自动控制原理第四章广义根轨迹.

信阳师范学院物理电子工程学院教案 自动控制原理

第 页 73 第四章 根轨迹法

教学时数：10学时

教学目的与要求：

1. 正确理解开环零、极点和闭环零、极点以及主导极点、偶极子等概念。

2. 正确理解和熟记根轨迹方程(模方程及相角方程)。熟练运用模方程计算根轨迹上任一点的根轨迹增益和开环增益。

3. 正确理解根轨迹法则，法则的证明只需一般了解，熟练运用根轨迹法则按步骤绘制反馈系统K从零变化到正无穷时的闭环根轨迹。

4. 正确理解闭环零极点分布和阶跃响应的定性关系，初步掌握运用根轨迹分析参数对响应的影响。能熟练运用主导极点、偶极子等概念，将系统近似为一、二阶系统给出定量估算。

5. 了解绘制广义根轨迹的思路、要点和方法。

教学重点：根轨迹与根轨迹方程、绘制根轨迹的基本法则、广义根轨迹、系统闭环零、极点分布与阶跃响应的关系、系统阶跃响应的根轨迹分析。

教学难点：根轨迹基本法则及其应用。

闭环控制系统的稳定性和性能指标主要有闭环系统极点在复平面的位置决定，因此，分析或设计系统时确定出闭环极点位置是十分有意义的。

根轨迹法根据反馈控制系统的开、闭环传递函数之间的关系，直接由开环传递函数零、极点求出闭环极点（闭环特征根）。这给系统的分析与设计带来了极大的方便。

§4－1 根轨迹与根轨迹方程

一、根轨迹

定义：根轨迹是指系统开环传递函数中某个参数（如开环增益K）从零变到无穷时，闭环特征根在s平面上移动的轨迹。

当闭环系统为正反馈时，对应的轨迹为零度根轨迹；而负反馈系统的轨迹为180根轨迹。

例子 如图所示二阶系统，系统的开环传递函数为：

()(0.51)KGsss

图4-1 二阶系统结构图 信阳师范学院物理电子工程学院教案 自动控制原理

第 页 74 开环传递函数有两个极点120,2pp。没有零点，开环增益为K。

第4章 根轨迹

1 第四章 根轨迹

重点内容：

1． 掌握根轨迹定义，系统参数变化对闭环极点分布的影响；

2． 掌握绘制根轨迹的幅值条件和相角条件；

3． 熟练掌握绘制根轨迹的基本规则；

4． 掌握采用根轨迹法分析系统的暂态响应及稳定性。

一般内容：

1． 了解参量根轨迹和非最小相位系统根轨迹的定义及绘制；

难点：

1．用根轨迹法则绘制根轨迹，用根轨迹法分析系统的暂态响应及稳定性。

一.根轨迹：

1.根轨迹的定义

系统参数（如开环增益K）由零增加到∞时，闭环特征根在s平面移动的轨迹称为该系统的闭环根轨迹。

2.根轨迹方程

根轨迹是闭环特征根随参数变化的轨迹，故描述其变化关系的闭环特征方程就是根轨迹方程。

设系统开环传递函数为：nllmiipszsKsHsG110)()()()(

其中： 0K为根轨迹增益；iz是开环零点；lp是开环极点。

则根轨迹方程（系统闭环特征方程）为：0)()(1sHsG

二.绘制常规根轨迹图的规则

规则1 根轨迹的对称性：相对于实轴对称；

规则2根轨迹的分支数及其起点和终点：

根轨迹的分支数为n个，一般取nm；

根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点（包括无限远零点）。

规则3 根轨迹在实轴上的分布

实轴上有根轨迹的区段为右侧的开环实极点与开环实零点数目之和为奇数。

规则4 根轨迹的渐近线：与实轴交点坐标 mnzpmiinllA11)()( 自动控制原理学习指导

2 与实轴正方向的夹角21knm

式中k依次取210、、一直到获得（mn）个倾角为止。

规则5根轨迹的分离点（或汇合点）：

⑴不是所有的系统在绘制根轨迹时，都要求分离点（或汇合点）；只有当两个开环极点之间有根轨迹时，才存在分离点；当两个开环零点之间有根轨迹时，则存在汇合点；否则，无需求根轨迹的分离点（或汇合点）。

1

第四章 根轨迹法

一、填空选择题（每题2分）

1、根轨迹起于开环 点，终于开环 点。

2、根轨迹对称于s平面 轴。

3、控制系统的根轨迹是指系统中某一或某些参数变化时，系统的 在s平面上运动后形成的轨迹。

4、假设某一单位负反馈控制系统的开环传递函数为1)2()(ssKsG，若此时闭环极点为－1.5时，试问此时对应的开环放大系数是 。

5、如果闭环系统的极点全部分布在s平面的 平面，则系统一定稳定。

6、系统的开环传函为G(s)H(s)=)4(3ssK，则实轴上的根轨迹范围是（ ）。

A.[-∞, -4] B.[-4, 0] C.[0, 4] D.[4, ∞]

根轨迹填空题答案

1、根轨迹起于开环 极 点，终于开环 零 点。

2、根轨迹对称于s平面的 实 轴。

3、控制系统的根轨迹是指系统中某一或某些参数变化时，系统的 特征方程的根 或 系统闭环极点 在s平面上运动后形成的轨迹。

4、假设某一单位负反馈控制系统的开环传递函数为1)2()(ssKsG，若此时系统的闭环极点为－1.5时，试问此时对应的开环放大系数是 1 。

5、如果闭环系统的极点全部分布在s平面的 左半 平面，则系统一定稳定。

6、B

2

二、综合计算题及参考答案

a1、（8分）设系统结构图与开环零、极点分布图如下图所示，试绘制其概略根轨迹。

解：

××- 1- -1-1-2-30jw×8’(按规则分解)

a2、（12分）已知某系统开环零、极点分布如下图所示，试概略绘出相应的闭环根轨迹图。

c b a

d ××××××××××

解：每项三分 +)3)(2()1(ssssK 3 c b

a

d ××××××××××

第四章 根轨迹分析法

4．1根轨迹法

1．控制系统的根轨迹

1) 根轨迹的定义

当控制系统的某一参数发生变化时，闭环系统的特征方程的根在S平面上的变化轨迹称为系统的根轨迹。通过控制系统的根轨迹对系统的性能进行分析的方法称为根轨迹法。

2) 根轨迹方程

设控制系统的开环传递函数为：

1*1()()()()mjjniiszGsHsKsp

式中，*K称为根轨迹增益，jz、ip分别为系统的开环零点和极点，系统的闭环特征方程为:

1()()0GsHs

则控制系统的根轨迹方程为：

1*1()1()mjjniiszKsp

注意：

当控制系统的开环传递函数的表述形式为：

11(1)()()(1)mjjniisGsHsKTs

在式中K称为开环增益，j，iT为系统的时间常数，*K与K存在以下的关系：

1*1mjjniiKKT

2．绘制根轨迹的条件

1) 180°根轨迹

当系统的闭环特征方程是式时，所对应的根轨迹称为180°根轨迹。由根轨迹方程就可以得到绘制180°根轨迹的条件： 幅值条件: 1*1()|()()|1()mjjniiszGsHsKsp

相角条件：

11()()()()(21)(0,1,2,......)nmijijGsHsspszkk

2) 0°根轨迹

当系统的闭环特征方程为式时，

1()()0GsHs

所对应的根轨迹称为0°根轨迹。

由根轨迹方程就可以得到绘制0°根轨迹的条件:

幅值条件: 1*1()|()()|1()mjjniiszGsHsKsp