第16讲 等腰三角形与直角三角形

华章文化 四川专版《火线100天》word版

第16讲 等腰三角形与直角三角形

命题点1 等腰三角形的性质与判定

1．(2015·成都T12·4分)如图，直线m∥n，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，则∠1＝45度．

2．(2016·绵阳T14·3分)如图，AC∥BD，AB与CD相交于点O，若AO＝AC，∠A＝48°，则∠D＝66°．

3．(2015·乐山T14·3分)如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AB，已知∠ADE＝40°，则∠DBC＝15°.

4．(2017·内江T18·9分)如图，AD平分∠BAC，AD⊥BD，垂足为点D，DE∥AC.求证：△BDE是等腰三角形．

证明：∵DE∥AC，

∴∠DAC＝∠ADE.

∵AD平分∠BAC，

∴∠DAC＝∠EAD.

∴∠ADE＝∠EAD.

∵AD⊥BD，

∴∠EAD＋∠B＝90°，∠ADE＋∠BDE＝90°.

∴∠B＝∠BDE.

∴△BDE是等腰三角形．

命题点2 等边三角形的性质与判定

5．(2014·泸州T5·3分)如图，等边△ABC中，点D，E分别为边AB，AC的中点，则∠DEC的度数为(C) 华章文化 四川专版《火线100天》word版

A．30° B．60° C．120° D．150°

命题点3 直角三角形中的相关计算

6．(2016·南充T7·3分)如图，在Rt△ABC，∠A＝30°，BC＝1，点D，E分别直角边BC，AC的中点，则DE的长为(A)

A．1

B．2

C.3 D．1＋3

7．(2017·南充T7·3分)如图，等边△OAB的边长为2，则点B的坐标为(D)

A．(1，1) B．(3，1)

C．(3，3) D．(1，3)

8．(2016·甘孜T13·4分)直角三角形斜边长是5，一直角边的长是3，则此直角三角形的面积为6．

9．(2017·成都T21·4分)如图，数轴上点A表示的实数是5－1．

10．(2015·内江T22·6分)在△ABC中，∠B＝30°，AB＝12，AC＝6，则BC＝63． 华章文化 四川专版《火线100天》word版

第16讲 等腰三角形与直角三角形

(分值：68分)

评分标准：选择题每小题3分，填空题每小题3分．

1．(2016·赤峰)等腰三角形有一个角是90°，则另两个角分别是(B)

A．30°，60° B．45°，45°

C．45°，90° D．20°，70°

2．点A(－3，－4)到原点的距离为(C)

A．3 B．4

C．5 D．7

3．如图，在△ABC中，∠B＝30°，AB＝4，BC＝3，则S△ABC＝(A)

A．3 B．4 C．1.5 D．2

4．(2017·青岛)某城市几条道路的位置关系如图所示，已知AB∥CD，AE与AB的夹角为48°.若CF与EF的长度相等，则∠C的度数为(D)

A．48° B．40°

C．30° D．24°

5．(2017·大连)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，点E是AB的中点，CD＝DE＝a，则AB的长为(B)

A．2a B．22a

C．3a D.433a

6．(2017·宜宾)如图，在矩形ABCD中，BC＝8，CD＝6，将△ABE沿BE折叠，使点A恰好落在对角线BD上F处，则DE的长是(C)

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A．3 B.245 C．5 D.8916

7．(2017·德阳模拟)如图，∠DAE＝∠ADE＝15°，DE∥AB，DF⊥AB，若AE＝8，则DF等于(B)

A．5 B．4 C．3 D．2

8．(2017·绵阳模拟)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，BC＝6 cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为(C)

A．4 cm B．3 cm

C．2 cm D．1 cm

9．(2017·安顺)三角形三边长分别为3，4，5，那么最长边上的中线长等于2.5．

10．(2017·益阳)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，DE是线段AC的垂直平分线，若BE＝a，AE＝b，则用含a，b的代数式表示△ABC的周长为2a＋3b．

11．(2017·南充三诊)如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，DE⊥AC于E，AE＝CE.当DE＝5，BE＝12时，AD的长是13．

12．(8分)(2016·宁夏)如图，在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，若CD＝2，过点D作DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F，求EF的长．

解：∵△ABC是等边三角形，

∴∠B＝∠ACB＝60°.

∵DE∥AB， 华章文化 四川专版《火线100天》word版

∴∠EDC＝∠B＝60°.

∴△EDC是等边三角形．

∴DE＝DC＝2.

∵EF⊥DE，∴∠F＝30°.

在Rt△DEF中，∵∠DEF＝90°，DE＝2，∠F＝30°，

∴DF＝2DE＝4.

∴EF＝DF2－DE2＝42－22＝23.

13．(2017·绍兴)如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为(C)

A．0.7米 B．1.5米

C．2.2米 D．2.4米

14．(2016·内江)已知等边三角形的边长为3，点P为等边三角形内任意一点，则点P到三边的距离之和为(B)

A.32 B.332

C.32 D．不能确定

提示：S等边三角形＝12×3×332＝934，又设P到三边的距离分别为h1，h2，h3，则S等边三角形＝12ah1＋12bh2＋12ch3＝12×3×(h1＋h2＋h3)，∴h1＋h2＋h3＝332.

15．(2017·徐州)如图，已知OB＝1，以OB为直角边作等腰Rt△A1BO，再以OA1为直角边作等腰Rt△A2A1O，如此下去，则线段OAn的长度为2n．

16．(易错易混)(2015·攀枝花)如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，矩形OABC中，A(10，0)，C(0，4)，D为OA的中点，P为BC边上一点．若△POD为等腰三角形，则所有满足条件的点P的坐标为(2.5，4)，(3，4)，(2，4)或(8，4)．

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提示：分三种情况讨论：①当PO＝PD时，点P为OD的垂直平分与BC的交点，∴P(2.5，4)；②当PO＝OD时，点P为以O为圆心，OD为半径的圆与CB的交点，∴P(3，4)；③当PD＝OD时，点P为以D为圆心，DO为半径的圆与BC的交点，∴P(2，4)或(8，4)．故点P的坐标为(2.5，4)，(3，4)，(2，4)或(8，4)．

17．(6分)(2017·自贡)如图，13个边长为1的小正方形，排列形式如图，把它们分割，使分割后能拼成一个大正方形．请在如图所示的网格中(网格的边长为1)中，用直尺作出这个大正方形．

解：如图所示，所画正方形即为所求．

18．(易错易混)(2017·广安一诊)已知等腰△ABC中，AD⊥BC于点D，且AD＝12BC，则△ABC底角的度数为(C)

A．45° B．75°

C．45°或75°或15° D．60°

19．(南高自主招生)△ABC中，点D在边BC上，已知AB＝AD＝2，AC＝4，且BD∶DC＝2∶3，则△ABC是(B)

A．锐角三角形 B．直角三角形

C．钝角三角形 D．无法确定

20．(南高自主招生)如图，△ABC中，AC＞AB，AB＝4，AC＝x，AD平分∠BAC，BD⊥AD于D，点E是BC的中点，DE＝y，则y关于x的函数关系式为y＝12x－2．