同角三角函数的基本关系-人教A版高中数学必修(第一册)优秀课件

(2)对于含有根号的,常把根号下式子化成完全平方式,去根号,达到化简的
目的.
(3)对于化简含高次的三角函数式,往往借助于因式分解,或构造
sin2α+cos2α=1,以降低函数次数,达到化简的目的.
变式训练 4
解
sin -cos
tan -1
(2)sin2αtan
sin -cos
化简:(1)
4si
n
α-5cos2α=
=
1
si n 2 +co s 2
4ta n 2 -3tan -5 4×4-3×2-5
=
=1.
2
ta n +1
4+1
规律方法
已知tan α,求关于sin α和cos α的齐次式的值的基本方法
sin +cos
(1)形如
的分式,可将分子、分母同时除以
sin +cos
利用同角三角函数的基本关系求三角函数值的方法
(1)已知sin θ(或cos θ)求tan θ常用以下方式求解.
(2)已知三角函数之间的关系式求三角函数值的问题,我们可利用平方关系
或商数关系求解,其关键在于运用方程的思想及(sin α±cos α)2=1±2sin
αcos α的等价转化,寻找解决问题的突破口.
自主诊断
1.已知 α 是第四象限角,cos
解析 由题意知 sin α=2.若 cos
1
α= ,且
3
12
α= ,则
13
1-cos 2 =-
所以 tan
1-cos 2 =-
sin
α=cos =-2
2.
1
α=3,
1 2 2

跟踪训练 3 求证：tan2α－sin2α＝tan2α·sin2α.
证明：左边＝tan2α－sin2α＝csoins22αα－sin2α ＝sin2α－cosisn2α2αcos2α＝sin2αc1o－s2αcos2α ＝sin2α·csoins22αα＝tan2α·sin2α＝右边 ∴原式成立．
题型一 利用同角三角函数的基本关系求值 ——微点探究 微点 1 已知角的某个三角函数值，求其余三角函数值 例 1 (1)已知 sin α＝－15，且 α 是第三象限角，求 cos α，tan α 的 值；
(2)已知 cos α＝－35，求 sin α，tan α 的值．
状元随笔 在使用开平方关系 sin α＝± 1 －cos2α和 cos α＝
＝|ssiinn113300°°＋－|ccooss
130°|＝sin 130°| sin
130°－cos 130°－cos
113300°°＝1.
(2)原式＝sin2α·csoins
αα＋2sin
αcos
α＋cos2α·csoins
α α
＝sin4α＋2ssiinn2ααccooss2αα＋cos4α＝sinsi2nα＋αccoossα2α2
)
A．－4
B．－14
1 C.4
D．4
解析：(2)ssiinnθθ－＋2ccoossθθ＝ttaann θθ＋ －12＝21，解得 tan θ＝－4. 答案： A
(3)已知 sin θ＋cos θ＝15，且 0<θ<π，则 sin θ－cos θ＝________.
解析：∵sin θ＋cos θ＝15，∴(sin θ＋cos θ)2＝215，
化，利用csoins αα＝tan α 可以实现角 α 的弦切互化． (2)关系式的逆用及变形用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，

cos α= 1 sin2＝ 1，
2
所以tan α= sin ＝ 3.
cos
答案： 3
时3，
2
【跟踪训练】
1.已知 sin cos =2，计算下列各式的值.
sin－cos
(1) 3sin－cos .
2sin 3cos
(2)sin2α-2sin αcos α+1.
2.(1)已知sin α+cos α= 7 ，α∈(0，π)，则tan α=_______.
13
(2)已知tan α= 4 ，且α是第三象限角，求sin α，cos α的值.
C. 5
D.12
13
13
【解析】选A.利用同角三角函数基本关系式中的平方关系计算.因为α为第二
象限角，所以cos α= － 1－sin2＝－12
13
关键能力·合作学习
类型一 利用同角三角函数的关系求特殊值(数学运算)
【题组训练】
1.(2020·通州高一检测)已知cos α= 5 ，且α∈(0，π)，则tan α=
(2)本质：同一个角的正弦、余弦、正切之间的相互关系. (3)应用：正弦、余弦、正切的知一求二，三角函数的证明、化简.
【思考】
“同角”一词的含义是什么？
提示：一是“角相同”，如sin2α+cos2β=1就不一定成立.二是对任意一个角
(在使得函数有意义的前提下)，关系式都成立，即与角的表达式形式无关，
(1)从一边开始，证得它等于另一边，一般是由比较复杂的一边开始化简到另 一边，其依据是相等关系的传递性. (2)左右归一法：即证明左右两边都等于同一个式子，其依据是等于同一个量 的两个量相等. (3)作差法：两式作差，对差式变形化简，差式为零即得证.

sin tan cos cos sin
tan
这就是说，同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1， 商等于角α的正切．
注意事项：
1. 公式中的角一定是同角，否则公式可能不成立. 如sin230º+cos260º≠1.
2.同角不要拘泥于形式，关系式中的角可以是具体的度数，也可以是变
量，也可以是代数式。比如 ：sin2 16 cos2 16 1，sin2 cos2 1
tan sin tan sin
左边
类型五：同角三角函数的证明
思路点拨： 法1.作差法
法2.左推右或右推左：从一边开始，证他等于另一边 法3.两边证：等式左右两边都比较复杂，证明左右两 边等于同一个式子
课堂小结
x
25
sin x cos x2 sin x2 2 sin x cos x cos x2 1 2sin x cosx 1 24 49
25 25
又 x 0sin x 0，cosx 0
2 sin x cosx 7
5
sin x cosx 0
类型三：利用sin α±cos α与 sin α cos α之间的关系求值
例5：求证： 2 tan sin tan sin
tan sin tan sin
法1（两边凑）：
sin sin
左边
cos sin sin
cos
sin2
sin
cos sin
cos
cos
sin sin
右边
cos s in
s in
cos
sin sin cos
cos sin2
cos
sin cos
1
sin cos

2
cos
成立.
（3）sin2α与sinα2之间的区分：前者是(sinα)2的简写，是α的正弦
的平方，读作“sinα的平方”，后者是α的平方的正弦，两者是截然
不同的。
对同角三角函数的基本关系式的理解
（1）同角三角函数的基本关系式中的角都是“同一个角”，而sin2α+cos2β=1不一定
成立. “同角”与角的表示情势无关，如
仅对 k

2
(k Z ) 成立.
（3）sin2α与sinα2之间的区分：前者是(sinα)2的简写，是α的正弦的平方，读作
“sinα的平方”，后者是α的平方的正弦，两者是截然不同的。
新知探究
问题5
些变形？
对于平方关系
+

= 和商数关系 =
2
2
法2:同除以cosα或cos2α
sin 2 2sin cos cos 2
(2)
;
2
2
4 cos 3sin
1
(3)
; 分子为1
2
2
cos 3sin
1 sin 2 cos2
3 2
1 2
(4) sin sin . 暗含:分母为1
4
2
巩固练习
课本P184
5. 求证：
sin sin cos cos 1.
4
2
2
2
sin 4 sin 2 cos 2 cos 2
sin 2 (sin 2 cos 2 ) cos 2
sin cos
2
1
2
典例解析：化简

cos 5 4 4
如果α是第四象限角,那么 cos 4 , tan 3
5
4
例3、 已 知tan 3，为 第 三 象 限 角 ， 求sin ,cos的 值 。
4
联 立 方 程 组
tan sin cos
方程(组)思想
si n2 cos2 1
练 习1、 已 知sin cos 5 ，180 270， 求tan的 值 。
5
所 以tan sin 2 cos
类型二：应用同角三角函数的基本关系化简三角函数式
例4、 化 简(：1) sin cos tan 1
切化弦
si n si n
co s
1
co s
si n si n
cos cos
2cos2 1
(2)
1 2sin2
“1”的代换
2cos2 (sin2 cos2 )
(2)求
s
i
n2 5
si
sin cos n cos si
n2
3co
s2 1
(3)求2sin2 sin cos 3cos2
小结 1、同角三角函数的基本关系
平方关系: sin2 cos2 1
商数关系: tan si n ( k , k Z )
cos
2
2、已知sinα(或cosα)求其它
4
3
例2、 已 知sin 3 ,求cos , tan的 值 。
5
解：因为sinα<0，sinα≠-1, 所以α是第三或第四象限角
由sin2α+cos2α=1得 cos2 1 sin2 1 ( 3)2 16 .
5 25
如果α是第三象限角,那么 cos 16 4

第五章
三角函数
5.2 三角函数的概念
课时
同角三角函数的基本关系
教学目标
1. 经历同角三角函数的基本关系的探索、发现过程,能
运用任意角的三角函数的定义加以证明.
2. 理解同角三角函数的基本关系的结构特征,体会同一
个角的三个不同三角函数间的内在联系.
3. 掌握同角三角函数的基本关系在求解三角函数式的化
进行转换。
【解】
【方法规律】
(1) 利用sin2α+cos2α=1可实现正弦、余弦的互化,开方时要
根据角α所在象限确定符号;利用=tanα可以实现角α的弦切互化.
(2) 应用公式时注意方程思想的应用:对于sinα+cosα,sinαcosα,
sinα-cosα这三个式子,利用(sinα±cosα)2=1±2sinαcosα,

β求得cos β，是我们继续
求解本题的关键．为此，我们需要研究sin β与cos β之间的关系．
图2
初探新知
【活动1】利用单位圆，结合三角函数的定义探究同三
角函数基本关系
【问题1】你能从点的坐标、角的三个三角函数值的代数结构
上发现同角的三个三角函数值之间有什么关系吗？
【问题2】同角三角函数的基本关系还有哪些变形形式？
＝
＝
＝1.
+
+
+
【方法规律】
已知tanα，求关于sin α和cos α齐次式的值的基本方法：
(1) 形如
+
的分式，可将分子、分母同时除以cos
+
α；形如
+ +
什么?
典例精析

=
=
=左边,
(-)
-
∴原等式成立.
(+)
(方法二)∵左边=
-
自主预习·新知导学
合作探究·释疑解惑
易 错 辨 析
随 堂 练 习
自主预习·新知导学
同角三角函数的基本关系
1.计算下列式子的值:
(1)sin20°+cos20°;
(2)sin245°+cos245°;
(3)sin260°+cos260°.
由此你能得出什么结论?尝试证明它.
提示:3个式子的值均为1.由此可以猜想:
对于任意角α,有sin2α+cos2α=1,下面用三角函数的定义证明:
设角α的终边与单位圆☉O的交点为P(x,y),
则由三角函数的定义,得sin α=y,cos α=x.
故sin2α+cos2α=x2+y2=|OP|2=1.
2.由三角函数的定义,tan α与sin α,cos α之间具有怎样的等量
4.(1)sin24 092°+cos24 092°=(
A.0
B.1
C.4 092 D.4 092°
(2)若sin θ+cos θ=0,则tan θ=
)
.
解析:(1)由平方关系知sin24 092°+cos24 092°=1.
(2)由sin θ+cos θ=0,得sin θ=-cos θ,
所以 tan

θ=
=
答案:(1)B (2)-1
-
=-1.

【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误
的打“×”.

例 2 已知在△ABC 中，sinA＋cosA＝15. (1)求 sinAcosA； (2)判断△ABC 是锐角三角形还是钝角三角形．
[解] (1)∵sinA＋cosA＝15， ∴两边平方，得 1＋2sinAcosA＝215. ∴sinAcosA＝－1225.
(2)由(1)sinAcosA＝－2152<0，且 0<A<π， 可知 cosA<0， ∴A 为钝角． ∴△ABC 是钝角三角形．
1－cosα
1－cos2α
当sinα>0时，原式＝1；
当sinα<0时，原式＝－1.
＝1－sincoαsα·1－|sicnoαs| α＝|ssiinnαα|，
[跟踪训练3] 化简：(1)1－sincoαsα· ttaannαα－ ＋ssiinnαα；
(2)
1－tanθcos2θ＋1＋ta1nθsin2θ.
5.2 三角函数的概念
5.2.2 同角三角函数的基本关系
填一填
sin
cos
tan sin2 cos2
sin cos
30 1
3
3
2
2
3
1
3 3
45 2
2
2
2
1
1
1
60 3
1
3
1
3
2
2
150 1 2
3 2
3 3
1
3 3
sin2 cos2 1
tan sin cos
(0,1)
3 2
(0,-1)
1化切为弦，减少函数名称，便于约分化简； 2对含根号的，应先把被开方式化为完全平方，去掉根号，为防止 出错，去掉根号后首先用绝对值符号表示，然后考虑正负； 3对含有高次的三角函数式，可借助于因式分解，或构造平方关系， 以便于降幂化简.

49
，
25
7
− ．
5
− cosx的值
练习巩固
变式3：已知sinα + cosα =
解：因 + =
则
2
+ 2
2
(0
3
< α < π)，则cosα − sinα的值为
2
，
3
+ 2 =
2
，
9
7
即2 = − 9 < 0，
而0 < α < π，α > 0，于是有α < 0，
= .

= .
辨析1：请判断下列结论是否正确？
√
√
1.sin 4 cos 4 1 （
2
2


3. sin ( ) cos ( ) 1
4
4
2
5. tan

2

sin
cos
2

2

2

（
）
(
)
2. sin
2

3
cos
2

3
1
4. sin 2 cos 2 1
(1− )(1+ )
=
(1+ )
1−2
=
(1+ )
2
=
1+

=右边.
所以，原式成立.
（法二）因为(1 + )(1 − ) = 1 − 2 = 2 = ，
1+++2
解：
1++
=

的结果是(
B.sin
3
4
5
)
3π
5
3π
D.-sin
3π
2
cos
5
2
5
= cos
3π
5
=-cos
3π
5
.
答案:C
25/29
1
3
2.已知 α 是第三象限角,sin α=- ,则 tan α 等于(
3
5
4
A.-
B.-
4
C.
3
3
3
4
D.
2
3
4
5
)
4
3
解析:∵sin α=- ,α 为第三象限角,
5
∴cos α=-
)
B.tan 40°-sin 40°
D.cos 40°-sin 40°
解析:原式= sin2 40° + cos 2 40°-2sin40°cos40°
= (sin40°-cos40°)2 =|sin 40°-cos 40°|
=cos 40°-sin 40°.
答案:D
17/29
探究一
探究二
探究三
思想方法
探究三证明三角恒等式
【例 4】 求证:
sin
1-cos
=
1+cos
sin
分析:思路一:平方关系
.
平方差公式展开→作商→结论
思路二:作差:左-右
变形
差为 0→结论
证法一:sin2α+cos2α=1⇒1-cos2α=sin2α⇒(1-cos α)·
(1+cos α)=sin
α·
sin α⇒

1

cos


公式变形
2
2
cos 1

2
cos



1

sin




商数关系： =
其中（ ≠
应用一：已知, 求, .

+ ， ∈ )

sin
2
sin
cos 1 sin
以利用平方关系求其他两个，即“知一求二”．
(2)sinθ±cosθ 的符号的判定方法
sinθ－cosθ 的符号的判定方法：由
三角函数的定义知，当 θ 的终边落在
直线 y＝x 上时，sinθ＝cosθ，即 sinθ
－cosθ＝0，当 θ 的终边落在直线 y＝x
的上半平面区域内时，sinθ>cosθ，即 sinθ－cosθ>0；当 θ 的终边落在直线 y
课本182页、大本172页 双色笔、
演草纸、课堂笔记
5.2.2 同角三角函数的基本关系
学习目标
1.根据三角函数的定义推导出同角三角函
数的基本关系式，
2.熟练掌握同角三角函数平方关系和商的
关系，并能正用、逆用、变形用。
3、会用同角三角函数基本关系求值、化简
与证明．
复习巩固：二定义、一法则、三公式
二定义：
证明：法一：由cosx≠0，知sinx≠±1,所以1±sinx≠0
cos x(1 sin x)
再将分母 1 变形为
解.
++

sin2α+cos2α,转化为形如
的分式求


+

[典例 1] (1)若 sin α＝－45，且 α 是第三象限角，求 cos α，tan α 的值； (2)若 tan α＝－185，求 sin α 的值． [解] (1)∵sin α＝－45，α 是第三象限角， ∴cos α＝－ 1－sin2α＝－35， ∴tan α＝csions αα＝－45×－53＝43.
2．已知 α∈0，π2，sin α＝35，则 cos α＝
A．45
B．－45
C．－17
D．35
解析：因为 α∈0，π2，所以 cos α>0，所以 cos α＝ 1－sin2α＝
答案：A
() 1－352＝45.
3．化简 1－sin235π的结果是
A．cos35π
B．sin35π
C．－cos35π
＝ cos
cos 2x－sin 2x－sin 2xcos
2x2 2x＋sin
2x
＝cos cos
2x－sin 2x＋sin
22xx＝11－ ＋ttaann
2x＝右边， 2x
∴原等式成立．
[方法技巧] 1．三角函数式的化简技巧 (1)化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到 化繁为简的目的． (2)对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到 化简的目的． (3) 对 于 化 简 含 高 次 的 三 角 函 数 式 ， 往 往 借 助 于 因 式 分 解 ， 或 构 造 sin2α ＋ cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的． 2．证明三角恒等式常用的技巧及遵循的原则 (1)常用技巧：弦切互化、整体代换、1的代换等． (2)原则：由繁到简、变异为同．
()
α
(2)对任意角 α，csions2α2＝tan α2都成立．

5
2
4
A. 1
B.3
3
C. 3
D. 1 3
cos
5 5
,
(π 2
,
π) tan
2,
，则
tan
π 4
1 3
2.已知
cos
π 4
1 5
，
是第一象限角，则 cos2 的值为(
C
)
A. 23 25
B. 23 25
C. 4 6 25
D. 4 6 25
是第一象限角， π 是第一或第二象限角，
cos2
sin2 cos2 2cos sin cos2
tan2 1 2 tan 1
1
9 2
1
1
2 3
.
3
故选 A.
1.知识：平方关系，商数关系. 2.思想方法：分类讨论思想
同角三角函数的基本关系：
(1)sin2 cos2 1
(2) sin tan( k , k Z)
cos
2
证明：如图，设点P（x，y）是角 的终边与单位圆的交点.过P作x轴的垂线， 交y轴于M，则三角形OMP是直角三角形，且OP=1.
由勾股定理得： OM 2 MP2 1.因此， x2 y2 1，即 sin2 cos2 1 .
第五章 三角函数 5.2.2 同角三角函数的基本关系
学习目标：
1.会推导同角三角函数的基本关系式. 2.掌握同角三角函数之间的联系. 3.熟练应用基本关系式进行三角函数的求值、化简与证明.
教学重点： 同角三角函数的基本关系式的推导及应用.
教学难点： 理解弧度制的定义，弧度制的运用.
探究一：同角三角函数的基本关系
1. sin2 是 (sin)2 的简写，注意与 (sin)2 的区别；

15
解:(3)因为 tan α=- <0,所以α是第二、四象限角.
8
由
tan =
sin
cos
=
sin2 + cos 2
15
- ,
8
2α=(15)2.
可得 sin
= 1,
17
15
15
17
17
当α是第二象限角时,sin α= ;当α是第四象限角时,sin α=- .
即时训练 1-1:(1)已知 sin α=- ,且α是第四象限角,求 cos α,tan α的值;
.
2
2
2
)·cos α=cos α+sin α=1.
4.已知α是第二象限角,tan α=- ,则 cos α=
.
解析:因为 tan α=- ,所以 sin α=- cos α.
2
2
2
又因为 sin α+cos α=1,所以 cos α=1.
2
所以 cos α= ,又α是第二象限角,所以 cos α=答案:-

2
同一个角的正弦、余弦的平方和等于1
同一个角的正弦、余弦的商等于角的正切
,k Z)
思考：对于平方关系 sin cos 1可作哪些变形？
2
cos 2 1 sin 2 ,
sin 1 cos ,
2
2
思考：对于商数关系
2
sin
tan
cos
sin cos 1 得
2
2
如果 是第三象限角,那么
从而
2
3 16
cos 1 sin 1 .

探究:同一个角的不同三角函数值之间的关系
问题3:同一个角的三角函数值还有什么关系？
由定义可知：
探究:同一个角的不同三角函数值之间的关系
追问1: 角 为任意角时,公式都成立吗?
,
同角三角函数的基本关系
1、平方关系： 2、商数关系：
注意：只要能使得函数有意义，对任意一个角关系式恒成立。
同角三角函数基本关系的理解与认识
是第三象限角”这个条件舍去，
学以致用
小结:如果已知某个三角函数值,且角所在象限是确定,那么可以通 过同角三角函数关系式,求出其它三角函数,而且只有一种结果. 如果只给了某个三角函数值,那么要按角所在象限进行讨论,分别 写出答案,这时一般有两组结果.所以在求值中,确定角所在象限是 解题关键。
学以致用 练习：
5.2.2同角三角函数 的基本关系
温故知新
公式一： 文字语言： 终边相同的角的同一三角函数的值相等
符号语言： sin(α＋k·2π)＝
cos(α＋k·2π)＝
tan(α＋k·2π)＝ 其中k∈Z
探索新知
问题1 公式一表明,终边相同的角的同一三角函数值相等,那么, 终边相同的角的不同三角函数值之间是否也有某种关系呢?
追问: 你能证明这个结论吗？ 当 为象限角时，过 P 作 x 轴的垂线,交 x 轴于 M，
∵ △OMP 是直角三角形,而且 OP =1
由勾股定理有 OM2 +MP2=1, ∴x2+ y2 =1,即
探究:同一个角的不同三角函数值之间的关系
追问: 你能证明这个结论吗？
当 的终边与坐标轴重合时， 这个公式也成立。
ห้องสมุดไป่ตู้
探究:同一个角的不同三角函数值之间的关系

sin2α+cos2α
������������������α ������������������α
45°
60°
120°
提示:填表略.sin2α+cos2α=1,tan α=csoins������������.
一二
课前篇 自主预习
2.填空
同角的三角函数基本关系
(1)平方关系:同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1,即
∴2sin αcos α=-2245. ∵α∈(0,π),∴cos α<0<sin α. ∵(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α=4295, ∴sin α-cos α=75 . ②
由①②得 sin α=45,cos α=-35.
∴tan α=csoins������������=-43.
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探究三 核心素养 思维辨析 随堂演练
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(方法三)设 tan α=csoins������������=t,则 sin α=tcos α,代入题设 cos α+2sin α= 5,得 sin α=2������5+���1��� ,cos α=2������+51,又 sin2α+cos2α=1,所以 t=2.
5.2.2 同角三角函数的基本关系
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课标阐释
1.理解同角三角函数基本关系式. 2.能运用同角三角函数基本关系 式解决求值、化简与证明问题.
思维脉络
课前篇 自主预习
一二
同角三角函数的基本关系式
1.填写下表,你能从中发现同一个角的三角函数值之间有什么关
系?
sin α 30°