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不等式证明的基本方法及例题讲解【学习目标】1. 熟练掌握不等式的几个基本性质2. 应用不等式的基本性质解题、证明问题等【重点、难点】1. 不等式的几个基本性质2. 应用不等式的基本性质解题、证明问题【教学过程】一、知识内容梳理 1. 不等式的基本性质 （1）a b b a >⇔< （2）,a b b c a c >>⇒>注：,a b b c a c ≥≥⇒≥，a c ≥等号成立当且仅当前两个等号同时成立 （3）a b a c b c >⇒+>+（4）,0;,0a b c ac bc a b c ac bc >>⇒>><⇒< （5）()02,nna b a b n n N >>⇒>≥∈（6）)02,a b n n N >>⇒>≥∈2、a b a b a b -≤+≤+（1）a b a b +≤+等号成立条件当且仅当0ab ≥（2）a b a b -≤+等号成立条件当且仅当0ab ≤（3.）a b b c a c-+-≥-，其中等号成立当且仅当()()0a b b c --≥二、不等式证明的基本方法：1.差值比较.欲证，b a >只需证明.0>-b a2.商值比较.欲证()0>>b b a ，,只需证明.1>ba三、例题讲解：1.()改编题设,1->a 求证：6322≥+aa 思路：没有拆项而言，只有分析 证明：欲证6322≥+aa ， 只需证明032623≥+-a a 即证()().0242≥+-a a因为,1->a所以()().0242≥+-a a2.设,1->a 求证：3040002≥+aa 思路：没有拆项而言，只有分析证明：欲证3040002≥+a a ， 只需证明040003023≥+-a a 即证()().010202≥+-a a因为,1->a所以()().010202≥+-a a3.()增加一个方法常规题-设,,a b c R +∈，求证：()3a b c a b ca b c abc ++≥思路1：函数法，所证不等式中的变量位于指数和底数位置，且为乘法与乘方运算，并不利于不等式变形；所以考虑利用两边同取对数使得指数变为系数，同时将乘法运算转为加法运算。
高中数学竞赛校本教材目录§1数学方法选讲（1） (1)§2数学方法选讲（2） (11)§3集合 (22)§4函数的性质 (30)§5二次函数(1) (41)§6二次函数(2) (55)§7指、对数函数,幂函数 (63)§8函数方程 (73)§9三角恒等式与三角不等式 (76)§10向量与向量方法 (85)§11数列 (95)§12递推数列 (102)§13数学归纳法 (105)§14不等式的证明 (111)§15不等式的应用 (122)§16排列，组合 (130)§17二项式定理与多项式 (134)§18直线和圆，圆锥曲线 (143)§19立体图形，空间向量 (161)§20平面几何证明 (173)§21平面几何名定理 (180)§22几何变换 (186)§23抽屉原理 (194)§24容斥原理 (205)§25奇数偶数 (214)§26整除 (222)§27同余 (230)§28高斯函数 (238)§29覆盖 (245)§29涂色问题 (256)§30组合数学选讲 (265)§1数学方法选讲（1）同学们在阅读课外读物的时候，或在听老师讲课的时候，书上的例题或老师讲解的例题他都能听懂，但一遇到没有见过面的问题就不知从何处入手。
看来，要提高解决问题的能力，要能在竞赛中有所作为，首先得提高分析问题的能力，这就需要学习一些重要的数学思想方法。
例题讲解一、从简单情况考虑华罗庚先生曾经指出：善于“退”，足够的“退”，退到最原始而又不失去重要性的地方，是学好数学的一个诀窍。
从简单情况考虑，就是一种以退为进的一种解题策略。
全国高中数学联赛竞赛大纲及全部定理内容一、平面几何1、数学竞赛大纲所确定的所有内容。
补充要求：面积和面积方法。
2、几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。
3、几个重要的极值：到三角形三顶点距离之和最小的点--费马点。
到三角形三顶点距离的平方和最小的点--重心。
三角形内到三边距离之积最大的点--重心。
4、几何不等式。
5、简单的等周问题。
了解下述定理：在周长一定的ｎ边形的集合中，正ｎ边形的面积最大。
在周长一定的简单闭曲线的集合中，圆的面积最大。
在面积一定的ｎ边形的集合中，正ｎ边形的周长最小。
在面积一定的简单闭曲线的集合中，圆的周长最小。
6、几何中的运动：反射、平移、旋转。
7、复数方法、向量方法。
平面凸集、凸包及应用。
二、代数1、在一试大纲的基础上另外要求的内容：周期函数与周期，带绝对值的函数的图像。
三倍角公式，三角形的一些简单的恒等式，三角不等式。
2、第二数学归纳法。
递归，一阶、二阶递归，特征方程法。
函数迭代，求ｎ次迭代，简单的函数方程。
3、ｎ个变元的平均不等式，柯西不等式，排序不等式及应用。
4、复数的指数形式，欧拉公式，棣美弗定理，单位根，单位根的应用。
5、圆排列，有重复的排列与组合，简单的组合恒等式。
6、一元n次方程（多项式）根的个数，根与系数的关系，实系数方程虚根成对定理。
7、简单的初等数论问题，除初中大纲中所包括的内容外，还应包括无穷递降法，同余，欧几里得除法，非负最小完全剩余类，高斯函数，费马小定理，欧拉函数，孙子定理，格点及其性质。
三、立体几何1、多面角，多面角的性质。
三面角、直三面角的基本性质。
2、正多面体，欧拉定理。
3、体积证法。
4、截面，会作截面、表面展开图。
四、平面解析几何1、直线的法线式，直线的极坐标方程，直线束及其应用。
2、二元一次不等式表示的区域。
3、三角形的面积公式。
4、圆锥曲线的切线和法线。
5、圆的幂和根轴。
五、其它抽屉原理。
容斤原理。
极端原理。
集合的划分。
高中数学竞赛书籍
高中数学竞赛是一项需要大量练习和理解的活动，为此需要一些优质的竞赛书籍作为辅助资料。
以下是一些推荐的高中数学竞赛书籍： 1. 《高中数学竞赛全书》
这本书是一本全面介绍高中数学竞赛知识的工具书，内容涵盖了数学竞赛的各个领域，包括代数、几何、概率与统计等。
书中配有大量的例题和试题，非常适合准备参加竞赛的学生使用。
2. 《高中数学竞赛辅导书》
这本书是一本全面介绍高中数学竞赛知识的辅导资料，内容涵盖了数学竞赛的各个领域，包括代数、几何、概率与统计等。
书中配有大量的例题和试题，并配有详细的讲解与解答，非常适合准备参加竞赛的学生使用。
3. 《高中数学竞赛题解汇编》
这本书是一本收集了大量高中数学竞赛试题的题解汇编，内容非常全面，包括代数、几何、概率与统计等多个领域。
书中题目难度各异，适合不同水平的竞赛学生学习。
4. 《高中数学竞赛例题精选》
这本书是一本精选了大量高中数学竞赛例题的参考书，内容涵盖了代数、几何、概率与统计等多个领域。
书中的例题难度适中，既有挑战性，又不失可操作性，提供了很好的练习机会。
总之，以上这些书籍都是非常优质的高中数学竞赛资料，可以帮助学生更好地理解和掌握数学竞赛知识，提高竞赛水平。
高中数学竞赛书籍排行
以下是一些高中数学竞赛的经典书籍，排名不分先后：
1. 《高中数学竞赛专题讲座》（共10本）：这套书是数学竞赛的经典教材之一，包括了许多经典的数学竞赛题目和解题方法。
2. 《高中数学竞赛全解》：这本书是数学竞赛的必备参考书之一，包含了高中数学竞赛的所有知识点和经典题目，非常适合学生自学或复习。
3. 《高中数学竞赛真题解析》：这本书收录了大量的数学竞赛真题，并进行了详细的解析，是提高学生解题能力的很好参考书。
4. 《高中数学竞赛不等式选讲》：这本书主要介绍了高中数学竞赛中的不等式问题，包括了许多经典的不等式题目和解题方法。
5. 《高中数学竞赛数论与组合分册》：这本书是数学竞赛数论和组合部分的经典教材之一，包含了大量的经典题目和解题方法。
以上书籍都是高中数学竞赛的经典教材和参考书，对于提高学生的数学竞赛水平有很大帮助。
当然，每个人的学习情况不同，需要根据自己的实际情况选择适合自己的书籍。
高中数学竞赛所使用的不等式是holder不等式，其形式为：$$\sum a_i b_i \leq \left( \sum a_i^p \right)^{1/p} \cdot \left( \sum b_i^q \right)^{1/q}$$1.概述holder不等式是数学分析中的一种常见不等式，广泛应用于数学竞赛和实际问题中。
它可以用于证明其他数学不等式和定理，也有着重要的理论和实际意义。
2.起源holder不等式最早由德国数学家奥托·霍尔德（Otto Hölder）于1889年提出。
霍尔德不等式最初是为了研究勒让德多项式的正性而引入的，随后得到了广泛的推广和应用。
霍尔德不等式实际上是一类不等式的统称，其中包括了多种形式和变种。
3.一般形式holder不等式的一般形式为：$$\sum a_i b_i \leq \left( \sum a_i^p \right)^{1/p} \cdot \left( \sum b_i^q \right)^{1/q}$$其中，$$a_i$$和$$b_i$$为实数，$$p$$和$$q$$为正实数，满足$$\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$$。
4.特殊情况当$$p=q=2$$时，holder不等式退化为柯西-施瓦茨不等式。
当$$p=q=1$$时，holder不等式变为积分柯西不等式。
当$$p=\infty$$，$$q=1$$时，holder不等式为min-max不等式。
5.证明（1）利用幂平均不等式证明我们可以利用幂平均不等式来证明霍尔德不等式。
根据幂平均不等式，对于任意非负实数$$x_1, x_2, ..., x_n$$和正实数$$p$$，有$$\left( \frac{1}{n} \sum x_i^p \right)^{1/p} \geq \frac{1}{n} \sumx_i$$对于任意非负实数$$y_1, y_2, ..., y_n$$和正实数$$q$$，同样有$$\left( \frac{1}{n} \sum y_i^q \right)^{1/q} \geq \frac{1}{n} \sumy_i$$将$$x_i=\lambda a_i^p$$和$$y_i=\frac{1}{\lambda} b_i^q$$代入上述不等式，得到$$\left( \frac{1}{n} \sum (\lambda a_i^p)^{p} \right)^{1/p} \geq \frac{1}{n} \sum \lambda a_i^p$$$$\left( \frac{1}{n} \sum \left(\frac{1}{\lambda} b_i^q\right)^q\right)^{1/q} \geq \frac{1}{n} \sum \frac{1}{\lambda} b_i^q $$整理得$$\left( \left( \frac{1}{n} \sum a_i^p \right)^{p} \right)^{1/p} \geq \frac{1}{n} \sum \lambda a_i$$$$\left( \left( \frac{1}{n} \sum b_i^q \right)^{q} \right)^{1/q} \geq \frac{1}{n} \sum \frac{1}{\lambda} b_i$$将上述两式相乘，并取$$\lambda^{1/p}$$次方和$$\frac{1}{\lambda^{1/q}}$$次方可得霍尔德不等式，证毕。
第一章 集合与简易逻辑一、基础知识定义1 一般地，一组确定的、互异的、无序的对象的全体构成集合，简称集，用大写字母来表示；集合中的各个对象称为元素，用小写字母来表示，元素x 在集合A 中，称x 属于A ，记为A x ∈，否则称x 不属于A ，记作A x ∉。
例如，通常用N ，Z ，Q ，B ，Q +分别表示自然数集、整数集、有理数集、实数集、正有理数集，不含任何元素的集合称为空集，用∅来表示。
集合分有限集和无限集两种。
集合的表示方法有列举法：将集合中的元素一一列举出来写在大括号内并用逗号隔开表示集合的方法，如{1，2，3}；描述法：将集合中的元素的属性写在大括号内表示集合的方法。
例如{有理数}，}0{>x x 分别表示有理数集和正实数集。
定义2 子集：对于两个集合A 与B ，如果集合A 中的任何一个元素都是集合B 中的元素，则A 叫做B 的子集，记为B A ⊆，例如Z N ⊆。
规定空集是任何集合的子集，如果A 是B 的子集，B 也是A 的子集，则称A 与B 相等。
如果A 是B 的子集，而且B 中存在元素不属于A ，则A 叫B 的真子集。
定义3 交集，}.{B x A x x B A ∈∈=且定义4 并集，}.{B x A x x B A ∈∈=或定义5 补集，若},{,1A x I x x A C I A ∉∈=⊆且则称为A 在I 中的补集。
定义6 差集，},{\B x A x x B A ∉∈=且。
定义7 集合},,{b a R x b x a x <∈<<记作开区间),(b a ，集合},,{b a R x b x a x <∈≤≤记作闭区间],[b a ，R 记作).,(+∞-∞定理1 集合的性质：对任意集合A ，B ，C ，有：（1）);()()(C A B A C B A = （2）)()()(C A B A C B A =；（3）);(111B A C B C A C = （4）).(111B A C B C A C =【证明】这里仅证（1）、（3），其余由读者自己完成。
⾼中数学竞赛均值不等式讲义均值不等式1.均值不等式知识点1: ⼆元均值不等式可以推⼴到n 元，即：设,,,123a a a a n 为n 个⾮负实数，则12na a a n+++≥123a a a a n ====）.如何证明?知识点2: 设,,,123a a a a n 为n 个⾮负实数,n Q, 12nn a a a A n+++=,n G =, 12111n nnH a a a =++,则n n n n Q A G H ≥≥≥(等号成⽴当且仅当123a a a a n ====) 更⼀般的平均值的定义: 设正数(1,2,3...)i a i n =,则α的幂平均值=11()ni i a nαα=∑,特别的,我们有:lim ()n f G αα→=，11()()ni i a f nααα==∑为关于α的增函数.知识点3:重要结论 (1)222,,,.a b c R a b c ab bc ac ∈++≥++(2) ()2,,,3().a b c R a b c ab bc ac ∈++≥++ (3) 2222,,,3()().a b c R a b c a b c ∈++≥++ (4) 2,,,()3().a b c R ab bc ca abc a b c ∈++≥++ (5),,,()()()()().a b c R a b b c a c abc a b c ab cb ac ∈++++=++++(6) 222;2a a a b b a b b-≥-+≥(a,b,c>0)(7) 2222221()()3a b b c c a a b c a b c ++≤++++(a,b,c>0)(8)正实数(1,2,3...)i a i n =,则2111n ni i i ia n a ==?≥∑∑(当且仅当12...n a a a ===); (9) 222222222222()()()()()a b b c c a ab bc ca a b c a bc b ca c ab ++++=++++知识点4:加权平均值不等式已知12+...1(0,1,2.,,,)n i w w w w i n +=>=，则对任意正实数12112212........n w w w n n n w a w a w a a a a +++≥.均值不等式的使⽤前要注意两个⽅⾯,⼀个是观察题⽬中不等式证明⽅向,另外⼀个是取等条件，根据这些信息,相应去选择均值不等式的技巧、模型，不断尝试，最终解决问题。
第九章不等式(高中数学竞赛标准教材)第九章不等式一、基础知识不等式的基本性质：（1）a>b a-b>0；（2）a>b, b>ca>c；（3）a>b a+c>b+c；（4）a>b, c>0 ac>bc；（5）a>b, c<0 ac<bc; （6）a>b>0, c>d>0 ac>bd; （7）a>b>0, n∈N+ an>bn; （8）a>b>0, n∈N+ ; （9）a>0, |x|<a -a<x<a, |x|>a x>a或x<-a; （10）a, b∈R，则|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|; （11）a, b∈R，则(a-b)2≥0 a2+b2≥2ab; （12）x, y, z∈R+，则x+y≥2 , x+y+z 前五条是显然的，以下从第六条开始给出证明。
（6）因为a>b>0, c>d>0，所以ac>bc, bc>bd，所以ac>bd；重复利用性质（6），可得性质（7）；再证性质（8），用反证法，若，由性质（7）得，即a≤b，与a>b 矛盾，所以假设不成立，所以；由绝对值的意义知（9）成立；-|a|≤a≤|a|, -|b|≤b≤|b|，所以-(|a|+|b|)≤a+b≤|a|+|b|，所以|a+b|≤|a|+|b|；下面再证（10）的左边，因为|a|=|a+b-b|≤|a+b|+|b|，所以|a|-|b|≤|a+b|，所以（10）成立；（11）显然成立；下证（12），因为x+y-2 ≥0，所以x+y≥ ，当且仅当x=y时，等号成立，再证另一不等式，令，因为x3+b3+c3-3abc =(a+b)3+c3-3a2b-3ab2-3abc=(a+b)3+c3-3ab(a+b+c)=(a+b+c)[(a+b)2-(a+b)c+c2]-3ab(a+b+c)= (a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)= (a+b+c)[(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2]≥0，所以a3+b3+c3≥3abc，即x+y+z≥ ，等号当且仅当x=y=z时成立。
二、方法与例题 1．不等式证明的基本方法。
（1）比较法，在证明A>B或A<B时利用A-B与0比较大小，或把（A，B>0）与1比较大小，最后得出结论。
例1 设a, b, c∈R+，试证：对任意实数x, y, z, 有x2+y2+z2 【证明】左边-右边= x2+y2+z2 所以左边≥右边，不等式成立。
例2 若a<x<1，比较大小：|loga(1-x)|与|loga(1+x)|. 【解】因为1-x 1，所以loga(1-x) 0,=|log(1-x)(1+x)|=-log(1-x)(1+x)=log(1-x) >log(1-x)(1-x)=1（因为0<1-x2<1，所以 >1-x>0, 0<1-x<1）. 所以|loga(1+x)|>|loga(1-x)|. （2）分析法，即从欲证不等式出发，层层推出使之成立的充分条件，直到已知为止，叙述方式为：要证……，只需证……。
例3 已知a, b, c∈R+，求证：a+b+c-3 ≥a+b 【证明】要证a+b+c ≥a+b 只需证，因为，所以原不等式成立。
例4 已知实数a, b, c满足0<a≤b≤c≤ ，求证：【证明】因为0<a≤b≤c≤ ，由二次函数性质可证a(1-a) ≤b(1-b) ≤c(1-c)，所以，所以，所以只需证明，也就是证，只需证b(a-b) ≤a(a-b)，即(a-b)2≥0，显然成立。
所以命题成立。
（3）数学归纳法。
例5 对任意正整数n(≥3)，求证：nn+1>(n+1)n. 【证明】 1）当n=3时，因为34=81>64=43，所以命题成立。
2）设n=k时有kk+1>(k+1)k，当n=k+1时，只需证(k+1)k+2>(k+2)k+1，即 >1. 因为，所以只需证，即证(k+1)2k+2>[k(k+2)]k+1，只需证(k+1)2>k(k+2)，即证k2+2k+1>k2+2k. 显然成立。
所以由数学归纳法，命题成立。
（4）反证法。
例6 设实数a0, a1,…,an满足a0=an=0，且a0-2a1+a2≥0, a1-2a2+a3≥0,…, an-2-2an-1+an≥0，求证ak≤0(k=1, 2,…, n-1). 【证明】假设ak(k=1, 2,…,n-1) 中至少有一个正数，不妨设ar是a1, a2,…, an-1中第一个出现的正数，则a1≤0, a2≤0,…,ar-1≤0, ar>0. 于是ar-ar-1>0，依题设ak+1-ak≥ak-ak-1(k=1, 2, …, n-1)。
所以从k=r起有an-ak-1≥an-1-an-2 ≥…≥ar-ar-1>0. 因为an≥ak-1≥…≥ar+1≥ar >0与an=0矛盾。
故命题获证。
（5）分类讨论法。
例7 已知x, y, z∈R+，求证：【证明】不妨设x≥y, x≥z. �。
�x≥y≥z，则，x2≥y2≥z2，由排序原理可得，原不等式成立。
��）x≥z≥y，则，x2≥z2≥y2，由排序原理可得，原不等式成立。
（6）放缩法，即要证A>B，可证A>C1, C1≥C2,…,Cn-1≥Cn,Cn>B(n∈N+). 例8 求证：【证明】，得证。
例9 已知a, b, c是△ABC的三条边长，m>0，求证：【证明】（因为a+b>c），得证。
（7）引入参变量法。
例10 已知x, y∈R+, l, a, b为待定正数，求f(x, y)= 的最小值。
【解】设，则，f(x,y)=(a3+b3+3a2b+3ab2)= ，等号当且仅当时成立。
所以f(x, y)min= 例11 设x1≥x2≥x3≥x4≥2, x2+x3+x4≥x1，求证：(x1+x2+x3+x4)2≤4x1x2x3x4. 【证明】设x1=k(x2+x3+x4)，依题设有≤k≤1, x3x4≥4，原不等式等价于(1+k)2(x2+x3+x4)2≤4kx2x3x4(x2+x3+x4)，即 (x2+x3+x4)≤x2x3x4，因为f(k)=k+ 在上递减，所以 (x2+x3+x4)= (x2+x3+x4) ≤ •3x2=4x2≤x2x3x4. 所以原不等式成立。
（8）局部不等式。
例12 已知x, y, z∈R+，且x2+y2+z2=1，求证：【证明】先证因为x(1-x2)= , 所以同理，，所以例13 已知0≤a, b, c≤1，求证：≤2。
【证明】先证① 即a+b+c≤2bc+2. 即证(b-1)(c-1)+1+bc≥a. 因为0≤a, b, c≤1，所以①式成立。
同理三个不等式相加即得原不等式成立。
（9）利用函数的思想。
例14 已知非负实数a, b, c满足ab+bc+ca=1，求f(a, b, c)= 的最小值。
【解】当a, b, c中有一个为0，另两个为1时，f(a, b, c)= ，以下证明f(a, b, c) ≥ . 不妨设a≥b≥c，则0≤c≤ , f(a, b, c)= 因为1=(a+b)c+ab≤ +(a+b)c，解关于a+b的不等式得a+b≥2( -c). 考虑函数g(t)= , g(t)在[ ）上单调递增。
又因为0≤c≤ ，所以3c2≤1. 所以c2+a≥4c2. 所以2 ≥ 所以f(a, b, c)= ≥ = = ≥ 下证0 ① c2+6c+9≥9c2+9 ≥0 因为，所以①式成立。
所以f(a, b, c) ≥ ，所以f(a, b, c)min= 2．几个常用的不等式。
（1）柯西不等式：若ai∈R, bi∈R, i=1, 2, …, n，则等号当且仅当存在λ∈R，使得对任意i=1, 2, , n, ai=λbi, 变式1：若ai∈R, bi∈R, i=1, 2, …, n，则等号成立条件为ai=λbi,(i=1, 2, …, n)。
变式2：设ai, bi同号且不为0(i=1, 2, …, n)，则等号成立当且仅当b1=b2=…=bn. （2）平均值不等式：设a1, a2,…,an∈R+，记Hn= , Gn= , An= ，则Hn≤Gn≤An≤Qn. 即调和平均≤几何平均≤算术平均≤平方平均。
其中等号成立的条件均为a1=a2=…=an. 【证明】由柯西不等式得An≤Qn，再由Gn≤An可得Hn≤Gn，以下仅证Gn≤An. 1）当n=2时，显然成立； 2）设n=k时有Gk≤Ak，当n=k+1时，记 =Gk+1. 因为a1+a2+…+ak+ak+1+(k-1)Gk+1≥ ≥ 2kGk+1, 所以a1+a2+…+ak+1≥(k+1)Gk+1，即Ak+1≥Gk+1. 所以由数学归纳法，结论成立。
（3）排序不等式：若两组实数a1≤a2≤…≤an且b1≤b2≤…≤bn，则对于b1, b2, …, bn的任意排列，有a1bn+a2bn-1+…+anb1≤ ≤a1b1+a2b2+…+anbn. 【证明】引理：记A0=0，Ak= ，则 = （阿贝尔求和法）。
证法一：因为b1≤b2≤…≤bn，所以≥b1+b2+…+bk. 记sk= -( b1+b2+…+bk)，则s k≥0(k=1, 2, …, n)。
所以 -(a1b1+a2b2+…+anbn)= +snan≤0. 最后一个不等式的理由是aj-aj+1≤0(j=1, 2, …, n-1, sn=0), 所以右侧不等式成立，同理可证左侧不等式。
证法二：（调整法）考察，若，则存在。
若(j≤n-1)，则将与互换。
因为≥0，所调整后，和是不减的，接下来若，则继续同样的调整。
至多经n-1次调整就可将乱序和调整为顺序和，而且每次调整后和是不减的，这说明右边不等式成立，同理可得左边不等式。
例15 已知a1, a2,…,an∈R+，求证；a1+a2+…+an. 【证明】证法一：因为，…，≥2an. 上述不等式相加即得≥a1+a2+…+an. 证法二：由柯西不等式(a1+a2+…+an)≥(a1+a2+…+an)2，因为a1+a2+…+an >0，所以≥a1+a2+…+an. 证法三：设a1, a2,…,an从小到大排列为，则，，由排序原理可得=a1+a2+…+an≥ ，得证。
注：本讲的每种方法、定理都有极广泛的应用，希望读者在解题中再加以总结。
三、基础训练题 1．已知0<x<1，a, b∈R+，则的最小值是____________. 2．已知x∈R+，则的最小值是____________. 3．已知a, b, c∈R，且a2+b2+c2=1, ab+bc+ca的最大值为M，最小值为N，则MN=___________. 4．若不等式对所有实数x成立，则a的取值范围是____________. 5．若不等式 x+a的解是x>m，则m的最小值是____________. 6．“a+b=4”是“不等式|x-a|+|x-b|<8的解集是{x|-2<x<6}”的____________条件. 7．若a, b∈R+，则a+b=1，以下结论成立是__________.① a4+b4≥ ；② ≤a3+b3<1；③ ；④ ；⑤ ；⑥ 8．已知0<< ，若，则 =____________. 9．已知，p=(x1- )2+(x2- )2+…+(xn- )2, q=(x1-a)2+(x2-a)2+…+(xn-a)2, 若，则比较大小：p___________q. 10．已知a>0, b>0且a b, m=aabb, n=abba, 则比较大小：m_________n. 11．已知n∈N+，求证： 12．已知0<a<1，x2+y=0，求证：loga(ax+ay) ≤loga2+ . 13．已知x∈R，，求证：四、高考水平训练题 1．已知A=asin2x+bcos2x,B=acos2x+bsin2x(a, b, x∈R)，设m=AB, n=ab, P=A2+B2, q=a2+b2，则下列结论成立的有]__________.（1）m≥n, p≥q;（2）m≤n, p≤q；（3）m+p≥n+q；（4）m+q≥n+p. 2．已知a, b, c, d∈R，M=4(a-b)(c-d), N=(a-b)(c-b)+(d-a)(d-c)+(c-d)(c-b)+(a-b)(a-d)，则比较大小：M________N. 3．若 R+，且，，将从小到大排列为________. 4．已知△ABC的三边长a, b, c满足b+c≤2a, a+c≤2b，则的取值范围是________. 5．若实数x, y满足|x|+|y|≤1，则z=x2-xy+y2的最大值与最小值的和为________. 6．设函数f(x)= (x∈[-4,2])，则f(x)的值域是________. 7．对x1>x2>0, 1>a>0，记，比较大小：x1x2________y1y2. 8．已知函数的值域是，则实数a的值为________. 9．设a≤b<c是直角△ABC 的三边长，若不等式恒成立，则M最大值为________. 10．实系数方程x2+ax+2b=0的一个根大于0且小于1，另一个根大于1且小于2，则的取值范围是________. 11．已知a, b, c∈R+且满足a+b+c≥abc，求证：下列三个式子中至少有两个成立： 12．已知a, b∈R+且，求证：对一切n∈N+，(a+b)n-an-bn≥22n-2n+1. 13．已知a, b, c ∈R+，求证： 14．设x, y, z是3个不全为零的实数，求的最大值。
