有理数与数轴-学生版

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同步课程˙有理数和数轴

一、正数与负数

二、有理数

三、数轴

四、相反数

一、正负数的概念

（1）正数：像3、1、0.33等的数，叫做正数；

在小学学过的数，除0外都是正数，正数都大于0．

（2）负数：像1．3.12．175．2008等在正数前加上“－”（读作负）号的数，叫做负数．

负数都小于0；

0既不是正数，也不是负数；

一个数字前面的“＋”，“－”号叫做它的符号； 有理数和数轴

知识回顾

知识讲解

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正数前面的“＋”可以省略，注意3与3表示是同一个正数．

（3）用正．负数表示相反意义的量：

如果正数表示某种意义，那么负数表示它的相反的意义，反之亦然．

譬如：用正数表示向南，那么向北3km可以用负数表示为3km．

“相反意义的量”包括两个方面的含意：一是相反意义；二是相反意义的基础上要有量．

二、有理数的分类

有理数: 整数与分数统称有理数.

()正整数自然数整数零有理数按定义分类负整数正分数分数负分数

()()正整数正有理数正分数有理数按符号分类零零既不是正数,也不是负数负整数负有理数负分数

注：⑴正数和零统称为非负数；

⑵负数和零统称为非正数；

⑶正整数和零统称为非负整数；

⑷负整数和零统称为非正整数.

三、数轴

数轴：规定了原点．正方向和单位长度的直线.

注意：⑴原点．正方向．单位长度称为数轴的三要素，三者缺一不可.

⑵单位长度和长度单位是两个不同的概念，前者指所取度量单位的长度，后者指所取度量单位的名称，即单位长度是一条人为规定的代表“1’的线段，这条线段可长可短，按实际情况来规定，同一数轴上的单位长度一旦确定，则不能再改变.

⑶数轴的画法及常见错误分析

①画一条水平的直线；

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②在这条直线上适当位置取一实心点作为原点：

③确定向右的方向为正方向，用箭头表示；

④选取适当的长度作单位长度，用细短线画出，并对应标注各数，同时要注意同一数轴的单位长度要一致.

数轴画法的常见错误举例：

错例 原因

无原点

没有正方向

单位长度不统一

没有单位长度

有理数与数轴的关系：

一切有理数都可以用数轴上的点表示出来.

在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大.

正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数.

注意：数轴上的点不都代表有理数，如.

利用数轴比较有理数的大小：

数轴上右边的数总大于左边的数.因此，正数总大于零，负数总小于零，正数大于负数.

四、相反数

相反数：只有符号不同的两个数互称为相反数．特别地，0的相反数是0.

相反数的性质： 231202340

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⑴代数意义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，特别地，0的相反数是0．

相反数必须成对出现，不能单独存在．

例如5和5互为相反数，或者说5是5的相反数，5是5 的相反数，

而单独的一个数不能说是相反数．

另外，定义中的“只有”指除符号以外，两个数完全相同，注意应与“只要符号不同”区分开．

例如3与3互为相反数，而3与2虽然符号不同，但它们不是相反数．

⑵几何意义：一对相反数在数轴上应分别位于原点两侧，并且到原点的距离相等．

这两点是关于原点对称的．

⑶求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“—”号即可．

一般地，数a的相反数是a；这里以a表示任意一个数，可以为正数．0．负数，也可以是任意一个代数式．注意a不一定是负数．

当0a时，0a；当0a时，0a；当0a时，0a.

⑷互为相反数的两个数的和为零，即若a与b互为相反数，则0ab，

反之，若0ab，则a与b互为相反数．

⑸多重符号的化简：一个正数前面不管有多少个“＋”号，都可以全部去掉；

一个正数前面有偶数个“－”号，也可以把“－”号全部去掉；

一个正数前面有奇数个“－”号，则化简后只保留一个“－”号，既“奇负偶正”（其中“奇偶”是指正数前面的“－”号的个数的奇偶数，“负正”是指化简的最后结果的符号）.

一 正负数的概念

【例1】杭州北高峰高于海平面536米记作+536米，那么吐鲁番艾丁湖湖底低于海平面150米记作（ ）

A．150 B．-150 C．150米 D．-150米

【变式练习】飞机上升了-80米，实际上是（ ）

A．上升80米 B．下降-80米

C．先上升80米，再下降80米 D．下降80米 同步练习

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【例2】下列语句：①不带“-”号的数都是正数；②带“-”号的数一定是负数；③不存在既不是正数也不是负数的数；④0℃表示没有温度．其中正确的有（ ）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

【例3】生活中常有用正负数表示范围的情形，例如某种药品的说明书上标明保存温度是（20±2）℃，由此可知在 ___ 范围内保存该药品才合适．

【例4】台风“桑美”给我县的电力造成严重的影响，一突击队乘汽车抢修供电线路，南记为正，则北记为负．某天自A地出发，所走路程（单位：千米）为：+8，-6，-2，+4，-5，+2

问：①最后他们是否回到出发点？若没有，则在A地的什么位置？

答：他们 ____（填：有或没有）回到出发点，在A地的正 ______方向，距A地 ____千米．

②若每千米耗油1.5升，则今天共耗油 _______升.

二 有理数的分类

【例5】下列各数中：+3、2.1 、23 、9、57 、(8) 、3 ，负有理数有（ ）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

【例6】下列四种说法：①0是整数；②0是自然数；③0是偶数；④0是非负数．其中正确的有（ ）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

【例7】下列说法正确的是（ ）

A．非负有理数就是正有理数

B．零表示没有，是有理数

C．正整数和负整数统称为整数

D．整数和分数统称为有理数

【例8】既是正数，又是分数的数是（ ）

A．+2 B．0 C．3.5 D．312

【例9】最小的正整数是 _____，最大的负整数是 _______.

【变式练习】有理数中，是整数而不是正数的数是 _______，是负数而不是分数的是 ________．

【变式练习】请写出三个既是负数，又是分数的有理数：__________

三 数轴

【例10】数轴上有一个点从原点开始向左移动3个长度单位，再向右移动5个长度单位后，它所表示的有理数是（ ）

A．3 B．5 C．-3 D．2

【例11】与在数轴上表示数2的点距离等于3个单位的点所表示的数是（ ）

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A．-1 B．5 C．3或3 D．-1或5

【例12】有理数a．b在数轴上的位置如图所示，则下列各式正确的是（ ）

A．a＞b B．a＞b C．a＜b D．a＜b

【例13】在数轴上，-2与-5之间的有理数有（ ）个．

A．无数个 B．4个 C．3个 D．2个

【例14】老师在黑板上画数轴，取了原点O后，用一个铁丝做的圆环作为工具，以圆环的直径在数轴上画出单位长1，再将圆环拉直成一线段，在数轴的正方向上以此线段长自原点O起截得A点，则A点表示的数是 __________．

【例15】已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面．

（1）若折叠后，数1表示的点与数1表示的点重合，则此时数-2表示的点与数 表示的点重合；

（2）若折叠后，数3表示的点与数1表示的点重合，则此时数5表示的点与数 表示的点重合；若这样折叠后，数轴上有A、B两点也重合，且A、B两点之间的距离为9（A在B的左侧），则A点表示的数为 ______，B点表示的数为______．

四 相反数

【例16】12 的相反数是（ ）

A．2 B． 12 C．-2 D．12

【例17】如果a表示有理数，那么下列说法中正确的是（ ）

A．+a和-a互为相反数

B．+a和a一定不相等

C．a一定是负数

D．a和+a一定相等

【例18】若a，b互为相反数，则下列各对数中不是互为相反数的是（ ）

A．-2a和-2b B．a+1和b+1 C．a+1和b-1 D．2a和2b ba1187876543216543210

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【例19】相反数不大于它本身的数是（ ）

A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数

【变式练习】 的相反数是它本身．

【例20】已知代数式3x+1与代数式5-2x的值互为相反数，则x=_________

【习题1】在下列选项中，具有相反意义的量是（ ）

A．胜二局与负三局

B．盈利3万元与支出3万元

C．气温升高3℃与气温为-3℃

D．向东行20米和向南行20米

【习题2】在有理数中，不存在这样的一个数a，它（ ）

A．既是自然数又是整数

B．既是分数又是负数

C．既是非正的数又是非负的数

D．既是正数又是负数 课后练习