初中数学 存在性问题 专题强化练习

中考数学各类计算题型专练二次函数特殊三角形存在性问题（等腰三角形、直角三角形）【一】如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c 经过A（－1,0）、B（3, 0）、C（0 ,3）三点，直线l是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P 的坐标；（3）在直线L上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形，若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．【二】如图，抛物线y=ax2+bx+c 经过点A（-3，0），B（1.0 ），C（0，-3 ）．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P 为第三象限内抛物线上的一点，设△PAC 的面积为S，求S 的最大值并求出此时点P 的坐标；（3）设抛物线的顶点为D，DE⊥x轴于点E，在y 轴上是否存在点M，使得△ADM是直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【三】在平面直角坐标系中,现将一块等腰直角三角板放在第一象限,斜靠在两坐标轴上,且点A（0,2）,点C （1,0）,如图所示,抛物线y=ax2−ax−2经过点B.（1）求点B的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）在抛物线上是否还存在点P（点B除外），使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形?若存在，求所有点P的坐标；若不存在，请说明理由。

【四】如图，抛物线y=ax 2-5ax+4经过△ABC的三个顶点，已知BC∥x轴，点A在x 轴上，点C 在y 轴上，且AC=BC．（1）求抛物线的对称轴；（2）写出A，B，C 三点的坐标并求抛物线的解析式；（3）探究：若点P 是抛物线对称轴上且在x 轴下方的动点，是否存在△PAB是等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点P 坐标；不存在，请说明理由．【五】如图，已知二次函数y=ax2+bx+3的图象交x轴于点A（1，0），B（3，0），交y轴于点C。

（1）求这个二次函数的表达式；（2）点P是直线BC下方抛物线上的一动点，求△BCP面积的最大值；（3）直线x=m分别交直线BC和抛物线于点M，N，当△BMN是等腰三角形时，直接写出m的值【六】如图，已知A（﹣2，0），B（4，0），抛物线y=ax2+bx﹣1过A、B两点，并与过A点的直线y= -1/2x ﹣1交于点C．（1）求抛物线解析式及对称轴；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使四边形ACPO的周长最小？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；（3）点M为y轴右侧抛物线上一点，过点M作直线AC的垂线，垂足为N．问：是否存在这样的点N，使以点M、N、C为顶点的三角形与△AOC相似，若存在，求出点N的坐标，若不存在，请说明理由．【七】如图，已知抛物线于x轴交于A（－1,0）、B （3,0）两点，与y轴交于点C（0,3）。

学生做题前请先回答以下问题问题1：相似三角形存在性问题的处理思路是：①从_______入手，分析定点、动点，找固定的边和角，确定三角形的形状；找相等的角当作__________；②分析形成因素，考虑相似三角形的________，比如若有一组角相等，则只需_____________，依据判定确定__________，列出对应的关系式；③画图求解，围绕对应的关系式，根据图形特征，表达相关线段长，用关系式列方程；④结果验证，回归点的__________进行验证；____________，结合图形进行验证．问题2：在“角度的存在性“专题中，有“若，则”这个结论，尝试推导这个结论．问题3：对比相似，全等，角度的存在性处理思路，在整体分析思路上有什么相同点？问题4：对比相似，全等，角度的存在性处理思路，在分析定点，动点之后各自分析的动作有什么不同？问题5：结合前面所学的存在性问题，思考对任意图形的存在性问题如何处理？存在性问题专项训练（一）一、单选题(共10道，每道10分)1.如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A，B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是( )A.6B.7C.8D.92.已知△ABC的三条边长分别为6，8，12，过△ABC任一顶点画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画( )A.6条B.7条C.8条D.9条3.如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=7，AD=3，BC=4，P是AB边上一点，若△PCD是以点P为直角顶点的直角三角形，则AP的长为( )A.1或6B.3或4C.或1或6D.或3或44.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，BC=2．P是线段BC上一动点，Q是线段AC上一动点，且始终满足．当△CPQ是直角三角形时，CP的长为( )A.0，2B.C. D.5.如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点处．当为直角三角形时，BE的长为( )A. B.C. D.6.平面直角坐标系中，已知点，点P是反比例函数图象上的一个动点，过点P作PQ⊥x轴，垂足为Q，若以点O，P，Q为顶点的三角形与△OAB 相似，则相应的点P共有( )A.1个B.2个C.3个D.4个7.将三角形纸片ABC按如图所示的方式折叠，使点B落在AC边上的点处，折痕交AB于点E，交BC于点F．已知AB=AC=6，BC=8，若以点，F，C为顶点的三角形与△ABC相似，则BF的长为( )A. B.4C. D.8.如图，在△ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，D为AB的中点．点P在BC边上以3cm/s的速度由点B向点C运动；同时点Q在AC边上以相同的速度由点C向点A运动，其中一个点到达终点时另一个点也随之停止运动．当△BPD与△CQP全等时，点P运动的时间为( )A. B.C. D.9.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=16cm，AD为BC边上的高，动点P从点A出发，沿A→D方向以cm/s的速度向点D运动．设△ABP的面积为，矩形PDFE的面积为，运动时间为t秒，则t=( )秒时，．A. B.6C. D.310.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，P是BC边上的动点，设BP=x，若能在AC 边上找到一点Q，使∠BQP=90°，则x的取值范围是( )A. B.C. D.。

学生做题前请先回答以下问题问题1：菱形存在性问题通常转化成什么问题来处理？利用的是菱形的哪个判定？问题2：正方形的存在性问题通常转化为什么问题来处理？利用的是正方形的哪个判定？问题3：对比平行四边形存在性，菱形的存在性以及正方形的存在性问题处理思路，总结处理存在性问题的一般方法．存在性问题专项训练（二）一、单选题(共6道，每道16分)1.如图，已知抛物线经过点A（-2，0）及原点O，点B在抛物线上，点C在抛物线的对称轴上，若以点A，O，B，C为顶点的四边形是平行四边形，则点B的坐标为( )A. B.C. D.2.如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴为直线．点P从点C出发沿y轴负方向运动，点Q从点B出发沿x轴正方向运动，P，Q两点同时出发，速度均为每秒1个单位长度，过点P作x轴的平行线交抛物线于点E．设运动的时间为t（秒），若以P，A，Q，E为顶点的四边形是平行四边形，则t的值为( )A. B.C. D.3.如图，已知抛物线经过原点O和x轴上的一点A，抛物线的顶点为E，对称轴与x轴交于点D．N是坐标平面内任一点，M是对称轴上的一点，使得以N，A，E，M为顶点的四边形是菱形，则点N的坐标为( )A.B.C.D.4.如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点P．M为线段OA上一动点，过点M作MN⊥PM，交AP于点N．Q为坐标平面内一点，若以A，M，N，Q为顶点的四边形为菱形，则点M的横坐标为( )A.8B.C.6D.5.如图，抛物线交x轴于A，C两点（点A在点C的右侧），交y轴于点B．点D的坐标为（-1，0），若点P是直线AB上的动点，点Q是坐标平面内一点，则当以A，D，P，Q为顶点的四边形是正方形时，点Q的坐标为( )A.（-1，4）或（1，2）B.（-1，4），（1，2）或（5，-2）C.（3，4）或（1，-2）D.（2，2）或（-1，-2）6.如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A(-1，0)，B(4，0)．点M，N在x轴上，且点N在点M右侧，MN=2．以MN为直角边向上作等腰直角三角形CMN，∠CMN=90°．设点M的横坐标为m，将线段CN绕点N逆时针旋转90°后，得到对应线段DN．E是抛物线对称轴上一点，F是坐标平面内一点，若以D，N，E，F为顶点的四边形是以DN为边的正方形，则m的值为( )A. B.C. D.。

存在性问题专项训练（六）
一、单选题(共3道，每道40分)
1.如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点P．M为线段OA上一动点，过点M作MN⊥PM，交AP于点N．Q为坐标平面内一点，若以A，M，N，Q为顶点的四边形为菱形，则点M的横坐标为( )
A.8
B.
C.6
D.
2.如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，A（1，0），
B（0，2），抛物线经过点C，与y轴相交于点D．
（1）抛物线的解析式为( )
A. B.
C. D.
3.（上接第2题）（2）如图，作出直线CD，若点E在y轴上，且位于点D的上方，P为直线CD上一点，Q为抛物线上一点，则使得以D，E，P，Q为顶点的四边形是菱形的点Q的坐标为( )
A. B.
C. D.
学生做题后建议通过以下问题总结反思
问题1：第3题中谁是定点，谁是动点？
问题2：结合第3题具体分析如何确定分类标准．
问题3：由上一套两定两动的灵性存在性问题结合第3题分析，将菱形存在性转化为等腰三角形的存在性之后，什么情形考虑“两圆一线”？什么情形考虑夹角？。