高中数学竞赛标准教材(第四章几个初等函数的性质)

高中数学竞赛标准教材(第四章几个初等函数的性质)第四几个初等函数的性质一、基础知识1．指数函数及其性质：形如=ax(a>0, a 1)的函数叫做指数函数，其定义域为R，值域为（0，+∞），当0<a<1时，=ax是减函数，当a>1时，=ax为增函数，它的图象恒过定点（0，1）。

2．分数指数幂：。

3．对数函数及其性质：形如=lgax(a>0, a 1)的函数叫做对数函数，其定义域为（0，+∞），值域为R，图象过定点（1，0）。

当0<a<1，=lgax为减函数，当a>1时，=lgax为增函数。

4．对数的性质（>0, N>0）；1）ax= x=lg&nt;a(a>0, a 1)；2）lg&nt;a&nt;(N)= lg&nt;a + lg&nt;a N；3）lg&nt;a（）= lg&nt;a - lg&nt;a N；4）lg&nt;a n=n lg&nt;a ；，）lg&nt;a = lg&nt;a ；6）alg&nt;a =; 7) lg&nt;a b= (a,b,>0, a, 1)函数=x+ （a>0）的单调递增区间是和，单调递减区间为和。

（请读者自己用定义证明）6．连续函数的性质：若a<b, f(x)在[a, b]上连续，且f(a)•f(b)<0，则f(x)=0在（a,b）上至少有一个实根。

二、方法与例题1．构造函数解题。

例1 已知a, b, ∈(-1, 1)，求证：ab+b+a+1>0【证明】设f(x)=(b+)x+b+1 (x∈(-1, 1))，则f(x)是关于x的一次函数。

所以要证原不等式成立，只需证f(-1)>0且f(1)>0（因为-1<a<1）因为f(-1)=-(b+)+b+1=(1-b)(1-)>0，f(1)=b++b+a=(1+b)(1+)>0，所以f(a)>0，即ab+b+a+1>0例2 （柯西不等式）若a1, a2,…,an是不全为0的实数，b1, b2,…,bn ∈R，则（）•（）≥( )2，等号当且仅当存在R，使a&nt;i= , i=1, 2, …, n时成立。

【证明】令f(x)= （）x2-2( )x+ = ,因为>0，且对任意x∈R, f(x)≥0，所以△=4( )-4（）( )≤0展开得（）( )≥( )2。

等号成立等价于f(x)=0有实根，即存在，使a&nt;i= , i=1, 2, …, n。

例3 设x, ∈R+, x+=, 为常数且∈(0, 2]，求u= 的最小值。

【解】u= =x+ ≥x+ +2•=x+ +2令x=t，则0<t=x≤ ,设f(t)=t+ ,0<t≤因为0<≤2，所以0< ≤1，所以f(t)在上单调递减。

所以f(t)in=f( )= + ，所以u≥ + +2当x== 时，等号成立所以u的最小值为+ +22．指数和对数的运算技巧。

例4 设p, q∈R+且满足lg9p= lg12q= lg16(p+q)，求的值。

【解】令lg9p= lg12q= lg16(p+q)=t，则p=9 t , q=12 t , p+q=16t，所以9 t +12 t =16 t，即1+记x= ，则1+x=x2，解得又>0，所以=例对于正整数a, b, (a≤b≤)和实数x, , z, ，若ax=b=z=70，且，求证：a+b=【证明】由ax=b=z=70取常用对数得xlga=lgb=zlg=lg70所以lga= lg70, lgb= lg70, lg= lg70，相加得(lga+lgb+lg)= lg70，由题设，所以lga+lgb+lg=lg70，所以lgab=lg70所以ab=70=2××7若a=1，则因为xlga=lg70，所以=0与题设矛盾，所以a>1又a≤b≤，且a, b, 为70的正约数，所以只有a=2, b=, =7所以a+b=例6 已知x 1, a 1, a 1, 1 且lgax+lgx=2lgbx，求证2=(a)lgab【证明】由题设lgax+lgx=2lgbx，化为以a为底的对数，得，因为a>0, a 1，所以lgab=lga2，所以2=(a)lgab注：指数与对数式互化，取对数，换元，换底公式往往是解题的桥梁。

3．指数与对数方程的解法。

解此类方程的主要思想是通过指对数的运算和换元等进行化简求解。

值得注意的是函数单调性的应用和未知数范围的讨论。

例7 解方程：3x+4 x + x =6 x【解】方程可化为=1。

设f(x)= , 则f(x)在(-∞,+∞)上是减函数，因为f(3)=1，所以方程只有一个解x=3例8 解方程组：（其中x, ∈R+）【解】两边取对数，则原方程组可化为①②把①代入②得(x+)2lgx=36lgx，所以[(x+)2-36]lgx=0由lgx=0得x=1，由(x+)2-36=0(x, ∈R+)得x+=6，代入①得lgx=2lg，即x=2，所以2+-6=0又>0，所以=2, x=4所以方程组的解为例9 已知a>0, a 1，试求使方程lga(x-a)=lga2(x2-a2)有解的的取值范围。

【解】由对数性质知，原方程的解x应满足①②③若①、②同时成立，则③必成立，故只需解由①可得2x=a(1+2)，④当=0时，④无解；当0时，④的解是x= ，代入②得>若<0，则2>1，所以<-1；若>0，则2<1，所以0<<1 综上，当∈(-∞,-1) ∪(0, 1)时，原方程有解。

三、基础训练题1．命题p: “(lg&nt;23)x-(lg&nt;3)x≥(lg&nt;23)--(lg&nt;3)-”是命题q:“x+≥0”的_________条。

2．如果x1是方程x+lgx=27的根，x2是方程x+10x=27的根，则x1+x2=_________3．已知f(x)是定义在R上的增函数，点A（-1，1），B（1，3）在它的图象上，=f-1(x)是它的反函数，则不等式|f-1(lg2x)|<1的解集为_________。

4．若lg2a <0，则a 取值范围是_________。

．命题p: 函数=lg&nt;&nt;2 在[2，+∞）上是增函数；命题q: 函数=lg2(ax2-4x+1)的值域为R，则p是q的_________条。

6．若0<b<1, a>0且a 1，比较大小：|lga(1-b)|_________|lga(1+b) 7．已知f(x)=2+lg3x, x∈[1, 3]，则函数=[f(x)]2+f(x2)的值域为_________。

8．若x= ，则与x最接近的整数是_________。

9．函数的单调递增区间是_________。

10．函数f(x)= 的值域为_________。

11．设f(x)=lg[1+2x+3 x +…+(n-1) x +n x•a]，其中n为给定正整数, n≥2, a∈R若f(x)在x∈(-∞,1]时有意义，求a的取值范围。

12．当a为何值时，方程=2有一解，二解，无解？四、高考水平训练题1．函数f(x)= +lg(x2-1)的定义域是_________2．已知不等式x2-lgx<0在x∈时恒成立，则的取值范围是_________3．若x∈{x|lg2x=2-x}，则x2, x, 1从大到小排列是_________4 若f(x)=ln ，则使f(a)+f(b)= _________命题p: 函数=lg&nt;2 在[2，+∞）上是增函数；命题q：函数=lg2(ax2-4x+1)的值域为R，则p是q的_________条6．若0<b<1, a>0且 a 1，比较大小：|lg&nt;a(1-b)| _________|lg&nt;a(1+b)|7．已知f(x)=2+lg3x, x∈[1, 3]，则函数=[f(x)]2+f(x2)的值域为_________8．若x= ，则与x最接近的整数是_________9．函数= 的单调递增区间是_________10．函数f(x)= 的值域为_________11．设f(x)=lg[1+2x+3 x +…+(n-1) x +n x•a]，其中n为给定正整数，n≥2,a∈R。

若f(x) 在x∈(-∞,1]时有意义，求a的取值范围。

12．当a为何值时，方程=2有一解，二解，无解？四、高考水平训练题1．函数f(x)= +lg(x2-1)的定义域是__________2．已知不等式x2-lgx<0在x∈时恒成立，则的取值范围是________3．若x∈{x|lg2x=2-x}，则x2, x, 1从大到小排列是________4．若f(x)=ln ，则使f(a)+f(b)= 成立的a, b的取值范围是________ ．已知an=lgn(n+1)，设，其中p, q为整数，且(p ,q)=1，则p•q 的值为_________6．已知x>10, >10, x=1000，则(lgx)•(lg)的取值范围是________7．若方程lg(x)=2lg(x+1)只有一个实数解，则实数的取值范围是________8．函数f(x)= 的定义域为R，若关于x的方程f 2(x)+bf(x)+=0有7个不同的实数解，则b, 应满足的充要条是________（1）b<0且>0；（2）b>0且<0；（3）b<0且=0；（4）b≥0且=0。

9．已知f(x)= x, F(x)=f(x+t)-f(x-t)(t 0)，则F(x)是________函数（填奇偶性）10．已知f(x)=lg ，若=1，=2，其中|a|<1, |b|<1，则f(a)+f(b)=________11．设a∈R，试讨论关于x的方程lg(x-1)+lg(3-x)=lg(a-x)的实数解的个数。