高中数学-同角三角函数的基本关系式练习题

同角三角函数的基本关系式练习题1．若 sin α＝ 4，且 α是第二象限角，则 tan α的值等于 () 5A ．－ 4 3 3 43 B. C ．± D ． ±4 4 3 2．化简 1－sin 2160 °的结果是 ()A ． cos160 °B ．－ cos160 °C ． ±cos160 °D ． ±|cos160 | °2sin α－cos α3．若 tan α＝ 2，则的值为 ()sin α＋ 2cos α35 A ． 0B.4 C ． 1D. 484．若 cos α＝－ 17，则 sin α＝ ________， tan α＝ ________.5，则 sin α等于 ()5．若 α是第四象限的角， tan α＝－121 1 35A. 5B ．－ 5 C.15 D ．－ 136．若 α为第三象限角，则cos α ＋ 2sin α 的值为 ()1－ sin 2α1－ cos 2α A ． 3B ．－ 3C ． 1D ．－127、已知 A 是三角形的一个内角， sinA ＋ cosA = 3 ,则这个三角形是 （ ）A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．不等腰直角三角形D ．等腰直角三角形18、知 sin α cos α = 8 ,则 cos α－ sin α 的值等于（ ）3333A ．± 4B ．± 2C ． 2D ．－ 2、已知 是第三象限角，且 sin 4cos45 ，则sin cos（）992 B ．2 C ． 1 D ．1A ．333310、如果角满足 sin cos2,那么 tan1的值是（）tanA ． 1B ．2C ． 1D ． 2sin cos ，则 tan（ ）11、若22 sincosA ．1B ．-1C ．3D ．443112． A 为三角形 ABC 的一个内角，若sinA＋ cosA＝12，则这个三角形的形状为 () 25A ．锐角三角形B．钝角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形13．已知 tanθ＝ 2，则 sin2θ＋ sin θcosθ－ 2cos2θ等于 () 4534 A．－3 B. 4 C.－4 D. 5 14． ( tan x1)cos2x＝ ()tan xA ． tanx B． sinx C． cosx1 D．tan x15．使1－cosα cosα－ 1)＝sinα成立的α的范围是 (1＋cosαA ． { x|2kπ－π＜α＜ 2kπ， k∈Z }B． { x|2kπ－π≤ α≤ 2kπ， k∈Z }3πC． { x|2kπ＋π＜α＜ 2kπ＋2， k∈Z} D．只能是第三或第四象限的角16．计算17．已知1－ 2sin40 ·°cos40 °2＝ ________.sin40 －° 1－sin 40°1－ sinαcosαtanα＝－ 3，则2sinαcosα＋cos2α＝________.18、若tan3sin 3 2 cos3的值为 ________________ ．，则32 cos3sinsin cos2，则 sin cos 的值为19、已知cossinsinα20．若角α的终边落在直线x＋y＝ 0 上，则2＋1－sin α21．求证： sinθ(1＋ tanθ)＋ cosθ·(1＋1)＝1＋1.tanθ sinθ cosθ1－cos2α的值为 ________．cosα2部分答案1、解析： 选 A. ∵α为第二象限角，∴cos α＝－ 1－ sin 2α＝－1－ 4 2＝－ 3，5 54∴tan α＝ sin α 5＝－ 4.＝3cos α － 352、解析： 选 B. 1－ sin 2160 °＝ cos 2160 °＝－ cos160 °.2sin α－ cos α 2tan α－ 1.3、解析： 选 B.＝ ＝ 3sin α＋ 2cos α tan α＋ 2 48 4、解析： ∵ cos α＝－ 17<0，∴α是第二或第三象限角．若 α是第二象限角，则 sin α>0， tan α<0.∴sin α＝215 ， tan α＝ sin α 151－ cos α＝＝－ 8.17cos α若 α是第三象限角，则sin α<0， tan α>0.∴ sin α＝－215， tan α＝ sin α 15 .1－ cos α＝－17 ＝cos α 8 答案：15或－15－ 15或1517 17 8 85、解析： 选 D. ∵tan α＝ sin α 5 2 2＝－ ， sin α＋ cos α＝ 1，cos α 12∴ sin α＝±5，13又 α为第四象限角，∴sin α＝－ 135.6、解析： 选 B. ∵α为第三象限角，∴ sin α<0， cos α<0，∴cos α＋2sin α＝cos α 2sin α1－ sin 2＋＝－ 1－2＝－ 3.α1－ cos 2α |cos α||sin α|127、解析： 选 B. ∵sinA ＋ cosA ＝ ，212 2 144∴ (sinA ＋ cosA) ＝ (25) ＝ 625，即 1＋2sinAcosA ＝144，∴ 2sinAcosA ＝－481625625<0，∴ sinA>0，cosA<0，∴ A 为钝角，∴△ ABC 为钝角三角形．13、解析： 选 D.sin 2θ＋ sin θcos θ－ 2cos 2θ322θ＝ sin θ＋ sin θcos θ－ 2cossin 2θ＋cos 2θ＝ tan 2θ＋ tan θ－ 2tan 2θ＋1＝ 4＋ 2－2＝ 4.5 52sinx ＋ cosx 214、解析： 选 D.(tan x ＋ cotx) ·cos x ＝( cosx sinx ) ·cos x ＝sin 2x ＋ cos 2x2cosx＝ cotx.sinx ·cosx ·cos x ＝ sinx15、解析：选 A.1－ cos α1－ cos α2 1－ cos α cos α－ 1＝＝|sin α|＝，1＋ cos α1－ cos 2αsin α即 sin α＜ 0，故 { x|2k π－π＜ α＜ 2k π， k ∈ Z } ．2cos40 °－ sin40 °16、解析： 原式＝sin40 －°cos40 °＝＝－ 1.sin40 －° cos 240° sin40 －°cos40 °答案： －11－ sin αcos αsin 2α－ sin αcos α＋ cos 2α tan 2α－ tan α＋ 1 － 3 2－ －3 ＋117、解析：2＝2＝2tan α＋ 1 ＝ ＝2sin αcos α＋ cos α2sin αcos α＋ cos α2× －3 ＋113 － 5 .答案： －13518、答案： 5/321、证明： 左边＝ sin θ(1＋ sin θcos θ)＋ cos θ·(1＋)cos θsin θ2θ2θ＝ sin θ＋sin＋ cos θ＋coscos θsin θ2θ2θ＝ (sin θ＋ cossin＋cos θ)sin θ)＋ (cos θsin 2θ＋ cos 2θ sin 2θ＋ cos 2θ＝＋cos θsin θ＝1＋1＝右边，sin θcos θ∴原式成立．4。

专题5.2 同角三角函数的基本关系与诱导公式1．（2021·北京二中高三其他模拟）在平面直角坐标系xOy 中，角θ以Ox 为始边，终边与单位圆交于点34,55⎛⎫⎪⎝⎭，则tan()πθ-的值为（ ）A ．43B ．34C ．43-D ．34-【答案】C 【解析】由题意可得角的正弦和余弦值，由同角三角函数的基本关系可求出角的正切值，结合诱导公式即可选出正确答案.【详解】解：由题意知，43sin ,cos 55θθ==，则sin 4tan cos 3θθθ==，所以4tan()tan 3πθθ-=-=-，故选:C.2．（2021·全国高三其他模拟（理））已知1tan ,2α=则()cos cos 2παπα-⎛⎫+ ⎪⎝⎭=（ ）A ．﹣12B ．12C ．2D ．﹣2【答案】C 【解析】先用“奇变偶不变，符号看象限”将()cos cos 2παπα-⎛⎫+ ⎪⎝⎭化简为cos sin αα--，结合同角三角函数的基本关系来求解.【详解】因为1tan 2α=，所以()cos cos 2παπα-⎛⎫+ ⎪⎝⎭=cos sin αα--=1tan α=2.故选：C练基础3.（2021·全国高一专题练习）已知3cos cos()2παπα⎛⎫-++= ⎪⎝⎭则1tan tan αα+=（ ）A ．2B ．-2C ．13D ．3【答案】A 【解析】用诱导公式化简，平方后求得sin cos αα，求值式切化弦后易得结论．【详解】3cos cos()sin cos 2παπααα⎛⎫-++=∴--= ⎪⎝⎭即21sin cos (sin cos )2,sin cos ,2αααααα+=∴+=∴=1sin cos 1tan 2tan cos sin sin cos αααααααα∴+=+==，故选：A ．4．（2021·河南高三其他模拟（理））若1tan 2α=，则22sin sin cos ααα+=_______________________.【答案】45【解析】利用同角三角函数的基本关系式进行化简求值.【详解】因为12tan α=，所以222222224215sin sin cos tan tan sin sin cos sin cos tan ααααααααααα+++===++.故答案为：455．（2021·宁夏银川市·银川一中高三其他模拟（文））若3sin 2πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭[0,2)θπ∈，则θ=___________.【答案】116π【解析】根据三角函数的诱导公式，求得cos θ=[0,2)θπ∈，进而求得θ的值.【详解】由三角函数的诱导公式，可得3sin cos 2πθθ⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭，即cos θ=，又因为[0,2)θπ∈，所以116πθ=.故答案为：116π.6．（2021·上海格致中学高三三模）已知α是第二象限角，且3sin 5α=，tan α=_________.【答案】34-【解析】根据角所在的象限，判断正切函数的正负，从而求得结果.【详解】由α是第二象限角，知4cos 5α===-，则sin 3tan cos 4ααα==-故答案为：34-7．（2021·上海高三二模）若sin cos k θθ=，则sin cos θθ⋅的值等于___________(用k 表示).【答案】21kk +【解析】由同角三角函数的关系得tan θk =,进而根据22sin cos sin cos sin cos θθθθθθ⋅⋅=+,结合齐次式求解即可.【详解】因为sin cos k θθ=，所以tan θk =，所以2222sin cos tan sin cos sin cos tan 11kk θθθθθθθθ⋅⋅===+++，故答案为:21k k +8．（2021·河北衡水市·高三其他模拟）函数log (3)2(0a y x a =-+>且a ≠1)的图象过定点Q ，且角a 的终边也过点Q ，则23sin α+2sin cos αα=___________.【答案】75【解析】首先可得点Q 的坐标，然后可得tan α，然后可求出答案.【详解】由题可知点Q (4，2)，所以1tan ,2α=所以22223sin 2sin cos 3sin 2sin cos sin cos αααααααα++==+2211323tan 2tan 74211tan 514ααα⨯+⨯+==++故答案为：759．（2021·上海高三其他模拟）已知3sin 5x =，(,)2x ππ∈，则cos(π﹣x )=___________.【答案】45【解析】根据22sin cos 1x x += ，(,)2x ππ∈，求出cos x ，再用“奇变偶不变，符号看象限”求出cos(π﹣x ).【详解】解：因为3sin 5x =，(,)2x ππ∈，可得cos x =﹣=﹣45，所以cos(π﹣x )=﹣cos x =45.故答案为：45.10．（2020·全国高一课时练习）若2cos()3απ-=-，求sin(2)sin(3)cos(3)cos()cos()cos(4)απαπαππαπααπ-+--------的值．【答案】.【解析】利用诱导公式化简已知和结论，转化为给值求值的三角函数问题解决.【详解】原式=sin(2)sin(3)cos(3)cos (cos )cos παπαπαααα---+----=2sin sin cos cos cos ααααα--+=sin (1cos )cos (1cos )αααα---=-tan α，因为2cos()cos 3απα-=-=-，所以2cos 3α=，所以α为第一象限角或第四象限角．(1)当α为第一象限角时，sin α=所以sin tan cos ααα=，所以原式.(2)当α为第四象限角时，sin α=所以sin tan cos ααα=，所以原式.综上，原式=.1．（2021·全国高三其他模拟（理）(0)a a =>，则1tan 2=________（用含a 的式子表示）．【解析】根据同角三角函数的相关公式，把根号下的式子变形为完全平方式，2111112sin cos sin cos 2222⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，2111112sin cos sin cos 2222⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，再由11cos sin 022>>，开方即得1cos 22a =，再由22111tan 12cos 2+=即可得解.【详解】练提升=+=1111cos sin sin cos2222=-++12cos 2a ==，则1cos 22a =而22111tan 12cos 2+=，2214tan 12a∴=-又1tan 02>，1tan 2∴==.2.（2021·河北邯郸市·高三二模）当04x π<<时，函数22cos ()sin cos sin xf x x x x=-的最大值为______．【答案】-4【解析】化简函数得21()tan tan f x x x=-，再换元tan ,(0,1)t x t =∈，利用二次函数和复合函数求函数的最值.【详解】由题意得22222cos cos ()sin cos sin cos cos x x f x x x xx x =-所以21()tan tan f x x x =-，当04x π<<时，0tan 1x <<，设tan ,(0,1)t x t =∈所以2211()=11()24g t t t t =---，所以当12t =时，函数()g t 取最大值4-.所以()f x 的最大值为-4．故答案为：4-3．（2021·浙江高三其他模拟）已知πtan 34α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则3πtan 4α⎛⎫-= ⎪⎝⎭______，sin cos αα=______.【答案】3 25【解析】由3ππtan tan 44αα⎛⎫⎛⎫-=-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可求，由和的正切公式求出tan α，再建立齐次式即可求出.【详解】3πππtan tan πtan 3444ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.由πtan 1tan 341tan ααα+⎛⎫+==- ⎪-⎝⎭，得tan 2α=，故222sin cos tan 2sin cos sin cos tan 15αααααααα===++.故答案为：3；254．（2021·全国高一专题练习）如图，单位圆与x 轴正半轴的交点为A ，M ，N 在单位圆上且分别在第一､第二象限内，OM ON ⊥.若四边形OAMN 的面积为34，则AOM ∠=___________；若三角形AMN 的面积为25，则sin AOM ∠=___________.【答案】6π 35【解析】根据四边形OAMN 的面积，列出关于M 点纵坐标M y 的方程，求出M y ；即可根据三角函数的定义求出sin AOM ∠，进而可得AOM ∠；根据三角形AMN 的面积为25，得到M y 与N y 之间关系，再结合三角函数的定义，得到1cos sin 5AOM AOM ∠-∠=，利用同角三角函数基本关系，即可求出结果.【详解】若四边形OAMN 的面积为34，则3111142222MON MOA M M S S OM ON OA y y =+=⨯⨯+⨯⨯=+V V ，解得12M y =，由三角函数的定义可得1sin 2M AOM y ∠==，因为M 为第一象限内的点，所以AOM ∠为锐角，因此6AOM π∠=；若三角形AMN 的面积为25，则21115222MON MOA AMN OAMN AON AON M N S S S S S S y y ==-=-=+-+V V V V V ，即51N M y y -=，由三角函数的定义可得，sin M AOM y ∠=，sin N AON y ∠=，又sin sin cos 2N y AON AOM AOM π⎛⎫=∠=∠+=∠ ⎪⎝⎭，所以1cos sin 5AOM AOM ∠-∠=，由221cos sin 5sin cos 1AOM AOM AOM AOM ⎧∠-∠=⎪⎨⎪∠+∠=⎩解得3in 5s AOM ∠=或4in 5s AOM ∠=-，又AOM ∠为锐角，所以3in 5s AOM ∠=.故答案为：6π；35.5．（2021·河南高一期中（文））（1）已知角α的终边经过点()43P ,-，化简并求值：221cos sin cos sin cos tan 1a ααααα-+---；（2的值．【答案】（1）15-（2）1．【解析】（1）利用三角函数定义得到3sin 5α=，4cos 5α=-，化简三角函数表达式代入即可得到结果；（2）利用同角基本关系式化简即可.【详解】（1）由题意知，3sin 5α=，4cos 5α=-．原式222sin sin cos sin sin cos 1cos ααααααα+=---2222sin sin cos sin cos sin cos cos αααααααα+=---()2222cos sin cos sin sin cos sin cos αααααααα+=---22sin cos sin cos sin cos αααααα=---22sin cos sin cos αααα-=-341sin cos 555αα=+=-=-；（2）原式=sin 40cos 40cos 40cos50︒-︒=︒-︒cos 40sin 401cos 40sin 40-==-︒︒︒︒．6．（2021·河南高一期中（文））已知sin 2cos 0αα+=．（1）求sin 2cos cos 5sin αααα--的值；（2）求33sin cos cos sin aααα+的值．【答案】（1）411-；（2）858-．【解析】（1）本题可根据sin 2cos 0αα+=得出tan 2α=-，然后根据同角三角函数关系即可得出结果；（2）本题可通过22sin cos 1αα+=求出2sin α、2cos α的值，然后通过同角三角函数关系即可得出结果.【详解】（1）因为sin 2cos 0αα+=，所以tan 2α=-，则sin 2cos tan 24cos 5sin 15tan 11αααααα--==---.（2）联立22sin 2cos 0sin cos 1αααα+=⎧⎨+=⎩，解得224sin 51cos 5αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则3322sin cos tan 185cos sin cos sin tan 8a ααααααα+=+=-.7．（2020·武汉市新洲区第一中学高一期末）在平面直角坐标系xOy 中，以x 轴非负半轴为始边作角0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，,2πβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，它们的终边分别与单位圆相交于A ，B 两点，已知点A ，B，．（1）求23sin sin cos 1ααα-+的值；（2）化简并求cos 的值．【答案】（1）195；（2）1-+【解析】（1）由已知条件可知求得sin α，tan α，已知式变形为2222223sin sin cos 3tan tan 3sin sin cos 111sin cos tan 1ααααααααααα---+=+=+++，代入可得答案；（2）由已知得cos β，sin β=.【详解】解：（1）由已知条件可知：cos α=0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin 0α>，sin α==，tan 7α=，2222223sin sin cos 3tan tan 3497193sin sin cos 1111sin cos tan 1505ααααααααααα--⨯--+=+=+=+=++，（2）cos β=,2πβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin 0β>，从而sin β==；1sin cos cos cos (1sin )1|cos |ββββ-===--=-+.8．（2021·全国高三专题练习（理））求函数sin cos sin cos y x x x x =+-(x ∈R )的值域．【答案】112⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，【解析】令sin cos t x x =-=4x π⎛⎫⎡-∈ ⎪⎣⎝⎭，所以()2221111+++122221t y t t t t -=--=+=-，根据二次函数的性质可求得值域．【详解】令sin cos t x x =-=4x π⎛⎫⎡-∈ ⎪⎣⎝⎭，所以()2221111+++122221t y t t t t -=--=+=-，所以当t =24=-+x k ππ (k Z ∈)时，min y =12-；当1t =，即()114k x k ππ⎡⎤=++-⎣⎦(k Z ∈)时，max 1y =，因此函数y =sin cos sin cos y x x x x =+-的值域应为112⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，．9．（2021·江苏高一月考）如图，锐角α的始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点()11,A x y ，将射线OA 按逆时针方向旋转3π后与单位圆交于点()()2212,,B x y f x x α=+.（1）求()fα的取值范围；（2）若()fα=，求tan α的值.【答案】（1）32⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭；（2【解析】（1）由三角函数的定义可得1cos x α=，2cos(3x πα=+，化简()f α6)πα+．根据2663πππα<+<，利用余弦函数的定义域和值域求得()f α的范围．（2）根据()f α=，求得3cos(654sin(65παπα⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，再利用两角差的正弦余弦公式求出sin ,cos αα的值，从而得出结论．【详解】（1）由图知，3AOB π∠=，由三角函数的定义可得1cos x α=，2cos(3x πα=+，123()cos cos()cos cos cossin sincos 3332f x x πππαααααααα==+++-+=-=6)πα=+．角α为锐角，∴2663πππα<+<，∴1co 26s()πα-<+<∴623πα<+<，即()f α的范围是32⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭．（2）因为()fα=，2663πππα<+<，6πα+=，3cos()65)46sin()65παπαπα⎧+=⎪⎪+=⇒⎨⎪+=⎪⎩，431sin sin66552ππαα⎡⎤⎛⎫=+-=⨯=⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦341cos cos66552ππαα⎡⎤⎛⎫=+-=+⨯=⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦sintancosααα∴===10．（2021·河南省实验中学高一期中）（1）已知sin()cos()tan(3)()3cos2fπθπθπθθπθ-+-=⎛⎫-⎪⎝⎭，求73fπ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值（2）已知1sin cos5αα+=-，2παπ<<，求sin(3)cos(2)sin()sin2παπαπαα--++⎛⎫-++⎪⎝⎭的值．【答案】（1（2）17.【解析】（1）利用诱导公式、同角三角函数基本关系化简()fθ，然后再代值计算即可.（2）利用同角三角函数间的关系，将1sin cos5αα+=-平方求出sin cosαα的值，从而求出cos sinαα-的值，再由诱导公式将所求式子化简，即可得出答案.【详解】(1)()()sin cos tansin()cos()tan(3)()sin3sincos2fθθθπθπθπθθθπθθ⋅-⋅--+-===--⎛⎫-⎪⎝⎭所以77sin sin2sin3333fπππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=+==⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）由1sin cos 5αα+=-，则112sin cos 25αα+=，所以242sin cos 25αα=-由2παπ<<，则sin 0,cos 0αα><设cos sin 0t αα=-<，则2244912cos sin 12525t αα=-=+=由cos sin 0t αα=-<，所以7cos sin 5αα-=-1sin(3)cos(2)sin cos 157sin cos 7sin()sin 52παπαααπαααα---+++===-+⎛⎫--++ ⎪⎝⎭1．（2021·全国高考真题）若tan 2θ=-，则()sin 1sin 2sin cos θθθθ+=+（ ）A ．65-B ．25-C ．25D ．65【答案】C 【解析】将式子先利用二倍角公式和平方关系配方化简，然后增添分母(221sin cos θθ=+)，进行齐次化处理，化为正切的表达式，代入tan 2θ=-即可得到结果．【详解】将式子进行齐次化处理得：()()()22sin sin cos 2sin cos sin 1sin 2sin sin cos sin cos sin cos θθθθθθθθθθθθθθ+++==+++()2222sin sin cos tan tan 422sin cos 1tan 145θθθθθθθθ++-====+++．故选：C ．2.（2020·全国高考真题（理））已知π()0,α∈，且3cos28cos 5αα-=，则sin α=（ ）AB ．23C ．13D练真题【答案】A 【解析】3cos 28cos 5αα-=，得26cos 8cos 80αα--=，即23cos 4cos 40αα--=，解得2cos 3α=-或cos 2α=（舍去），又(0,),sin απα∈∴== 故选：A.3.（2019·北京高考真题（文））如图，A ，B 是半径为2的圆周上的定点，P 为圆周上的动点，是锐角，大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为（ ）A ．4β+4cos βB ．4β+4sin βC ．2β+2cos βD ．2β+2sin β【答案】B 【解析】观察图象可知，当P 为弧AB 的中点时，阴影部分的面积S 取最大值，此时∠BOP =∠AOP =π-β, 面积S 的最大值为+S △POB + S △POA =4β+.故选：B .APB ∠2222βππ⨯⨯1||sin()2OPOB πβ-‖1||sin()2OP OA πβ+-‖42sin 2sin 44sin βββββ=++=+⋅4．（2017·北京高考真题（文））在平面直角坐标系中,角与角均以为始边，它们的终边关于轴对称.若,则_____.【答案】【解析】因为角与角的终边关于轴对称，所以，所以.5．（2018·北京高考真题（理））设函数f （x ）=cos(ωx ―π6)(ω>0)，若f (x )≤f (π4)对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为__________．【答案】23【解析】因为f (x )≤f (π4)对任意的实数x 都成立，所以f (π4)取最大值，所以π4ω―π6=2k π(k ∈Z )，∴ω=8k +23(k∈Z )，因为ω>0，所以当k =0时，ω取最小值为23.6．（2017·全国高考真题（理））函数f (x )=s in 2x +3cosx ―34（x ∈0,__________．【答案】1【解析】化简三角函数的解析式，则f (x )=1―cos 2x +3cos x ―34=―cos 2x +3cos x +14= ―(cos x ―32)2+1，由x ∈[0,π2]可得cos x ∈[0,1]，当cos x =32时，函数f (x )取得最大值1．xOy αβOx y 1sin 3α=sin β=13αβy 2,k k Z αβππ+=+∈()1sin sin 2sin 3k βππαα=+-==。

三角函数计算练习题及答案详解1．同角三角函数基本关系式sin2α＋cos2α=1sinα=tanα cosαtanαcotα=12．诱导公式sin＝___________ sin＝ ___________cos＝___________ cos＝___________tan＝___________ tan＝___________sin＝___________ sin＝___________cos＝___________ cos＝___________tan＝___________ tan＝___________ππ sin＝____________sin＝____________2ππcos＝____________ +α)＝_____________2ππtan＝____________ +α)＝_____________2 3π3πsin＝____________ sin＝____________2 3π3πcos＝____________ +α)＝____________2 3π3πtan＝____________ +α)＝____________ 2 sin＝－sinα cos=cosα tan=－tanα公式的配套练习5π sin＝___________cos＝___________9πcos＝__________ sin＝____________3．两角和与差的三角函数cos=cosαcosβ－sinαsinβcos=cosαcosβ＋sinαsinβsin =sinαcosβ＋cosαsinβsin =sinαcosβ－cosαsinβtan= tanα+tanβ 1－tanαtanβtanα－tanβ 1＋tanαtanβtan=4．二倍角公式sin2α=2sinαcosαcos2α=cos2α－sin2α＝cos2α－1＝1－sin2α2tanαtan2α= 1－tanα5．公式的变形升幂公式：1＋cos2α＝2cos2α1—cos2α＝2sin2α降幂公式：cos2α＝1＋cos2α1－cos2α sin2α＝2正切公式变形：tanα+tanβ＝tantanα－tanβ＝tan 万能公式2tanα1－tan2α2tanαsin2α＝ tan2α＝ cos2α＝1+tanα1+tanα1－tanα6．插入辅助角公式basinx＋a+b sin a特殊地：sinx±cosx＝sin7．熟悉形式的变形1±sinx±cosx1±sinx 1±cosx tanx＋cotx 1－tanα1＋tanα1＋tanα1－tanα若A、B是锐角，A+B＝2π，则=2nsinn+1αcosαcos2αcos2α?cosα=2sinα8．在三角形中的结论若：A＋B＋C=π A+B+Cπ=2tanA＋tanB＋tanC=tanAtanBtanCABBCCAtantan ＋tan tan ＋ tan＝122222三角函数计算练习1.已知x∈，cosx=，则tan2x= B． C． D．2.cos240°=A． B． C． D．3.已知cosα=k，k∈R，α∈，则sin= C．± D．﹣k4.已知角α的终边经过点，则cosα=5.cos480°的值为6.已知7.已知sin=，则cos2α等于）为其终边上一点，且cosα=x，则x=.已知α是第二象限角，P=）=．．）=，则cos，且sin，则tan2x===﹣．故选D点评：此题考查了同角三角函数间的基本关系，以及二倍角的正切函数公式．学生求sinx和tanx时注意利用x 的范围判定其符合．2.B考点：运用诱导公式化简求值．专题：计算题；三角函数的求值．分析：运用诱导公式及特殊角的三角函数值即可化简求值．解答：解：cos240°=cos=﹣cos60°=﹣，故选：B．点评：本题主要考查了诱导公式及特殊角的三角函数值在化简求值中的应用，属于基本知识的考查．3.A考点：同角三角函数基本关系的运用；运用诱导公式化简求值．专题：三角函数的求值．分析：由已知及同角三角函数基本关系的运用可求sinα，从而由诱导公式即可得解．解答：解：∵cosα=k，k∈R，α∈，∴sinα==，．∴sin=﹣sinα=﹣故选：A．点评：本题主要考查了同角三角函数基本关系的运用，运用诱导公式化简求值，属于基本知识的考查．4.D考点：任意角的三角函数的定义．专题：三角函数的求值．分析：由条件直接利用任意角的三角函数的定义求得cosα的值．解答：解：∵角α的终边经过点，∴x=﹣4，y=3，r=∴cosα==故选：D．点评：本题主要考查任意角的三角函数的定义，两点间的距离公式的应用，属于基础题．5.D考点：运用诱导公式化简求值．专题：三角函数的求值．分析：运用诱导公式即可化简求值．解答：解：cos480°=cos=cos120°=﹣cos60°=﹣．故选：D．点评：本题主要考查了运用诱导公式化简求值，属于基础题．6.C考点：诱导公式的作用．专题：三角函数的求值．分析：已知等式中的角变形后，利用诱导公式化简，即可求出cosα的值．解答：解：sin=sin=sin=cosα=． =﹣， =5．考点：二倍角的余弦．专题：计算题；三角函数的求值．分析：由sin=及诱导公式可得cosα=，由二倍角的余弦公式可得cos2α的+α）=， =﹣，借助于角的终边上的点，解关于x的方程，便可求得所求的横坐标．解答：解：∵cosα===x，或x=﹣．∴x=0或x=故选：D．点评：本题巧妙运用三角函数的定义，联立方程求出未知量，不失为一种好方法．.考点：二倍角的余弦．专题：三角函数的求值．分析：由二倍角的余弦公式化简所求后代入已知即可求值．解答：解：∵sinα=，∴cos2α=1﹣2sinα=1﹣2×=．故答案为：．点评：本题主要考查了二倍角的余弦公式的应用，属于基本知识的考查． 10.考点：二倍角的余弦；两角和与差的余弦函数．专题：计算题；三角函数的求值．分析：由二倍角的余弦函数公式根据已知即可求值．解答：解：cos=2cos﹣1=2×﹣1=．点评：本题主要考查了二倍角的余弦函数公式的应用，属于基本知识的考查．11.﹣考点：二倍角的正切；两角和与差的正弦函数．专题：三角函数的求值．分析：依题意，可得sinθ﹣cosθ=①，sinθ+cosθ=②，联立①②得：sinθ=，cosθ=，于是可得cos2θ、sin2θ的值，从而可得答案．解答：解：∵sin==，，2sinθcosθ=），，＞0，又=1+sin2θ=∴sinθ+cosθ=，②联立①②得：sinθ=，cosθ=，∴cos2θ=2cosθ﹣1=﹣2，三角函数公式练习题1．1．sin29??A．11．?C． D22C试题分析：由题可知，sin考点：任意角的三角函数．已知sin?sin??；662?4)?772，cos2??，sin??25104343B．? C．?D．555D 试题分析由?7sin??sin??cos??45①，77?cos2??sin2?? 52571所以?cos??sin???cos??sin???②，由①②可得cos??sin??? ③，2553由①③得，sin?? ，故选D5cos2??考点：本题考查两角和与差的三角函数，二倍角公式点评：解决本题的关键是熟练掌握两角和与差的三角函数，二倍角公式．cos690?A．1133B．?C． D．?222C试题分析：由cos690?cos2?360?30?cos??30??cos30?，故选C考点：本题考查三角函数的诱导公式点评：解决本题的关键是熟练掌握三角函数的诱导公式以及特殊角的三角函数值．tan16?的值为A.?B. C. D.?3C试题分析tanπ=tan=﹣tan=．考点：三角函数的求值，诱导公式．点评：本题考查诱导公式的应用，三角函数的化简求值．．若??????1?cos? ???0???，cos?，cos?4243222A．33536B．? C． D．?399C．试题分析：因为????1??3?，且???0???，cos?，所以????2243444?22???；又因为cos?，且????0，所以??)?43422??????6??????，所以．又因为?????，且sin?24424234422cos?cos[?]?coscos?sinsin1322653．故应选C． ?????33339考点：1、同角三角函数的基本关系；2、两角差的余弦公式．．若角?的终边在第二象限且经过点P?，那么sin2x＝518247?? 252525258．已知cos?1??52524考点：二倍角公式，三角函数恒等变形5?1??)?,那么cos?? 52112A．?B．?C．D．55559．已知sin?=sin?cosa,所以选C．52考点：三角函数诱导公式的应用1，则cos2a的值为231177A． B．? C． D．?339910．已知sin?D试题分析：由已知得cos??1272,从而cos2??2cos??1??1??,故选D.99考点：诱导公式及余弦倍角公式.11．已知点P在第三象限，则角?在 A．第一象限B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限B试题分析：由已知得，?考点：三角函数的符号.?tan??0,，故角?在第二象限．cos??0?5，则sin?? 121155A． B．? C． D．?55131312．已知?是第四象限角，tan???D22试题分析：利用切化弦以及sin??cos??1求解即可． tan??sin?5??cos?12，?sin2??cos2??1，?sin2??525sin??0,sin???，13,169又?是第四象限角，2?故选：D.考点：任意角的三角函数的定义 y?sin?xT?213．化简cos?sin2得到A．sin2?B．?sin2?C．cos2?D．?cos2? A 试题分析：cos2?sin2?cos2?sin2?cos2?cos?sin2?考点：三角函数的诱导公式和倍角公式. 14．已知cos?? 3???,0????，则tan?????4??A.11B.C.?1D.?57D3?44?0可知0???，因此sin??，tan??，25354??1tan??tan?由和角公式可知tan????7，故答案为D。

三角函数的定义、诱导公式、同角三角函数的关系练习题学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知角α的终边经过点P(4，—3），则的值为( ）A． B． C． D．2．已知角α的始边与x轴非负半轴重合，终边在射线4x－3y＝0(x≤0）上，则cos α－sin α的值为( ) A． B．C． D．3．已知角α的终边与单位圆的交点P，则sinα·tanα＝( )A．－ B．± C．－ D．±4．若tanα〈0,且sinα〉cosα，则α在（）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限5．若，且，则角是( ）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角6．若,且为第二象限角，（）A． B． C． D．7．已知，则等于A ．B ．C ．D ．8．若，且为第二象限角，则( ）A ．B ．C ．D ．二、填空题9．已知 ，则___________三、解答题10．已知,且是第四象限的角。

（1）求； （2). 11．(1)已知,求的值；(2）已知， ,求的值.12．已知tan α2,= (1）求值： sin cos sin cos αααα+- （2）求值： ()()()()π5πsin cos cos π22cos 7πsin 2πsin παααααα⎛⎫⎛⎫+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+-+ 13．已知角α终边上的一点()7,3P m m - ()0m ≠。

（1）求()cos sin 2119cos sin 22παπαππαα⎛⎫+-- ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值； (2）求22sin cos cos ααα+-的值。

14．已知0θπ<<，且1sin cos 5θθ+=，求 （1）sin cos θθ-的值；(2）tan θ的值.15．已知tan 2α=.（1）求3sin 2cos sin cos αααα+-的值; （2)求()()()()3cos cos sin 22sin 3sin cos πππαααπααππα⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+-+的值； 16．已知，计算:（1)； （2）。

高一数学同角三角函数的基本关系式和诱导公式试题1.（1）化简：（2）求值：【答案】（1），（2）【解析】（1）由诱导公式法则：“奇变偶不变，符号看象限”对原式化简.即：，，，，，；（2）由诱导公式一：同角的同名三角函数值相等，对原式化简.试题解析：（1）（2）原式【考点】诱导公式和基本运算.2.已知（1）用表示的值；（2）求函数的最大值和最小值．（参考公式：）【答案】（1）；（2）最大值为1，最小值为-1【解析】（1）将由结合平方关系得，，可求出，将用公式展开，通过配凑即可表示出来；（2）先将利用辅助角公式化为一个角三角函数，结合所给角的范围和三角函数图像，求出的范围，再用用换元法将所给函数化为关于的函数，转化为关于的二次函数在某个区间上的值域问题，再利用二次函数的图像求出最大值与最小值．试题解析：由得即 2分（1） 4分6分（2）由题设知： 8分得 10分∴且 12分∴当时，；当时，． 14分（其他写法参照给分）【考点】同角三角函数基本关系式；辅助角公式；二次函数最值；三角函数在某个区间上值域；转化与化归思想3.在中，，，则面积为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】依题意可得，因为，所以，所以，故选B.【考点】1.同角三角函数的基本关系式；2.平面向量的数量积；3.两角和差公式；4.三角形的面积计算公式.4.已知α∈，.(1) 求值； (2)求的值.【答案】(1) ; (2).【解析】应用公式时注意方程思想的应用；对于，，这三个式子，利用，可以知一求二.解：由，知,即，可得又,可得.【考点】同角的三角函数基本关系式.5.已知sinθ＝，sin2θ＜0，则tanθ等于 ( )A．－B．C．－或D．【答案】A【解析】由题意，∵sinθ=，sin2θ＜0，∴cosθ＜0∴cosθ＝−＝−∴tanθ＝＝−，故选A．【考点】同角三角函数间的基本关系．6.（1）化简：(2)已知tan α＝3，计算的值．【答案】（1）原式=； (2).【解析】用诱导公式和同角三角函数之间的关系化简即可.1）原式=4分2）由原式==....8分【考点】诱导公式、同角三角函数之间的关系.7.已知，则的值为（）A．B．－C．D．－【答案】A【解析】，=====.【考点】诱导公式.8.已知，且为第四象限角，则【答案】【解析】,,又因为为第四象限角，所以为第一或第二象限角，所.【考点】1.诱导公式；2.同角基本关系式.9.若是的一个内角，且，则的值为( )A．B．C．D．【答案】D【解析】依题意可知，故，而，所以，从而，而，所以，故选D.【考点】同角三角函数的基本关系式.10.（1）计算：；（2）已知，求下列各式的值：①②.【答案】（1）；（2）①；②.【解析】（1）根据根式与分数指数幂的运算法则及对数的运算法则，即可算出答案；（2）①根据两角和的正切公式展开，代入的值，可得结果；②在分子与分母同时除以可得，然后代入的值，可得结果.试题解析：（1）…6分（每对一个给1分）（2）①原式 7分8分9分②原式 11分12分.【考点】1.根式及分数指数幂运算；2.对数的运算；3.两角和的正切公式；4.同角三角函数的基本关系式.11.已知，求下列各式的值：（1）；（2）．【答案】（1）（2）【解析】(1)利用，对原式分子分母同除以得关于的解析式，代入就可求出代数式的值，(2) 利用分母，将原式化为关于二次齐次式，再利用，对原式分子分母同除以得关于的解析式，代入就可求出代数式的值，本题主要考查利用＂弦化切＂方法求值.本题也可从出发得代入（１）立得，但代入（２）后只得到，还需结合得出，才可最终求值.试题解析：（1）原式（2）原式12分【考点】同角三角函数关系，弦化切.12.已知tanα，是关于x的方程x2-kx+k2-3=0的两实根，且3π＜α＜π，求cos(3π+α)-sin(π+α)的值.【解析】关于方程两根的问题可用韦达定理解决，，从而求出k=±2，再根据角的范围可知为正，从而求得。

高一数学同角三角函数的基本关系式和诱导公式试题答案及解析1.已知,，则角的终边在第（）象限A．一B．二C．三D．四【答案】B【解析】由题意，确定的象限，然后取得结果 .由，得在第二、四象限，由，得在第二、三象限,所以在第二象限.，故选B【考点】任意角的三角函数的定义．2.已知，则= ；【答案】【解析】分子分母同除，便会出现,【考点】三角函数的计算3.已知，且为第三象限角，（1）求的值；（2）求的值。

【答案】（1）（2）【解析】（1）由，再结合第三象限，余弦值为负，算出结果（2）先化简上式，根据，再结合（1）算出结果。

试题解析：（1）且（2分）为第三象限角（4分）（2）==（7分）=（8分）【考点】同角三角函数基本关系的运用以及三角函数的化简.4.已知，那么角是（）A．第一或第二象限角B．第二或第三象限角C．第三或第四象限角D．第一或第四象限角【答案】B【解析】要，即，因此角是第二或第三象限角，故选择B.【考点】同角三角函数基本关系及三角函数值的符号确定.5.已知．【答案】.【解析】对式子两边平方，得，从而.【考点】同角三角函数基本关系（平方关系），注意通过平方可与联系.6.已知是第三象限角，且.（1）求的值;（2）求的值【答案】（1）；（2）．【解析】解题思路：(1)先求，再求，进而求；（2）联立方程组，解得，进而求所求值.规律总结：涉及“”的“知一求二”问题，要利用以下关系式：；.注意点：由的值，求的值，要注意结合角的范围确定符号．试题解析：，是第三象限角，由得．【考点】同角三角函数基本关系式.7.设函数（1）求；（2）若，且，求的值．（3）画出函数在区间上的图像（完成列表并作图）。

（1）列表（2）描点，连线【答案】（1）2；（2）；（3）见解析【解析】（1）由正弦函数周期公式得，=，即可求得；（2）将代入的解析式，得到关于的方程，结合诱导公式即可求出，再利用平方关系结合的范围，求出，再利用商关系求出；（3）先由为0和算出分别等于，，在（，）分别令取，0，，求出相应的值和值，在给定的坐标系中描出点，再用平滑的曲线连起来，就得到所要作的图像．试题解析：（1），2分（2）由（1）知由得：， 4分∵∴ 6分∴． 8分（其他写法参照给分）（3）由（1）知，于是有（1）列表11分（2）描点，连线函数 14分【考点】正弦函数周期公式；诱导公式；同角三角函数基本关系式；五点法作图8.已知且是第四象限角，则A．B．C．D．【答案】A【解析】∵=，∴，又∵是第四象限角，∴==，故选A．由诱导公式知，=，∴，由是第四象限角知，，结合同角三角函数基本关系中的平方关系得==．【考点】诱导公式；同角三角函数基本关系式；三角函数在各象限的符号9.已知，.（1）求；（2）求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由同角三角函数的基本关系：，，结合条件，可得，再由可知，从而；（2）由（1）可知，可将欲求值的表达式化为与只有关的，根据齐次的数学思想，可分子分母同时除以，从而可得：.试题解析：（1）∵，，∴， 2分又∵，∴， 4分∴； 6分（2） 9分12分.【考点】同角三角函数基本关系.10.已知为锐角,则 .【答案】.【解析】∵为锐角，，∴，，∴.【考点】1.同角三角函数基本关系；2.两角和的正切公式.11.已知x，y均为正数，，且满足，，则的值为．【答案】【解析】因为，所以而所以由得，因此或∵x、y为正数，∴【考点】同角三角函数关系，消参数12.已知的值为（）A．－2B．2C．D．－【答案】D【解析】由原式可得，解得.【考点】同角三角函数间的基本关系.13.已知，则的值为 .【答案】【解析】,即，又，故.【考点】诱导公式，同角三角函数的基本关系式.14.已知：，其中，则=【答案】【解析】因为，所以，又因，所以，.【考点】诱导公式.15.已知角的终边过点.（1）求的值；（2）若为第三象限角，且，求的值.【答案】；【解析】（1）由角的终边过点求出，利用诱导公式化简即可；（2）由为第三象限角，，可求出，结合（1）求出，利用展开式即可（1）因为的终边过点，所以，而；（2）因为为第三象限角，且，，故【考点】三角函数的定义，诱导公式，同角三角函数基本关系式，两角和与差的三角函数16.已知是第四象限的角，则= .【答案】【解析】是第四象限的角，则，而.【考点】二倍角公式、同角三角函数的基本关系.17.已知（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由即①由即②所以①+②可得即即，选A.【考点】1.同角三角函数的基本关系式；2.两角差的余弦公式.18.已知（1）化简；（2）若是第三象限角，且，求的值.【答案】(1) ;(2) .【解析】(1)根据诱导公式进行化简;(2)首先化简，根据第三象限角，同角基本关系式求,确定的值.试题解析：解：（1）；. （6）（2），又是第三象限角,，.. (6)【考点】1.诱导公式；2同角基本关系式.19.比较大小：(用“”,“”或“”连接).【答案】＞.【解析】在单位圆中，做出锐角1的正切线、正弦线、余弦线，观察他们的长度，发现正切线最长，余弦线最短，故有 tan1＞sin1＞cos1＞0.【考点】三角函数线．20.函数在区间上的最大值为，则实数的值为( )A．或B．C．D．或【答案】A【解析】因为，令，故，当时，在单调递减所以，此时，符合要求；当时，在单调递增，在单调递减故，解得舍去当时，在单调递增所以，解得，符合要求；综上可知或，故选A.【考点】1.同角三角函数的基本关系式；2.二次函数的最值问题；3.分类讨论的思想.21.已知函数(1)求函数的最小正周期及在区间上的最大值和最小值；(2)若，求的值.【答案】（1）（2）【解析】（1）先利用诱导公式，二倍角公式，化一公式将此函数化简为的形式，利用周期公式，求周期，用x的范围求出整体角的范围，结合三角函数图像求其最值。

高中数学-同角三角函数的基本关系式练习34，选D. 答案：D5．已知θ∈(0,2π)，且sin θ，cos θ是方程x 2－kx ＋k ＋1＝0的两个实根，求k ，θ的值．解析：依题意有sin θ＋cos θ＝k ，① sin θcos θ＝k ＋1，②又(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ， 所以k 2－2k －3＝0，解得k ＝3或k ＝－1， 显然|sin θcos θ|＝|k ＋1|≤1，因此k ＝－1，代入①②得⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＋cos θ＝－1，sin θcos θ＝0，从而⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝0，cos θ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝－1，cos θ＝0.又θ∈(0,2π)，所以θ＝π或3π2.(限时：30分钟)1．已知α是第四象限角，cos α＝1213，则sin α等于( )A.513 B ．－513 C.512 D ．－512解析：∵α是第四象限角， ∴sin α＝－1－cos 2α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12132＝－513.答案：B2．已知tan α＝－12，则2sin αcos αsin 2α－cos 2α的值是( ) A.43 B ．3 C ．－43D ．－3解析：2sin αcos αsin 2α－cos 2α＝2tan αtan 2α－1，将tan α＝－12代入得： 2sin αcos αsin 2α－cos 2α＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1214－1＝43，故选A. 答案：A 3．化简⎝⎛⎭⎪⎫1sin α＋1tan α(1－cos α)的结果是( )A ．sin αB ．cos αC ．1＋sin αD ．1＋cos α解析：原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1sin α＋cos αsin α(1－cos α)＝1＋cos α1－cos αsin α＝sin 2αsin α＝sin α. 答案：A4．已知sin αcos α＝18，且π＜α＜5π4，则cos α－sin α的值为( )A.32 B ．－32C.34 D ．－34解析：∵(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×18＝34，且π＜α＜5π4，∴cos α＜sin α，∴cos α－sin α＜0，∴cos α－sin α＝－34＝－32. 答案：B5．已知sin α－cos α＝－52，则tan α＋1tan α的值为( ) A ．－4 B ．4 C ．－8 D ．8解析：tan α＋1tan α＝sin αcos α＋cos αsin α＝sin 2α＋cos 2αsin αcos α＝1sin αcos α.∵sin α－cos α＝－52，∴1－2sin αcos α＝54， ∴sin αcos α＝－18，∴1sin αcos α＝－8.答案：C6．已知1＋sin x cos x ＝－13，则cos xsin x －1的值等于( )。

3.2.2 同角三角函数之间的关系1.同角三角函数之间的关系式(1)平方关系:① .该关系体现了正弦与余弦的互化.(2)商数关系:② .该关系体现了切、弦的互化.2.同角三角函数基本关系式的变形(1)sin 2α+cos 2α=1的变形:sin 2α=③ ;cos 2α=④ ;(sin α+ cos α)2=⑤ ;(sin α-cos α)2=⑥ ;(sin α+cos α)2+(sin α- cos α)2=⑦ .(2)tan α=sinαcosα的变形:sin α=⑧ ;cos α=⑨ .一、填空题1.化简sin 2α+cos 4α+sin 2αcos 2α的结果是 .2.已知α是第四象限角,tan α=-512,则sin α= .3.若sin α+sin 2α=1,则cos 2α+cos 4α= .4.若sin α=45,且α是第二象限角,则tan α的值等于 .5.已知tan α=-12,则1+2sinαcosαsin 2α-cos 2α的值为 .6.已知sin α-cos α=-√52,则tan α+1tanα的值为 .7.已知tan θ=2,则sin 2θ+sin θcos θ-2cos 2θ= .8.已知sin αcos α=18且π4<α<π2,则cos α-sin α= .二、解答题9.求证:1-2sin2xcos2x cos 2x -sin 2x =1-tan2x 1+tan2x .10.已知sin θ、cos θ是关于x的方程x2-ax+a=0的两个根(a∈R).(1)求sin3θ+cos3θ的值;的值.(2)求tan θ+1tanθ知识清单①sin 2α+cos 2α=1 ②tan α=sinαcosα ③1-cos 2α ④1-sin 2α ⑤1+2sin αcos α ⑥1-2sin αcos α ⑦2 ⑧tan α·cos α ⑨sinαtanα基础过关一、填空题1.答案 1解析 sin 2α+cos 4α+sin 2αcos 2α=sin 2α+cos 2α(cos 2α+sin 2α)=sin 2α+cos 2α=1.2.答案 -513 解析 由1cos 2α=sin 2α+cos 2αcos 2α=tan 2α+1=169144得cos 2α=144169,因为α是第四象限角,所以cos α>0,所以cos α=1213,∴sin α=tan α·cos α=-512×1213=-513.3.答案 1解析 ∵sin α+sin 2α=1,∴sin α=1-sin 2α=cos 2α,∴cos 2α+cos 4α=sin α+sin 2α=1.4.答案 -43解析 ∵sin α=45,且α是第二象限角,∴cos α=-35,∴tan α=-43.5.答案 -13解析 1+2sinαcosαsin 2α-cos 2α=sin 2α+2cosαsinα+cos 2α(sinα+cosα)(sinα-cosα)=sinα+cosαsinα-cosα=tanα+1tanα-1,将tan α=-12代入,得原式=-12+1-12-1=-13. 6.答案 -8解析 tan α+1tanα=sinαcosα+cosαsinα=1sinαcosα.∵sin αcos α=1-(sinα-cosα)22=-18,∴tan α+1tanα=-8.7.答案 45解析 sin 2θ+sin θcos θ-2cos 2θ=sin 2θ+sinθcosθ-2cos 2θsin θ+cos θ=tan 2θ+tanθ-2tan θ+1,又tan θ=2,故原式=4+2-24+1=45.8.答案 -√32解析 (cos α-sin α)2=1-2sin αcos α=34,∵π4<α<π2,∴cos α<sin α.∴cos α-sin α=-√32.二、解答题9.证明 左边=cos 22x+sin 22x -2sin2xcos2xcos 2x -sin 2x=(cos2x -sin2x )2(cos2x -sin2x )(cos2x+sin2x )=cos2x -sin2x cos2x+sin2x =1-tan2x1+tan2x =右边,∴原等式成立.10.解析 由韦达定理知sin θ+cos θ=a,sin θ·cos θ=a.∵(sin θ+cos θ)2=1+2sin θcos θ,∴a 2=1+2a,解得a=1-√2或a=1+√2.∵sin θ≤1,cos θ≤1,∴sin θcos θ≤1,即a≤1,∴a=1-√2.(1)sin3θ+cos3θ=(sin θ+cos θ)(sin2θ-sin θ·cos θ+cos2θ) =(sin θ+cos θ)(1-sin θcos θ)=a(1-a)=√2-2.(2)tan θ+1tanθ=sinθcosθ+cosθsinθ=sin2θ+cos2θsinθcosθ=1sinθcosθ=1a,将a=1-√2代入得,原式=1-√2=-1-√2.。

高三数学同角三角函数的基本关系式和诱导公式试题答案及解析1.已知，则.【答案】3【解析】===3.【考点】同角三角函数基本关系式2.若tan α＝3，则 sin2α－2 sin αcos α＋3 cos2α＝______.【答案】【解析】sin2α－2 sin αcos α＋3 cos2α＝＝＝＝.3.已知f(α)＝，则f的值为________．【答案】－【解析】∵f(α)＝＝－cos α，∴f＝－cos＝－cos＝－cos＝－.4.化简＋＝________.【解析】原式＝＋＝－sin α＋sin α＝0.5.已知α∈(，π)，tanα＝－，则sin(α＋π)＝()A．B．－C．D．－【答案】B【解析】由题意可知，由此解得sin2α＝，又α∈(，π)，因此有sinα＝，sin(α＋π)＝－sinα＝－，故选B．6.记cos(－80°)＝k，那么tan100°＝()A．B．－C．D．－【答案】B【解析】解法一：因为cos(－80°)＝cos80°＝k，sin80°＝＝，所以tan100°＝－tan80°＝－＝－．解法二：因为cos(－80°)＝k，所以cos80°＝k，所以tan100°＝－tan80°＝＝－．7.已知sinαcosα＝，且π<α<，则cosα－sinα的值为()A．－B．C．－D．【答案】B【解析】∵π<α<，∴cosα>sinα，∴cosα－sinα>0，又∵(cosα－sinα)2＝1－2cosαsinα＝，∴cosα－sinα＝．8.若3cos(－θ)＋cos(π＋θ)＝0，则cos2θ＋sin2θ的值是________．【答案】【解析】∵3cos(－θ)＋cos(π＋θ)＝0，即3sinθ－cosθ＝0，即tanθ＝．∴cos2θ＋sin2θ＝＝＝＝＝＝．9.（5分）（2011•福建）若α∈（0，），且sin2α+cos2α=，则tanα的值等于（）A．B．C．D．【答案】D【解析】把已知的等式中的cos2α，利用同角三角函数间的基本关系化简后，得到关于sinα的方程，根据α的度数，求出方程的解即可得到sinα的值，然后利用特殊角的三角函数值，由α的范围即可得到α的度数，利用α的度数求出tanα即可．解：由cos2α=1﹣2sin2α，得到sin2α+cos2α=1﹣sin2α=，则sin2α=，又α∈（0，），所以sinα=，则α=，所以tanα=tan=．故选D点评：此题考查学生灵活运用二倍角的余弦函数公式及同角三角函数间的基本关系化简求值，是一道基础题．学生做题时应注意角度的范围．10.已知sin α＝＋cos α，且α∈，则的值为________．【答案】－【解析】将sin α－cos α＝两边平方，得2sin α·cos α＝，(sin α＋cos α)2＝，sin α＋cos α＝，＝＝－(sin α＋cos α)＝－．11.在△ABC中,若sinA,cosA是关于x的方程3x2-2x+m=0的两个根,则△ABC是 ( )A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．不能确定【答案】A【解析】∵sinA,cosA是关于x的方程3x2-2x+m=0的两个根∴sinA+cosA=∴(sinA+cosA)2=1+2sinAcosA=即sinAcosA=-∵0o<A<180o,∴sinA>0,所以cosA<0,即90o<A<180o故知△ABC是钝角三角形12.已知，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴.【考点】三角函数求值.13.在中，角A，B，C的对边a，b，c成等差数列，且，则 .【答案】【解析】∵成等差数列，∴，∴，∵，∴，∴，∴，（1）∵且，∴代入（1）式中，，∴，∴，∴，∴.【考点】1.等差中项；2.倍角公式；3.诱导公式.14.已知，，则．【答案】【解析】由题意，，．【考点】同角间的三角函数关系．15.若则【答案】【解析】，得，∴.【考点】求三角函数值.16.α是第二象限角，tanα＝－，则sinα＝________．【答案】【解析】由解得sinα＝±.∵α为第二象限角，∴sinα>0，∴sinα＝.17. cos＝________．【答案】－【解析】cos＝cos＝cos(17π＋)＝－cos＝－.18.已知其中若．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）先由已知条件求得的值，再由平方关系可得的值，把拆为，最后利用两角和的余弦公式即可求得的值；（2）考查了三角函数中知一求三的思想，即这几个量“知一求三”．可先利用差角余弦公式将展开，求得的值，两边平方即可求得的值，再由平方关系即可求得的值，最后由商关系即可求得的值．试题解析：（1）由已知得：，（2）由，得，两边平方得：，即，∵，且，从而． 12分【考点】1．平面向量的数量积运算；2．应用三角恒等变换求三角函数的值．19.已知x∈(0,),则函数f(x)=的最大值为()A．0B．C．D．1【答案】C【解析】由已知得,f(x)==tanx-tan2x=-(tanx-)2+,∵x∈(0,),∴tanx∈(0,1),=.故当tanx=时,f(x)max20.已知sinθ,cosθ是关于x的方程x2-ax+a=0(a∈R)的两个根.(1)求cos3(-θ)+sin3(-θ)的值.(2)求tan(π-θ)-的值.【答案】(1) -2 (2) 1+【解析】【思路点拨】先由方程根的判别式Δ≥0,求a的取值范围,而后应用根与系数的关系及诱导公式求解.解：由已知,原方程的判别式Δ≥0,即(-a)2-4a≥0,∴a≥4或a≤0.又(sinθ+cosθ)2=1+2sinθcosθ,则a2-2a-1=0,从而a=1-或a=1+(舍去),因此sinθ+cosθ=sinθcosθ=1-.(1)cos3(-θ)+sin3(-θ)=sin3θ+cos3θ=(sinθ+cosθ)(sin2θ-sinθ·cosθ+cos2θ)=(1-)[1-(1-)]=-2.(2)tan(π-θ)-=-tanθ-=-(+)=-=-=1+.21.若sinθcosθ>0,则θ在()A．第一、二象限B．第一、三象限C．第一、四象限D．第二、四象限【答案】B【解析】∵sinθcosθ>0,∴sinθ,cosθ同号.当sinθ>0,cosθ>0时,θ在第一象限,当sinθ<0,cosθ<0时,θ在第三象限,因此,选B.22.＝()A．－B．－C．D．【解析】＝＝＝＝sin 30°＝.23.设当x＝θ时，函数f(x)＝sin x－2cos x取得最大值，则cos θ＝________.【答案】－【解析】f(x)＝sin x－2cos x＝＝sin(x－φ)，其中sin φ＝，cos φ＝，当x－φ＝2kπ＋ (k∈Z)时，函数f(x)取得最大值，即θ＝2kπ＋＋φ时，函数f(x)取到最大值，所以cos θ＝－sin φ＝－.24. 4cos 50°－tan 40°＝________.【答案】【解析】4cos 50°－tan 40°＝＝＝＝＝＝.25.已知α∈，且cos α＝－，则tan α＝________.【答案】2【解析】利用同角三角函数的基本关系求解．由条件可得sin α＝－，所以tan α＝＝＝2.26.若α，β∈，cos ＝，sin ＝－，则cos (α＋β)＝________.【答案】【解析】∵α，β∈，∴－<α－<，－<－β<，由cos ＝和sin ＝－得α－＝±，－β＝－，当α－＝－，－β＝－时，α＋β＝0，与α，β∈矛盾；当α－＝，－β＝－时，α＝β＝，此时cos (α＋β)＝－.27.若cos ＝，则cos ＝()．A．－B．－C．D．【答案】D【解析】∵cos ＝，∴cos ＝2cos 2－1＝－，即sin 2x＝，∴cos ＝sin 2x＝.28.已知sin θ＋cos θ＝，则sin θ－cos θ的值为________．【答案】－【解析】∵sin θ＋cos θ＝，∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋2cos θsin θ＝，∴2cos θsin θ＝，∴(sin θ－cos θ)2＝1－＝，又θ∈，∴sin θ＜cos θ，∴sin θ－cos θ＝－.29.已知，则=____________.【答案】【解析】，根据，可知：，故答案为.【考点】同角三角函数的基本关系式的运算30.已知，且，则．【答案】【解析】因为，所以。

第2节 同角三角函数的基本关系式与诱导公式[A 级 基础巩固]1．(多选题)若cos(π＋α)＝－12，则sin(α－2π)可以等于()A.12B ．－12 C.32D ．－32解析：由cos(π＋α)＝－12，得cos α＝12，所以sin α＝±32，故sin(α－2π)＝sin α＝±32. 答案：CD2．(2020·某某模拟)已知直线2x －y －1＝0的倾斜角为α，则sin 2α－2cos 2α＝() A.25B ．－65 C ．－45D ．－125解析：由题意知tan α＝2，所以sin 2α－2cos 2α＝2sin αcos α－2cos 2αsin 2α＋cos 2α＝2tan α－2tan 2α＋1＝25. 答案：A3．已知sin αcos α＝18，且5π4<α<3π2，则cos α－sin α的值为()A ．－32B.32C ．－34D.34解析：因为5π4<α<3π2，所以cos α<0，sin α<0且cos α>sin α， 所以cos α－sin α>0.又(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×18＝34，所以cos α－sin α＝32. 答案：B4．已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|<π2，则θ等于()A ．－π6B ．－π3C.π6D.π3解析：因为sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)， 所以－sin θ＝－3cos θ，所以tan θ＝3，又|θ|<π2，所以θ＝π3.答案：D5．(2020·某某重点中学联考)已知3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫33π14＋α＝－5cos(5π14＋α)，则tan ⎝⎛⎭⎪⎫15π14＋α＝()A ．－53B ．－35C.35D.53 解析：由3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫33π14＋α＝－5cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π14＋α，得sin ⎝⎛⎭⎪⎫5π14＋α＝－53cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π14＋α， 所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π14＋α＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫5π14＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π14＋α＝－53.答案：A6．(2020·某某一中月考)已知cos(α＋π)＝25，则sin(2α＋π2)＝()A.725B ．－725C.1725D ．－1725解析：由cos(α＋π)＝25，得cos α＝－25，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2＝cos 2α＝2cos 2α－1＝－1725.答案：D7．已知sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，则cos 2α＋12sin 2α的值是()A.35B ．－35 C ．－3 D ．3解析：由sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5得tan α＋33－tan α＝5，可得tan α＝2，cos 2α＋12sin 2α＝cos 2α＋sin αcos α＝cos 2α＋sin αcos αcos 2α＋sin 2α＝ 1＋tan α1＋tan 2α＝35. 答案：A8．(多选题)已知－π2<θ<π2，则sin θ＋cos θ＝a ，其中a ∈(0，1)，则关于tan θ的值，在以下四个答案中，可能正确的是()A ．－3B ．－13C ．－14D ．－1解析：由sin θ＋cos θ＝a ，a ∈(0，1)， 得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22，a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22， 又－π2<θ<π2，所以0<θ＋π4<π4，从而－π4<θ<0，因此－1<tan θ<0，则满足题目的取值为－13与－14.答案：BC9．(2017·卷)在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称．若sin α＝13，则sin β＝________．解析：由角α与角β的终边关于y 轴对称，可知α＋β＝π＋2k π(k ∈Z)，所以β＝2k π＋π－α(k ∈Z)，所以sin β＝sin α＝13.答案：1310．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝33，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫56π＋α＝________．解析：因为⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝π，所以tan ⎝⎛⎭⎪⎫5π6＋α＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－33.答案：－3311．(2020·潍坊一中质检)若sin(α＋β)＝3sin(π－α＋β)，α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则tan αtan β＝________． 解析：因为sin(α＋β)＝3sin(π－α＋β)，所以sin αcos β＝2cos αsin β，所以tan α＝2tan β， tan αtan β＝2. 答案：212．若sin(π－α)＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α，则sin α·cos α＝________． 解析：由sin(π－α)＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α， 可得sin α＝－2cos α，则tan α＝－2， sin α·cos α＝sin α·cos αsin 2α＋cos 2α＝tan αtan 2α＋1＝－25. 答案：－25[B 级 能力提升]13．设f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)，其中a ，b ，α，β都是非零实数．若f (2 019)＝－1，则f (2 020)＝()A ．1B ．2C ．0D ．－1解析：因为f (2 019)＝a sin(2 019π＋α)＋b cos(2 019π＋β)＝－a sin α－b cos β＝－1，所以a sin α＋b cos β＝1，所以f (2 020)＝a sin(2 020π＋α)＋b cos(2 020π＋β)＝a sin α＋b cos β＝1.答案：A14．(2018·全国卷Ⅰ)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点A (1，a )，B (2，b )，且cos 2α＝23，则|a －b |＝()A.15B.55C.255D ．1 解析：由cos 2α＝23，得cos 2α－sin 2α＝23，所以cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝23，即1－tan 2α1＋tan 2α＝23， 所以tan α＝±55，即b －a 2－1＝±55， 所以|a －b |＝55. 答案：B15．若sin θ，cos θ是方程4x 2＋2mx ＋m ＝0的两根，则m 的值为________． 解析：由题意知sin θ＋cos θ＝－m 2，sin θ·cos θ＝m4，又(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ， 即m 24＝1＋m2，解得m ＝1± 5.又Δ＝4m 2－16m ≥0，所以m ≤0或m ≥4， 所以m ＝1－ 5. 答案：1－ 5[C 级 素养升华]16．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π2＋α＝1225，且0<α<π4，则sin α＝________，cosα＝________．解析：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π2＋α＝－cos α·(－sin α)＝sin αcos α＝1225.因为0<α<π4，所以0<sin α<cos α.又因为sin 2α＋cos 2α＝1，所以sin α＝35，cos α＝45.答案：3545。

学思堂教育个性化教程教案数学科教学设计教学过程【训练3】(1)已知sin⎝⎛⎭⎪⎫7π12＋α＝23，则cos⎝⎛⎭⎪⎫α－11π12＝________；(2)若tan(π＋α)＝－12，则tan(3π－α)＝________.1．同角关系及诱导公式要注意象限角对三角函数符号的影响，尤其是利用平方关系在求三角函数值时，进行开方时要根据角的象限或范围，判断符号后，正确取舍．2．三角求值、化简是三角函数的基础，在求值与化简时，常用方法有：(1)弦切互化法：主要利用公式tan x＝sin xcos x化成正弦、余弦函数；(2)和积转换法：如利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化；(3)巧用“1”的变换：1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)＝tanπ4.课堂巩固一、填空题1．已知α和β的终边关于直线y＝x对称，且β＝－π3，则sin α＝________.2．(2014·合肥模拟)sin 585°的值为________．3．(2014·郑州模拟)1－2sin(π＋2)cos(π－2)＝________.4．若3sin α＋cos α＝0，则1cos2α＋sin 2α的值为________．5．若sin α是5x2－7x－6＝0的根，则sin⎝⎛⎭⎪⎫－α－3π2sin⎝⎛⎭⎪⎫3π2－αtan2(2π－α)cos⎝⎛⎭⎪⎫π2－αcos⎝⎛⎭⎪⎫π2＋αsin(π＋α)＝________.6．(2014·杭州模拟)如果sin(π＋A)＝12，那么cos⎝⎛⎭⎪⎫32π－A的值是________．教学效果分析。

高三数学同角三角函数的基本关系式和诱导公式试题1. [2014·滨州模拟]sin600°＋tan240°的值等于()A．－B．C．－D．＋【答案】B【解析】sin600°＋tan240°＝sin240°＋tan60°＝－sin60°＋tan60°＝，选B项．2.若，则 .【答案】【解析】．【考点】诱导公式．3.已知α、β均为锐角，且sinα＝，tan(α－β)＝－.(1) 求sin(α－β)的值；(2) 求cosβ的值．【答案】（1）－（2）【解析】(1) ∵α、β∈，∴－＜α－β＜.又tan(α－β)＝－＜0，∴－＜α－β＜0.∴sin(α－β)＝－.(2) 由(1)可得，cos(α－β)＝.∵α为锐角，sinα＝，∴cosα＝.∴cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝.4.已知角θ的终边经过点P(－x，－6)，且cosθ＝－，则sinθ＝____________，tanθ＝____________．【答案】－，【解析】cosθ＝＝－，解得x＝sinθ＝＝－，tanθ＝5.已知α为锐角，cos α＝，则tan＝()A．－3B．－C．－D．－7【答案】B【解析】依题意得，sin α＝，故tan α＝2，tan 2α＝，所以tan＝＝－.6.已知sinα=,则cos(π-2α)=()A．-B．-C．D．【答案】B【解析】∵sinα=,∴cos(π-2α)=-cos2α=-(1-2sin2α)=-.故选B.7.设sin＝，则sin 2θ＝()A．－B．－C．D．【答案】A【解析】因为sin＝，即sin θ＋cos θ＝，所以sin θ＋cos θ＝，两边平方得1＋2sin θcos θ＝，所以sin 2θ＝－.8.已知sin 2α＝，则cos2＝()A．B．C．D．【答案】A【解析】法一：cos2＝＝(1－sin 2α)＝.法二：cos＝cos α－sin α，所以cos2＝(cos α－sin α)2＝(1－2sin αcos α)＝ (1－sin 2α)＝.9.已知向量a＝(cos x，sin x)，b＝(，)，a·b＝，则cos＝________.【答案】【解析】因为a·b＝cos x＋sin x＝2cos＝，所以cos＝.10.已知α∈，cos α＝－，tan 2α等于()．A．B．－C．－2D．2【答案】B【解析】由于α∈，cos α＝－，则sin α＝－＝－，那么tan α＝＝2，则tan 2α＝＝－.11.已知sin α＝，则cos (π－2α)＝()．A．B．－C．D．【答案】B【解析】cos (π－2α)＝－cos 2α＝2sin2α－1＝2×2－1＝－.12.设α是第二象限角，tan α＝－，且sin<cos，则cos＝______.【答案】-【解析】∵α是第二象限角，tan α＝－，∴2kπ＋<α<2kπ＋，∴kπ＋<<kπ＋，又sin <cos ，∴为第三象限角，∴cos<0.∵tan α＝－，∴cos α＝－，∴cos ＝－＝－.13.已知则= .【答案】【解析】因为所以=，所以==.【考点】同角三角函数的基本关系.14.在△中，角、、所对的边分别为、、，且.（Ⅰ）若，求角；（Ⅱ）设，，试求的最大值.【答案】（Ⅰ） ;（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）由题中所给,不难想到余弦定理,可求得 ,又由,变形成,从而求出,结合和,不难求出B; （Ⅱ）由已知可求出,又由向量的数量积公式可求出的形式,这样得到关于A 的一个三角函数式,运用二倍角公式化简得一个关于为整体的二次函数,即,又由的值推出的范围,进而得出的范围,从而求出的范围,即可求得最大值.试题解析：解：由，得，又， 3分（Ⅰ）由，，， 6分，又， 8分（Ⅱ）= 11分又中，，得，，的最大值为 14分【考点】1.解三角形;2.三角函数的性质;3.向量的数量积15.已知则= .【答案】【解析】已知则，于是.【考点】同角三角函数基本关系式.16.已知函数．（1）求的值；（2）若，求．【答案】（1）；(2)【解析】（1）把代入解析式可得；（2）把表示出来并展开，得关于的式子，由，结合同角三角函数基本关系式，求得（注意的范围），代入上式即可. 试题解析：（1）=；（2）∵，且，∴， ==.【考点】1、同角三角函数基本关系式；2、差角的余弦公式.17.已知，则 .【答案】或【解析】由已知：.又.联立解方程组得：或.所以：或.【考点】1、诱导公式；2、同角三角函数关系式；3、解方程组.18.已知函数为偶函数，周期为2.(Ⅰ)求的解析式；(Ⅱ)若的值.【答案】（1）．（2）.【解析】（1）利用，可得，从而得到．再根据其为偶函数及，可得，得到．这是解答此类问题的一般方法.要特别注意这一限制条件.（2）∵根据角的范围及．进一步应用同角公式，确定．应用二倍角公式求解.试题解析：（1）由题意可得，解得，故函数．又此函数为偶函数，可得，结合，可得，故．（2）∵，∴．根据，∴．∴【考点】1、三角函数的图象和性质；2、同角公式；3、二倍角公式.19.已知，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，选.【考点】诱导公式.20.已知点是圆：内任意一点，点是圆上任意一点，则实数（）A．一定是负数B．一定等于0C．一定是正数D．可能为正数也可能为负数【答案】A【解析】令，，又因为小于1，所以必定是负数.【考点】1.三角函数式的化简；2.三角函数最值.21.已知函数，．其图象的最高点与相邻对称中心的距离为，且过点．（Ⅰ）求函数的达式；（Ⅱ）在△中．、、分别是角、、的对边，，，角C为锐角。

高三数学同角三角函数的基本关系式和诱导公式试题1.已知，则.【答案】3【解析】===3.【考点】同角三角函数基本关系式2.已知△ABC中，cos(－A)＋cos(π＋A)＝－．(1)判断△ABC是锐角三角形还是钝角三角形；(2)求tanA的值．【答案】（1）△ABC是钝角三角形（2）－【解析】解：(1)由已知得，－sinA－cosA＝－．∴sinA＋cosA＝．①①式平方得，1＋2sinAcosA＝，∴sinAcosA＝－<0，又∵0<A<π，∴sinA>0，cosA<0．∴A为钝角，故△ABC是钝角三角形．(2)∵(sinA－cosA)2＝1－2sinAcosA＝1＋＝．又∵sinA>0，cosA<0，∴sinA－cosA>0，∴sinA－cosA＝，又由已知得sinA＋cosA＝，故sinA＝，cosA＝－，∴tanA＝＝－．3.已知，是以原点为圆心的单位圆上的两点，（为钝角）．若，则的值为．【答案】【解析】因为，所以，因为，所以【考点】同角三角函数关系，向量数量积4.在△ABC中,若sinA,cosA是关于x的方程3x2-2x+m=0的两个根,则△ABC是 ( ) A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．不能确定【答案】A【解析】∵sinA,cosA是关于x的方程3x2-2x+m=0的两个根∴sinA+cosA=∴(sinA+cosA)2=1+2sinAcosA=即sinAcosA=-∵0o<A<180o,∴sinA>0,所以cosA<0,即90o<A<180o故知△ABC是钝角三角形5.已知α、β均为锐角，且sinα＝，tan(α－β)＝－.(1) 求sin(α－β)的值；(2) 求cosβ的值．【答案】（1）－（2）【解析】(1) ∵α、β∈，∴－＜α－β＜.又tan(α－β)＝－＜0，∴－＜α－β＜0.∴sin(α－β)＝－.(2) 由(1)可得，cos(α－β)＝.∵α为锐角，sinα＝，∴cosα＝.∴cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝.6.已知cos＝，且－π＜α＜－，则cos＝________．【答案】－【解析】cos＝cos[－]＝sin.又－π＜α＜－，所以－π＜＋α＜－.所以sin＝－，所以cos＝－.7.已知tanθ＝2，则＝__________．【答案】－2【解析】＝＝－2.8.已知角α的终边经过点P(x，－2)，且cosα＝，求sinα和tanα.【答案】【解析】因为r＝|OP|＝，所以由cosα＝，得＝，解得x＝0或x＝±.当x＝0时，sinα＝－1，tanα不存在；当x＝时，sinα＝－，tanα＝－；当x＝－时，sinα＝－，tanα＝.9.已知sin 2α＝，则cos2＝( )A．B．C．D．【答案】A【解析】∵sin 2α＝，∴cos2＝＝10.已知sinα=,则cos(π-2α)=()A．-B．-C．D．【答案】B【解析】∵sinα=,∴cos(π-2α)=-cos2α=-(1-2sin2α)=-.故选B.11.已知α∈R，sin α＋2cos α＝，则tan 2α等于________．【答案】【解析】∵sin α＋2cos α＝，∴sin2α＋4sin α·cos α＋4cos2α＝.化简，得4sin 2α＝－3cos 2α，∴tan 2α＝.12.已知α∈，且cos α＝－，则tan α＝________.【答案】2【解析】利用同角三角函数的基本关系求解．由条件可得sin α＝－，所以tan α＝＝＝2.13.在中，若，则=（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由已知, 知为钝角，,,解得,故选A.【考点】同角基本关系式14.已知，则=____________.【答案】【解析】，根据，可知：，故答案为.【考点】同角三角函数的基本关系式的运算15.在△ABC中，a=15，b=10，A=60o，则cosB= 。

同角三角函数的基本关系【课前复习】．叙述任意角三角函数的定义．1 ．计算下列各式的值：22222420°＋sin；_______________30°＝cos30°＋sin ；________________420°＝．_______________＝²cottan；_______________＝【学习目标】．1＝αcotαtan，αtan＝，11＝αcos＋αsin．掌握同角三角函数的基本关系式：．运用同角三角函数的基本关系式解决求值问题．2 【基础知识精讲】本课时的重点是同角三角函数关系式及其变式的应用，难点是三角函数值符号在不同象限时的确定．1．同角三角函数的基本关系式，反映三角函数之间的内在联系．它们都是根据三角函数的定义推导出来的．亦可以利用单位圆用几何方法推出．．对同角三角函数基本关系式的应用应注意：222 就不恒成立．1＝βcos＋αsin）关系式中要注意同角．例如1（2kα²cotαtan）时，Z∈（＝α的值使等式两边都有意义时才成立．如，当α）关系式仅当2（就不成立．1＝2221＝αcos＋αsin）对公式除了顺用，还应用逆用、变用、活用．例如，由3（1＝αcos，可变形为22，＝α²cosαsinαcos＋αsin＝1，等．＝±αcos，αsin－22，αcos＋αsin）注意“1”的代换，可用4（．1等去代换α²cotαtan2α2sin如：至于角的表达形式是无关重要的，用同角三角函数的基本关系式时一定要注意“同角”，．2222tan，1＝α2cos＋等．1＝α²cot4αtan4，＝222αsin．4的正弦值的α，前者是αsin的平方”，而不能写成α的简写，读作“sin）αsin是（的平方的正弦，两者是不同的．α平方，后者是．同角三角函数的基本关系式有哪些应用？5 ）已知某任意角的正弦、余弦、正切值中的一个，求出其余两个；1（）化简三角函数式；2（）证明简单的三角恒等式．3（终边所在象限求出其三角函数值，是本课时的一个难点，它的结果不唯一，需要讨α其中，根据角论，正确运用平方根及象限角的概念，是解决这一难点的关键．．根据一个任意角的正弦、余弦、正切中的一个值求其余两个值（简称“知一求二”）时，如何判6 断是一组结果还是两组结果？如果角所在象限已指定，那么只有一组解；如果角所在象限没有指定，一般应有两组解．．基本关系式的重要等价变形有哪几个？72222；＝αcos；αcos－1＝αsin常用的有以下几个：αcos；α²tanαcos＝αsin；αsin－1＝2s2．|α|cos＝αsin（；αcosα＝1±2sin）α±cos 【学习方法指导】αtan是第三象限角且α］已知1［例的值．αcos，求2＝年高考题，虽然简单，但有很高的训练价值，下面给出两种解法．1992分析：本题是2222αcos＋αsin，而＝αtan（公式法）由解法一：α4cos＝αsin，α2cos＝αsin，2＝知215222，1＝αcos＋α，∴4cos1＝．＝αcos55＝－αcos在第三象限知α由解法二：（锐角示意图法） 1 －4－4图55ABC1－4－4为锐角，作锐角示意图，如图α先视＝cos，则55．＝－α是第三象限角，∴cosα∵当已知角的一个三角函数值是字母时，如何求其他三角函数值？mm．αcos，αtan），求|<1|（＝αsin］已知2［例22所在象限来α取正或取负应根据αcos，但1＝αcos＋αsin，需用公式αcos求αsin分析：由分类讨论．α确定，所以需对mm时，≠0，且<11<）当－1解：（22αcos在第一、四象限，则α若，＝2αtan＝＝＝；2 1 ，＝－αcos在第二、三象限，则α若21sin2cos1．＝αtankkm＝α，则0＝）若2（），Z∈（π ＝±1．αcos，0＝α∴tan 分类讨论．α的一个三角函数值为字母时，应对α点评：当已知角43［例，求下列各式的值：＝－αtan］已知sin3cos2sin cos322α3cos－αcosαsin＋α2sin）2；（）1（．tan分析：根据题目的条件，可将欲求值的式用来表达．α4)(3234tan326)(33tan35＝）原式＝1解：（．＝222sin23tan tan2cos3cossin222sin1tancos ＝）原式＝2（4423)()(273342521)(3．＝点评：本例的解法，体现了一种转化与化归的数学思想方法，把含有正弦、余弦的分式和齐次式转化为只含有正切的式子是常用的三角变换技巧．【知识拓展】．根据同角三角函数的基本关系式及三角函数的定义，可得出八个式子．sin221cos sin1cot tan tancos221csc sinsec tan1cos cot1sec cos22csc cot1sin即．同角三角函数的基本关系式是整个三角函数一章的重点内容之一，应牢记三个基本公式，并能正2 确地运用它们进行三角函数求值、化简、证明．在应用中逐渐掌握解题技巧：如“1”的变形，切化弦思想，等价转化的思想．【同步达纲训练】一、选择题451 ）的值等于（αtan是第二象限角，则α，且＝αsin．若43343443D ．±C ．B ．－A ．±15 ）等于（αtan，那么π<α0≤，且＝αcos＋αsin．已知243343443A ．D ．C ．－B ．－44 ）等于（αcos＋αsin，则1＝αcos＋αsin．若3 2．B ．±A ．±1D 1 ．－C 1 二、填空题＝α3cos＋αsin．若 4 ．____________的值为，则1．____________＝，则2＝αtan．已知5 三、解答题t，2＝θcos＋θtan．已知633的值；（θcos＋θsin）2的值；（θ²cosθsin）1求：（的值．θcos＋θsin）3 ] 参考答案【课前复习】 1 1 1 1 ．2．（略）1 【同步达纲训练】，从而＝－αcos是第二象限角，由平方关系可得α根据A ．1一、．＝－＝得解方程组A ．2 或434355 ．＝－αtan，求得α＝－αcos，这时＝sin，故取π<α0≤又因为22222222244，αsin．D ∵（3＝αcos＋αsinαcosα2sin＋1＝αcosα2sin＋αcos＋αsin＝）αcos＋ 1 22∴sin0 ＝αcosα0sin ＝αcosα ＝±1 αcos时，0＝αsin当＝±1．αsin时，0＝αcos当∴所以＝±1．αcos＋，于是原式＝3＝－．α＝－tan由已知可得．－4二、．5 ．＝＋2＝＋αtan＝＝＝＋，∴2＝θcot＋θ）∵tan1．解：（6三、2 ＝，21 2 ；＝θ²cosθ∴sin12222θcos＋θsin）∵（2（2 ＝＋2³1＝θcos＋θ²cosθ2sin＋θsin＝）12θsin，故>0＝θcos²θθsin，可得2>0＝θcot＋θtan又cos＝＋θsin同号，从而θcos与为第一象限角当为第三象限角当；1 22233θsin－θsin（）θcos＋θsin（＝θcos＋θ∵sin）3（）θcos＋θsin（＝）θcos＋θ²cos2为第一象限角当为第三象限角当33 ＝θcos＋θ∴sin。

数学：三角函数练习题--同角三角函数的基本关系式一、选择题：1．),0(,54cos παα∈=，则αcot 的值等于（ ）A ．34B ．43C ．34±D ． 43±2．若1cot 1sin tan 1cos 22-=+++θθθθ，则θ角在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3．若21cos sin =⋅θθ，则下列结论中一定成立的是 （）A ．22sin =θ B ．22sin -=θC ．1cos sin =+θθD ．0cos sin =-θθ4．若2cos sin 2cos sin =-+αααα，则=αtan（ ）A ．1B ． - 1C ．43D ．34-5．化简1cos 1tan 2tan 1cos 12-++αααα后可能取值的集合中元素的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题： 6．若2tan =α，则ααααcos sin cos sin -+的值为________________．7．已知524cos ,53sin +-=+-=m mm m θθ，则m=________________． 8．若α是第四象限角，化简ααtan 2sec 2-=________________．9．______.__________89cot 2cot 1cot 89cot 2cot 1cot =+⋯⋯++⋯⋯⋅oooo o o10．已知θ为锐角，则=|sin log |sec )(sec θθθ________________．三、解答题：11．已知51cos sin =+x x ，且π<<x 0． a) 求sinx 、cosx 、tanx 的值． b) 求sin 3x – cos 3x 的值．12．已知sin α=m ，（|m|≤1），求tan α的值．参考答案同角三角函数的基本关系式一、选择题：1.B2.C3.D4.A5.D 二、填空题： 6． 37．0或88．1-tan α9．892 10．csc θ三、解答题：11．解：由51cos sin =+x x ，得x x cos 51sin -= 代入sin 2x+cos 2x=1得：（5cosx-4）（5cosx+3）=0∴54cos =x 或53cos -=x 当54cos =x 时，得53sin -=x又∵π<<x 0，∴sinx>0，故这组解舍去当53cos -=x 时，54sin =x ，34tan -=x （2）∵51cos sin =+x x∴（sinx+cosx ）2= sin 2x+cos 2x+2sinxcosx =251 ∴2512cos sin -=x x 又π<<x 0，sinx>0，∴cosx<0(sinx-cosx)2=1-2sinxcosx=254925241=+又∵sinx – cosx>0∴sinx – cosx =57sin 3x – cos 3x = (sinx-cosx)(sin 2x+sinxcosx+cos 2x)=12591)25121(57=-⨯ 12．解：当m=0时，0cos sin tan ==ααα;当m=±1时，α的终边在y 轴上，tan α无意义。

高三数学同角三角函数的基本关系式和诱导公式试题1.△ABC是锐角三角形，若角θ终边上一点P的坐标为(sinA－cosB，cosA－sinC)，则＋＋的值是()A．1 B．－1 C．3 D．4【答案】B【解析】因为△ABC是锐角三角形，所以A＋B>90°，即A>90°－B，则sinA>sin(90°－B)＝cosB，sinA－cosB>0，同理cosA－sinC<0，所以点P在第四象限，＋＋＝－1＋1－1＝－1，故选B．2.已知，，则．【答案】【解析】由题意，，．【考点】同角间的三角函数关系．3.已知，则= .【答案】【解析】.【考点】三角函数同角公式，二倍角的正弦公式.4.若sinα＝，α∈，则cos＝__________．【答案】－【解析】由α∈，sinα＝，得cosα＝，由两角和与差的余弦公式得cos＝cosαcos－sinαsin＝－(cosα－sinα)＝－5.已知关于x的方程2x2－(＋1)x＋m＝0的两根为sinθ和cosθ，且θ∈(0，2π)．(1)求的值；(2)求m的值；(3)求方程的两根及此时θ的值．【答案】（1）（2）（3）θ＝或【解析】(1)由韦达定理可知而＝＝sinθ＋cosθ＝.(2)由①两边平方得1＋2sinθcosθ＝，将②代入得m＝.(3)当m＝时，原方程变为2x2－(1＋)x＋＝0，解得x1＝，x2＝，∴或∵θ∈(0，2π)，∴θ＝或6.已知α为锐角，cos α＝，则tan＝()A．－3B．－C．－D．－7【答案】B【解析】依题意得，sin α＝，故tan α＝2，tan 2α＝，所以tan＝＝－.7.在△ABC中,sin(-A)=3sin(π-A),且cosA=-cos(π-B),则C等于()(A) (B) (C) (D)【答案】C【解析】【思路点拨】将已知条件利用诱导公式化简后可得角A,角B,进而得角C.解:由已知化简得cosA=3sinA.①cosA=cosB.②由①得tanA=,又∵0<A<π,∴A=,由②得cosB=·cos=,又∵0<B<π,∴B=,∴C=π-A-B=.8.已知α是第三象限角,且cos(85°+α)=,则sin(α-95°)=.【答案】【解析】∵α是第三象限角,cos(85°+α)=>0,∴85°+α是第四象限角,∴sin(85°+α)=-,sin(α-95°)=sin[(85°+α)-180°]=-sin(85°+α)=.9.已知,,则的值等于（）A．B．C．D．【答案】D【解析】,, ，【考点】正弦和差角公式诱导公式10.已知α∈R，sin α＋2cos α＝，则tan 2α等于________．【答案】【解析】∵sin α＋2cos α＝，∴sin2α＋4sin α·cos α＋4cos2α＝.化简，得4sin 2α＝－3cos 2α，∴tan 2α＝.11.若sin＝，则sin＝______.【答案】-【解析】sin＝－cos＝－cos＝2sin2－1＝－. 12.已知sin α＝，则cos (π－2α)＝()．A．B．－C．D．【答案】B【解析】cos (π－2α)＝－cos 2α＝2sin2α－1＝2×2－1＝－.13.化简：=________．【答案】－tana【解析】.【考点】三角函数同角关系式及诱导公式.14.在中，BC=，AC=2，的面积为4，则AB的长为 .【答案】或【解析】由已知，∴，故，在中，当，当时，4，当时.【考点】1、三角形的面积；2、同角三角函数基本关系式；3、余弦定理.15.若α∈，且，则的值等于()A．B．C．D．【解析】因为，α∈，且，所以，，=，选D.【考点】三角函数倍角公式、同角公式16.设为锐角，若，则的值为___________.【答案】【解析】，所以=，因为，且，所以=，∴=，=，所以=.【考点】1、两角差的正弦公式；2、正弦和余弦的二倍角公式.17.已知函数，函数与函数图像关于轴对称.（1）当时，求的值域及单调递减区间；（2）若，求值.【答案】（1）当时，的值域为，单调递减区间为；（2）.【解析】（1）先将函数的解析式进行化简，化简为，利用计算出的取值范围，再结合正弦曲线确定函数的值域，对于函数在区间上的单调区间的求解，先求出函数在上的单调递减区间，然后和定义域取交集即得到函数在区间上的单调递减区间；（2）利用等式计算得出的值，然后利用差角公式将角凑成的形式，结合两角差的正弦公式进行计算，但是在求解的时候计算时，利用同角三角函数的基本关系时需要考虑角的取值范围.试题解析：（1）2分又与图像关于轴对称，得当时，得，得即 4分单调递减区间满足，得取，得，又，单调递减区间为 7分（2）由（1）知得，由于 8分而10分13分【考点】1.诱导公式；2.同角三角函数的基本关系；3.两角差的正弦公式18.已知且（1）求的值；（2）求的值；【答案】（1）；（2）【解析】⑴根据已知条件先判断角所在的象限，然后求出角的余弦值，那么正弦值就很容易得到了；⑵先化简所给的式子，然后分子分母同时除以，然后将代入即可.试题解析：⑴∵，∴在第四象限 2分∴， 4分∴； 6分（2）. ..12分【考点】同角三角函数间的关系，三角函数的诱导公式及应用.19.设θ为第二象限角，若tan(θ＋)＝，则sinθ＋cosθ＝．【答案】－【解析】由θ为第二象限角且tan(θ＋)＝，则为第三象限角，于是，所以.【考点】三角函数计算20.已知，，则．【答案】【解析】由，得，，.【考点】同角三角函数的关系、两角和的正切公式.21.已知，且，，则______．【答案】【解析】由，，得，所以，又由，知.【考点】同角三角函数的关系、两角和与差的三角函数.22.已知，且，则的值等于（）A．B．C．D．7【答案】C【解析】由倍角公式得又由平方关系得最后由两角和正切公式得【考点】考查三角恒等变换，知值求值类问题．23.已知是第二象限角，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】∵是第二象限角，∴.故选A.【考点】三角求值24.若，且，则 ( )A．B．C．D．【答案】D【解析】因为，且，所以，故选D。

高一下同步练习卷4．4 同角三角函数的根本关系式根底练习1．使xxx cos sin tan =成立的x 的取值范围是〔 〕． A ．R B ．2ππ+≠k x ，k ∈Z ，x ∈RC ．x ≠k π，k ∈Z ，x ∈RD ．x ≠2k π＋π，k ∈Z ，x ∈R 2．以下四个命题中正确的选项是〔 〕． A ．21cos ,21sin ==αα B ．sin α＝0.85，cos α＝0.65 C ．sin α ＝0，cos α ＝－1 D ．tan α ＝1，cos α＝－1 3．以下等式恒成立的是〔 〕．A ．αααtan sin 1sin 2=- B ．tan 〔2π＋α〕·cot 〔α －2π〕＝1 C ．5sin 15cos22ββ=- D ．αα2sin 2cos 12=-4．54cos =θ，且270°＜θ ＜360°，那么tan θ 的值为〔 〕． A ．43 B ．34 C ．43- D ．34- 5．31cos =α，且α 为第一象限角，求sin α 、tan α 、cot α 的值． 6．1312sin -=α，求cos α 、tan α 的值． 7．21tan -=α，求sin α 、cos α 、cot α 的值． 8．在△ABC 中，假设23cos =A ，那么sin A ＝________；tan A ＝________．9．假设α 是第三象限角，且43sin 2=α，那么sin α ＝________；cos α ＝________；tan α＝________；10．化简以下各式：〔1〕sin α •cos α•〔tan α ＋cot α〕；〔2〕)23π,π(,sin 1tan cos 122∈---αααα； 〔3〕θθθθ2224cos cos sin 1sin ++-． 11．11tan 1=-α，求αα42sin cos 1++的值．12．求证： 〔1〕θθθθtan cos 1tan sin =++；〔2〕ααα222cos 2)tan 1()tan 1(=-++；〔3〕1cos cos sin sin sin sin 222222=⋅+⋅-+βαβαβα．综合练习1．51sin =α，且tan α ＜0，求cos α 及tan α 的值． 2．259cos 2=α，且α 是第四象限角，那么cot α 的值等于〔 〕．A ．34 B ．43 C ．34- D ．43- 3．)1(11cos 22>+-=m m m α，求tan α 的值． 4．化简)6cos 1)(6cos 1(+-的结果是〔 〕．A ．sin6B ．－sin6C ．sin 〔6－2π〕D ．sin6° 5．假设sin θ cos θ ＜0，θθcos 1|cos |1=，那么点P 〔tan θ ，sin θ －cos θ 〕位于〔 〕．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 6．如果α 是第一象限角，且31tan tan 6=+αα，那么sin α ＝________；cos α ＝________；cot α ＝_______．7．34tan -=A ，求AA A A sin 7cos 15cos 8sin 5-+的值． 8．假设2sin α ＝3cos α ，那么ααααcos 2sin 5cos sin 4-+＝________．9．223tan 1tan 1+=-+AA，求sin A ·cos A 的值．10．)0(tan ≠=t t α，且21sin tt +-=α，那么α 是〔 〕．A ．第一、二象限角B ．第二、三象限角C ．第三、四象限角D ．第一、四象限角 11．如果21cos sin =-x x ，那么x x 33cos sin -的值为________． 12．化简以下各式：〔1〕)0(cos 1cos 1>-++r rr αα；〔2〕ααααcos 1cos 1cos 1cos 1-+++-〔α为第三象限角〕． 13．求证： 〔1〕αααααsin 2sin cos 1cos 1sin =+++；〔2〕1tan 1tan cos sin cos sin 2122-+=-+αααααα； 〔3〕θθθθθθcos 1sin 1)cot 1(cos )tan 1(sin +=+++； 〔4〕αααααcos 4cos 311cos sin 8sin 22--=+++． 14．假设1sin 6tan ,7sin 3tan 2=-=+θαθα，求αsin 的值．15．假设0cos sin ,0sin cos =⋅-⋅=⋅+⋅ααααy x y x ，求证：x ＝y ＝0．16．βαβαtan tan ,sin sin b a ==，且α 、β 为锐角，求证11cos 22--=b a α．拓展练习1．b =+=+αααααcot tan ,cos sin ，那么〔 〕．A ．1)1(2=+a bB ．1)1(2=-a bC ．2)1(2=a bD ．2)1(2=-a b2．x x f 2cos )cos 1(=+，那么f 〔x 〕的图象是〔 〕．3．假设20π≤≤x ，且21cos sin =⋅x x ，那么xx cos 11sin 11+++的值为________．4．求使等式2tan 2cos 12sin12sin1θθθθ+=-+成立的角θ 的取值范围．5．21tan -=θ，求θθθθ22cos 5cos sin 3sin 2--的值． 6．假设关于x 的方程012222=-+-a ax x 的一个根为sin α，求证它的另一个根是cos α 或－cos α．7．αααsin 2sin cos =-，求证：αααcos 2sin cos =+．8．：x 2sin 、tan x 、x 2cos 成等差数列，求证tan x 、cot x 、x 2cos 10成等比数列．参考答案根底练习1．B ． 2．C 3．B 4．C 5．由31cos =α，α为第一象限角可得322cos 1sin 2=-=αα，22cos sin tan ==ααα，42tan 1cot ==αα． 6．∵ 1312sin -=α，∴ α 为第三象限或第四象限角．当α 为第三象限角时，135cos -=α，512tan =α；当α 为第四象限角时，135tan =α，512tan -=α．7．∵ 21tan -=α，∴ α 为第二或第四象限角，当α 为第二象限角时，55sin =α，552cos -=α，cot α＝－2；当α 为第四象限角时，55sin -=α，552cos =α，cot α＝－2．8．21sin =A ．33tan =A ．由于cos A ＞0，0＜A ＜π，故A 定为锐角． 9．23sin -=α，21cos -=α，3tan =α．10．〔1〕原式1cos πsin )sin cos cos sin (cos sin 22=+=+⋅=ααααααα． 〔2〕原式0sin sin )cos (cos sin sin =+-=---=αααααα． 〔3〕原式0sin sin )cos 1()cos (sin sin222222=-=--+=θθθθθθ．11．由解得tan α＝2．那么4sin 1sin tan 222=-=ααα，得54sin 2=α，那么51541cos 2=-=α．所求式2546)54(5112=++=． 12．〔1〕证明：左式==++=++=θθθθθθθθθtan )cos 1(cos )cos 1(sin cos 1cos sin sin 右式． 〔2〕证明：左式ααααααtan 2cos sin 1tan 2cos sin 12222-++++=αααα2222cos 2)cos sin cos (2=+=αααα2222cos 2)cos sin cos (2=+=＝＝右式． 〔3〕证明：左式：βαβαβαβα22222222cos cos cos sin cos cos )sin 1(sin +=⋅+-==+=+1sin cos sin 222βββ右式．综合练习1．∵ 51sin =α ∴ α为第一或第二象限角，又tan α＜0，∴ α 为第二象限角，于是562cos -=α，126tan -=α． 2．D ．由条件53cos =α，54sin -=α． 3．由m ＞1，cos α＞0，α 是第一或第四象限角．当α为第一象限角时，12sin 2+=m mα，于是12tan 2-=m m α；当α是第四象限角时，12sin 2+-=m m α，12tan 2--=m mα． 4．B ．原式可得｜sin6｜，又6是第四象限角，故应为－sin6．5．C ．由可得cos θ ＞0，sin θ ＜0，故θ 是第四象限角．于是tan θ ＜0，sin θ －cos θ ＜0． 6．由条件得tan α＝1，那么22sin =α，22cos =α，cot α＝1． 7．原式化为A A tan 7158tan 5-+，将34tan -=A 代入原式得，原式734)34(7158)34(5=--+-=．8．由可得23tan =α，所求式可化为1114223512342tan 51tan 4=-⨯+⨯=-+αα．9．由223tan 1tan 1+=-+A A ，可求得22tan =A ，又A A cos sin ⋅＝A A A A 22cos sin cos sin +⋅＝1tan tan 2+A A ＝12122+＝32． 10．B ．由得01sin tan 22<+-=⋅tt αα〔t ≠0〕．11．1611．由21cos sin =-x x 得41cos sin 2cos sin 22=⋅-+x x x x ∴83cos sin =⋅x x ，又1611)831(21)cos sin cos )(sin cos (sin cos sin 2233=+=⋅++-=-x x x x x x x x .12．〔1〕原式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++∈-+∈===)2ππ,2 ππ2(,sin 2)ππ,2 π2(,sin 2|sin |2sin 22k k rk k rr r ααααααk ∈Z 〔2〕原式|sin |2|sin |cos 1|sin |cos 1sin )cos 1(sin )cos 1(2222ααααααααα=++-=++-=，由于α为第三象限角，故原式αsin 2-=． 13．〔1〕左式==++=+++=ααααααααsin 2sin )cos 1(cos 22sin )cos 1()cos 1(sin 22右式．〔2〕左式=-+=-+=+-+=1tan 1tan cos sin cos sin )cos )(sin cos (sin cos)(sin 2ααααααααααα右式．〔3〕左式＝θθθθθθsin cos cos cos sin sin 22+++＝θθθθθθcos cos sin sin cos sin 2222+++＝θθcos 1sin 1+右式． 〔4〕左式=--=-+-+=++-+-=αααααααααcos 4cos 3)cos 4)(cos 3()cos 3)(cos 3(11cos cos 18cos 122右式．14．由⎩⎨⎧=-=+1sin 6tan 7sin 3tan 2θαθα解得tan α＝3．∴ 10103sin ±=α．15．由⎩⎨⎧=-=+)2(0cos sin )1(0sin cos ααααy x y x 22)2()1(+得022=+y x ∴ x ＝y ＝0得证．16．由α、β为锐角可知a ＞0、b ＞0，将两式相除可得ββααtan sin tan sin b a =．即βαcos cos ba=． 又由条件有a αβsin sin =，故)sin 1()sin 1(cos cos 22222222222a b a b a b a αββα-=-== 22222222222cos 1)cos 1(sin bb a b a b b a ααα+-=--=-=．整理得1cos )1(222-=-a b α，11cos 222--=b a α.由于α为锐角，01122≥--b a ，故11cos 22--=b a α． 拓展练习1．D ．ααααααααααααcos sin 1cos sin cos sin sin cos cos sin cot tan 22⋅=⋅+=+=+，又 ]1)cos [(sin 21cos sin 2-+=⋅αααα2．B ．令u ＝1+cos x ，那么cos x ＝u －1．2)1()(-=u u f ，0≤u ≤2，即2)1()(-=x x f ，x ∈[0，2]．3．224-.由21cos sin =⋅x x 可得2cos sin 21)cos (sin 2=+=+x x x x ，又2π0≤≤x ，∴2cos sin =+x x ， 所求式22422322cos sin cos sin 1cos sin 2-=++=+++++=x x x x x x ．4．－π＋4k π＜θ＜π＋4k π〔k ∈Z 〕．由可得02cos>θ．5．由21tan -=θ可得41cos cos 1tan 222=-=θθθ，故54cos 2=θ．原式＝θθθθθθ2222cos cos cos 5cos sin 3sin 2⋅-⋅-＝54)5tan 3tan 2(2⋅--θθ51254]5)21(3412[-=⋅---⨯=． 6．设另一个根为u ，那么由韦达定理可得⎪⎩⎪⎨⎧-=⋅=+.21sin ,sin 2a u a u αα∴21)(sin sin 2-+=u u αα，即1sin 2sin sin 222-++=u u u ααα．∴αα222cos sin 1=-=u ∴u =±cos α．故该方程的另一个根是cos α或－cos α．7．由αααsin 2sin cos =-得ααsin )12(cos +=，于是有αcos )12(-＝ααsin sin )12)(12(=+-，再变形可得证．8．∵ x 2sin 、tan x 、x 2cos 成等差数列，∴ 1cos sin tan 222=+=x x x ，∴21tan =x ，cot x ＝2，又41cos cos 1tan 222=-=x x x ，解得54cos 2=x ．于是4cot 2=x ；4215410tan 10cos 2=⨯⨯=⋅x x ，∴ x x x tan cos 10cot 22⋅=．即tan x 、cot x 、x2cos 10成等比数列．。