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【校本课程数学竞赛讲义】第11

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1 A B C D A B

C D

A C B A B C

【校本课程数学竞赛讲义】第六章 空间向量 简单几何体 一 能力培养 1,空间想象能力 2,数形结合思想 3,转化能力 4,运算能力 二 问题探讨

问题1(如图)在棱长为1的正方体ABCD1111-ABCD中,

(1)求异面直线1AB与1BC所成的角的大小; (2)求异面直线1AB与1BC之间的距离; (3)求直线1AB与平面1BCD所成的角的大小; (4)求证:平面1ABD//平面C1B1D; (5)求证:直线A1C平面1ABD; (6)求证:平面AB1C平面1ABD; (7)求点1A到平面C1B1D的距离; (8)求二面角1A1BC1D的大小.

问题2已知斜三棱柱ABCD1111ABCD的侧面1AAC1C 与底面垂直,090ABC,2BC,23AC, 且A1A1AC, A1A=1AC. (1)求侧棱A1A和底面ABC所成的角的大小; (2)求侧面1AAB1B和底面ABC所成二面角的大小; (3)求顶点C到侧面1AAB1B的距离. 2

A B C

D

E

F

三 习题探讨 选择题 1甲烷分子由一个碳原子和四个氢原子组成,其空间构型为一正四面体,碳原子位于该正四 面体的中心,四个氢原子分别位于该正四面体的四个顶点上.若将碳原子和氢原子均视为一 个点(体积忽略不计),且已知碳原子与每个氢原子间的距离都为a,则以四个氢原子为顶点 的这个正四面体的体积为

A,3827a B,38327a C,313a D,389a 2夹在两个平行平面之间的球,圆柱,圆锥在这两个平面上的射影都是圆,则它们的体积之 比为 A,3:2:1 B,2:3:1 C,3:6:2 D,6:8:3

3设二面角a的大小是060,P是二面角内的一点,P点到,的距离分别为1cm, 2cm,则点P到棱a的距离是

A,2213cm B,213cm C,23cm D,4213cm 4如图,E,F分别是正三棱锥ABCD的棱AB,BC 的中点,且DEEF.若BC=a,则此正三棱锥的体积是

A,324a B,3224a

C,3212a D,3312a 5棱长为的正八面体的外接球的体积是 A,6 B,4327 C,823 D,23 填空题 6若线段AB的两端点到平面的距离都等于2,则线段AB所在的直线和平面 的位置关系是 .

7若异面直线,ab所原角为060,AB是公垂线,E,F分别是异面直线,ab上到A,B距离为

2和平共处的两点,当3EF时,线段AB的长为 . 8如图(1),在直四棱柱1111ABCDABCD中,当底面四边形ABCD满足条件 时,有1AC1B1D(注:填上你认为正确的一种条件即可,不必考虑所有可能的情形) 3

C D F

A B O C D E O A

A B C D P Q

9如图(2),是一个正方体的展开图,在原正方体中,有下列命题: ①AB与EF所连直线平行; ②AB与CD所在直线异面;

③MN与BF所在直线成060; ④MN与CD所在直线互相垂直. 其中正确命题的序号为 .(将所有正确的都写出) 解答题 10如图,在ABC中,AB=AC=13,BC=10,DE//BC分别交AB,AC于D,E.将ADE沿

DE折起来使得A到1A,且1ADEB为060的二面角,求1A到直线BC的最小距离.

11如图,已知矩形ABCD中,AB=1,BC=a(0)a,PA平面ABCD,且PA=1. (1)问BC边上是否存在点Q使得PQQD?并说明理由; (2)若边上有且只有一个点Q,使得PQQD,求这时二面角QPDA的正切.

A B C D A B C D 图(1) A B E N M 图(2) 4 参考答案: 问题1(1)解:如图,以D为原点建立空间直角坐标系,有1A(1,0,1),B(1,1,0),1B(1,1,1),C(0,1,0)

得1(0,1,1)AB,1(1,0,1)BC,设1AB与1BC所成的角为,则 1111

11cos222ABBCABBC



,又000180,得060

所以异面直线1AB与1BC所成的角的大小为060. (2)设点M在1AB上,点N在1BC上,且MN是1AB与1BC的公垂线,令M(1,,1)mm, N(,1,)nn,则(1,1,1)MNnmmn 由1100ABMNBCMN,得(0,1,1)(1,1,1)0(1,01)(1,1,1)0nmmnnmmn,解得23m,n23

所以111(,,)333MN,得33MN,即异面直线1AB与1BC之间的距离为33. (3)解:设平面1BCD的法向量为1(,,,)nxyz,而(0,1,0)DC,由1nDC,11nBC, 有(,,,)(0,1,0)0(,,,)(1,0,1)0xyzxyz,得0xzy,于是1(1,0,1)n, 设1n与1AB所成的角为,则 1111

(0,1,1)(1,0,1)1cos222ABnABn



,又000180,有0120.

所以直线1AB与平面1BCD所成的角为060. (4)证明:由1AB//C1D,C1D平面C1B1D,得1AB//平面C1B1D, 又BD//1B1D,1B1D平面C1B1D,得BD//平面C1B1D, 而1ABBDB,于是平面1ABD//平面C1B1D. (5)证明:A(1,0,0),1C(0,1,1),1(1,1,1)AC,(1,1,0)DB, 有11(1,1,1)(0,1,1)0ACAB及1(1,1,1)(1,1,0)0ACDB,得

11ACAB,1ACDB,1ABBDB, 5

于是,直线A1C平面1ABD. (6)证明:由(5)知1AC平面1ABD,而1AC平面AB1C,得平面AB1C平面1ABD.

(7)解:可得1BC=C1D=11DB=2,有112013(2)sin6022BCDS 由11111ABCDCABDVV,得11111(11)1332BCDSh,即3122h,得33h 所以点1A到平面11CBD的距离为33. (8)解:由(3)得平面1BCD的法向量为1n=(1,0,1),它即为平面11ABC的法向量. 设平面11BCD的法向量为2(,,,)nxyz,则21nBC, 211nBD 又11BD(0,0,1)(1,1,1)(1,1,0)

由(,,,)(1,0,1)0(,,,)(1,1,0)0xyzxyz,得yxzx,所以2(1,1,1)n 设1n与2n所成的角为,则 1212

(1,0,1)(1,1,1)6cos323nnnn



所以二面角111ABCD的大小为6arccos3. 问题2解:建立如图所示的空间直角坐标系,由题意知A(22,0,0),B(0,0,0),C(0,2,0). 又由面1AAC1C面ABC,且A1A=1AC,知点1A(2,1,3),1(2,1,3)AA, 平面ABC的法向量(0,0,1)n.

(1)112221(2,1,3)(0,0,1)2cos,21(2)1(3)AAnAAnAA,得01,45AAn 于是,侧棱1AA和底面ABC所成的角的大小是045. (2)(22,0,0),AB设面1AAB1B的法向量1(,,,)nxyz,则由 11(,,,)(2,1,3)230nAAxyzxyz 6

1(,,,)(22,0,0)220nABxyzx 得0x,3yz.于是,1(0,3,1)n,又平面ABC的法向量(0,0,1)n,得 11

1

(0,3,1)(0,0,1)1cos,241nnnnnn



,有01,60nn.

所以侧面1AAB1B和底面ABC所成二面角的大小是060. (3)从点C向面1AAB1B引垂线,D为垂足,则060CBD 121

(0,2,0)(0,3,)34BCknBCDCkkCDDCknk

所以点C到侧面1AAB1B的距离是3. 习题 1过顶点A,V与高作一截面交BC于点M,点O为正四面体的中心,1O为底面ABC的中心,

设正四面体VABC的棱长为m,则AM=32m=VM,1OM=1336AMm,

12333OAAMm,221163VOVMOMm,得1163OOVOVOma

在1RtAOO中,22211AOOOAO,即22263()()33amam,得263ma. 则1VO43a,有20311183(sin60)3227VABCVmVOa.选B. 温馨提示:正四面体外接球的半径VO:内切球的半径1OO=1:3:13aa. 2 32212341::():(2):(2)2:3:133VVVRRRRR,选B. 3设PA棱a于点A,PM平面于点M,PN平面于点N,PA=t,PAM,则

0sin1sin(60)2tt



,得3cos5sin,有3sin27或327(舍去),

所以121sin3tcm,选B. 4由DEEF,EF//AC,有DEAC,又ACBD,DEBD=D,得AC平面ABD.

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高中数学校本课程(整理)

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竞赛讲座一 函数的性质第一讲 函数的单调性一．学习目标会判断较复杂的函数的单调区间，能利用函数的单调性解决最值问题及解不等式、解方程。

二．知识要点单调性的定义，复合函数的单调性，抽象函数的单调性三．例题讲解例1.已知⎩⎨⎧>≤+-=1)(xlog )1( 4)13()(x x a x a x f a 是(,)-∞+∞上的减函数，那么a 的取值范围是 （A ）(0,1)（B ）1(0,)3 （C ）11[,)73 （D ）1[,1)7【答案】C【解析】由题意知)1(log )(>=x x x f a 在),1(+∞上为减函数，所以10<<a ①，)1(4)13()(<+-=x a x a x f 在)1,(-∞上为减函数，所以013<-a ②，且当1=x 时，1log 41)13(a a a ≥-⨯- ③，由①②③得答案为C.例2 已知函数x x x f -+=1)(，判断该函数在区间[),0∞+上的单调性，并说明理由．【讲解】用定义判断。

设0≤1x ＜2x ,)()(21x f x f -=11+x −1x −12+x +2x =112121+++-x x x x +1212x x x x +- =(1x −2x )(11121+++x x −121x x +) ∵1121+++x x ＞12x x +＞0,∴11121+++x x ＜121x x + 又∵1x ＜2x ∴(1x −2x )(11121+++x x −121x x +)＞0 ∴)()(21x f x f > ∴该函数在区间[),0∞+上的单调递增。

例3. 已知f ( x )=－x 2 + 2x + 8，g ( x ) = f ( 2－x 2 )，求g ( x )的单调增区间．【讲解】很明显这是一个复合函数的单调性问题，所以应“分层剥离”为两个函数t =－x 2+2 ① y = f ( t ) =－t 2 + 2t + 8 ②对于②f ( t ) =2)1(--t +9,可知当)1,(-∞∈t 时是增函数，当),1(+∞∈t 时是减函数。

校本课程数学竞赛方案模板

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一、竞赛背景随着新课程改革的不断深入，学校教育越来越注重培养学生的综合素质和实践能力。

数学作为一门基础学科，对于培养学生的逻辑思维、创新能力和解决问题的能力具有重要意义。

为了激发学生对数学学习的兴趣，提高学生的数学素养，特举办本次校本课程数学竞赛。

二、竞赛目的1. 调动学生学习数学的积极性，激发学生对数学知识的探索欲望。

2. 培养学生的逻辑思维、创新能力和团队合作精神。

3. 促进教师对数学教学方法的改进和创新。

4. 提高学校数学教育的整体水平。

三、竞赛组织1. 主办单位：学校数学教研组2. 承办单位：学校教务处3. 协办单位：各年级数学教师四、竞赛对象1. 全校在校初中生2. 竞赛分为初赛、复赛和决赛三个阶段，选拔优秀选手参加。

五、竞赛内容1. 初赛：基础数学知识与应用题2. 复赛：综合数学题、应用题和创新题3. 决赛：数学思维题、创新题和团队合作题六、竞赛形式1. 初赛：笔试2. 复赛：笔试与现场答题相结合3. 决赛：现场答题与团队答辩相结合七、竞赛时间1. 初赛：每周六下午2. 复赛：每月第一周的周六下午3. 决赛：每学期末八、竞赛奖励1. 初赛：设立一等奖、二等奖、三等奖，颁发荣誉证书。

2. 复赛：设立一等奖、二等奖、三等奖，颁发荣誉证书和奖品。

3. 决赛：设立一等奖、二等奖、三等奖，颁发荣誉证书和奖品，优秀选手将代表学校参加市级数学竞赛。

九、竞赛实施步骤1. 宣传动员：通过学校广播、海报、班级会议等形式进行宣传，提高学生参与度。

2. 组织报名：各年级数学教师负责组织报名，报名人数不限。

3. 制定竞赛试题：由数学教研组负责制定试题，保证试题的难度和广度。

4. 组织竞赛：按照竞赛时间表，分别进行初赛、复赛和决赛。

5. 评选优秀选手：根据竞赛成绩，评选出优秀选手。

6. 颁奖仪式：在学期末举行颁奖仪式，对获奖选手进行表彰。

十、竞赛保障措施1. 提供必要的场地和设备，确保竞赛顺利进行。

2. 落实安全保障措施，确保参赛选手的人身安全。

小学《快乐数学》校本课程教案

小学《快乐数学》校本课程教案

小学《快乐数学》校本课程教案一、教学目标：1. 知识与技能：让学生掌握基本的数学概念和运算方法，培养学生的数学思维能力。

2. 过程与方法：通过有趣的数学问题和活动，激发学生的学习兴趣，培养学生主动探索、合作解决问题的能力。

3. 情感态度与价值观：培养学生对数学的兴趣和自信心，使学生感受到数学的乐趣和实际应用价值，培养学生的逻辑思维和创造性思维。

二、教学内容：第一章：认识数字和基本运算1. 学习数字0-10的正确书写和认识2. 学习加法、减法的基本运算方法3. 通过有趣的游戏和活动，让学生熟练掌握数字和基本运算第二章：几何图形的认识1. 学习基本的平面几何图形（如圆形、正方形、长方形等）2. 学习图形的性质和分类3. 通过观察和动手操作，培养学生的空间想象能力第三章：分数和小数的认识1. 学习分数的基本概念和表示方法2. 学习小数的意义和基本运算方法3. 让学生能够熟练地进行分数和小数的换算和计算第四章：简单方程的解法1. 学习简单方程的概念和表示方法2. 学习解一元一次方程的方法3. 通过实际问题，培养学生解决实际问题的能力第五章：数学思维训练1. 学习逻辑推理和归纳总结的方法2. 通过有趣的数学问题和游戏，培养学生的数学思维能力3. 激发学生的创造力和创新精神三、教学方法：1. 采用生动有趣的教学方式，如故事、游戏、实验等，激发学生的学习兴趣。

2. 引导学生主动探索和思考，培养学生的自主学习能力。

3. 通过小组合作和讨论，培养学生的合作能力和解决问题的能力。

4. 注重学生的个别差异，给予学生个性化的指导和帮助。

四、教学评价：1. 定期进行课堂测验和作业检查，了解学生的学习情况。

2. 注重学生的过程表现，如参与度、思考能力等。

3. 鼓励学生进行自我评价和同伴评价，培养学生的自我反思能力。

五、教学资源：1. 教材：《快乐数学》教材。

2. 教具：黑板、粉笔、多媒体教学设备等。

3. 学具：练习本、笔、尺子等。

初中一年级,数学竞赛辅导讲义

初中一年级,数学竞赛辅导讲义

初中,一年级,数学,竞赛,辅导,讲义,初中,初中一年级(上)数学竞赛辅导资料（1）数的整除（一）甲内容提要：如果整数A除以整数B(B≠0)所得的商A/B是整数，那么叫做A被B整除。

0能被所有非零的整数整除．一些数的整除特征除数能被整除的数的特征2或5末位数能被2或5整除4或25末两位数能被4或25整除8或125末三位数能被8或125整除3或9各位上的数字和被3或9整除(如771，54324)11奇数位上的数字和与偶数位上的数和相减，其差能被11整除(如143，1859，1287，908270等)7，11，13从右向左每三位为一段，奇数段的各数和与偶数段的各数和相减，其差能被7或11或13整除.(如1001，22743，17567，21281等)能被7整除的数的特征：①抹去个位数②减去原个位数的2倍③其差能被7整除．如1001 100－2＝98（能被7整除）又如7007 700－14＝686， 68－12＝56（能被7整除）能被11整除的数的特征：①抹去个位数②减去原个位数③其差能被11整除如1001 100－1＝99（能11整除）又如10285 1028－5＝1023 102－3＝99（能11整除）乙例题例1已知两个三位数和的和仍是三位数且能被9整除．求x，y．解：x，y都是0到9的整数，∵能被9整除，∴y＝6．∵328＋＝567，∴x＝3例2己知五位数能被12整除，求X解：∵五位数能被12整除，必然同时能被3和4整除，当1＋2＋3＋4＋X能被3整除时，x＝2，5，8当末两位能被4整除时，X＝0，4，8∴X＝8例3求能被11整除且各位字都不相同的最小五位数解：五位数字都不相同的最小五位数是10234，但（1＋2＋4）－（0＋3）＝4，不能被11整除，只调整末位数仍不行调整末两位数为30，41，52，63，均可，∴五位数字都不相同的最小五位数是10263．丙练习1. 分解质因数：（写成质因数为底的幂的連乘积）①593②1859 ③1287④3276⑤10101⑥102962. 若四位数能被3整除，那么a＝_______________．3. 若五位数能被11整除，那么X＝__________．4. 当m＝_________时，能被25整除．5. 当 n＝__________时，能被7整除．6. 能被11整除的最小五位数是________，最大五位数是_________．7. 能被4整除的最大四位数是____________，能被8整除的最小四位数是_________．8. 8个数：①125，②756，③1011，④2457，⑤7855，⑥8104，⑦9152，⑧70972中，能被下列各数整除的有（填上编号）：6________，8__________，9_________，11__________．9. 从1到100这100个自然数中，能同时被2和3整除的共_____个．10. 能被3整除但不是5的倍数的共______个．11. 由1，2，3，4，5这五个自然数，任意调换位置而组成的五位数中，不能被3整除的数共有几个？为什么？12. 己知五位数能被15整除，试求A的值．13. 求能被9整除且各位数字都不相同的最小五位数．14. 在十进制中，各位数码是0或1，并能被225整除的最小正整数是＿＿＿＿（1989年全国初中联赛题）初中一年级(上)数学竞赛辅导资料（2）倍数约数甲内容提要1两个整数A和B（B≠0），如果B能整除A（记作B｜A），那么A叫做B的倍数，B叫做A的约数．例如3｜15，15是3的倍数，3是15的约数．2因为0除以非0的任何数都得0，所以0被非0整数整除．0是任何非0整数的倍数，非0整数都是0的约数．如0是7的倍数，7是0的约数．3整数A（A≠0）的倍数有无数多个，并且以互为相反数成对出现，0，±A，±2A，……都是A的倍数，例如5的倍数有±5，±10，……．4整数A（A≠0）的约数是有限个的，并且也是以互为相反数成对出现的，其中必包括±1和±A．例如6的约数是±1，±2，±3，±6．5通常我们在正整数集合里研究公倍数和公约数，几正整数有最小的公倍数和最犬的公约数．6公约数只有1的两个正整数叫做互质数（例如15与28互质）．7在有余数的除法中，被除数＝除数×商数＋余数若用字母表示可记作：A＝BQ＋R，当A，B，Q，R都是整数且B≠0时，A－R能被B整除例如23＝3×7＋2 则23－2能被3整除．乙例题例1写出下列各正整数的正约数，并统计其个数，从中总结出规律加以应用：2，22，23，24，3，32，33，34，2×3，22×3，22×32．解：列表如下正整数正约数个数计正整数正约数个数计正整数正约数个数计21，2231，322×31，2，3，64221，2，4 3321，3，32 322×31，2，3，4，6，126231，2，4，84331，3，32，33422×321，2，3，4，6，9，12，18，36 9241，2，4，8，165341，3，32，33，345其规律是：设A＝ambn (a，b是质数，m，n是正整数)那么合数A的正约数的个是（m＋1）(n＋1)例如求360的正约数的个数解：分解质因数：360＝23×32×5，360的正约数的个数是（3＋1）×（2＋1）×（1＋1）＝24（个）例2用分解质因数的方法求24，90最大公约数和最小公倍数解：∵24＝23×3，90＝2×32×5∴最大公约数是2×3，记作（24，90）＝6最小公倍数是23×32×5＝360，记作[24，90]＝360例3己知32，44除以正整数N有相同的余数2，求N解：∵32－2，44－2都能被N整除，∴N是30，42的公约数∵（30，42）＝6，而6的正约数有1，2，3，6经检验1和2不合题意，∴N＝6，3例4一个数被10余9，被9除余8，被8除余7，求适合条件的最小正整数分析：依题意如果所求的数加上1，则能同时被10，9，8整除，所以所求的数是10，9，8的最小公倍数减去1．解：∵[10，9，8]＝360，∴所以所求的数是359丙练习21. 12的正约数有_________，16的所有约数是_________________．2. 分解质因数300＝_________，300的正约数的个数是_________．3. 用分解质因数的方法求20和250的最大公约数与最小公倍数．4. 一个三位数能被7，9，11整除，这个三位数是_________．5. 能同时被3，5，11整除的最小四位数是_______最大三位数是________．6. 己知14和23各除以正整数A有相同的余数2，则A＝________．7. 写出能被2整除，且有约数5，又是3的倍数的所有两位数．答_____________．8. 一个长方形的房间长1.35丈，宽1.05丈要用同一规格的正方形瓷砖铺满，问正方形最大边长可以是几寸？若用整数寸作国边长，有哪几种规格的正方形瓷砖适合？9. 一条长阶梯，如果每步跨2阶，那么最后剩1阶，如果每步跨3阶，那么最后剩2阶，如果每步跨4阶，那么最后剩3阶，如果每步跨5阶，那么最后剩4阶，如果每步跨6阶，那么最后剩5阶，只有每步跨7阶，才能正好走完不剩一阶，这阶梯最少有几阶？初中一年级(上)数学竞赛辅导资料（3）质数合数甲内容提要1 正整数的一种分类：质数的定义：如果一个大于1的正整数，只能被1和它本身整除，那么这个正整数叫做质数（质数也称素数）．合数的定义：一个正整数除了能被1和本身整除外，还能被其他的正整数整除，这样的正整数叫做合数．2 根椐质数定义可知1 质数只有1和本身两个正约数，2 质数中只有一个偶数2如果两个质数的和或差是奇数那么其中必有一个是2，如果两个质数的积是偶数那么其中也必有一个是2，3任何合数都可以分解为几个质数的积．能写成几个质数的积的正整数就是合数．乙例题例1两个质数的和等于奇数a (a≥5)．求这两个数解：∵两个质数的和等于奇数∴必有一个是2所求的两个质数是2和a－2．例2己知两个整数的积等于质数m，求这两个数解：∵质数m只含两个正约数1和m，又∵（－1）（－m）＝m∴所求的两个整数是1和m或者－1和－m．例3己知三个质数a，b，c它们的积等于30求适合条件的a，b，c的值解：分解质因数：30＝2×3×5适合条件的值共有：应注意上述六组值的书写排列顺序，本题如果改为4个质数a，b，c，d它们的积等于210，即abcd＝2×3×5×7那么适合条件的a，b，c，d值共有24组，试把它写出来．例4试写出4个連续正整数，使它们个个都是合数．解：（本题答案不是唯一的）设N是不大于5的所有质数的积，即N＝2×3×5那么N＋2，N＋3，N＋4，N＋5就是适合条件的四个合数即32，33，34，35就是所求的一组数．本题可推广到n 个．令N等于不大于n＋1的所有质数的积，那么N＋2，N＋3，N＋4，……N＋（n＋1）就是所求的合数．丙练习31. 小于100的质数共___个，它们是__________________________________．2. 己知质数P与奇数Q的和是11，则P＝＿＿，Q＝＿＿．3. 己知两个素数的差是41，那么它们分别是＿＿＿＿＿．4. 如果两个自然数的积等于19，那么这两个数是＿＿＿．如果两个整数的积等于73，那么它们是＿＿＿＿．如果两个质数的积等于15，则它们是＿＿＿＿＿．5. 两个质数x和y，己知xy＝91，那么x＝__，y＝__，或x＝__，y＝__．6. 三个质数a，b，c它们的积等于1990．那么7. 能整除311＋513的最小质数是＿＿．8. 8，己知两个质数A和B适合等式A＋B＝99，AB＝M．求M及＋的值．9. 试写出6个連续正整数，使它们个个都是合数．10. 具备什么条件的最简正分数可化为有限小数？11. 求适合下列三个条件的最小整数：①大于1 ②没有小于10的质因数③不是质数12. 某质数加上6或减去6都仍是质数，且这三个质数均在30到50之间，那么这个质数是＿＿＿．13. 一个质数加上10或减去14都仍是质数，这个质数是＿＿．。