2018届二轮 平面向量 专题卷(全国通用)

2018高三二轮复习之讲练测之练案【苏教版数学】专题三 三角函数与平面向量1.练高考1. 【2017北京，理6 改编】设m ,n 为非零向量，则“存在负数λ，使得λ=m n ”是“0<⋅m n ”的_____条件（在充分而不必要条件、必要而不充分条件、充分必要条件 、既不充分也不必要条件选择） 【答案】充分而不必要条件【解析】若0λ∃<，使m n λ=，即两向量反向，夹角是0180，那么0cos1800m n m n m n ⋅==-<T ，若0m n ⋅<，那么两向量的夹角为(0090,180⎤⎦ ，并不一定反向，即不一定存在负数λ，使得λ=m n ，所以是充分不必要条件，故选填充分而不必要条件.【名师点睛】判断充分必要条件的的方法：1.根据定义，若,p q q p ⇒≠>，那么p 是q 的充分不必要 ，同时q 是p 的必要不充分条件，若p q ⇔，那互为充要条件，若p q <≠>，那就是既不充分也不必要条件，2.当命题是以集合形式给出时，那就看包含关系，若:,:p x A q x B ∈∈,若A B ≠⊂，那么p 是q 的充分必要条件，同时q 是p 的必要不充分条件，若A B =，互为充要条件，若没有包含关系，就是既不充分也不必要条件，3.命题的等价性，根据互为逆否命题的两个命题等价，将p 是q 条件的判断，转化为q ⌝是p ⌝条件的判断.2. 【2017课标3，理12 改编】在矩形ABCD 中，AB =1，AD =2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上.若AP =λ AB +μAD ，则λ+μ的最大值为______ 【答案】3 【解析】所以z的最大值为3.【名师点睛】(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.3.【2017课标1，理13】已知向量a，b的夹角为60°，|a|=2，|b|=1，则| a +2 b|= .【答案】23【解析】试题分析：222|2|||44||4421cos60412a b a a b b +=+⋅+=+⨯⨯⨯+= 所以|2|1223a b +==.秒杀解析：利用如下图形，可以判断出2a b +的模长是以2为边长的菱形对角线的长度，则为23.【名师点睛】平面向量中涉及到有关模长的问题，用到的通法是将模长进行平方，利用向量数量积的知识进行解答，很快就能得出答案；另外，向量是一个工具型的知识，具备代数和几何特征，在做这类问题时可以使用数形结合的思想，会加快解题速度.4. 【2017山东，理12】已知12,e e 是互相垂直的单位向量，若123-e e 与12λ+e e 的夹角为60，则实数λ的值是 . 【答案】33【名师点睛】1.平面向量a 与b 的数量积为·cos a b a b θ＝，其中θ是a 与b 的夹角，要注意夹角的定义和它的取值范围：0180θ︒≤≤︒.2.由向量的数量积的性质有||=a a a ·，·cos a b a bθ=，·0a b a b ⇔⊥＝，因此，利用平面向量的数量积可以解决与长度、角度、垂直等有关的问题．3.本题主要利用向量的模与向量运算的灵活转换，应用平面向量的夹角公式，建立λ的方程.5. （2016年高考江苏卷）如图，在ABC ∆中，D 是BC 的中点，,E F 是,A D 上的两个三等分点，4BC CA ⋅=，1BF CF ⋅=- ，则BE CE ⋅ 的值是 ▲ .【答案】78【解析】因为2222436444AO BC FO BC BA CA --⋅===,22414FO BCBF CF -⋅==-, 因此22513,BC 82FO ==，22224167448EO BC FO BC BE CE --⋅=== 【名师点睛】研究向量数量积，一般有两个思路，一是建立直角坐标系，利用坐标研究向量数量积；二是利用一组基底表示所有向量，两种实质相同，坐标法更易理解和化简. 对于涉及中线向量问题，利用向量加法与减法的平行四边形法则，可以得到一个很实用的结论：2244AO BCBA CA -⋅=6. 【2017江苏，12】如图,在同一个平面内，向量OA ,OB ,OC 的模分别为1,1,2,OA 与OC 的夹角为α,且tan α=7,OB 与OC 的夹角为45°.若OC mOA nOB =+(,)m n ∈R , 则m n += ▲ .【答案】3【名师点睛】(1)向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数、方程、不等式的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数、方程、不等式问题.(2)以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法.(3)向量的两个作用：①载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题.2.练模拟1.【浙江省嘉兴市2018届高三上学期期末考试数学试题】直角ABC ∆中， 2AB AC ==， D 为AB 边上的点，且2ADDB =，则CD CA ⋅=______；若CD xCA yCB =+，则xy =________． 【答案】 4 29【解析】建立直角坐标系，设()()()40,0,2,0,0,2,,03A B C D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以CD CA ⋅=()4,20,243⎛⎫-⋅-= ⎪⎝⎭，由CD xCA yCB =+得 ()()44212,20,22,22,222,,33339x y y x y y x xy ⎛⎫-=-+-∴=-=--∴=== ⎪⎝⎭2. 【甘肃省西北师范大学附属中学2018届高三校内第一次诊断考试数学】已知函数()11f x x =+，点O 为坐标原点, 点()(),(n A n f n n ∈N *),向量()0,1i =，n θ是向量n OA 与i 的夹角，则201612122016cos cos cos sin sin sin θθθθθθ+++的值为_________．【答案】20162017【解析】1,1n OA n n ⎛⎫= ⎪+⎝⎭，所以()2222111cos 1111n n n n n n θ+==++⎛⎫+ ⎪+⎝⎭，因[]0,n θπ∈，故()()()2222211sin 11111n n n n n n n θ⎛⎫+ ⎪=-= ⎪ ⎪++++⎝⎭，所以()cos 111sin 11n n n n n n θθ==-++，故所求之和为11111120161223201620172017-+-++-=，填20162017．3. 【辽宁省沈阳市2018届高三教学质量监测（一）数学理】已知ABC ∆是直角边为2的等腰直角三角形，且A 为直角顶点， P 为平面ABC 内一点，则PA PB PC ⋅+（）的最小值是__________． 【答案】-1【解析】以A 点为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则()()()0,0,2,0,0,2A B C ，则(),P x y ，()()(),,2,,,2PA x y PB x y PC x y ==-=-，利用向量的坐标运算法则有：()()()2211,22,2222122PA PB PC x y x y x y ⎛⎫⎛⎫⋅+=⋅--=-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，据此可知，当12x y ==，即点P 坐标为11,22P ⎛⎫⎪⎝⎭时， PA PB PC ⋅+（）取得最小值是1-. 4. 【湖南师范大学附属中学2018届高三上学期月考（五）理】已知向量,a b 夹角为3π， 2b =，对任意x R ∈，有b xa a b +≥-，则()2atb a tb t R -+-∈的最小值是__________． 【答案】725. 【江西省南昌市第二中学2018届高三上学期第五次月考数学（理）】在平面直角坐标系xOy 中，已知向量()cos ,sin e αα=，设,(0)OA e λλ=>，向量ππcos ,sin 22OB ββ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． （1）若π6βα=-，求向量OA 与OB 的夹角； （2）若2AB OB ≥ 对任意实数,αβ都成立，求实数λ的取值范围． 【答案】（1）向量OA 与OB 的夹角为3π；（2）3λ≥．.3.练原创1.已知点O 是ABC ∆的外接圆圆心，且3,4AB AC ==．若存在非零实数,x y ，使得AO xAB yAC =+，且21x y +=，则cos BAC ∠= . 【答案】23【解析】试题分析：设AC 中点为M ，222ACAO xAB yxAB y AM =+=+,所以B,O,M 三点共线，所以23AM AB =，也就是2cos 3BAC ∠=．【名师点睛】把题设条件变形为2AO xAB yAM =+，利用系数和为1得到B,O,M 三点共线，这样得到一个特殊的三角形2．试题平面向量a 与b 的夹角为o 60， ()2,0a =， 1b =，则2a b +=_______ . 【答案】23【名师点睛】利用2a a =计算模长.3.如图是蜂巢结构图的一部分，正六边形的边长均为1，正六边形的顶点称为“晶格点”．若,,,A B C D 四点均位于图中的“晶格点”处，且,A B 的位置所图所示，则AB CD ⋅ 的最大值为________．【答案】24【解析】先建立直角坐标系，由向量投影知AB CD ⋅ 取最大值时()()()390,5,3,0,,,0,022C D A B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ ,即AB CD ⋅ ()39345,3,5242222⎛⎫=--⋅--=+= ⎪ ⎪⎝⎭．【名师点睛】如果量向量的夹角不容求得，则建立直角坐标系把数量积的计算归结为坐标的运算． 4.已知ABC 三个内角A ， B ， C 的对应边分别为a ， b ，c ，且π3C =， 2c =．当AC AB ⋅取得最大值时，ba的值为____． 【答案】23+【解析】设ABC ∆的外接圆半径为R ，则432sin 3c R C ==. 4383cos 2cos 2sin cos sin cos 33AC AB bc A b A B A B A ⋅===⨯= , 23B A π=-, 832cos sin 33AC AB A A π⎛⎫⋅=-= ⎪⎝⎭ 2833143cos cos sin 4cos 3223A A A A ⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭sin cos A A()2323431321cos2sin2sin22cos22sin2cos233322A A A A A A ⎛⎫=++=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭43sin 2233A π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ . 240,0233A A ππ<<<<,52333A πππ<+< ，则当232A ππ+=，即： 12A π=时， AC AB ⋅取得最大值为4323+，此时ABC ∆中， 7,12B π= ,7sinsin 1212a bππ=()()2317sin 12423231sin 124b a ππ+===+- . 【点睛】已知三角形的一边及其所对的角，可以求出三角形外接圆的半径，利于应用正弦定理“边化角”“角化边”，也利于应用余弦定理. 具备这样的条件时要灵活选择解题路线，本题采用先“边化角”后减元的策略，化为关于角A 的三角函数式，根据角A的范围研究三角函数的最值，从角的角度去求最值，由于答案更加准确，所以成为一种通法，被更多的人采用.5.设ABC ∆是边长为1的正三角形，点321,,P P P 四等分线段BC （如图所示）．（1）求112AB AP AP AP ⋅+⋅的值；（2）Q 为线段1AP 上一点，若112AQ mAB AC =+，求实数m 的值； （3）P 为边BC 上一动点，当PA PC ⋅取最小值时，求PAB ∠cos 的值． 【答案】（1）813；（2）41；（3）13265．【名师点睛】本题考查平面向量的线性运算和数量积运算以及余弦定理，属于中档题.解决本题的关键有二：一是利用线段的中点坐标公式得到2121()2AP AB AP AP ⋅+=；二是在第（3）问中利用2PP 是PA 在PC 方向上的投影将cos PA PC APB -∠转化为2PC PP -，再进行求解.。

第18讲 平面向量、复数(对应学生用书第112页)一、选择题1．(2017·湘中名校联考)若复数z ＝m (m －1)＋(m －1)i 是纯虚数，其中m 是实数，则1z＝( )【导学号：07804122】A ．iB ．－iC ．2iD ．－2iA [由题意，得m (m －1)＝0且(m －1)≠0，得m ＝0，所以z ＝－i ，1z ＝1－i ＝i ，故选A.]2．(2017·石家庄一摸)若复数z 满足(2＋i)z ＝3i(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数为( )A.2＋i B ．2－i C ．1＋2i D ．1－2i D [依题意得z ＝3i2＋i ＝2－2＋2－＝1＋2i ，则复数z 的共轭复数为1－2i ，选D.]3．(2015·全国Ⅰ卷)设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD →，则( )A.AD →＝－13AB →＋43AC →B.AD →＝13AB →－43AC →C.AD →＝43AB →＋13AC →D.AD →＝43AB →－13AC →A [∵BC →＝3CD →，∴AC →－AB →＝3(AD →－AC →)， 即4AC →－AB →＝3 AD →，∴AD →＝－13AB →＋43AC →.]4.(2016·全国Ⅰ卷)设(1＋i)x ＝1＋y i ，其中x ，y 是实数，则|x ＋y i|＝( ) A ．1 B ． 2 C. 3D ．2B [∵(1＋i)x ＝1＋y i ，∴x ＋x i ＝1＋y i. 又∵x ，y ∈R ，∴x ＝1，y ＝x ＝1. ∴|x ＋y i|＝|1＋i|＝2，故选B.]5.(2016·全国Ⅱ卷)已知z ＝(m ＋3)＋(m －1)i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－3,1) B ．(－1,3) C ．(1，＋∞) D ．(－∞，－3)A [由题意知⎩⎪⎨⎪⎧m ＋3＞0，m －1＜0，即－3＜m ＜1.故实数m 的取值范围为(－3,1)．]6．(2015·全国Ⅱ卷)若a 为实数，且(2＋a i)(a －2i)＝－4i ，则a ＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．2B [∵(2＋a i)(a －2i)＝－4i ，∴4a ＋(a 2－4)i ＝－4i.∴⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝0，a 2－4＝－4，解得a ＝0.故选B.]7．(2017·豫南九校4月联考)已知向量a ＝(m,2)，b ＝(2，－1)，且a ⊥b ，则|2a －b |a a ＋b等于( ) A ．－53B ．1C ．2D ．54B [∵a ⊥b ，∴2m －2＝0，∴m ＝1，则2a －b ＝(0,5)，a ＋b ＝(3,1)，∴a ·(a ＋b )＝1×3＋2×1＝5，|2a －b |＝5，∴|2a －b |a a ＋b ＝55＝1，故选B.]8．(2017·福建漳州八校联考)在△ABC 中，|AB →＋AC →|＝3|AB →－AC →|，|AB →|＝|AC →|＝3，则CB →·CA →的值为( )【导学号：07804123】A ．3B ．－3C ．－92D ．92D [由|AB →＋AC →|＝3|AB →－AC →|两边平方可得，AB →2＋AC →2＋2AB →·AC →＝3(AB →2＋AC →2－2AB →·AC →)，即AB →2＋AC →2＝4AB →·AC →，又|AB →|＝|AC →|＝3，所以AB →·AC →＝92，又因为CB →＝AB →－AC →，所以CB →·CA→＝(AB →－AC →)·(－AC →)＝AC →2－AB →·AC →＝9－92＝92，故选D.]9.(2017·全国Ⅰ卷)设有下面四个命题p 1：若复数z 满足1z ∈R ，则z ∈R ；p 2：若复数z 满足z 2∈R ，则z ∈R ； p 3：若复数z 1，z 2满足z 1z 2∈R ，则z 1＝z 2； p 4：若复数z ∈R ，则z ∈R .其中的真命题为( ) A ．p 1，p 3 B ．p 1，p 4 C ．p 2，p 3D ．p 2，p 4B [设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，z 1＝a 1＋b 1i(a 1，b 1∈R )，z 2＝a 2＋b 2i(a 2，b 2∈R )． 对于p 1，若1z ∈R ，即1a ＋b i ＝a －b ia 2＋b 2∈R ，则b ＝0⇒z ＝a ＋b i ＝a ∈R ，所以p 1为真命题．对于p 2，若z 2∈R ，即(a ＋b i)2＝a 2＋2ab i －b 2∈R ，则ab ＝0. 当a ＝0，b ≠0时，z ＝a ＋b i ＝b i ∉R ，所以p 2为假命题．对于p 3，若z 1z 2∈R ，即(a 1＋b 1i)(a 2＋b 2i)＝(a 1a 2－b 1b 2)＋(a 1b 2＋a 2b 1)i∈R ，则a 1b 2＋a 2b 1＝0.而z 1＝z 2，即a 1＋b 1i ＝a 2－b 2i ⇔a 1＝a 2，b 1＝－b 2.因为a 1b 2＋a 2b 1＝0D /⇒a 1＝a 2，b 1＝－b 2，所以p 3为假命题．对于p 4，若z ∈R ，即a ＋b i∈R ，则b ＝0⇒z ＝a －b i ＝a ∈R ，所以p 4为真命题．故选B.] 10．(2016·山西太原五中4月模拟)已知△DEF 的外接圆的圆心为O ，半径R ＝4，如果OD →＋DE →＋DF →＝0，且|OD →|＝|DF →|，则向量EF →在FD →方向上的投影为( ) A ．6 B ．－6 C ．2 3D ．－2 3B [由OD →＋DE →＋DF →＝0得，DO →＝DE →＋DF →.∴DO 经过EF 的中点，∴DO ⊥EF . 连接OF ，∵|OF →|＝|OD →|＝|DF →|＝4， ∴△DOF 为等边三角形，∴∠ODF ＝60°. ∴∠DFE ＝30°，且EF ＝4×sin 60°×2＝4 3.∴向量EF →在FD →方向上的投影为|EF →|·cos〈EF →，FD →〉＝43cos 150°＝－6，故选B.]11.(2017·全国Ⅱ卷)已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则PA →·(PB →＋PC →)的最小值是( ) A ．－2B ．－32C ．－43D ．－1B [法一：(解析法)建立坐标系如图①所示，则A ，B ，C 三点的坐标分别为A (0，3)，B (－1,0)，C (1,0)．图①设P 点的坐标为(x ，y )，则PA →＝(－x ，3－y )，PB →＝(－1－x ，－y )，PC →＝(1－x ，－y )， ∴PA →·(PB →＋PC →)＝(－x ，3－y )·(－2x ，－2y )＝2(x 2＋y 2－3y )＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322－34≥2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＝－32.当且仅当x ＝0，y ＝32时，PA →·(PB →＋PC →)取得最小值，最小值为－32. 故选B.法二：(几何法)如图②所示，PB →＋PC →＝2PD →(D 为BC 的中点)，则PA →·(PB →＋PC →)＝2PA →·PD →.图②要使PA →·PD →最小，则PA →与PD →方向相反，即点P 在线段AD 上，则(2PA →·PD →)min ＝－2|PA →||PD →|，问题转化为求|PA →||PD →|的最大值． 又|PA →|＋|PD →|＝|AD →|＝2×32＝3，∴|PA →||PD →|≤⎝ ⎛⎭⎪⎫|PA →|＋|PD →|22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝34， ∴[PA →·(PB →＋PC →)]min ＝(2PA →·PD →)min ＝－2×34＝－32.故选B.]12.(2017·全国Ⅲ卷)在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP →＝λAB →＋μAD →，则λ＋μ的最大值为( )A ．3B ．2 2 C. 5D ．2A [建立如图所示的直角坐标系，则C 点坐标为(2,1)．设BD 与圆C 切于点E ，连接CE ， 则CE ⊥BD . ∵CD ＝1，BC ＝2， ∴BD ＝12＋22＝5，EC ＝BC ·CD BD ＝25＝255，即圆C 的半径为255，∴P 点的轨迹方程为(x －2)2＋(y －1)2＝45.设P (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2＋255cos θ，y 0＝1＋255sin θ(θ为参数)，而AP →＝(x 0，y 0)，AB →＝(0,1)，AD →＝(2,0)．∵AP →＝λAB →＋μAD →＝λ(0,1)＋μ(2,0)＝(2μ，λ)， ∴μ＝12x 0＝1＋55cos θ，λ＝y 0＝1＋255sin θ.两式相加，得λ＋μ＝1＋255sin θ＋1＋55cos θ＝2＋sin(θ＋φ)≤3⎝⎛⎭⎪⎫其中sin φ＝55，cos φ＝255，当且仅当θ＝π2＋2k π－φ，k ∈Z 时，λ＋μ取得最大值3.故选A.] 二、填空题13.(2017·全国Ⅰ卷)已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |＝2，|b |＝1，则|a ＋2b |＝________.【导学号：07804124】2 3 [法一：(直接法)|a ＋2b |＝a ＋2b2＝a 2＋4a·b ＋4b 2＝22＋4×2×1×cos 60°＋4×12＝12＝2 3.法二：(数形结合法)由|a |＝|2b |＝2，知以a 与2b 为邻边可作出边长为2的菱形OACB ，如图，则|a ＋2b |＝|OC →|.又∠AOB ＝60°，所以|a ＋2b |＝2 3.]14．(2015·全国Ⅱ卷)设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝________.12[∵λa ＋b 与a ＋2b 平行， ∴存在实数t ，使λa ＋b ＝t (a ＋2b )， 即λa ＋b ＝t a ＋2t b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝t ，1＝2t ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝12，t ＝12.]15．(2014·全国Ⅰ卷)已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若AO →＝12(AB →＋AC →)，则AB →与AC →的夹角为________．90° [∵AO →＝12(AB →＋AC →)，∴点O 是△ABC 中边BC 的中点，∴BC 为直径，根据圆的几何性质有〈AB →，AC →〉＝90°.]16．(2016·郑州第一次质量预测)已知AB →与AC →的夹角为90°，|AB →|＝2，|AC →|＝1，AM →＝λAB →＋μAC →(λ，μ∈R )，且AM →·BC →＝0，则λμ的值为________．14[根据题意，建立如图所示的平面直角坐标系，则A (0,0)，B (0,2)，C (1,0)，所以AB →＝(0,2)，AC →＝(1,0)，BC →＝(1，－2)．设M (x ，y )，则AM →＝(x ，y )，所以AM →·BC→＝(x ，y )·(1，－2)＝x －2y ＝0，所以x ＝2y ，又AM →＝λAB →＋μAC →，即(x ，y )＝λ(0,2)＋μ(1,0)＝(μ，2λ)，所以x ＝μ，y ＝2λ，所以λμ＝12y x ＝14.]。

专题能力训练8 平面向量及其综合应用(时间:60分钟满分:100分)一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)1.设m,n为非零向量,则“存在负数λ,使得m=λn”是“m·n<0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件2.若等边△ABC的边长为3,平面内一点M满足,则的值为()A.2B.-C.D.-23.已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,a-b=(),则|a+2b|=()A.2B.C.D.24.已知平面向量a,b,c满足c=x a+y b(x,y∈R),且a·c>0,b·c>0.()A.若a·b<0,则x>0,y>0B.若a·b<0,则x<0,y<0C.若a·b>0,则x<0,y<0D.若a·b>0,则x>0,y>05.△ABC所在平面上的动点P满足=λ(tan B+tan C),其中λ>0,则动点P一定经过△ABC的()A.重心B.内心C.外心D.垂心6.(2017浙江镇海中学5月模拟)已知△ABC的外接圆半径为2,D为该圆上一点,且,则△ABC 的面积的最大值为()A.3B.4C.3D.47.如图,三个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上,边B3C3上有10个不同的点P1,P2,…,P10,记m i=(i=1,2…,10),则m1+m2+…+m10的值为()A.15B.45C.60D.1808.如图,扇形OAB中,OA=1,∠AOB=90°,M是OB的中点,P是弧AB上的动点,N是线段OA上的动点,则的最小值为()A.0B.C.D.1-二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)9.在边长为1的正方形ABCD中,2,BC的中点为F,=2,则=.10.若平面向量a,b,e满足|e|=1,a·e=1,b·e=2,|a-b|=2,则a·b的最小值为.11.已知向量a,b及实数t满足|a+t b|=3.若a·b=2,则t的最大值是.12.如图,在同一个平面内,向量的模分别为1,1,的夹角为α,且tan α=7,的夹角为45°.若=m+n(m,n∈R),则m+n=.13.(2017浙江杭州二模)设P为△ABC所在平面上一点,且满足3+4=m(m>0).若△ABP的面积为8,则△ABC的面积为.14.如图,平面内有三个向量,其中的夹角为120°,的夹角为30°,且||=||=2,||=4,若=λ+μ(λ,μ∈R),则λ+μ的值为.三、解答题(本大题共2小题,共30分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题满分15分)如图,在平面四边形ABCD中,AB=13,AC=10,AD=5,cos∠DAC==120.(1)求cos∠BAD;(2)设=x+y,求x,y的值.16.(本小题满分15分)如图,在△ABC中,D是BC的中点,,(1)若=4,=-1,求的值;(2)若P为AD上任一点,且恒成立,求证:2AC=BC.参考答案专题能力训练8平面向量及其综合应用1.A解析m,n为非零向量,若存在λ<0,使m=λn,即两向量反向,夹角是180°,则m·n=|m||n|cos 180°=-|m||n|<0.反过来,若m·n<0,则两向量的夹角为(90°,180°],并不一定反向,即不一定存在负数λ,使得m=λn.故选A.2.A解析因为,则,即=2-=2.3.B解析向量a,b满足|a|=1,|b|=2,a-b=(),可得|a-b|2=5,即|a|2+|b|2-2a·b=5,解得a·b=0.|a+2b|2=|a|2+4|b|2+4a·b=1+16=17,所以|a+2b|=.故选B.4.A5.D解析∵=λ(·tan B+tan C)=λ[||·||cos (π-B)tan B+||·||cos C tan C]=λ||(-||sin B+||sin C),由正弦定理得||sin C=||sin B,∴=0.∴AP⊥BC,故动点P一定经过△ABC的垂心.6.B解析由知,ABDC为平行四边形,又A,B,C,D四点共圆,∴ABDC为矩形,即BC为圆的直径,∴当AB=AC时,△ABC的面积取得最大值×2×4=4.7.D解析因为AB2与B3C3垂直,设垂足为C,所以上的投影为AC,m i==|AB2|×|AC|=2×3=18,从而m1+m2+…+m10的值为18×10=180.8.D解析建立如图所示平面直角坐标系,设P(cos t,sin t),M,N(m,0),则=(m-cos t,-sin t),故=1-,因为0≤m≤1,所以=1-≥1-;又因为1-=1-sin(t+φ)=1-sin(t+φ)(tan φ=2),所以1-=1-sin(t+φ)≥1-(当且仅当sin(t+φ)=1时取等号).故选D.9.- 解析如下图,建立平面直角坐标系,则E,G,B(1,0),D(0,1),则=(-1,1),则=1×(-1)+×1=-.10.11.解析∵a·b=2⇒|a||b|cos θ=2(θ为a,b的夹角),∴|a+t b|=3⇒9=a2+t2b2+4t=a2++4t≥4t≥8t,∴t≤.12.3解析||=||=1,||=,由tan α=7,α∈[0,π]得0<α<,sin α>0,cos α>0,tan α=,sin α=7cos α,又sin2α+cos2α=1,得sin α=,cos α==1,=cos=-,得方程组解得所以m+n=3.13.14解析由3+4=m,可得,可设,则D,A,C共线,且D在线段AC上,可得,即有D分AC的比为4∶3,即有C到直线AB的距离等于P到直线AB的距离的倍,故S△ABC=S△ABP=×8=14.14.6解析由已知根据向量数量积的定义可得=-2,=12,=0,在=λ+μ两边分别乘,得即所以λ+μ=6.15.解 (1)设∠CAB=α,∠CAD=β,则cos α=,cos β=,从而可得sin α=,sin β=,故cos∠BAD=cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=.(2)由=x+y,得即解得16.解 (1)∵,∴E,F为AD的四等分点.以BC为x轴,以D为原点建立平面直角坐标系,设B(-a,0),C(a,0),A(m,n),则E,F,∴=(m+a,n),=(m-a,n),.∵=4,=-1,∴解得m2+n2=,a2=.∴-a2+(m2+n2)-a2=.(2)∵P为AD上任一点,设P(λm,λn),则=((1-λ)m,(1-λ)n),=(a-λm,-λn),,∴=(1-λ)m(a-λm)-(1-λ)λn2=(1-λ)·(ma-λm2-λn2),.∵恒成立,∴ma+(m2+n2)≥0恒成立,即(m2+n2)λ2-(m2+n2+ma)λ+(m2+n2)+ma≥0恒成立,∴Δ=(m2+n2+ma)2-4(m2+n2)·≤0,即(m2+n2)2-ma(m2+n2)+m2a2≤0,∴≤0,∴(m2+n2)=ma,即m2-2ma=-n2,∴AC==a,又BC=2a,∴2AC=BC.。

知能专练（八） 平 面 向 量一、选择题1．设x ，y ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)，且a ⊥c, b ∥c ，则|a ＋b |＝( ) A. 5 B.10 C ．2 5D ．10解析：选B 由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧2x －4＝0，－4－2y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－2.故a ＋b ＝(3，－1)，|a ＋b |＝10.2．在直角三角形ABC 中，∠C ＝π2，AC ＝3，取点D 使BD ―→＝2DA ―→，那么CD ―→·CA ―→等于( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：选D 如图，CD ―→＝CB ―→＋BD ―→.又∵BD ―→＝2DA ―→，∴CD ―→＝CB ―→＋23BA ―→＝CB ―→＋23(CA ―→－CB ―→)，即CD ―→＝23CA ―→＋13CB ―→.∵∠C ＝π2，∴CA ―→·CB ―→＝0，∴CD ―→·CA ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23CA ―→＋13CB ―→·CA ―→＝23CA ―→2＋13CB ―→·CA ―→＝6.3．(2017·长春模拟)如图，点A ，B 在圆C 上，则AB ―→·AC ―→的值( ) A ．只与圆C 的半径有关 B ．只与弦AB 的长度有关C ．既与圆C 的半径有关，又与弦AB 的长度有关D ．是与圆C 的半径和弦AB 的长度均无关的定值解析：选B 延长AC 与圆C 相交于点D ，连接DB ，则∠ABD ＝90°，所以AB ―→·AC ―→＝12AB ―→·AD―→＝12|AB ―→|·|AD ―→|cos A ＝12|AB ―→|2，只与弦AB 的长度有关． 4．(2018届高三·杭州市联谊校联考)已知向量a ，b 的夹角为120°，|a |＝|b |＝2，向量c与a ＋b 共线，则|a ＋c |的最小值为( )A ．2B ．1 C.32D. 3解析：选D 如图，直线l 为与a ＋b 平行的直线，c 可平移到以a 的终点为起点，则c 的终点在直线l 上，由三角形法则可知，当a ＋c 与直线l 垂直时，|a ＋c |取到最小值 3.5．(2017·绍兴模拟)已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BE ＝λBC ，DF ＝μDC .若AE ―→·AF ―→＝1，CE ―→·CF ―→＝－23，则λ＋μ＝( )A.12B.23C.56D.712解析：选C 如图所示，以菱形ABCD 的两条对角线所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系xOy ，不妨设A (0，－1)，B (－3，0)，C (0,1)，D (3，0)，由题意得CE ―→＝(1－λ)·CB ―→＝(3λ－3，λ－1)，CF ―→＝(1－μ)CD ―→＝(3－3μ，μ－1)．因为CE ―→·CF ―→＝－23，所以3(λ－1)·(1－μ)＋(λ－1)·(μ－1)＝－23，即(λ－1)(μ－1)＝13.因为AE ―→＝AC ―→＋CE ―→＝(3λ－3，λ＋1)， AF ―→＝AC ―→＋CF ―→＝(3－3μ，μ＋1)， 又AE ―→·AF ―→＝1， 所以(λ＋1)(μ＋1)＝2. 由⎩⎪⎨⎪⎧λ－1 μ－1 ＝13， λ＋1 μ＋1 ＝2，整理得λ＋μ＝56.6．(2017·全国卷Ⅱ)已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则PA ―→·(PB ―→＋PC ―→)的最小值是( )A ．－2B ．－32C ．－43D ．－1解析：选B 如图，以等边三角形ABC 的底边BC 所在直线为x 轴，以BC 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，则A (0，3)，B (－1,0)，C (1,0)，设P (x ，y )，则PA ―→＝(－x, 3－y )，PB ―→＝(－1－x ，－y )，PC―→＝(1－x ，－y )，所以PA ―→·(PB ―→＋PC ―→)＝(－x ，3－y )·(－2x ，－2y )＝2x 2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322－32，当x ＝0，y ＝32时，PA ―→·(PB ―→＋PC ―→)取得最小值，为－32. 二、填空题7．在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，A ＝60°，AG ―→＝m AB ―→＋AC ―→，则|AG ―→|的最小值为________，又若AG ―→⊥BC ―→，则m ＝________.解析：因为AG ―→＝m AB ―→＋AC ―→，所以|AG ―→|2＝m 2|AB ―→|2＋|AC ―→|2＋2m AB ―→·AC ―→＝9m 2＋4＋2m |AB ―→|·|AC ―→|·cos 60°＝9m 2＋6m ＋4＝9⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋132＋3.当m ＝－13时，|AG ―→|2取得最小值为3，所以|AG ―→|的最小值为 3.在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，A ＝60°，所以|BC |2＝4＋9－2×2×3cos 60°＝7，所以|BC |＝7，所以cos B ＝9＋7－467＝27，cos C ＝4＋7－947＝127 .因为AG ―→⊥BC ―→，所以AG ―→·BC ―→＝0，所以(m AB ―→＋AC ―→)·BC ―→＝0，所以m AB ―→·BC ―→＋AC ―→·BC ―→＝0，所以m |AB ―→|·|BC ―→|cos(π－B )＋|AC ―→|·|BC ―→|cos C ＝0，所以－3m cos B ＋2cos C ＝0，所以m ＝2cos C 3cos B ＝23×127×72＝16. 答案： 3 168．在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝1，E 为BC 的中点，若F 为该矩形内(含边界)任意一点，则AE ―→·AF ―→的最大值为________．解析：以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，则E ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12.设F (x ，y )， 则⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，0≤y ≤1，AE ―→·AF ―→＝2x ＋12y .令z ＝2x ＋12y ，当z ＝2x＋12y 过点(2,1)时，AE ―→·AF ―→取最大值92.答案：929．(2017·江苏高考)如图，在同一个平面内，向量OA ―→，OB ―→，OC ―→的模分别为1,1，2，OA ―→与OC ―→的夹角为α，且tan α＝7，OB ―→与OC ―→的夹角为45°.若OC ―→＝m OA ―→＋n OB ―→(m ，n ∈R)，则m ＋n ＝________.解析：法一：如图，以O 为坐标原点，OA 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，则A (1，0)，由tan α＝7，α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，得sin α＝752，cos α＝152，设C (x C ，y C )，B (x B ，y B )，则x C ＝|OC ―→|cos α＝2×152＝15，y C ＝|OC ―→|sin α＝2×752＝75，即C ⎝ ⎛⎭⎪⎫15，75.又cos(α＋45°)＝152×12－752×12＝－35，sin(α＋45°)＝752×12＋152×12＝45，则x B ＝|OB ―→|cos(α＋45°)＝－35，y B ＝|OB ―→|sin(α＋45°)＝45，即B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45.由OC ―→＝m OA ―→＋n OB ―→，可得⎩⎪⎨⎪⎧15＝m －35n ，75＝45n ，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝54，n ＝74，所以m ＋n ＝54＋74＝3.法二：由tan α＝7，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，得sin α＝752，cos α＝152，则cos(α＋45°)＝152×12－752×12＝－35，所以OB ―→·OC ―→＝1×2×22＝1，OA ―→·OC ―→＝1×2×152＝15，OA ―→·OB ―→＝1×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－35， 由OC ―→＝m OA ―→＋n OB ―→，得OC ―→·OA ―→＝m OA ―→2＋n OB ―→·OA ―→，即15＝m －35n .①同理可得OC ―→·OB ―→＝m OA ―→·OB ―→＋n OB ―→2， 即1＝－35m ＋n .②①＋②得25m ＋25n ＝65，即m ＋n ＝3. 答案：3 三、解答题10．已知△ABC 的角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，设向量m ＝(a ，b )，n ＝(sin B ，sinA )，p ＝(b －2，a －2)．(1)若m ∥n ，求证：△ABC 为等腰三角形；(2)若m ⊥p ，边长c ＝2，角C ＝π3，求△ABC 的面积．解：(1)证明：∵m ∥n ，∴a sin A ＝b sin B . 即a ·a 2R ＝b ·b2R，其中R 是△ABC 的外接圆半径， 故a ＝b ，即△ABC 为等腰三角形． (2)由题意可知m ·p ＝0，即a (b －2)＋b (a －2)＝0.∴a ＋b ＝ab .由余弦定理可知4＝a 2＋b 2－ab ＝(a ＋b )2－3ab ， 即(ab )2－3ab －4＝0， ∴ab ＝4(舍去ab ＝－1)．故S △ABC ＝12ab sin C ＝12×4×sin π3＝ 3.11．已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x ，34，b ＝(cos x ，－1)．(1)当a ∥b 时，求cos 2x －sin 2x 的值；(2)设函数f (x )＝2(a ＋b )·b .已知在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a。