小学奥数基础教程(五年级)
第1讲数字迷(一)
第2讲数字谜(二)
第3讲定义新运算(一)
第4讲定义新运算(二)
第5讲数的整除性(一)
第6讲数的整除性(二)
第7讲奇偶性(一)
第8讲奇偶性(二)
第9讲奇偶性(三)
第10讲质数与合数
第11讲分解质因数
第12讲最大公约数与最小公倍数(一)第13讲最大公约数与最小公倍数(二)第14讲余数问题
第15讲孙子问题与逐步约束法第16讲巧算24
第17讲位置原则
第18讲最大最小
第19讲图形的分割与拼接第20讲多边形的面积
第21讲用等量代换求面积第22讲用割补法求面积
第23讲列方程解应用题
第24讲行程问题(一)
第25讲行程问题(二)
第26讲行程问题(三)
第27讲逻辑问题(一)
第28讲逻辑问题(二)
第29讲抽屉原理(一)
第30讲抽屉原理(二)
第1讲数字谜(一)
数字谜的内容在三年级和四年级都讲过, 同学们已经掌握了不少方法。例如用猜想、拼凑、排除、 枚举等方法解题。数字谜涉及的知识多,思考性强,所以很能锻炼我们的思维。
这两讲除了复习巩固学过的知识外,还要讲述数字谜的代数解法及小数的除法竖式问题。 例1把+ , -,X,宁四个运算符号,分别填入下面等式的。内,使等式成立(每个运算符号只准使 用一次):(501307)0( 1709) =12。
分析与解:因为运算结果是整数,在四则运算中只有除法运算可能出现分数,所以应首先确定 “十”
的位置。
当“宁”在第一个O 内时,因为除数是13,要想得到整数,只有第二个括号内是13的倍数, 此时只有下面一种填法,不合题意。(5- 13-7 )X ( 17+9)。
当“宁”在第二或第四个O 内时,运算结果不可能是整数。 当“十”在第三个O 内时,可得下面的填法:(5+13X 7)-( 17-9) =12。
例2将1?9这九个数字分别填入下式中的□中,使等式成立:□ 口口乂 □口 =□□*□□ =5568。
解:将5568质因数分解为5568=26 X 3X 29。由此容易知道,将5568分解为两个两位数的乘积 有
两种:58 X 96和64 X 87,分解为一个两位数与一个三位数的乘积有六种:
12X 464, 16 X 348, 24 X 232,
29X 192, 32 X 174, 48 X 116。
显然,符合题意的只有下面一种填法:174X 32=58X 96=556& 例3在443后面添上一个三位数,使得到的六位数能被
573整除。
分析与解:先用443000除以573,通过所得的余数,可以求出应添的三位数。由 443000-
573=773……71 推知,443000+ (573-71 ) =443502 一定能被 573 整除,所以应添 502 例4已知六位数33□口44是89的倍数,求这个六位数。
分析与解:因为未知的数码在中间,所以我们采用两边做除法的方法求解。
先从右边做除法。由被除数的个位是 4,推知商的个位是6;由左下式知,十位相减后的差是1, 所以商的十位是9。这时,虽然89X 96=8544,但不能认为六位数中间的两个□内是 85,因为还 没有考虑前面两位数。
a 可能是6或7,所以
b 只可能是7或&
3796 或 3896。由 3796X 89=337844, 3896 X 89=346744 知,商是3796,所求六位数是337844。
例5在左下方的加法竖式中,不同的字母代表不同的数字,相同的字母代表相同的数字,请你用适 当的数
字代替字母,使加法竖式成立。
FORTY 2:9786 TEN 850 + TEN 十850 SIXTY
31486
分析与解:先看竖式的个位。由Y+N+N=Y£ Y+ 10,推知N 要么是0,要么是5。如果N=5,那么 要向上进位,由竖式的十位加法有T+E+E+仁■或T+10,等号两边的奇偶性不同,所以NM5, N=Q 此时,由竖式的十位加法 T+E+E=T 或 T+10, E 不是0就是5,但是N=0,所以E=5
竖式千位、万位的字母与加数的千位、万位上的字母不同,说明百位、千位加法都要向上进位。 因为N=0,所以I 工0,推知1=1 , 0=9,说明百位加法向千位进2。
再看竖式的百位加法。因为十位加法向百位进 1,百位加法向千位进2,且 灯0或1, 所以R+T+T+P 22,再由R, T 都不等于9知,T 只能是7或&
若T=7,则R=8, X=3,这时只剩下数字2, 4, 6没有用过,而S 只比F 大1, S , F 不可能是2, 4, 6
8 9)3 3Q
P ET
a
E 0 1
幺D 1 0
再从左边做除法。如右上式所示, 由左、右两边做除法的商,得到商是
中的数,矛盾。
若T=8,则R只能取6或7。R=6时,X=3,这时只剩下2, 4, 7,同上理由,出现矛盾;R=7时, X=4,剩下数字2, 3, 6,可取F=2, S=3, 丫=&所求竖式见上页右式。
解这类题目,往往要找准突破口,还要整体综合研究,不能想一步填一个数。这个题目是美国数学月刊上刊登的趣题,竖式中从上到下的四个词分别是40 , 10 , 10 , 60 ,而40+10+10正好是60,真是巧极了!
例6在左下方的减法算式中,每个字母代表一个数字,不同的字母代表不同的数字。请你填上适当的数字,使竖式成立。
107021070310704ABOBD EFAG
-9814-9315-921S-EFAG
838888888FFF ABCBD 分析与解:按减法竖式分析,看来比较难。同学们都知道,加、减法互为逆运算,是否可以把减法变成加法来研究呢(见右上式)?不妨试试看。
因为百位加法只能向千位进1,所以E=9, A=1, B=0b
如果个位加法不向上进位,那么由十位加法1+F=10,得F=9,与E=9矛盾,所以个位加法向上进1,由1+F+1=1Q得到F=8,这时C=7。余下的数字有2, 3, 4, 5, 6,由个位加法知,G比D 大2,所以G, D分别可取4, 2或5, 3或6, 4。所求竖式是
解这道题启发我们,如果做题时遇到麻烦,不妨根据数学的有关概念、法则、定律把原题加以变换,将不熟悉的问题变为熟悉的问题。另外,做题时要考虑解的情况,是否有多个解。
练习1
1. 在一个四位数的末尾添零后,把所得的数减去原有的四位数,差是621819,求原来的四位数。
解:621819-( 100-1 ) = 6281。
2. 在下列竖式中,不同的字母代表不同的数字,相同的字母代表相同的数字。请你用适当的数字代替
字母,使竖式成立:
(1) A B (2) A B A B
+ B C A - A C A __________________
A B C B A A C
£4 S T 3 T
+4 Q §—8 § 8
~5 4 7 3 5
(1) 由百位加法知,A=B+1再由十位加法A+C=B+10推知C=9,进而得到A=5, B=4 (见上右式)
(2) 由千位加法知B=A-1,再由个位减法知C=Q因为十位减法向百位借1,百位减法向千位借1, 所以百
位减法是(10+B-1) -A=A,
化简为9+B=2A将B=A-1代入,得A=8, B=7 (见右上式)。
3. 在下面的算式中填上括号,使得计算结果最大: 1 —2 —3 —4—5 —6 —7 —8 —9。
解:1-( 2-3- 4- 5-6 -7 -8 -9) =90720。
4. 在下面的算式中填上若干个(),使得等式成立:1-2-3-4-5-6-7-8-9=2.8
解:1-( 2-3)- 4-( 5-6-7-8)- 9=2.8。
提示’因为22 冬二而1必须在分子上,2必须在分母上,即器
卞吕、剩下的玉4, 6, 8, ■五个数填在耳中,应使吕=4只有
3X6X8 甜土* , 1X3X6X7X8 「捍址*
=7 一种填法。由沖沖9 F帶花
5. 将1?9分别填入下式的□中,使等式成立:□ □*□口=□□*□□□ =3634。
提示:3634=2X 23 X 79。46 X 79= 23 X 158= 3634。
6. 六位数391 □ □□是789的倍数,求这个六位数。提示:仿照例3。391344。
7. 已知六位数7□口888是83的倍数,求这个六位数。
提示:仿例4,商的后3位是336,商的第一位是8或9。774888。
第2讲数字谜(二)
这一讲主要讲数字谜的代数解法及小数的除法竖式问题。
例1在下面的算式中,不同的字母代表不同的数字,相同的字母代表相同的数字,求
abcde.
labcde x 3=abcde1
分析与解:这道题可以从个位开始,比较等式两边的数,逐个确定各个字母所代表的数码。现
在,我们从另一个角度来解。labcde 与abcdel 只是1所在的位置不同,设x=abcde 则算式变为
(100000+x )x 3=10x+1, 300000+3x=10x+1, 7x=299999, x=42857。
这种代数方法干净利落,比用传统方法解简洁。我们再看几个例子。
例2在□内填入适当的数字,使左下方的乘法竖式成立。 □ □□ 1 24 x 8 1 x 8 1
□ □□ 1 24 □□口 992
□ □□□□ 1 0 0 4 4
解;设被乘数为跖由唸<999知K124亍 又由81Q1QQ0Q 知Q 求竖式。
37
123 — 0因为K 是整数』所Ux = 1240右上式为所
O 1
例3左下方的除法竖式中只有一个 8,请在□内填入适当的数字,使除法竖式成立
解:竖式中除数与8的积是三位数,而与商的百位和个位的积都是四位
数,所以商为爼阵 设除数为孤由9x ?x>1000>Px>lH^f 由竖式特点知.除 总一八“上心耳川J 菲士* E 肾―」数,
Li
所以x=112,被除数为989x 112=110768右上式为所求竖式。
代数解法虽然简洁,但只适用于一些特殊情况,大多数情况还要用传统的方法。
例4在□内填入适当数字,使下页左上方的小数除法竖式成立。
分析与解:先将小数除法竖式化为我们较熟悉的整数除法竖式(见下页右上方竖式)。可以看
出,除数与商的后三位数的乘积是 1000=23x 53的倍数,即除数和商的后三位数一个是 23=8的 倍数,另一个是53=125的奇数倍,因为除数是两位数,所以除数是 8的倍数。又由竖式特点知 a=9,从而除数应是96的两位数的约数,可能的取值有 96, 48, 32, 24和16。
因为,c=5, 5与除数的乘积仍是两位数,所以除数只能是 16,进而推知b=6。因为商的后 三位数是125的奇数倍,只能是125, 375, 625和875之一,经试验只能取375。至此,已求 出除数为16,商为6.375,故被除数为6.375 x 16=102。上页右式即为所求竖式。
求解此类小数除法竖式题,应先将其化为整数除法竖式,如果被除数的末尾出现 n 个0,则 在除数和商中,一个含有因子2n (不含因子5),另一个含有因子5n (不含因子2),以此为突破 口即可求解。
例5 一个五位数被一个一位数除得到下页的竖式(1),这个五位数被另一个一位数除得到下页的竖 式
(2),求这个五位数。
□□□)□□□□□□
□ □匚二
ffiSn
□ Z □口
989 112)110760 1008 S96 1008 10CS
二 匚
二
= =
=
bDDc
nq)anno DO
□匚□
分析与解:由竖式(1)可以看出被除数为10**0 (见竖式(1)'),竖式(1)的除数为3或
9。在竖式(2)中,被除数的前两位数10不能被整数整除,故除数不是2或5,而被除数的 后两位数*0能被除数整除,所以除数是 4, 6或8。当竖式(1)的除数为3时,由竖式(1) '知,a=1或2,所以被除数为100*0或101*0,再由竖式(2)中被除数的前三位数和后两 位数分别能被除数整除,可得竖式(2)的除数为4,被除数为10020;
当竖式(1)的除数为9时,由能被9整除的数的特征,被除数的百位与十位数字之和应为 & 因为竖式(2)的除数只能是4, 6, 8,由竖式(2)知被除数的百位数为偶数,故被除数只有10080, 10260,10440和10620四种可能,最后由竖式(2)中被除数的前三位数和后两位数分别能被除 数整除,且十位数不能被除数整除,可得竖式(2)的除数为8,被除数为10440。 所以这个五位数是10020或10440。 练习2
1. 下面各算式中,相同的字母代表相同的数字,不同的字母代表不同的
数字,求岀〔1) labcd^ 3 = abcdS;
(.2) 7'^ abcxyz 二=6 X xyzabco
答案(1) 4285;( 2) 46153&蒜;(2)用原示五喙示赢 耐灌为7X (1000A+ B)= 6 X (1000B + A), 化简后得538A=461B 由于538与461互质,且A, B 均为三位数, 所以A=461, B= 538。所求六位数是461538。
2. 用代数方法求解下列竖式:
□ 8 □ 7 □□)□□ □ □□ □ □ □ □ □ □ 口 口
□ □
□ □ 0
答案(1) 124X 81=10044;( 2)
9807o 设除数是a ,根据竖式特点由8av 100, 9a > 100,推知
所以a=12o
3. 答案(1)先将竖式化为整数除法竖式如左下式:
易知f=2 , g=0;由g=0知b , d 中有一个是5,另一个是偶数而f= 2,所以b= 5,进而推知 d= 6 ;再由d= 6 , f= 2知a= 2或7,而e=3或4,所以a=7;最后求出c=5。见上页右下式。
(2)先将除法竖式化为整数除法竖式如左下式:由竖式特点知 b=c=0;因为除数与d 的乘积是1000 的倍数,d 与e 都不为0,所以d 与除数中必分别含有因子23和52,故d=8,除数是125的奇数倍, 因此e=5;又f 工0, e= 5,所以f=g=5 ;由g=5, d=8得到除数为5000- 8=625,再由625X a 是三位 数知a=1,
3. 在□内填入适当的数字,使下列小数除法竖式成立: ________ □ . □ □ □ □ □ □. □) □ □
□ □口 □ 8 □ □ □ □
□. □□) □. □
□ □ □
117684- 12= 9807。
提示:(1)设被乘数为a , 由 8a < 999, 81a > 10000,推知 123 詐 K124#
所以a=124o
(2)根据竖式特点知,商是
所以被除数为625X 1008=630000,所求竖式见右上式。
第八讲牛吃草问题 牛吃草问题概念及公式 牛吃草问题又称为消长问题或牛顿牧场,牛吃草问题的历史起源是17世纪英国伟大的科学家牛顿1642—1727)提出来的。典型牛吃草问题的条件是假设草的生长速度固定不变,不同头数的牛吃光同一片草地所需的天数各不相同,求若干头牛吃这片草地可以吃多少天。由于吃的天数不同,草又是天天在生长的,所以草的存量随牛吃的天数不断地变化。解决牛吃草问题常用到四个基本公式,分别是︰ 五大基本公式: 1) 设定一头牛一天吃草量为“1” 2)草的生长速度=草量差÷时间差; 3)原有草量=牛头数×吃的天数-草的生长速度×吃的天数;` 4)吃的天数=原有草量÷(牛头数-草的生长速度); 5)牛头数=原有草量÷吃的天数+草的生长速度。 这五个公式是解决牛吃草问题的基础。首先一般假设每头牛每天吃草量不变,设为"1",解题关键是弄清楚已知条件,进行对比分析,从而求出每日新长草的数量,再求出草地里原有草的数量,进而解答题总所求的问题。 牛吃草问题是经典的奥数题型之一,这里我先介绍一些比较浅显的牛吃草问题,后面给大家开拓一下思维,首先,先介绍一下这类问题的背景,大家看知识要点 求天数 例1、牧场上长满了牧草,牧草每天匀速生长,这片牧草可供10头牛吃20天,可供15头牛吃10天。问:这片牧草可供25头牛吃多少天? 解:假设1头牛1天吃的草的数量是1份 草每天的生长量:(200-150)÷(20-10)=5份 10×20=200份=原草量+20天的生长量原草量:200-20×5=100份或 15×10=150份=原草量+10天的生长量原草量:150-10×5=100份 100÷(25-5)=5天 答:这片牧草可供25头牛吃5天?
第三讲 找规律 例题1:判断推理,把边长为1cm 的正方形如图那样一层、两层、三层······通过摆放,拼成各种图形,你能发现其中的规律吗?看图找出规律并填写表格。 变式练习 1.把边长为1cm 的正方形纸片按如下规律拼搭: (1)那么第五个图形应该用几张正方形纸片拼成? (2)第10个图形的周长是多少厘米? 2.如图由若干个边长为5cm 的小正方形拼成,若有100层,则这个图形的周长是多少厘米? 例题2.按规律填数:0.4,0.8,1.2,( ),( ),( ) 变式练习 按规律填数:,4.0,21 ( ),145,114,( ) 例题3.如图,依次连接第一个正方形各边的中点得到第二正方形,再次连接第二个正方形各边中点得到第三个正方形,按此方法继续下去,若第一个正方形边长为1,则第n 个正方形的面积( ) ......... 变式练习: 观察图中菱形四个顶点所标的数字规律,可知数2013应标在( )A .第503个菱形的上方B .第503个菱形的下 观察图中菱形四个顶点所标的数字规律,可知数2013应标在( )
A.第503个菱形的上方 B.第503个菱形的下方 C.第504个菱形的左方 D.第504个菱形的右方 例题4.有一个数学运算符号“□”,使下列算式成立:4□8=24, 10□6=46, 6□10=34,那么:5□2=()。 变式练习: 1.有一个数学运算符号“*”,使下列算式成立:2*4=8,4*6=14,5*3=13,8*7=23,按此规定,9*3=() 2.有一个数学运算符号“@”,使下列算式成立:6@2=12,4@3=13,3@4=15,5@1=8,求8@4=() 课后作业 1..把边长为1cm的正方形如图那样一层、两层、三层······一直拼下去。那么拼成的图形的周长恰为2016厘米时,这个图形共有()层。 2.将长5厘米、宽2厘米的长方形硬纸片如图一层、二层、三层、……地排下去: (1)排到第5层,一周的长是()厘米。 (2)当周长为280厘米时,一共有()层。 3.观察下列图形:它们是按一定规律排列的,依照此规律,第9个图形共有______个
学生课程讲义 填“幻方”是同学们比较熟悉的一种数学游戏,由幻方演变出来的数阵问题,也是一类比较常见的填数问题。这里,和同学们讨论一些数阵的填法。 解答数阵问题通常用两种方法:一是待定数法,二是试验法。 待定数法就是先用字母(或符号)表示满足条件的数,通过分析、计算来确定这些字母(或符号)应具备的条件,为解答数阵问题提供方向。 试验法就是根据题中所给条件选准突破口,确定填数的可能范围。把分析推理和试验法结合起来,再由填数的可能情况,确定应填的数。 例1: 把5、6、7、8、9五个数分别填入下图的五个方格里,如图a使横行三个数的和与竖行三个数的和都是21。 先把五格方格中的数用字母A、B、C、D、E来表示,根据题意可知:A+B+C+D+E=35,A+E+B+C+E+D=21×2=42。 把两式相比较可知,E=42-35=7,即中间填7。然后再根据5+9=6+8便可把五个数填进方格,如图b。 练习: 1、把1——10各数填入“六一”的10个空格里,使在同一直线上的各数的和都是12。 2、把1——9各数填入“七一”的9个空格里,使在同一直线上的各数的和都是13。 3、将1——7七个自然数分别填入图中的圆圈里,使每条线上三个数的和相等。
例2: 将1——10这十个数填入下图小圆中,使每个大圆上六个数的和是30。 分析设中间两个圆中的数为a、b,则两个大圆的总和是1+2+3+……+10+a+b=30×2、即55+a+b=60,a+b=5。在1——10这十个数中1+4=5,2+3=5。 当a和b是1和4时,每个大圆上另外四个数分别是(2、6,8,9)和(3、5,7,10);当a和b是2和3时,每个大圆上另外四个数分别为(1、5,9,10)和(4,6,7,8)。 练习: 1、把1——8八个数分别填入下图的○内,使每个大圆上五个○内数的和相等。 2、把1——10这十个数分别填入下图的○内,使每个四边形顶点的○内四个数的和都相等,且和最大。 3、将1——8八个数填入下图方格里,使上面四格、下面四格、左四格、右四格、中间四格以及对角线四格内四个数的和都是18。 例3: 将1——6这六个数分别填入下图的圆中,使每条直线上三个圆内数的和相等、且最大。
1. 细蜡烛的长度是粗蜡烛长度的2倍,粗蜡烛可以点12个小时,细蜡烛可以点7个小时,两根蜡烛同时点燃,那么多少小时后细蜡烛的长度是粗蜡烛的13? 2. 甲乙丙丁四车同时在一条路上行驶:甲车12点追上丙车,14点与丁相遇,16点与乙相遇;乙车17 点与丙相遇,18点追上丁。那么丙和丁几点几分相遇? 3. 甲、乙两船速度相同,同时出发向上游行驶,乙落后甲30千米。出发时甲船上一物品落入水中,10 分钟后此物距甲船3千米,甲船在共行驶10千米后折向下游追赶此物,追上时恰遇乙船,那么水流的速度为多少? 4. 一批工人到甲、乙两个仓库进行搬运工作,甲仓库工作量是乙仓库工作量的1.2倍,第一天去甲仓库 的人数是去乙工地仓库的1.5倍,第二天甲仓库3/8的工人转移到乙仓库工作,第三天又将乙仓库现有工人的3/5转回甲仓库工作。三天过后,甲仓库还需9人再搬1天,乙仓库还需27名工人再搬1天,那么这批工人共有多少人? 5. 工厂接到两个订单,第1个订单需要30个零件A ,x 个零件B ;第2个订单需要x 个零件A ,30个零件B 。甲车间生产零件B 的效率是生产零件A 效率的2倍;乙车间无论生产哪种零件效率都比甲高13。已知甲生产第1个订单会比乙生产第1个订单多用100分钟,甲生产第2个订单会比乙生产第2个订 单多用110分钟。求x 等于多少? 6. 男、女两名田径运动员在长110米的斜坡上练习跑步(坡底为A ,坡顶为B ).两人同时从A 点出发, 在A ,B 之间不停地往返奔跑.已知男运动员上坡速度是每秒3米,下坡速度是每秒6米,女运动员上坡速度是每秒2米,下坡速度是每秒3米.那么两人第2007次相遇的地点离A 点多少米?
5、余数问题 知识讲解 一、消去余数 1、出示例1:把蛋糕和面包平均分给敬老院老人。 蛋糕230块面包345个 蛋糕分到最后余2块,面包分到最后还多3个,这些蛋糕和面包最多可以分给多少位老人? 这是一道求除数的问题,设除数a。 已知:230÷a=() (2) 345÷a=() (3) 如果消去余数,就转化为整除问题。 230-2=228,345-3=342。228,342分别能被a整除,a最大是几呢? (228,342)==114,最多可以分给114位老人。 如果这个敬老院的老人在50~60人之间,你能求出正确的人数和每位老人分到的蛋糕块数、面包个数吗? 2、写出除数和余数相同,被除数不同的出发算式。 ()÷5=4...2 ()÷8=() (5) ()÷5=7...2 ()÷8=() (5) ()÷5=12...2 ()÷8=() (5) ()÷12=()...7 ()÷23=() (12) ()÷12=()...7 ()÷23=() (12) (1)说说你的发现。 22÷5=4…2 22-2=5×4 37÷5=7…2 37-2=5×7 62÷5=12…2 62-2=5×12
219÷23=9…12 357-12=23×9 357÷23=15…12 357-12=23×15 被除数和余数的差是除数的倍数。 37-22=5×3 357-219=138 62-22=5×8 138÷23=6 62-37=5×5 如果两个等式除数和余数相同,被除数之间的差是除数的倍数。 (2)你能再举一些这样的例子吗? A:被除数分别是43和75,余数都是3,除数是多少? B:被除数分别是75、51和111,余数相同,除数是多少? 问题A:因为被除数与余数的差是除数的倍数,因此除数必定是(43-3)和(75-3)的公因数。(40,72)=8,其他的因数还有1,2,4。1,2比余数3小,不可能是除数,因此除数是4或8。 问题B:因为被除数之间的差是除数的倍数,因此除数必定是(75-51),(111-51)的公因数。(24,36,60)=12,其他公因数还有2,3,4,6。 75÷2=37…1,51÷2=25…1,111÷2=55…1。如果除数都是2,那么余数是1。 75÷3=25,51÷3=17,111÷3=37。如果都是3,那么余数是0。 75÷4=18…3,51÷4=12…3,111÷4=27…3, 75÷6=12…3,51÷6=8…3,111÷6=18…3。 如果除数都是4或6,那么余数是3。 3、巩固练习: (1)、用一个数去除47,61,75,结果都余5。这个数是几? (2)、用一个数去除193余4,除1087则余7。这个数是几? (3)、69,90,125被一个数n除时,余数相同,试求n的最大值。
小学奥数系统总复习Revised on November 25, 2020
《小学奥数系统总复习》试题精选——四年级 试题 1.难度:★★★★ 将1~9这九个数字分别填入下面算式的九个□中,使每个算式都成立。 【分析】①审题.在题目的三个算式中,乘法运算要求比较高,它要求在从1~9这九个数字中选出两个,使它们的积是一位数,且三个数字不能重复. ②选择解题的突破口.由①的分析可知,填出第三个乘法算式是解题的关键. ③确定各空格中的数字.由前面的分析,满足乘法算式的只有2×3=6和2×4=8.如果第三式填2×3=6.则剩下的数是1,4,5,7,8,9,共两个偶数, 四个奇数.由整数的运算性质知,两个样填:(答案不是惟一的,这里只填出一个).如果第三式填2×4=8,则剩下的数是1,3,5,6,7,9.其中只有一个偶数和五个奇数,由整数的运算性质知,无论怎样组合都不能填出前两个算式. 解:本题的一个答案是:
2.难度:★★★★ 数出下图中总共有多少个角. 【分析】在∠AOB内有三条角分线OC1、OC2、OC3,∠AOB被这三条角分线分成4个基本角,那么∠AOB内总共有多少个角呢首先有这4个基本角,其次是包含有2个基本角组成的角有3个(即∠AOC2、∠C1OC3、∠ C2OB),然后是包含有3个基本角组成的角有2个(即∠AOC3、∠ C1OB),最后是包含有4个基本角组成的角有1个(即∠AOB),所以∠AOB内总共有角: 4+3+2+1=10(个). 解:4+3+2+1=10(个). 试题 1.难度:★★★★ 由数字0、1、2、3共可组成多少个三位数可组成多少个没有重复数字的三位数【解答】由乘法原理 ①共可组成3×4×4=48(个)不同的三位数; ②共可组成3×3×2=18(个)没有重复数字的三位数. 2.难度:★★★★
第 25 讲最大公约数 基础卷 1.有三根钢管,分别长 200cm、 240cm、 360cm,现在要把这三根钢管截成尽可能长而且又相等的小段,一共能截成多少段? 此题关键求200.240.360的公约数 200=2×2×2×5×5 240=2×2×2×2×3×5 360=2×2×2×3×3×5 最大公约数=2×2×2×5=40 所以可以截成200/40+240/40+360/40=5+6+9=20段 2.某苗圃的工人加工一种精巧的盆景,第一批加工 1788 个,第二批加工 1680 个,第三批加工 2098个,各批平均分给工人加工,分别剩下 7 个.3 个 5 个,问:最多有多少工人参加加工?1788-7=1781 1680-3=1677 2098-5=2093 (1781,1677,2093)=13 答:最多有13个工人参加加工. 3.一间长 5.6m、宽 3.2m 的屋子,它的水泥地在施工中要划成
正方形的格子,这种方格面积最大是多少平方米? 实际就是求5.6和3.2的最大公约数 5.6=2*2*7*0.2 3.2=2*2*2*2*0.2 因此最大公约数是2*2*0.2=0.8 因此最大的正方形面积是0.8*0.8=0.64平方米 4.用辗转相除法求 6731 和 2809 的最大公约数。 6731和2809的最大公约数是53. 6731/2809=2---1113 2809/1113=2---583 1113/583=1---530 583/530=1---53 530/53=10---0 因此,最大公约数就是53. 5.有一个数分别去除 492, 2241, 3195 余数都是 15,求这个数最大是多少? 492-15=477=3×159 2241-15=2226=14×159 3195-15=3180=20×159 这个数=159
百度文库- 让每个人平等地提升自我 六年级奥数第三讲工程问题 顾名思义,工程问题指的是与工程建造有关的数学问题。其实,这类题目的内容已不仅仅是工程方 面的问题,也括行路、水管注水等许多内容。 在分析解答工程问题时,一般常用的数量关系式是: 工作量 =工作效率×工作时间, 工作时间 =工作量÷工作效率, 工作效率 =工作量÷工作时间。 工作量指的是工作的多少,它可以是全部工作量,一般用数 1 表示,也可 工作效率指的是干工作的 快慢,其意义是单位时间里所干的工作量。单位时间的选取,根据题目需要,可以是天,也可以是时、 分、秒等。 工作效率的单位是一个复合单位,表示成“工作量 / 天”,或“工作量 / 时”等。但在不引起误会的情况下,一般不写工作效率的单位。 例 1 单独干某项工程,甲队需 100 天完成,乙队需 150 天完成。甲、乙两队合干 50 天后,剩下的工程乙队干还需多少天?分析与解:以全部工程量为单位 1。甲队单独干需 100 天,甲的工作效 例 2 某项工程,甲单独做需 36 天完成,乙单独做需 45 天完成。如果开工时甲、乙两队合做,中途甲队退出转做新的工程,那么乙队又做了 18 天才完成任务。问:甲队干了多少天? 分析:将题目的条件倒过来想,变为“乙队先干 18 天,后面的工作甲、乙两队合干需多少天?”
例 3 单独完成某工程,甲队需 10 天,乙队需 15 天,丙队需 20 天。开始三个队一起干,因工作需要 甲队中途撤走了,结果一共用了 6 天完成这一工程。问:甲队实际工作了几天? 分析与解:乙、丙两队自始至终工作了 6 天,去掉乙、丙两队 6 天的工作量,剩下的是甲队干的,所 以甲队实际工作了 例 4 一批零件,张师傅独做 20 时完成,王师傅独做 30 时完成。如果两人同时做,那么完成任务时张 师傅比王师傅多做 60 个零件。这批零件共有多少个? 分析与解:这道题可以分三步。首先求出两人合作完成需要的时间, 例 5 一水池装有一个放水管和一个排水管,单开放水管 5 时可将空池灌满,单开排水管 7 时可将满池水排完。如果一开始是空池,打开放水管 1 时后又打开排水管,那么再过多长时间池内将积有半池水? 例 6 甲、乙二人同时从两地出发,相向而行。走完全程甲需 60 分钟,乙需 40 分钟。出发后 5 分钟,甲因忘带东西而返回出发点,取东西又耽误了 5 分钟。甲再出发后多长时间两人相遇? 分析:这道题看起来像行程问题,但是既没有路程又没有速度,所以不能用时间、路程、速度三者 的关系来解答。甲出发 5 分钟后返回,路上耽误10 分钟,再加上取东西的 5 分钟,等于比乙晚出发15
奥数教学简介 一、课程特色: 1、教材与现行小学奥数教程同步; 2、教材难度适中,体现科学性,现实性,有挑战性,突出实、难、巧、趣的特点。 二、教学理念: 通才教育和趣味教育。 三、教学目标: 以通才教育和趣味教育理念为指导,提高学生的学习成绩,培养学生在现实生活中运用数学方法和数学思维解决实际问题的能力,进而开拓学生的思维,为学好奥数打下坚实的基础。 如何学好奥数? 1、直观画图法:解奥数题时,如果能合理的、科学的、巧妙的借助点、线、面、图、表将奥数问题直观形象的展示出来,将抽象的数量关系形象化,可使同学们容易搞清数量关系,沟通“已知”与“未知”的联系,抓住问题的本质,迅速解题。 2、倒推法:从题目所述的最后结果出发,利用已知条件一步一步向前倒推,直到题目中问题得到解决。 3、枚举法:奥数题中常常出现一些数量关系非常特殊的题目,用普通的方法很难列式解答,有时根本列不出相应的算式来。我们可以用枚举法,根据题目的要求,一一列举基本符合要求的数据,然后从中挑选出符合要求的答案。 4、正难则反:有些数学问题如果你从条件正面出发考虑有困难,那么你可以改变思考的方向,从结果或问题的反面出发来考虑问题,使问题得到解决。 5、巧妙转化:在解奥数题时,经常要提醒自己,遇到的新问题能否转化成旧问题解决,化新为旧,透过表面,抓住问题的实质,将问题转化成自己熟悉的问题去解答。转化的类型有条件转化、问题转化、关系转化、图形转化等。 6、整体把握:有些奥数题,如果从细节上考虑,很繁杂,也没有必要,如果能从整体上把握,宏观上考虑,通过研究问题的整体形式、整体结构、局部与整体的内在联系,“只见森林,不见树木”,来求得问题的解决。
第3讲巧用运算定律 一、复习巩固(比一比,练一练): 25×125×32 2.5×1.25×3.2 二、例题:29.5×47.5+62.1×52.2+47.8×32.6 三、(举一反三): 12.5×4.8×3.2 45×2.8 35×5.6 19.6×36+19.6×46+9.8×38 85×3.4+16×3.4 5.8× 6.9+0.58×32-5.8×0.1 6.5×38-2.5×38+4×62
消去问题 在有些应用题中,给出了两个或两个以上的未知数量间的关系,要求出这些未知的数量,先把题中的条件按对应关系一一排列出来,思考时可以通过比较条件,分析对应的未知量的变化情况,设法消去一个或一些未知量,从而把一道数量关系较复杂的题目,变成比较简单的题目解答出来,这种方法叫做消去法。 例:小红在商店里买了4块橡皮和3把小刀,共付0.59元。小黄买同样的2块橡皮和3把小刀,共付0.43元。问:一块橡皮和一把小刀的价钱各是多少元? 试试看 1.买3枝钢笔,2块橡皮共付4.98元。若买5枝钢笔、2块橡皮要付7.98元。问一枝钢笔、一块橡皮各值多少元? 2. 小卫到百货商店买了2枝圆珠笔和1枝钢笔,用去人民币5.5元。如果买一枝圆珠笔和2枝钢笔要人民币6.5元,问1枝圆珠笔和1枝钢笔价格各是多少元? 3. 2份蛋糕和2杯饮料共用28元,1份蛋糕和3份饮料共用去18元,问一份蛋糕和一杯饮料各需多少元?
第2讲正方形队列 同学们,还记得国庆时激动人心的阅兵式吗?陆海空三军仪仗队都是方阵。方阵可以由各种不同的实物排成,既有实心方阵也有空心方阵。这一讲,我们就来一起研究这些方阵。 例题1:有一个正文形花圃,四个角各摆了1盆花。如果每边都摆了5盆花,那么四边一共摆了几盆花? 试试看: 有一个正方形池塘,四个角各栽了1棵树,如果每边栽8棵树,那么四边一共栽了几棵树? 例题2:80个小朋友手拉手围成一个正方形,四个角上各站着1个小朋友,则正方形的每条边上有多少个小朋友? 试试看:在正方形围墙四周等距离地装有96盏灯,四个角上各装有1盏,这样每边有多少盏灯? 例题3:五年级的部分同学参加运动会队列训练,排成如右图所示的正方形,最外层每边有5人。这个队列共有多少人? 试试看:一个团体操表演队,排成一个空心方阵,共有3层,最内层有20人,这个团体操表演队共有多少人?
牛吃草问题讲义 牛吃草问题常用到四个基本公式,分别是: (1)草的生长速度=(对应的牛头数×吃的较多天数-相应的牛头数×吃的较少天数)÷(吃的较多天数-吃的较少天数); (2)原有草量=牛头数×吃的天数-草的生长速度×吃的天数; (3)吃的天数=原有草量÷(牛头数-草的生长速度); (4)牛头数=原有草量÷吃的天数+草的生长速度。 这四个公式是解决牛吃草问题的基础。一般设每头牛每天吃草量不变,设为"1",解题关键是弄清楚已知条件,进行对比分析,从而求出每日新长草的数量,再求出草地里原有草的数量,进而解答题总所求的问题。 牛吃草问题是经典的奥数题型之一,这里我只介绍一些比较浅显的牛吃草问题,给大家开拓一下思维,首先,先介绍一下这类问题的背景,大家看知识要点 特点:在“牛吃草”问题中,因为草每天都在生长,草的数量在不断变化,也就是说这类问题的工作总量是不固定的,一直在均匀变化。 典例评析 例1、有一块匀速生长的草场,可供12头牛吃25天,或可供24头牛吃10天,那么它可供几头牛吃20天? 例2、由于天气逐渐冷起来,牧场上的草不仅不长,反而以固定的速度在减少,如果某块草地上的草可供25头年吃4天,或可供16头牛吃6天,那么可供10头牛吃多少天?
例3、一片匀速生长的草地,可以供18投牛吃40天,或者供12头牛与36只羊吃25天,如果1头牛每天的吃草两相当于3只羊每天的吃草量。请问:这片草地让17头牛与多少只羊一起吃,刚好16天吃完? 牧场上长满牧草,每天都匀速生长。这片牧场可供27头牛吃6天或23头牛吃9天。问可供21头牛吃几天? 【分析】这片牧场上的牧草的数量每天在变化。解题的关键应找到不变量——即原来的牧草数量。因为总草量可以分成两部分:原有的草与新长出的草。新长出的草虽然在变,但应注意到它是匀速生长的,因而这片牧场每天新长出飞草的数量也是不变的。 从这道题我们看到,草每天在长,牛每天在吃,都是在变化的,但是也有不变的,都是什么不变啊?草是以匀速生长的,也就是说每天长的草是不变的;,同样,每天牛吃草的量也是不变的,对吧?这就是我们解题的关键。这里因为未知数很多,我教大家一种巧妙的设未知数的方法,叫做设“1”法。我们设牛每天吃草的数量为1份,具体1份是多少我们不知道,也不用管它, 【思考1】一片草地,每天都匀速长出青草,如果可供24头牛吃6天,或20头牛吃10天,那么可供18头牛吃几天?设1头牛1天吃的草为1份。则每天新生的草量是(20×10-24×6)÷(10-6)=14份, 原来的草量是(24-14)×6=60份。可供18头牛吃60÷(18-14)=15天 例2 因天气寒冷,牧场上的草不仅不生长,反而每天以均匀的速度在减少。已知牧场上的草可供33头牛吃5天,可供24头牛吃6天,照此计算,这个牧场可供多少头牛吃10天? 【分析】与例1不同的是,不但没有新长出的草,而且原有的草还在匀速减少,但是,我们同样可以用类似的方法求出每天减少的草量和原来的草的总量 【思考2】由于天气逐渐变冷,牧场上的草每天以固定的速度在减少,经计算,牧场上的草可供20头牛吃5天,或可供16头牛吃6天。那么,可供11头牛吃几天? 8天,设一头牛一天吃的草量为一份。牧场每天减少的草量:(20×5-16×6)÷(6-5)=4份,原来的草量:(20 +4)× 5=120份,可供11头牛吃120÷(11+4)=8天。 总结:想办法从变化中找到不变的量。牧场上原有的草是不变的,新长出的草虽然在变化,但是因为是匀速生长,所以每天新长出的草量也是不变的。正确计算草地上原有的草及每天新长出的草,问题就会迎刃而解。 知识衍变
五年级奥数讲义:作图法解题 图形具有直观性,用作图的方法可以将复杂应用题的数量关系直观地表示出来,使题目的已知条件和所求问题一目了然,并借助直观的图形进行分析、推理,进而很快找到解决问题的策略.这种方法我们称为作图法解题,特别是对解答条件复杂、数量关系不明显的应用题,能起到化难为易的作用. 例题选讲 例1:鸡与兔同笼共100只,一共有240只脚鸡与兔各多少只? 【分析与解答】这是鸡兔同笼问题,我们在前几讲已学会用其它方法解答,现在用作图法来解答,让同,学们体会一下这种方法的作用.图1中两个长方形的总面积表示的是鸡与兔脚的总个数,宽表示每只鸡与兔的脚的个数.则长就是要求的鸡与兔的只数.仔细观察图2,阴影部分的面积表示鸡与兔多出的脚,它应该等于总面积减空白面积,即240—2 x 100=40(只),那么阴影部分的长,也就是兔的只数应为40÷(4—2)=20(只),鸡的只数就是1OO-20=80(只). 例2:甲、乙两车同时从A、B两地相向开出,第一次相遇时离A地有90千米,然后各按原速度继续行驶,到达目的地后立即沿原路返回,第二次相遇时离B地70千米处,求A、B两地的路程. 【分析与解答】求A、B两地的路程,题中既没有给出甲、乙 的速度,也没有给出相遇时间,解答比较困难.下面我们借助 线段图来帮助分析.从图上可以看出,甲、乙两车从出发到第一次相遇共行驶了一个全程,当两车共行驶1个全程时,甲车行驶了90千米.从第一次相遇到第二次相遇,甲、々两车又共行驶了2个全程.因此从出发到第l二次相遇甲、乙两车共行驶了3个全程,那么甲车就行驶了3个90千米,即90×3=270千米,而甲车比全程多行70千米.所以A、B的距离为270—70=200(千米). 练习与思考 1.有10分和20分的邮票共18张,总面值为2.80元.请问:10分和20分的邮票各有几张? 2.张红与李明同时从甲、乙两地相向而行,第一次两人相遇时离乙地400米.然后两人继续步行,各自到达目的地后立即返回,第二次相遇时离甲地200米,求甲、乙两地的距离.
六年级奥数第三讲工程问题 顾名思义,工程问题指的是与工程建造有关的数学问题。其实,这类题目的内容已不仅仅是工程方面的问题,也括行路、水管注水等许多内容。 在分析解答工程问题时,一般常用的数量关系式是: 工作量=工作效率×工作时间, 工作时间=工作量÷工作效率, 工作效率=工作量÷工作时间。 工作量指的是工作的多少,它可以是全部工作量,一般用数1表示,也可 工作效率指的是干工作的 快慢,其意义是单位时间里所干的工作量。单位时间的选取,根据题目需要,可以是天,也可以是时、分、秒等。 工作效率的单位是一个复合单位,表示成“工作量/天”,或“工作量/时”等。但在不引起误会的情况下,一般不写工作效率的单位。 例1 单独干某项工程,甲队需100天完成,乙队需150天完成。甲、乙两队合干50天后,剩下的工程乙队干还需多少天?分析与解:以全部工程量为单位1。甲队单独干需100天,甲的工作效 例2某项工程,甲单独做需36天完成,乙单独做需45天完成。如果开工时甲、乙两队合做,中途甲队退出转做新的工程,那么乙队又做了18天才完成任务。问:甲队干了多少天? 分析:将题目的条件倒过来想,变为“乙队先干18天,后面的工作甲、乙两队合干需多少天?”这样一来,问题就简单多了。
例3 单独完成某工程,甲队需10天,乙队需15天,丙队需20天。开始三个队一起干,因工作需要甲队中途撤走了,结果一共用了6天完成这一工程。问:甲队实际工作了几天? 分析与解:乙、丙两队自始至终工作了6天,去掉乙、丙两队6天的工作量,剩下的是甲队干的,所以甲队实际工作了 例4 一批零件,张师傅独做20时完成,王师傅独做30时完成。如果两人同时做,那么完成任务时张师傅比王师傅多做60个零件。这批零件共有多少个? 分析与解:这道题可以分三步。首先求出两人合作完成需要的时间, 例5 一水池装有一个放水管和一个排水管,单开放水管5时可将空池灌满,单开排水管7时可将满池水排完。如果一开始是空池,打开放水管1时后又打开排水管,那么再过多长时间池内将积有半池水? 例6 甲、乙二人同时从两地出发,相向而行。走完全程甲需60分钟,乙需40分钟。出发后5分钟,甲因忘带东西而返回出发点,取东西又耽误了5分钟。甲再出发后多长时间两人相遇? 分析:这道题看起来像行程问题,但是既没有路程又没有速度,所以不能用时间、路程、速度三者的关系来解答。甲出发5分钟后返回,路上耽误10分钟,再加上取东西的5分钟,等于比乙晚出发15
推荐10本小学奥数参考书 推荐一些同步的参考书教材,大家根据自己的年级买对应的书即可 1、《华数奥赛教材》 出版社:吉林出版集团 主编:毛文凤,单墫等 华数奥赛教材.png 简介:一本有着较长历史的书,可以作为同步学习的资料。作者毛文凤、单墫等都是我国著名的数学竞赛教练,同时编书很严谨。书正如其标题所示,是一本针对华杯赛的教材。华杯赛作为目前全国范围内比较正规、权威的赛事,其知识点覆盖面很全,同时对初中学习也有很强的指导作用。书中例题多采用华杯赛中的真题、改编题,可以帮助构建整个小学数学竞赛的知识框架。 优点:同时解决知识框架和华赛备考 缺点:书中欠缺知识点总结 适合学员:五年级、六年级有较好基础的同学可以使用 难度: 2、《小学奥数举一反三》 出版社:陕西人民教育出版社 主编:蒋顺,李济元 小学奥数举一反三.png 简介:也是分年级的一本书,难度相对来说较为简单,无论是大人还是小孩子都能看明白。孩子如果未接触过数学竞赛,可以用来作为初步自学的书籍。本书氛围A版和B版,A版是教材,有知识点讲解和例题;B版是同步练习册,用于课后巩固。 优点:入门必备,编排板式不错,有单独练习册 缺点:难度、深度均不足 适合学员:1-3年级推荐使用此书进行初步学习,4-6年级如果刚刚接触数学竞赛可以用此书作为初步学习的教材。 难度: 3、《明心数学资优教程》 出版社:湖北教育出版社 主编:刘嘉 明星数学资优教程.png 简介:这是武汉的刘嘉老师编写的一本教材,内容非常详细,每个知识点的介绍都有很多的背景介绍,不仅传授方法和知识,也会培养孩子对于数学历史的了解。整本书的结构非常不错,对于所涵盖的专题的讲解非常细致。 优点:对于单个知识点挖掘得很深,同时有很多背景知识介绍,丰富孩子的见闻 缺点:可能这套丛书只是部分完成,很多重要专题没有涉及,另外部分题目的解题方法已经较为落后 适合学员:对数学有较强兴趣,同时有一定数学竞赛基础的同学,此书只有4—6年级 难度:
五年级奥数讲义:倒推法解题 在我们生活中经常会遇到“还原问题”,如把一盒包装精美的玩具打开,再把它重新包装好,重新包装的步骤与打开的步骤正好相反.其实在数学中,也有许多类似的还原问题.解决这类问题最常用的方法就是倒推法,即从结果入手,逐步向前逆推,最终找到原问题的答案. 例题选讲 例1:有一群猴子分吃桃子,第一只拿走—半,第二只拿走余下的一半多3个,第三只拿走第二只取剩的一半少3个,第四只拿走第三只取剩的一半多3个,第五只拿走第四只取剩的一半,最后还剩3个,这堆桃原来有多少个? 【分析与艉答】l|这道题条件比较多,顺向思考很困难,如果根据最后的结果倒推还原,解决起来就轻松了.曲于第五只猴子拿走余下的一半,还剩3个,所以第五只猴子拿之前应该有桃子:3×2=6(个),同理,第四只猴子拿之前应该有桃子:(6+3)×2=18(个),第三只猴子拿之前应该有桃子:(18—3)×2=30(个),第二只猴子拿之前应该有桃子:(30+3)×2=66(个),第一只猴子拿之前应该有桃子:66×2=132(个),即这堆桃有132个. 例2:甲、乙、丙三人各有若干元钱,甲拿出与乙相同多的钱给乙,也拿出与丙相同多的钱给丙;然后乙也按甲和雨手中的钱分别给甲、丙相同的钱;最后丙也按甲和乙手中的钱分别给甲、乙相同的钱,此时三人都有48元钱. 问:开始时三人各有多少元钱? 【分析与解答】从第三次丙给甲、乙钱逐步向前推算,根据三人最后都有48元,那么在丙给甲、乙添钱之前:甲:48÷2:24(元), 乙:48÷2—24(元), 丙:48+24+24—96(元); 第二次在乙给甲、丙添钱之前: 甲:24÷2—12(元), 乙:24+12+48===84(元), 丙:96÷2=48(元); 第一次在甲给乙、丙添钱之前: 甲:12+42+24—78(元), 乙:84÷2=42(元), 丙:48÷2=24(元). 所以开始时甲有78元,乙有42元,丙有24元. 例3:甲、乙、丙三人共有48张邮票,第一次甲先拿出与乙的邮票数相等的张数给乙;第三次
抽屉原理 专题简析: 如果给你5盒饼干,让你把它们放到4个抽屉里,那么可以肯定有一个抽屉里至少有2盒饼干。如果把4封信投到3个邮箱中,那么可以肯定有一个邮箱中至少有2封信。如果把3本联练习册分给两位同学,那么可以肯定其中有一位同学至少分到2本练习册。这些简单内的例子就是数学中的“抽屉原理”。 基本的抽屉原理有两条:(1)如果把x+k(k≥1)个元素放到x个抽屉里,那么至少有一个抽屉里含有2个或2个以上的元素。(2)如果把m×x×k(x>k≥1)个元素放到x个抽屉里,那么至少有一个抽屉里含有m+1个或更多个元素。 利用抽屉原理解题时要注意区分哪些是“抽屉”?哪些是“元素”?然后按以下步骤解答:a、构造抽屉,指出元素。b、把元素放入(或取出)抽屉。C、说明理由,得出结论。 例题1: 某校六年级有学生367人,请问有没有两个学生的生日是同一天?为什么? 练习1: 1、某校有370名1992年出生的学生,其中至少有2个学生的生日是同一天,
为什么? 2、某校有30名学生是2月份出生的,能否至少有两个学生生日是在同一天? 3、15个小朋友中,至少有几个小朋友在同一个月出生? 例题2: 某班学生去买语文书、数学书、外语书。买书的情况是:有买一本的、二本的、也有三本的,问至少要去几位学生才能保证一定有两位同学买到相同的书(每种书最多买一本)? 练习2:
1、某班学生去买语文书、数学书、外语书、美术书、自然书。买书的情况是:有买一本的、二本的、三本或四本的。,问至少要去几位学生才能保证一定有两位同学买到相同的书(每种书最多买一本)? 2、学校图书室有历史、文艺、科普三种图书。每个学生从中任意借两本,那么至少要几个同学才能保证一定有两人所借的图书属于同一种? 3、一只袋中装有许多规格相同但颜色不同的玻璃珠子,颜色有绿、红、黄三种,问最少要取出多少个珠子才能保证有两个同色的? 例题3: 一只袋中装有许多规格相同但颜色不同的手套,颜色有黑、红、蓝、黄四种。问最少要摸出多少只手套才能保证有3副同色的?
小学五年级奥数分类讲义含答案 图形问题 专题1 长方形、正方形的周长 一、专题解析 同学们都知道,长方形的周长=(长+宽)×2,正方形的周长=边长×4。长方形、正方形的周长公式只能用来计算标准的长方形和正方形的周长。 那么如何应用所学知识巧求表面上看起来不是长方形或正方形的图形的周长呢?还需同学们灵活应用已学知识,掌握转化的思考方法,把复杂的图形转化为标准的图形,以便计算它们的周长。 二、精讲精练 【例题1】 有5张同样大小的纸如下图(a)重叠着,每张纸都是边长6厘米的正方形,重叠的部分为边长的一半,求重叠后图形的周长。 【思路导航】根据题意,我们可以把每个正方形的边长的一半同时向左、右、上、下平移(如图b),转化成一个大正方形,这个大正方形的周长和原来5个小正方形重叠后的图形的周长相等。因此,所求周长是18×4=72厘米。 练习1 1、右图由8个边长都是2厘米的正方形组成,求这个图形的周长。 2、右图由1个正方形和2个长方形组成,下方长方形长为50cm,求这 个图形的周长。 3、有6块边长是1厘米的正方形,如例题中所说的这样重叠着,求重叠后图 形的周长。
【例题2】 一块长方形木板,沿着它的长度不同的两条边各截去4厘米,截掉的面积为192平方厘米。现在这块木板的周长是多少厘米? 【思路导航】把截掉的192平方厘米分成A、B、C三块(如图),其中AB的面积是192-4×4=176(平方厘米)。把A和B移到一起拼成一个宽4厘米的长方形,而此长方形的长就是这块木板剩下部分的周长的一半。176÷4=44(厘米),现在这块木板的周长是44×2=88(厘米)。 练习2 1、有一个长方形,如果长减少4米,宽减少2米,面积就比原来减少44平方米,且剩下部分正好是一个正方形。求这个正方形的周长。 2、有两个相同的长方形,长是8厘米,宽是3厘米,如果按下图叠放在一起,这 个图形的周长是多少? 3、有一块长方形广场,沿着它不同的两条边各划出2米做绿化带,剩下的部分仍是长方形,且周长为280米。求划去的绿化带的面积是多少平方米? 【例题3】 已知下图中,甲是正方形,乙是长方形,整个图形的周长是多少? 【思路导航】从图中可以看出,整个图形的周长由六条线段围成,其中三条横着,三条竖着。三条横着的线段和是(a+b)×2,三条竖着的线段和是b×2。所以,整个图形的周长是(a+b)×2+b×2,即2a+4b。 练习3
第一讲立体图形及展开 同学们在五年级所学习的立体图形主要是长方体和正方体,从这一讲开始我们将一起研究数学竞赛中经常出现的有关长方体和正方体的问题,帮助大家提高观察能力和空间想像能力,以及掌握解答问题的技巧和方法。这一讲我们进一步研究长方体和正方体的特征及展开图 例题选讲 例1:图1所示的是一个正方体纸盒拆开后平摊在桌面上的形状。如果将这个展开图恢复成原来的正方体,图中的点F、点G分别与哪个点重合? 【分析与解答】为了研究方便,我们将正方体六个面 分别标上序号1、2、3、4、5、6,如果将l作为底面, 那么4就是后面,5为右面,6为前面,2则是左面,3 就是上面,(如图2)。从图中不难看出点F与点N,重 合,点G与点S重合。还有一种方法就是动手制作一张 展开图,折一折,结果就一目了然了,同学们不妨试 试吧! 例2:一只小虫从图l所示的长方体上的A点出发,沿长 方体的表面爬行,依次经过前面、上面、后面、底面, 最后到达P点。请你为它设计一条最短的爬行路线。 【分析与解答】因为小虫在长方体的表面爬行,所 以我们可以将长方体的前、后、上、下西个面展开成 平面图形(如图2)。又因为在平面上“两点之间的线段 长度最短”,所以连接AP,则线段AP为小虫爬行的最短路线。 练习与思考 1.如图所示的是一个正方体纸盒拆开后平摊在桌面上的形状。如果 将这个展开图恢复成原来的正方体,图中的点B、点D分别与哪个点 重合? 2.如图所示的是一个棱长3厘米的正方体木块,一只蚂蚁从A点沿表面 爬向B点。请画出蚂蚁爬行的最短路线。问:这样的路线共有几条? 3.将一张长方形硬纸片,剪去多余部分后,折叠成一个棱长为l厘米的正方体。这张长方形硬纸片的面积最小是多少平方厘米?
八、倍数问题 “和倍”与“差倍”问题的应用题,一般都在条件中告诉我们:两个数量的和(或差)与这两个数量的倍数关系,要我们求这两个数量分别是几。解答这类应用题时,我们采用代换的思路,用1倍数去代替几倍数,看和(或差)相当于1倍数的几倍,即除以几,先求出1倍数,然后再求出几倍数,解题公式是: 1、和倍问题 和÷(倍数+1)=1倍数 1倍数×几倍=几倍数 或 和-1倍数=几倍数 2、差倍问题 差÷(倍数—1)=1倍数 1倍数×几倍=几倍数 或 1倍数+差=几倍数 在解答这类题目时,线段图是一个很好的帮手。我们要根据题意,画出线段图进行分析,这样能很快地理清解题思路,找到解题的方法。 【例1】弟弟有课外书20本,哥哥有课外书25本。哥哥给弟弟多少本后,弟 弟的课外书是哥哥的 2 【点拨】.画线段图如下: 哥哥: 弟弟: 在观察上图的基础上,可先思考以下几个问题: (1) 哥哥在给弟弟课外书前后,题目里不变的数量是什么? (2) 要想求哥哥给弟弟多少本课外书,需要知道什么条件? (3) 如果把哥哥剩下的课外书看做1倍数,那么这时(哥哥给弟弟课外 书后)弟弟的课外书可看做是哥哥剩下的课外书的几倍? 在思考以上几个问题的基础上,再求哥哥应该给弟弟多少本课外书。根据条件需要先求出哥哥剩下多少本课外书。如果我们把哥哥剩下的课外书看做1倍数,那么这时弟弟的课外书可看做是哥哥剩下的课外书的2倍,也就是兄弟俩共有的倍数相当于哥哥剩下的课外书的3倍,而兄弟俩课外书的总数始终是不变的数量。 【解答】 (20+25)÷(2+1)=15(本) 25—15=10(本) 答:哥哥给弟弟10本后,弟弟的课外书是哥哥的2倍。 【操身演练】 1、甲、乙两数之和是180,已知甲数是乙数的2倍,甲、乙两数各是多少?
第1讲 巧求周长和面积 几何是研究现实世界的空间形式与数量关系的一门科学,是日常生活和进一步学习必不可少的基础和工具。几何问题非常直观、有趣,但是仍然有的同学对解几何问题的基本方法掌握不好。之前已经学习了长方形和正方形的周长和面积公式,利用公式可以解决一些简单的标准图形的周长和面积问题,对于一些复杂的不规则图形的周长和面积问题,我们可以采用平移、转化、分割、添补、合并等方法,将问题转化为我们熟悉的、简单的图形问题,从而顺利的解决。 本讲掌握长度与面积的概念和基本计算方法。学会运用平移、标方向等方法处理某些长度计算问题;运用平移、旋转、对称等方法处理某些面积计算问题。 学海导航 巧求周长(三年级秋季) 巧求周长与面积(四年级暑假) 等积变换(四年级春季) 巧求周长与面积(本讲) 直线型面积(一)(五年级秋季) 直线型面积(二)(五年级秋季) 直线型面积(三)(五年级寒假) 知识要点 周长:围成一个图形的所有边长的总和就是这个图形的周长。 长方形周长公式:()()22a b =+?=+?长方形长方形周长长宽,记作:C 正方形周长公式:44a =?=?正方形正方形周长边长,记作:C 方法:公式法、平移线段法、标向法 面积:物体的表面或围成的平面图形的大小,叫做它们的面积。 长方形面积公式:a b =?=?长方形长方形面积长宽,记作:S 正方形面积公式:2a a a =?=?=正方形正方形面积边长边长,记作:S 三角形面积公式:11 22 a h =??=??三角形三角形面积底高,记作:S 平行四边形面积公式:a h =?=?平行四边形平行四边形面积底高,记作:S 梯形面积公式:()()11 22 a b h =??=?+?梯形梯形面积上底+下底高,记作:S 方法:公式法、割补法(将图形平移、对称、旋转)