第四章 矩阵的特征值与特征向量第一节 向量的内积在第三章中，我们研究了向量的线性运算，并利用它讨论向量之间的线性关系，但尚未涉及到向量的度量性质.在空间解析几何中，向量},,{321x x x x = 和},,{321y y y y =的长度与夹角等度量性质可以通过两个向量的数量积),cos(||||y x y x y x=⋅ 来表示，且在直角坐标系中，有332211y x y x y x y x ++=⋅, 232221||x x x x ++=.本节中，我们要将数量积的概念推广到n 维向量空间中，引入内积的概念内容分布图示★ 内积的定义与性质 ★ 例1★ 例2★例3 ★ 向量的长度与性质★ 单位向量及n 维向量间的夹角 ★ 例4★ 例5★ 正交向量组 ★ 向量空间的正交基 ★ 求规范正交基的方法★ 例6★ 例7 ★ 例8★ 正交矩阵与正交变换 ★ 例9★ 内容小结 ★ 课堂练习★ 习题4-1 ★ 返回内容要点：一、内积及其性质定义1 设有n 维向量,,2121⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nny y y y x x x x 令 ,],[2211n n y x y x y x y x +++= 称],[y x 为向量x 与y 的内积.内积是两个向量之间的一种运算, 其结果是一个实数, 按矩阵的记法可表示为.),,,(],[2121⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==n n Ty y y x x x y x y x 内积的运算性质 (其中y x ,,z 为n 维向量,:)R ∈λ (1) ];,[],[x y y x = (2) ];,[],[y x y x λλ=(3) ];,[],[],[z y z x z y x +=+(4) 0],[≥x x ; 当且仅当0=x 时, 0],[=x x .二、向量的长度与性质定义2 令,],[||||22221n x x x x x x +++==称||||x 为n 维向量x 的长度(或范数).向量的长度具有下述性质:(1) 非负性 0||||≥x ;当且仅当0=x 时, 0||||=x ; (2) 齐次性 ||||||||||x x λλ=;(3) 三角不等式 ||||||||||||y x y x +≤+;(4) 对任意n 维向量y x ,, 有 ||||||||],[y x y x ⋅≤.注: 若令),,,,(),,,,(2121n T n T y y y y x x x x == 则性质(4)可表示为∑∑∑===⋅≤ni ini ini ii y x y x 12121上述不等式称为柯西—布涅可夫斯基不等式，它说明n R 中任意两个向量的内积与它们长度之间的关系.当1||||=x 时, 称x 为单位向量.对n R 中的任一非零向量α, 向量||||αα是一个单位向量,因为.1||||||||1||||==αααα注: 用非零向量α的长度去除向量α,得到一个单位向量,这一过程通常称为把向量α单位化.当,0||||,0||||≠≠βα 定义)0(||||||||],[arccosπθβαβαθ≤≤⋅=.称θ为n 维向量α与β的夹角.三、正交向量组定义3 若两向量α与β的内积等于零，即 0],[=βα，则称向量α与β相互正交. 记作βα⊥.注: 显然,若0=α, 则α与任何向量都正交.定义4 若n 维向量r ααα,,,21 是一个非零向量组，且r ααα,,,21 中的向量两两正交，则称该向量组为正交向量组.定理1 若n 维向量r ααα,,,21 是一组正交向量组，则r αα,,1 线性无关.四、规范正交基及其求法定义5 设n R V ⊂是一个向量空间，① 若r ααα,,,21 是向量空间V 的一个基，且是两两正交的向量组，则称r ααα,,,21 是向量空间V 的正交基.② 若r e e e ,,,21 是向量空间V 的一个基,r e e ,,1 两两正交, 且都是单位向量, 则称r e e ,,1 是向量空间V的一个规范正交基.若r e e ,,1 是V 的一个规范正交基, 则V 中任一向量α能由r e e ,,1 线性表示, 设表示式为r r e e e λλλα+++= 2211,为求其中的系数),,,2,1(r i i =λ可用T i e 左乘上式, 有,i i Ti i Ti e e e λλα==即 ],[i T i i e e ααλ==这就是向量在规范正交基中的坐标的计算公式.利用这个公式能方便地求得向量α在规范正交基r e e ,,1 下的坐标为：).,,,(21r λλλ⋅⋅⋅ 因此, 我们在给出向量空间的基时常常取规范正交基.规范正交基的求法:设r αα,,1 是向量空间V 的一个基,要求V 的一个规范正交基, 也就是要找一组两两正交的单位向量r e e ,,1 ,使r e e ,,1 与r a a ,,1 等价. 这样一个问题,称为把r αα,,1 这个基规范正交化，可按如下两个步骤进行： (1) 正交化.],[],[],[],[],[],[;],[],[;111122221111111212211-------=-==r r r r r r r r r βββαββββαββββαβαββββαβαβαβ容易验证r ββ,,1 两两正交,且r ββ,,1 与r αα,,1 等价.注: 上述过程称为施密特(Schimidt)正交化过程. 它不仅满足r ββ,,1 与r αα,,1 等价,还满足:对任何)1(r k k ≤≤, 向量组k ββ,,1 与k αα,,1 等价.(2) 单位化: 取,||||,,||||,||||222111r r r e e e ββββββ===则r e e e ,,,21 是V 的一个规范正交基.注： 施密特(Schimidt)正交化过程可将n R 中的任一组线性无关的向量组r αα,,1 化为与之等价的正交组k ββ,,1 ；再经过单位化，得到一组与r αα,,1 等价的规范正交组r e e e ,,,21五、正交矩阵与正交变换定义6 若n 阶方阵A 满足E A A T= (即TA A=-1),则称A 为正交矩阵, 简称正交阵.定理2 A 为正交矩阵的充分必要条件是A 的列向量都是单位正交向量组.注：由E A A T =与E AA T =等价,定理的结论对行向量也成立.即A 为正交矩阵的充分必要条件是A 的行向量都是单位正交向量组.定义7 若P 为正交矩阵,则线性变换Px y =称为正交变换.正交变换的性质：正交变换保持向量的长度不变.例题选讲:例1设有3R 中的基,)1,0,0(,)0,1,0(,)0,0,1(321T T T ===εεε试求i ε与)3,2,1,(=j i j ε的内积.例2 求⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛-ααβαβαα3,],[31],[.例3 γβα,,是n 维实向量),1(>n 下列算式无意义: （1）],][,[],[γβααγβα=;（2）.2]],,[[αγβα+例4 求3R 中向量T T )2,3,3(,)3,0,4(-==βα之间的夹角θ. 例5求5R 中的向量T T )1,4,2,1,0()2,0,1,0,1(=-=βα, 的夹角θ.例6（讲义例1） 设,014,131,121321⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ααα试用施密特正交化方法, 将向量组正交规范化.例7 用施密特正交化方法，将向量组正交规范化)1,1,5,3(),4,0,1,1(),1,1,1,1(321-=-==ααα. 例8（讲义例2）已知三维向量空间中两个向量,1111⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=α ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=121正交，试求3α使1α，,2α3α构成三维空间的一个正交基.例9 判别下列矩形是否为正交阵..9/74/44/49/49/19/89/49/89/1)2(;12/13/12/112/13/12/11)1(⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---课堂练习1. 试将线性无关的向量组正交化,)1,1,1,1(1T=α ,)1,1,3,3(2T--=α T)8,6,0,2(3-=α. 2.已知,1111⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=α 求一组非零向量32,αα, 使321,,ααα两两正交.。
两两正交的向量组
两两正交的向量组是指由多个向量组成的集合中，任意两个向量之间的内积为零。
内积为零意味着这两个向量垂直，即它们的夹角为90度。
两两正交的向量组在数学和物理学中都具有重要的应用。
在线性代数中，两两正交的向量组可以用来构建正交基，从而简化矩阵的运算和分析。
在物理学中，两两正交的向量组可用于描述物体在不同方向上的运动，例如描述一个物体在坐标轴上的力和加速度等。
对于一个向量组来说，若其中的每个向量与其他向量都满足内积为零的条件，那么这个向量组就是两两正交的。
可以通过计算向量之间的内积来验证其是否满足两两正交的条件。
两两正交的向量组也可以用于求解线性方程组。
当一个线性方程组的解存在时，可以通过构建一个两两正交的向量组来求解该方程组。
通过与方程组中的未知数进行内积运算，可以得到一组线性无关的方程，进一步简化问题的求解。
值得注意的是，两两正交的向量组并不一定是标准正交的。
标准正交的向量组的每个向量的模长都是1，而两两正交的向量组只要求它们在两两之间的内积为零，不涉及模长的要求。
因此，两两正交的向量组可能需要经过归一化处理才能成为标准正交的向量组。
总而言之，两两正交的向量组在数学和物理学中具有广泛的应用。
它们可以用于构建正交基、求解线性方程组等，为问题的分析和求解提供了很大的便利性。
