最新人教版高中数学必修4第一章“同角三角函数的基本关系”教案

1.2.2同角三角函数的基本关系一、教学目标：1、知识与技能(1) 使学生掌握同角三角函数的基本关系；(2)已知某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值；(3)利用同角三角函数关系式化简三角函数式；(4)利用同角三角函数关系式证明三角恒等式；（5）牢固掌握同角三角函数的三个关系式并能灵活运用于解题，提高学生分析，解决三角问题的能力；（6）灵活运用同角三角函数关系式的不同变形，提高三角恒等变形的能力，进一步树立化归思想方法；（7）掌握恒等式证明的一般方法.2、过程与方法由圆的几何性质出发,利用三角函数线,探究同一个角的不同三角函数之间的关系；学习已知一个三角函数值，求它的其余各三角函数值；利用同角三角函数关系式化简三角函数式；利用同角三角函数关系式证明三角恒等式等.通过例题讲解，总结方法.通过做练习,巩固所学知识.3、情态与价值通过本节的学习，牢固掌握同角三角函数的三个关系式并能灵活运用于解题，提高学生分析，解决三角问题的能力；进一步树立化归思想方法和证明三角恒等式的一般方法.二、教学重、难点重点：公式1cos sin 22=+αα及αααtan cos sin =的推导及运用：（1）已知某任意角的正弦、余弦、正切值中的一个，求其余两个；（2）化简三角函数式；（3）证明简单的三角恒等式.难点: 根据角α终边所在象限求出其三角函数值；选择适当的方法证明三角恒等式.三、学法与教学用具利用三角函数线的定义, 推导同角三角函数的基本关系式: 1cos sin 22=+αα及αααtan cos sin =,并灵活应用求三角函数值,化减三角函数式,证明三角恒等式等. 教学用具:圆规、三角板、投影四、教学设想【创设情境】与初中学习锐角三角函数一样，本节课我们来研究同角三角函数之间关系，弄清同角各不同三角函数之间的联系，实现不同函数值之间的互相转化．【探究新知】 1. 探究:三角函数是以单位圆上点的坐标来定义的,你能从圆的几何性质出发,讨论一下同一个角不同三角函数之间的关系吗? 如图:以正弦线MP ,余弦线OM 和半径OP 三者的长构成直角三角形,而且1OP =.由勾股定理由221MP OM +=,因此221x y +=,即22sin cos 1αα+=.根据三角函数的定义,当()2a k k Z ππ≠+∈时,有sin tan cos ααα=.这就是说,同一个角α的正弦、余弦的平方等于1，商等于角α的正切.2. 例题讲评例6.已知3sin 5α=-,求cos ,tan αα的值. sin ,cos ,tan ααα三者知一求二,熟练掌握.3. 巩固练习23P 页第1,2,3题4.例题讲评例7.求证: cos 1sin 1sin cos x xxx +=-. 通过本例题,总结证明一个三角恒等式的方法步骤.5.巩固练习23P 页第4,5题6.学习小结 （1）同角三角函数的关系式的前提是“同角”，因此1cos sin 22≠+βα，γβαcos sin tan ≠． （2）利用平方关系时，往往要开方，因此要先根据角所在象限确定符号，即要就角所在象限进行分类讨论．五、评价设计(1) 作业：习题1.2A 组第10,13题.(2) 熟练掌握记忆同角三角函数的关系式,试将关系式变形等,得到其他几个常用的关 系式;注意三角恒等式的证明方法与步骤.〖1.2〗函数及其表示【1.2.1】函数的概念（1）函数的概念①设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何一个数x ，在集合B中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的一个函数，记作:f A B →．②函数的三要素:定义域、值域和对应法则．③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数．（2）区间的概念及表示法①设,a b 是两个实数，且a b <，满足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，记做[,]a b ；满足a x b <<的实数x 的集合叫做开区间，记做(,)a b ；满足a x b ≤<，或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别记做[,)a b ，(,]a b ；满足,,,x a xa xb x b ≥>≤<的实数x 的集合分别记做[,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞．注意：对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ，前者a 可以大于或等于b ，而后者必须a b <．（3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则：①()f x 是整式时，定义域是全体实数． ②()f x 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数． ③()f x 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1． ⑤tan y x =中，()2x k k Z ππ≠+∈．⑥零（负）指数幂的底数不能为零．⑦若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知()f x 的定义域为[,]a b ，其复合函数[()]f g x 的定义域应由不等式()a g x b ≤≤解出．⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论． ⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义．（4）求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同．求函数值域与最值的常用方法：①观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值．②配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值．③判别式法：若函数()y f x =可以化成一个系数含有y 的关于x 的二次方程2()()()0a y x b y x c y ++=，则在()0a y ≠时，由于,x y 为实数，故必须有2()4()()0b y a y c y ∆=-⋅≥，从而确定函数的值域或最值．④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值．⑤换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题．⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值．⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值．⑧函数的单调性法．。

环节三 同角三角函数的基本关系【新知探究】1．发现规律问题 1 诱导公式一表明，终边相同的角的同一三角函数值相等．而三个三角函数值都是由角的终边与单位圆的交点坐标唯一确定的，所以它们之间一定有内在联系．那么，终边相同的角的三个三角函数之间有什么关系呢？答案：如图1，设P （x ，y ）是角α的终边与单位圆的交点．过P 作x 轴的垂线，交x 轴于M ，则△OMP 是直角三角形，而且OP ＝1.由勾股定理OM ²＋MP ²＝1．因此x ²＋y ²＝1。

即同一个角的三个三角函数之间的关系：sin 2α+cos 2α=1 ．并且当角α的终边与坐标轴重合时，该公式也成立． 根据三角函数的定义，有：sin tan cos ααα=，2ππ+≠k α，k ∈Z ． 即同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角α的正切．追问 从方程的角度观察同角三角函数关系，你能发现它有什么作用？答案：因为有两个方程，三个未知数sin α，cos α，tan α，所以已知其中一个可以求出另外两个，简称“知一求二”．2．应用规律例1已知sin α=－53，求cos α，tan α的值． 答案：因为sin α＜0，sin α≠－1，所以α是第三或第四象限角．由sin 2α+cos 2α=1得cos 2α=1－sin 2α=1－2316()525-=； 如果α是第三象限角，那么cos α＜0．于是cos α=164255-=-， 从而sin 353tan ()()cos 544ααα==-⨯-=； 如果α是第四象限角，那么cos α>0．于是cos α=164255=， 从而sin 353tan ()cos 544ααα==-⨯=-． 图1追问 你能对“例1”这种题型总结出它的解题步骤吗？答案：解题步骤如下：第一步，先根据条件判断角所在的象限；第二步，分类讨论确定其中一个三角函数值的符号；第三步，利用基本关系求出其他的三角函数值．例2求证：xx x x cos sin 1sin 1cos +=-． 答案：证法一：由cos x ≠0，知sin x ≠－1，所以1+sin x ≠0，于是左边=22cos (1sin )cos (1sin )cos (1sin )1sin (1sin )(1sin )1sin cos cos x x x x x x x x x x x x++++===-+-=右边． 所以，原式成立．证法二：因为(1－sin x )(1+sin x )=1－sin 2x =cos 2x =cos x cos x ，且1－sin x ≠0，cos x ≠0，所以cos 1sin 1sin cos x x x x +=-． 3．探究延伸问题 2 总结上述研究过程，你能说说我们是从哪些角度入手发现三角函数性质的？你认为还可以从哪些方面入手研究三角函数的性质？答案：借助单位圆，从三角函数的定义出发，我们从三角函数值的符号规律、三角函数的取值规律（相等）入手发现了诱导公式一和同角三角函数的基本关系．自然地，我们还可以进一步研究三角函数取值互为相反数等其他关系的规律．【归纳小结】问题3回顾本单元学习内容，并回答下面问题：（1）本单元知识发生发展过程的基本脉络是怎样的？在上一节的基础上进一步完善本单元的知识结构图？（2）我们是如何发现诱导公式一和同角三角函数的基本关系的？在发现这些性质的过程中，有哪些值得总结的思想方法或经验？答案：（1）基本脉络是：现实背景—获得研究对象—分析对应关系的本质—下定义—研究性质；本单元的知识结构图：（2）三角函数的定义是借助于单位圆来定义的，因此其性质必然与单位圆的几何性质有关，又因为三角函数是一个背景下同时得到三个概念，所以，它们之间一定有某种内在的联系，在此基础上，发现了诱导公式一和同角三角函数的基本关系．。

同角三角函数的基本关系教学设计一、引言同角三角函数是初中数学中的重要内容，也是高中数学和大学数学的基础。

本文将介绍同角三角函数的基本关系教学设计。

二、教学目标1. 理解同角三角函数的定义及其意义；2. 掌握正弦、余弦、正切、余切四种同角三角函数的基本关系；3. 能够运用同角三角函数解决实际问题。

三、教学过程1. 同角三角函数的定义及其意义1.1 定义：对于任意一个锐角∠A，其正弦值sinA等于∠A所在直角三角形中对边与斜边之比，余弦值cosA等于邻边与斜边之比，正切值tanA等于对边与邻边之比，余切值cotA等于邻边与对边之比。

1.2 意义：同一锐角所对应的四个函数值互相依赖，其中一个确定时其他三个也随之确定。

因此，在求解某些几何问题时可以通过已知一个函数值来求出其他函数值。

2. 正弦、余弦、正切、余切四种同角三角函数的基本关系2.1 正弦和余弦：sin²A + cos²A = 1证明：根据勾股定理可得sin²A + cos²A = 1 - sin²A，即sin²A + sin²A = 1，故sin²A + cos²A = 1。

2.2 正切和余切：tan A × cot A = 1证明：tan A × cot A = (sin A / cos A) × (cos A / sin A) = 1。

2.3 正弦和余切：sin A × cot A = cos A证明：sin A × cot A = sin A × (cos A / sin A) = cos A。

2.4 余弦和正切：cos A × tan A = sin A证明：cos A × tan A = cos A × (sin A / cos A) = sin A。

3. 运用同角三角函数解决实际问题3.1 求解直角三角形的边长对于一个已知锐角∠A及其对边a或邻边b，可以通过正弦、余弦、正切、余切四种函数求出其他两个未知量。

《同角三角函数的基本关系式》说课稿尊敬的各位评委、老师：大家好！今天我说课的内容是《同角三角函数的基本关系式》。

下面我将从教材分析、学情分析、教学目标、教学重难点、教法与学法、教学过程以及教学反思这几个方面来展开我的说课。

一、教材分析本节课选自人教版高中数学必修 4 第一章第三节，同角三角函数的基本关系式是三角函数中的重要内容，它是三角函数恒等变形的基础，也是解决三角函数问题的重要工具。

通过本节课的学习，学生将进一步理解三角函数的定义，掌握三角函数之间的内在联系，为后续学习三角函数的化简、求值以及证明等内容奠定基础。

二、学情分析在学习本节课之前，学生已经掌握了任意角的三角函数的定义，具备了一定的函数知识和代数运算能力。

但对于三角函数之间的关系，学生还缺乏系统的认识和理解。

此外，由于三角函数的概念较为抽象，学生在学习过程中可能会遇到一些困难，需要教师通过引导和启发，帮助学生逐步掌握。

三、教学目标1、知识与技能目标（1）理解同角三角函数的基本关系式：平方关系和商数关系。

（2）能够运用基本关系式进行三角函数的化简、求值和证明。

2、过程与方法目标（1）通过对关系式的推导和证明，培养学生的逻辑推理能力和数学思维能力。

（2）通过例题和练习，让学生体会从特殊到一般、从具体到抽象的数学研究方法。

3、情感态度与价值观目标（1）激发学生学习数学的兴趣，培养学生勇于探索、敢于创新的精神。

（2）通过合作学习，培养学生的团队合作意识和交流能力。

四、教学重难点1、教学重点同角三角函数的基本关系式及其应用。

2、教学难点（1）关系式的推导和证明。

（2）灵活运用关系式解决三角函数的化简、求值和证明问题。

五、教法与学法1、教法（1）讲授法：讲解同角三角函数的基本关系式及其推导过程，使学生掌握基本概念和方法。

（2）启发式教学法：通过设置问题，引导学生思考和探索，培养学生的思维能力。

（3）练习法：通过例题和练习，让学生巩固所学知识，提高应用能力。

第一章 三角函数任意角的三角函数同角三角函数的基本关系教学目标1.掌握三种基本关系式之间的联系;2.熟练掌握已知一个角的三角函数值求其他三角函数值的方法;3.牢固掌握同角三角函数的关系式,并能灵活运用于解题,提高分析、解决三角函数的思维能力;4.灵活运用同角三角函数关系式的不同变形,提高三角恒等变形的能力. 教学重难点 重点：同角三角函数基本关系式：22sin sin cos 1,tan cos ααααα+==的运用； 难点：三角函数值的符号的确定，同角三角函数的基本关系式的变式运用. 教学设计一、自主学习问题1:任意角的三角函数是怎样定义的?问题2:sinα,cosα,tanα之间有什么关系?这个关系对于任意角都成立吗?问题3:设P(x,y)是角α的终边与单位圆的交点,x 和y 之间有什么关系?sinα和cosα之间有什么关系?这个关系对于任意角都成立吗?二、自主探究同角三角函数的基本关系式:1.平方关系:2.商的关系:同角三角函数的基本关系式的变形:三、合作探究、典例精析【例1】已知sinα=13,并且α是第二象限角,求cosα,tanα.【例2】已知sinα=-35,求cosα,tanα的值【例3】已知cosα=-817,求sinα,tanα的值.【例4】已知tanα=2,求下列各式的值:(1)sinα+cosαsinα-cosα;(2)sinαcosαsin 2α-cos 2α;(3)sinαcosα.【例5】求证:cosx 1-sinx =1+sinx cosx. 四、课堂练习、巩固基础1.(1)已知sinα=1213,并且α是第二象限角,求cosα,tanα.(2)已知cosα=-45,求sinα,tanα.2.已知tanα=5,求下列各式的值.(1)5sinα-3cosα7sinα+9cosα;(2)cos 2α4sin 2α+2sinαcosα-3; (3)2sin 2α-3cosαsinα+5cos 2α.五、课堂小结1.通过观察、归纳,发现同角三角函数的基本关系.2.同角三角函数关系的基本关系的应用.3.应用同角三角函数的基本关系式的基本关系的变形解决计算和证明问题.六、达标检测+cos 22022等于( )D.不能确定 2.已知sinα=-34,α是第四象限角,则tanα的值为( )A.3√77B.√74 3√77 √743.已知tanα=4,求(1)sinα-2cosα2sinα+5cosα;(2)1sin 2α+2sinαcosα.4.已知tanα=√3,π<α<3π2,求cosα-sinα的值.5.已知tanα=-34,求sinα,cosα的值.。

第11讲同角三角函数基本关系式与诱导公式<■概述理解同角三角函数的基本关系式：sin2x+ cos2x= 1, 沁二tan x；应用诱导公教学重点C0S X式，重点是函数名称”与正负号”的正确判断I I理解同角三角函数的基本关系式：sin2x+ cos2x= 1, 沁二tan x；应用诱导公教学难点C0s x式，重点是函数名称”与正负号”的正确判断!■■■■■■ ■■■■■■■【教学建议】本节课是在学生掌握了任意角的三角函数的定义单位圆及三角函数线，三角函数值在各象限的符号等知识点的基础上进行的•同角三角函数的基本关系式是三角函数的模块的重点之一也是历年高考考查的热点，为三角函数的求值、关系式的化简、恒等式的证明等提供了知识基础，同时也初步向学生渗透三角函数与代数结合辩证分析的基本思想和方法•【知识导图】1—1 求値问题■教学过程一、导入［考情展望］1•利用同角三角函数的基本关系求三角函数值•2•借助诱导公式化简三角函数式，进而求三角函数值、知识讲解知识点1 •同角三角函数关系1 .平方关系：Sin2a+ COS2a= 1sin a n2.商数关系：tan a= COS—(a亏+ k n k€ Z) cos a 2知识点2诱导公式［方法技巧］诱导公式记忆口诀对于角k n±a^ k^ Z)的三角函数记忆口诀奇变偶不变，符号看象限”奇变偶不变”是指当k为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k为偶数时，函数名不变” •符号看象限”是指在a的三角函数值前面加上当a 为锐角时，原函数值的符号”.二、例题精析例题1UKC0S-^-【题干】 的值为( )诟 _ 1 V3 1A. —B. - C •— D.-【答案】D 【解析】化简=' ■ -=■'=例题234_ ■ ■ 5 5C .【答案】 【解析】是角终边上的一点,-叹｝=5i —-故选A .【题干】已知点'：是角汝边上的一点，则s )就尺-cr)=.()A .B .例题3【答案】D 【解析】si™ 57J 心 竝，故选.例题 4【题干】化简 "=()A . sin 2+cos2B . sin 2-cos2C . cos2-si n2D . 土(cos2-si n2)【答案】A【解析】根据诱导公式，化简/l--2—2}=十2J ［歸址。

数学《同角三角函数的基本关系》教案教案：同角三角函数的基本关系一、教学目标：1.理解同角三角函数的概念及意义。

2.掌握正弦、余弦和正切函数之间的基本关系。

3.能够在给定角度范围内计算同角三角函数的值。

二、教学重点与难点：1.理解同角三角函数的概念及意义。

2.掌握正弦、余弦和正切函数之间的基本关系。

三、教学准备：1.教材、课件、黑板、粉笔。

2.学生课前复习笔记。

四、教学过程：1.引入（10分钟）教师可通过提问的方式引导学生复习和回忆上节课所学的三角函数概念及性质，例如：“什么是三角函数？它们有什么特点？”2.概念讲解（10分钟）教师介绍同角三角函数的概念和意义，同角三角函数是以角度的大小和方向为自变量，以比值为因变量的一类函数。

其中，正弦函数、余弦函数和正切函数是最常用和基础的三角函数。

通过图示的方式向学生展示正弦函数、余弦函数和正切函数的形象及它们之间的关系。

3.基本关系的推导（15分钟）3.1正弦函数与余弦函数的基本关系：教师指导学生通过绘制各象限内角度相同的锐角三角形，并利用其定义推导出正弦函数和余弦函数的基本关系：sin^2θ + cos^2θ = 13.2正切函数与正弦函数、余弦函数的基本关系：教师指导学生通过绘制直角三角形，利用其定义推导出正切函数、正弦函数和余弦函数的基本关系：tanθ = sinθ / cosθ。

4.同角三角函数的计算及性质（25分钟）4.1计算角度对应的三角函数值：教师引导学生通过练习，掌握计算给定角度对应的正弦、余弦和正切函数值的方法和技巧。

4.2使用同角三角函数的性质：教师讲解同角三角函数的周期性和奇偶性，并指导学生根据这些性质简化计算，例如，sin(180° + θ) = -sinθ，cos(π + θ) = -cosθ，等等。

5.练习与巩固（20分钟）教师提供一系列基础练习题，让学生在课堂上进行计算和解答，以巩固所学的同角三角函数的基本关系和计算方法。

同角三角函数基本关系式说课稿同角三角函数基本关系式这一节课应该怎么教呢，说课稿如何写?下面是为大家收集的关于同角三角函数基本关系式说课稿，欢迎大家阅读!一、教学背景《同角三角函数基本关系式》是人教版高中数学必修第四册第一章第二节中的内容。

本节课的内容在教材中有着承上启下的作用，是在学习了任意角和弧度，并了解正弦、余弦、正切的基本概念之后进行教学的，同时同角三角函数的基本关系也为之后学习两角和差公式奠定了基础，起着衔接作用。

运用同角三角函数关系，能够更好的解决有关三角函数中求同角的其他三角函数值使解题更方便。

学生在获得三角函数定义的过程中已经充分认识到了借助单位圆、利用数形结合思想是研究三角函数的重要工具。

本节课内容中所体现的数学思想与方法在整个中学数学学习中起重要作用。

高中学生已经具备了初等代数、初等几何的相关知识，以及一定的抽象思维能力和逻辑推理能力。

学生已经比较熟练的掌握了三角函数定义的两种推导方法，从方法上看，学生已经对数形结合，猜想证明有所了解。

从学习情感方面看，大部分学生愿意主动学习。

从能力上看，学生主动学习能力、探究能力较弱。

因而通过本节课的学习，学生能较好地培养学生的思维能力、推理能力、探究能力及创新意识。

根据新课标的要求，以及对教材和学情的分析，我确立了如下三维教学目标：1、知识与技能目标：掌握三种基本关系式之间的联系，熟练掌握已知一个角的三角函数值求其它三角函数值的方法。

2、过程与方法目标：牢固掌握同角三角函数的八个关系式，并能灵活运用于解题，提高学生分析、解决三角的思维能力，能灵活运用同角三角函数关系式的不同变形，提高三角恒等变形的能力。

3、情感与态度目标：通过用数学知识解决实际问题，让学生体会数学与自然及人类社会的密切联系，激发学生学习数学的兴趣，增强学生学习数学的信心。

根据本节课的地位和作用以及新课程标准的具体要求，确定本节课的重点为：同角三角函数基本关系式sin2α+cos2α=1;tanα=sinα/cosα的运用。