土力学中关于土的强度理论的计算分析

第４０卷第２５期　２　０　１　４年９月　山　西　建　筑　

ＳＨＡＮＸＩ　ＡＲＣＨＩＴＥＣＴＵＲＥ　Ｖｏ１．４０　Ｎｏ．２５　

Ｓｅｐ．　２０１４　・１１５・　

文章编号：１００９—６８２５（２０１４）２５—０ｌｌ５—０２　土力学中关于土的强度理论的计算分析　

许多文　（武威职业学院，甘肃武威７３３０００）　摘要：对土体中某一微元体力学模型进行了分析，通过对投影平衡方程的求解，给出了其待求量的解析表达式、应力圆轨迹方　程，判断应力圆与强度线之间相切的极值平衡状态，解决了极限平衡条件下的逆向主应力求解和判断技巧的问题。　关键词：解析法，图解法，土应力，极限平衡　中图分类号：ＴＵ４１１．３　文献标识码：Ａ　

土力学中关于土的强度理论涉及三个方面的问题：土中一点　的应力计算，土的极限平衡状态和极限平衡条件。很多的资料和　参考书中，直接给定了应力计算结果的解析表达式，而对于其得　出的过程鲜有推导。对于土的极限平衡条件，根据图解法中的相　切关系，求解主应力之间的逆向关系式也是省略的。所以，如何　更加完整又准确的诠释土力学中一点的应力状态及其推导过程，　如何运用微元思想与数学工具采取定性描述与定量表达相结合　的数学模型来求解，及极限平衡条件下的逆向主应力求解和判断　技巧都是亟需补充与解决的问题。　１　土中一点的应力状态　１．１　解析法　材料力学中，设从受力物体内某点取出一单元体，它的前后　两个面上的应力等于零，其他两对互相垂直的面上分别作用着已　知的应力，即在　截面（外法线与　轴平行的截面）上作用着应力　ｏｒ　，　，在ｙ截面（外法线与ｌ，轴平行的截面）上作用着应力ｏｒ　，　

。这些应力均与ＸＹ平面相平行。这种应力状态一般为平面应　力状态。为了方便起见，将该单元体用平面图表示，如图１ａ）所　示。应力的符号规定为，正应力以拉应力为正而压应力为负，切　应力以对单元体内任一点顺时针转为正，反之为负。在图１ａ）中　的ｏｒ　，　，　皆为正值，而ｆ　为负值，并且根据切应力互等定理有　＝一下ｖ。　现在研究与单元体前后两面垂直的斜截面　，　截面的外法　线ｎ和　轴的夹角为ｏ／，以后称此截面为ｏｔ截面，并规定ｏ／角由　轴逆时针转到ｎ时为正。用　截面将单元体截开，并取　部分　来研究其平衡见图１ｂ）。Ｏｔ截面上的应力用ｏｒ　和ｆ　表示，并均　设为正值。　截面的面积用　表示，则ｅ６和　截面的面积分别　为ｄＡｃｏｓａ和ｄＡｓｉｎａ。取ｎ和ｔ为参考坐标轴见图１ｂ），写出平衡　方程：　∑Ｆ　＝０，ｏｒ　・ｄＡ＋（　ｄＡＣＯｓａ）ｓｉｎａ一　（ｏｒ　ｄＡｃｏｓａ）ＣＯＳＯ￣＋（　ｄＡｓｉｎａ）ＣＯＳＯ￣一（ｏｒ　ｄＡｓｉｎａ）ｓｉｎａ＝０。　∑Ｆ　＝ｏ，ｒ　‘ｄＡ一（　ｄＡｃ嘞）ｃｏｓ　一（ｏｒ　ｄＡＣＯＳ　）ｓｉｎａ＋　（ｆ　ｄＡｓｉｎａ）ｓｉｎａ＋（ｏｒ　ｄＡｓｉｎａ）ＣＯＳＯ￣＝０。　ｕ　Ｙ　ａ）　ｂ）　图ｌ应力平面数力分析图　由此可得：　ａ＝ｏｒ　ｃｏｓ　＋ｏｒｙｓｉｎ　一（　＋Ｊｒ，）ｓｉｎａ・ＣＯＳａ　（１）　ｒｄ＝（　一　ｖ）ｓｉｎｏｔ・ｃＯＳＯｔ十Ｔｘｃ０８２　一￣－ｙｓｉｎ　Ｏｔ　（２）　根据切应力互等定理可知，　和ｆ　数值相等；又由三角公式　可知：　ｃｏｓ２　＝　＇ｓｉｎ２　＝　，ｓｉｎ２Ｏ／＝２ｓｉ…。ｓ　。　

将上述关系式代入式（１）和式（２），于是得：　：　＋　。。。２　ｓｉｎ２ｏｒａ　ｎ２　（３）—　——　。。。　一　Ｌ　）　

ｒ　＝—ｏｒｘ　－－一ｏｒｙ　ｉｎ２＋％ｃｏｓ２ＳｌＩｌ￣Ｏ

ｌ　ｃｏｓ：Ｚｏｄ　（４）　ｒ　—■　Ｌｑ　

参考文献：　与压煤开采规程［ｓ］．　［１］ＩＳＢＮ．７５０２０１６６２７，建筑物、水体、铁路及主要井巷煤柱留设　［２］ＧＢ　５０２９２—１９９９，民用建筑可靠性鉴定标准［ｓ］．　Ｓｔｕｄｙ　ｏｎ　ｇｒｏｕｎｄ　ｓｕｒｆａｃｅ　ｄｅｆｏｒｍａｔｉｏｎ　ａｎｄ　ｓｕｒｒｏｕｎｄｉｎｇ　ｂｕｉｌｄｉｎｇ　ｍａｎａｇｅｍｅｎｔ　ｉｎ　ｃｏａｌ　ｍｉｎｅ　ｇｏａｆ　ＫＡＮＧ　Ｐｅｎｇ－ｙｕａｎ　（Ｔａｉｙｕａｎ　Ｔｅｓｔｉｎｇ　Ｓｔａｔｉｏｎ　ｆｏｒ　Ｂｕｉｌｄｉｎｇ　Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ　Ｑｕａｌｉｔｙ，Ｔａｉｙｕａｎ　０３０００２，Ｃｈｉｎａ）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔａｋｉｎｇ　ａ　ｃｏａｌ　ｍｉｎｅｄ　ａｒｅａ　ａｎｄ　ａｆｆｅｃｔｅｄ　ｖｉｌｌａｇｅｓ　ｉｎ　Ｓｈａｎｘｉ　ｐｒｏｖｉｎｃｅ　ａｓ　ａｎ　ｅｘａｍｐｌｅ，ｔｈｅ　ｐｒｅｄｉｃｔｉｏｎ　ａｎｄ　ａｎａｌｙｓｉｓ　ｈａｄ　ｂｅｅｎ　ｄｏｎｅ　ｂｙ　ｔｈｅ　ｐｒｏ－　ｇｒａｍ　ｅｘｐｅｃｔｅｄ　ｔｏ　Ｓｕｒｆａｃｅ　ｓｕｂｓｉｄｅｎｃｅ　ｉｎ　ａｒｂｉｔｒａｒｙ　ｓｈａｐｅ　ａｎｄ　ｍｕｌｔｉ　ｗｏｒｋｉｎｇ　ｆａｃｅ（ｒｙｘｙｊ．ｅｘｅ），ｏｂｔａｉｎｅｄ　ｔｈｅ　ｓｕｒｆａｃｅ　ｄｅｆｏｒｍａｔｉｏｎ　ｖａｌｕｅｓ　ａｎｄ　ｇｒａｐｈｓ　ｏｆ　ｍｉｎｅｄ—ｏｕｔ　ａｒｅａ．Ｂｙ　ａｃｔｉｖａｔｉｎｇ　ｓｕｒｆａｃｅ　ｓｔａｂｉｌｉｔｙ　ａｎａｌｙｓｉｓ，ｔｈｅ　ｍｉｎｅｄ—ｏｕｔ　ａｒｅａ　ｗｈｉｃｈ　ｉｓ　ｌｅｓｓ　ｔｈａｎ　ｔｈｅ　６５　ｍ　ｄｅｅｐ　ｍｉｎｉｎｇ　ａｒｅａ，ｔｈｅ　ｂｕｉｌｄｉｎｇｓ　ａｂｏｖｅ　ｇｏａｆ　ｓｕｒｆａｃｅ　ｔｈａｔ　ｈａｓ　ｓｔａｂｉｌｉｚｅｄ　ｍａｙ　ｃａｕｓｅ　ｔｈｅ　ｓｕｒｆａｃｅ　ｔｏ　ｒｅ—ｍｏｖｅ　ａｎｄ　ｄｅｆｏｒｍａｔｉｏｎ，ｗｈｉｌｅ　ｍｉｎｉｎｇ　ｄｅｐｔｈ　ｉｓ　ｇｒｅａｔｅｒ　ｔｈａｎ　ｔｈｅ　６５　ｍ　ａｒｅａ，ｃｏｎｓｔｍｃｔｉｏｎ　ｏｆ　ｂｕｉｌｄｉｎｇｓ　ｏｎ　ｔｈｅ　ｇｒｏｕｎｄ，ｔｈｅ　ｓｕｒｆａｃｅ　ａｒｅａ　ｈａｓ　ｓｔａｂｉｌｉｚｅｄ　ａｔ　ａ　ｒｅｌａｔｉｖｅｌｙ　ｓｔａｂｌｅ　ｓｔａｔｅ，ｄｏｅｓ　ｎｏｔ　ｐｒｏｄｕｃｅ　ａｎ　ｕｎｅｖｅｎ　ｓｕｒｆａｃｅ　ｍｏｖｅｍｅｎｔ　ａｎｄ　ｄｅｆｏｒｍａｔｉｏｎ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：ｍｉｎｅ　ｇｏａｆ，ｓｕｒｆａｃｅ　ｓｔａｂｉｌｉｔｙ，ｒｅｓｉｄｕａｌ　ｄｅｆｏｒｍａｔｉｏｎ，ａｃｔｉｖａｔｉｏｎ　ａｎａｌｙｓｉｓ，ｂｕｉｌｄｉｎｇ　ｍａｎａｇｅｍｅｎｔ　

收稿日期：２０１４－０６－２４　作者简介：许多文（１９８２一），男，硕士，助教　

～　第４０卷第２５期　・１１６・　２　０　１　４年９月　山　西　建　筑　

以上两式为平面应力状态下斜截面上应力表达的一般公式。　应力公式应用时，要注意应力及其斜面方位角的正负。此方法为　解析法。　１．２　图解法　平面应力状态下，除了用解析表达式（３）和式（４）来确定斜截　面上应力　和　，还可以用解析法演变而来的图解法求解。其　推导过程如下：　式（３）变形得：　

盯　一　＝Ｏｒｘ　－－ｏｒ￣ｏｓ２ＣＯＳＺ￣　ｓｌ～ｎＺｏｔ　（５）　盯ａ一—＿　一＝　１　一　）　

式（５）左、右两边平方加上式（４）左、右两边平方，得：　（　一　）　＋　：（　）　＋　：　（６）　此圆即为应力圆或莫尔圆。单元体的任一截面上的应力与　应力圆上的点坐标存在一一对应的关系。在土力学中，假设某面　积为　出的一土体单元，作用着大小主应力　和　，，见图２ｂ），　则在土体内与大主应力ｏｒ．作用平面成任意角　的平面上的正应　力　和ｒ　可以用ｒ一　坐标系中直径为（　。一　）的应力圆上的　一点（逆时针旋转２ａ，见图２ａ）中的　点）的坐标来表示。　

ａ）　ｏ￣－Ａ５。＋击／２　ｂ）　图２应力圆与库仑强度线关系图　

故求解中，对照于式（６），相对于在土力学中ｒ　＝０，　．＝盯　，　

３　，得：　

（　一　）　＋Ｔ２：（　≥）ｚ　（７）　二　

２土的极限平衡状态　如果把代表土中某点应力状态的莫尔应力圆，与该土的库仑　强度线画在同一个，ｒ一　坐标图中，根据图形之间的相对位置关　系，共有三种状态：相切，相离和相割。相切是表明该点处于极限平　衡状态，见图３。相离是指莫尔应力圆位于库仑强度线的下方，说　明通过该点任意平面上的剪应力都小于土的抗剪强度，因此不会发　生剪切破坏。相割实际上是不复存在，因为该点土体已经被破坏。　

ｏ　０＂３　Ｏ＂１　０ｑ　图３极限平衡状态判断图　

３土的极限平衡条件　３．１　推导过程　

对照于图３中，根据极限应力圆与强度线相切于Ａ点的几何关　系，将抗剪强度线延长与　轴相交于Ｂ点，由直角三角形ＡＢ０，可知：　Ｉ，　、　ｓｉｎ￣ｂ：　：一互　（８）　＝＝兰＝———＝——－———一　（８）

ＢＯｌ　ｃ・ｃｏｔ￣ｂ＋÷（　１＋ｏｒ３）　

由此得：　÷（ｏｒｌ一　３）＝［ｃ・ｃｏｔ￣ｂ＋－５　－（　ｌ＋　３）］・ｓｉｎ￣ｂ　（９）　化简并通过三角函数间的变换（万能公式、和差角公式）从而　得到土的极限平衡条件时主应力之间的关系表达式：　

１＝０＂３ｔａｎ　（４５。＋孚）＋２ｃｔａｎ（４５。＋孚）　（１０）　

３＝　１ｔａｎ　（４５。一孚）一２ｃｔａｎ（４５。一睾）　（Ｉ１）　由直角三角形ＡＢＯ．内角与外角的关系可得：　２　＝９０。＋击　ａ＝４５￣＋要　‘　２）　

因此，破裂面与大主应力的作用成（４５。＋要）的夹角。　３．２极限平衡状态判断　极限平衡状态判断中，已知条件给出了土样内摩擦角　和粘　聚力Ｃ，大主应力ｏｒ　和小主应力　，此时是否达到极限平衡状　态，判断见图３。由　一矿３ｒ时，比较若得　＜　，则有半径　

＞　，故该土样未达到极限平衡状态；反之，则发生　了剪切破坏。由　一　，ｒ时，比较若得　。＜　，，则有半径１　＞　

＿一　，故该土样未达到极限平衡状态；反之，则发生了剪切破坏。　二　４结语　

土力学中某点的应力状态其计算值理论仍溯源到材料力学　中平面应力状态的求解，待分析土体中任一点的主应力方向与之　相反，但计算原理一致，并且解析法是计算的基础，图解法为外在　图形表达，所以力学分析的思想是一脉相承的。土的极限平衡状　态是从库仑强度线与莫尔应力圆的图形位置关系上来判定，直观　明了。根据最大、最小主应力及土体的抗剪强度指标来判断土的　极限平衡条件，实为逆向求解的过程。整个土的强度理论的计算　过程充分运用了数学工具的微元体思想、万能公式及和差角公式　等，对于相关的土力学理论学习有很好的借鉴意义。　参考文献：　［１］　董建国，沈锡英，钟才根．土力学与地基基础［Ｍ］．上海：同　济大学出版社，２０１１：１３８－１４１．　［２］　付红梅．土力学与地基基础［Ｍ］．西安：西安交通大学出版　社，２０１１：７４－７５．　［３］　苏振超，张丽娜．建筑力学［Ｍ］．西安：西安交通大学出版　社．２０１２：３９３．３９７．　Ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ　ａｎａｌｙｓｉｓ　ｏｎ　ｓｏｉｌ　ｓｔｒｅｎｇｔｈ　ｔｈｅｏｒｙ　ｉｎ　ｓｏｉｌ　ｍｅｃｈａｎｉｃｓ