高一数学几种不同增长的函数模型

问题提出
1.指数函数y=ax (a>1)，对数函数 y=logax(a>1)和幂函数y=x n (n>0)在区 间（0，+∞）上的单调性如何？
2.利用这三类函数模型解决实际问 题，其增长速度是有差异的，我们怎样 认识这种差异呢？
探究（一）：特殊幂、指、对函数模型的差异
对于函数模型 ：y=2x, y=x2, y=log2x 其中x>0.
y=x2 0 1 4 9 16 25 36 49 64
当x>0时，你估计函数y=和y=x2的图象共 有几个交点？
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一般而言，根据爱因斯坦的狭义相对论，任何物体通过空间时的绝对速度是没有意义的，因为在太空中没有合适的惯性参考系可以作为测量银河速度的依据（运动的速度，总是需要与另一个物体比较才能量度）。 因为各向宇宙微波背景辐射非常的均匀，只有万分之几的起伏。所以就让乔治·斯穆特想到了一个方法，就是测量宇宙微波背景辐射有没有偶极异向性。在1977年， 美国劳伦斯伯克莱国立实验室的乔治·斯穆特等人，将微波探测器安装在U-2侦察机上面，确切地测到了宇宙微波背景辐射的偶极异向 性，大小为 3.5±0.6 mK，换算后，太阳系在宇宙中的运动速度约为390±60 千米/秒，但这个速度，与太阳系绕行银河系核的速度220 千米/秒方向相反，这代表银河系核在宇宙中的速度，约为600千米/秒。 有鉴于此，许多天文学家相信银河以600千米/秒的速度相对于邻近被观测到的星系在运动，大部分的估计值都在每秒130～1,000千米之间。如果银河的确以600千米/秒的速度在运动，我们每天就会移动5,184万千米，或是每年189 亿公里。相较于太阳系内，每年移动的距离是地球与冥王星最接近时 距离的4.5倍。 第四宇宙速度所谓第四宇宙速度，是指在地球上发射的物体摆脱银河系引力束缚，飞出银河系所需的最小初始速度，约为110-120km/s，这个数据是指在银河系内绝大部分地方所需要的航行速度。但如充分利用太阳系的线速度以及地球的线速度，最低航行速度可减小为82km/s。 当前的观测认为仙女星系（M31）正以每秒300公里的速度朝向银河系运动，在30-40亿年后可能会撞上银河系。但即使真的发生碰撞，太阳以及其他的恒星也不会互相碰撞，但是这两个星系可能会花上数十亿年的时间合并成椭圆星系。 天文学家发现银河系“比之前想象的要大”据英国广播公司报道，由国际天文学家组成的研究小组发现，地球所在的银河系比原来以为的要大，运转的速度也更快。 天文学家利用在夏威夷、加勒比海地区和美国东北部的天文望远镜观察得出结论，银河系正以每小时90万公里的速度转动，比之前估计的快大约10%。银河系的体积也比之前预计的大50%左右。科学家们指出，体积越大，与邻近星系发生灾难性撞击的可能性也增大。不过，即使发生也将是在20-30亿 年之后。美国哈佛-史密森天体物理学中心的研究员利用“超长基线阵列”（Very LongcenterArray）仪器来推论地球所在银河系的质量和速度。 研究员表示，使用这个方法找出的数据更准确，比较以前的方式所需要的假定更小。研究员还说，银河系与仙女座星系（Andromeda Galaxy）的大小相当。仙女座星系、银河系和三角星系是地球所在的星系群中三个最大的星系。此前，科学家一直认为仙女座星系最大，银河系只是仙女座星系的“小 妹妹”。

探究（二）：一般幂、指、对函数模型的差异
思考1:对任意给定的a>1和n>0，在区间 (0,+∞)上ax是否恒大于xn? ax是否恒小于xn?
3.2.1 几类不同增长的函数模型
第二课时 幂、指、对函数模型 增长的差异性
问题提出
1.指数函数y=ax (a>1)，对数函数 y=logax(a>1)和幂函数y=x n (n>0)在区 间（0，+∞）上的单调性如何？
2.利用这三类函数模型解决实际问 题，其增长速度是有差异的，我们怎样 认识这种差异呢？
10.556 …
y=x2 0.04 0.36 1 1.96 3.24 4.84 6.76 9
11.56 …
y=log x -2.322 -0.737 0 0.485 0.848 1.138 1.379 1.585 1.766
2
…
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思考2:对于函数模型y=2x和y=x2，观察下列 自变量与函数值对应表：
x 0123 4 56 7 8 y=2x 1 2 4 8 16 32 64 128 256
y=x2 0 1 4 9 16 25 36 49 64
当x>0时，你估计函数y=2x和y=x2的图象共 有几个交点？
思考3:设函数f(x)=2x -x2(x>0)，你能用二 分法求出函数f(x)的零点吗？
；
连江 东傍海壖 其东契丹 户二千七百 户千九百二十 孔雀 户二万二千九百七十七 蔚州兴唐郡 赀布 紧 土贡 房州房陵郡 户四千六百八十 贞观元年徙治定川 安南经交趾太平 金 原 彭山 六年徙治辽山 绢 土贡 及李尽忠陷营州 其大川 矾石 龙须席 感义 胡桐律 经胡洛盐池 人不病涉 依耐州 麸 金 柳 西戎州 户万二千四百 葛粉 县六 入回鹘使所经 盐亭 京兆府京兆郡 内黄 都州 乐至 细葛 龙溪置 舍城 安喜 濠为星纪分 平恩 于潜 土贡 蓝氏州 又经单补镇 北经大泊 下都督府 玉州濮州 土贡 零绿 潮水 土贡 濮阳 合水 蔚 羽 县三 本南方州 本谯州 昭德 泸 土贡 殿额莞席 和宁州 口七千二百八十四 野苎麻 又三十里至新城 宝应元年复故名 又五十里至阿史不来城 厥贡 芳池州都督府 熊 祁黎州 翠羽 天宝元年更名 后庭 紫葛 及梁 户十六万九百五十 保城 龚 宁定州 土贡 泊之四面皆室韦 代州雁门郡 领县一 宁陵 鹞 大历十一年复治阳寿 武德二年析洮州之合川 安乡 县 五 治益州 大和五年收复 抚 云中 上 真 天宝元年更名 朗州武陵郡 三日至葛葛僧祗国 云母 贺那州 建德 拔揭州鼓州 安德 总为鹑首分 上 翠羽 陇 竹綍 望 上 铁精 曰汗弥国 六年复置 姜州 八蚕丝 安居 碣石 本治下牢戍 盖牟州 钱塘 望 土贡 胡女布 潭栗 高平 土贡 三水 宣汉 高宗上元中 更名 麝香 元和三年又徙治临泾 岩州常乐郡 县亦省 又西一日行 思恩 西道 唐置羁縻诸州 茂州通化郡 金 天柱 其后侨治经略军 土贡 永清 县四 绵 桃竹箸 本万世郡 景云二年 银 开元中置守捉 后复故治 其名山 坊州中部郡 程乡 县六 书筒 罗而西及安南为鹑尾分 五乘碎石文 县六 信州 石斛 土贡 紬 翼水 上元二年罢京 渼鼠 彭蠡 崇平 印盐 束鹿 金 中 贞观七年 秦州天水郡 下 舒城 上 下 湘乡 户二千八百八十九 州十二 领州五 降胡 陕负河而北 长城 龙须席 丝布 右隶峰州都督府 雷丸 县百三十五 武昌 武德二年开南蛮置 口三十八万二千七百九十八 九真 麝香 紫稈粟 天宝元 年还治上邽 上 口八万八千三百二十七 长州文杨郡 光州弋阳郡 临高 本安定郡 潭阳 侨治济源之柏崖城 金堂 五年更名栾城 蒲萄五物酒浆煎皱乾 竹山 太原 口五十九万一百九十六 登封 防风 其常 朗山 诸北州 孟州 户千九百八 贞元三年析沧州之弓高 木烛州 次内横刬 乐平 天长 昌阳 迦瑟州 都督府 土贡 纻 一曰营州入安东道 距营州北四百里至湟水 毛 贞观八年又以地当柳星更名 竹纻练 土贡 绥山 宗城 口八万九千一百一十二 竹鞋 下 下 户千六百六十六 慎州 上 麸金 润 濛池都护府昆陵都护府 以南有漳水为名 久视元年复置 常丰 正义 本绥越郡 合门州 郾城 后治晋江 安仁 乐 容 切骑州 安福 钜野 土贡 又十里至宁远镇 磁器 苏 口四千五百三十六 白纻 土贡 苏薰席 建安州都督府右隶安东都护府 文 苟杞实 檀特州乌利州漠州 马策 悦州 银 同谷 "濠"字初作"豪" 傍州 三百里至于阗 又西南至中天竺国东境恒河南岸羯朱嗢罗国四百里 飞狐二县 土贡 耀川州 令州 毡 辽为实沈分 蓟 贞观五年 台州临海郡 伊 琅邪 黄梅 灵竹 户二万三千五百一十 更名 靺鞨 赤 柑 治南安 户十二万四千二百六十八 林西州 金漆 莲绫 馀州 西盐州都督府 邠州 升麻 柿 蔓荆实 微州 户二千九百二十三 赤河来自疏勒西葛罗岭 自鸭渌江口舟行百余里 卢溪 归顺州淳州乌笼州恤州 嵯州 洛南 沛 钟山 绛 慈利 筼牛尾 本隆山郡 州二十七 九年更置扬州 澄迈 鸡泽 初 柑 绢 能州高州 文绫 蜡 壁州始宁郡 或寓名于夷落 符离 大凡府州八百五十六 三曰夏州塞外通大同云中道 汉楼兰国也 口四十万二千七百四 大和四年 龙须席 户五万九千四百五十 斑竹 金 又北四日行 永平 梅溪 银 户三百一十七 博罗 因更名 新 溧阳四县置 驯州骋州浪川州 桥 县十一 节度使朱希彩表析幽州之范阳 望 土贡 峨眉 象州象郡 延长 罽宾国在疏勒西南四千里 户四万二千九百三十六 鸡洛州 沈丘 开元十三年以"舞""武"声相近 泰岳 尤溪 颍 稷山 口十九万五千七百三十七 东光 奉上州 袭州 戎州地也 瀛 回纥相依 户四万三千三百二十三 夏以北蕃落所居 求易州 烛龙州燕山州右隶灵州都督府 葛粉 纻 武德二年析鄜州之中部 东夏州 翼城 丝布 枣 本郁林州地 张义潮以瓜 永徽元年复以茂名 永福 汉中 紬 上 户六千三百八 乾封 本新城郡 经苦井 温 黄连 双城州 银 下 广州都 督耿仁忠奏复置州 象川州 县三 其国有弥兰太河 当仁州 许昌 归善 悦州 龙朔二年更名魏州 浔州浔江郡 宗州 犀角 有橘官 卿城 口二十七万三千七百五十六 崇州 于阗 谷南口有呼延栅 盖古梁州之域 岘 武陵 有铜坑二 越裳 武成 天门冬 古州乐兴郡 归治上县 故安平县也 土贡 蜀马 武德元年 析迁州之竹山 洪郎州 ○陇右道 土贡 贞观八年更名 其西南三十里有古肃慎城 县隶龚州 名山 不领县 龙源 仓岩州 土贡 白胶香 土贡 月山 麻田岛 武德四年析隆州之南充 为州二百六十一 静 华阴 土贡 州废入永州 县三 甘棠 土贡 纸 陇右不守 乐陵 县五 郿 富楼州丁零州 下 吐蕃微弱 下 望 又西北十日行 大和五年为蛮寇所破 河西内属诸胡 贞观元年又更名 南皆至海 鞾鞹二物 户五千四百九十三 本义州 西域十六国隶陇右者 户六万九千五 昭 嘉宁 布 簟 宕州怀道郡 知母 纻布 楚 临水 口三十八万四百六十三 口十七万一千五百一十六 本庭州 下都督府 南昌 糟白鱼 沃州 土贡 白 羽 钟离 身毒州 岐 胡粉 轮台州都督府 纻锡布 牛黄 仙居 银 襄城 户五千七百八十二 南至吐火罗国二百里 桦皮 仪凤元年以悉州之悉唐置 葛 永定 华亭 刺蜜 南天竺之最南境 金 声州 吐谷浑州一 以皋兰山名州 武陵 玉田 绵 复为州 县四 乌鹘 蒙城 渭龙 土贡 本清江郡 蒲台 止戈 木烛岭 白交梭 犀角 有牢山 贞观元年以羌叛 大都督府 澶州 上 蕲为鹑尾分 下 永泰元年 本忠义郡 道州江华郡 西抵大漠 白纻细布 彭水 口万二千二十一 卢山都督府 中都督府 会昌三年遂以五县为州 潞 户三万五千三百五十三 本南和州 又东南百八十七里 纻布 下 贞观五年破突厥 人 中都督府 大都 督府 簟 县三 魏 索古州 兰 武德 野共州 荔枝煎 治雉山 土贡 石镜 缙云 本恒州恒山郡 因以为县 下邑 武德四年以高凉郡之阳春置 有银 广济 澧 葛 黔 常山复置 海州东海郡 清塞州 本武州 葛纤 融洮州 山鸡尾 麸金 宣 右隶邕州都督府 武德四年置 西沧 武德四年析沧州之阳信 县四 浈昌 锦 口九千二百五 南部 西流置 白蜜 智州刺史谢法成招慰生獠昆明 蕉 弦麻 口七千六百七十四 右隶安北都护府 文蛤 莫不毕纪 护川州 当归 治梁州 蛾州 郢及满州 卢 檛眉州 亦室韦部落 方城 景云二年曰闽州 土贡 蒍州 萧山 衡阳 濮为大火分；治虎牢城 县六 姚城 贞观九年徙治步阐垒 蜜 新昌 皂布 昭应 口三十一万八千一百二十六 容管经略使王翃析禺 户二万四千二百三十 关内道 大中二年 肃宗时懿 寅度州 上 曾口 溢乐 皆概举其目 安西大都护府 西北至康国七百里 阿林 县六 胡女布 紫穀 土贡 口二万三千四百一十七 天宝元年更名 人 上党 麸金 白麦 丰 县三 土贡 曰温肃 州 新城 鄮 蒲顺州 天宝五载析临翼郡置 湟水 芎藭 独窠绫 弓 渤海 百四十里至疏勒镇 甲香 六曰陇右 阳安 上津 土贡 魬 中都督府 右隶单于都护府 海 元城 岚谷 麸金 真符 治东都城内 土贡 隶灵州 毗舍州 户四万二千七百三十七 镇北大都护府 麝香 北至勃达国一月行 户六百八十二 石埭 总州 吉 土贡 怀集 平舒 贞观七年徙治管城 下 襄阳 得物岛 又增州二 右隶凉州都督府 银 汀州临汀郡 汉蜀郡 口二十二万三千六百一十三 陇右州县尽矣 临城 宣化 武德六年徙治下博 蔡龙 雄 瀼江 扶 海康 盐泊州都督府阴山州都督府 拔延州 上 县四 毡 暑州 武德四年析潭州之邵阳置 青山 岭 仁寿 白 土贡 融水 糖蟹 贞观元年曰龙门州 本盐川郡 本玉山州 以巴州之安固 乾封中更名 深州饶阳郡 口八十八万四千九百八十五 六年更名 常岳 犀角 大夏 下 笋 河东州甫岚州 钩州 藤器 明昌州 河滨 户四千一百八十七 温府州 恭 高丽隶河北者 南川 丹山 野利州 永济 峄 永泰 右隶茂 州都督府 上 南巴 钳恭州 赀布 五回 单丝罗 天山 户四百四十三 口六十五万九千八百五十五 曰浦州 土贡 土贡 西平州门州 县三 华容 皋兰州兴昔都督府 洁山都督府 万安 韦城 集州符阳郡 都护府一 县三 汉源 渠州之宕渠 胣〈月皮〉州 柘 不知其隶属 水马 人 蒙 兴州顺政郡 施 大宾 龙逢 州 夏阳 孔雀 土贡 思邛 土贡 开元二年徙于平州 定城 口六十六万三千一百七十一 义宾 容 口十万一百二十八 安顺 定川置 本东会州 鹿邑 都救 在佛逝西北隅之别岛 户三万七千四百七十 又三日行至文单外城 天宝元年更名 本平武郡西龙州 县七 户万一千六百一十六 附子 中 和集 蚺蛇胆 ○ 剑南道 户五万四千六百三十三 吐蕃攻沙陀 西二百里有固城镇 高唐置 蜡 汝阴 长松置 藤簟 平城 饶州鄱阳郡 复州竟陵郡 土贡 下 又经库也干泊 方渠 阿史那州 居素州都督府 开元 儋陵州 户四千三百五十九 柑 蜡 县三 宋 南皮 麸金 枳壳 笼州扶南郡 义宁二年 清苑 析隋弘农郡三县置 昆陵 二都护府 良山 下 白马 土贡 银 贞观十年更名 上 葛 藤 乌眼绫 牸犀角 户四百七十七 绵 本礠州 城临忽汗海 下 治蒲州 白角簟 景谷 郴 保宁 咸宁 世充平 武安州武曲郡 中川州 南北西三面皆有山 自蒲昌海南岸 户四千八百五十八 以县隶泷州 开江置 下 于州 武德四年置 丘州览州 灵石 后 复故名

由函数图象得
A(1, 0)，B(2,lg 2)
f (1) 0, f (2) lg 2
k b 0
即
2k b lg 2
解得k lg 2, b lg 2
f ( x ) (lg 2) x lg 2
练习
(课本P139页练习第4题)
4.函数y=f(x)的图象如图所示，则y=f(x)可能是（ ）
大超过y=kx(k>0)的增长速度.
指数函数不像一次函数按同一速度增
长，而是越来越快，呈爆炸性增长.
探究2 选取适当的对数函数与
一次函数，探索它们在区间(0
，+∞)上的增长差异，你能描述
一下对数函数的增长特点吗？

不妨以函数y=lgx和= x为例.

列出上述两个函数自变量与函数值的对应值表，并
大利亚头痛不已，他们采用各种方法消灭这些兔子，直
至二十世纪五十年代，科学家采用载液瘤病毒杀死了百
分之九十的野兔，澳大利亚人才算松了一口气．
:探究不同函数增长的差异
引例2.假如你有一笔资金用于投资，现有三种方
案供你选择，这三种方案的回报如下：
方案一：每天回报40元；
方案二：第一天回报10元，以后每天
有一大群喝水、嬉戏的兔子，但是这群兔子曾使澳
大利亚伤透了脑筋．1859年，有人从欧洲带进澳洲几只
兔子，由于澳洲有茂盛的牧草，而且没有兔子的天敌，
兔子数量不断增加，不到100年，兔子们占领了整个澳大
利亚，数量达到75亿只．可爱的兔子变得可恶起来，75
亿只兔子吃掉了相当于75亿只羊所吃的牧草，草原的载
畜率大大降低，而牛羊是澳大利亚的主要牲口．这使澳
1
函数y=lgx与y= 10 x在 6

几类不同增长的函数模型
几种常见函数模型的增长情况： 常数函数 一次函数 指数函数 对数函数 没有增长 直线上升 指数爆炸 对数增长
对数增长模型比较适合于描述增长速度平缓的变化规律； 指数增长模型比较适合于描述增长速度骤变的变化规律。
解实际问题：
实际 问题
读懂问题
基础
将问题 抽象化
过程
数学 模型
关键
几何画板
那函数y x2与函数y x ln x在区间(0,+)上 增长较快的是？
变、下列函数中随x的增大而增大速度最快的是： 1、y 0.01e x 2、y 100 ln x 3、y x100 4、y 100g2x
练习2、在我国大西北，某地区荒漠化土地面积
每年平均比上年增长10.4%,专家预测经过x年后
y=x2
0.04 0.36 1 1.96 3.24 4.84 6.76 9 11.56
y=log2x -2.322 -0.737 0 0.485 0.848 1.138 1.379 1.585 1.766
图象(几何画板)
当x越来越大时，y 2x 与y x2的增长速度比较。
x 0 10 20 30 40 50 60 70 80
(0,+∞)上，随着x的增大，y衰减速度：
对数函数>指数函数>幂函数。
y=2x
1 1024 1.05E+06 1.07E+09 1.10E+12 1.15E+18 1.18E+21 1.05E+06 1.21E+24
y=x2 0 100 400 900 1600 2500 3600 4900 6400
y 1.13E+15
y 2x