高一数学必修一专项练习：函数与方程与恒成立、存在性问题

专题强化训练一：含参数的不等式方程和恒成立问题

【题型归纳】

题型一：由一元二次方程的解确定参数

1．（2022·贵州毕节·高一期末）已知不等式

210axbx

的解集为11

23xx





，则a，b的值是（）

A．3，6B．6，

1C．6，3D．3，6

2．（2022·河南开封·高一期末）关于x

的不等式

2210axaxa

的解集为

12|xxxx

，且

211xx

，则

22aa



（）

A．3B．3

2C．2D．2

3

3．（2021·天津市第二南开中学高一期中）如果关于x的不等式1

0ax

xb



的解集是

1,3，则不等式21

0

2ax

xb



的解

集是（）

A．31

,

22





B．31

,,

22







C．13

,

22





D．13

,,

22







题型二：一元二次方程根的分布问题

4．（2021·上海·华师大二附中高一期中）已知实数ab，关于x

的不等式210xabxab

的解集为

12,xx

，

则实数a、b、

1x

、

2x

从小到大的排列是()

A．

12axxb

B．

12xabx

C．

12axbx

D．

12xaxb

5．（2021·北京·北师大实验中学高一期中）设方程

2610xx的两个不等实根分别为

12,xx

，则

12||xx

（）

A．3B．6

C．

22D．

42

6．（2021·江苏·高一课时练习）设a为实数，若方程

220xaxa在区间(1,1)

上有两个不相等的实数解，则a的

取值范围是（）.

A．(,0)(1,)

B．(1,0)

C．1

,0

3





D．1

,0(1,)

3







题型三：解含有参数的一元二次不等式

7．（2021·四川德阳·高一期末）若关于x的不等式1

0

1x

ax



的解集为1

1

a





，

，则a

的取值范围为（）

A．



 1 

，B．(0，1)C．

第1页，共15页 函数恒成立问题专练（含详解）

一、解答题（本大题共11小题，共132.0分）

1. 己知函数𝑓(𝑥)=log121−𝑎𝑥2𝑥−1，a为常数．

(1)若𝑓(𝑥)为奇函数;求a；

(2)若对于𝑥∈[32,52]，不等式log12(2𝑥+1)−𝑚>(14)𝑥−log2(2𝑥−1)恒成立，求实数𝑚∼的取值范围．

2. 设𝑓(𝑥)=log131−𝑎𝑥𝑥−1为奇函数，a为常数．

(1)求a的值

(2)若∀𝑥∈[2,4]，不等式𝑓(𝑥)+𝑥>(13)𝑥+𝑚恒成立，求实数m的取值范围．

3. 已知函数𝑓(𝑥)=lg(10𝑥+1)−12𝑥，𝑔(𝑥)=9𝑥−𝑎3𝑥，函数𝑔(𝑥)是奇函数．

(1)判断函数𝑓(𝑥)的奇偶性，并求实数a的值；

(2)若对任意的𝑡∈(0,+∞)，不等式𝑔(𝑡2+1)+𝑔(−𝑡𝑘)>0恒成立，求实数k的取值范围；

(3)设ℎ(𝑥)=𝑓(𝑥)+12𝑥，若存在𝑥∈(−∞,1]，使不等式𝑔(𝑥)>ℎ[lg(10𝑏+9)]成立，第2页，共15页 求实数b的取值范围．

4. 已知函数𝑓(𝑥)=|𝑎𝑥2−1|−𝑥2+𝑎𝑥，其中𝑎≤1．

(1)当𝑎=1时，求函数𝑓(𝑥)的单调递减区间；

(2)对满足𝑓(𝑥)有四个零点的任意实数a，当𝑥∈[0,1]时，不等式𝑓(𝑥)≤𝑚恒成立，求实数m的取值范围．

5. 设函数𝑓(𝑥)=𝑎2𝑥−(𝑡−1)𝑎𝑥(𝑎>0且𝑎≠1)是定义域为R的奇函数．

(1)求t的值；

(2)若𝑓(1)>0，求使不等式𝑓(𝑘𝑥−𝑥2)+𝑓(𝑥−1)<0对一切𝑥∈𝑅恒成立的实数k的取值范围；

(3)若函数𝑓(𝑥)的图象过点(1,32)，是否存在正数m，且𝑚≠1使函数𝑓(𝑘𝑥−𝑥2)+𝑓(𝑥−1)<0在[1,log23]上的最大值为0，若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由．

关于高考数学中的恒成立问题与存在性问题

Last revised by LE LE in 2021 “恒成立问题”的解法

常用方法：①函数性质法； ②主参换位法； ③分离参数法； ④数形结合法。

一、函数性质法

1.一次函数型：给定一次函数()(0)fxaxba,若()yfx在[m,n]内恒有()0fx，则根据函数的图象（直线）可得上述结论等价于0)(0)(nfmf；同理，若在[m,n]内恒有()0fx，则有0)(0)(nfmf.

例1.对满足2p的所有实数p,求使不等式212xpxpxx恒成立的x的取值范围。

略解：不等式即为2(1)210xpxx,设2()(1)21fpxpxx,则()fp在[2,2]上恒大于0，故有：)2(0)2(ff，即0103422xxx3111xxxx或或13xx或.

2.二次函数：

①.若二次函数2()(0)0fxaxbxca（或0）在R上恒成立，则有00a（或00a）；

②.若二次函数2()(0)0fxaxbxca（或0）在指定区间上恒成立，可以利用韦达定理以及根的分布等知识求解。

例2.已知函数22241,fxmxmxgxmx，若对于任一实数x，()fx与()gx的值至少有一个为正数，则实数m的取值范围是（ )

A．(0，2) B．(0，8) C．(2，8) D．(－∞，0)

选B。

例3.设2()22fxxax,当[1,)x时，都有()fxa恒成立，求a的取值范围。

解：设2()()22Fxfxaxaxa，

（1)当4(1)(2)0aa时，即21a时，对一切[1,)x，()0Fx恒成立；

精品文档

. 恒成立、存在性问题

对于有关恒成立、存在性问题，一直是高考命题的热点，往往以全称命题或特称命题的形式出现，同时结合函数的单调性、极值、最值等知识进行考查，在高考中多以压轴题或压轴题中的压轴问的形式出现。如何突破这一难关呢？关键是细心审题及恰当地转化。现就如何求解恒成立、存在性问题中的参数问题加以分析。

方法1：分离参数法

例1.设函数f(x)=lnx-ax, g（x）=ex-ax，其中a为实数。若f(x)在(1,+∞)上是单调减函数，且g(x)在(1,+∞)上有最小值，求a的取值范围。

解：因为f`(x)= -a,g`(x)=ex-a,由题意得f`（x）≤0对x∈(1,+∞)恒成立，即a≥ 对x∈(1,+∞)恒成立，所以a≥1。因为g`(x)=ex-a在x∈(1,+∞)上是单调增函数，所以g`(x)>g`(1)=e-a。又g(x)在(1,+∞)上有最小值，则必有e-a<0，即a>e。综上，可知a的取值范围是(e,+∞)。

点评：求解问题的切入点不同，求解的难度就有差异。在恒成立问题中有时需要取交集，有时需要取并集，本题解法需要取交集。一般而言：在同一问题中，若是对自变量作分类讨论，其结果要取交集；若是对参数作分类讨论，其结果要取并集。

方法2：构造函数法

例2.已知函数f(x)= ，若|f（x）|≥ax，则a的取值范围是( )。

A.(-∞,0] B.(-∞,1] C.［-2，1］ D.[-2，0]

解：当x≤0时,|f(x)|≥axx2－(2+a)x≥0，对x≤0恒成立。

记g(x)=x2－(2+a)x=（x- ）2-。

当 <0即a<－2时,g(x)的最小值为－ ，不可能满足条件。

当 ≥0即a≥－2时,g(x)的最小值为0，满足题意。

当x>0时,|f(x)|≥axln(1+x)－ax≥0a≤ ，对x>0恒成立。