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4-4向量内积及正交化

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向量的内积长度及正交性

向量的内积长度及正交性

14
(3) 当 || x || || y || 0时, arcco[sx,y]
||x||||y|| 称为向量 x 与 y 的夹角.
例 求向 (1 ,2 ,2 ,3 量 )T 与 (3 ,1 ,5 ,1 )T 的.夹
解 cos||[||,||] ||
18 3 2 6
2, 2
.
4
三、正交向量组的概念及求法
定理 若n维向量 1,2,,r 是正交向量组, 则 1,2,,r 线性无关.
定理 若n维向量 1,2,,r 是正交向量组, 则 1,2,,r 线性无关.
证明 设1,有 2, ,r使 11 22 r 0
以a1T左乘上式两 ,得端 11T1 0
由 1 1 T 1 ||1 |2 |0 ,从而 1有 0.
同理 2 可 r 得 0 .
故 1,2, ,r线性.无关
3. 正交单位向量组
每个向பைடு நூலகம்都是单位向量的正交向量组.
4. 向量空间的正交基
若 1,2, ,r是向量 V的 空一 间,个 且 1基 ,2, ,r是两两正交组 的 ,则非 称 1,零 2, 向 ,r是 量
向量V 空 的间 正.交基
1 1
(1) 非负性: 当 x = 时, || x ||= 0;当 x 时, || x || 0. (2) 齐次性: || x ||= |||| x || ;
(3) 三角不等式: || x +y || || x || + || y ||; (4) |[ x, y ] | || x || || y ||.
则1,2,3 构成R3的一个正交基.
5. 规范 (标准) 正交基
定义 设n维向量 e1,e2,,er是向量空 V(V间 Rn)的一个,如 基果 e1,e2,,er两两正交且都是 向量 ,则称 e1,e2,,er是V的一个规范.正交基 例如
向量的内积_正交矩阵

向量的内积_正交矩阵


= α ′β = β ′α
α = ( α ,α ) = a1 2 + a 2 2 + + a n 2
3 、单位向量： 当 α
=1
时，称α为单位向量
*
将非零向量α单位化： 取向量 α ，
=
1
α
α
(α , β ) = 0 4 、正交： 如果向量α 与β 满足 称 α β
向量 与 正交。
，则
二、主要性质 向量内积的性质： 设 α, β , γ 均为 n 维向量， λ 为实数，则
所以， e1 , e2 , e3 , e4 是 R4 的一组标准正交基
设α1 , α 2 , , α n 是R n的一组基，
利用此组基求 Rn 的一组标准正交基的方法： 步骤一：将 α 1 ,α 2 ,,α n 正交化，得一正交基 施密特（ Schmidt ）正交化法：
( β1 ,α 2 ) 取 β 1 = α 1 , β 2 = α2 − ( β , β ) β1 , 1 1 ( β 1 ,α 3 ) ( β 2 ,α 3 ) β3 = α3 − β1 − β2 ( β1 , β1 ) ( β2, β2 )
即
αi = (αi , αi ) = 1
n维向量组α1 , α 2 , , α m 是R n的一组标准正交基
（1） m=n (α ,α ) = 0 （2）i j
= 1
(i ≠ j) (i = j)
【例】
证明向量组
e1 =
1 1 0 0 2 2 0 0 1 1 1 1 − , e = , e = , e = 2 3 2 4 2 2 2 0 1 1 0 − 0 2 2 0
第三节：向量的内积与施密特正交化过程

第三节：向量的内积与施密特正交化过程


⇔ A =A
T
。
−1
令
α 1T T α 2 A = M T α n
= ( β , β ,L , β ) 1 2 n
由上式不难得到： 为正交矩阵 由上式不难得到：A为正交矩阵
1, i = j 1, ⇔(α ,α ) = ⇔ (βi , β j ) = 0. i ≠ j 0.
T T
都正交的向量集。 都正交的向量集。 解：设与 α1,α2 都正交的向量为
T x = ( x1, x2 , x3 , x4 ) 由 α1T x = 0 α2 x = 0
T
得齐次线性方程组
x1 + x 2 + x 3 + x 4 = 0 x1 + x 3 + x 4 = 0
x = k1(−1,0,1,0)T + k2 (−1,0,0,1)T 解得
α1 = (1,0,1)T ,α2 = (1,1,0)T ,α3 = (0,1,1)T 例2 设
正交化过程将其化为标准正交组。 用Schmidt正交化过程将其化为标准正交组。 正交化过程将其化为标准正交组 解：取 β1 = α1 = (1, 0,1)T
(α2 , β1 ) 1 1 1T 1 T T β2 = α2 − β1 = (1,1,0) − (1,0,1) = ( ,1, − ) = (1,2, −1)T (β1, β1 ) 2 2 2 2
θ =
π
2
时，称两向量正交。这里显然等价于 称两向量正交。 因此可利用内积定义两向量正交。 (α, β) = 0 因此可利用内积定义两向量正交。 正交， 定义3 定义 若 (α, β ) = 0 称 α , β 正交，记 α ⊥ β 中只要有一个为零向量， α , β 中只要有一个为零向量，必有 (α , β ) = 0 又零向量与任何向量看作是正交的， 又零向量与任何向量看作是正交的，且
第6讲向量的内积与正交化

第6讲向量的内积与正交化

ATA = E 则称 A 为正交矩阵，简称正交阵。 对正交阵 A 按列自然分块，则有
可得： 定理：方阵 A 为正交阵的充分必要条件是 A 的列(行)向量都 是单位向量，且两两正交。
正交矩阵有如下性质： 1) 若 A 为正交矩阵，则 |A|=1 或 |A|= -1； 2) A为正交矩阵，则 AT=A-1 也为正交矩阵； 3) 若A，B为同阶正交矩阵，则 AB 也为正交矩阵。 定义：若 P 为正交矩阵，则线性变换 y = Px 称为正交变换。 性质：正交变换保持线段长度不变。 设 y=Px 为正交变换，则有 由于任意两点的距离均不变，从而正交变换不改变图形的形状， 这是正交变换的优良特性。
(1) (x,y) = (y, x); (2) (kx, y) = k (x, y); (3) (x+y, z) = (x, z)+(y,z); (4) (x, x)≥0，当且仅当 x=0 时, (x,x)=0。 内积还满足施瓦茨(Schwarz)不等式
定义：定义向量
的长度(范数, 模)为
向量的长度具有下述性质： (1) 非负性：当 x≠0 时，|| x ||>0；当 x=0 时，||x||=0； (2) 齐次性： ||k x || = |k| ||x||； (3) 施瓦茨不等式：|(x,y)| ≤ ||x|| ||y||； (4) 三角不等式：||x+y|| ≤ ||x|| + ||y||。
正交的
；
，即得 n 个两两正交的
若现已有线性无关的向量组
，也可以构
建一个与之等价的且两两正交的向量组：
以上过程称为施密特(Schimidt)正交化过程。 进一步，可将 单位化（规范化），
对施密特正交化过程，应注意向量组 等价，其中 t=1,…, r
向量的内积与施密特正交化过程

向量的内积与施密特正交化过程

向量的内积与施密特正交化过程向量的内积（亦称点积、内积积）是线性代数中非常重要的运算，它是将两个向量映射成一个标量的二元运算。

在内积中，有几个重要的性质和应用。

另一方面，施密特正交化过程是将线性相关的向量组转变为线性无关的正交向量组的过程。

在施密特正交化过程中，我们通过对向量组进行逐步的处理，使新的向量与之前的向量都正交。

一、向量的内积在二维欧几里得空间中，向量的内积定义为：其中，和分别为向量和的坐标。

在三维欧几里得空间中，向量的内积定义为：1.对于任何向量，都有。

2.对于任何向量，都有。

3.对于任何向量和标量，都有。

4.若向量和满足，则称向量和正交，记作。

内积具有许多应用和重要性质，其中之一是通过内积计算向量的模长，即。

内积还可以用于计算两个向量之间的夹角。

对于向量和，，当且仅当和共线时夹角为0，在此情况下,称向量和共线。

施密特正交化过程是将线性相关的向量组转化为线性无关的正交向量组的过程。

施密特正交化过程的基本思想是，通过不断减去之前所有的向量在当前向量上的投影，得到与之前向量正交的新向量。

具体步骤如下：对于给定的向量组，我们希望将其转化为正交向量组。

施密特正交化过程的步骤如下：1.令，即第一个正交向量等于第一个向量。

2.对于向量，对其进行如下处理：a.计算向量在的投影，即。

b.令为向量减去其在上的投影，即。

c.实际得到的向量与垂直，即。

得到向量的长度。

3.对于向量，继续对其进行如上处理。

经过施密特正交化过程，我们最终可以得到单位正交向量组。

如果希望得到标准正交向量组，即长度为1的正交向量组，需要将单位正交向量组进行标准化处理。

施密特正交化过程的关键思想是不断减去之前的向量在当前向量上的投影，得到与之前的向量正交的新向量。

这样可以确保每次得到的新向量都与之前向量组成的空间正交。

施密特正交化过程广泛应用于数值计算中的线性代数问题，例如最小二乘法、特征值问题等。

它的作用是简化计算，提高计算的精度和稳定性。

向量的内积与施密特正交化过程

向量的内积与施密特正交化过程

向量的内积与施密特正交化过程向量的内积是线性代数中重要的概念，它不仅可以表述两个向量之间的夹角关系，还可以用于正交化过程中的计算。

施密特正交化是一种将一组线性无关的向量组转化为一组正交向量组的过程。

本文将分为以下几个部分介绍向量的内积和施密特正交化过程。

一、向量的内积A·B=a1b1+a2b2+...+anbn1.交换律：A·B=B·A2.分配律：(A+B)·C=A·C+B·C3.结合律：k(A·B)=(kA)·B=A·(kB)，其中k为实数4.内积为0的充要条件：当且仅当A、B正交（或垂直）时，A·B=0内积具有很多实际应用，比如：1.计算向量的模长：，A，=√(A·A)2. 计算向量之间的夹角：cosθ = (A·B)/(，A，B，)3.判断两个向量是否垂直：当且仅当A·B=0时，A与B垂直4.判断向量的正负性：当A·B>0时，夹角θ为锐角；当A·B<0时，夹角θ为钝角二、施密特正交化施密特正交化是一种将一组线性无关的向量组转化为一组正交向量组的过程。

假设有一组线性无关的向量A1,A2,...,An，施密特正交化的过程如下：1.选择一个向量a1作为正交向量组的第一个向量，令b1=a1/，a1，即单位化。

2.对于第k个向量向量Ak(k=2,3,...,n)，先将它与前k-1个向量的内积计算出来，然后减去它在前k-1个向量的投影：Ak' = Ak - (Ak·b1)b1 - (Ak·b2)b2 - ... - (Ak·bk-1)bk-1其中，bk = Ak'/，Ak'3. 重复步骤2，直到计算完所有向量。

经过施密特正交化，得到一组正交向量组b1,b2,...,bn。

施密特正交化的过程可以通过内积的运算来实现，将向量投影的概念用到了正交化过程中。

向量的内积

向量的内积


[ , ]


0

§4.1 向量的内积
定义4： 、 为任意两个向量，若内积 设
[ , ] 0
则称 与 正交或互相垂直，记作 .
注：
① 零向量与任意向量正交. ②

2 , 即 co s 0
.
§4.1 向量的内积
例1. 已知
称 [ , ] 为内积.
注：内积可用矩阵乘积表示为
[ , ] .
T
§4.1 向量的内积
内积的基本性质
1) 2) 3) [ , ] [ , ]; [ k , ] k [ , ]; [ , ] [ , ] [ , ]; [ , ] 0，当且仅当 0 时, [ , ] 0 .
T T
T
化成单位正交的向量组. 解：令 1 1 (1, 1, 1, 1)
2 2
[ 2 , 1 ] [ 1 , 1 ]
T
正交化
1 ( 2 , 2 , 2 , 2 )T
[ 3 , 2 ] [ 2 , 2 ]
3 3
[ 3 , 1 ] [ 1 , 1 ]
4)
§4.1 向量的内积
向量的长度
定义2
( x 1 , x 2 , , x n ) ,
T

[ , ]
x1 x 2 x n ,
2 2 2
称为向量 的长度. 特别地，当 1时，称 为单位向量.
1) 2)
0， 0 0 ；
1
2 ( 1, 1, 1, 1)
T
§4.1 向量的内积
向量的内积与正交

向量的内积与正交


使β3 与β1，β2 彼此正交，满足
β3β1 β3, β2 0
即有
β3β1 α3, β1 k1 β1, β1 0
以及
β3β2 α3, β2 k2 β2, β2 0
得
k1
α3 , β1,
β1 β1
,k2
α3 , β2,
β2 β2
于是得
β3
α3
α3 , β1,
1 3
1 21
5 3
1
1 1
1
2 10
那么 β1β2, , βr与 就是与 α1,α2, ,αr 等价的单位正交向量组。
1
例3，a1 1 1
求一组非零向量 α2, α3, 使 α1, α2, α3
两两正交。
解 α2, α3 应满足方程 α1T x 0, 即
x1 x2 x3 0
线性代数
向量的内积与正交
1 向量的内积
2 线性无关向量 组的正交化方法
3 正交阵
内容
向量的内积与正交
定义1 设n 维向量
a1 b1
a2
,
b1
an
b1
令
α, β a1b1 a2b2 anbn
称为向量的内积。
向量的内积是一种运算。如果把向量看成列矩阵，那么向量的内积 可以表示成矩阵的乘积形式
定义2 设有n 维向量
a1
α
=
a1
a1
令
α α, α a12 a22 an2
α 称为n 维向量α 的长度(也称为模或范数)。 向量的长度具有下列性质: （1） α 0,且 α 0当且仅当α 0 （2） kα k α （3） α β α β
性质(1)，(2)是显然的，性质(3)称为三角不等式，这里不予证明。
§3.4向量的内积与正交化

§3.4向量的内积与正交化


|| y||= yT y = xT PT Px = xT x 不变， 特点： 经正交变换线段的长度保持不变， (从而三角形的形状保持不变 。 从而三角形的形状保持不变)。 从而三角形的形状保持不变
例 求向量 α = (1,2,2,3 )与β = (3,1,5,1)的夹角.
α ⋅ β = 18 = 2 解 Q cosθ = 3 2⋅6 2 α β π ∴θ = .
4
二 向量组的正交化
若一非零向量组中的向量两两正交， 若一非零向量组中的向量两两正交，则称该向量组 正交向量组． 为正交向量组． 例如, 例如, 向量组
再令
−1 4 1 5−1 (b1 , a2 ) b2 = a2 − b1 = 3− 2 = 1 , 1 6−1 3 1 (b1 , b1 )
1 −1 1 b 1 2 e = b2 = 1 1 e = b3 = 1 0 , . e1 = 1 = , 2 −1 || b || || b2 || 3 1 3 || b3 || 6 2 1 1 e1, e2, e3即为所求. 即为所求.
维向量a 是一组两两正交的非零向量, 定理 若n维向量 1, a2, ⋅ ⋅ ⋅, ar是一组两两正交的非零向量, 维向量 线性无关. 则a1, a2, ⋅ ⋅ ⋅, ar线性无关. 证明 设有λ1, λ2, ⋅ ⋅ ⋅, λr, 使 , λ1a1+λ2a2+ ⋅ ⋅ ⋅ +λrar=0, 左乘上式两端, λ1a1Ta1=0, 以a1T左乘上式两端, 得 , 因a1≠0, 故a1Ta1=||a1||2≠0, 从而λ1=0. , , . . 类似可证λ2=λ3= ⋅ ⋅ ⋅=λr=0. 因此, 向量组a 线性无关. 因此, 向量组 1, a2, ⋅ ⋅ ⋅, ar线性无关.
4-1向量的内积与正交

4-1向量的内积与正交


BB
1
2 0
0 1
1
2 0
0
1 2
则 B 是正交矩阵。
1 0 2
1 0 0
0 1 0 1 0
1 2
0
0 0 1
1
CC
0
0 0
1 0
1 0
0 0
1 0
2 0
0 0
0 0 E
1 0 1 1 0 1 0 0 2
则 C不 是正交矩阵。
19
性质3 设 A、B 都是正交矩阵，则 AB 也是正交矩阵。
9
例3 1 1,1,1,1T , 2 1,1,1,1T , 3 1,1,1,1T ,
求与 1,2 ,3 都正交的单位向量。
解 设所求向量为 X x1, x2, x3, x4 T
X X
, ,
1 2
0 0
X ,3 0
即
x1 x1
x2 x2
x3 x3
x4 x4
0 0
x1 x2 x3 x4 0
证 因为 A 、B都是正交矩阵，则 A A E BB E
ABAB B A AB B A A B E
则 AB 也是正交矩阵。 性质4 设 A 是正交矩阵，则 A1 与 A, A
也是正交矩阵。 性质5 设 A 是正交矩阵，则 A 1.
20
例6 A 为 n 阶正交阵，则
(1) A 1 或 1 (2) A 是正交矩阵
i j
0, i 1, i
j j
即 A 的 n 个列向量是单位正交向量组。
例5 观察下列矩阵是否为正交矩阵
1 A 0
0
0 1 0
0
1 2
0
B
1 2
向量的内积与向量组的正交化ppt课件

向量的内积与向量组的正交化ppt课件


+
1
+
2
3 0.
1 0
它的基础解系为
1
0 , 1
2
1 . 1
把基础解系正交化，即合所求．亦即取 a2 1,
a3
2
[ [
1, 1,
2]
1]
1
.
其中[1, 2] 1,[1,1] 2,于是得
a2
1 0 , 1
a3
0 1 1
1 2
1 0 1
1 2
1 2 . 1
4、正交矩阵与正交变换
定义4 若n阶方阵A满足 AT A E 即A1 AT ,则称A为正交矩阵.
定理 证明
A为正交矩阵的充要条件是 A的列向量都是单位向量且两两正交．
a11
AT
A
E
a12 L
a21
a22 L
L L L
an1 a11 an2 a21 L L
a12
a22 L
L L L
201
由于
0 1 2 0, 所以 1 , 2 , 3 线性无关 .
112
即 A 有 3 个线性无关的特征向量 , 因而 A 可对角化 .
2 1 2 (2) A 5 3 3
1 0 2
2 1
2
A E 5 3 3 + 13
1
0 2
所以 A 的特征值为 1 2 3 1 . 把 1代入 A E x 0 , 解之得基础解系 (1,1,1)T ,
内积的运算性质 其中 x, y, z为n维向量,为实数 :
(1) [x, y] [y, x]; (2) [x, y] [x, y]; (3) [x + y, z] [x, z] + [y, z];

向量的内积与施密特正交化过程

向量的内积与施密特 正交化过程
目录
• 向量的内积 • 施密特正交化过程 • 向量的模与向量的夹角 • 施密特正交化过程在向量空间中的应用 • 向量内积与线性代数的关系
01
向量的内积
向量内积的定义
定义
向量内积是两个向量之间的点积运算， 记作$mathbf{a} cdot mathbf{b}$。 它等于向量$mathbf{a}$和 $mathbf{b}$的各分量相乘后的总和。
征向量等。
THANKS
感谢观看
在信号处理中，施密特正交化过程可以用于将一组信号向量转化为正交基底，以便更好地分析和处理信 号。
在量子力学中，施密特正交化过程可以用于将一组量子态向量转化为正交基底，以便更好地描述量子系 统的状态和演化。
05
向量内积与线性代数的关 系
向量内积与矩阵的关系
向量内积的定义
两个向量$mathbf{a}$和$mathbf{b}$的内积定义为$mathbf{a} cdot mathbf{b} = ||mathbf{a}|| times ||mathbf{b}|| times cos theta$，其中 $theta$是两向量之间的夹角。
施密特正交化过程的定义
01
施密特正交化过程是一种数学 方法，用于将一组线性无关的 向量转换为正交基。
02
正交基是指一组两两正交的向 量，即它们的内积为0。
03
通过施密特正交化过程，我们 可以得到一组标准正交基，即 它们的长度为1且两两正交。
施密特正交化过程的应用
在线性代数中，施密特正交化过程常 用于将一组给定的线性无关向量转换 为标准正交基，从而方便进行向量运 算和矩阵表示。
矩阵与向量内积的关系
矩阵乘法可以看作是线性变换的一种表示，而向量内积则是描述向量之间角度 和长度关系的工具，因此向量内积在矩阵乘法中有着重要的应用。

向量内积与向量组的正交化


向量内积与向量组的正交化
定义3-16
对Rn中的向量α=a1,a2,…,anT，称实数α,α为向量α的长度 或模，记作‖α‖.即
‖α‖=43;a2n 长度为1的向量称为单位向量. 由向量长度的定义，可证得以下性质： （1）‖α‖≥0，且‖α‖=0的充要条件是α=0. （2）对任意实数k，有‖kα‖=k‖α‖. （3）‖α,β‖≤‖α‖·‖β‖. （4）‖α+β‖≤‖α‖+‖β‖.
向量内积与向量组的正交化
定义3-19
如果n阶方阵Q满足 QTQ=QQT=E 那么称Q为正交矩阵.
正交矩阵具有下列性质：
向量内积与向量组的正交化
定理3-11
若Q是正交矩阵，则 （1）Q=±1. （2）Q－1=QT也是正交矩阵. 证明 （1）因QTQ=E=1，所以Q2=1，故Q=±1. （2）因(Q－1) T=(QT)T=Q=(Q－1) －1，所以Q－1也是正交矩阵. 证毕. 由定义3-19及定理3-11可得：
向量内积与向量组的正交化
定理3-12
n阶方阵Q是正交矩阵的充分必要条件，是Q的列（行） 向量组，是单位正交向量组.
由以上讨论容易验证下面两个实方阵都是正交矩阵：
谢谢聆听
向量内积与向量组的正交化
上述定理的逆命题不成立.即线性无关的向量 组不一定是正交向量组.但可以通过线性组合的方 式将一个线性无关的向量组改造成一个与之等价 的正交向量组.
将一个线性无关的向量组正交化的方法很多， 此处不加证明地给出一种方法：施密特(Schmidt) 正交化法.具体操作步骤如下：
向量内积与向量组的正交化
设向量组α1,α2,…,αs线性无关.
取
β1=α1
向量内积与向量组的正交化
【例3-22】

向量的内积与正交向量组

§2.4 向量的内积与正交向量组定义1 在中，设向量n R ,,2121⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n n b b b a a a βα令,),(2211n n b a b a b a +++= βα称为向量与的内积.),(βααβ.),(βαβαT =例如，设则与的内积.)2,1,3,2(,)0,0,1,1(T T =−−=βααβ.12010312)1(),(=⨯+⨯+⨯+⨯−=βα内积是向量的一种运算，可用矩阵记号表示为根据定义1，不难验证内积具有下述性质：,0),)(4().,(),)(3().,(),)(2().,(),)(1(≥++=+==ααγβγαγβαβαβααββαk k 当且仅当时，有其中为中的向量，为常数.0=α.0),(=ααγβα,,n R k n R 定义2 对中的向量其长度向量长度也称为向量的范数.,),,,(21Tn a a a =α.),(22221n a a a +++== ααα例如，向量的长度T )2,1,1(=α.6211),(222=++==ααα向量长度具有下面的性质：当且仅当时，有.0α≥（1），0=α0=α.k k αα=•（2）(3)对任意向量，有βα,)1(.),(βαβα•≤如果上面不等式可写成这一等式称为柯西-施瓦次不等式.,),,,(,),,,(2121Tn T n b b b a a a ==βα.12121∑•∑≤∑===n i i n i i n i i i b a b a 证：当时，(1)式显然成立，以下. 令t 是一个实数，作向量. 由内积的性质(4)可知，不论t 取何值，一定有0=β0≠ββαγt +=,0),(),(≥++=βαβαγγt t对于不等式(1)当且仅当线性相关时，等号才成立.这由上述证明过程可以看出.用向量的长度去除向量，就得到一个单位向量，通常称为把向量单位化.即0),(),(2),(2≥++t t βββααα取代入上式，得),(),(βββα−=t ,0),(),(),(2≥−βββααα即),,)(,(),(2ββααβα≤两边开方得βαβα•≤),(βα,长度为1的向量称为单位向量，对于中的任一非零nR 向量，向量是一个单位向量.ααα1)0(≠ααα例1零向量与任意向量的内积为0，因此零向量与任意向量正交.定义3 如果两个向量与的内积等于0，即则称向量与互相正交. 记为.αβ,0),(=βααββα⊥例2 中的单位坐标向量组是两两正交的.n R n εεε,,,21 ⎩⎨⎧≠==)(0)(1),(j i j i j i εε定义4如果中的非零向量组两两正交，即则称该向量组为正交向量组.n R s ααα,,,21 ),,,2,1,;(0),(s j i j i j i =≠=αα定理4.1中的正交向量组线性无关.nR 证设为中的正交向量组，且有数，s ααα,,,21 n R s k k k ,,,21 .02211=+++s s k k k ααα 使得上式两边与向量组中的任意向量求内积，得i α,0)0,(),(2211==+++i s s i k k k ααααα 即,0),(),(),(2211=+++s i s i i k k k αααααα 由于，所以上式可化简为)(0),(j i j i ≠=αα,0),(1=i i k αα而为非零向量，于是得，从而线性无关.i α,0),(≠i i αα),,2,1(0s i k i ==s ααα,,,21.),(),(),(),(),(),(,),(),(),(),(,),(),(,111122221111222231111333111122211−−−−−−−−=−−=−==s s s ss s s s s ββββαββββαββββααβββββαββββααβββββααβαβ如果已知中的线性无关的向量组则可以生成正交向量组使这两个向量组等价.由一个线性无关向量组生成满足上述性质的正交向量组的过程，一般称为将该向量组正交化，将一个向量组正交化可以应用施密特正交化方法，其步骤如下：n R 12,,,,s ααα12,,,,s βββ对于中的线性无关向量组，令n R s ααα,,,21解.)21,21,1()1,1,0(21)1,1,1(30)0,1,1(),(),(),(),(,)1,1,0()1,1,1(33)2,0,1(),(),(,)1,1,1(222231111333111122211T T T T T T T T−=−−−−−=−−=−=−=−===ββββαββββααβββββααβαβ例3已知线性无关向量组将其化为正交向量组.,)0,1,1(,)2,0,1(,)1,1,1(321T T T −===ααα定义5设n 阶实矩阵Q ，满足则称Q 为正交矩阵.例如，单位矩阵E 为正交矩阵；在平面解析几何中，两直角坐标系间的坐标变换矩阵，是正交矩阵.正交矩阵具有下述性质：(1)若Q 为正交矩阵，则其行列式的值为1或-1.(2)若Q 为正交矩阵，则Q 可逆，且(3)若P , Q 都是正交矩阵，则它们的积PQ 也是正交矩阵.,E Q Q T =⎪⎭⎫⎝⎛−θθθθcos sin sin cos .1T Q Q =−定理4.2设Q 为n 阶实矩阵，则Q 为在正交矩阵的充分必要条件是其列(行)向量组是单位正交向量组.即Q 为正交矩阵的充分必要条件是其列向量组是单位正交向量组.类似可证，Q 的正交矩阵的充分必要条件是其行向量组是单位正证设，其中为Q 的列向量组.Q 是正交矩阵等价于而),,,(21n Q ααα =n ααα,,,21 ,E Q Q T =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n T n T n T n n T T T n T T T n T n T T T Q Q αααααααααααααααααααααααα 2122212121112121),,,(由此可知等价于E Q Q T =⎩⎨⎧=≠===),,2,1,;(0),,,2,1(1n j i j i n i j T i i T i αααα11例4正交阵的例子：定义6若Q 为正交矩阵，则线性变换y =Qx 为正交变换.由正交变换的定义可知这表明正交变换不改变向量的长度，这正是正交变换的优良特性..31313161616221210)2(;010100001)1(⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛−−⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛−−.x x x Qx Q x y y y T T T T ====。

向量的内积、正交性

| OP |
2 2 2 x1 x2 x3 [ x , x ]
向量的长度 定义：令
|| x || [ x , x ]
2 2 2 x1 x2 xn
称 || x || 为 n 维向量 x 的长度（或范数）． 当 || x || = 1时，称 x 为单位向量． 向量的长度具有下列性质：
[x, y]2 ≤ [x, x] [y, y]．
回顾：线段的长度
P(x1, x2)
x2
[x, x] = x12 + x22 + … + xn2 ≥ 0
若令 x = (x1, x2)T，则
| OP |
2 2 x1 x2 [ x , x ]
O
x1
P 若令 x = (x1, x2, x3)T，则 x3 x2 x1 O
|| e1 || [e1 , e1 ] 1
从而 e1, e2, …, er 是向量空间 V 中的一个规范正交基．
1 1 4 例：设 a1 2 , a2 3 , a3 1 ，试用施密特正交化 1 1 0 过程把这组向量规范正交化．
x1 x 3 得 x2 0
1 1 从而有基础解系 0 ，令 a3 0 ． 1 1
定义： n 维向量e1, e2, …, er 是向量空间 V R n中的向量， 满足 e1, e2, …, er 是向量空间 V 中的一个基（最大无关组）； e1, e2, …, er 两两正交； e1, e2, …, er 都是单位向量， 则称 e1, e2, …, er 是V 的一个规范正交基．
说明：
• 内积是两个向量之间的一种运算，其结果是一个实数． • 内积可用矩阵乘法表示：当x 和 y 都是列向量时， [x, y] = x1 y1 + x2 y2 + … + xn yn = xT y ．

向量的内积、长度及正交性


β
α
7
三、向量的正交性
2. 正交向量组 设向量组 α 1 , α 2 , ⋯ , α r , 若满足 都是非零向量； ⑴ α1 ,α 2 ,⋯,α 都是非零向量； r T [ ⑵ 当 i ≠ j 时，α i , α j ] = α i α j = 0, 称为正交向量组 正交向量组。 则 α1 ,α2 ,⋯,αr 称为正交向量组。 即一组两两正交的非零向量构成的向量组 一组两两正交的非零向量构成的向量组 称为正交向量组。 称为正交向量组。
k1α1 + k2α2 + ⋯+ krαr = 0,
T T T k1α1 α1 + k2α1 α2 + ⋯+ krα1 αr = 0, 两两正交， 因为α1 ,α2 ,⋯,αr 两两正交，即有 T [α 1 , α j ] = α 1 α j = 0 , j = 2 , 3 , ⋯ , r T T 所以 k1α1 α1 = 0, 又 α1 ≠ 0 ，故 α1 α1 ≠ 0, 从而 k1 = 0. 类似可证必有 k2 = 0,⋯, kr = 0.
[α , β ] = a1b1 + a2b2 + ⋯ + anbn , [α , β ] 称为向量 α 与 β 的内积。 内积。
• 向量的内积是两个向量之间的一种运算，其结果 向量的内积是两个向量之间的一种运算， 是一个数 是一个数，用矩阵记号表示有 [α , β ] = α T β = β T α . • n(n ≥ 4 ) 维向量的内积是 维向量数量积的推广， 维向量的内积是3维向量数量积的推广 维向量数量积的推广， 但是没有3维向量直观的几何意义 维向量直观的几何意义． 但是没有 维向量直观的几何意义．
e1 , e2 , e3 , e4 就是R 4 的一个规范正交基 的一个规范正交基. [e1 , e2 ] = [e1 , e3 ] = [e1 , e4 ] = 0, [ e 2 , e 3 ] = [ e 2 , e 4 ] = 0, [ e 3 , e 4 ] = 0, e1 = e2 = e3 = e4 = 1.

第三节 向量的内积和施密特正交化


因为
两两正交，所以
, 0 i j, i, j 1, 2,..., m
i j
可得:
i i ,i 0
i 0 i ,i 0
而:
则只有
i 0 i 1,2,..., m .
,m线性无关.
故1 ,2 ,
４ 标准正交向量组
则a b a1b1 a2b2 a3b3
内积的运算性质
其中 , , 为n维向量, 为实数: (1) , , ;
(2)
, , ;
(3)
, , , ;
解
所以P是正交矩阵.
例6
已知三维
验证矩阵 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 解 P的每个列向量都是单位 向量, 且两两正交, 2 2 2 2 是正交矩阵. P 所以P是正交矩阵 . 1 1 0 0 2 2 1 1
1 例４ 已知 a 1 1 , 求一组非零向量a 2 , a 3 , 使 a 1 , a 2 , 1 a 3 两两正交. T , 应满足方程 a1 x 0,即 解 a2 a3 x1 x 2 x 3 0.
它的基础解系为 1 0 1 0 , 2 1 . 1 1
所以 e1 , e2 , e3 , e4
为标准正交向量组
5 施密特正交化 将任意给定的线性无关的非零向量组 a1 , a2 ,, am 化为正交向量组的方法——施密特正交化
二维几何空间
1 1
2 2
2 2 k1
1 1
显然
k 1
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例1
1,2,2,3T 与 3,1,5,1T 的夹角. 求向量
18 2 cos 3 26 2
解[ , ] 来自4.3 正交向量组 定义5 当[ x, y] 0时, 称向量x与y正交, 记作x y. 由定义知 若 x 0, 则 x 与任何同维向量正交 , . 定义6 若非零向量构成的向量组中的向量两两正 交,则称 该向量组为正交向量组.
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定理1 若n维向量 1 , 2 , , r 是一正交向量组, 则 1 , 2 , , r 线性无关. 证明 设1 , 2 , , r 使 11 2 2 r r 0. T T 以1 左乘上式两端, 得 1 1 1 0. 由1 0可知 2 T 1 1 1 0, 从而1 0. 同理 2 r 0. 故1 , 2 , , r 线性无关 . 注: 若单位向量组1 , 2 , , r 两两正交, 则称此 向量组为规范正交(向量)组. 例2 : １, 2 , 3为规范正交组, 求|| 4 1 4 2 7 3 || . 解 : || 41 4 2 7 3 ||2 [41 4 2 7 3 ,41 4 2 7 3 ] 16[1 , 1 ] 16[ 2 , 2 ] 49[ 3 , 3 ] 81 所以 || 41 4 2 7 3 || 9.
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1
2
若 1 , , n是向量空间 V的一组规范正交基 , 那么 对任意x V x k1 1 k n n 其中 k i [ x , i ] x T i , i 1, , n. 定义 9 : 设 1 , 2 , , n是向量空间 V的一个基 , 所谓 把 1 , 2 , , n 这个基规范正交化. 就是找V的一个 规范正交基 e1 , e2 , , en , 使其与 1 , 2 , , n等价. 问题: 如何找 e1 , e2 , , en？ 解决方案: 采用所谓施密特(Schmidt)正交单位化方 法分两步进行: 先用施密特正交化将向量组转化为 正交组, 然后将该正交组中向量单位化.
(4 1 0)T 1 (1 2 1)T 5 ( 1 1 1)T 3 3 2(1 0 1)T .
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再把它们单位化, 取 b b1 1 (1 2 1)T , e 2 2 13 ( 1 1 1), e1 6 b2 b1 b3 12 (1 0 1)T . e3 b3 e1 , e2 , e3 即为所求. 例6 : 设1 (1,1,0,1)T , 2 (1,0,1,1)T , 3 ( 2,1,1,0)T , 4 ( 2,1,1,1)T ,向量空间V Span{1 , 2 , 3 , 4 } 求V的一组规范正交基. 解 : 先确定V的一组基, 然后将该组基正交规范 化即 得所求之规范正交基. 由矩阵 1 0 0 1/ 2 A ( 1 2 3 4 ) 初等行变换 0 1 0 1 / 2 / 0 0 1 1 02 0 0 0
[b1 , b1 ] [b2 , b2 ] [br 1 , br 1 ]

[b1 , 3 ] [b , ] b1 2 3 b2 , [b1 , b1 ] [b2 , b2 ]
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1 注: 1.直接计算可知对任意 i j n, [bi , b j ] 0, 因而b1 , , bn确为两两正交向量组. 2.以上得到正交组的方法 称为施密特正交化方法 可以证明向量组 b1 , , bk 与 1 , k 等价(1 k n). 从而 Span{b1 , , bk } Span{ 1 , , k } (1 k n). 3.施密特正交化过程有着明确的几何直观.我们以 三维向量为例 解释如下: 再单位化(规范化): bn b2 b1 e2 即令：e1 en || bn || || b2 || || b1 ||
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具体步骤如下: 先正交化: 设 1 , 2 , , n为向量空间 V的一个基 , 取b1 1 , b , b2 2 1 2 b1 , 令
b1 , b1
b3 3
一般地 对任意r 1 [b , ] [b , ] [b , ] br r 1 r b1 2 r b2 r 1 r br 1 .


1
2

|| || u2 v 2 u u v v , cos cos( 2 1 ) cos 2 cos1 sin 2 sin1 xu yv . 2 2 2 2 x y u v
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x1 y1 x y 定义1 设有 n 维向量 x 2 , y 2 , xn yn x , y x1 y1 x2 y2 xn yn 令 称 x , y 为向量 x 与 y 的内积 . 内积是向量的一种运算, 如果x , y都是列向 说明 量,内积可用矩阵记号表示为 : x , y xT y . 内积的运算性质 其中x, y, z为n维向量, 为实数 : (1) x, y y, x; (2) x, y x, y; (3) x y, z x, z y, z; (4) , x] 0且[ x, x] 0 x 0. [x
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定义8 设向量 1 , 2 , , n是向量空间V的一组基 , 如果 1 , 2 , , n两两正交且都是单位向 , 则称 量 1 , 2 , , n是 V的一组规范正交基 . 例如 e (1 0 0 0)T , e (0 1 0 0)T ,
2 2 2 x1 x2 xn ,
向量单位化 任何非零向量 都可通过用其长 度去除向量 本身的方法得到一个单 位向量, 这个过程称为向量 的单位化 .
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x 定义4 对于任意两非零向量, y, 定义其夹角为 x, y , . arccos 0 x y
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2 向量的长度及夹角 定义2 令 x x , x
称 x 为 n 维向量 x 的长度 或 范数 . 向量的长度具有下述性质: 1. 非负性 x 0且 x 0 x 0; 2. 齐次性 x x ; 3. 三角不等式 x y x y . 4. 对任意n维向量x , y, | [ x , y] ||| x || || y || . 定义3 称长度为1的向量为 单位向量 .
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可知 1 , 2 , 3为向量组 1 , 2 , 3 , 4的极大无关组, 从而为空间V的一组基. 令 1 1 (1 1 0 1)T ; [ 2 , 1 ] 1 1 (1 2 3 1)T , 2 2 [1 , 1 ] 3 [ 3 , 1] [ 3 , 2] 2 T 3 3 1 2 2 1 1 3 , [1 , 1 ] [ 2 , 2 ] 5
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4 规范正交基及其求法 定义7 : 若1 , 2 ,, n是向量空间 的一个基 且 V , 1 , 2 ,, n构成正交向量组则称1 , 2 ,, n为 , 向量空间 的正交基 V . T T 例3 已知 1 (1,1,1) , 2 (1,2,1) 正交,试求 一个3维向量 3使得1 , 2 , 3构成三维空间的一 个正交基. T 解 设 3 x1 , x2 , x3 0, 且分别与1 , 2正交. [ 1 , 3 ] [ 2 , 3 ] 0, 则有 [1 , 3 ] x1 x2 x3 0; 即 [ , ] x 2 x x 0. 2 3 1 2 3 x1 x 3 , x 2 0. 解之得 若令 x 3 1, 则有 3 ( x1 , x2 , x3 )T ( 1,0,1)T .
e1 , , en即为与 1 , , n等价的规范正交基 .
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1 1 4 例5 : 设 a1 2 , a 2 3 , a 3 1 , 试用施 1 1 0 密特正交化过程把这组 向量正交规范化. T 解: 取 b1 a1 (1 2 1) ; 4 [a 2 , b1] T b2 a 2 [b , b ] b1 ( 1 3 1) 6 (1 2 1)T 1 1 5 ( 1 1 1)T ; 3 1 (1[a 32b13 (1a 1b2] ) , ] [) 3 , 4 b3 1 2b 2b ] 1) [b 1) ]6 2 1 a 3 [ , ( b1 ( , b b 1 1 2 2
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4 正交矩阵 定义10 若n阶方阵A满足 AT A I (即A1 AT ), 则称A为 正交矩阵 . 正交矩阵的性质 (1) AT A1 (2) | A | 1或 1 (3) 正交矩阵的积仍为正交矩阵 (4) 正交矩阵的转置矩阵仍为正交矩阵 定理 2 A为正交矩阵的充要条件是A的列(或行) 向量都是单位向量且两两正交． 证明 先考虑列向量的情形
e3 (0 0 1 0)T , e4 (0 0 0 1)T ,
是R4空间中的一组规范正交 . 基 例4 : 验证以下向量组为R 4的一组规范正交基. 1 ( 12 12 0 0)T , 2 ( 12 12 0 0)T , 3 (0 0 12 12 )T , 4 (0 0 12 12 )T . 解 : 直接计算可知 [ i , j ] 0, i j , [ , ] 1, i j . i j 所以 1 , 2 , 3 , 4确为 R 4的一组规范正交基 .
第5节 向量的内积