第21讲 等腰三角形与直角三角形

中考总复习之等腰三角形与直角三角形中考的脚步越来越近啦，同学们是不是都在紧张地进行总复习呢？今天咱们就来好好聊聊等腰三角形和直角三角形这两个重要的“小伙伴”。

先来说说等腰三角形吧。

还记得有一次我在课堂上做实验，用三根长度不一样的小木棍，想拼成一个等腰三角形。

结果呢，怎么拼都拼不出来，同学们在下面笑得前仰后合。

这让我深刻地意识到，等腰三角形的两条腰长度必须相等，不然可就闹笑话啦！等腰三角形有很多有趣的性质。

比如说，它的两个底角相等。

这就像一对双胞胎，长得一模一样。

而且等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合，这叫“三线合一”，可厉害啦！再来讲讲直角三角形。

有一次我去公园散步，看到一个滑梯，突然就想到了直角三角形。

这个滑梯的滑道和地面就构成了一个直角三角形。

直角三角形有个特别重要的定理，那就是勾股定理。

就是说两条直角边的平方和等于斜边的平方。

如果直角三角形的两条直角边长分别为 a 和 b，斜边长为 c，那么 a²＋ b²＝ c²。

这个定理在解决很多几何问题的时候，就像是一把万能钥匙，一用就灵。

直角三角形还有很多特殊的性质。

比如 30°角所对的直角边等于斜边的一半。

这在计算边长的时候特别有用。

在中考中，等腰三角形和直角三角形经常会一起出现，给我们出难题。

比如说，给你一个等腰三角形，其中一个角是直角，让你求其他角的度数或者边长。

这时候可别慌，咱们就一步步来，先根据等腰三角形的性质确定角的关系，再结合直角三角形的定理来计算边长。

还有一种常见的题型是让你证明一个三角形是等腰直角三角形。

这就需要我们综合运用两个三角形的知识，先证明它是等腰三角形，再证明它是直角三角形。

复习这部分知识的时候，同学们一定要多做练习题，把定理和性质都熟练掌握。

遇到难题不要怕，多想想我们讲过的例子和方法，就一定能攻克难关。

最后，希望同学们都能在中考中取得好成绩，加油！就像我们成功拼出一个完美的等腰三角形或者准确算出直角三角形的边长一样，战胜中考的难题！。

中考讲义：等腰三角形与直角三角形，解直角三角形第一部分：等腰三角形一．基础知识1．等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．2．等边三角形的定义：有三条边相等的三角形叫做等边三角形．3．等腰三角形的性质：(1)两腰相等．(2)两底角相等．(3)“三线合一”，即顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合．(4)是轴对称图形，底边的垂直平分线是它的对称轴．线段的垂直平分线：性质定理：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等判定定理：与线段的两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，线段的垂直平分线可以看做是和线段两个端点距离相等的所有点的集合．4．等腰三角形的判定：(1)有两条边相等的三角形是等腰三角形．(2)有两个角相等的三角形是等腰三角形．5．等边三角形的性质：三边都相等，三个角都相等，每一个角都等于60．6．等边三角形的判定：(1)三条边都相等的三角形是等边三角形．(2)三个角都相等的三角形是等边三角形．(3)有一个角是60的等腰三角形是等边三角形．7．等腰直角三角形的性质：顶角等于90，底角等于45，两直角边相等．等腰直角三角形的判定：(1)顶角为90的等腰三角形．(2)底角为45的等腰三角形．8.等腰三角形的两大特性。

9.构造等腰三角形（两圆一线找等腰）。

第二部分：直角三角形基础知识1、勾股定理和它的逆定理：勾股定理：若 一 个直角三角形的两直角边为a 、b 斜边为c 则a 、b 、c 满足 逆定理：若一个三角形的三边a 、b 、c 满足 则这个三角形是直角三角形【名师提醒：1、勾股定理在几何证明和计算中应用非常广泛，要注意和二次根式的结合 2、勾股定理的逆定理是判断一个三角形是直角三角形或证明线段垂直的主要依据， 3、勾股数，列举常见的勾股数三组 、 、 】 2、直角三角形的性质：除勾股定理外，直角三角形还有如下性质： ⑴直角三角形两锐角⑵直角三角形斜边的中线等于⑶在直角三角形中如果有一个锐角是300，那么它所对 边是 边的一半 3、直角三角形的判定：除勾股定理的逆定理外，直角三角形还有如下判定方法：⑴定义法有一个角是 的三角形是直角三角形 ⑵有两个角 的三角形是直角三角形⑶如果一个三角形一边上的中线等于这边的 这个三角形是直角三角形【名师提醒：直角三角形的有关性质在四边形、相似图形、圆中均有广泛应用，要注意这几条性质的熟练掌握和灵活运用】第三部分，解直角三角形基础知识锐角三角函数的概念1、如图，在△ABC 中，∠C=90°①锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦， 记为sinA ，即casin =∠=斜边的对边A A②锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记为cosA ，即c bcos =∠=斜边的邻边A A③锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记为tanA ，即batan =∠∠=的邻边的对边A A A2、锐角三角函数的概念锐角A 的正弦、余弦、正切、都叫做∠A 的锐角三角函数3、一些特殊角的三角函数值三角函数30°45°60°sinα 21 22 23cos α 23 2221tan α33134、各锐角三角函数之间的关系 （1）互余关系：sinA=cos(90°—A)，cosA=sin(90°—A) ； （2）平方关系：1cos sin 22=+A A （3）倒数关系：tanA ∙tan(90°—A)=1 （4）弦切关系：tanA=AAcos sin 5、锐角三角函数的增减性 当角度在0°~90°之间变化时，（1）正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；（2）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；（3）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；（ 解直角三角形1、解直角三角形的概念在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。

等腰三角形与直角三角形讲义一、等腰三角形（一）等腰三角形的定义有两边相等的三角形叫做等腰三角形。

相等的两条边称为腰，另一条边称为底边。

两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角。

（二）等腰三角形的性质1、等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。

2、等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）。

例如，在等腰三角形 ABC 中，AB ＝ AC，如果 AD 是顶角∠BAC 的平分线，那么 AD 也是底边 BC 上的中线和高；如果 AD 是底边 BC 上的中线，那么 AD 也是顶角∠BAC 的平分线和底边 BC 上的高；如果 AD 是底边 BC 上的高，那么 AD 也是顶角∠BAC 的平分线和底边BC 上的中线。

（三）等腰三角形的判定1、如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）。

2、有两条边相等的三角形是等腰三角形。

（四）等腰三角形的周长和面积1、周长：等腰三角形的周长＝腰长×2 ＋底边长度。

2、面积：等腰三角形的面积＝底×高÷2。

（五）等腰三角形的常见题型1、利用等腰三角形的性质求角度。

比如，已知等腰三角形的一个底角为 70°，求顶角的度数。

因为等腰三角形的两个底角相等，所以另一个底角也是 70°，根据三角形内角和为 180°，顶角的度数为 180° 70°×2 ＝ 40°。

2、利用等腰三角形的判定证明三角形是等腰三角形。

给定一个三角形，已知其中两个角相等，证明它是等腰三角形。

3、利用等腰三角形的周长和面积解决实际问题。

例如，要制作一个等腰三角形的招牌，已知腰长为 5 米，底边长为6 米，求制作这个招牌需要多少材料（即求周长），以及招牌的面积是多少。

二、直角三角形（一）直角三角形的定义有一个角为 90°的三角形，叫做直角三角形。

第21讲 等腰三角形与直角三角形（特殊的三角形）参考答案二、【课前热身---经典链接】（磨刀不误砍柴功！！！） 得分：1. 2 2． PD=PC （答案不唯一） 3． 15 4. D 5． C三、【知识要点梳理—知识链接】1.等腰三角形（1）两边（2）性质：①两腰； ②底角（即等边对等角）；③重合；④轴对称 垂直平分线（3）判定：①两边；②两个角2.等边三角形（1）三边（2）性质：①三边；②三个角，600；③轴对称，3（3）判定：①三边；②三个角；③6003.直角三角形（1）性质：①互余；②一半 （2）判定：①直角；②中线4. 勾股定理及其逆定理（1）平方和 平方 （2）平方和 平方五、【中考链接一湛江真题】快乐一练！ 得分___________1. C2. ()12-n3. C 4．Ｃ六、【中考演练二----2010-2012年中考题】得分___________ 1．360 2．30 3．B 4．C5．证明：∵AE 平分∠DAC ， ∴∠1=∠2，∵AE ∥BC ， ∴∠1=∠B ，∠2=∠C ，∴∠B=∠C ，∴AB=AC ．6.解：在Rt △ABC 中，∵AC=8m ，BC=6m ， ∴AB=10m ，（1）当AB=AD 时，CD=6m ，△ABD 的周长为32m ；（2）当AB=BD 时，CD=4m ，AD=54m ，△ABD 的周长是（20+54）m ；（3）当DA=DB 时，设AD=x ，则CD=x-6，则()22286+-=x x ，∴325=x ，∴△ABD 的周长是380m ， 答：扩建后的等腰三角形花圃的周长是32m 或（20+54）m 或380m . 七、【中考演练三---备考核心演练】 得分___________1．B 2．C 3．D 4．B 5. 3 6．4 7．18 8．3第5题9．解：仍有等腰三角形一腰的垂直平分线与底边或底边的延长线相交所成的锐角等于顶角的一半．答：四边形ABCD 的面积是36．。

(1)判断∠ABE与∠ACD的数量关系,并说明理由. (2)求证:过点A,F的直线垂直平分线段BC. 【思路点拨】(1)根据全等三角形的判定SAS可证明 △ABE≌△ACD,然后可得证.(2)根据(1)的结论和等腰三 角形的性质,可由线段垂直平分线的判定得证.
【自主解答】(1)∠ABE=∠ACD. 因为AB=AC,∠BAE=∠CAD,AE=AD, 所以△ABE≌△ACD. 所以∠ABE=∠ACD.
_____3_____个．
图 4－2－27
6.已知等腰三角形一边长为4,另一边长为8,则这个 等腰三角形的周长为20或16. ( × ) 7.如图,在△ABC中,∠B=∠C,AB=5,则AC的长为5.
( √)
8.如图,在△ABC中,AB=AC,且D为BC上一点,CD=AD, AB=BD,则∠B的度数为36°. ( √ )
图1
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图2
考点 2 直角三角形的性质和判定
5．(2011 年广东肇庆)在直角三角形 ABC 中，∠C＝90°， BC＝12，AC＝9，则 AB＝1_5_______.
6．(2010 年广东汕头)如图 4－2－29，把等腰直角三角形 △ABC 沿 BD 折叠，使点 A 落在边 BC 上的点 E 处．下面结论
【变式训练】 1.(2017·滨州中考)如图,在△ABC中,AB=AC,D为BC上 一点,且DA=DC,BD=BA,则∠B的大小为 ( )
A.40° B.36° C.80° D.25°
【解析】选B.设∠C=x°,由于DA=DC,可得∠DAC=∠C =x°,由AB=AC可得∠B=∠C=x°.∴∠ADB=∠C+∠DAC =2x°,由于BD=BA,所以∠BAD=∠ADB=2x°,根据三角形 内角和定理,得x°+x°+3x°=180°,解得x=36.所以 ∠B=36°.

B组 2015—202X年全国中考题组
考点一 等腰三角形
1.(202X内蒙古包头,10,3分)已知等腰三角形的三边长分别为a、b、4,且a、b是关于x的一元二次方程x2-12x +m+2=0的两根,则m的值是 ( ) A.34 B.30 C.30或34 D.30或36
答案
A
由根与系数的关系可得
a b ab
m
12, 2,
当a=4时,b=8;
当b=4时,a=8.
这两种情况都不能构成三角形,
∴a=b=6,∴m=34,故选A.
易错警示 本题易错选C,原因是未考虑到a=4,b=8或b=4,a=8的情况下不能构成三角形.
2.(202X吉林,5,2分)如图,在△ABC中,以点B为圆心,以BA长为半径画弧交边BC于点D,连接AD.若∠B=40°, ∠C=36°,则∠DAC的度数是 ( )
中考数学
（安徽专用）
第四章 图形的认识
§ 4.(202X安徽,10,4分)如图,在Rt△ABC中,AB⊥BC,AB=6,BC=4.P是△ABC内部的一个动点,且满足∠PAB=∠ PBC.则线段CP长的最小值为 ( )
A. 3
2
C. 8 13
13
B.2 D.12 13
13
答案 B ∵∠PAB=∠PBC,∠PBC+∠ABP=90°,∴∠PAB+∠ABP=90°,∴∠P=90°.取AB的中点O,则P在以
AB为直径的圆上.当点O,P,C三点共线时,线段CP最短,
∵OB= 1 AB=3,BC=4,∴OC= 32 42 =5,又OP= 1 AB=3,∴线段CP长的最小值为5-3=2,故选B.
A.70° B.44° C.34° D.24° 答案 C 由作图知BA=BD,∴∠BAD=∠BDA=70°,∵∠BDA=∠C+∠DAC,∴∠DAC=∠BDA-∠C=34°,故 选C.

还是底角进行讨论．注意运用分类讨论的方法，将
问题考虑全面，不能想当然．
(3)在已知三角形三边的前提下，判断这个三角形是否 为直角三角形，首先要确定三条边中的最大边，再根 据勾股定理的逆定理来判定．在解题时，往往受思维 定式的影响，误认为如果是直角三角形，则c就是斜边
，从而造成误解．
(2013· 陕西)如图， 四边形 ABCD 的对角线 AC， BD 相交于点 O， 且 BD 平分 AC.若 BD＝8，AC＝6，∠BOC＝120°，则四边形 ABCD 的面积为__12 3__．
2．(2012·肇庆)如图，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC
与BD交于点O，AC＝BD.求证：(1)BC＝AD；
(2)△OAB是等腰三角形．
解：(1)∵AC⊥BC，BD⊥AD，∴∠D＝∠C＝90°， 在Rt△ACB和Rt△BDA中，AB＝BA，AC＝BD， ∴△ACB≌△BDA(HL)，∴BC＝AD (2)由△ACB≌△BDA得∠CAB＝∠DBA，
(2)(2013·黔西南州)如图，已知△ABC是等边三角形
，点B，C，D，E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝
DE，则∠E＝ 15 度．
(3)(2013·白银)等腰三角形的周长为16，其一边长 为6，则另两边为 6,4或5,5 ．
等腰三角形的性质 【例2】 (2014·杭州)在△ABC中，AB＝AC，点
3．(1)(2014·益阳)如图，将等边△ABC绕顶点A顺时
针方向旋转，使边AB与AC重合得△ACD，BC的中 60° ． 点E的对应点为F，则∠EAF的度数是
(2)(2012· 荆州)如图，△ABC 是等边三角形，P 是∠ABC
的平分线 BD 上一点，PE⊥AB 于点 E，线段 BP 的垂直

考点4
勾股定理及其逆定理
等于 1．勾股定理：直角三角形中，两直角边的平方和________
斜边的平方． 2．勾股定理的逆定理：若一个三角形中有两边的平方和等 平方 ，则这个三角形是直角三角形． 于第三边的________
【学有奇招】 1．“等角对等边”应用极为广泛，但一定要注意前提条件 是在同一个三角形中． 2．等边三角形的三个判定定理的前提不同，判定定理(1)
60° (2)等边三角形的三个角都是______________ ．
轴对称图形 ，有_______ 三 (3)对称性：等边三角形是____________ 条 对称轴．
考点3
直角三角形的判定与性质
1．判定． 直角 的三角形是直角三角形． (1)有一个角是________ (2)勾股定理的逆定理． 2．性质． 互余 ． (1)直角三角形的两个锐角________ 一半 ． (2)直角三角形中 30°角所对的直角边等于斜边的_______ 一半 ． (3)直角三角形中，斜边上的中线长等于斜边长的_______
考点 1 等腰三角形的判定与性质
1．判定．
相等 的三角形是等腰三角形，即“等边对 (1)有两条边________
等角”．
相等 的三角形是等腰三角形，即“等角对 (2)有两个角________ 等边”．
2．性质． 相等 ，即“等边对等角”． (1)等腰三角形的两个底角________ (2)三线合一：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、 重合 ． 底边上的高互相________ (3) 对称性：等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是 底边上的高(中线)或顶角的角平分线 _________________________________________ 所在的直线．

例 2 如图，△ ABC 是等腰直角三角形，BC 是斜边，将△ ABP 绕点 A 逆时针旋转后，能与△ ACP′重合，如果 AP＝ 3，那么 PP′的长 等于( ) A． 3 2 B．2 3 C．4 2 D．3 3
【点拨】本组题考查直角三角形的基础知识和相关性质、判定．
例 4． 有一张直角三角形纸片， 两直角边长 AC＝6 cm， BC＝8 cm ，将△ABC 折叠，使点 B 与点 A 重合，折痕为 DE(如图)，则 CD 等于( )
拓展
考点2
勾股定理及逆定理
勾股 直角三角形两直角边 a、b 的平方和，等于斜边 2 2 2 a ＋ b ＝ c 定理 c 的平方．即：____________ 勾股 如果三角形的三边长 a、b、c 定理 逆定理 有关系： ____________ ，那么 a2＋b2＝c2 的逆 这个三角形是直角三角形 定理 （直 (1)判断某三角形是否为直角三 角三 用途 角形； (2)证明两条线段垂直； (3) 角形 解决生活实际问题 的判 定） 勾股 能构成直角三角形的三条边长的三个正整数， 数 称为勾股数
第21讲┃直角三角形与勾股定理
第21讲┃ 考点聚焦
考点聚焦
考点1
定义
直角三角形的概念、性质与判定
直角 的三角形叫做直角三角形 有一个角是________
(1)直角三角形的两个锐角互余
性质
(2)在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于 ____________ 斜边的一半
斜边的一半 (3)在直角三角形中，斜边上的中线等于____________
第16讲┃ 直角三角形
6．将一副直角三角板，按如图 16－ 7 所示叠放在一起，则 图中∠ α 的度数是 ________ 75° ．

等腰三角形与直角三角形讲义1．△ABC中，AB=AC，∠A=70°，则∠B=_55°_____2．等腰三角形一底角的外角为105°，那么它的顶角为_30_____度3．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60°，则这个等腰三角形的顶角为（ C ）A．30° B．150° C．30°或150° D．120°【知识梳理】1、等腰三角形及其性质（1）有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角．（2）性质性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）．性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合．2、等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）．3.一般地，两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．等腰直角三角形的两个底角相等，都等于45°．4、直角三角形的性质:直角三角形ABC可以表示为Rt△ABC．（1）直角三角形中，如果两条直角边为a、b，斜边为 c，斜边上的高为h，那么它们存在这样的关系：或.（2）定理：直角三角形的两个锐角互余．推理过程：在△ABC中，∵∠C＝90°，∴∠A＋∠B＝90°（或∠A＝90°－∠B，∠B＝90°－∠A）．说明：这一定理应用的前提是Rt△，已知一个锐角，求另一个角．反过来，有两个角互余的三角形是直角三角形，可以作为判定三角形是直角三角形的方法．（3）定理：在直角三角形中，如果一个锐角为30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．推理格式：∵在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，∴BC＝AB．(4）定理：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角为30°．推理格式：∵在△ABC中，∠C＝90°，BC＝AB，∴∠A＝30°．【典型例题】知识点一：等腰三角形考点一：等腰三角形的判断与证明例1、如图，△ABC中，D、E分别是AC，AB上的点，BD与CE交于点O，给出下列四个条件：①∠EBO=∠DCO；②∠BEO=∠ODC；③BE=CD；④OB=OC．（1）上述四个条件中，哪两个条件可判定△ABC是等腰三角形（用序号写出所有情形）．（2）选择第（1）题中的一种情形，证明△ABC是等腰三角形．分析：这是一道开放型的题目，考虑分析各种情形，从中选出适合题意的情形．解：（1）①③，①④，②③，②④．（2）选择①④来证明结论成立．已知：∠EBO=∠DCO，OB=OC．求证：△ABC是等腰三角形．证明：∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB．又∵∠EBO=∠DCO，∴∠ABC=∠ACB，∴AB=AC．∴△ABC为等腰三角形．例2、如图，在△ABC中，AB=AC，O为△ABC内一点，且OB=OC．求证：AO⊥BC．证明：延长AO交BC于D．在△ABO与△ACO中，∴△ABO≌△ACO，∴∠BAO=∠CAO，即∠BAD=∠CAD，∴AO⊥BC．考点二：利用等腰三角形求度数例3、如图，点D在AC上，点E在AB上，且AB=AC，BC=BD，AD=DE=BE．求∠A的度数．分析：本题中没有给出一个角的度数，而要求∠A的度数，必然是运用三角形内角和定理，其解题思路是设某一个角的度数为x，其他各角都能用x的代数式表示，列出代数方程求解．解：设∠A=x．∵AD=DE=EB∴∠DEA=∠A=x，∠EBD=∠EDB．又∵∠DEA=∠EBD＋∠EDB，∴∠EBD=∠EDB=．∴BDC=∠A＋∠ABD=．∵BD=BC，AB=AC，∴∠BDC=∠BCD=∠ABC=．在△ABC中，∠A＋∠ABC＋∠ACB=180°，即，∴x=45°，即∠A=45°．例4、已知：AD和BE是△ABC的高，H是AD与BE或是AD、EB延长线的交点，BH=AC．求∠ABC的度数．（1）当H是AD与BE的交点时，∵BE、AD是△ABC的高，∴∠4=∠3=∠5=90°，∴∠1＋∠C=∠2＋∠C=90°，∴∠2=∠1．又∵BH=AC，∴△BHD≌△ACD，∴BD=AD，∴∠DBA=∠6．又∵∠6＋∠DBA=90°，∴∠DBA=45°，即∠ABC=45°．（2）当H是AD、EB延长线的交点时，∵BE、AD是△ABC的高，∴∠3=∠2=90°，∠4=90°，∴∠1＋∠H=90°，∴∠CAD＋∠H=90°，∴∠1=∠CAD．又∵BH=AC，∴△DBH≌△DAC，∴DB=DA，∴∠5=∠6．又∵∠5＋∠6=90°，∴∠6=45°，∴∠ABC=180°－45°=135°．故∠ABC的度数为45°或135°．考点三：几种辅助线作法：证明线段的和、差、倍、分问题时，常采用“截长”、“补短”等方法．例6、如图，已知AD是△ABC的角平分线，∠B=2∠C，求证：AC=AB＋BD．（你可以用不同的方法证明吗）方法一：（截长法）在AC上截取AE=AB，连接DE．因为AD平分∠BAC，所以∠2=∠1．又因为AD=AD，所以△BAD≌△EAD（SAS）．所以BD=ED．所以∠3=∠B=2∠C．因为∠3=∠C＋∠4，所以2∠C=∠C＋∠4，所以∠C=∠4，所以DE=CE．所以CE=BD．所以AC=AE＋EC=AB＋DB．方法二：（补短法）如图，延长AB到E，使BE=BD，连接DE，所以∠E=∠1．因为∠2=∠E＋∠1=2∠E，又因为∠2=2∠C（已知），所以∠C=∠E．因为∠4=∠3，AD=AD，所以△ADC≌△ADE（AAS），所以AC=AE．因为AE=AB＋BD，所以AC=AB＋BD．例7、数学课堂上，老师布置了一道几何证明题，让大家讨论它的证明方法，通过大家的激烈讨论，有几位同学说出了他们的思路，并添加了辅助线，你能根据他们的辅助线的作法写出证明过程吗？如图，已知△ABC中AB=AC，F在AC上，在BA延长线上取AE=AF．求证：EF⊥BC．方法一：解：首先，小明根据等腰三角形这一已知条件，结合等腰三角形的性质，想到了过A作AG⊥BC于G这一条辅助线，如图．证明1：过A作AG⊥BC于G．∵AB=AC，∴∠3=∠4．又∵AE=AF，∴∠1=∠E．又∵∠3＋∠4=∠1＋∠E，∴∠3=∠E，∴AG//EF，∴EF⊥BC．方法二：接着小亮根据题设AE=AF，结合等腰三角形的性质作出过A作AH⊥EF于H这条辅助线，如图．证明2：过A作AH⊥EF于H．∵AE=AF，∴∠EAH=∠FAH．又∵∠AB=AC，∴∠B=∠C．又∵∠EAH＋∠FAH=∠B＋∠C，∴∠EAH=∠B，∴AH//BC，∴EF⊥BC．方法三：小彬也作出了一条辅助线，过C作MC⊥BC交BA的延长线于M，如图．证明3：过C作MC⊥BC交BA的延长线于M，则∠1＋∠2=90°．∵AE=AF，∴∠AEF=∠AFE，∴∠EAF=180°－2∠AFE．又∵AB=AC，∴∠B=∠1．又∵∠EAF=∠B＋∠1，∴∠EAF=2∠1，∴2∠1=180°－2∠AFE，∴∠1＋∠AFE=90°，∴∠2=∠AFE，∴DE//MC，∴EF⊥BC．方法四：小颖的作法是：过E作EN⊥EF交CA的延长线于N，如图．证明4：过E作EN⊥EF交CA的延长线于N，则∠1＋∠2=90°．∵AE=AF，∴∠2=∠AFE，∴∠EAF=180°－2∠2．又∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠EAF=∠B＋∠C=2∠B，∴2∠B=180°－2∠2，∴∠B＋∠2=90°，∴∠1=∠B，∴EN//BC，∴EF⊥BC．方法五：小虎的作法是：过E点作EP//AC交BC的延长线于P，如图．证明5：过E作EP//AC交BC的延长线于P，则∠AFE=∠2，∠3=∠P．又∵AE=AF，∴∠1=∠AFE，∴∠1=∠2．又∵AB=AC，∴∠B=∠3，∴∠B=∠P，∴EB=EP，∴EF⊥BC．方法六：大家都在激烈地讨论着如何作出辅助线时，小红突然站起来说，不作辅助线也可以证明，你说是吗？（如图）．证明6：∵AE=AF，∴∠1=∠E．又∵∠2=∠1＋∠E，∴∠2=2∠E．又∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠2=180°－2∠B，∴2∠E=180°－2∠B，即∠E＋∠B=90°，∴∠3=180°－90°=90°，∴EF⊥BC．例8、如图，在△ABC中，AB=2AC，AD平分∠BAC，AD=BD．求证：CD⊥AC．证明：取AB的中点E，连结DE．∵AD=BD，∴DE⊥AB，∴∠3=90°．又∵AB=2AC，AB=2AE，∴AE=AC．又∵∠1=∠2，AD=AD，∴△AED≌△ACD，∴∠3=∠ACD，∴∠ACD=90°，∴CD⊥AC．例9、如图，△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延长线上，且BD=CE，连结DE交BC于F．求证：DF=EF．过E作EG//AB交BC的延长线于G，则∠G=∠B．又∵AB=AC，∴∠B=∠1．又∵∠1=∠ECG，∴∠G=∠ECG，∴CE=GE．又∵BD=CE，∴BD=GE．又∵∠BFD=∠GFE，∴△BDF≌△GEF，∴DF=EF．知识点二：直角三角形考点一：30°所对的直角边等于斜边的一半例1（将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm的纸带边沿上．另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，如图，则三角板的最大边的长为（）A．3cm B．6cm C．32cm D．62cm思路分析：过另一个顶点C作垂线CD如图，可得直角三角形，根据直角三角形中30°角所对的边等于斜边的一半，可求出有45°角的三角板的直角直角边，再由等腰直角三角形求出最大边．点评：此题考查的知识点是含30°角的直角三角形及等腰直角三角形问题，关键是先由求得直角边，再由勾股定理求出最大边．例2.如图，∠ACB = ∠ADB = 90°，AC = AD，E是AB上的一点。

总复习第20课时
§等腰三角形和直角三角形
等腰三角形与等边三角形
等角对等边；等边对等角；等腰三角形顶角平分线、底边上的中线和底边上的高线互相重合。

等边三角形：每个角是60°；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

直角三角形：勾股定理；直角三角形斜边上的中线是斜边一半；两个锐角互余；30度所对的直角边是斜边一半，另一直角边是其3倍；
中垂线性质：线段中垂线上的点到线段两个端点的距离相等。

角平分线性质：角平分线上的点到角的两边距离相等。

练习：
1、已知：点D在等边⊿ABC的边BA的延长线上，点E、F在BC的延长线
上，且AD=BE=CF，求证：AC∥DF；DC=DE。

2、已知点P在⊿ACB的平分线上，PD⊥CA，PE⊥CB，垂足分别是D、E，DG
∥PE交CP于F，垂足一G，DE交CP于点O，求证：DE、PF互相垂直平分于点O。

3、已知：在⊿ABC中，∠ACB是90°，AC=BC，CD⊥AB，垂足为D，CE平分
1AF。

∠ACD，BF⊥CE，垂足是G，交CD 于点H，求证：DH=
2
4、已知：C是线段AB上的一点，且AC：CB=1：2，⊿ACD和⊿BCE均是等边
三角形，求：∠DEB的度数。

5、在正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC的中点，AF和DE交于点P，求
证：CP=CD。

6、已知：⊿ABC中，∠ACB=9°0，O在ABC内一点，且S
⊿OAB =S
⊿OBC
=S
⊿OAC
，求
证：OA2+OB2=5OC2。

(1)OA=OB=OC. (2)△OMN是等腰直角三角形.
【例2】如图4-3-2所示，在四边形ABCD中，AB=AD=8， ∠A=60°，∠D=150°已知四边形的周长为32，求四边 形ABCD的面积.
S四边形ABCD=16
3 +24.
【例3】已知：如图4-3-3所示，等腰△ABC的底边长8cm，腰长 5cm，一动点P在底边上从B向C以0.25cm/秒的速度运动，当点P 运动到PA与腰垂直的位置时，求点P运动的时间?
3.如果等腰三角形底边上的高等于腰长的一半，那么这 个等腰三角形的顶角为( D ) A.30° B.60° C.150 ° D.120° 4.在下列四个命题中，正确的命题的个数是( D) ①等腰三角形两腰上的中线相等 ②等腰三角形两腰上的高相等 ③等腰三角形两底角的平分线相等 ④等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等 A.1 B.2 C.3 D.4
(3)角平分线是到角两边的距离相等的所有点组成的集 合. (4)互逆命题与互逆定理. 2.线段垂直平分线的性质定理及逆定理 (1)性质定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个 端点的距离相等. (2)逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这 条线段的垂直平分线上. (3)用符号语言表示线段垂直平分线的性质定理和逆定 理.如图4-4-2所示. 性质定理：∵PC是线段AB的中垂线 ∴PA=PB 逆定理：∵PA=PB ∴点P在AB的中垂线上.
【注意】 这里不可 说PC是AB的中垂线. (4)线段中垂线是和线段两个端点距离相等的所有 点的集合.
典型例题解析
【例1】 (2003· 广东省)如图4-3-1所示，在Rt△ABC中， AB=AC，∠BAC=90°，O为BC中点. (1)写出O点到△ABC的三个顶点A、B、C的距离的关系 .(不要求证明) (2)如果点M、N分别在线段AB、AC上移动，在移动中保 持AN=BM，请判断△OMN的形状，并证明你的结论.

第三节等腰三角形与直角三角形,河北8年中考命题规律)等边三角形的相关计算(2次)1．(2013河北13题3分)一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，若∠3＝∠50°，则∠1＋∠2＝( ) A ．90° B ．100° C ．130° D ．180°(第1题图)(第2题图)2．(2009河北17题3分)如图，等边△ABC 的边长为1cm ，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，将△ABC 沿直线DE 折叠，点A 落在点A′处，且点A′在△ABC 外部，则阴影部分图形的周长为________cm .直角三角形的相关计算(3次)3．(2011河北9题3分)如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝6，D 、E 分别在AB 、AC 上，将△ABC 沿DE 折叠，使点A 落在点A′处，若A′为CE 的中点，则折痕DE 的长为( )A .12B ．2C ．3D ．4 (第3题图)(第4题图)4．(2012河北14题3分)如图，AB 、CD 相交于点O ，AC ⊥CD 于点C ，若∠BOD ＝38°，∠A 等于______． 5．(2008河北18题3分)如图(1)是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若AC ＝6，BC ＝5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图(2)所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是________．(第5题图)(第6题图)6．(2015唐山丰润区二模)如图，已知△ABC 为等边三角形，BD 为中线，延长BC 至E ，使CE ＝CD ＝1，连接DE ，则DE 等于( )A .32B . 3C ．2 3D .127．(2015秦皇岛模拟)已知：一等腰三角形的两边长x ，y 满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝3，3x ＋2y ＝8，则此等腰三角形的周长为________．8．(2015唐山滦县一模)等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36°，则该等腰三角形的底角的度数为______． 9．(2015唐山路北区二模)如图，在等边三角形ABC 中，点D 、E 分别在边BC 、AC 上，且DE ∥AB ，过点E 作EF ⊥DE ，交BC 的延长线于点F.(1)求∠F 的度数；(2)若CD ＝2，求DF 的长．,中考考点清单)等腰三角形的性质与判定1有两边相等的三角形是等腰三角形，相等的两边叫腰，第三边为底(1)等腰三角形两腰相等(即AB ＝AC)；(2)等腰三角形的两底角________(即∠B ＝________)；(3)等腰三角形是轴对称图形，有一条对称轴；(4)等腰三角形顶角的平分线、底边上的高和底边的中线互相重合；三边相等的三角形是等边三角形(1)等边三角形三边相等(即AB ＝BC ＝AC)；(2)等边三角形三角相等，且每一个角都等于________(即∠A ＝∠B ＝∠C ＝________)；(3)等边三角形内、外心重合；(4)等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴；(5)面积：S △ABC ＝12BC ·AD(1)三边都相等的三角形是等边三角形；直角三角形的性质与判定(高频考点)直角三角形的性质与判定近8年考查3次，题型均为填空题，设问方式为：1.求角度；2.求线段长度；3.求周长．结合的背景有：1.与三角形折叠结合；2.以赵爽弦图为背景；3.利用三角形余角的性质求角度．3 有一个角等于90°的三角形叫做直角三角形(1)直角三角形的两个锐角之和等于______；(2)直角三角形斜边上的____等于斜边的一半(即BD ＝12AC)；(3)直角三角形中________角所对应的直角边等于斜边的一半(即AB ＝12AC)；(4)勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么a 2＋b 2＝c 2； (5)在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°4.等腰三角形的相关计算【例1】如图，等腰△ABC 中，AB ＝AC ，AB 的垂直平分线MN 交AC 于点D ，且∠DBC ＝15°，则∠A ＝________．【解析】由线段垂直平分线定理知AD＝BD，∴∠A＝∠ABD，又∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，设∠A＝x，则2(x＋15°)＋x＝180°，∴∠A＝x＝50°.【学生解答】1．(2014扬州中考)如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝12，点M，N在边OB上，PM＝PN，若MN＝2，则OM＝()A．3B．4C．5D．6,(第1题图)),(第2题图)) 2．(2015舟山中考)如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AB，已知∠ADE＝40°，则∠DBC ＝________．直角三角形的相关计算【例2】(2015宿迁中考)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC与BC相交于点D，若BD＝4，CD＝2，则AB的长是________．,(例2题图)),(例2题解图)) 【解析】如解图，过D作DE⊥AB，∵∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，∴DE＝CD＝2，在Rt△BDE中，DE＝2，BD＝4，∴∠B＝30°，在Rt△ABC中，BC＝CD＋BD＝6，∴AC＝63＝23，∴AB＝23·2＝4 3.【学生解答】3．(2015吉林中考)如图，△ABC中，∠C＝45°，点D在AB上，点E在BC上．若AD＝DB＝DE，AE＝1，则AC的长为()A. 5 B．2 C. 3 D. 24．如图，在△ABC 中，∠B ＝30°，BC 的垂直平分线交AB 于点E ，垂足为D ，CE 平分∠ACB ，若BC ＝2，则AC 的长为( )A . 3B ．1C . 2D ．2,中考备考方略)1．(2015秦皇岛二模)若实数x ，y 满足|x －4|＋y －8＝0，则以x ，y 的值为两边长的等腰三角形的周长是( ) A ．12 B ．16 C ．16或20 D ．202．(2014滨州中考)下列四组线段中，可以构成直角三角形的是( ) A ．4，5，6 B ．1.5，2，2.5 C ．2，3，4 D ．1，2，3 3．(2015秦皇岛11中模拟)如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，AD 是△BAC 的角平分线，DE ⊥AB ，垂足为E ，DE ＝1，则BC ＝( )A .3B ．2C ．3D .3＋2(第3题图)(第4题图)4．(2015沧州中考)如图，在锐角三角形ABC 中，AD 、CE 分别是边BC 、AB 上的高，垂足分别是D 、E ，AD 、CE 相交于点O ，若∠B ＝60°，则∠AOE 的度数是( )A ．60°B ．50°C ．70°D ．80°5．(2015保定中考)在△ABC 中，若AC ＝15，BC ＝13，AB 边上的高CD ＝12，则△ABC 的周长为( ) A ．32 B ．42C ．40或42D ．32或426．(2015枣庄中考)如图，△ABC 中，AB ＝4，AC ＝3，AD 、AE 分别是其角平分线和中线，过点C 作CG ⊥AD 于F ，交AB 于G ，连接EF ，则线段EF 的长为( )A .12B ．1C .72D ．7 (第6题图)(第7题图)7．(2015吉林中考)如图，△ABC 中，∠C ＝45°，点D 在AB 上，点E 在BC 上，若AD ＝DB ＝DE ，AE ＝1，则AC 的长为( )A . 5B ．2C . 3D . 28．(2015聊城中考)如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，BD 是∠ABC 的平分线，若AB ＝6，则点D到AB 的距离是________．(第8题图)(第9题图)9．(2015陕西中考)如图，在△ABC 中，∠A ＝36°，AB ＝AC ，BD 是△ABC 的角平分线，若在边AB 上截取BE ＝BC ，连接DE ，则图中等腰三角形共有( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个10．(2014德阳中考)如图，△ABC 中，∠A ＝60°，将△ABC 沿DE 翻折后，点A 落在BC 边上的点A′处，如果∠A′EC ＝70°，那么∠A′DE 的度数为________．11．(2015资阳中考)如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝1，E 、F 为线段AB 上两动点，且∠ECF ＝45°，过点E 、F 分别作BC 、AC 的垂线相交于点M ，垂足分别为H 、G.现有以下结论：①AB ＝2；②当点E与点B 重合时，MH ＝12；③AF ＋BE ＝EF ；④MG·MH ＝12.其中正确结论为( )A ．①②③B ．①③④C ．①②④D ．①②③④(第11题图)(第12题图)12．(2015苏州中考)如图，在△ABC 中，CD 是高，CE 是中线，CE ＝CB ，点A 、D 关于点F 对称，过点F 作FG ∥CD ，交AC 边于点G ，连接GE.若AC ＝18，BC ＝12，则△CEG 的周长为________．13．(2015北京中考)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是BC 边上的中线，BE ⊥AC 于点E.求证：∠CBE ＝∠BAD.14．(2014承德2中模拟)如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，过点A作AE⊥CD，AE分别与CD、CB相交于点H、E，AH＝2CH.(1)求sin B的值；(2)如果CD＝5，求BE的长．15．(2015菏泽中考)如图，已知∠ABC＝90°，D是直线AB上的点，AD＝BC.(1)如下图，过点A作AF⊥AB，并截取AF＝BD，连接DC、DF、CF，判断△CDF的形状并证明；(2)如下图，E是直线BC上的一点，且CE＝BD，直线AE、CD相交于点P，∠APD的度数是一个固定的值吗？若是，请求出它的度数，若不是，请说明理由．。

等腰三角形与直角三角形考点一等腰三角形1．定义：有相等的三角形叫做等腰三角形．2. 性质：（1）等边对等角：等腰三角形的两条腰，两个底角。

符号语言：（2）“三线合一”:等腰三角形的顶角的，底边上的及底边上的互相重合。

符号语言：（3）对称性：等腰三角形是对称图形，有条对称轴3．判定(1)有两条边相等的三角形是等腰三角形；(2)有相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）．符号语言：考点二等边三角形1．定义：都相等的三角形叫做等边三角形2．性质(1)三边相等；(2)三角相等，且每一个角都等于；(3)它是对称图形，有条对称轴.3．判定(1)三边都相等的三角形是等边三角形；(2)三角都相等的三角形是等边三角形；(3)有一个角是60°的三角形是等边三角形．考点三直角三角形1．性质(1)直角三角形两个锐角之和等于；(2)直角三角形斜边上的中线等于斜边的；符号语言：(3)直角三角形30°角所对的直角边等于；符号语言：(4)勾股定理：若直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，则有；(5)常用勾股数：(3,4,5)，(5,12,13)，(8,15,17)，(7,24,25)．2．判定(1)有一个角为的三角形是直角三角形；(2)有两个角的三角形是直角三角形。

(3)勾股定理的逆定理：若a2＋b2＝c2，则以a ，b ，c 为边的三角形是直角三角形．3．面积计算公式：S ＝ , 其中a ，b 为两条直角边，c 为斜边，h 为斜边上的高，常用等积法求线段长．三、典型例题例1 （1）如图，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，BD ⊥AC ，∠ABC ＝58°，则∠ABD 的度数为 .（1） 变式变式：如图，在△ABC 中，AB=AC,∠A=30°,AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E,连接BE ，则∠CBE 的度数为 。

（2）等腰三角形的一边长为2，另一边长为5，则这个等腰三角形的周长为______题后反思：跟踪练习一1、一个等腰三角形的两边长分别是方程 的两根，则该等腰三角形的周长是（ ）A. 12B. 15C. 13D.12或152、若等腰三角形的一个内角为80°，则它的底角为( )A ．80°B ．50°C ．20°D ．50°或80°3、如图，在△ABC 中，AB=AC ，D 为BC 中点，∠BAD=35°，则∠C 的度数为（ ）A ．35°B ．45°C ．55°D ．60°例2（1）下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是( )（2）如图，在△ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，AC ＝12，F 是DE 上一点，连接AF ，CF ，DF ＝1，若∠AFC ＝90°，则BC 的长度为( )A ．12B ．13C ．14D ．15（2） （3）（3）[2015·青岛]如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，垂足为E ，DE ＝1，则BC 等于( )题后反思： 跟踪练习二1、如图，△ABC 中，CD ⊥AB 于点D ，E 为AC 的中点，若AD ＝6，DE ＝4，则CD ＝ . 29180x x -+=A.3,4,5 B.1,2,3 C.6,7,8 D.1,2,32、[2017·青岛]如图，▱ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，AE ⊥BC ，垂足为E ， AB ＝3，AC ＝2，BD ＝4，则AE 的长为( )第1题 第2题 第3题3、[2017·青岛]如图，在四边形ABCD 中，∠ABC ＝∠ADC ＝90°，E 为对角线AC 的中点，连接BE ，ED ，BD ，若∠BAD ＝58°，则∠EBD 的度数为 度．题后反思： 拓展延伸1、如图，已知在三角形纸片ABC 中，BC ＝3，AB ＝6，∠BCA ＝90°，在AC 上取一点E ，以BE 为折痕，使AB 的一部分与BC 重合，点A 与BC 延长线上的点D 重合，则DE 的长度为( ) A ．6 B ．32、（2018青岛）如图，已知正方形ABCD 的边长为5，点E 、F 分别在AD 、DC 上，AE=DF=2，BE 与AF 相交于点G ，点H 为BF 的中点，连接GH ，则GH 的长为 ．第1题 第2题题后反思：四、回顾反思通过今天的学习，你有什么收获？用你自己的话说说吧！五、课堂检测1、如图，△ABC 中，∠C=90°，AC=BC ，AD 平分∠CAB 交BC 于点D ，DE ⊥AB ，垂足为E ，且AB=6cm ，则△DEB 的周长为 __________2、如图，将矩形ABCD 沿EF 折叠，使顶点C 恰好落在AB 边的中点C ′上，若AB ＝6，BC ＝9，则BF 的长为( )A. 4B. 23C. 4.5D. 53321221A. B. C. D.22773.D 32.C第1题第2题第3题第4题3、如图，在△ABC中，AB=AC,∠C=72°,AB=AC,BD是△ABC的角平分线，若在边AB 上截取BE=BC，连接DE，则图中等腰三角形共有（）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个4、[2016·青岛] 如图，以边长为20cm的正三角形纸板的各顶点为端点，在各边上分别截取4cm长的六条线段，过截得的六个端点作所在边的垂线，形成三个有两个直角的四边形．把它们沿图中虚线剪掉，用剩下的纸板折成一个底为正三角形的无盖柱形盒子，则它的容积cm.为3六、课后作业1．如图，△ABC的周长为30cm，把△ABC的边AC对折，使顶点C和顶点A重合，折痕交BC边于点D，交AC边于点E，连接AD，若AE＝4cm，则△ABD的周长是 .2、如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，点D在BC上，∠ADC＝2∠B，AD＝5，则BC的长为()3、如图，在等腰梯形ABCD中，AD＝2，∠BCD＝60°，对角线CA平分∠BCD，E，F 分别是底边AD，BC的中点，连接EF.点P是EF上的任意一点，连接PA，PB，则PA＋PB 的最小值为.第1题第2题第3题。

温馨提示： 1.三角形三边的垂直平分线交于一点，这一点到三 角形三个顶点的距离相等. 2.锐角三角形三边垂直平分线的交点在三角形内 部，直角三角形三边垂直平分线的交点是斜边的中点， 钝角三角形三边垂直平分线的交点在三角形的外部.
考点一 等腰三角形的性质 例 1(2014·南充)如图，在△ABC 中，AB＝AC，且 D 为 BC 上一点，CD＝AD，AB＝BD，则∠B 的度数 为( )
∠EBO＝∠DCO， ∠EOB＝∠DOC， BE＝CD，
∴△BOE≌△COD.
∴BO＝CO， ∴∠OBC＝∠OCB. ∴∠EBO＋∠OBC ＝∠DCO＋∠OCB. 即∠ABC＝∠ACB， ∴AB＝AC， 即△ABC是等腰三角形．
考点三 等边三角形的性质与判定 例 3(2014·温州)如图，在等边三角形 ABC 中，点 D，E 分别在边 BC，AC 上，且 DE∥AB，过点 E 作 EF⊥DE，交 BC 的延长线于点 F.
答案： C
5．已知 a，b，c 是△ABC 的三边长，且满足关系 式 c2－a2－b2＋|a－b|＝0，则△ABC 是等腰直角三角 形．
解析：∵ c2－a2－b2＋|a－b|＝0， c2－a2－b2 ≥0，|a－b|≥0，∴c2＝a2＋b2，a＝b，∴△ABC 是等 腰直角三角形．
6．如图，△ABC 中，∠A＝80°，∠B＝40°，BC 的垂直平分线交 AB 于点 D，连接 DC.如果 AD＝2， BD＝6，那么△ADC 的周长为 .
(2)∵∠DEC＝60°，∠DEF＝90°， ∴∠CEF＝30°＝∠F. ∴CE＝CF. 又∵∠EDF＝∠CED＝∠ACB＝60°， ∴△CDE 为等边三角形， ∴CD＝CE＝2. ∴DF＝2CE＝4.
方法总结： 等边三角形是特殊的三角形，三条边都相等，三 个角都等于60°，中线、高、角平分线三线合一.根据 以上性质可以进行相关的计算与证明.