高中数学竞赛标准教材讲义函数教案

一、说教材《函数的性质》是高中数学人教版必修一中的第三章内容，主要介绍了函数的基本性质，包括单调性、奇偶性、周期性等。

这些性质是研究函数图像和性质的基础，对于理解函数的应用具有重要意义。

本节课的教学目标是帮助学生掌握函数性质的概念，理解函数性质的意义，并能运用函数性质解决实际问题。

二、说学情高中学生已经具备了一定的数学基础，对函数有一定的认识。

但他们对函数性质的理解还比较浅显，对于如何运用函数性质解决实际问题还缺乏经验。

因此，本节课需要通过引导学生探究、合作学习，提高他们对函数性质的理解和应用能力。

三、说教学目标1. 知识与技能目标：（1）理解函数性质的概念，掌握函数单调性、奇偶性、周期性的定义；（2）能够运用函数性质分析函数图像，解决实际问题。

2. 过程与方法目标：（1）通过观察、分析、归纳等方法，发现函数性质的特点；（2）通过小组合作、探究交流，提高学生合作学习能力。

3. 情感态度与价值观目标：（1）培养学生对数学学习的兴趣，激发学生探究数学问题的热情；（2）培养学生严谨、求实的科学态度。

四、说教学重难点1. 教学重点：函数单调性、奇偶性、周期性的定义及运用。

2. 教学难点：如何运用函数性质分析函数图像，解决实际问题。

五、说教法学法1. 教法：采用启发式教学、探究式教学、合作学习等教学方法。

2. 学法：引导学生观察、分析、归纳，通过小组合作、探究交流，提高学生的自主学习能力。

六、说教学过程1. 导入新课通过展示一些函数图像，引导学生回顾函数的概念，提出本节课的学习目标。

2. 新课讲授（1）介绍函数性质的概念，讲解函数单调性、奇偶性、周期性的定义；（2）通过实例分析，让学生理解函数性质的意义；（3）引导学生观察、分析、归纳，发现函数性质的特点；（4）通过小组合作、探究交流，让学生运用函数性质分析函数图像，解决实际问题。

3. 巩固练习设计一些练习题，让学生巩固所学知识，提高运用函数性质解决实际问题的能力。

高中数学函数部分讲解教案教学目标：1. 理解函数的定义和性质；2. 掌握常见函数的图像和性质；3. 能够解决与函数相关的问题。

教学重点：1. 函数的定义和性质；2. 常见函数的图像和性质。

教学难点：1. 函数的复合运算和逆运算；2. 函数的极限和连续性。

教学准备：1. 教师准备PPT课件，包含函数的定义、性质、常见函数的图像等内容；2. 教师准备白板和彩色笔，方便做示范；3. 教师准备习题册，供学生练习。

教学过程：一、引入教师通过一道问题引入函数的概念，让学生理解函数的定义及其应用，激发学生学习的兴趣。

二、讲解函数的定义和性质1. 介绍函数的定义：函数是一个或多个自变量通过运算得到一个值的规则。

2. 讲解函数的性质：单调性、奇偶性、周期性等。

三、常见函数的图像和性质1. 讲解线性函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等的图像和性质。

2. 示范如何求解这些函数的性质，如定义域、值域、奇偶性等。

四、函数的复合运算和逆运算1. 介绍函数的复合运算和逆运算的概念；2. 做一些例题让学生掌握这两种运算的方法。

五、函数的极限和连续性1. 讲解函数极限的定义和性质；2. 讲解函数连续性的概念和判定方法；3. 带领学生做相关练习。

六、总结和作业教师对本节课的内容进行总结，并布置相关作业，巩固学生的学习成果。

教学反思：本节课主要围绕函数的定义、性质以及常见函数的图像和性质展开讲解，通过引入问题激发学生的兴趣，使他们能够更深入理解函数的概念和应用。

同时，通过示范和练习，让学生掌握函数的相关知识和方法。

在教学中要注意引导学生思考和讨论，激发他们的学习热情，提高学习效果。

一、说教材1. 教材内容本节课所选内容为高中数学教材中的《函数的概念与性质》章节，主要内容包括函数的定义、性质以及函数图象的绘制等。

2. 教学目标（1）知识与技能：理解函数的概念，掌握函数的性质，学会绘制函数图象。

（2）过程与方法：通过实例分析，引导学生逐步掌握函数的定义，培养学生的逻辑思维能力。

（3）情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生严谨、求实的科学态度。

二、说学情1. 学生特点高中学生对数学有一定的兴趣，具备一定的抽象思维能力，但理解函数概念时仍存在困难，需要教师引导。

2. 教学重难点（1）教学重点：函数的定义、性质以及函数图象的绘制。

（2）教学难点：函数性质的运用和函数图象的绘制。

三、说教法1. 采用启发式教学，引导学生主动探究函数的定义和性质。

2. 结合实例，讲解函数图象的绘制方法。

3. 运用多媒体教学手段，展示函数图象，提高教学效果。

四、说学法1. 培养学生观察、分析、归纳的能力，引导学生自主探究函数的定义和性质。

2. 培养学生动手操作能力，通过绘制函数图象，加深对函数性质的理解。

3. 培养学生合作交流能力，在小组讨论中共同解决问题。

五、说教学过程1. 导入新课（1）展示生活中常见的函数实例，如温度与时间的关系、距离与速度的关系等，引导学生思考什么是函数。

（2）提出问题：如何描述这些函数关系？它们有什么特点？2. 新课讲授（1）讲解函数的定义，通过实例分析，让学生理解函数的概念。

（2）讲解函数的性质，如奇偶性、单调性等，结合实例讲解。

（3）展示函数图象的绘制方法，引导学生动手操作。

3. 巩固练习（1）布置课后练习题，巩固所学知识。

（2）教师讲解练习题，纠正学生错误，帮助学生掌握函数的性质和图象绘制方法。

4. 总结归纳（1）引导学生回顾本节课所学内容，总结函数的定义、性质和图象绘制方法。

（2）提出思考题，激发学生对函数学习的兴趣。

5. 课堂小结（1）教师对本节课进行总结，强调重点和难点。

课程目标：1. 理解并掌握函数极限的基本概念和性质。

2. 能够运用极限的基本运算法则进行计算。

3. 掌握连续函数的概念和性质，并能判断函数的连续性。

4. 提高学生在高数竞赛中的解题能力。

课程内容：一、函数极限的概念与性质1. 极限的定义2. 极限的性质3. 极限存在的条件二、极限的基本运算法则1. 四则运算法则2. 夹逼定理3. 无穷小与无穷大的关系三、连续函数的概念与性质1. 连续函数的定义2. 连续函数的性质3. 函数间断点的类型四、判断函数连续性的方法1. 利用连续函数的性质2. 利用极限的运算法则3. 利用闭区间上连续函数的性质教学过程：1. 复习高中数学中关于极限的知识，回顾极限的定义和性质。

2. 引入高数竞赛中常见的极限问题，激发学生的学习兴趣。

二、讲解1. 详细讲解函数极限的概念和性质，结合实例进行分析。

2. 讲解极限的基本运算法则，通过例题展示如何运用这些法则进行计算。

3. 讲解连续函数的概念和性质，介绍函数间断点的类型。

三、练习1. 给学生发放练习题，要求学生独立完成。

2. 对学生的练习进行批改，讲解错误原因，帮助学生纠正。

四、讨论1. 针对练习中的典型问题进行讨论，引导学生总结解题思路和方法。

2. 鼓励学生提出自己的见解，培养学生的创新思维。

五、总结1. 总结本节课所学内容，强调重点和难点。

2. 布置课后作业，巩固所学知识。

教学评价：1. 通过课堂练习和课后作业的完成情况，评价学生对函数极限和连续性的掌握程度。

2. 通过学生的讨论和提问，评价学生的思维能力和创新意识。

教学资源：1. 高数竞赛辅导教材2. 多媒体课件3. 练习题集1. 在教学过程中，注重理论与实践相结合，提高学生的实际应用能力。

2. 关注学生的学习进度，针对不同层次的学生进行个性化辅导。

3. 鼓励学生积极参与课堂讨论，培养学生的团队合作精神。

第6讲函数的概念本节主要内容有映射与函数的概念，函数的定义域和值域的求法，函数的对应法则f ，分段函数和绝对值函数的图象．A 类例题例1 求下列函数的定义域：（1）02)23()12lg(2)(x x x x x f -+--=（2）22()lg()lg()f x x ka x a =-+-(0>a ) 解（1）要使函数有意义，必须220,210,211,320x x x x x ⎧-≥⎪->⎪⎨-≠⎪⎪-≠⎩，即02,1,21,32x x x x ≤≤⎧⎪⎪>⎪⎨≠⎪⎪≠⎪⎩， 故函数定义域为]2,23()23,1()1,21( ．（2）由题意知，函数的自变量x 满足22,,x ka x a >⎧⎨>⎩由于又0>a ，所以,x ka x a x a >⎧⎨<->⎩或．当1k ≥时，函数的定义域为),(+∞ka ； 当11k -≤<时，函数的定义域为),(+∞a ； 当1k <-时，函数的定义域为),(),(+∞-a a ka ．说明 列出使解析式有意义的条件不等式，问题就可以转化为求不等式（组）的解，若含有参数，需对参数的取值进行讨论．例2 已知函数()y f x =的定义域为[－1，1]，求函数()()()x F x f ax f a=+（0a >）的定义域分析 函数()F x 的定义域是()f ax ，()x f a 的定义域的交集，其中ax 和xa有相同的取值范围[－1，1]，解题过程中应注意参数a 的取值范围，必要时应对a 分类讨论．解 由题意得11,11,ax x a -≤≤⎧⎪⎨-≤≤⎪⎩因为0a >，所以11,.x aa a x a ⎧-≤≤⎪⎨⎪-≤≤⎩当1a ≥时，11,a a a a ≥-≤-，不等式组的解集为11[,]a a-， 此时函数()F x 的定义域是11[,]a a -；当01a <<时，11,a a a a<->-，不等式组的解集为[,]a a -，此时函数()F x 的定义域是[,]a a -．说明 一般的，若函数()f x 的定义域为[,]a b ，则函数(())f g x 的定义域由不等式()a g x b ≤≤决定．例3 求下列函数的值域：（1）()f x ＝x （2）()f x ＝222231x x x x -+--； （3）()f x ＝22436x x x x +++-；（4）()f x |1||2||3|x x x =+++++；（5）()f x =解 （1t =（0t ≥），则212t x -=，所以2211()1(1)22t f x t t -=+=--． 又0t ≥，故21()1(1)12f x t =--≤， 即函数()f x 的值域为(,1]-∞．说明 函数()f x ＝x 可以看作由函数21()()1(1)2f xg t t ==--和()t h x ==()(())f x g h x =．为了求函数()f x 的值域，可以先通过函数()h x 求出t 得取值范围，再由t 的取值范围，通过函数()g t 求出()f x 的取值范围．（2）由y ＝()f x =222231x x x x -+--，得 (y ―2)x 2―(y ―2)x －y －3＝0 ①，当y ＝2时， ①式不成立，无对应的实数x ，当y ≠2时，△＝(y ―2)2―4(y ―2)(y ＋3)≥0，解得2y ≤-或y >2。

教学计划：《函数的概念及其表示》一、教学目标1.知识与技能：o学生能够理解并掌握函数的基本概念，包括自变量、因变量、函数定义域和值域。

o学生能够识别函数关系，并用不同的方式（如解析式、表格、图像）表示函数。

o学生能够区分函数与非函数关系，理解函数关系的唯一对应性。

2.过程与方法：o通过实例分析，引导学生从具体到抽象地理解函数概念。

o运用对比、归纳等方法，帮助学生掌握函数的不同表示方法。

o通过小组合作探究，培养学生的合作学习能力和问题解决能力。

3.情感态度与价值观：o激发学生对数学学习的兴趣，培养探究数学规律的精神。

o引导学生认识到函数在现实生活中的应用价值，增强数学应用的意识。

o通过解决问题，培养学生的耐心、细致和严谨的科学态度。

二、教学重点和难点●重点：函数的基本概念及其三种表示方法（解析式、表格、图像）。

●难点：理解函数关系的唯一对应性，区分函数与非函数关系；灵活运用不同方式表示函数。

三、教学过程1. 导入新课（5分钟）●生活实例引入：通过日常生活中的实例（如气温随时间变化、汽车速度与行驶时间的关系等），引导学生思考这些关系中是否存在一个变量随另一个变量变化而变化的规律。

●提出问题：这些关系中的两个变量之间是如何相互影响的？能否用数学语言来描述这种关系？●明确目标：引出函数的概念，并说明本节课将要学习的内容。

2. 概念讲解（15分钟）●函数定义：详细讲解函数的基本概念，包括自变量、因变量、函数关系以及定义域和值域的概念。

●实例分析：结合生活实例，分析哪些关系可以构成函数，哪些不能，强调函数关系的唯一对应性。

●表示方法：介绍函数的三种表示方法（解析式、表格、图像），并举例说明每种方法的应用场景。

3. 案例分析（10分钟）●典型例题：选取几道具有代表性的例题，通过分析题目中的变量关系，引导学生判断是否为函数关系，并尝试用不同方式表示该函数。

●师生互动：在例题讲解过程中，适时提问引导学生思考，鼓励学生尝试自己解答或提出疑问。

高中数学函数教学设计（精选5篇）一、函数的概念在一个变化过程中，发生变化的量叫变量（数学中，变量为x，而y则随x值的变化而变化），有些数值是不随变量而改变的，我们称它们为常量。

自变量（函数）：一个与它量有关联的变量，这一量中的任何一值都能在它量中找到对应的固定值。

因变量（函数）：随着自变量的变化而变化，且自变量取唯一值时，因变量（函数）有且只有唯一值与其相对应。

函数值：在y是x的函数中，x确定一个值，y就随之确定一个值，当x取a时，y就随之确定为b，b就叫做a的函数值。

二、高中数学函数教学设计（精选5篇）作为一名默默奉献的教育工作者，总归要编写教学设计，教学设计是一个系统化规划教学系统的过程。

我们该怎么去写教学设计呢？下面是小编收集整理的高中数学函数教学设计（精选5篇），仅供参考，大家一起来看看吧。

高中数学函数教学设计1教学目标1、通过对幂函数概念的学习以及对幂函数图象和性质的归纳与概括，让学生体验数学概念的形成过程，培养学生的抽象概括能力。

2、使学生理解并掌握幂函数的图象与性质，并能初步运用所学知识解决有关问题，培养学生的灵活思维能力。

3、培养学生观察、分析、归纳能力。

了解类比法在研究问题中的作用。

教学重点、难点重点：幂函数的性质及运用难点：幂函数图象和性质的发现过程教学方法：问题探究法教具：多媒体教学过程一、创设情景，引入新课问题1：如果张红购买了每千克1元的水果w千克，那么她需要付的钱数p(元)和购买的水果量w(千克)之间有何关系?(总结：根据函数的定义可知，这里p是w的函数)问题2：如果正方形的边长为a，那么正方形的面积，这里S是a 的函数。

问题3：如果正方体的边长为a，那么正方体的体积,这里V是a的函数。

问题4：如果正方形场地面积为S，那么正方形的边长,这里a是S 的函数。

问题5：如果某人s内骑车行进了km，那么他骑车的速度，这里v是t的函数。

以上是我们生活中经常遇到的几个数学模型，你能发现以上几个函数解析式有什么共同点吗?(右边指数式，且底数都是变量)这只是我们生活中常用到的一类函数的几个具体代表，如果让你给他们起一个名字的话，你将会给他们起个什么名字呢?(变量在底数位置，解析式右边都是幂的形式)(适当引导：从自变量所处的位置这个角度)(引入新课，书写课题)二、新课讲解由学生讨论，(教师可提示p=w可看成p=w1)总结，即可得出：p=w,s=a2,a=s,v=t-1都是自变量的若干次幂的形式。

高中数学试讲函数概念教案
教学内容：函数概念
教学目标：
1. 了解函数的定义以及函数的性质；
2. 能够通过实例理解函数的概念；
3. 能够应用函数的知识解决实际问题。

教学重点：
1. 函数的定义；
2. 函数的性质。

教学难点：
1. 函数的符号表示；
2. 函数的实际应用。

教学手段：课件、实例、互动问答
教学步骤：
第一步：引入
1. 通过一个实际问题引入函数的概念，例如“一家商店的销售额与月份的关系是什么？”；
2. 提问学生对函数的理解，引出函数的定义。

第二步：函数的定义
1. 介绍函数的定义：“如果对于每一个输入值，都有且只有一个对应的输出值，那么这个关系就是一个函数”；
2. 通过实例解释函数的概念，引导学生理解函数的含义；
3. 强调函数的符号表示，如f(x)表示函数。

第三步：函数的性质
1. 介绍函数的性质包括单调性、奇偶性、周期性等；
2. 通过实例让学生了解函数的不同性质，并能够判断一个函数的性质。

第四步：函数的应用
1. 通过实际问题引导学生应用函数的知识，如“某人每个月的工资是一笔固定的底薪加上销售提成，请用函数来表示他的月收入”；
2. 让学生自己动手解决一些实际问题，锻炼他们应用函数的能力。

第五步：总结
1. 总结本节课的内容，强调函数的概念及其应用；
2. 鼓励学生多多练习，提升对函数的理解和运用能力。

教学反馈：
1. 针对学生的反馈进行弥补和巩固；
2. 鼓励学生多多练习，加深对函数的理解。

函数教学教案设计优秀4篇函数教学教案设计篇一教学目标：（一）教学学问点：1.对数函数的概念；2.对数函数的图象和性质。

（二）本领训练要求：1.理解对数函数的概念；2.把握对数函数的图象和性质。

（三）德育渗透目标：1.用联系的观点分析问题；2.认得事物之间的相互转化。

教学重点：对数函数的图象和性质教学难点：对数函数与指数函数的关系教学方法：联想、类比、发觉、探究教学辅佑襄助：多媒体教学过程：一、引入对数函数的概念由同学的预习，可以直接回答“对数函数的概念”由指数、对数的定义及指数函数的概念，我们进行类比，可否料想有：问题：1.指数函数是否存在反函数？2.求指数函数的反函数．3.结论所以函数与指数函数互为反函数．这节课我们所要讨论的便是指数函数的反函数——对数函数．二、讲授新课1.对数函数的定义：定义域：（0,+∞）；值域：（∞,+∞）2.对数函数的图象和性质：由于对数函数与指数函数互为反函数．所以与图象关于直线对称．因此，我们只要画出和图象关于直线对称的曲线，就可以得到的图象．讨论指数函数时，我们分别讨论了底数和两种情形．那么我们可以画出与图象关于直线对称的曲线得到的图象．还可以画出与图象关于直线对称的曲线得到的图象．请同学们作出与的草图，并察看它们具有一些什么特征？对数函数的图象与性质：（1）定义域：（2）值域：（3）过定点，即那时候，（4）上的增函数（4）上的减函数3.练习：（1）比较下列各组数中两个值的大小：（2）解关于x的不等式：思考：（1）比较大小：（2）解关于x的不等式：三、小结这节课我们紧要介绍了指数函数的反函数——对数函数．而且讨论了对数函数的图象和性质．四、课后作业课本P85，习题2．8，1、3函数教学教案设计篇二一、教学内容分析本节内容是高一数学必修4（苏教版）第三章《三角恒等改换》第一节的内容，重点放在两角差的余弦公式的推导和证明上，其次是利用公式解决一些简单的三角函数问题。

数学函数高中讲解教案教学内容：数学函数的基本概念和性质教学目标：1. 理解数学函数的定义和特点2. 掌握数学函数的表示方法和图像特征3. 熟练运用函数概念解决实际问题教学重点：1. 数学函数的定义和特性2. 函数的表示方法和图像特征教学难点：1. 函数的应用和实际问题的解决教学准备：1. 教材：《高中数学》2. 教具：黑板、彩色粉笔、投影仪教学步骤：一、导入(5分钟)通过一个简单的例子引入数学函数的概念，例如：定义一个函数y=x^2，让学生计算不同x值对应的y值，并将结果在坐标轴上绘制出来。

二、概念讲解(15分钟)1. 讲解数学函数的定义：函数是一种将输入值映射为输出值的关系。

2. 介绍函数的表示方法：常用的表示方法包括公式表示、图表表示和表格表示。

3. 讲解函数的特性：包括定义域、值域、奇偶性等。

三、示例分析(20分钟)1. 通过几个实际例子演示函数的应用，让学生理解函数在实际问题中的作用。

2. 让学生尝试自己解决一些实际问题，如通过函数表示某个动态变化的关系。

四、练习训练(15分钟)布置一些练习题，让学生巩固所学知识，并培养运用函数解决问题的能力。

五、总结反思(5分钟)复习当天所学知识，让学生总结归纳函数的相关概念和性质，并思考函数在日常生活中的应用。

六、作业布置(5分钟)布置相关作业，让学生巩固所学知识，并提高解决问题的能力。

教学反思：通过本节课的教学，学生对数学函数的概念有了更深入的了解，并能够熟练运用函数解决实际问题。

在未来的教学中，可以通过更多的实例加深学生对函数的理解，提高他们的数学思维能力。

教学目标：1. 让学生掌握极限的概念和性质，能够熟练运用极限进行运算。

2. 使学生了解导数的概念，掌握导数的计算方法，并能运用导数解决实际问题。

3. 培养学生的逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能力。

教学重点：1. 极限的概念和性质2. 导数的概念和计算方法教学难点：1. 极限的计算2. 导数的应用教学过程：一、导入1. 回顾初中阶段学习的函数知识，引导学生思考函数在一点处的变化率。

2. 提出极限的概念，引导学生理解极限的思想。

二、讲授新课1. 极限的概念（1）讲解极限的定义，让学生理解极限的思想。

（2）举例说明极限的几种类型，如存在型、无穷型、振荡型等。

（3）讲解极限的性质，如极限的保号性、夹逼定理等。

2. 极限的计算（1）讲解极限的四则运算法则，让学生掌握极限的计算方法。

（2）举例讲解极限的计算，让学生学会运用极限解决实际问题。

3. 导数的概念（1）讲解导数的定义，让学生理解导数的思想。

（2）举例说明导数的几何意义，如曲线在某点处的切线斜率。

4. 导数的计算（1）讲解导数的计算方法，如导数的定义法、求导公式等。

（2）举例讲解导数的计算，让学生学会运用导数解决实际问题。

三、课堂练习1. 让学生独立完成课本上的练习题，巩固所学知识。

2. 教师巡视指导，解答学生疑问。

四、课堂小结1. 总结本节课所学内容，强调重点和难点。

2. 鼓励学生在课后复习，巩固所学知识。

五、布置作业1. 完成课本课后习题，巩固所学知识。

2. 预习下一节课内容，为下一节课做好准备。

教学反思：1. 本节课通过讲解极限与导数的相关知识，使学生掌握了极限的概念、性质和计算方法，以及导数的概念和计算方法。

2. 在课堂练习环节，关注学生的个体差异，给予个别辅导，确保每个学生都能掌握所学知识。

3. 在教学过程中，注重培养学生的逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能力，提高学生的数学素养。

高中数学函数的教案
教学内容：函数的定义与性质
教学目标：
1. 熟练掌握函数的定义；
2. 理解函数的性质，包括奇偶性、周期性等；
3. 能够应用函数的性质解决实际问题。

教学重点：
1. 函数的定义；
2. 函数的性质。

教学步骤：
一、导入（5分钟）
教师通过提问或引入实际问题，引发学生对函数的认识和兴趣。

二、讲解函数的定义（15分钟）
1. 函数的定义：对于自变量x的每个取值，都有唯一的因变量y与之对应。

2. 用图像和数学符号来表示函数的定义。

3. 介绍函数的符号表示和常见函数的名称。

三、讲解函数的性质（20分钟）
1. 函数的奇偶性：偶函数和奇函数的定义和性质。

2. 函数的周期性：周期函数的定义和性质。

3. 函数的单调性和最值：介绍函数的单调性和最值的概念。

四、实例演练（15分钟）
教师通过示例题目，让学生熟练应用函数的性质解决问题。

五、课堂练习（10分钟）
布置一些习题，让学生在课下巩固所学知识。

六、课堂总结（5分钟）
教师对本节课的教学内容进行总结和归纳，强调函数的重要性和应用。

教学反思：
本节课主要帮助学生理解和掌握函数的定义和性质，通过实际问题的应用，提高学生的实际解决问题的能力。

在教学过程中，可以适当引入一些生活中的例子，更好地吸引学生的注意和提高学习兴趣。

函数的概念说课教案8篇在我们日常的教学生涯中，难免会遇到要写教案的情况，教案是需要结合实际的教学进度和内容的，下面是作者为您分享的函数的概念说课教案8篇，感谢您的参阅。

函数的概念说课教案篇1教材分析：函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型．高中阶段不仅把函数看成变量之间的依赖关系，同时还用集合与对应的语言刻画函数，高中阶段更注重函数模型化的思想．教学目的：（1）通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；（2）了解构成函数的要素；（3）会求一些简单函数的定义域和值域；（4）能够正确使用“区间”的符号表示某些函数的定义域；教学重点：理解函数的模型化思想，用合与对应的语言来刻画函数；教学难点：符号“y=f(x)”的含义，函数定义域和值域的区间表示；教学过程：一、引入课题1、复习初中所学函数的概念，强调函数的模型化思想；2、阅读课本引例，体会函数是描述客观事物变化规律的数学模型的思想：（1）炮弹的射高与时间的变化关系问题；（2）南极臭氧空洞面积与时间的变化关系问题；（3）“八五”计划以来我国城镇居民的恩格尔系数与时间的变化关系问题备用实例：我国#年4月份非典疫情统计：日期#新增确诊病例数#3、引导学生应用集合与对应的语言描述各个实例中两个变量间的依赖关系；4、根据初中所学函数的概念，判断各个实例中的两个变量间的关系是否是函数关系．二、新课教学（一）函数的有关概念1．函数的概念：设a、b是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合a中的任意一个数x，在集合b中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：a→b 为从集合a到集合b的一个函数（function）．记作：y=f(x)，x∈a．其中，x叫做自变量，x的取值范围a叫做函数的定义域（domain）；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈a}叫做函数的值域（range）．注意：○1“y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”；○2函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘x．2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域3．区间的概念（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（2）无穷区间；（3）区间的数轴表示．4．一次函数、二次函数、反比例函数的定义域和值域讨论（由学生完成，师生共同分析讲评）（二）典型例题1．求函数定义域课本p20例1解：（略）说明：○1函数的定义域通常由问题的实际背景确定，如果课前三个实例；○2如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合；○3函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式．巩固练习：课本p22第1题2．判断两个函数是否为同一函数课本p21例2解：（略）说明：○1构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）○2两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。

高中数学竞赛技巧函数教案一、教学目标：1. 了解数学竞赛中常见的函数题型；2. 掌握解决函数题的常用方法和技巧；3. 提高学生在数学竞赛中的解题速度和准确性。

二、教学内容：1. 常见的函数题型：- 求函数的定义域和值域；- 求函数的最值；- 求函数的导数和导函数；- 利用函数图像解决问题等。

2. 解题方法和技巧：- 对于定义域和值域的问题，要注意函数的性质和约束条件；- 对于最值问题，要注意函数的单调性和导数的应用；- 对于导函数问题，要掌握导数的基本性质和求解方法；- 对于函数图像问题，要善于利用函数的图像和性质解决问题。

三、教学过程：1. 导入：简要介绍数学竞赛中函数题的重要性和解题方法，激发学生学习的兴趣。

2. 教学：逐个介绍常见的函数题型和解题方法，让学生理解并掌握相关知识。

3. 练习：设计一些函数题目供学生练习，帮助他们巩固和应用所学知识。

4. 总结：总结本节课的重点内容，强调解题技巧和注意事项。

5. 作业：布置相关的作业，让学生进一步巩固所学知识。

四、教学资源：1. 课件：包括函数题型和解题方法的介绍和示例；2. 教材：提供相关的函数知识和练习题目。

五、教学评估：1. 平时表现：观察学生在课堂上的学习态度和解题能力；2. 测验考试：定期组织函数题的测试和考试，评估学生的学习效果；3. 作业表现：检查学生完成作业的情况，及时纠正错误并指导学生提高解题能力。

六、教学反思：1. 根据学生的反馈和评估结果，及时调整教学方法和内容，提高教学效果；2. 不断积累和分享解题经验和技巧，指导学生在数学竞赛中取得更好的成绩。

、基础知识1 •指数函数及其性质：形如 y =a x （a >0, a 1）的函数叫做指数函数，其定义域为 R,值域为（0,+8）,当0<a <1时，y =a x 是减函数，当a >1时，y =a x为增函数，它的图象恒过定点（ 0, 1）. 3. 对数函数及其性质：形如 y =log a x （a >0, a 1）的函数叫做对数函数，其定义域为（0, +8）,值域为R,图象过定点(1, 0).当0<a <1, y =log a x 为减函数，当a >1时，y =log a x 为增函数. 4. 对数的性质(M>0, N>0);x1) a =M x =log a M(a >0, a 1)；2) log a (M N )= log a M+ log a N;3) log a () = log a M- log a N ； 4) log a M n =n log a M ；, 5) log a = log a M ； 6) a loga M =M; 7) log a b =(a , b , c >0, a , c 1).5. 函数y =x + ( a >0)的单调递增区间是和，单调递减区间为和. (请读者自己用定义证明)6. 连续函数的性质：若 a <b , f (x )在［a , b ］上连续，且f (a ) • f (b )<0，贝U f (x )=0在(a , b )上至少有一个实根. 二、方法与例题 1.构造函数解题.例 1 已知 a , b , c € (-1, 1)，求证：ab +bc +ca +1>0.【证明】 设f (x )=( b +c )x +bc +1 ( x € (-1, 1))，则f (x )是关于x 的一次函数. 所以要证原不等式成立，只需证 f (-1)>0且f (1)>0 (因为-1<a <1). 因为 f (-1)=-( b +c )+ bc +1=(1- b )(1- c )>0 , f (1)= b +c +bc +a =(1+ b )(1+ c )>0 , 所以 f (a )>0，即 ab +bc +ca +1>0.例2 (柯西不等式)若 a 1, a 2,…,a n 是不全为0的实数，b, b 2,…，b n € R,则()• ()> () 2, 等号当且仅当存在 R,使a =, i =1,2,…,n 时成立. 【证明】 令 f (x )= () x 2-2() x +=, 因为>0,且对任意x € R, f (x ) > 0, 所以△ =4()-4 () () w 0. 展开得()()>()2.等号成立等价于f (x )=0有实根，即存在，使 a i =, i =1,2,…,n . 例3 设x , y € R +, x +y =c , c 为常数且c € (0, 2］，求u=的最小值. 【解】u==xy +》xy ++2 • =xy ++2.令 xy =t ，贝U 0<t =xy w ,设 f (t )=t +,0<t w因为0<c w 2，所以0<w 1,所以f (t )在上单调递减. 所以 f (t )mn =f ()=+，所以 u 》++2.当x =y =时，等号成立.所以u 的最小值为++2. 2. 指数和对数的运算技巧.例4 设p , q €目且满足log 9p = log 凶=log 16( p +q )，求的值.【解】 令 log 9p = log 12q = Iog 16(p +q )=t ，贝U p =9t , q =12 t , p +q =16t , 所以 9t +12 t =16 t ，即 1 + 记x =,则1+x =x 2，解得 又>0,所以=例 5 对于正整数 a , b , c ( a w b w c )和实数 x , y , z , w 若 a x =b y =c z =70w ,且，求证：a +b =c . 【证明】 由a x =b y =c z =70w 取常用对数得 xlga =ylgb =zlgc =wlg 70. 所以 lga =lg 70, lgb =lg 70, lgc =lg 70,2 •分数指数幕:a n,a -n,a相加得(Iga+lgb+lgc )= lg 70，由题设，所以lga +lgb +lgc =lg 70，所以lgabc=lg 70.所以abc=70=2x 5 x 7.若a=1，则因为xlga=wlg70,所以w=0与题设矛盾，所以a>1.又a w b< c,且a, b, c为70的正约数，所以只有a=2, b=5, c=7. 所以a+b=c.例 6 已知x1, ac1, a1, c1.且log a x+log c x=2log b x，求证c2=( ac)logab.【证明】由题设log a x+log c x=2log b x，化为以a为底的对数，得_ 2log a x log a b 'log a x logaxlog a c因为ac>0, ac1，所以log a b=log ac e2，所以c2=( ac)logab.注：指数与对数式互化，取对数，换元，换底公式往往是解题的桥梁. 3 •指数与对数方程的解法.解此类方程的主要思想是通过指对数的运算和换元等进行化简求解•值得注意的是函数单调性的应用和未知数范围的讨论.例7 解方程：3x+4 x +5 x =6 x.【解】方程可化为=1 .设f(x)=,则f(x)在(-g，+ g)上是减函数，因为f(3)=1 ,所以方程只有一个解x=3.例8解方程组：(其中x, y€ R+).【解】两边取对数，则原方程组可化为①②2把①代入②得(x+y)2 lgx =36lgx，所以[(x+y) -36] lgx =0.由lgx =0得x=1，由(x+y)2-36=0( x, y€ F t)得x+y=6,代入①得lgx =2lgy，即x=y2，所以y2+y-6=0.又y>0,所以y=2, x=4.所以方程组的解为.例9 已知a>0, a l，试求使方程log a(x-ak)= log a2(x2-a2)有解的k的取值范围.(x -ak)2 = x2_a2【解】由对数性质知，原方程的解x应满足《x-akA0 .①②③X2_a2 >0若①、②同时成立，则③必成立，故只需解.2由①可得2kx=a(1 + k ), ④当k=0时，④无解；当k0时，④的解是x=,代入②得>k.若k<0,则k2>1，所以k<-1 ；若k>0,则k2<1，所以0<k<1.综上，当k€ (- g,-1) U(0, 1)时，原方程有解.三、基础训练题1. _________________________________________________________________________ 命题p: “ (log 23) x-( log 53)x》(log 23) -y-( log 53)-y” 是命题q: “ x+y> 0” 的 ________________ 条件.2. __________________________________________________________________ 如果x i是方程x+lgx =27的根，X2是方程x+10x=27的根，贝U x计X2= _______________________ .3. _____________________________________________ 已知f (x)是定义在R上的增函数，点A (-1 , 1), B( 1, 3 )在它的图象上，y=f-1(x)是它的反函数，则不等式| f-1(log 2x)|<1的解集为.4. ___________________________________ 若log 2a<0,贝U a取值范围是.5. 命题p:函数y=log2在[2 , +g)上是增函数；命题q:函数y=log2(ax2-4x+1)的值域为R,则p是q的__________ 条件.6. ________________________________________________ 若0<b<1, a>0且a1，比较大小：|log a(1-b)| __________________________________________ | log a(1 + b).7. __________________________________________________________________ 已知f(x)=2+log 3X, x€ [1,3]，则函数y=[f(x)] 2+f(x2)的值域为___________________________ .1 1&若x= ----------- +---------- 1，则与x最接近的整数是_____________ .log 1 - log 1 -2 3 5 39. _____________________________ 函数的单调递增区间是 .10. ___________________________ 函数f(x)=的值域为 .11. 设f (x)=lg [1+2x+3 * + …+(n-1) x + n x• a]，其中n 为给定正整数,n》2, a€ R 若f (x) 在x € (- g ,1]时有意义，求a的取值范围.12 .当a为何值时，方程=2有一解，二解，无解？四、咼考水平训练题1.函数f (x)=+ lg (x2-1)的定义域是_____________ .2•已知不等式x2- log m<<0在x €时恒成立，则m的取值范围是__________ .3. _____________________________________________________ 若x€ {x| log 2x=2-x}，则x2, x, 1从大到小排列是 ______________________________________________ .4. 若f(x)=ln，则使f(a)+f(b)= ___________ .5. 命题p:函数y=log2在[2 , +g)上是增函数；命题q：函数y=log2(ax2-4x+1)的值域为R,则p是q的__________ 条件.6. _________________________________________________ 若0<b<1, a>0且a1，比较大小：|log a(1-b)| ___________________________________________ | log a(1+ b)|.7. __________________________________________________________________ 已知f(x)=2+log3x, x€ [1,3]，则函数y=[f(x)] +f (x)的值域为 ___________________________ .1 1&若x= ------------- + ----------- ，则与x最接近的整数是. 1 I 1log 1 log 1 -2 3 5 39. ________________________________ 函数y=的单调递增区间是.10 .函数f (x)=的值域为____________ .11 .设f (x)= lg [1+2x+3x + …+(n-1) x +n x•a]，其中n 为给定正整数，n> 2, a €R.若f (x)在x€ (- g,1]时有意义，求a的取值范围.12 .当a为何值时，方程=2有一解，二解，无解？四、高考水平训练题1.函数f (x)=+lg (x2-1)的定义域是______________ .2 .已知不等式x2- log m«0在x €时恒成立，则m的取值范围是___________ .3. ___________________________________________________ 若x€ {x| log 2x=2-x}，则x2, x, 1从大到小排列是 ____________________________________________ .4. _________________________________________________________ 若f(x)= ln，则使f (a)+ f(b)=成立的a, b的取值范围是_______________________________________ .5. 已知a n=log n(n+1)，设，其中p, q为整数，且(p , q)=1，则p • q的值为_______________ .6. 已知x>10, y>10, xy=1000,则(Igx ) • (lgy )的取值范围是_____________ .7. __________________________________________________________________ 若方程lg (kx)=2 lg (x+1)只有一个实数解，则实数k的取值范围是_________________________ .&函数f (x)=的定义域为R若关于x的方程f-2(x)+bf (x)+ c=0有7个不同的实数解，则b, c 应满足的充要条件是______________________ .(1) b<0 且c>0; ( 2) b>0且c<0; (3) b<0 且c=0; (4) b> 0 且c=0.9. _____________________________________________________ 已知f(x)=x, F(x)=f(x+t)-f(x-t)( t0)，贝U F(x)是_________________________________________ 函数(填奇偶性).10. ______________________________________________________________ 已知f (x)= lg，若=1, =2,其中| a|<1, | b|<1，则f (a)+f (b)= __________________________________ .11 .设a€ R,试讨论关于x的方程lg (x-1)+ lg (3- x)=lg (a-x)的实数解的个数.12 .设f (x)=| lgx |，实数a, b 满足0<a<b, f (a)=f (b)=2f，求证:4 2 432(1) a +2a -4 a+ 仁0, b -4 b +2b + 仁0； ( 2) 3<b<4.13.设a>0且a1, f(x)= log a(x+)( x> 1) , (1) 求f (x)的反函数f- (x) ； (2)若f- (n)<( n € N+), 求a 的取值范围.五、联赛一试水平训练题1.如果log 2[ log (log 2x)]= log s[ log (log s x)]= log 5[ log (log 5z)]=0，那么将x, y, z 从小到大排列为.2 .设对任意实数x o> x 1> X2> X3>0，都有log 1993+ log 1993+ log 1993> klog 1993 恒成立，则k的最大值为_______________ .3. _________________________________________________________ 实数x, y 满足4x2-5xy+4y2=5，设S=x2+y2，则的值为___________________________________ .4. 已知0<b<1, 0°< a <45°,则以下三个数：x=(s in a )log b sina, y=( co s a ) log b Sina, z=(s in a ) log b sina 从小到大排列为 ____________ .5. _________________________________________________________________________ 用[x]表示不超过x的最大整数，则方程lg 2x-[ lgx ]-2=0的实根个数是__________________________ .6. 设a=lgz +lg [x(yz)-1 +1], b=lgx -1+lg [xyz+1], c=lgy +lg [( xyz)-1 +1]，记a, b, c 中的最大数为 M 贝y M 的最小值为 ___________ .7. 若f (x )(x € R)是周期为2的偶函数，当x € [0,1]时，f (x )=，则，由小到大排列为 &不等式+2>0的解集为 ______________ .9.已知 a >1, b >1，且 lg (a+b )= Iga +lgb ，求 lg (a -1)+ Ig ( b -1).Ig(6 -x) lg(x -2) log ! (x — 2)110. ------------------------------------------------------------------- (1)试画出由方程 10 所确定的函数y =f (x )图象.lg2y2(2)若函数y =ax +与y =f (x )的图象恰有一个公共点，求 a 的取值范围. 11. 对于任意 n €N +(n >1)，试证明:[]+[]+ …+[]=[ log 2n ]+[ log 3n ]+…+[ log n n ]. 六、联赛二试水平训练题4. 求所有函数 f : R T R ,使得 xf (x )- yf (x )=( x - y ) f (x +y )①成立. 5 .设m > 14是一个整数，函数 f : N T N 定义如下：严 2n - m +14 n a m.2 ,n _ m7.是否存在函数f ( n )，将自然数集N 映为自身，且对每个 n >1, f ( n )=f (f ( n -1))+都成立.&设p, q 是任意自然数，求证：存在这样的f (x ) € Z (x )(表示整系数多项式集合)，使对 x 轴上的某个长为的开区间中的每一个数x ,有9.设a , B 为实数，求所有f : R +T R,使得对任意的x ,y € R, f (x )f (y )=y 2 • f 成立.1.设 x , y , z € R +且 x +y +z =1,的最小值.1+x 2 1+y 2 1 + z 2当a 为何值时，不等式 log • log 5(x 2+ax +6)+log a 3> 0有且只有一个解(a >1且 f (x )是定义在(1, +s)上且在(1, +s)中取值的函数，满足条件；对于任何 f (x u y v ) w [f (x )][ f (y )]①都成立，试确定所有这样的函数 f (x ).2.3.及 u, v>0,a 1). x , y >1f (n )=丿J( f (n + m —13))求出所有的 m,使得f (1995)=1995.6. 求定义在有理数集上且满足下列条件的所有函数 f :f (f ( n +1))。

第9讲 函数性质的应用本节主要内容是综合运用函数的性质及其图象解决与函数有关的(如方程、不等式等)问题。

A 类例题 例1 已知f (x )=a sin x +b 3x +4(a ,b 为实数),且f (lglog 310)=5,则f (lglg3)的值是（ ）A ．-5B ．-3C ．3D ．随a ,b 取不同值而取不同值(1993年全国高中数学联合竞赛)解 设lglog 310=m ,则lglg3=－lglog 310=－m , 则f (m )=a sin m +b 3m +4=5,即a sin m +b 3m=1． 所以f (－m )=－(a sin m +b 3m )+4=－1+4=3．选C ．例2 设对任意整数x ,f (x )=f (x -1)+f (x +1),且f (0)=19,f (4)=93,则f (59)= 。

（1993年江苏省高中数学竞赛）分析 通过对f (x )=f (x -1)+f (x +1)的变换,寻求函数f (x )的变化规律。

解 由f (x +1)= f (x )－f (x －1),得f (x +3)= f (x +2)－f (x+1)= f (x+1)－f (x )－f (x +1)=－f (x ), 于是f (x +6)=－f (x +3)= f (x )。

所以f (59)= f (9×6+5)= f (5)=－f (2)。

由于f (1)=－f (4)=－93, 故f (2)= f (1)－f (0)=－112, 所以f (59)=112。

例3 求函数()f x =（1996年美国中学数学竞赛题） 分析 考察函数的定义域和单调性。

解 先求函数定义域。

由2280,14480x x x x ⎧-≥⎨--≥⎩得68x ≤≤。

因为()[68]f x x ==∈，。

当[68]x ∈，,且x 增加时,,于是f(x)是随着x 得增加而减小,即f(x)在区间[6,8]上是减函数,所以f(x)的最小值为f(8)=0,f(x)的最大值为f(6)=说明 利用函数得单调性求函数的最值（或值域）是一种常用的方法。