线3x －4y ＋5＝0上，所以3x ＋4y ＋5＝0.8．若三点A (3,1)，B (－2，b )，C (8,11)在同一直线上，则实数b 等于( ) A ．2 B ．3 C ．9D ．－9解析：选D 由题意知k AB ＝k BC即b －1－2－3＝11－b8＋2，解得b ＝－9. 9．将一张坐标纸折叠一次，使点(10,0)与(－6,8)重合，则与点(－4,2)重合的点是( ) A ．(4，－2) B ．(4，－3) C.⎝⎛⎭⎫3，32 D ．(3，－1)解析：选A 由已知知以(10,0)和(－6,8)为端点的线段的垂直平分线的方程为y ＝2x ，则(－4,2)关于直线y ＝2x 的对称点即为所求点．设所求点为(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 0－2x 0＋4＝－12，y 0＋22＝2·x 0－42，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝4，y 0＝－2. 10．设点A (2，－3)，B (－3，－2)，直线l 过P (1,1)且与线段AB 相交，则l 的斜率k 的取值范围是( )A ．k ≥34，或k ≤－4B ．－4≤k ≤34C ．－34≤k ≤4D ．以上都不对解析：选A 由题意知k AP ＝－3－12－1＝－4， k BP ＝－2－1－3－1＝34.由斜率的特点并结合图形可知k ≥34，或k ≤－4.二、填空题(共4小题，每小题5分，共20分)11．已知点A (2,1)，B (－2,3)，C (0,1)，则△ABC 中，BC 边上的中线长为________． 解析：BC 中点为⎝⎛⎭⎫－2＋02，3＋12即(－1,2)，所以BC 边上中线长为(2＋1)2＋(1－2)2＝10.答案：1012．经过点A (1,1)且在x 轴上的截距等于在y 轴上的截距的直线方程是________． 解析：当直线过原点时，满足要求，此时直线方程为x －y ＝0；当直线不过原点时，设直线方程为x a ＋ya ＝1，由于点(1,1)在直线上，所以a ＝2，此时直线方程为x ＋y －2＝0.答案：x －y ＝0或x ＋y －2＝013．过点A (2,1)的所有直线中，距离原点最远的直线方程为____________．解析：如右图，只有当直线l 与OA 垂直时，原点到l 的距离最大，此时k OA ＝12，则k l ＝－2，所以方程为y －1＝－2(x －2)，即2x ＋y －5＝0.答案：2x ＋y －5＝014．已知点A (4，－3)与B (2，－1)关于直线l 对称，在l 上有一点P ，使点P 到直线4x ＋3y －2＝0的距离等于2，则点P 的坐标是____________．解析：由题意知线段AB 的中点C (3，－2)，k AB ＝－1，故直线l 的方程为y ＋2＝x －3，即y ＝x －5.设P (x ，x －5)，则2＝|4x ＋3x －17|42＋32，解得x ＝1或x ＝277.即点P 的坐标是(1，－4)或⎝⎛⎭⎫277，－87. 答案：(1，－4)或⎝⎛⎭⎫277，－87 三、解答题(共4小题，共50分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分12分)(2012·绍兴高二检测)已知直线l 的倾斜角为135°，且经过点P (1,1)． (1)求直线l 的方程；(2)求点A (3,4)关于直线l 的对称点A ′的坐标．解：(1)∵k ＝tan 135°＝－1，∴l ：y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0. (2)设A ′(a ，b )， 则⎩⎪⎨⎪⎧b －4a －3×(－1)＝－1，a ＋32＋b ＋42－2＝0，解得a ＝－2，b ＝－1，∴A ′的坐标为(－2，－1)．16．(本小题满分12分)已知两条直线l 1：x ＋m 2y ＋6＝0，l 2：(m －2)x ＋3my ＋2m ＝0 ，当m 为何值时，l 1与l 2(1)相交；(2)平行；(3)重合？解：当m ＝0时，l 1：x ＋6＝0，l 2：x ＝0，∴l 1∥l 2.当m ＝2时，l 1：x ＋4y ＋6＝0，l 2：3y ＋2＝0，∴l 1与l 2相交．当m ≠0且m ≠2时，由1m －2＝m 23m 得m ＝－1或m ＝3，由1m －2＝62m ，得m ＝3.故(1)当m ≠－1且m ≠3且m ≠0时，l 1与l 2相交． (2)当m ＝－1或m ＝0时，l 1∥l 2. (3)当m ＝3时，l 1与l 2重合．17．(本小题满分12分)如图，已知点A (2,3)，B (4,1)，△ABC 是以AB 为底边的等腰三角形，点C 在直线l ：x －2y ＋2＝0上．(1)求AB 边上的高CE 所在直线的方程； (2)求△ABC 的面积．解：(1)由题意可知，E 为AB 的中点， ∴E (3,2)，且k CE ＝－1k AB＝1，∴CE 所在直线方程为：y －2＝x －3，即x －y －1＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋2＝0，x －y －1＝0，得C (4,3)，∴|AC |＝|BC |＝2，AC ⊥BC ，∴S △ABC ＝12|AC |·|BC |＝2.18．(本小题满分14分)如图所示，在△ABC 中，BC 边上的高所在直线l 的方程为x －2y ＋1＝0，∠A 的平分线所在直线的方程为y ＝0，若点B 的坐标为(1,2)，求点A 和点C 的坐标．解：由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1＝0，y ＝0解得顶点A (－1,0)．又AB 的斜率为k AB ＝1，且x 轴是∠A 的平分线，故直线AC 的斜率为－1，AC 所在直线的方程为y ＝－(x ＋1)．已知BC 边上的高所在直线的方程为x －2y ＋1＝0，故BC 的斜率为－2，BC 所在直线的方程为y －2＝－2(x －1)．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－(x ＋1)，y －2＝－2(x －1).得顶点C 的坐标为(5，－6)．所以点A 的坐标为(－1,0)，点C 的坐标为(5，－6)．。