平面向量(二轮复习作业)

三、填空题 20．(2021·全国乙卷)已知向量 a＝(1，3)，b＝(3，4)，若(a－λb)⊥b，则 λ＝________．
答案
3 5
解析 解法一：由题设知 a－λb＝(1－3λ，3－4λ).由(a－λb)⊥b，得(a－ λb)·b＝(1－3λ，3－4λ)·(3，4)＝3(1－3λ)＋4(3－4λ)＝15－25λ＝0，解得 λ＝35.
15．(2021·湖南岳阳第一次模拟)已知等边三角形 ABC 的边长为 4，O 为 三角形内一点，且O→A＋O→B＋2O→C＝0，则△AOB 的面积是( )
A．4 3 B．833 C．433 D．2 3
答案 D
解析 根据题意，设 AB 的中点为 D，连接 CD，则O→A＋O→B＝2O→D，又 O→A＋O→B＋2O→C＝0，则O→C＝－O→D，则 O 是 CD 的中点，又△ABC 是边长为 4 的等边三角形，则 CD⊥AB，AD＝2，CD＝2 3，则 OD＝ 3，则 S△AOB ＝12×4× 3＝2 3.故选 D.
14．(2021·福建三明期末)设非零向量 a，b 的夹角为 θ，若|b|＝2|a|，且 (a＋2b)⊥(3a－b)，则 θ 等于( )
A．30° B．60° C．120° D．150°
答案 B 解析 ∵非零向量 a，b 的夹角为 θ，|b|＝2|a|，且(a＋2b)⊥(3a－b)，∴ (a＋2b)·(3a－b)＝3a2＋5a·b－2b2＝3a2＋5|a|·|2a|cos θ－8a2＝0，∴cos θ＝12， ∴θ＝60°.故选 B.
19．(2021·辽宁铁岭六校高三模拟)下列说法中错误的是( ) A．已知 a＝(1，2)，b＝(1，1)且 a 与 a＋λb 的夹角为锐角，则实数 λ 的取值范围是－53，＋∞ B．向量 e1＝(2，－3)，e2＝12，－34不能作为平面内所有向量的一组基 底 C．非零向量 a，b，满足|a|>|b|且 a 与 b 同向，则 a>b D．非零向量 a 和 b，满足|a|＝|b|＝|a－b|，则 a 与 a＋b 的夹角为 30° 答案 AC

高考数学二轮复习 小题专项练习（二）平面向量、复数与框图理一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[2021·成都第三次诊断性检测]若复数z ＝a ＋i 1－i(i 是虚数单位)为纯虚数，则实数a 的值为( )A ．－2B ．－1C ．1D ．22．[2021·银川一中第二次模拟考试]若两个单位向量a ，b 的夹角为120°，则|2a ＋b|＝( )A ．2B ．3C. 2D.33．[2021·合肥市高三第三次教学质量检测]运行如图所示的程序框图，则输出的s 等于( )A ．－10B ．－3C ．3D ．14．[2021·山东沂水期中]若复数z ＝i20201－i 2(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数z －＝( ) A ．1＋i B ．iC ．－12i D.12i 5．[2021·百校联盟四月联考]设复数z 满足z －i z ＝3＋i ，则z －＝( ) A.15＋25i B ．－15＋25iC.15－25i D ．－15－25i6．[2021·河南新乡第三次模拟测试]已知复数z1，z2在复平面内对应的点分别为(2，－1)，(0，－1)，则z1z2＋|z2|＝( )A ．2＋2iB ．2－2iC ．－2＋iD ．－2－i7．[2021·宁夏六盘山高三年级第三次模拟]执行下面的程序框图，则输出K 的值为( )C ．100D ．1018．[2021·安徽池州一中5月月考]设点O 在△ABC 的内部，且有AD →＝32(OB →＋OC →)，则△ABC 的面积与△BOC 的面积之比为( )A ．3 B.13 C ．2 D.129．[2021·银川一中第二次模拟]20世纪70年代，流行一种游戏——角谷猜想，规则如下：任意写出一个自然数n ，按照以下的规律进行变换：假如n 是个奇数，则下一步变成3n ＋1；假如n 是个偶数，则下一步变成n 2，这种游戏的魅力在于不管你写出一个多么庞大的数字，最后必定会落在谷底，更准确地说是落入底部的循环，而永久也跳不出那个圈子．下列程序框图确实是依照那个游戏而设计的，假如输出的i 值为6，则输入的n 值为( )A ．5B ．16C ．5或32D ．4或5或3210．[2021·河南洛阳第三次统考]在△ABC 中，点P 满足BP→＝2PC →，过点P 的直线与AB ，AC 所在直线分别交于点M ，N ，若AM→＝mAB →，AN →＝nAC→(m>0，n>0)，则m ＋2n 的最小值为( ) A ．3 B ．4宋以后，京师所设小学馆和武学堂中的教师称谓皆称之为“教谕”。

高三数学第二轮专题复习---平面向量一、本章知识结构二、高考要求1、理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念。

2、掌握向量的加法和减法的运算法则及运算律。

3、掌握实数与向量的积的运算法则及运算律，理解两个向量共线的充要条件。

4、了解平面向量基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算。

5、掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件。

6、掌握线段的定比分点和中点坐标公式，并且能熟练运用；掌握平移公式。

7、掌握正、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形。

8、通过解三角形的应用的教学，继续提高运用所学知识解决实际问题的能力。

三、热点分析对本章内容的考查主要分以下三类：1、以选择、填空题型考查本章的基本概念和性质.此类题一般难度不大，用以解决有关长度、夹角、垂直、判断多边形形状等问题.2、以解答题考查圆锥曲线中的典型问题.此类题综合性比较强，难度大，以解析几何中的常规题为主.3、向量在空间中的应用（在B类教材中）.在空间坐标系下，通过向量的坐标的表示，运用计算的方法研究三维空间几何图形的性质.在复习过程中，抓住源于课本，高于课本的指导方针.本章考题大多数是课本的变式题，即源于课本.因此，掌握双基、精通课本是本章关键.分析近几年来的高考试题，有关平面向量部分突出考查了向量的基本运算。

对于和解析几何相关的线段的定比分点和平移等交叉内容，作为学习解析几何的基本工具，在相关内容中会进行考查。

本章的另一部分是解斜三角形，它是考查的重点。

总而言之，平面向量这一章的学习应立足基础，强化运算，重视应用。

考查的重点是基础知识和基本技能。

四、复习建议由于本章知识分向量与解斜三角形两部分，所以应用本章知识解决的问题也分为两类：一类是根据向量的概念、定理、法则、公式对向量进行运算，并能运用向量知识解决平面几何中的一些计算和证明问题；另一类是运用正、余弦定理正确地解斜三角形，并能应用解斜三角形知识解决测量不可到达的两点间的距离问题。

强化训练2 平面向量与复数一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的)1．[2021·河北沧州二模]已知()i －1 z ＝i ，复数z 的共轭复数z －在复平面内对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2．[2021·湖南六校联考]已知复数z 1，z 2在复平面内对应的点分别为Z 1(3，a )，Z 2(2，1)，且z 1·z 2为纯虚数，则实数a ＝( )A ．－6B ．－32C ．65D ．63．已知向量a ＝(1，2)，b ＝(2，x )，且a ·b ＝－1，则x 的值等于( )A ．12B ．－12C ．32D ．－324．[2021·山东泰安一模]已知i 是虚数单位，若复数z ＝54＋3i，则z 的共轭复数z －＝( )A ．45 ＋35 iB ．45 －35 iC ．－45 ＋35 iD ．－45 －35i5．[2021·石家庄二模]已知i 为虚数单位，复数z ＝1－i 2 0211－i 2 018，则z 的虚部为( )A ．12 B. －12 iC. －12D. 12i6．[2021·河北衡水中学第二次联考]在五边形ABCDE 中EB → ＝a ，AD →＝b ，M ，N 分别为AE ，BD 的中点，则MN →＝( )A ．32 a ＋12 bB ．23 a ＋13 bC ．12 a ＋12 bD ．34 a ＋14b7．[2021·济南一模]已知单位向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，则a 与b 的夹角为( )A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π68．[2021·山东烟台一模]平行四边形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝3，∠BAD ＝60°，Q 为CD中点，点P 在对角线BD 上，且BP → ＝λBD → ，若AP → ⊥BQ →，则λ＝( )A ．14B ．12C ．23D ．34二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多个符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，选错或多选得0分)9．[2021·山东德州二模]已知复数z 1＝2－1＋i(i 为虚数单位)，下列说法正确的是( )A ．z 1对应的点在第三象限B ．z 1的虚部为－1C ．z 41 ＝4D. 满足|z |＝|z 1|的复数z 对应的点在以原点为圆心，半径为2的圆上 10．[2021·福建龙岩三模]下列命题中正确的是( )A ．⎪⎪⎪⎪2－1＋i ＝2B ．复数(1－i)3的虚部是－2C ．若复数z ＝i 1＋i ，则复数z －在复平面内对应的点位于第一象限D ．满足||z ＋3||－z －3 ＝4的复数z 在复平面上对应点的轨迹是双曲线 11．[2021·河北沧州二模]已知平面向量a ＝()2，2 ，b ＝()1，m ，且||2a －b ||＝a ＋b ，则( )A ．a ·b ＝4B ．a ·b ＝0C ．m ＝－1D ．||b ＝212．[2021·河北张家口一模]如果平面向量a ＝(2，－4)，b ＝(－6，12)，那么下列结论中正确的是( )A ．|b |＝3|a |B ．a ∥bC ．a 与b 的夹角为30°D ．a 在b 方向上的投影为25三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13．[2021·济南一模]已知复数z ＝2＋i－i(其中i 为虚数单位)，则||z 的值为________．14．[2021·广东大联考]已知向量a ＝(1，2)，向量b 与向量a 共线，且a ·b ＝15，则|b |＝________．15．[2021·山东青岛一模]已知非零向量a ，b 满足|b |＝2|a |，且(a ＋b )⊥a ，则a 与b 的夹角为________．16．[2021·山东泰安一模]如图，在平面四边形ABCD 中，已知AD ＝3，BC ＝4，E ，F为AB ，CD 的中点，P ，Q 为对角线AC ，BD 的中点，则PQ → ·EF →的值为________.1．解析：∵z ＝i i －1 ＝i ()1＋i －2＝12 －12 i ，∴z － ＝12 ＋12 i ，复数z 的共轭复数z －在复平面内对应的点是⎝⎛⎭⎫12，12 ，在第一象限． 故选A. 答案：A2．解析：因为复数z 1，z 2在复平面内对应的点分别为Z 1（3，a ），Z 2（2，1）， 所以z 1＝3＋a i ，z 2＝2＋i ，故z 1·z 2＝（3＋a i ）（2＋i ）＝6－a ＋（3＋2a ）i ， 因为z 1·z 2为纯虚数，所以6－a ＝0且3＋2a ≠0， 解得a ＝6. 故选D. 答案：D3．解析：因为a ＝（1，2），b ＝（2，x ），所以a·b ＝（1，2）·（2，x ）＝1×2＋2x ＝－1，解得x ＝－32.故选D. 答案：D4．解析：复数z ＝54＋3i ＝5（4－3i ）（4＋3i ）（4－3i ） ＝45 －35i ，∴z 的共轭复数z － ＝45 ＋35i ，故选A. 答案：A5．解析：∵i 4＝1，∴z ＝1－i 2 0211－i 2 018＝1－i 2 ＝12 －12 i ，∴z 的虚部为－12，故选C.答案：C6．解析：MN → ＝MA → ＋AB → ＋BN → ＝12 EA → ＋AB →＋12 BD → ＝12 ()EA →＋AB → ＋12()AB →＋BD → ＝12 EB → ＋12 AD → ＝12 a ＋12b . 故选C. 答案：C7．解析：由a ＋b ＋c ＝0，得a ＋b ＝－c ，所以||a ＋b ＝||－c ，即||a ＋b 2＝||a 2＋2a ·b＋||b 2＝1，所以a ·b ＝－12 ，由a·b ＝||a ||b cos 〈a ，b 〉＝－12 ，得〈a ，b 〉＝2π3.故选C. 答案：C8．解析：因为Q 为CD 中点，所以BQ → ＝BC → ＋CQ → ＝AD →－12AB → ，又因为AP → ＝AB → ＋BP → ＝AB → ＋λBD → ＝AB → ＋λ（AD → －AB → ）＝（1－λ）AB → ＋λAD →，因为AP → ⊥BQ → ，所以AP → ·BQ → ＝0，即（AD → －12AB → ）·[（1－λ）AB → ＋λAD →]＝0，展开得⎝⎛⎭⎫1－32λ AB → ·AD → －12（1－λ）AB → 2＋λAD → 2＝0，将AB → ·AD → ＝6，AB → 2＝16，AD → 2＝9代入得，λ＝14，故选A. 答案：A9．解析：由题意，复数z 1＝2－1＋i ＝2（－1－i ）（－1＋i ）（－1－i ）＝－1－i ，所以复数z 1在复平面内对应的点（－1，－1）位于第三象限，所以A 符合题意； 由z 1＝－1－i ，可得复数的虚部为－1，所以B 符合题意；由z 41 ＝（－1－i ）4＝[（－1－i ）2]2＝（2i ）2＝－4，所以C 不正确； 由|z 1|＝（－1）2＋（－1）2 ＝2 ，所以满足|z |＝|z 1|的复数z 对应的点在以原点为圆心，半径为2 的圆上，所以D 不正确． 故选AB. 答案：AB10．解析：对于A ：⎪⎪⎪⎪2－1＋i ＝||2||－1＋i ＝2()－12＋12 ＝2 ，故A 正确；对于B ：（1－i ）3＝（1－i ）2（1－i ）＝－2i （1－i ）＝－2－2i 故其虚部为－2，故B正确；对于C ：z ＝i 1＋i ＝i ()1－i ()1＋i ()1－i ＝12＋12 i ，所以z － ＝12 －12i 在复平面内所对应的点的坐标为⎝⎛⎭⎫12，－12 位于第四象限，故C 错误； 对于D ：根据复数的几何意义可知，||z ＋3||－z －3 ＝4表示在复平面内点z ()x ，y 到F 1()－3，0 与F 2()3，0 的距离之差为常数4，所以复数z 的轨迹是以F 1()－3，0 ，F 2()3，0 为焦点的双曲线的右支，故D 错误； 故选AB. 答案：AB11．解析：由||2a －b ||＝a ＋b ，得2a ·b ＝a 2，所以2＋2m ＝4，则m ＝1，||b ＝2 ，a ·b ＝4.故选AD. 答案：AD12．解析：因为a ＝（2，－4），b ＝（－6，12），所以b ＝－3a . 对于A ，因为b ＝－3a ，所以|b |＝3|a |，故A 正确； 对于B ，因为b ＝－3a ，所以a ∥b ，故B 正确；对于C ，因为b ＝－3a ，所以a 与b 的夹角为180°，故C 错误；对于D ，a 在b 方向上的投影为a ·b |b | ＝（2，－4）·（－6，12）（－6）2＋122＝－25 ，故D 错误．故选AB.答案：AB13．解析：||z ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2＋i －i ＝||2＋i ||－i ＝51 ＝5 . 答案：514．解析：因为向量a ＝（1，2），向量b 与向量a 共线， 所以设b ＝λa ＝（λ，2λ）， 又a ·b ＝15，所以λ＋4λ＝15，所以λ＝3， 所以b ＝（3，6），所以|b |＝32＋62 ＝35 . 答案：3515．解析：根据题意，设a 与b 的夹角为θ，|a |＝t ，则|b |＝2t ， 若（a ＋b ）⊥a ，则（a ＋b ）·a ＝a 2＋a ·b ＝t 2＋2t 2cos θ＝0，变形可得：cos θ＝－12 ，又由0≤θ≤π，则θ＝2π3.答案：2π316．解析：如图，连接FP ，FQ ，EP ，EQ ，∵E ，F 为AB ，CD 的中点，P ，Q 为对角线AC ，BD 的中点， ∴四边形EPFQ 为平行四边形，∴PQ → ＝EQ → －EP → ＝12 （AD → －BC → ），EF → ＝EP → ＋EQ → ＝12（AD → ＋BC →），且AD ＝3，BC ＝4，∴PQ → ·EF → ＝14 （AD → 2－BC →2）＝－74 .答案：－74。

2.复数、平面向量考向1 复数的概念、运算及几何意义1.(2022·河南开封一模)设(1+i 4n+3)z=i,n ∈Z ,则在复平面内,复数z 对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.(2022·全国甲·理1)若z=-1+√3i,则zz -1=( )A.-1+√3iB.-1-√3iC.-13+√33iD.-13−√33i3.(2022·全国乙·理2)已知z=1-2i,且z+a z +b=0,其中a ,b 为实数,则( ) A.a=1,b=-2 B.a=-1,b=2 C.a=1,b=2 D.a=-1,b=-24.(2022·山东潍坊一模)已知复数z 满足z+3=4z +5i,则在复平面内复数z 对应的点在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 5.(2022·新高考Ⅰ·2)若i(1-z )=1,则z+z =( ) A.-2B.-1C.1D.2考向2 平面向量的概念及线性运算6. (2022·河南名校联盟一模)如图,在△ABC 中,点M 是AB 上的点且满足AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,P 是CM 上的点,且MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =15MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,则AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A.12a +14b B.35a +15b C.14a +12bD.310a +35b7.(2022·河南名校联盟一模)下列关于平面向量的说法正确的是( ) A.若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线,则点A ,B ,C ,D 必在同一直线上 B.若a ∥b 且b ∥c ,则a ∥cC.若G 为△ABC 的外心,则GA ⃗⃗⃗⃗⃗ +GB⃗⃗⃗⃗⃗ +GC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0 D.若O 为△ABC 的垂心,则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OC⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 8.(2022·新高考Ⅰ·3)在△ABC 中,点D 在边AB 上,BD=2DA.记CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =m ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =n ,则CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A.3m -2nB.-2m +3nC.3m +2nD.2m +3n9.(2022·河南许昌质检)正方形ABCD 中,P ,Q 分别是边BC ,CD 的中点,AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +y BQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则x=( ) A.1113B.65C.56D.3210.(2022·河南名校联盟一模)如图,在同一个平面内,向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为α,且tan α=7,向量OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为45°,且|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1,|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2.若OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =m OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +n OB ⃗⃗⃗⃗⃗ (m ∈R ,n ∈R ),则n-m= . 考向3 平面向量的数量积11.(2022·新高考Ⅱ·4)已知向量a =(3,4),b =(1,0),c =a +t b ,若<a ,c >=<b ,c >,则实数t=( ) A.-6 B.-5C.5D.612. (2022·新高考八省第二次T8联考)如图,在同一平面内沿平行四边形ABCD 两边AB ,AD 向外分别作正方形ABEF ,正方形ADMN ,其中AB=2,AD=1,∠BAD=π4,则AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·FN ⃗⃗⃗⃗⃗=( )A.-2√2B.2√2C.0D.-1 13.(2022·山东威海期末)已知向量a ,b 满足|a |=|b |=2,且a -b 在a 上的投影为2+√3,则<a ,b >=( )A.π6 B.π3C.2π3D.5π614.(2022·山东潍坊期末)已知正方形ABCD 的边长为2,MN 是它的内切圆的一条弦,点P 为正方形四条边上的动点,当弦MN 的长度最大时,PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是( ) A.[0,1]B.[0,√2]C.[1,2]D.[-1,1]15.(2022·山东济宁一模)等边三角形ABC 的外接圆的半径为2,点P 是该圆上的动点,则PA⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为( ) A.4 B.7C.8D.111 3,且|a|=1,|b|=3,则(2a+b)·b=.16.(2022·全国甲·理13)设向量a,b的夹角的余弦值为2.复数、平面向量1.B 解析: ∵i 4n+3=i 4n ·i 3=-i, ∴(1+i 4n+3)z=(1-i)z=i, ∴z=i1-i =i (1+i )(1-i )(1+i )=-12+12i,∴复数z 在复平面内对应的点为-12,12位于第二象限. 故选B . 2.C 解析: zz -1=√3i(-1+√3i )(-1-√3i )-1=√3i(-1)2+(√3)2-1=-13+√33i,故选C .3.A 解析: ∵z=1-2i, ∴z =1+2i,∴z+a z +b=1-2i +a (1+2i)+b=a+b+1+(2a-2)i =0, ∴{a +b +1=0,2a -2=0, 解得{a =1,b =-2.故选A .4.A 解析: 设z=x+y i,x ,y ∈R ,则z =x-y i,由z+3=4z +5i 得(x+y i)+3=4(x-y i)+5i,即(x+3)+y i =4x+(5-4y )i,于是得{x +3=4x ,y =5-4y ,解得x=y=1,则有z=1+i 对应的点为(1,1),所以在复平面内复数z 对应的点在第一象限. 故选A .5.D 解析: ∵i(1-z )=1, ∴z=i -1i=1+i, ∴z =1-i . ∴z+z =2. 故选D .6.B 解析: AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +15MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +15(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=45AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +15AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =45×34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +15AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =35a +15b .7.D 解析: 若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线,则直线AB 与CD 平行或重合,∴点A ,B ,C ,D 不一定在同一直线上,A 错;当b =0时,满足a ∥b 且b ∥c ,不能得出a ∥c ,B 错; 当G 为△ABC 的重心,则GA⃗⃗⃗⃗⃗ +GB ⃗⃗⃗⃗⃗ +GC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,C 错; 若O 为△ABC 的垂心,则OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0, 即OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0,∴OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,同理OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴D 正确,故选D . 8.B解析: 如图.∵BD=2DA ,∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =3AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +3AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +3(CD ⃗⃗⃗⃗⃗ −CA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=-2CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +3CD ⃗⃗⃗⃗⃗ . 又CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =m ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =n ,所以CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =-2m +3n . 故选B .9.C 解析: ∵P ,Q 分别是正方形边BC ,CD 的中点,∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +A D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =-12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +y BQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =x (AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )+y -12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =x-12y AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(x+y )AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴{x -12y =1,x +y =12,∴{x =56,y =-13,故选C . 10.12解析: 由题意在题图中以O 为原点,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向为x 轴非负半轴,过O 与OA 垂直向上为y 轴正方向建立平面直角坐标系(图略),则A (1,0),∵向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为α, tan α=7,∴cos α=√210,sin α=7√210, 又|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2,∴C15,75,cos(α+45°)=-35,sin(α+45°)=45,∴B -35,45, ∵OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =m OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +n OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴15,75=m (1,0)+n -35,45,∴{m -35n =15,45n =75,解得{m =54,n =74,∴n-m=12. 11.C 解析: 由题意得c =(3+t ,4),cos <a ,c >=cos <b ,c >,故9+3t+16|c |×5=3+t|c |×1,解得t=5.故选C .12.C 解析: AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·FN ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(FA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·FA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·FA ⃗⃗⃗⃗⃗ +A A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0+|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ||FA ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos π4+|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |cos 3π4+0=√2−√2=0.选C . 13.D 解析: (a -b )·a =|a -b ||a |cos <a -b ,a >=(2+√3)·2, 即a 2-a ·b =4+2√3,a ·b =-2√3.所以|a ||b |cos <a ,b >=-2√3,cos <a ,b >=-√32,<a ,b >=5π6.14.A 解析: 由题当弦MN 长度最大时,即MN 为直径,设弦MN 的中点为O ,由题意,PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(PO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )·(PO ⃗⃗⃗⃗⃗ +ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=PO ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−14MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=PO ⃗⃗⃗⃗⃗ 2-1=|PO ⃗⃗⃗⃗⃗ 2|-1,由1≤|PO ⃗⃗⃗⃗⃗ |≤√2,得PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是[0,1]. 15.C解析: 如图所示,建立平面直角坐标系,设△ABC 的边长为a ,则asinA =2R=4(R 为△ABC 外接圆半径),所以a=2√3,A (0,3),B (-√3,0),C (√3,0),△ABC 的外接圆的方程为x 2+(y-1)2=4,设P 点坐标为(2cos θ,1+2sin θ),θ∈R ,PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =PB ⃗⃗⃗⃗⃗ (PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=4+2√3cos θ+2sin θ=4+4cos θ-π6≤8,当cos θ-π6=1时,等号成立.故选C .。

第 3讲平面向量1． (2016 课·标全国丙改编→1，3→31，则∠ ABC＝ ________. )已知向量 BA＝22， BC＝，22答案30°分析→→∵ |BA|＝ 1， |BC|＝ 1，→ →3BA·BC＝，∴∠ ABC ＝ 30°.cos∠ ABC＝→→2|BA|·|BC|12． (2016 ·东改编山 )已知非零向量m，n 知足 4|m|＝ 3|n|，cos〈 m， n〉＝3.若 n⊥ (tm＋ n)，则实数 t 的值为 ______．答案－ 4分析∵ n⊥ (tm＋ n)，∴ n·(tm＋n)＝0，即 t·m·n＋ n2＝ 0，∴ t|m||n|cos〈 m， n〉＋ |n|2＝0，由3212已知得 t×|n| ×＋ |n| ＝ 0，解得 t＝－ 4.433． (2016 天·津改编 )已知△ABC 是边长为 1 的等边三角形，点 D， E 分别是边 AB， BC 的中点，连接 DE 并延伸到点F，使得 DE＝→ →2EF ，则 AF ·BC的值为 ________．答案1 8分析→→→如下图， AF ＝AD ＋DF .又 D， E 分别为 AB， BC 的中点，→1→且 DE＝ 2EF，因此 AD＝2AB，→＝→＋→＝→＋1→DF DE EF DE2DE3→ 3→＝2DE ＝4AC，→1→ 3 →→→ →因此 AF＝2AB＋4AC.又 BC＝ AC－AB，→ →1→3→→ →则 AF·BC＝AB＋AC ·(AC－ AB)241→ →1→ 2 3 →2 3 → →＝AB·AC－AB＋AC － AC·AB 2244→ 2 1→21→→＝ 4AC － 2AB －4AC ·AB.3→ →又 |AB|＝ |AC|＝ 1，∠ BAC ＝ 60°，→ → 3 1 1 1 1故AF ·BC ＝ － － ×1×1× ＝ .4 2 4 2 84． (2016 ·江浙 )已知向量a ，b ， |a|＝ 1，|b|＝ 2.若对随意单位向量 e ，均有 |a ·e|＋ |b ·e| ≤6，则a ·b 的最大值是 ________．答案12分析 由已知可得：6≥|a ·e|＋ |b ·e| ≥|a ·e ＋ b ·e|＝ |(a ＋ b) ·e|，因为上式对随意单位向量e 都成立．∴ 6≥|a ＋ b|成立．∴ 6≥(a ＋ b) 2＝ a 2＋ b 2＋ 2a ·b ＝ 12＋ 22＋ 2a ·b.1即 6≥5＋ 2a ·b ，∴ a ·b ≤2.1.考察平面向量的基本定理及基本运算，多以熟知的平面图形为背景进行考察， 多为填空题，难度中低档 .2.考察平面向量的数目积，以填空题为主，难度低；向量作为工具，还常与三角函数、解三角形、不等式、分析几何联合，以解答题形式出现.热门一平面向量的线性运算1．在平面向量的化简或运算中，要依据平面向量基本定理选好基底，变形要有方向不可以盲目转变．2．在用三角形加法法例时，要保证 “首尾相接 ”，结果向量是第一个向量的起点指向最后一个向量终点所得的向量；在用三角形减法法例时，要保证 “同起点 ”，结果向量的方向是指向被减向量．例 1π(1) 设 0<θ< ，向量 a ＝ (sin 2θ， cos θ)， b ＝ (cos θ， 1)，若 a ∥ b ，则 tan θ＝ ______.2→ → → →(2) 如图，在 △ ABC 中，已知 BD ＝ 2DC ，以向量 AB ，向量 AC 作为基底，→则向量 AD 可表示为 ____________．答案 (1)1 (2)1 →＋ 2 →2 3AB 3AC 分析(1)因为 a ∥ b ，因此 sin 2θ＝ cos 2θ，即 2sin θcos θ＝cos 2θ.π 因为 0<θ< ，因此 cos θ>0，21得 2sin θ＝ cos θ，tan θ＝ 2.(2) 依据平面向量的运算法例及已知图形可知→2 →AB ＋3AC .→→→→ 2 → → 2 → → 1AD ＝AB ＋ BD ＝ AB ＋ BC ＝AB ＋ (BA ＋ AC)＝333思想升华(1) 关于平面向量的线性运算，要先选择一组基底；同时注意共线向量定理的灵活运用． (2)运算过程中重视数形联合，联合图形剖析向量间的关系． 追踪操练 1(1)如图，正方形 ABCD 中，点 E 是 DC 的中点，点 F 是 BC的一个三平分点，那么以向量 → → →AB 和向量 AD 为基底，向量 EF 可表示为__________ ．→→ →(2) 如图，在正方形 ABCD 中， E 为 DC 的中点，若 AE ＝ λAB ＋ μAC ，则 λ ＋ μ的值为 ________． 答案(1)1→ － 2 →(2)12AB 3AD2分析→ → → (1)在 △ CEF 中，有 EF ＝ EC ＋CF .→ 1 →因为点 E 为 DC 的中点，因此 EC ＝ DC .2因为点 F 为 BC 的一个三平分点，因此→ 2 →CF ＝CB.3→ 1→ 2→ 1→ 2→ 1→2→因此 EF ＝ 2DC ＋3CB ＝2AB ＋3DA ＝ 2AB － 3AD.(2)→ → → 1 →1 → → 1 → →→ 1 → 因为 E 为 DC 的中点，因此 AC ＝ AB ＋ AD ＝ AB ＋AB ＋ AD ＝AB ＋ AE ，即 AE ＝－AB ＋2222→ AC ，1 1因此 λ＝－ ， μ＝1，因此 λ＋ μ＝ .22热门二平面向量的数目积1．数目积的定义： a ·b ＝ |a||b|cos θ.2．三个结论(1) 若 a ＝ (x ， y)，则 |a|＝ a ·a ＝ x 2＋ y 2.(2) 若 A(x 1，y 1)， B( x 2， y 2)，则→ 2 2 .|AB|＝ (x 2－ x 1 ) ＋ (y 2－ y 1 )(3)若 a＝ (x1，y1)， b＝ ( x2，y2 )，θ为 a 与 b 的夹角，则 cos θ＝a·b＝x1x2＋ y1y2|a||b|x12＋ y12x22＋ y22.例 2(1)如图，在矩形ABCD 中， AB＝2， BC＝ 2，点 E 为 BC 的中点，点 F在边→ →＝→ →CD 上，若 AB·AF2，则 AE ·BF的值是 ________．(2) 若 b＝cos π， cos5π，|a|＝ 2|b|，且 (3a＋b) ·b＝－ 2，则向量 a，b 的夹角1212为 ________．答案(1) 2 (2)5π6分析(1)以 A 为原点，成立如下图的坐标系，可得 A(0,0)，B(2， 0)， E(2， 1)， F(x,2)，→→∴ AB＝ ( 2，0) ，AF＝ (x,2)，→ →2x＝2，∴ AB·AF＝解得 x＝ 1，∴ F(1,2)．→→∴ AE＝ ( 2，1)，BF＝ (1－ 2， 2)，→ →∴ AE·BF＝ 2×(1－ 2)＋ 1×2＝ 2.22π25π 2 π 2 π(2) b＝ cos＋cos12＝cos＋ sin＝ 1，121212因此 |b|＝ 1，|a|＝ 2.由 (3a＋b) ·b＝－ 2，可得3a·b＋ b2＝－ 2，故 a·b＝－3，故 cos〈 a， b〉＝a·b＝－ 33＝－|a||b|2×1 2.5π又〈 a， b〉∈ [0，π]，因此〈 a， b〉＝6 .思想升华(1) 数目积的计算往常有三种方法：数目积的定义，坐标运算，数目积的几何意义；(2) 能够利用数目积求向量的模和夹角，向量要分解成题中模和夹角已知的向量进行计算．追踪操练 2 (1)已知点 A，B，C，D 在边长为 1 的方格点图的地点如下图，→ →则向量 AD在AB方向上的投影为 ________．(2) 如图，在△ ABC 中，AB＝ AC＝ 3，cos∠ BAC＝1→→→ →3，DC＝ 2BD，则 AD·BC的值为 ________．答案(1)－5(2)－ 2 5分析(1)不如以点 A 为坐标原点，成立如下图的平面直角坐标系，易得→→AD ＝ (－ 2,3)，AB→ →→ →－ 25 AD ·AB＝ (4,2) ，因此向量 AD 在 AB方向上的投影为→＝2 5＝－ 5.|AB |→→→→→→2→ →(2) AD·BC＝ (AC＋ CD ) ·BC＝ (AC＋CB) ·BC3→2→→→2→1→→→＝[AC＋3(AB －AC)] BC·＝ ( 3AB ＋3AC) ·(AC－ AB)2 →2 1 → → 1 →2＝－3|AB|＋3AB·AC＋3|AC|＝－6＋ 1＋3＝－ 2.热门三平面向量与三角函数平面向量作为解决问题的工具，拥有代数形式和几何形式的“两重型”，高考常在平面向量与三角函数的交汇处命题，经过向量运算作为题目条件．例 3已知函数 f(x)＝ 2cos2x＋ 23sin xcos x(x∈ R)．π(1)当 x∈[0，2)时，求函数 f( x)的单一递加区间；(2)设△ABC 的内角 A，B， C 的对边分别为 a， b，c，且 c＝3， f( C)＝ 2，若向量 m＝ (1， sin A)与向量 n＝ (2， sin B)共线，求 a， b 的值．解π (1)f(x)＝ 2cos 2x ＋ 3sin 2x ＝ cos 2x ＋ 3sin 2x ＋ 1＝2sin(2 x ＋ ) ＋1，6π π π 令－ ＋ 2k π≤2x ＋≤ ＋ 2k π， k ∈ Z ，26 2π π解得 k π－≤x ≤k π＋ ， k ∈ Z ，36π因为 x ∈ [0， 2) ，π因此 f( x)的单一递加区间为 [0，6] ．π(2) 由 f(C)＝ 2sin(2C ＋6)＋ 1＝ 2，π 1得 sin(2C ＋ 6)＝ 2，π π 13 π而 C ∈(0 ，π)，因此 2C ＋ 6∈( 6， 6 )， π 5 π因此 2C ＋ ＝6π，解得 C ＝ 3.6因为向量 m ＝ (1，sin A)与向量 n ＝(2 ，sin B)共线，因此sin A 1sin B＝ .2由正弦定理得 a ＝ 1，①b 2由余弦定理得π c 2＝ a 2＋ b 2－ 2abcos，3即 a 2＋ b 2－ ab ＝9.②联立①②，解得 a ＝ 3，b ＝ 2 3.思想升华 在平面向量与三角函数的综合问题中， 一方面用平面向量的语言表述三角函数中的问题， 如利用向量平行、 垂直的条件表述三角函数式之间的关系， 利用向量模表述三角函数之间的关系等； 另一方面能够利用三角函数的知识解决平面向量问题，在解决此类问题的 过程中， 只需依据题目的详细要求， 在向量和三角函数之间成立起联系， 就能够依据向量或者三角函数的知识解决问题．追踪操练 3已知 △ABC 是锐角三角形，向量m ＝ cos A ＋ π，3π， n ＝ cos B ， sin B ，且 m ⊥ n.sin A ＋3 ( )(1) 求 A －B 的值；3(2) 若 cos B ＝ 5，AC ＝8，求 BC 的长．解(1)因为 m ⊥ n ，π π因此 m ·n ＝ coscos B ＋sin A ＋ 3 sin BA ＋ 3 π＝ cos A ＋3－ B ＝0，π又 A ，B ∈ 0，2 ，因此ππ 5πA ＋ －B ∈ － ， ，3 6 6 因此 π ππA ＋ －B ＝ ，即 A － B ＝ .3 263π4(2) 因为 cos B ＝5， B ∈ 0，2 ，因此 sin B ＝ 5，因此 sin A ＝ sin π ππ ＝ sin Bcos ＋ cos Bsin 6B ＋664 3 3 1 4 3＋ 3＝ · ＋ ·＝ ，52 5 2104 3＋3由正弦定理，得BC ＝ sin A10 ×8＝ 4 3＋ 3.4sin B·AC ＝5→ 1 →1．如图，在 △ ABC 中， AD ＝ 3AB ， DE ∥ BC 交AC 于E ， BC边上的中线AM交DE于，设 → ＝ ， → ＝ ，用ABaACb N， 表示向量ab→ →AN ，则 AN＝ ____________.押题依照平面向量基本定理是向量表示的基本依照，而向量表示 (用基底或坐标 )是向量应用的基础．1答案6(a ＋ b)分析因为 DE ∥ BC ，因此 DN ∥ BM ，则 △ AND ∽△ AMB ，因此 AM AN ＝ ADAB .→1 →→1 →因为 AD ＝ 3AB ，因此 AN ＝ 3AM . 因为 M 为 BC 的中点，→ 1 → → 1 因此 AM ＝ (AB ＋AC)＝(a ＋ b)，22→ 1 →1因此 AN ＝AM ＝ (a ＋ b)．362．如图，BC 、DE 是半径为 →→ → →1 的圆 O 的两条直径， BF ＝ 2FO ，则 FD ·FE＝ ________.押题依照数目积是平面向量最重要的观点，平面向量数目积的运算是高考的必考内容，和平面几何知识的联合是向量考察的常有形式．答案－89分析→→→1，∵BF ＝2FO ，圆 O 的半径为 1，∴ |FO |＝3→→→→→→→2→→→→→1 2 8 ∴ FD ·FE ＝ (FO ＋ OD) ·(FO ＋ OE)＝ FO ＋ FO ·(OE ＋ OD)＋ OD ·OE ＝ ( ) ＋ 0－ 1＝－ .39→ →120°sin 208 )°，则 △ABC3．在 △ABC 中，AB ＝(cos 32 °，cos 58 °)，BC ＝ (sin 60 sin ° 118 ，°sin 的面积为 ________．押题依照平面向量作为数学解题工具， 经过向量的运算给出条件解决三角函数问题已成为近几年高考的热门．答案38分析→ 2 2°|AB|＝ cos 32 °＋ cos 58＝ cos 232°＋ sin 232°＝1，→33，BC ＝2 cos 28 ，°－ 2 sin 28°→323 23 因此 |BC|＝＋ －2 sin 28 ＝2.2 cos 28 °°→ →33 °则 AB ·BC ＝ cos 32 °×2cos 28－°sin 32 ×° sin 2823＝2 (cos 32 cos ° 28 －°sin 32 sin ° 28 ) °＝333，2 cos(32 ＋°28°)＝ 2cos 60 ＝° 4→ →3 → →4 1AB ·BC ＝ . 故 cos 〈 AB ， BC 〉＝ →→ ＝ 3 2 |AB| ×|BC| 1×2→ → °， 180°]，因此〈 → →又〈 AB ， BC 〉∈ [0 AB ， BC 〉＝ 60°，→ →故 B ＝ 180°－〈 AB ， BC 〉＝ 180°－ 60°＝ 120°.故 △ ABC 的面积为1 →S ＝ 2×|AB|→×|BC|sin B1 3 ＝ ×1××sin221203 ＝° .84．如图，在半径为1 的扇形 AOB中，∠ AOB ＝60°，C为弧上的动点， AB 与OC交于点P ，→ →则 OP ·BP 的最小值是 _______________________________________ ．押题依照 此题将向量与平面几何、 最值问题等有机联合，表现了高考在知识交汇点命题的方向，此题解法灵巧，难度适中．答案－116分析→ → →→→→→→→→→2 ＝ 60 °，因为 OP ＝ OB ＋ BP ，因此 OP ·BP ＝ (OB ＋ BP) ·BP ＝OB ·BP ＋ BP .又因为∠ AOB OA ＝ OB ，因此∠ OBA ＝ 60°， OB ＝ → → →1 → →→1→→21.因此 OB ·BP ＝ |BP |cos 120＝°－|BP|，因此 OP ·BP ＝－ |BP|＋ |BP|22→1 2 11→1 → →1＝ (|BP|－ )－≥－，当且仅当 |BP|＝ 时， OP ·BP 获得最小值－.4 16 16416A 组 专题通关1．在 △ ABC 中，已知 D 是 AB 边上一点，若→ →→ 1 →→AD ＝ 2DB， CD ＝ CA ＋ λCB ，则 λ＝ ________.3答案23分析 在 △ABC 中，已知 D 是 AB 边上一点，→→ →1→→→→→→ 2 → → 2 → → 1 → 2 → ∵ AD ＝ 2DB ，CD ＝ CA ＋ λCB ，∴ CD ＝ CA ＋ AD ＝ CA ＋ AB ＝ CA ＋3 (CB － CA)＝ CA ＋ CB ，3333∴ λ＝ 2.32． △ ABC 是边长为 2 的等边三角形，已知向量→ →a ，b 知足 AB ＝ 2a ， AC ＝ 2a ＋ b ，则以下结论正确的选项是 ________．① |b|＝ 1; ② a ⊥ b ；→③ a ·b ＝ 1; ④ (4a ＋ b)⊥BC.答案 ④分析→ → →在 △ABC 中，由 BC ＝ AC － AB ＝ 2a ＋ b － 2a ＝ b ，得 |b|＝ 2.又 |a|＝ 1，因此 a ·b ＝ |a||b|cos 120 ＝°－ 1，→ 2因此 (4a ＋ b) ·BC ＝ (4a ＋ b) ·b ＝ 4a ·b ＋ |b|＝ 4×(－ 1)＋ 4＝ 0，→因此 (4a ＋ b)⊥ BC.→ → → → → →3．在等腰 △ ABC 中，∠ BAC ＝90°，AB ＝ AC ＝ 2，BC ＝ 2BD ，AC ＝ 3AE ，则 AD ·BE ＝ ________.答案－43分析由已知获得→ → 1→→→1 →1 →2 1 → → 1 → → 1 → 2，AD ·BE ＝(AB ＋ AC) ·(BA ＋ AC) ＝－2AB ＋ AB ·AC ＋2 AC ·BA ＋ AC2366→ → 1212△ ABC 是等腰直角三角形，∠ BAC ＝ 90 °， AB ＝ AC ＝2，因此 AD ·BE ＝－ 2×2 ＋ 0＋0＋ 6×24＝－ 3.4． (2016 ·津蓟县期中天 )已知向量 a ， b 知足 (a ＋ 2b) ·(a － b)＝－ 6，且 |a|＝ 1， |b|＝ 2，则 a与 b 的夹角为 ________．答案π 3分析 设 a 与 b 的夹角为θ，∵ (a ＋ 2b) ·(a － b)＝－ 6，且 |a|＝ 1，|b|＝ 2，∴ 1＋a ·b － 8＝－ 6，∴ a ·b ＝ 1＝|a||b |cos θ，∴ cos θ＝ 1，2π又∵ θ∈ [0，π]，∴ θ＝3.5． (2016 安·徽江淮十校第二次联考 )已知平面向量 a 、b(a ≠0， a ≠b)知足 |a|＝ 3，且 b 与 b － a 的夹角为 30°，则 |b|的最大值为 ________．答案 6分析→ → → → →令OA ＝ a ， OB ＝ b ，则 b － a ＝ OB －OA ＝AB ，如图，∵ b 与 b － a 的夹角为 30°，∴∠ OBA ＝30°，→→→→，∴由正弦定 理|OA| ＝ |OB|得 ， ∵ |a| ＝ |OA |＝ 3 sin ∠ OBA sin ∠ OAB |b|＝ | OB | ＝6·sin ∠ OAB ≤ 6.6．已知向量 a ＝ (2,1)，b ＝ (－ 1， 2)，若 a ， b 在向量 c 方向上的投影相等，且 (c － a) ·(c － b) ＝－ 5，则向量 c 的坐标为 ________．21 3答案 (2，2)分析设 c ＝ (x ， y)，依据题意有x 2＋ y 2－ x － 3y ＝－ 5，22x ＋ y ＝－ x ＋ 2y ，1，x ＝ 2解得3y ＝ 2.→→ → 7．设向量 OA ＝ (5＋ cos θ，4＋ sin θ)， OB ＝ (2,0) ，则 |AB|的取值范围是 ________． 答案[4,6]分析→ → →＝ (－ 3－ cos θ，－ 4－ sin θ)，∵AB ＝OB －OA → 2 2 2 ∴ |AB| ＝ (－ 3－cos θ) ＋( －4－ sin θ)＝ 6cos θ＋ 8sin θ＋26＝ 10sin(θ＋ φ)＋ 26，此中 tan φ＝ 3，4→ 2 →∴ 16≤|AB | ≤ 36，∴ 4≤|AB| ≤ 6.8．设向量 a ＝ (a 1， a 2)， b ＝ (b 1， b 2)，定义一种向量积 a?b ＝ (a 1b 1， a 2b 2)，已知向量 m ＝(2 ， 1 π →2)，n ＝ (，0)，点 P(x ，y)在 y ＝ sin x 的图象上运动， Q 是函数 y ＝ f(x)图象上的点， 且知足 OQ3→为坐标原点 )，则函数 y ＝ f( x)的值域是 ________．＝ m?OP ＋ n(此中 O1 1 答案 [－ 2， 2]分析令 Q(c ，d)，由新的运算可得→ →1 π π 1sin x)， OQ ＝ m?OP ＋ n ＝(2x ，sin x)＋ ( ， 0)＝ (2x ＋ ，233 2π， 11∴c ＝2x ＋ 3π1消去 x 得 d ＝sin( c － )，22 6d ＝ 2sin x ，1 1π1 1] ．∴ y ＝ f( x)＝ sin(x －)，易知 y ＝ f(x)的值域是 [－ ，2262 2π9．设向量 a ＝ ( 3sin x ， sin x)， b ＝(cos x ，sin x)， x ∈ [0， 2]．(1) 若 |a|＝ |b|，求 x 的值；(2) 设函数 f(x)＝ a ·b ，求 f(x)的最大值．解(1)由 |a|2＝ ( 3sin x)2＋ (sin x)2＝ 4sin 2x ，222＝ 1，|b| ＝(cos x) ＋ (sin x) 及 |a|＝ |b|，得 4sin 2x ＝ 1.π1π又 x ∈ [0， ]，进而 sin x ＝ ，因此 x ＝ .22 62(2) f(x)＝ a ·b ＝ 3sin x ·cos x ＋ sin x＝3 1 1π 1，2sin 2x － cos 2x ＋＝ sin(2x － )＋ 2262π π π1，当 x ＝ ∈ [0， ] 时， sin(2 x －)取最大值326因此 f( x)的最大值为32.10．已知向量 a ＝ (cos α， sin α)，b ＝ (cos x ， sin x)， c ＝ (sin x ＋ 2sin α， cos x ＋ 2cos α)，此中 0<α<x<π.π(1) 若 α＝4，求函数 f(x)＝ b ·c 的最小值及相应 x 的值；π (2) 若 a 与 b 的夹角为，且 a ⊥ c ，求 tan 2α的值．3解 (1)∵ b ＝ (cos x ， sin x)，πc ＝ (sin x ＋ 2sin α， cos x ＋ 2cos α)， α＝ 4，∴ f(x)＝ b ·c＝ cos xsin x ＋ 2cos xsin α＋sin xcos x ＋2sin xcos α＝ 2sin xcos x ＋ 2(sin x ＋ cos x)．π令 t ＝ sin x ＋cos x 4<x<π ，则 2sin xcos x ＝ t 2 －1，且－ 1<t< 2.则 y ＝ t 2＋ 2t － 1＝ t ＋2 2－3，－ 1<t< 2，2 2∴ t ＝－ 2时， y min ＝－3，此时 sin x ＋ cos x ＝－ 2， 2 2 2 即 2sin x ＋ π＝－ 2，42π π π 5π，∵ <x<π，∴ <x ＋ <424 4 π 7 11π∴ x ＋ ＝ π，∴ x ＝12 .46∴函数 f(x)的最小值为－ 3，相应 x 的值为 11π2 12.π(2) ∵ a 与 b 的夹角为 ，3π a ·b∴ cos＝ ＝ cos αcos x ＋ sin αsin x3 |a| ·|b|＝ cos(x － α)．π∵ 0< α<x<π，∴ 0<x － α<π，∴ x － α＝3.∵ a ⊥ c ，∴ cos α(sin x ＋ 2sin α)＋ sin α(cos x ＋ 2cos α)＝ 0，π∴ sin(x ＋ α)＋ 2sin 2α＝ 0，即 sin 2α＋3 ＋ 2sin 2α＝ 0.5 sin 2α＋ 3 3. ∴ 2cos 2α＝0，∴ tan 2α＝－52B 组 能力提升11．已知非零单位向量a 与非零向量b 知足 |a ＋b|＝ |a － b|，则向量 b － a 在向量 a 上的投影为 ________．答案 －1分析 因为 |a ＋ b|＝ |a － b|，因此 (a ＋ b)2＝ (a － b)2，2解得 a ·b ＝ 0，因此向量 b － a 在向量 a 上的投影为 |b － a|cos 〈 a ， b － a 〉＝a ·(b －a)＝0－|a||a||a|＝－ |a|＝－ 1.→ → →AB AC12．已知点 P 为 △ ABC 所在平面内一点， 且知足 AP ＝ λ( → ＋ →)(λ∈ R)，则直线 |AB|cos B |AC|cos CAP 必经过 △ ABC 的 ________心． 答案垂→ → →AB AC分析 ∵BC ·( → ＋ → )|AB|cos B |AC|cos C→ →＝－ |BC|＋ |BC|＝ 0，→ → →AB AC∴ BC 与 λ( → ＋ →)垂直，|AB|cos B |AC|cos C→ →AP 经过 △ABC 的垂心．∴ AP ⊥ BC ，∴点 P 在 BC 的高线上，即直线13．若 a ＝ (2＋ λ，1)，b ＝ (3，λ)，若〈 a ，b 〉为钝角， 则实数 λ的取值范围是 ______________．答案3 (－ ∞，－ 3)∪( －3，－ )2分析3 ∵ a ＝ (2＋ λ，1)，b ＝ (3，λ)，∴ a ·b ＝ 3(2＋ λ)＋ λ<0，得 λ<－ .若 a ，b 共线，则 λ(2＋ λ)2－ 3＝ 0，解得λ＝－ 3 或λ＝1.即当λ＝－ 3 时， a， b 方向相反，3又〈 a， b〉为钝角，则λ<－且λ≠－ 3.14．在直角坐标系xOy 中，已知点A(1,1)， B(2,3)， C(3,2) ，点 P(x， y)在△ABC 三边围成的地区 (含界限 )上．→→→→(1) 若 PA＋PB ＋ PC＝ 0，求 |OP|；→→→(2) 设 OP＝mAB＋ nAC(m， n∈ R)，用 x， y 表示 m－n，并求 m－n 的最大值．解 (1)方法一→ →→∵ PA＋ PB＋ PC＝ 0，→→→又 PA＋ PB＋ PC＝ (1－ x,1－ y)＋ (2－x,3－ y)＋ (3－ x,2－ y)＝(6 －3x,6－ 3y)，6－ 3x＝ 0，x＝2，∴解得6－ 3y＝ 0，y＝2，→→即 OP＝ (2,2)，故 |OP|＝ 2 2.方法二→→→∵PA＋ PB＋ PC＝ 0，→→→→→→则 (OA－ OP)＋(OB －OP) ＋(OC－OP) ＝0，→1→→→→2.∴ OP＝3(OA＋ OB＋ OC)＝(2,2)，∴ |OP|＝ 2→→→(2) ∵ OP＝mAB＋ nAC，x＝ m＋2n，∴ (x， y)＝ (m＋ 2n， 2m＋ n)，∴y＝ 2m＋ n，两式相减得， m－ n＝ y－ x.令 y－x＝ t，由图知，当直线y＝ x＋t 过点B(2,3) 时， t 获得最大值 1，故 m－ n 的最大值为1.。

第28讲平面向量范围与最值问题一、单选题1．(2021·四川·双流中学高三期末(理))如图所示，边长为1的正方形ABCD 的顶点A ，D 分别在边长为2的正方形ABCD的边AB和AD上移动，则A B ⋅A C 的最大值是()A ．4B ．1+2C ．πD ．2【答案】D 【分析】建立直角坐标系，利用平面向量数量积的坐标表示公式，结合二倍角公式进行求解即可.【详解】建立如图所示的直角坐标系：令∠AAD =θ，由于AD =1，故AA =cos θ，AD =sin θ，如图∠BAx =π2-θ，BA =1，故x B =cos θ+cos π2-θ =cos θ+sin θ，y B =sin π2-θ =cos θ故AB =(cos θ+sin θ,cos θ)同理可求得C sin θ,cos θ+sin θ ，即AC =sin θ,cos θ+sin θ ，∴A B ⋅AC =sin θcos θ+sin θ +cos θcos θ+sin θ =1+sin2θ，当θ=π4时，A B ⋅AC 有最大值2．故选：D2．(2021·四川资阳·高三月考(理))已知e 为单位向量，向量a 满足：a -e ⋅a -5e =0，则a +e的最大值为()A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】C 【分析】可设e =1,0 ，a =x ,y ，根据a -e ⋅a -5e =0，可得x ,y 的关系式，并得出x ,y 的范围，a +e=x +12+y 2，将y 用x 表示，再根据函数的最值即可得解.【详解】解：可设e=1,0 ，a=x ,y ，则a -e ⋅a -5e=x -1,y ⋅x -5,y =x 2-6x +5+y 2=0，即x -3 2+y 2=4，则1≤x ≤5，-2≤y ≤2，a +e=x +12+y 2=8x -4，当x =5时，8x -4取得最大值为6，即a+e的最大值为6.故选：C3．(2021·河南南阳·高三期中(文))已知OA ､OB是两个夹角为120°的单位向量，如图示，点C 在以O 为圆心的AB 上运动.若OC =xOA +yOB ，其中x ､y ∈R ，则x +y 的最大值是()A ．2B ．2C ．3D ．3【答案】B 【分析】建立坐标系，得出点的坐标，进而可得向量的坐标，化已知问题为三角函数的最值即可得出答案.【详解】解：由题意，以O 为原点，OA 为x 轴的正向，建立如图所示的坐标系，设C (cos θ,sin θ)，0≤θ≤120°可得A (1,0)，B -12，32，由OC =x (1，0)+y -12，32=cos θ+sin θ 得，x -12y =cos θ，32y =sin θ，∴32y =3sin θ，∴x +y =cos θ+3sin θ=2sin (θ+30°)，∵0≤θ≤120°，∴30°≤θ+30°≤150°，∴当θ=60°时，x +y 的最大值为2，此时C 为弧AB 的中点.所以x +y 的最大值是2.故选：B .4．(2021·江西赣州·高三期中(文))已知AB ⊥AC ,|AB |=t 3,|AC |=t ，若点P 是△ABC 所在平面内的一点，且AP =AB|AB|-3AC|AC |，则PB ⋅PC 的最大值等于()A ．8B ．10C ．12D ．13【答案】C 【分析】以A 为原点，AB ,AC 所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，不妨设B 0,t 3,C (t ,0)，求出P 点坐标，再求出数量积，然后引入函数，用导数求得最大值．【详解】∵AB ⊥AC ，∴可以A 为原点，AB ,AC 所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系；不妨设B 0,t 3,C (t ,0)，则AP =(0,1)-3(1,0)=(-3,1)，故点P 坐标为(-3,1)则PB =-3,1-t 3 ,PC =(-3-t ,1)，∴PB ⋅PC =-3(-3-t )+1-t 3 =-t 3+3t +10令f (t )=-t 3+3t +10,t >0，则f(t )=-3t 2+3=-3(t +1)(t -1),t ≥0，则当t ∈(0,1)时，f(t )>0，当t ∈(1,+∞)时，f(t )<0，则函数f (t )在[0,1)递增，在(1,+∞)上递减，则f (t )max =f (1)=12，即PB ⋅PC 的最大值为12．故选：C ．5．(2021·浙江丽水·高三期中)已知平面向量e 1 ，e 2 ，a ，e 1=e 2=1，若a⋅e 1 +e 2≥2，a ⋅e 1 -e 2 ≥1，则()A ．a的最小值是32B ．a 的最大值是32C ．a 的最小值是94D ．a 的最大值是94【答案】A 【分析】令u=e 1+e 2 ,v=e 1 -e 2，可得u ⊥v ，且|u|2+|v|2=4，设u =(2cos α,0),v =(0,2sin α)，|a |=r ，a=(r sin β,r cos β)，根据已知条件及三角函数的有界性即可求解.【详解】令u=e 1+e 2 ,v=e 1 -e 2，则u ⋅v=e 1 2-e 2 2=0，故u ⊥v ，且|u|2+|v|2=2e 1 2+e 2 2=4，假设u =(2cos α,0),v=(0,2sin α)，|a|=r ，a=(r sin β,r cos β)，所以根据已知条件有a ⋅u=2r ⋅cos α⋅sin β ≥2a ⋅v =2r ⋅sin α⋅cos β ≥1，所以2r ≥2r (|cos α⋅sin β|+|sin α⋅cos β|)≥3，即r ≥32，当且仅当sin α=33,β=π2-α,r =32时等号成立，所以|a |的最小值是32，故选：A .6．(2018·浙江·绍兴市柯桥区教师发展中心高三学业考试)已知平面向量a ,b ,c满足|a|=2,|b|=3,|c|=1，a ⋅b -c ⋅(a +b )+1=0，则|a -b |的最大值是()A ．23+1B ．5C ．23-1D ．26【答案】A 【分析】由已知可得a ⋅b +1=c ⋅ a+b，再结合向量的数量积的性质可求a ⋅b2≤12，最后代入即可求出答案.【详解】设OA =a ,OB =b ,OC =c ∵|c |=1,a ⋅b -c ⋅(a +b )+1=0得a ⋅b +1=c ⋅(a +b )|a ⋅b +1|=|c ⋅(a +b )|≤|c ||a +b |=|a +b |∴|a ⋅b +1|2≤|a +b |2即(a ⋅b )2+2a ⋅b +1≤a 2+2a ⋅b +b 2,(a ⋅b )2≤12∵|a -b |2=a 2-2a ⋅b +b 2∴|a -b|2≤13+43,∴|a -b|≤23+1故选：A7．(2021·山西·怀仁市第一中学校高三期中(理))已知平面向量a ,b ,c满足c =1，a ·c=1，b ·c=-2，a +b=2，则a ·b 的最大值为()A ．-1B ．-2C ．-52D ．-54【答案】D 【分析】由题意不妨设e =(1,0),a =(1,m ),b =(-2,n )，利用|a +b |=2，可得m +n 为定值，再求出a ⋅b的解析式，利用基本不等式即可求出a ⋅b的最大值．【详解】解：由e =1，不妨设e =(1,0)，又a ⋅e =1,b ⋅e=2，可设a=(1,m ),b=(-2,n )，则a +b=(-1,m +n )，又|a+b|=2，∴(-1)2+(m +n )2=4，∴(m +n )2=3；∴a ⋅b=-2+mn ≤-2+m +n 2 2=-2+34=-54，当且仅当m =n =32或-32时取“=”；∴a ⋅b 的最大值为-54．故选：D ．8．(2021·浙江省杭州第二中学高三期中)已知圆台上底面半径为3，下底面半径为4，高为7，若点A 、B 、C 在下底面圆的圆周上，且AB ⊥BC ，点Р在上底面圆的圆周上，则PA 2+PB 2+PC 2的最小值为()A ．246B ．226C ．208D ．198【答案】D 【分析】问题可转化为三棱锥P -ABC 且三棱锥有外接球，求PA 2+PB 2+PC 2转化为求QA 2+QB 2+QC 2的最值，再转化为利用向量求解即可.【详解】如图，△ABC 的外心是AC 中点O 1，点P 到底面ABC 的距离为7，设Р所在截面圆的圆心为O 2，此截面与平面ABC 平行，球心O 在O 1O 2上，OO 1=R 2-OC 2=52-42=3,OO 2=O 1O 2-OO 1=7-3=4，则r =O 2P =R 2-OO 22=3，设P 在平面ABC 上的射影为Q ，则Q 在以O 1为圆心，3为半径的圆，因为PQ ⊥平面ABC ，所以PQ 与平面ABC 内所有直线都垂直，PQ =7,所以PA 2+PB 2+PC 2=PQ 2+QA 2+PQ 2+QB 2+PQ 2+QC2=QA 2+QB 2+QC 2+147QA 2+QB 2+QC 2=QO 1 +O 1A 2+QO 1 +O 1B 2+QO 1 +O 1C2=3QO 1 2+O 1A 2+O 1B 2+O 1C 2+2QO 1 ⋅O 1A +2QO 1 ⋅O 1B +2QO 1 ⋅O 1C=27+16+16+16+2QO 1 ⋅O 1A +O 1C +2QO 1 ⋅O 1B=75+2QO 1 ⋅O 1B，当QO 1 ,O 1B 反向时，QO 1 ⋅O 1B 取得最小值-12，所以PA 2+PB 2+PC 2的最小值147+75-2×12=198.故选：D9．(2021·江苏省泰兴中学高三期中)已知△ABC 中，AB =7,AC =3，∠ACB =120°，当λ∈R 时，AB -λAC的最小值为()A ．10B ．53C ．5D ．532【答案】D 【分析】先利用余弦定理求出BC ，从而可求出cos A ，然后对AB -λAC平方后化简，再利用二次函数的性质可求得结果【详解】由余弦定理得49=9+BC 2-2×3BC ⋅-12，解得BC =5，所以cos A =9+49-252×3×7=1114所以AB -λAC 2=AB 2-2λAB ⋅AC +λ2AC2=49-2λ×7×3×1114+9λ2=9λ2-33λ+49，当λ=116时，AB -λAC 2取最小值754，所以AB -λAC min =532，故选：D ．10．(2021·北京朝阳·高三期中)如图，在直角梯形ABCD 中，AD ⎳BC ，AB ⊥BC ，AD =1，BC =2，P 是线段AB 上的动点，则PC +4PD的最小值为()A ．35B ．6C ．25D ．4【答案】B 【分析】根据题意，建立直角坐标系，利用坐标法求解即可.【详解】解：如图，以B 点为坐标原点，建立平面直角坐标系，设AB =a ，BP =x 0≤x ≤a ，因为AD =1，BC =2，所以P 0,x ,C 2,0 ,D 1,a ，所以PC =2,-x ,PD =1,a -x ，4PD =4,4a -4x ，所以PC +4PD=6,4a -5x ，所以PC +4PD =36+4a -5x 2≥6，所以当4a -5x =0，即x =45a 时，PC +4PD 的最小值为6.故选：B11．(2021·辽宁实验中学高三期中)若平面向量a ，b 满足a =b =a ⋅b =2，则对于任意实数λ，λa+1-λ b的最小值是()A ．3B ．1C ．23D ．2【答案】A【分析】转化λa+1-λ b=λa+1-λ b2=λ2|a |2+(1-λ)2|b |2+2λ(1-λ)a ⋅b，结合题干条件和二次函数的性质，即得解【详解】由题意，λa+1-λ b =λa+1-λ b2=λ2|a |2+(1-λ)2|b |2+2λ(1-λ)a ⋅b=4λ2+4(1-λ)2+4λ(1-λ)=4λ2-4λ+4=4λ-122+3≥3当且仅当λ=12时等号成立故λa+1-λ b的最小值是3故选：A12．(2021·重庆八中高三月考)四叶回旋镖可看作是由四个相同的直角梯形围成的图形，如图所示，AB =4，CD =2，∠A =45°，M 为线段HL 上一动点，则AF ⋅GM 的最小值为()A ．-8B ．-16C ．-24D ．-32【答案】D 【分析】以C 为原点建立如图所示的平面直角坐标系，利用向量数量积的坐标运算即可求解.【详解】解：由题意，以C 为原点建立如图所示的平面直角坐标系则A -4,2 ，F 0,-2 ，G 4,-2M 为线段HL 上一动点，设M 2,y ，其中0≤y ≤4∴AF =4,-4 ，GM =-2,y +2 ∴AF ⋅GM=4×-2 +-4 ×y +2 =-4y -16，0≤y ≤4∴当y =4时，AF ⋅GM=-32AF ⋅GM的最小值为-32.故选：D .13．(2021·北京·101中学高三开学考试)已知向量a ,b 为单位向量，且a ⋅b=-12，向量c 与a +b 共线，则|a +c|的最小值为()A ．1B ．12C ．34D ．32【答案】D 【分析】由题意c =λ(a +b )，则|a +c |=|a +λ(a +b )|==(1+λ)2a 2+λ2b 2+2λ(1+λ)a ⋅b ，代入题干数据，结合二次函数的性质，即得解【详解】由题意，向量c 与a+b共线，故存在实数λ，使得c =λ(a+b)∴|a +c |=|a +λ(a +b )|=|(1+λ)a+λb |=(1+λ)2a 2+λ2b 2+2λ(1+λ)a ⋅b=(1+λ)2+λ2-λ(1+λ)=λ2+λ+1=λ+12 2+34≥34=32当且仅当λ=-12时等号成立故选：D14．(2022·全国·高三专题练习)设向量OA =1,-2 ，OB =a ,-1 ，OC =-b ,0 ，其中O 为坐标原点，a >0，b >0，若A ，B ，C 三点共线，则12a +1b的最小值为()A ．4B ．6C ．8D ．9【答案】A 【分析】根据向量共线定理可得2a +b =1，再应用基本不等式“1”的代换求12a +1b的最小值，注意等号成立条件.【详解】由题设，AB =OB -OA =(a -1,1)，AC =OC -OA=(-b -1,2)，A ，B ，C 三点共线，∴AB =λAC 且λ∈R ，则a -1=-λ(b +1)2λ=1，可得2a +b =1，∴12a +1b =12a +1b (2a +b )=2+b 2a +2a b≥2+2b 2a ⋅2a b =4，当且仅当b =2a =12时等号成立.∴12a +1b的最小值为4.故选：A15．(2021·广西桂林·高三月考(文))已知向量a =cos θ,sin θ ，θ∈0,π ，b =3,-1 .若2a -b <m 恒成立，则实数m 的范围是()A ．4,+∞B ．4,+∞C ．2,+∞D ．4,10【答案】B 【分析】由条件利用向量的数量积公式，三角恒等变换，变形2a -b 为8-8cos θ+π6，再根据θ∈0,π 求得2a -b的最大值，进而可得m 的范围.【详解】由已知a=1，b=2∴2a -b =4a 2-4a ⋅b +b 2=8-4(3cos θ-sin θ)=8-8cos θ+π6，由θ∈0,π ，得θ+π6∈π6,7π6，得cos θ+π6 ∈-1,32，故2a -b的最大值为8+8=4，所以m >4.故选：B .16．(2021·江苏·高三专题练习)a =2，b =3,a -b =4，若对任意实数t ，ka +tb >1恒成立，则实数k 的范围()A ．-∞,-215 ∪215,+∞ B ．-∞,-215 ∪215,+∞ C ．-215,215 D ．-215,215【答案】B 【分析】先由题中条件，根据向量模的计算公式，求出a ⋅b=-32，再将不等式恒成立转化为9t 2-3kt +4k 2-1>0对任意实数t 恒成立，根据一元二次不等式恒成立的判定条件，列出不等式求解，即可得出结果.【详解】因为a=2，b=3,a-b=4，则a-b 2=a2+b 2-2a ⋅b =13-2a ⋅b =16，则a ⋅b=-32，所以ka+tb=k 2a 2+t 2b 2+2kta ⋅b=4k 2+9t 2-3kt ，又对任意实数t ，ka+tb >1恒成立，则9t 2-3kt +4k 2-1>0对任意实数t 恒成立，因此只需Δ=9k 2-364k 2-1 <0，解得k >215或k <-215，故选：B .【点睛】本题主要考查考查一元二次不等式恒成立求参数的问题，考查向量模的计算，属于常考题型.二、多选题17．(2021·江苏省天一中学高三月考)己知△ABC 中，角A ，B ．C 所对的边分别是a ，b ，c ，B =π3，2BP=PC ，AP =3则下列说法正确的是()A ．AP =23AB +13ACB ．a +3c 的最大值为43C ．△ABC 面积的最大值为33D ．a +c 的最大值为213【答案】AD 【分析】利用平面向量基底表示向量可判断A ；利用正弦定理、余弦定理、面积定理借助三角恒等变换可计算判断B ，C ，D .【详解】对于A ，在△ABC 中，因2BP =PC ，则AP =AB +BP =AB +13BC =AB +13(AC -AB )=23AB +13AC ，A 正确；在△ABP 中，由余弦定理得：AP 2=AB 2+BP 2-2AB ⋅BP cos ∠ABP ≥2AB ⋅BP -2AB ⋅BP cos60°=AB ⋅BP ，当且仅当AB =BP 时取“=”，于是得当AB =BP =AP =3时，(AB ⋅BP )max =3，S △ABC =12AB ⋅BC sin B =12AB ⋅3BP ⋅sin60°≤934，C 不正确；在△ABP 中，令∠BAP =α，则∠APB =2π3-α，0<α<2π3，由正弦定理得：AB sin ∠APB=BP sin ∠BAP =AP sin B =3sin60°=2，则c =2sin 2π3-α ,a 3=2sin α，a +c =6sin α+2sin 2π3-α =7sin α+3cos α=213sin (α+φ)，其中锐角ϕ由tan φ=37确定，而φ<α+φ<2π3+φ，则当α+ϕ=π2时，sin (α+φ)=1，a +c 取最大值213，D 正确；而a +3c >a +c ，则a +3c 的最大值应大于a +c 的最大值，又43<213，即a +3c 的最大值为43是不正确的，B 不正确.故选：AD18．(2022·河北·高三专题练习)在△ABC 中，A =π2，AB =AC =2，下述四个结论中正确的是()A ．若G 为△ABC 的重心，则AG =13AB +13ACB ．若P 为BC 边上的一个动点，则AP ⋅(AB +AC)为定值2C ．若M ，N 为BC 边上的两个动点，且MN =2，则AM ⋅AN 的最小值为32D ．已知P 为△ABC 内一点，若BP =1，且AP =λAB +μAC，则λ+3μ的最大值为2【答案】AC 【分析】A .以A 为坐标原点，分别以AB ，AC 所在直线为x ，y 轴建立平面直角坐标系，由G 为△ABC 的重心，结合向量的数乘运算判断；B .设BP =tBC 0≤t ≤1 ，把AP ⋅AB +AC 用含t 的代数式表示判断；C .不妨设M 靠近B ，BM =x ,0≤x ≤2，求得M ，N 的坐标，得到AM ⋅AN关于x 的函数，利用二次函数求值判断；D . 由AP =λAB +μAC 结合BP =1，得到λ-1 2+μ2=14，再令1-λ=12sin θ,μ=12cos θ,θ∈π4,π2 ，转化为λ+3μ=123cos θ-sin θ +1=cos θ+π6+1，利用三角函数的性质求解判断.【详解】如图，以A 为坐标原点，分别以AB ，AC 所在直线为x ，y 轴建立平面直角坐标系，则A 0,0 ,B 2,0 ,C 0,2 ,AB =2,0 ,AC =0,2 ，因为G 为△ABC 的重心，所以G 23,23，则AG =23,23，所以13AB +13AC =23,0 +0,23 =23,23 ，所以AG =13AB +13AC ，故A 正确；设BP =tBC 0≤t ≤1 ，则AP =AB +BP =AB +tBC =tAC +1-t AB ，则AP ⋅AB +AC =tAC +1-t AB ⋅AB +AC ，=tAC ⋅AB +t AC 2+1-t AB 2+1-t AB ⋅AC=4t +41-t =4，故B 错误；不妨设M 靠近B ，BM =x ,0≤x ≤2，得M 2-22x ,22x ,N 2-22x +2 ,22x +2 =1-22x ,1+22x，则AM ⋅AN=2-22x ⋅1-22x +22x ⋅1+22x =x 2-2x +2，当x =22时，AM ⋅AN 的最小值为32：故C 正确；由AP =λAB +μAC ，且P 为△ABC 内一点，BP =1，则BP =AP -AB =λ-1 AB +μAC =4λ-1 2+4μ2=1，即λ-1 2+μ2=14，令1-λ=12sin θ,μ=12cos θ,θ∈π4,π2 ，则λ+3μ=123cos θ-sin θ +1=cos θ+π6+1，因为θ∈π4,π2 ，则θ+π6∈5π12,2π3 ，所以cos θ+π6 ∈-12,6-24，所以λ+3μ的范围是12,1+6-24，故D 错误.故选：AC19．(2022·全国·高三专题练习)如图所示，在凸四边形ABCD 中，对边BC ,AD 的延长线交于点E ，对边AB ，DC 的延长线交于点F ，若BC =λCE ,ED =uDA ，AB =3BF (λ,u >0)，则()A ．EB=34EF +14EA B ．λμ=14C ．1λ+1μ的最大值为1D ．EC ⋅AD EB⋅EA的最小值为-49【答案】ACD 【分析】根据题意EB -EA =3(EF -EB)，化简整理，即可判断A 的正误；利用B 、C 、E 三点共线及F 、C 、D 三点共线，化简计算，即可判断B 的正误；根据基本不等式，计算整理，可判断C 、D 的正误，即可得答案.【详解】对于A ：因为AB =3BF ，所以EB -EA =3(EF -EB )，所以EB =34EF +14EA ，故A 正确；对于B ：由B 、C 、E 三点共线可得AC =11+λAB +λ1+λAE =34⋅11+λAF+λ(μ+1)1+λAD ，由F 、C 、D 三点共线可得34(1+λ)+λ(μ+1)1+λ=1，解得λμ=14，故B 正确；对于C ：由λμ=14得1λ+1μ≥21λ×1μ=2λμ=4，当且仅当λ=μ时等号成立，所以1λ+1μ有最小值为4，无最大值，故C 错误；对于D ：因为BC =λCE ,ED =uDA ，所以EB =(1+λ)EC ,EA =(1+μ)DA，所以EC ⋅AD EB ⋅EA =EC ⋅AD -(1+μ)(1+λ)EC ⋅AD=-11+λ+μ+λμ=154+λ+μ≥-154+2λμ=-49.当且仅当λ=μ时等号成立，故D 正确.故选：ACD【点睛】解题的关键是熟练掌握向量的线性运算法则、三点共线定理、基本不等式等知识，并灵活应用，考查计算化简，转化分析的能力，属中档题.20．(2022·全国·高三专题练习)在△ABC 中，AB ⋅AC =3，BC =26，其中D ，E 均为边BC 上的点，分别满足：BD =DC ，AE ⋅AC AC =AE ⋅ABAB，则下列说法正确的是()A ．AD为定值3B ．△ABC 面积的最大值为36C ．AE的取值范围是1,3D ．若F 为AC 中点，则BF不可能等于5【答案】ABD 【分析】对于A :利用AD =12AC +AB 和数量积的计算公式可求AD=3；对于B ：利用面积公式和基本不等式即可判断；对于C ：先判断出cos ∠EAC =cos ∠EAB ，结合θ的范围即可判断；对于D ：利用BF =12BA +BC 求出范围，即可判断.【详解】设∠BAC =θ.对于A :因为BD =DC，所以D 为BC 的中点.因为BC =AC -AB =26，所以AC -AB 2=26 2，即AC 2-2AC ∙AB +AB 2=24，所以AC 2+AB 2=30.因为AD =12AC +AB ，所以AD 2=14AC 2+2AC ∙AB +AB 2=1430+6 =9，所以AD=3.故A 正确；对于B ：S △ABC =12AB ×AC ×sin θ=12×3cos θ×sin θ=32tan θ，又cos θ=3AB ×AC ≥3AB 2+AC22=3302=15，当且仅当“AB =AC "时,取“=”此时tan θ=1cos 2θ-1≤26，所以S △ABC =32tan θ≤36.故B 正确；对于C ：因为AE ⋅AC AC =AE ⋅ABAB，所以AE cos ∠EAC =AE cos ∠EAB ，所以cos ∠EAC =cos ∠EAB .当cos θ=15时，D 、E 重合，AE 取得最大值3.可知θ为锐角，当∠BAC →最大锐角时，AE最大，但无法取到.故C 错误；对于D ：若F 为AC 中点，则BF =12BA +BC =12BA2+2BA ∙BC +BC 2=12BA2+2BA ×26cos B +24>5.故D 正确.故选：ABD .21．(2022·河北·高三专题练习)如图，在△ABC 中，∠BAC =90°，AB =3，AC =4，点D ，E 为边BC 上两个动点，且满足DE =2，则下列选项正确的是()A ．AD ⋅AE 的最小值为4925B ．AD ⋅AE 的最小值为11925C ．AD ⋅AE 的最大值为485D ．当AD ⋅AE取得最大值时，点D 与点B 重合【答案】BC 【分析】取DE 的中点M ，利用向量的加法法则和数量积的运算律可得AD ⋅AE=AM 2-1，求出AM 的最小值，即可得答案，当点E 与点C 重合时，AM 取得最大值，然后利用余弦定理可得答案【详解】取DE 的中点M ，则AD =AM +MD ，AE =AM +ME ，则AD ⋅AE =AM +MD ⋅AM +ME =AM 2-MD 2=AM 2-1，易知AM 的最小值为点A 到BC 的距离，即AM 的最小值为125，即AD ⋅AE 的最小值为11925，故B 选项正确，A 错误；当点E 与点C 重合时，AM 取得最大值，即AM 2=9+16-2×3×4cos B =535，故AD ⋅AE 的最大值为485，故C 选项正确，D 错误.故选：BC22．(2022·全国·高三专题练习)如图，在直角三角形ABC 中，A =90°,AB =5,AC =25，点P 在以A 为圆心且与边BC 相切的圆上，则()A ．点P 所在圆的半径为2B ．点P 所在圆的半径为1C ．PB ⋅PC 的最大值为14D ．PB ⋅PC的最大值为16【答案】AC 【分析】Rt △ABC 斜边BC 上的高即为圆的半径；把求PB ⋅PC 的最大值通过向量加法的三角形法则转化为求4+PA ⋅2PM的最大值，从而判断出P ，M ，A 三点共线，且P ，M 在点A 的两侧时取最大值.【详解】设AB 的中点为M ，过A 作AH 垂直BC 于点H ，因为A =90°,AB =5,AC =25，所以BC =5，AM =52，所以由12AB AC =12BC AH ，得AH =AB AC BC=2，所以圆的半径为2，即点P 所在圆的半径为2，所以选项A 正确，B 错误；因为PB =PA +AB ，PC =PA +AC ，AC ⋅AB=0，所以PB ⋅PC =PA +AB ·PA +AC =PA 2+PA ⋅AC +AB ⋅PA =PA 2+PA ⋅AC +AB =4+PA ⋅2PM ，所以当P ，M ，A 三点共线，且P ，M 在点A 的两侧时，PA ⋅2PM 取最大值，且最大值为PA ⋅2PMmax=2PA ⋅PM =2×2×52=10，所以PB ⋅PC的最大值为4+10=14，所以选项C 正确，D 错误.故选：AC .23．(2021·全国·高三专题练习(理))如图，等边△ABC 的边长为2，点B ，C 分别在x 轴正半轴和y 轴正半轴上滑动，点A 在线段BC 的右上方则()A ．OA +OC 有最大值3B ．OA ⋅OC有最大值3C ．OA +BC 有最小值无最大值D ．OA ⋅BC无最大值也无最小值【答案】BD 【分析】根据题意，设∠OCB =α,α∈0,π2 ，则∠ACD =2π3-α，进而得A 2sin 2π3-α,2cos 2π3-α +2cos α ,C 0,2cos α ,B 2sin α,0 ，再结合三角恒等变换和向量数量积运算依次讨论各选项即可求解.【详解】如图，设∠OCB =α,α∈0,π2 ，则∠ACD =2π3-α，所以在Rt △ACD 中，CD =2cos ∠ACD =2cos 2π3-α，AD =2sin ∠ACD =2sin 2π3-α ，在Rt △BOC 中，OC =2cos α,OB =2sin α，所以A 2sin 2π3-α ,2cos 2π3-α +2cos α ,C 0,2cos α ,B 2sin α,0 ,所以OA +OC =2sin 2π3-α ,2cos 2π3-α +4cos α =3cos α+sin α,3sin α+3cos α ，故OA +OC =12cos 2α+83sin αcos α+4sin 2α=8sin 2α+π6+8，由于α∈0,π2 ，故2α+π6∈π6,7π6，所以OA +OC ∈2,4 ，故A 选项错误；OA ⋅OC =4cos 2π3-α cos α+4cos 2α=23sin αcos α+2cos 2α=3sin2α+cos2α+1=2sin 2α+π6+1，由于α∈0,π2 ，故2α+π6∈π6,7π6，OA⋅OC ∈0,3 ，即OA ⋅OC 有最大值3，故B 选项正确；OA +BC =2sin 2π3-α -2sin α,2cos 2π3-α +4cos α =3cos α-sin α,3sin α+3cos α所以OA +BC =12cos 2α+43sin αcos α+4sin 2α=27sin 2α+φ +8,tan φ=233,φ∈0,π2，由于α∈0,π2，故2α+φ∈φ,π+φ ，所以OA +BC 有最大值，无最小值；故C 选项错误；OA ⋅BC =-4sin 2π3-α sin α+4cos 2π3-α cos α+4cos 2α=2cos2α，由于α∈0,π2 ，故2α∈0,π ，所以OA ⋅BC ∈-2,2 ，所以OA ⋅BC 无最大值也无最小值，故D 选项正确；故选：BD【点睛】本题考查了向量的数量积、模长的坐标表示，解题的关键点是建立坐标系后求出各点的坐标，把数量积、模长用坐标表示，再根据α的范围求解，考查了学生分析问题、解决问题的能力以及计算能力.24．(2022·全国·高三专题练习)△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，S 为△ABC 的面积，且a =2，AB ⋅AC =23S ，下列选项正确的是()A ．A =π3B ．若b =3，则△ABC 有两解C ．若△ABC 为锐角三角形，则b 取值范围是(23,4)D ．若D 为BC 边上的中点，则AD 的最大值为2+3【答案】BCD 【分析】由数量积的定义及面积公式求得A 角，然后根据三角形的条件求解判断各ABC 选项，利用AD =12(AB+AC )，平方后应用基本不等式求得最大值，判断D ．【详解】因为AB ⋅AC =23S ，所以bc cos A =23S =23×12bc sin A ，tan A =33，又A ∈(0,π)，所以A =π6，A 错；若b =3，则b sin A <a <b ，三角形有两解，B 正确；若△ABC 为锐角三角形，则0<B <π2，A +B =π6+B >π2，所以π3<B <π2，32<sin B <1，b sin B =a sin A ，b =a sin Bsin A=4sin B ∈(23,4)，C 正确；若D 为BC 边上的中点，则AD =12(AB +AC )，AD 2=14(AB +AC )2=14(c 2+2bc cos A +b 2)=14(b 2+c 2+3bc )，又a 2=b 2+c 2-2bc cos A =b 2+c 2-3bc =4，b 2+c 2=4+3bc ，由基本不等式得4=b 2+c 2-3bc ≥2bc -3bc =(2-3)bc ，bc ≤42-3=4(2+3)，当且仅当b =c 时等号成立，所以AD 2=14(4+3bc )+3bc =1+32bc ≤7+43，所以AD ≤2+3，当且仅当b =c 时等号成立，D 正确．故选：BCD ．【点睛】关键点点睛：本题考查解三角形的应用，掌握正弦定理、余弦定理、三角形面积公式是解题关键．在用正弦定理解三角形时可能会出现两解的情形，实际上不一定要死记结论，可以按正常情况求得sin B ，然后根据a ,b 的大小关系判断B 角是否有两种情况即可．25．(2021·湖北·高三月考)在△ABC 中，角A ､B ､C 的对边分别为a ,b ,c ，且a =2，sin B =2sin C ，则以下四个命题中正确的是()A ．满足条件的△ABC 不可能是直角三角形B ．△ABC 面积的最大值为43C ．已知点M 是边BC 的中点，则MA ⋅MB的最大值为3D ．当A =2C 时，若O 为△ABC 的内心，则△AOB 的面积为3-13【答案】BD 【分析】对于A ，利用勾股定理的逆定理判断；对于B ，利用圆的方程和三角形的面积公式可得答案；对于C ，由数量积坐标公式即可判断；对于D ，由已知条件可得△ABC 为直角三角形，从而可求出三角形的内切圆半径，从而可得△AOB 的面积．【详解】对于A ，因为sin B =2sin C ，所以由正弦定理得，b =2c ，若b 是直角三角形的斜边，则有a 2+c 2=b 2，即4+c 2=4c 2，得c =233，所以A 错误；对于B ，以BC 的中点为坐标原点，BC 所在的直线为x 轴，建立平面直角坐标系，则B -1,0 ,C 1,0 ，设A (m ,n )，因为b =2c ，所以(m -1)2+n 2=2(m +1)2+n 2，化简得m +53 2+n 2=169，所以点A 在以-53,0 为圆心，43为半径的圆上运动，所以点A 到BC 边的最大距离为43，所以△ABC 面积的最大值为12×2×43=43，所以B 正确；对于C ，因为点A 在以-53,0 为圆心，43为半径的圆上运动，设A (m ,n )则-53-43<m <-53+43，即-3<m <-13，又MA =(m ,n )，MB =(-1,0)，所以MA ⋅MB =-m <3，故C 错；对于D ，由A =2C ，可得B =π-3C ，由sin B =2sin C 得b =2c ，由正弦定理得，b sin B =c sin C ，即2c sin (π-3C )=c sin C ，所以sin3C =2sin C ，化简得sin C cos2C +2cos 2C sin C =2sin C ，因为sin C ≠0，所以化简得cos 2C =34，因为b =2c ，所以B >C ，所以cos C =32，则sin C =12，所以sin B =2sin C =1，所以B =π2，C =π6，A =π3，△ABC 为直角三角形，c =233,b =433，所以△ABC 的内切圆半径为r =122+233-433 =1-33，所以△AOB 的面积为12cr =12×233×1-33 =3-13所以D 正确，故选：BD ．【点睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值．26．(2021·福建·三明一中高三期中)△ABC 中，D 为边AC 上的一点，且满足AD =12DC ，若P 为边BD 上的一点，且满足AP =mAB +nAC m >0,n >0 ，则下列结论正确的是()A ．m +2n =1B ．mn 的最大值为112C ．4m +1n 的最小值为6+42D ．m 2+9n 2的最小值为12【答案】BD【分析】根据平面向量共线定理可知A 错误；根据mn =13m ⋅3n ，利用基本不等式可求得最大值，知B 正确；由4m +1n =4m +1nm +3n ，利用基本不等式可求得最小值，知C 错误；利用基本不等式可得m 2+9n 2≥m +3n 22，知D 正确.【详解】对于A ，AP =mAB +nAC =mAB +3nAD ，∵B ,P ,D 三点共线，∴m +3n =1，A 错误；对于B ，∵m +3n =1，∴mn =13m ⋅3n ≤13×m +3n 22=112(当且仅当m =3n 时取等号)，B 正确；对于C ，4m +1n =4m +1n m +3n =7+12n m +m n ≥7+212n m ⋅m n =7+43(当且仅当12n m =m n，即m =23n 时取等号)，C 错误；对于D ，m 2+9n 2≥m +3n 22=12(当且仅当m =3n 时取等号)，D 正确.故选：BD .【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：一正二定三相等.(1)“一正”就是各项必须为正数；(2)“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，必须把构成积的因式的和转化成定值；(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.27．(2021·广东珠海·高三期末)△ABC 中，D 为AC 上一点且满足AD =13DC ，若P 为BD 上一点，且满足AP =λAB +μAC ，λ、μ为正实数，则下列结论正确的是()A ．λμ的最小值为16B ．λμ的最大值为116C ．1λ+14μ的最大值为16D ．1λ+14μ的最小值为4【答案】BD【分析】先证明结论：若A 、B 、C 三点共线，点O 为直线AB 外一点，且OC =xOA +yOB ，则x +y =1，分析可得λ+4μ=1，利用基本不等式可判断各选项的正误.【详解】先证明结论：若A 、B 、C 三点共线，点O 为直线AB 外一点，且OC =xOA +yOB ，则x +y =1.证明：因为A 、B 、C 三点共线，可设AC =mAB ，即OC -OA =m OB -OA ，所以，OC =1-m OA +mOB =xOA +yOB ，所以，x +y =1.∵λ、μ为正实数，AD =13DC ，即AD =13DC =13AC -AD ，故AC =4AD ，∵AP =λAB +4μAD ，且P 、B 、D 三点共线，∴λ+4μ=1，∴λμ=14⋅λ⋅4μ≤14λ+4μ2 2=116当且仅当λ=12，μ=18时取等号，1λ+14μ=λ+4μ ⋅1λ+14μ =2+4μλ+λ4μ≥2+24μλ⋅λ4μ=4，当且仅当λ=12，μ=18时取等号.故选：BD .28．(2021·全国·高三月考)已知P 为△ABC 所在平面内一点，且AB =BC =4，∠ABC =60°，D 是边AC 的三等分点靠近点C ，AE =EB ，BD 与CE 交于点O ，则()A ．DE =-23AC +12AB B ．S △BOC =3C ．OA +OB +OC =32D ．PA +PB ⋅PC 的最小值为-6【答案】ABD【分析】由题意得AD =23AC ，由向量线性运算知DE =DA +AE =-23AC +12AB ，故A 正确；根据B ，O ，D 三点共线可知，O 是CE 的中点，是BD 靠近D 的四等分点，可推出S △BOC =34S △BCD ，B 正确；根据等边三角形求得CE =23，可知OA +OB +OC =2OE +OC =OE =CE 2=3，C 错误；建立直角坐标系，利用坐标运算可得PA +PB ⋅PC =2x -12 2+2y -32 2-6，可求得最小值-6，D 正确.【详解】解：∵AE =EB ，∴AE =12AB 又∵D 是边AC 的三等分点靠近点C∴AD=23AC ∴DE =DA +AE =-23AC +12AB ，故选项A 正确；设CO =λCE ，则CO =λ2CA +λ2CB =3λ2CD +λ2CB ∵B ，O ，D 三点共线∴3λ2+λ2=1，故λ=12∴O 是CE 的中点∴OE +OC =0又∵B ，O ，D 三点共线，所以O 为BD 靠近D 的四等分点∴S △BOC =34S △BCD =34×13S △ABC =14×34×42=3，故选项B 正确；∵△ABC 是边长为4的等边三角形∴CE =23∴OA +OB +OC =2OE +OC =OE =CE 2=3，故选项C 不正确；以线段BC 的中点为坐标原点，BC 所在直线为x 轴，过点A 且与BC 垂直的直线为y 轴建立平面直角坐标系，则点A 0,23 ，B -2,0 ，C 2,0 ，设点P x ,y ，则PA +PB ⋅PC =2x -122+2y -322-6∴最小值为-6，故选项D 正确.故选：ABD ．29．(2022·河北·高三专题练习)G 是△ABC 的重心，AB =2，AC =4，∠CAB =120°，P 是△ABC 所在平面内的一点，则下列结论正确的是()A ．GA +GB +GC =0 B ．AC 在AB 方向上的投影向量等于AB C ．GB ⋅AG =-43D ．AP ⋅BP +CP 的最小值为-1【答案】AC【分析】根据向量的线性运算结合重心的性质判断A ，根据投影向量的定义判断B ，根据向量的数量积的运算律判断C ，D .【详解】A ：当点G 为△ABC 的重心时，如图所示：四边形BDCG 为平行四边形，根据重心性质可得AG =2GO .则GA +GB +GC =GA +GD =GA +2GO =0 ，∴A 正确，B ：∵AC 在AB 方向上的投影为AC cos120°=4×-12 =-2，∴AC 在AB 方向上的投影向量为-AB ，∴B 错误，C ：∵G 是△ABC 的重心，∴GB =-13BA +BC =-13BA +BA +AC =132AB -AC ，AG =13AB +AC ，∴GB ⋅AG =192AB -AC ⋅AB +AC =192AB 2+AB ⋅AC -AC 2=198+2×4×-12 -16 =-43，∴C 正确，D ：当P 与G 重合时，∵AP ⋅BP +CP =AG ⋅BG +CG =-AG 2=-19AB 2+AC 2+2AB ⋅AC =-43，与AP ⋅BP +CP 的最小值为-1矛盾∴D 错误，故选：AC ．30．(2021·广东·高三月考)已知OA ⋅OB =OA =12OB =1，点P 满足OP =xOA +yOB x ,y ∈R ，则下列说法中正确的是()A ．当x +y =1时，OP 的最小值为1B ．当x 2+y 2=1时，OP =1C ．当x =12时，△ABP 的面积为定值D ．当y =12时，AP =BP 【答案】AD【分析】首先根据数量积的定义求出∠AOB ，再利用余弦定理求出AB 2，即可得到∠OAB =90°，再一一判断即可；【详解】解：因为OA ⋅OB =OA =12OB =1，所以OA =1，OA ⋅OB =1，OB =2，所以cos ∠AOB =OA ⋅OB OA OB=12，因为∠AOB ∈0,π ，所以∠AOB =π3，由余弦定理AB 2=OA 2+OB 2-2OA ⋅OB cos ∠AOB ，所以AB 2=12+22-2×1×2×12=3，所以AB 2+OA 2=OB 2，所以∠OAB =90°，当x +y =1时，点P 在直线AB 上，故OP 的最小值为点O 到直线AB 的距离OA =1，故A 正确；OP 2=OP 2=x 2OA 2+y 2OB 2+2xyOA ⋅OB =x 2+4y 2+2xy ，若OP =1，则x 2+4y 2+2xy =1，故B 错误；当x =12时，点P 在过线段OA 中点且平行于直线OB 的直线上，△ABP 的面积不为定值，故C 错误；当y =12时，点P 在过线段OB 中点且平行于直线OA 的直线(即线段AB 的垂直平分线)上，所以AP =BP ，故D 正确；故选：AD31．(2022·全国·高三专题练习)如图，在边长为2的正方形ABCD 中，M ，N 分别为边BC ，CD 上的两个动点，且BM +DN =MN ．记∠MAB =θ，tan θ=t ，下列说法正确的有()A ．∠MAN 为定值π4B ．MN =2-2t 21+tC ．AN =2cos π4-θ D ．AM ⋅AN 的最小值为82-8【答案】ACD【分析】先根据已知条件将所有线段长用含有t 的式子表示，再对各选项进行分析.对于A 可以转化为∠BAM +∠DAN 的值；对于B 根据已求式直接表示即可；对于C 可以在Rt △DAN 中利用cos ∠DAN 将AN 与AD 联系起来即可；对于D 利用向量的基底法将所求数量积进行转化，再利用基本不等式求解最小值即可.【详解】根据题意可知，BM =AB tan θ=2t ，则CM =2-2t ，不妨设DN =x ，则MN =BM +DN =x +2t ，CN =2-x .在Rt △CNM 中根据勾股定理得CN 2+CM 2=MN 2,即2-x 2+2-2t 2=x +2t 2，解得x =2-2t t +1.所以DN =2-2t t +1,MN =x +2t =2t 2+2t +1.对于A ，在△DAN 中tan ∠DAN =DN DA =1-t 1+t ，所以tan ∠DAN +θ =tan ∠DAN +tan θ1-tan ∠DAN tan θ=1-t 1+t +t 1-1-t 1+t ⋅t =1，根据图形可知0<∠DAN +θ<π2，所以∠DAN +θ=π4，因为∠DAN +θ+∠MAN =π2，所以∠MAN =π4，故A 正确；对于B ，由易求可得MN =x +2t =2t 2+2t +1，故B 错误；对于C ，在Rt △DAN 中，cos ∠DAN =AD AN ，因为∠DAN =π2-∠MAN -θ=π4-θ,AD =2，所以AN =2cos π4-θ ，故C 正确；对于D ，根据图形以及向量运算法则可知AM ⋅AN =AB +BM ⋅AD +DN =AB ⋅AD +AB ⋅DN +BM ⋅AD +BM ⋅DN ，所以AM ⋅AN =0+2×2-2t t +1+2×2t ×1+0=4t 2+4t +1=4t +1 +2t +1-2 ，因为t +1>0,2t +1>0，所以根据基本不等式得4t +1 +2t +1-2 ≥42t +1 ⋅2t +1-2=82-8，当且仅当t +1=2t +1即t =2-1时等号成立，即AM ⋅AN 的最小值为82-8，故D 正确.故选:ACD三、填空题32．(2021·浙江·绍兴一中高三期中)已知平面向量a ,b ,c 满足：a -b =5，向量a 与向量b 的夹角为π3，a -c =23，向量a -c 与向量b -c 的夹角为2π3，则a 2+c 2的最大值为___________.【答案】60【分析】如图所示，设OA =a ,OB =b ,OC =c ,先证明O ,A ,B ,C 四点共圆，求出cos ∠AOC =45，再利用余弦定理和重要不等式求解.【详解】如图所示，设OA =a ,OB =b ,OC =c ,所以a -b =|BA |=5，a -c =|CA |=23,因为向量a 与向量b 的夹角为π3，向量a -c 与向量b -c 的夹角为2π3，所以∠AOB =π3,∠ACB =2π3,所以∠AOB +∠ACB =π，所以O ,A ,B ,C 四点共圆.在△ABC 中，由正弦定理得23sin ∠ABC =5sin 2π3,∴sin ∠ABC =35,所以sin ∠AOC =35,因为∠AOC ∈0,π3 ,∴cos ∠AOC =45.在△AOC 中，由余弦定理得12=a 2+c 2-2|a ||c |×45=a 2+c 2-85|a ||c |，所以12+85|a ||c |=a 2+c 2≤12+45×(a 2+c 2),∴a 2+c 2≤60.所以a 2+c 2的最大值为60.故答案为：6033．(2021·黑龙江大庆·高三月考(理))锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，设△ABC 的面积为S ，若4sin 2A =3sin 2B +2sin 2C ，则S AB⋅AC 的最大值为_______________________.【答案】72【分析】先通过正弦定理角化边得3边关系，代入余弦定理求得角A 余弦值的最小值，进而可得角A 正切值的最大值，再利用三角形面积公式及向量数量积可得目标式的最大值.【详解】解：△ABC 中，4sin 2A =3sin 2B +2sin 2C所以4a 2=3b 2+2c 2，∴cos A =b 2+c 2-a 22bc =b 2+c 2-3b 2+2c 242bc =b 2+2c 28bc ≥2b 2⋅2c 28bc=24，当且仅当b =2c 时等号成立，此时cos A 最小，tan A 最大.此时tan A =1-24 224=7∴S AB ⋅AC=12cb ⋅sin A cb cos A =12tan A =72故答案为：72.34．(2021·江苏·海安高级中学高三月考)已知向量a ，b 是平面内的两个非零向量，则当a +b +a -b 取最大值时，a 与b 夹角为________．【答案】π2##【分析】根据a +b -a -b 2≥0，结合平面向量数量积的运算性质推出a +b +a -b ≤2a 2+b 2，再根据题意以及等号成立条件，即可求解.【详解】∵向量a ，b是平面内的两个非零向量，∴a +b -a -b 2=a +b 2+a -b 2-2a +b a -b ≥0，当且仅当a +b =a -b时取等号，∴a +b 2+a -b 2≥2a +b a -b ，即2a +b 2+2a -b 2≥a +b 2+a -b 2+2a +b a -b =a +b+a -b 2，∴a +b +a -b 2≤2a +b 2+2a -b 2=4a 2+4b 2，即a +b +a -b ≤2a 2+b 2，当且仅当a +b =a -b 时取等号，即a ⋅b =0，则a 与b 夹角为π2，∴当a +b +a -b 取最大值时，a 与b 夹角为π2.故答案为：π2.35．(2021·上海·格致中学高三期中)已知向量a ，b 满足a =2，b =3，则a +b +a -b 的最大值为______.【答案】213【分析】先求得|a +b |=5+4cos θ、|a -b |=5-4cos θ，进而平方，计算即得结论．【详解】设向量a ,b 的夹角为θ，|a +b |=22+32+2×2×3×cos θ=13+12cos θ，|a -b |=22+32-2×2×3×cos θ=13-12cos θ，则a +b | +a -b =13+12cos θ+13-12cos θ，令y =13+12cos θ+13-12cos θ，则y 2=26+2169-144cos 2θ∈36,52 ，据此可得：a +b | +a -bmax =52=213，即a +b | +a -b 的最大值是213故答案为：213.36．(2021·河南·高三月考(理))已知在△ABC 中.AB =3,BC =4,∠ABC =π3，平面内有动点E 满足BE =2AE ，则数量积BC ⋅BE 的最大值是___________.【答案】16【分析】根据题意建立恰当的坐标系，求出E 的轨迹方程，即可求解.【详解】如图，根据已知条件建立恰当的坐标系，各点坐标分别为：A 1,0 ,B 4,0 ,C (2,23)，设动点E x ,y ，则由BE =2AE 得x -4 2+y 2=2x -1 2+y 2，化简得出E 满足x 2+y 2=4，令x =2cos θy =2sin θ .则BC ⋅BE =(-2,23)⋅x -4,y =23y -2x +8=43sin θ-4cos θ+8=8sin θ-π6 +8，所以BC ⋅BE 的最大值为16.故答案为：16.37．(2021·浙江·模拟预测)平面向量a ,b ,c 满足：a ,b 的夹角为π3，|a -b |=|b -c |=|a -c |=23，则b ⋅c 的最大值为_____.【答案】8+47##【分析】设OA =a ，OB =b ，OC =c ，线段BC 的中点为D ，将b ⋅c 转化为OD 2-DC 2=OD 2-3，求出O 的轨迹是过A 、B 且半径为2的圆(除去A ,B 两点)，求出|DE |的最大值，进一步求出|OD |的最大值即可求解.【详解】设OA =a ，OB =b ，OC =c ，则有|AB |=|BC |=|AC |=23，∠AOB =π3，设线段BC 的中点为D ，则DB =-DC ，|DC |=3，则b ⋅c =OB ⋅OC =(OD +DB )⋅(OD +DC )=(OD -DC )⋅(OD +DC )=OD 2-DC 2=OD 2-3，因为∠AOB =π3，|AB |=23，所以△AOB 的外接圆的直径2R =|AB |sin ∠AOB =2332=4，所以点O 的轨迹是过A 、B 且半径为2的圆(除去A ,B 两点)，记圆心为E ，当C 在圆E 上时，|DE |=13×32×23=1，此时|OD |<2+1=3(O 不能与A 重合)，。

高考数学二轮复习小题专项练习（二）平面向量复数与框图理一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分．在每题给出的四个选项中，只要一项为哪一项契合标题要求的．1．[2021·成都第三次诊断性检测]假定双数z ＝a ＋i 1－i(i 是虚数单位)为纯虚数，那么实数a 的值为( )A ．－2B ．－1C ．1D ．22．[2021·银川一中第二次模拟考试]假定两个单位向量a ，b 的夹角为120°，那么|2a ＋b |＝( )A ．2B ．3C. 2D. 33．[2021·合肥市高三第三次教学质量检测]运转如下图的顺序框图，那么输入的s 等于( )A ．－10B ．－3C ．3D ．14．[2021·山东沂水期中]假定双数z ＝i 20201－i2(i 为虚数单位)，那么z 的共轭双数z －＝( )A ．1＋iB ．iC ．－12i D.12i 5．[2021·百校联盟四月联考]设双数z 满足z －i z＝3＋i ，那么z －＝( ) A.15＋25i B ．－15＋25i C.15－25i D ．－15－25i 6．[2021·河南新乡第三次模拟测试]双数z 1，z 2在复平面内对应的点区分为(2，－1)，(0，－1)，那么z 1z 2＋|z 2|＝( )A ．2＋2iB ．2－2iC ．－2＋iD ．－2－i7．[2021·宁夏六盘山高三年级第三次模拟]执行下面的顺序框图，那么输入K 的值为( )A ．99B ．98C ．100D ．1018．[2021·安徽池州一中5月月考]设点O 在△ABC 的外部，且有AD →＝32(OB →＋OC →)，那么△ABC 的面积与△BOC 的面积之比为( )A ．3 B.13C ．2 D.129．[2021·银川一中第二次模拟]20世纪70年代，盛行一种游戏——角谷猜想，规那么如下：恣意写出一个自然数n ，依照以下的规律停止变换：假设n 是个奇数，那么下一步变成3n ＋1；假设n 是个偶数，那么下一步变成n 2，这种游戏的魅力在于无论你写出一个多么庞大的数字，最后肯定会落在谷底，更准确地说是落入底部的循环，而永远也跳不出这个圈子．以下顺序框图就是依据这个游戏而设计的，假设输入的i 值为6，那么输入的n 值为( )A ．5B ．16C ．5或32D ．4或5或3210．[2021·河南洛阳第三次统考]在△ABC 中，点P 满足BP →＝2PC →，过点P 的直线与AB ，AC 所在直线区分交于点M ，N ，假定AM →＝mAB →，AN →＝nAC →(m >0，n >0)，那么m ＋2n 的最小值为( )A ．3B ．4C.83D.10311．[2021·成都毕业班第三次诊断检测]P 为△ABC 所在平面内一点，AB →＋PB →＋PC →＝0，|PC →|＝|PB →|＝|AB →|＝2，那么△PBC 的面积等于( ) A. 3 B ．2 3C ．3 3D ．4 312．[2021·山东日照高三校际结合考试]在△ABC 中，点D 是线段BC 上恣意一点，M是线段AD 的中点，假定存在实数λ和μ，使得BM →＝λAB →＋μAC →，那么λ＋μ＝( )A ．2B ．－2C.12 D ．－12二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分，把答案填在题中的横线上．13．[2021·内蒙古北重三中第九次调研]双数z ＝1＋i ＋i 2＋…＋i 10，那么双数z 在复平面内相应的点为________．14．[2021·江西赣州顺应性考试]|a |＝1，|b |＝2，a ·(b －a )＝0，那么向量a 与b 的夹角为________．15．[2021·哈尔滨三中模拟]我国现代数学著作«孙子算经»中有这样一道算术题：〝今有物不知其数，三三数之剩一，五五数之剩三，七七数之剩六，问物几何？〞人们把此类标题称为〝中国剩余定理〞．假定正整数N 除以正整数m 后的余数为n ，那么记为N ≡n (mod m )，例如10≡2(mod4)．现将该效果以顺序框图给出，执行该顺序框图，那么输入的n 等于________．16．[2021·江苏东台中学质量监测]向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，且a 与b 的夹角的正切值为－12，b 与c 的夹角的正切值为－13，|b |＝1，那么a ·c 的值为________．。

形如AD xAB yAC =+条件的应用一、基础知识1、平面向量基本定理：若平面上两个向量12,e e 不共线，则对平面上的任一向量a ，均存在唯一确定的()12,λλ，（其中12,R λλ∈），使得1122a e e λλ=+。

其中12,e e 称为平面向量的一组基底。

（1）不共线的向量即可作为一组基底表示所有的向量（2）唯一性：若1122a e e λλ=+且1122a e e μμ=+，则1122λμλμ=⎧⎨=⎩2、“爪”字型图及性质：（1）已知,AB AC 为不共线的两个向量，则对于向量AD ，必存在,x y ，使得AD xAB yAC =+。

则：当01x y <+<时，则D 与A 位于BC 同侧，且D 位于A 与BC 之间 当1x y +>时，则D 与A 位于BC 两侧当1x y +=时，若0,0x y >>，则D 在线段BC 上、若0xy <，则D 在线段BC 延长线上 （2）若D 在线段BC 上，且::BD CD m n =，则n mAD AB AC m n m n=+++ 3、AD xAB yAC =+中,x y 确定方法（1）在几何图形中通过三点共线即可考虑使用“爪”字型图完成向量的表示，进而确定,x y （2）若题目中某些向量的数量积已知，则对于向量方程AD xAB yAC =+，可考虑两边对同一向量作数量积运算，从而得到关于,x y 的方程，再进行求解（3）若所给图形比较特殊（矩形，特殊梯形等），则可通过建系将向量坐标化，从而得到关于,x y 的方程，再进行求解B二、典型例题【例1-1】在ABC 中，D 为BC 边的中点，H 为AD 的中点，过点H 作一直线MN 分别交,AB AC 于点,M N ，若,AM xAB AN yAC ==，则4x y +的最小值是（ ） A.94B. 2C. 3D. 1 思路：若要求出4x y +的最值，则需从条件中得到,x y 的关系。

北大附中2014届高考数学二轮复习专题精品训练：平面向量本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题 (本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在平行四边形ABCD 中,E 、F 分别是边CD 和BC 的中点，若AC=AE+AF λμ，其中λ、μ∈R ，则λ+μ=( ) A ．1B ．23C ．43D ．83 【答案】C2．若非零不共线向量a 、b 满足|a －b|＝|b|，则下列结论正确的个数是( ) ①向量a 、b 的夹角恒为锐角；②2|b|2>a ·b ； ③|2b|>|a －2b|； ④|2a|<|2a －b|.A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】C 3．向量a,b 满足，则向量a 与b 的夹角为( )A ．45°B ．60°C ．90°D ．120°【答案】C4．已知,,),3,1(→→→→→→→+=-=-=b a OB b a OA a 若AOB ∆是以O 为直角顶点的等腰直角三角形，则AOB ∆的面积为( ) A ．3 B ．2C ．22D ．4【答案】D5．1已知b a b a k b a 3),2,3(),2,1(-+-==与垂直时k 值为( ) A ．17B ．18C ．19D ．20【答案】C6．已知,,a b c为非零的平面向量. 甲：则( )A ． 甲是乙的充分条件但不是必要条件B ． 甲是乙的必要条件但不是充分条件C ． 甲是乙的充要条件D ． 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】Ｂ7．设OA = a ，OB = b ， OC = c ，当(),λμλμ=+∈R c a b ，且1λμ+=时，点C 在( ) A ．线段AB 上B ．直线AB 上C ．直线AB 上，但除去A 点D ．直线AB 上，但除去B 点【答案】B8．下列命题正确的是( )A ．若a b a c ⋅=⋅ ，则b c = ；B ． a b ⊥ 的充要条件是0a b ⋅=C ． 若a 与b 的夹角是锐角的必要不充分条件是0a b ⋅>； D ． //a b 的充要条件是a b λ=【答案】C9．已知向量()21=，a ，()2x =-，b ，若a ∥b ，则a +b 等于( ) A ．()2,1-- B ．()2,1C ．()3,1-D ．()3,1-【答案】A10．对于直角坐标系内任意两点P 1(11,y x )、P 2(22,y x ) , 定义运算“⊗”如下：P 1⊗P 2=(11,y x )⊗(22,y x )=).,(12212121y x y x y y x x +-若点M 是与坐标原点O 相异的点，且M ⊗(1,1)=N ，则∠MON 的大小为( )A ． 90ºB ． 60ºC ．45ºD ． 30º【答案】C11．已知向量a =(3,4),b =(2,-1),如果向量b x a +与b -垂直，则x 的值为( )A ．52-B ．323C ． 233D ．2【答案】A 12．若，则( ) A ．B ．C ．D ．【答案】B第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题 (本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．若向量b a 、的夹角为150，4,3==b a ，则+a 2【答案】214．已知D 为ABC ∆的边BC 的中点，ABC ∆所在平面内有一点P ，满足0PA BP CP ++=，则||||AP PD 的值为 。

限时规范训练二 平面向量、复数运算限时45分钟，实际用时分值80分，实际得分一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分)1．设i 是虚数单位，如果复数a ＋i2－i的实部与虚部相等，那么实数a 的值为( )A.13 B ．－13C ．3D ．－3解析：选C.a ＋i 2－i ＝2a －1＋a ＋5，由题意知2a －1＝a ＋2，解之得a ＝3.2．若复数z 满足(1＋2i)z ＝(1－i)，则|z |＝( ) A.25 B.35 C.105D.10解析：选C.z ＝1－i 1＋2i ＝－1－3i 5⇒|z |＝105.3．已知复数z ＝1＋i(i 是虚数单位)，则2z－z 2的共轭复数是( )A ．－1＋3iB ．1＋3iC ．1－3iD ．－1－3i 解析：选B.2z －z 2＝21＋i －(1＋i)2＝－＋－－2i ＝1－i －2i ＝1－3i ，其共轭复数是1＋3i ，故选B.4．若z ＝(a －2)＋a i 为纯虚数，其中a ∈R ，则a ＋i 71＋a i＝( )A ．iB ．1C ．－iD ．－1解析：选C.∵z 为纯虚数，∴a ＝2，∴a ＋i 71＋a i ＝2－i 1＋2i＝2－－2i ＋2－2＝－3i 3＝－i.5．已知复数z ＝11－i ，则z －|z |对应的点所在的象限为( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 解析：选B.∵复数z ＝11－i＝1＋i －＋＝12＋12i ，∴z －|z |＝12＋12i －⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝1－22＋12i ，对应的点⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22，12所在的象限为第二象限．故选B.6．若复数z 满足z (1－i)＝|1－i|＋i ，则z 的实部为( ) A.2－12B.2－1C ．1D.2＋12解析：选A.由z (1－i)＝|1－i|＋i ，得z ＝2＋i1－i＝2＋＋－＋＝2－12＋2＋12i ，z 的实部为2－12，故选A. 7．已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0.若存在实数m ，使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m ＝( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5解析：选B.由MA →＋MB →＋MC →＝0知，点M 为△ABC 的重心，设点D 为边BC 的中点，则AM →＝23AD →＝23×12(AB →＋AC →)＝13(AB →＋AC →)，所以AB →＋AC →＝3AM →，故m ＝3，故选B. 8．已知向量a ＝(3，－2)，b ＝(x ，y －1)且a ∥b ，若x ，y 均为正数，则3x ＋2y的最小值是( )A ．24B ．8 C.83D.53解析：选B.∵a ∥b ，∴－2x －3(y －1)＝0，即2x ＋3y ＝3， ∴3x ＋2y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋2y ×13(2x ＋3y )＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋9y x ＋4x y ＋6≥13⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋29y x·4x y ＝8，当且仅当2x ＝3y＝32时，等号成立． ∴3x ＋2y的最小值是8.故选B.9．在平行四边形ABCD 中，AC ＝5，BD ＝4，则AB →·BC →＝( ) A.414B ．－414C.94D ．－94解析：选C.因为BD →2＝(AD →－AB →)2＝AD →2＋AB →2－2AD →·AB →，AC →2＝(AD →＋AB →)2＝AD →2＋AB →2＋2AD →·AB →，所以AC →2－BD →2＝4AD →·AB →，∴AD →·AB →＝AB →·BC →＝94.10．在△ABC 中，已知向量AB →＝(2,2)，|AC →|＝2，AB →·AC →＝－4，则△ABC 的面积为( ) A ．4 B ．5 C ．2D ．3解析：选C.∵AB →＝(2,2)，∴|AB →|＝22＋22＝2 2. ∵AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|cos A ＝22×2cos A ＝－4， ∴cos A ＝－22，∵0＜A ＜π，∴sin A ＝22， ∴S △ABC ＝12|AB →|·|AC →|sin A ＝2.故选C.11．△ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为1,2AO →＝AB →＋AC →且|OA →|＝|AB →|，则向量BA →在BC →方向上的投影为( )A.12B.32 C ．－12D ．－32解析：选A.由2AO →＝AB →＋AC →可知O 是BC 的中点，即BC 为△ABC 外接圆的直径，所以|OA →|＝|OB →|＝|OC →|，由题意知|OA →|＝|AB →|＝1，故△OAB 为等边三角形，所以∠ABC ＝60°.所以向量BA →在BC →方向上的投影为|BA →|cos∠ABC ＝1×cos 60°＝12.故选A.12．如图，菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝60°，M 为DC 的中点，若N 为菱形内任意一点(含边界)，则AM →·AN →的最大值为( )A ．3B ．2 3C ．6D ．9解析：选D.由平面向量的数量积的几何意义知，AM →·AN →等于AM →与AN →在AM →方向上的投影之积，所以(AM →·AN →)max ＝AM →·AC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB →＋AD →·(AB →＋AD →)＝12AB 2→＋AD 2→＋32AB →·AD →＝9. 二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分) 13．已知复数z ＝3＋i －32，z 是z 的共轭复数，则z ·z ＝________.解析：∵z ＝3＋i －32＝3＋i－2－23i ＝3＋i －＋3＝3＋－3－＋3－3＝23－2i －8＝－34＋14i ，∴z ·z ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＋14i ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34－14i ＝316＋116＝14. 答案：1414．已知向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝1，且对一切实数x ，|a ＋x b |≥|a ＋b |恒成立，则a ，b 夹角的大小为________．解析：|a ＋x b |≥|a ＋b |恒成立⇒a 2＋2x a ·b ＋x 2b 2≥a 2＋2a·b ＋b 2恒成立⇒x 2＋2a ·b x －1－2a ·b ≥0恒成立，∴Δ＝4(a·b )2－4(－1－2a·b )≤0⇒(a·b ＋1)2≤0，∴a·b ＝－1，∴cos〈a ，b 〉＝a·b |a |·|b |＝－12，又〈a ，b 〉∈[0，π]，故a 与b 的夹角的大小为2π3.答案：23π15．已知在△ABC 中，AB ＝4，AC ＝6，BC ＝7，其外接圆的圆心为O ，则AO →·BC →＝________.解析：如图，取BC 的中点M ，连OM ，AM ，则AO →＝AM →＋MO →， ∴AO →·BC →＝(AM →＋MO →)·BC →.∵O 为△ABC 的外心，∴OM ⊥BC ，即OM →·BC →＝0，∴AO →·BC →＝AM →·BC →＝12(AB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝12(AC 2→－AB 2→)＝12(62－42)＝12×20＝10.答案：1016．已知非零向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝|a －b |，〈c －a ，c －b 〉＝2π3，则|c ||a |的最大值为________．解析：设OA →＝a ，OB →＝b ，则BA →＝a －b . ∵非零向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝|a －b |， ∴△OAB 是等边三角形． 设OC →＝c ，则AC →＝c －a ，BC →＝c －b .∵〈c －a ，c －b 〉＝2π3，∴点C 在△ABC 的外接圆上，∴当OC 为△ABC 的外接圆的直径时，|c ||a |取得最大值，为1cos 30°＝233.答案：233。

专题3 第3讲 平面向量一、选择题1．(文)(2011·广东文，3)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(1,0)，c ＝(3,4)．若λ为实数，(a ＋λb )∥c ，则λ＝( )A.14 B.12 C ．1 D ．2[答案] B[解析] a ＋λb ＝(1,2)＋λ(1,0)＝(1＋λ，2)，因为(a ＋λb )∥c ，所以4＋4λ－6＝0，所以λ＝12. (理)(2011·广东理，3)若向量a ，b ，c 满足a ∥b ，且a ⊥c ，则c ·(a ＋2b )＝( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．0 [答案] D[解析] ∵a ∥b ，∴可设b ＝λa (λ∈R )， ∴c ·(a ＋2b )＝c ·(a ＋2λa )＝(2λ＋1)c ·a ＝0，选D.2．(2011·大纲全国卷文，3)设向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1，a ·b ＝－12，则|a ＋2b |＝( )A. 2B. 3C. 5D.7 [答案] B[解析] |a ＋2b |＝(a ＋2b )2＝a 2＋4a ·b ＋4b 2 ＝1＋4×(－12)＋4×1＝ 3.3．(2011·四川理，4)如图，正六边形ABCDEF 中，BA →＋CD →＋EF →＝( )A ．0 B.BE → C.AD → D.CF →[答案] D[解析] 原式＝BA →＋AF →＋EF →＝BF →＋CB →＝CF →，故选D.4．(2011·湖北文，2)若向量a ＝(1,2)，b ＝(1，－1)，则2a ＋b 与a －b 的夹角等于( ) A ．－π4B.π6C.π4D.3π4[答案] C[解析] ∵a ＝(1,2)，b ＝(1，－1)，则2a ＋b ＝(3,3)，a －b ＝(0,3)，则cos<2a ＋b ，a －b >＝3×0＋932·3＝22，∴ 2a ＋b ，a －b ＝π4.5．(2011·重庆文，5)已知向量a ＝(1，k )，b ＝(2,2)，且a ＋b 与a 共线，那么a ·b 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 [答案] D[解析] ∵a ＝(1，k )，b ＝(2,2) ∴a ＋b ＝(3，k ＋2) ∵(a ＋b )∥a∴1·(k ＋2)＝3k ，∴k ＝1，∴a ＝(1,1)， ∴a ·b ＝2＋2＝4.6．(2010·安徽理，3)设向量a ＝(1,0)，b ＝(12，12)，则下列结论中正确的是( )A ．|a |＝|b |B ．a ·b ＝22C ．a －b 与b 垂直D ．a ∥b[答案] C[解析] a －b ＝(12，－12)∴(a －b )·b ＝(12，－12)·(12，12)＝0.即a －b 与b 垂直，故选C.7．设△ABC 的三个内角为A 、B 、C 向量m ＝(3sin A ，sin B )，n ＝(cos B ，3cos A )，若m·n ＝1＋cos(A ＋B )，则C ＝( )A.π6 B.π3 C.2π3D.5π6[答案] C[解析] ∵m·n ＝3sin A cos B ＋3cos A sin B ＝3sin(A ＋B )＝1＋cos(A ＋B )，∴3sin(A ＋B )－cos(A ＋B )＝3sin C ＋cos C ＝2sin(π6＋C )＝1.∴sin(π6＋C )＝12，∵0<C <π，∴π6＋C ＝56π或π6＋C ＝π6舍去)，∴C ＝23π. 8．(2011·辽宁理，10)若a ，b ，c 均为单位向量，且a ·b ＝0，(a －c )·(b －c )≤0，则|a ＋b －c |的最大值为( )A.2－1 B ．1 C. 2 D ．2[答案] B[解析] |a ＋b －c |2＝|a |2＋|b |2＋|c |2＋2a ·b －2a ·c －2b ·c ＝3－2(a ·c ＋b ·c ) (a －c )·(b －c )＝a ·b －a ·c －b ·c ＋|c |2＝1－(a ·c ＋b ·c )≤0，∴|a ＋b －c |2≤1，∴|a ＋b －c |max ＝1. 二、填空题9．(2011·临沂模拟)已知向量a ＝(3,5)，b ＝(2,4)，c ＝(－3，－2)，a ＋λb 与c 垂直，则实数λ＝________.[答案] －1914[解析] a ＋λb ＝(3,5)＋(2λ，4λ)＝(2λ＋3,4λ＋5)， ∵(a ＋λb )⊥c ，∴－3(2λ＋3)－2(4λ＋5)＝0， 解得λ＝－1914.10．(2011·北京理，10)已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0，－1)，c ＝(k ，3)，若a －2b 与c 共线，则k ＝________.[答案] 1[解析] 依题意：a －2b ＝(3，1)－2(0，－1)＝(3，3)，又与c ＝(k ，3)共线，∴k ＝1.11．(2011·湖南文，13)设向量a ，b 满足|a |＝25，b ＝(2,1)，且a 与b 的方向相反，则a 的坐标为________．[答案] (－4，－2)[解析] 由a 与b 方向相反可设a ＝λ(2,1)，λ<0，所以由|a |＝25＝5|λ|，知λ＝－2，所以a ＝(－4，－2)．12．(文)(2011·江西文，11)已知两个单位向量e 1，e 2的夹角为π3，若向量b 1＝e 1－2e 2，b 2＝3e 1＋4e 2，则b 1·b 2＝________.[答案] －6[解析] b 1·b 2＝(e 1－2e 2)·(3e 1＋4e 2)·(3e 1＋4e 2)＝3|e 1|2－2e 1·e 2－8|e 1|2又∵〈e 1，e 2〉＝π3，|e 1|＝1，|e 2|＝1，∴b 1·b 2＝3－2cos π38＝3－1－8＝－6.(理)(2011·江西理，11)已知|a |＝|b |＝2，(a ＋2b )·(a －b )＝－2，则a 与b 的夹角为________． [答案] π3[解析] (a ＋2b )·(a －b )＝－2，即|a |2＋a ·b －2|b |2＝－2， ∴22＋a ·b －2×22＝－2，a ·b ＝2，又cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝22×2＝12，〈a ，b 〉∈[0，π]，所以a 与b 的夹角为π3三、解答题13．(2011·海口调研)已知a ＝(sin x ，－cos x )，b ＝(cos x ，3cos x )，函数f (x )＝a ·b ＋32. (1)求f (x )的最小正周期，并求其图像对称中心的坐标； (2)当0≤x ≤π2时，求函数f (x )的值域．[解析] (1)f (x )＝sin x cos x －3cos 2x ＋32＝12sin2x －32(cos2x ＋1)＋32 ＝12cos2x －32cos2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3.所以f (x )的最小正周期为π. 令sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＝0，得2x －π3＝k π，∴x ＝k 2π＋π6，k ∈Z .故所求对称中心的坐标为⎝⎛⎭⎫k 2π＋π6，0，(k ∈Z )．(2)∵0≤x ≤π2，∴－π3≤2x －π3≤2π3.∴－32≤sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3≤1，即f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤－32，1. 14．已知锐角△ABC 三个内角为A ，B ，C ，向量p ＝(cos A ＋sin A,2－2sin A )，向量q ＝(cos A －sin A,1＋sin A )，且p ⊥q .(1)求角A ；(2)设AC ＝3，sin 2A ＋sin 2B ＝sin 2C ，求△ABC 的面积． [解析] (1)∵p ⊥q ，∴(cos A ＋sin A )(cos A －sin A )＋(2－2sin A )(1＋sin A )＝0， ∴sin 2A ＝34.而A 为锐角，所以sin A ＝32⇒A ＝π3.(2)由正弦定理得a 2＋b 2＝c 2， ∴△ABC 是直角三角形，且∠C ＝π2.∴BC ＝AC ×tan π3＝3×3＝3.∴S △ABC ＝12AC ·BC ＝12×3×3＝332.15．(2011·山东青岛二模)设角A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，已知向量m ＝(sin A ＋sin C ，sin B －sin A )，n ＝(sin A －sin C ，sin B )，且m ⊥n .(1)求角C 的大小；(2)若向量s ＝(0，－1)，t ＝⎝⎛⎭⎫cos A ，2cos 2B 2，试求|s ＋t |的取值范围．[解析] (1)由题意得m ·n ＝(sin 2A －sin 2C )＋(sin 2B －sin A sin B )＝0，即sin 2C ＝sin 2A ＋sin 2B －sin A sin B ，由正弦定理得c 2＝a 2＋b 2－ab ，再由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12.因为0<C <π，所以C ＝π3.(2)因为s ＋t ＝⎝⎛⎭⎫cos A ，2cos 2B 2－1＝(cos A ，cos B )， 所以|s ＋t |2＝cos 2A ＋cos 2B ＝cos 2A ＋cos 2⎝⎛⎭⎫2π3－A＝1＋cos2A 2＋1＋cos ⎝⎛⎭⎫4π3－2A 2＝14cos2A －34sin2A ＋1＝－12sin ⎝⎛⎭⎫2A －π6＋1.因为0<A <2π3，所以－π6<2A －π6<7π6，则－12<sin ⎝⎛⎭⎫2A －π6≤1，所以12≤|s ＋t |2<54，故22≤|s ＋t |<52.。

2014高三数学：平面向量的综合应用典型例题1．利用向量的坐标运算，解决两直线的夹角，判定两直线平行、垂直问题 例1、若非零向量b a ,满足||||b a =.0)2(=⋅+b b a ,则b a ,的夹角为（）A ．30oB ．60oC ．120oD ．150o1、非零向量a .b .c 满足||||||c b a ==,c b a =+,则向量a .b 夹角为（）A ．150°B ．120°C ．60°D ．30°2 ．已知向量(1,cos ),(1,2cos )θθ=-=a b 且⊥ab ,则cos 2θ等于（ ）A ．1-B ．0C ．12D ．223已知平面向量a ()2m =-,,b ()13=,,且()-⊥a b b ,则实数m 的值为（ ）A ．23-B ．23C ．43D ．634．设非零向量a,b 的夹角为θ,记θθsin cos ),(b a b a f -=.若21,e e 均为单位向量,且2321=⋅e e ,则向量),(21e e f 与),(12e e f -的夹角为____rad.5．已知A,B,C 是函数x e y =图象上的三点,横坐标分别为1,,1+-t t t .(1)当t=1时,求实数x,y 的值,使得OC y OA x OB +=,其中O 为坐标原点;(2)①证明:对任意实数t,A,B,C 三点不在同一条直线上;②问△ABC 是锐角三角形、直角三角形、还是钝角三角形?说明理由.6 ．已知O 是ABC ∆的外心,10,6==AC AB ,若AC y AB x AO ⋅+⋅=且5102=+y x ,则=∠BAC cos _____________.7、在ABC ∆中,若22()||5CA CB AB AB +⋅=,则tan tan AB= ________. 【答案】73 8、已知O 为△ABC 的外心,210||,16||==AC AB , 若AC y AB x AO +=,且32x+25y=25,则||OA →==_____.【答案】109、已知)2,3(),2,(x AC x x AB -==,若∠BAC 是钝角,则x 的取值范围是___________2．利用向量的坐标运算，解决有关线段的长度问题例2、已知非零向量a ,b 满足|a |=|a +b |=1,a 与b 夹角为120°,则向量b 的模为________.1、在平面直角坐标系中,O 是坐标原点,()2,0A,()0,1B ,则点集{},1,,P OP OA OB R λμλμλμ=++≤∈所表示的平面区域的面积是________.【答案】42、已知ABC ∆是边长为4的正三角形,D 、P 是ABC ∆内部两点,且满足11(),48AD AB AC AP AD BC =+=+,则APD ∆的面积为__________.【答案】343、若向量→a 、→b 满足|→a |=1,|→b |=2,且→a 与→b 的夹角为π3,则|→a +2→b |=_______ 【答案】 214、已知向量a =(2,1),a ·b =10,|a +b |52=,则|b |=__________【答案】55、已知在等边三角形ABC 中,点P 为线段AB 上一点,且(01)AP AB =≤≤λλ.(1)若等边三角形边长为6,且13=λ,求CP ;(2)若CP AB PA PB ⋅≥⋅,求实数λ的取值范围. 3．利用向量的坐标运算，用已知向量表示未知向量 例3、已知点O 是，，内的一点，090BOC 150AOB =∠=∠∆ABC ,,,OA c OC b OB a ===设且,3,1,2===c b a 试用.,c b a 表示和1、如图，，的夹角为与，的夹角为与5OC ,30OA OC 120OB ,100===OA OB OA 用OB OA ，表示.OC 2、如图,在△OAB 中,已知P 为线段AB 上的一点,.OP x OA y OB =⋅+⋅(1)若BP PA =,求x ,y 的值;(2)若3BP PA =,||4OA =,||2OB =,且OA 与OB 的夹角为60°时,求OP AB ⋅ 的值.4．利用向量的数量积问题例题4、是圆C:22(1)(3)1x y -+-=上的一个动点,A(3,1),则OP OA 的最小值为______【答案】2(3-1) 1、直角三角形ABC 中,90,2ACB AC BC ︒∠===, P 是斜边AB 上的一个三等分点,则CP CB CP CA ⋅+⋅=__.【答案】41、在ABC ∆中,已知||||||2AB BC CA ===,则向量AB BC =（ ）A ．2B ．2-C ．23D．23-2、如图, 在等腰三角形ABC 中, 底边2=BC , DC AD =, 12AE EB =, 若12BD AC ⋅=-, 则AB CE ⋅=_____.【答案】3、在ABC ∆中,6BC=,BC 边上的高为2,则AB AC ⋅的最小值为________.【答案】5-4、在ABC ∆中,90=C 且3CA CB ==,点M 满足,2MA BM =则CB CM ⋅等于（ ）A ．2B ．3C ．4D ．65、若等腰梯形ABCD 中,//AB CD ,3AB =,2BC =,45ABC ∠=,则AC BD ⋅ 的值为________【答案】36、在ABC ∆中,已知a .b .c 成等比数列,且33,cos 4a c B +==,则AB BC ⋅=（B ） A ．32B ．32-C ．3D ．-37、如图,在正方形ABCD 中,已知2AB =,M 为BC 的中点,若N 为正方形 内(含边界)任意一点,则AM AN ⋅的取值范围是______.）在Rt ΔAB C 中,C ∠=90.,若ΔABC 所在平面内的一点P 满足过0=++PC PB PA λ(I)当λ= 1时,222||||||PC PB PA +=_______(II) 222||||||PC PB PA +的最小值为______.【答案】(1)5;(2)1. 8、在△ABC 中,O 是中线AM 上一个动点,若AM=4,则的最小值是（B ） A ．-4 B ．-8C ．-10D ．-125．利用向量的数量积解决有关系数问题例5、如图,在△ABC 中,D,E 分别为边BC,AC 的中点. F 在边AB 上,且,则x+y的值为____【答案】521、向量b n a m b a --==若),3,2(),2,1(与b a 2+共线(其中,,0mm n R n n∈≠且）则等于_【答案】21-2、已知O 为△ABC 的外心,,120,2,20=∠==BAC aAC a AB 若AC AB AO βα+=,则βα+的最小值为____ 【答案】23、已知O 是锐角三角形△ABC 的外接圆的圆心,且,A θ∠=若cos cos 2,sin sin B CAB AC mAO C B+=则m =（ ）A ．sin θB ．cos θC ．tan θD ．不能确定4、已知ABC 和点M 满足0MA MB MC ++=.若存在实数m 使得AB AC mAM +=成立,则m = （ ）A ．2B ．3C ．4D ．55、如图,AB 是圆O 的直径,C D 、是圆O 上的点,60CBA ∠=,45ABD ∠=,CD xOA yBC =+,则x y +的值为 （ ）A ．33-B ．13-C ．23D ．36、已知向量(3,4)a =, (2,1)b =-,如果向量a xb -与b 垂直,则x 的值为（ C ）A ．233B ．323C ．25D ．25-COAB D7、已知向量AB 与AC 的夹角为0120,且|AB →|=3, |AC →|=2,若λ=+AP AB AC ,且⊥AP BC ,则实数λ的值为__________.【答案】7128、已知△ABC 中,点D 是BC 的中点,过点D 的直线分别交直线AB.AC 于E 、F 两点,若()0>=λλAE AB ,AF AC μ=()0>μ,则14λμ+的最小值是________【答案】29 9、设21,e e 为单位向量,非零向量R y x e y e x b ∈+=,,21,若21,e e 的夹角为6π,则||||b x 的最大值等于________.6.利用向量的数量积解决与直线相关问题.例题6、已知A,B,C 是函数x e y =图象上的三点,横坐标分别为1,,1+-t t t .(1)当t=1时,求实数x,y 的值,使得OC y OA x OB +=,其中O 为坐标原点;(2)①证明:对任意实数t,A,B,C 三点不在同一条直线上;②问△ABC 是锐角三角形、直角三角形、还是钝角三角形?说明理由.1、将函数y =2x 的图像按向量a →平移后得到函数y =2x +6的图像,给出以下四个命题:①a →的坐标可以是(-3.0);②a →的坐标可以是(0,6);③a →的坐标可以是(-3,0)或(0,6);④a →的坐标可以有无数种情况,其中真命题的个数是（ D ）A ．1 B ．2 C ．3 D ．42、是平面上一定点,A ．B ．C 是平面上不共线的三个点,动点P 满足).,0[)||||(+∞∈⋅++=λλAC ACAB AB OA OP 则P 的轨迹一定通过△ABC 的（ B ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心3设P 是△ABC 所在平面内的一点,2BC BA BP +=,则（B ）A ．0PA PB += B ．0PC PA += C ．0PB PC +=D ．0PA PB PC ++=4、P 是ABC ∆所在平面内一点,若PB PA CB +=λ,其中R ∈λ,则P 点一定在（B ）(A)ABC ∆内部 (B)AC 边所在直线上 (C)AB 边所在直线上 (D)BC 边所在直线上7.利用向量的数量积解决与三角函数的综合.例题7、设向量(2,sin ),(1,cos ),a b θθθ==为锐角.(1)若136a b ⋅=,求sin cos θθ+的值;(2)若//a b ,求sin(2)3πθ+的值.1、已知向量(cos ,sin ),(cos ,sin ),(1,0)a a a b c ββ===-(Ⅰ)求向量b c +的长度的最大值;(Ⅱ)设a 4π=,且()a b c ⊥+,求cos β的值.2、已知向量a →=(cos3x 2,sin 3x 2),b →=(cos x 2,―sin x 2),且x ∈[0,π2].(1) 已知a →∥b →,求x;(2)若f(x)=a →·b →―2λ|a →+b →|+2λ的最小值等于―3,求λ的值.3、设(cos ,(1)sin ),(cos ,sin ),(0,0)2a b παλαββλαβ=-=><<<是平面上的两个向量,若向量a b +与a b -互相垂直.(Ⅰ)求实数λ的值;(Ⅱ)若45a b ⋅=,且4tan 3β=,求tan α的值. 4、设平面向量)23,21(),1,3(=-=b a ,若存在实数)0(≠m m 和角θ,其中)2,2(ππθ-∈,使向量θθtan ,)3(tan 2⋅+-=-+=b a m d b a c ,且d c ⊥.(Ⅰ)求)(θf m =的关系式;(Ⅱ)若]3,6[ππθ-∈,求)(θf 的最小值,并求出此时的θ值. 8.利用向量的新型的综合.例题8、已知两个非零向量a 与b ,定义sin θ⨯=a b a b ,其中θ为a 与b 的夹角. 若()3,4-a =, ()0,2b =,则⨯a b 的值为 （ D ）A ．8- B ．6- C ．8D ．61、定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下:对任意的a=(m,n),b=(p,q),令a ⊙b= mq-np,下面说法错误的是（ ）A ．若a 与b 共线,则a ⊙b =0 B ．a ⊙b =b ⊙a C ．对任意的λ∈R,有(λa)⊙b =λ(a ⊙b)D ．(a ⊙b)2+(a·b)2= |a|2|b|22、已知向量a=(x +z,3),b=(2,y-z),且a ⊥ b.若x ,y 满足不等式1x y +≤,则z 的取值范围为 （ D ）A ．[-2,2]B ．[-2,3]C ．[-3,2]D ．[-3,3]3、称(,)||d a b a b =-为两个向量,a b 间的距离.若a b 、满足:①||=1;b ②a b ≠; ③对任意的,t R ∈恒有(,)(,)d a tb d a b ≥,则（ B ）A ．()()a b a b +⊥-B ．()b a b ⊥-C ．a b ⊥D ．()a a b ⊥-4、以下命题:①若||||||a b a b ⋅=⋅,则a ∥b ;②a =(-1,1)在b =(3,4)方向上的投影为15;③若△ABC 中,a=5,b =8,c =7,则BC ·CA =20;④若非零向量a 、b 满足||||a b b +=,则|2||2|b a b >+.其中所有真命题的标号是______________【答案】①②④5、已知)2,3(),2,(x AC x x AB -==,若∠BAC 是钝角,则x 的取值范围是___________【答案】解析:不共线与且AC AB AC AB 0<⋅可得⎪⎭⎫⎝⎛+∞⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-∈,340,3131,x 6、定义*a b 是向量a 和b 的“向量积”,它的长度*sin a b a b α=,其中α为向量a 和b 的夹角,若()2,0u =,(1,3u v -=-,则*()u u v +=_____________.【答案】23【平面向量的综合应用】一、选择题1.设A 、B 、C 、D 四点坐标依次是(－1，0)，(0，2)，(4，3)，(3，1)，则四边形ABCD 为( ) A.正方形B.矩形C.菱形D.平行四边形2.已知△ABC 中，AB =a ，AC =b ，a ·b <0，S △ABC =415,|a |=3,|b |=5,则a 与b 的夹角是( ) A.30°B.－150°C.150°D.30°或150°二、填空题3.将二次函数y =x 2的图象按向量a 平移后得到的图象与一次函数y =2x －5的图象只有一个公共点(3，1)，则向量a =_________.4.等腰△ABC 和等腰Rt △ABD 有公共的底边AB ，它们所在的平面成60°角，若AB =16 cm,AC =17 cm,则CD =_________.三、解答题5.如图，在△ABC 中，设AB =a ，AC =b ，AP =c , AD =λa ,(0<λ<1),AE =μb (0<μ<1),试用向量a ，b 表示c .6.正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面边长为a ,侧棱长为2a . (1)建立适当的坐标系，并写出A 、B 、A 1、C 1的坐标； (2)求AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角.7.已知两点M (－1，0)，N (1，0)，且点P 使NP NM PN PM MN MP ⋅⋅⋅,,成公差小于零的等差数列. (1)点P 的轨迹是什么曲线？(2)若点P 坐标为(x 0,y 0),Q 为PM 与PN 的夹角，求tan θ.8.已知E 、F 、G 、H 分别是空间四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 的中点. (1)用向量法证明E 、F 、G 、H 四点共面； (2)用向量法证明：BD ∥平面EFGH ；(3)设M 是EG 和FH 的交点，求证：对空间任一点O ，有)(41OD OC OB OA OM +++=.参考答案一、1.解析：AB =(1，2），DC =(1，2），∴AB =DC ，∴AB ∥DC ，又线段AB 与线段DC 无公共点，∴AB ∥DC 且|AB |=|DC |，∴ABCD 是平行四边形，又|AB |=5，AC =(5，3），|AC |=34，∴|AB |≠|AC },∴ABCD不是菱形，更不是正方形；又BC =(4，1），∴1·4+2·1=6≠0,∴AB 不垂直于BC ，∴ABCD 也不是矩形，故选D. 答案：D2.解析：∵21415=·3·5sin α得sin α=21,则α=30°或α=150°. 又∵a ·b ＜0,∴α=150°. 答案：C二、3.(2,0) 4.13 cm三、5.解：∵BP 与BE 共线，∴BP =m BE =m (AE －AB )=m (μb －a ), ∴AP =AB +BP =a +m (μb －a )=(1－m )a +m μb①又CP 与CD 共线，∴CP =n CD =n (AD －AC )=n (λa －b ), ∴AP =AC +CP =b +n (λa －b )=n λa +(1－n )b②由①②，得(1－m ）a +μm b =λn a +(1－n )b .∵a 与b 不共线，∴⎩⎨⎧=-+=-+⎩⎨⎧-==-010111m n m n n m a m μλμλ即 ③解方程组③得：m =λμμλμλ--=--11,11n 代入①式得c =(1－m )a +m μb =πμ-11［λ(1－μ)a +μ(1－λ)b ］. 6.解：(1)以点A 为坐标原点O ，以AB 所在直线为Oy 轴，以AA 1所在直线为Oz 轴，以经过原点且与平面ABB 1A 1垂直的直线为Ox 轴，建立空间直角坐标系.由已知，得A (0，0，0），B (0，a ,0）,A 1(0,0,2a ),C 1(－,2,23aa 2a ). (2)取A 1B 1的中点M ，于是有M (0，2,2a a ），连AM ，MC 1，有1MC =(－23a ,0,0）,且AB =(0，a ,0）,1AA =(0,02a )由于1MC ·AB =0，1MC ·1AA =0，所以M C 1⊥面ABB 1A 1，∴AC 1与AM 所成的角就是AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角.∵1AC =),2,2,0(),2,2,23(a aAM a a a =-a a a AM AC 49240221=++=⋅∴a a a AM a a a a AC 2324||,324143||22221=+==++=而 2323349,cos 21=⨯>=<∴aa aAM AC所以AM AC 与1所成的角，即AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角为30°.7.解：(1)设P (x ,y ）,由M (－1，0），N (1，0）得，PM =－MP =(－1－x ,－y ）,NP PN -= =(1－x ,－y ),MN =－NM =(2,0),∴MP ·MN =2(1+x ), PM ·PN =x 2+y 2－1,NP NM ⋅ =2(1－x ).于是，NP NM PN PM MN MP ⋅⋅⋅,,是公差小于零的等差数列，等价于⎩⎨⎧>=+⎪⎩⎪⎨⎧<+---++=-+03 0)1(2)1(2)]1(2)1(2[211222x y x x x x x y x 即 所以，点P 的轨迹是以原点为圆心，3为半径的右半圆. (2)点P 的坐标为(x 0,y 0),30,1cos 21,3041||cos 42)24)(24()1()1(||||,210220002020*******πθθθ<≤≤<∴≤<-=⋅⋅=∴-=-+=+-⋅++=⋅=-+=⋅x x PNPM PN PM x x x y x y x PN PM y x PN PM||3cos sin tan ,411cos 1sin 02022y x x =-==∴--=-=∴θθθθθ 8.证明：(1）连结BG ，则EH EF EH BF EB BD BC EB BG EB EG +=++=++=+=)(21由共面向量定理的推论知：E 、F 、G 、H 四点共面，(其中21BD =EH ）(2）因为BD AB AD AB AD AE AH EH 21)(212121=-=-=-=.所以EH ∥BD ，又EH ⊂面EFGH ，BD ⊄面EFGH 所以BD ∥平面EFGH .(3）连OM ，OA ，OB ，OC ，OD ，OE ，OG 由(2）知BD EH 21=，同理BD FG 21=，所以FG EH =，EH FG ,所以EG 、FH 交于一点M 且被M 平分，所以).(41)](21[21)](21[212121)(21OD OC OB OA OD OC OB OA OG OE OG OE OM +++=+++==+=.。

高三数学二轮复习 课时作业10 平面向量 文平面向量时间：45分钟 分值：100分一、选择题(每小题6分，共计36分)1．在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP →＝2PC →，点Q 是AC 的中点，若PA →＝(4,3)，PQ →＝(1,5)，则BC →＝( )A ．(－2,7)B ．(－6,21)C ．(2，－7)D ．(6，－21)解析：由BP →＝2PC →，∴BC →＝3(PA →＋AC →)，∵Q 是AC 的中点，则AC →＝2AQ →，AQ →＝AP →＋PQ →，∴BC →＝3[PA →＋2(AP →＋PQ →)]＝(－6,21)答案：B2．已知O 、A 、B 是平面上的三个点，直线AB 上有一点C ，满足2AC →＋CB →＝0，则OC →＝( )A ．2OA →－OB →B ．－OA →＋2OB →C ．23OA →－13OB →D ．－13OA →＋23OB →解析：依题意得：2(OC →－OA →)＋(OB →－OC →)＝0，OC →＝2OA →－OB →. 答案：A图13．如图1，e 1，e 2为互相垂直的单位向量，向量a －b 可表示为( ) A ．3e 2－e 1 B ．－2e 1－4e 2 C ．e 1－3e 2 D ．3e 1－e 2解析：向量a －b 是以b 的终点为始点，a 的终点为终点的向量．由图形知，a －b 的横坐标为1，纵坐标为－3.答案：C4．(2011·上海高考)设A 1，A 2，A 3，A 4，A 5是空间中给定的5个不同点，则使MA 1→＋MA 2→＋MA 3→＋MA 4→＋MA 5→＝0成立的点M 的个数为( )A ．0B ．1C ．5D ．10解析：解法1(特值法)：不妨取A 1、A 2、A 3、A 4分别是正方形的顶点，A 5为正方形对角线的交点．仅当M 为A 5时满足MA 1→＋MA 2→＋MA 3→＋MA 4→＋MA 5→＝0.故选B.解法2：设M (x ，y )，A i (x i ，y i )， 则MA →i ＝(x i －x ，y i －y )，由51i =∑MA →i ＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5－5x ＝0，y 1＋y 2＋y 3＋y 4＋y 5－5y ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝15x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5，y ＝15y 1＋y 2＋y 3＋y 4＋y 5.故点M 的个数为1.故选B. 答案：B5．(2011·课标全国卷)已知a 与b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题p 1：|a ＋b |>1⇔θ∈[0，2π3)p 2：|a ＋b |>1⇔θ∈(2π3，π]p 3：|a －b |>1⇔θ∈[0，π3)p 4：|a －b |>1⇔θ∈(π3，π]其中的真命题是( ) A ．p 1，p 4 B ．p 1，p 3 C ．p 2，p 3 D ．p 2，p 4解析：∵|a |＝|b |＝1，且θ∈[0，π]，若|a ＋b |>1，则(a ＋b )2>1，∴a 2＋2a ·b ＋b 2>1，即a ·b >－12，∴cos θ＝a ·b |a |·|b |＝a ·b >－12，∴θ∈[0，2π3)；若|a －b |>1，同理求得a ·b <12，∴cos θ＝a ·b <12，∴θ∈(π3，π]，故p 1，p 4正确，应选A.答案：A6．(2011·山东高考)设A 1，A 2，A 3，A 4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若A 1A 3→＝λA 1A 2→(λ∈R)，A 1A 4→＝μA 1A 2→(μ∈R)，且1λ＋1μ＝2，则称A 3，A 4调和分割A 1，A 2.已知平面上的点C ，D 调和分割点A ，B ，则下面说法正确的是( )A ．C 可能是线段AB 的中点 B ．D 可能是线段AB 的中点C ．C ，D 可能同时在线段AB 上D ．C ，D 不可能同时在线段AB 的延长线上解析：由题意得AC →＝λAB →，AD →＝μAB →，且1λ＋1μ＝2，若C ，D 都在AB 的延长线上，则λ>1，μ>1，1λ＋1μ<2与1λ＋1μ＝2矛盾，故选D.答案：D二、填空题(每小题8分，共计24分)7．(2011·安徽高考)已知向量a ，b 满足(a ＋2b )·(a －b )＝－6，且|a |＝1，|b |＝2，则a 与b 的夹角为________．解析：由(a ＋2b )·(a －b )＝－6，得a 2－2b 2＋a ·b ＝－6，又|a |＝1，|b |＝2，得a ·b＝1，设向量a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a |·|b |＝12，又0≤θ≤π，故θ＝π3.答案：π38．(2011·江苏高考)已知e 1，e 2是夹角为2π3的两个单位向量，a ＝e 1－2e 2，b ＝ke 1＋e 2.若a ·b ＝0，则实数k 的值为________．解析：由题意a ·b ＝0即有(e 1－2e 2)·(ke 1＋e 2)＝0，∴ke 21＋(1－2k )e 1·e 2－2e 22＝0.又|e 1|＝|e 2|＝1，〈e 1，e 2〉＝2π3，∴k －2＋(1－2k )·cos 2π3＝0，∴k －2＝1－2k 2，∴k ＝54.答案：549．设a 、b 是非零向量，给出平面向量的四个命题： ①|a ·b |＝|a ||b |；②若a ⊥b ，则|a ＋b |＝|a －b |；③存在实数m 、n 使得ma ＋nb ＝0，则m 2＋n 2＝0；④若|a ＋b |＝|a |－|b |，则|a |≥|b |且a 与b 方向相反． 其中真命题是________．(将所有真命题的序号都填上) 解析：由两向量的数量积公式可知， 只有当a 、b 共线时①才正确；a ⊥b 时，以a 、b 为两邻边所作的平行四边形是矩形， 故②正确；a 、b 是已经给定的向量，若反向，则m 2＋n 2可能不为0，故③不正确；由|a ＋b |＝|a |－|b |≥0，知|a |≥|b |，又对等式|a ＋b |＝|a |－|b |两边平方得|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝|a |2－2|a ||b |＋|b |2，即a ·b ＝－|a ||b |，|a ||b |cos θ＝－|a ||b |(其中θ为向量a 、b 的夹角)，∴cos θ＝－1，∵0≤θ≤π，∴θ＝π，向量a 、b 方向相反，故④正确．答案：②④三、解答题(共计40分)10．(10分)(2011·陕西高考)叙述并证明余弦定理． 解：余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦之积的两倍．或：在△ABC 中，a ，b ，c 为A ，B ，C 的对边，有a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .图2证明：法一：如图2a 2＝BC →·BC →＝(AC →－AB →)·(AC →－AB →)＝AC →2－2AC →·AB →＋AB →2 ＝AC →2－2|AC →|·|AB →|cos A ＋AB →2 ＝b 2－2bc cos A ＋c 2，即a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A .同理可证b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .法二： 已知△ABC 中A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，以A 为原点，AB 所在直线为x 轴建立直角坐标系，图3则C (b cos A ，b sin A )，B (c,0)， ∴a 2＝|BC |2＝(b cos A －c )2＋(b sin A )2 ＝b 2cos 2A －2bc cos A ＋c 2＋b 2sin 2A ＝b 2＋c 2－2bc cos A同理可证b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .11．(15分)已知△ABC 中，(1)若|AC →|，|BC →|，|AB →|成等比数列，BA →·BC →，AB →·AC →，CA →·CB→成等差数列，求A ；(2)若BC →·(AB →＋AC →)＝0，且|AB →＋AC →|＝4,0<A <π3，求AB →·AC →的取值范围．解：(1)法1：由题意可知： |BC →|2＝|AC →|·|AB →|，∵BA →·BC →，AB →·AC →，CA →·CB →成等差数列， ∴2AB →·AC →＝BA →·BC →＋CA →·CB → ＝BC →·(BA →－CA →)＝|BC →|2，又∵AB →·AC →＝|AB →||AC →|cos A ，∴cos A ＝12，∴A ＝π3.法2：由题意可知：|BC →|2＝|AC →|·|AB →|， ∵BA →·BC →，AB →·AC →，CA →·CB →成等差数列， ∴2AB →·AC →＝BA →·BC →＋CA →·CB →，即2|AB →||AC →|cos A ＝|BA →||BC →|cos B ＋|CA →||CB →|cos C ， 由|BC →|2＝|AC →|·|AB →|得： 2|BC →|2cos A ＝|BA →||BC →|cos B ＋|CA →||CB →|cos C ，∴2|BC →|cos A ＝|BA →|cos B ＋|CA →|cos C ， 由正弦定理得：2sin A cos A ＝sin C cos B ＋sin B cos C ＝sin(B ＋C )＝sin A ，∵0<A <π，∴sin A ≠0，∴cos A ＝12，A ＝π3.(2)∵BC →·(AB →＋AC →)＝0， ∴(AC →－AB →)(AB →＋AC →)＝0， ∴AC →2＝AB →2，即|AC →|2＝|AB →|2. ∵|AB →＋AC →|＝4， ∴|AB →|2＋|AC →|2＋2AB →·AC →＝16， 即|AB →|2＋|AC →|2＋2|AB →||AC →|cos A ＝16，则|AB →|2＝81＋cos A，∴AB →·AC →＝|AB →||AC →|cos A ＝|AB →|2cos A ＝8cos A 1＋cos A ＝81＋1cos A(cos A ≠0)．∵0<A <π3，∴12<cos A <1,1<1cos A <2，∴83<AB →·AC →<4. 12．(15分)已知m ＝(cos ωx ＋sin ωx ，3cos ωx )，n ＝(cos ωx －sin ωx,2sin ωx )，其中ω>0，设函数f (x )＝m ·n ，且函数f (x )的周期为π.(1)求ω的值；(2)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且a ，b ，c 成等差数列. 当f (B )＝1时，判断△ABC 的形状．解：(1)∵m ＝(cos ωx ＋sin ωx ，3cos ωx )， n ＝(cos ωx －sin ωx,2sin ωx )(ω>0)∴f (x )＝m ·n ＝cos 2ωx －sin 2ωx ＋23cos ωx sin ωx ＝cos2ωx ＋3sin2ωx .∴f (x )＝2sin(2ωx ＋π6)．∵函数f (x )的周期为π，∴T ＝2π2ω＝π.∴ω＝1.(2)在△ABC 中，f (B )＝1，∴2sin(2B ＋π6)＝1.∴sin(2B ＋π6)＝12.又∵0<B <π， ∴π6<2B ＋π6<136π. ∴2B ＋π6＝5π6.∴B ＝π3.∵a ，b ，c 成等差数列，∴2b ＝a ＋c .∴cos B ＝cos π3＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12，∴ac ＝a 2＋c 2－a ＋c 24.化简得a ＝c .又∵B ＝π3，∴△ABC 为正三角形．。

【走向高考】2014届高三数学二轮专题复习 2-3平面向量课后作业新人教A 版基本素能训练一、选择题1．(2013·湖北理，6)已知点A (－1,1)、B (1,2)、C (－2，－1)、D (3,4)，则向量AB →在CD →方向上的投影为( )A.322 B.3152C ．－322D ．－3152[答案] A[解析] ∵AB →＝(2,1)，CD →＝(5,5)，∴AB →·CD →＝2×5＋1×5＝15，|CD →|＝52，所求投影为|AB →|cos<AB →，CD →>＝AB →·CD →|CD →|＝1552＝322，故选A.2．(2012·重庆文，6)设x ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，－2)，且a ⊥b ，则|a ＋b |＝( ) A. 5 B.10 C ．2 5 D ．10[答案] B[解析] 本题考查向量的模及垂直问题． ∵a ⊥b ，∴a ·b ＝0，∴x －2＝0，∴x ＝2， ∴a ＋b ＝(3，－1)，|a ＋b |＝10.3．若向量a 、b 、c 满足a ∥b ，且a ⊥c ，则c ·(a ＋2b )＝( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．0 [答案] D[解析] ∵a ∥b ，∴可设b ＝λa (λ∈R)，∴c ·(a ＋2b )＝c ·(a ＋2λa )＝(2λ＋1)c ·a ＝0，选D.4．(2012·沈阳二模)如果不共线向量a 、b 满足2|a |＝|b |，那么向量2a ＋b 与2a －b 的夹角为( )A.π6B.π3 C.π2 D.2π3[答案] C[解析] ∵(2a ＋b )·(2a －b )＝4|a |2－|b |2＝0， ∴(2a ＋b )⊥(2a －b )，∴选C.5．若a 、b 、c 均为单位向量，且a ·b ＝0，(a －c )·(b －c )≤0，则|a ＋b －c |的最大值为( )A.2－1 B ．1 C. 2 D ．2 [答案] B[解析] |a ＋b －c |2＝|a |2＋|b |2＋|c |2＋2a ·b －2a ·c －2b ·c ＝3－2(a ·c ＋b ·c ) (a －c )·(b －c )＝a ·b －a ·c －b ·c ＋|c |2＝1－(a ·c ＋b ·c )≤0，∴|a ＋b －c |2≤1，∴|a ＋b －c |max ＝1.6．(2012·浙江宁波模拟)若两个非零向量a 、b 满足|a ＋b |＝|a －b |＝2|a |，则向量a ＋b 与a －b 的夹角是( )A.π6B.π3C.2π3 D.5π6[答案] C[解析] 解法1：由条件可知，a ·b ＝0，|b |＝3|a |，则cos θ＝－2a 24a 2＝－12⇒θ＝2π3.解法2：由向量运算的几何意义，作图可求得a ＋b 与a －b 的夹角为2π3.二、填空题7．(2013·四川理，12)在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AB →＋AD →＝λAO →，则λ＝________.[答案] 2[解析] 本题考查向量加法的几何意义． AB →＋AD →＝AC →＝2AO →，∴λ＝2.8．(2013·重庆文，14)若OA 为边，OB 为对角线的矩形中，OA →＝(－3,1)，OB →＝(－2，k )，则实数k ＝________.[答案] 4[解析] 本题考查向量的数量积及坐标运算．∵OA →＝(－3,1)，OB →＝(－2，k )，∴AB →＝OB →－OA →＝(1，k －1)． 由题意知OA →⊥AB →，∴OA →·AB →＝0即(－3,1)·(1，k －1)＝0. ∴－3＋k －1＝0，∴k ＝4.9．(2012·湖北文，13)已知向量a ＝(1,0)，b ＝(1,1)，则 (1)与2a ＋b 同向的单位向量的坐标表示为________； (2)向量b －3a 与向量a 夹角的余弦值为________． [答案] (1)(31010，1010) (2)－255[解析] 本题主要考查了向量的坐标运算，单位向量及夹角的求法．(1)2a ＋b ＝2(1,0)＋(1,1)＝(3,1)，其单位向量为(31010，1010)，(2)∵b －3a ＝(－2,1)，|a |＝1，|b －3a |＝5，a ·(b －3a )＝－2，∴cos 〈a ，b －3a 〉＝a ·b －3a |a |·|b －3a |＝－255. 10．如图所示，A ，B ，C 是圆O 上的三点，线段CO 的延长线与线段BA 的延长线交于圆O 外的点D ，若OC →＝mOA →＋nOB →，则m ＋n 的取值范围是________．[答案] (－1,0)[解析] 根据题意知，线段CO 的延长线与线段BA 的延长线的交点为D ，则OD →＝tOC →. ∵D 在圆外，∴t <－1，又D 、A 、B 共线，∴存在λ，μ，使得OD →＝λOA →＋μOB →，且λ＋μ＝1，又由已知，OC →＝mOA →＋nOB →，∴tmOA →＋tnOB →＝λOA →＋μOB →， ∴m ＋n ＝1t，故m ＋n ∈(－1,0).能力提高训练一、选择题1．(2012·皖南八校联考)设向量a ，b 满足|a |＝2，a ·b ＝32，|a ＋b |＝22，则|b |等于( )A.12 B ．1 C.32 D ．2 [答案] B[解析] ∵|a ＋b |2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝4＋3＋|b |2＝8，∴|b |＝1.2．(2012·威海模拟)已知平面上不共线的四点O ，A ，B ，C .若OA →＋2OC →＝3OB →，则|BC →||AB →|的值为( )A.12B.13C.14D.16 [答案] A[解析] 如图，设OD →＝2OC →，作▱OAED ，则OE →＝3OB →，∴|AB →|＝|DF →|＝2|BC →|，∴|BC →||AB →|＝12.3．(2013·华安六校联考)如图，在矩形OACB 中，E 和F 分别是边AC 和BC 上的点，满足AC ＝3AE ，BC ＝3BF ，若OC →＝λOE →＋μOF →，其中λ，μ∈R ，则λ＋μ＝( )A.83B.32C.53 D ．1 [答案] B[解析] OC →＝OA →＋OB →＝OE →－AE →＋OF →－BF →＝OE →＋OF →－13AC →－13BC →＝OE →＋OF →－13OC →，∴OC →＝34OE →＋34OF →，∴λ＝μ＝34，∴λ＋μ＝32.4．(2013·长春模拟)设圆O 的半径为3，直径AB 上一点D 使AB →＝3AD →，E 、F 为另一直径的两个端点，则DE →·DF →＝( )A ．－3B ．－4C ．－6D ．－8[答案] D[解析] ∵EF 为直径，∴AE ⊥AF ， ∴AE →·AF →＝0，AE →＋AF →＝2AO →＝AB →＝3AD →， ∴DE →·DF →＝(DA →＋AE →)·(DA →＋AF →) ＝|DA →|2＋DA →·(AE →＋AF →)＋AE →·AF →＝|DA →|2－3|DA →|2＝－2|DA →|2＝－8.5．(2013·广东文，10)设a 是已知的平面向量且a ≠0.关于向量a 的分解，有如下四个命题：①给定向量b ，总存在向量c ，使a ＝b ＋c ；②给定向量b 和c ，总存在实数λ和μ，使a ＝λb ＋μc ； ③给定向量b 和正数μ，总存在单位向量c ，使a ＝λb ＋μc .④给定正数λ和μ，总存在单位向量b 和单位向量c ，使a ＝λb ＋μc .上述命题中的向量b 、c 和a ，在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 [答案] C[解析] 本题考查向量基础知识与综合应用．对于①，由向量的三角形加法法则可知其正确，由平面基本定理知②正确，对③，可设e 与b 是不共线单位向量，则存在实数λ，y 使λb ＋ye ，若y >0，则取μ＝y ，c ＝e ，若y <0，则取μ＝－y ，c ＝－e ，故③正确．④显然错误，可举反例：λ＝μ＝1，b 与c 垂直，此时必须a 的模为2才成立．5．(文)已知a ，b 均为单位向量，它们的夹角为π3，那么|a ＋3b |＝( )A.7B.10C.13 D ．4 [答案] C[解析] 依题意得(a ＋3b )2＝a 2＋9b 2＋6a ·b ＝10＋6×1×1×cos π3＝13，所以|a ＋3b |＝13，因此选C.(理)(2013·湖南文，8)已知a ，b 是单位向量，a ·b ＝0，若向量c 满足|c －a －b |＝1，则|c |的最大值为( )A.2－1B. 2C.2＋1D.2＋2[答案] C[解析] 本题考查的是向量的数量积及坐标运算、向量模的运算性质．解法1：∵a →，b →是互相垂直的单位向量，∴可设a ＝(1,0)，b ＝(0,1)，c →＝(x ，y )．由|c －a －b |＝1，得|(x －1，y －1)|＝1.∴(x －1)2＋(y －1)2＝1.要使|c |的最大，即x 2＋y 2最大，即圆(x －1)2＋(y －1)2＝1上的点到原点的距离最大，此时|c |max ＝12＋12＋1＝2＋1.故选C.解法2：∵a ，b 为单位向量，∴|a |＝|b |＝1， 又a ·b ＝0，∴a ⊥b ，∴|a ＋b |＝ 2.∴|c －a －b |2＝c 2＋a 2＋b 2－2c ·(a ＋b )＋2a ·b ＝c 2＋1＋1－2c ·(a ＋b )＝1， ∴2c ·(a ＋b )＝c 2＋1 设θ是a ＋b 与c 的夹角， 则c 2＋1＝2|c |·|a ＋b |·cos θ ＝22|c |·cos θ≤22|c |. ∴c 2－22|c |＋1≤0， ∴2－1≤|c |≤2＋1， ∴|c |的最大值为2＋1.解法3：∵|a |＝|b |＝1，a ·b ＝0. ∴a 与b 是互相垂直的单位向量，以O 为起点作OA →＝a ，OB →＝b ，则OA ⊥OB ，取O 为原点，OA 、OB 分别为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，设OM →＝a ＋b ， 则M (1,1)，作OC →＝c ，∵|c －a －b |＝1，∴|OC →－OM →|＝1，∴|CM →|＝1，故点C 在以M 为圆心，1为半径的圆上，从而|c |max ＝|OM →|＋1＝2＋1. 二、填空题6．(2012·河南商丘市二模)已知△ABC 及其平面内一点P 满足PA →＋PB →＋PC →＝0，若实数λ满足AB →＋AC →＝λAP →.则λ＝________.[答案] 3[解析] ∵AB →＋AC →＝λAP →，∴PB →－PA →＋PC →－PA →＝λAP →，∴PB →＋PC →＝(λ－2)AP →，又PA →＋PB →＋PC →＝0，∴(λ－2)AP →＋PA →＝0，∴λ＝3.7．(文)(2013·苏北四市一调)如图，在四边形ABCD 中，AC 和BD 相交于点O ，设AD →＝a ，AB →＝b ，若AB →＝2DC →，则AO →＝________(用向量a 和b 表示)．[答案] 23a ＋13b[解析] 据题意可得AC →＝AD →＋DC →＝AD →＋12AB →＝a ＋12b ，又由AB →＝2DC →，可得AO →＝23AC →＝23(a＋12b )＝23a ＋13b (理)(2013·南昌高三调研)已知O 为坐标原点，点M (3,2)，若N (x ，y )满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，y ≥0，x ＋y ≤4.则OM →·ON →的最大值为________．[答案] 12[解析] 据不等式组得可行域如图所示：由于z ＝OM →·ON →＝3x ＋2y ，结合图形进行平移可得点A (4,0)为目标函数取得最大值的最优解．即z max ＝3×4＋2×0＝12.三、解答题8．已知向量a ＝(cos θ，sin θ)，θ∈[0，π]，向量b ＝(3，－1)． (1)若a ⊥b ，求θ的值；(2)若|2a －b |<m 恒成立，求实数m 的取值范围． [解析] (1)∵a ⊥b ，∴3cos θ－sin θ＝0，得tan θ＝ 3. 又θ∈[0，π]，∴θ＝π3.(2)∵2a －b ＝(2cos θ－3，2sin θ＋1)， ∴|2a －b |2＝(2cos θ－3)2＋(2sin θ＋1)2＝8＋8(12sin θ－32cos θ)＝8＋8sin(θ－π3)．又θ∈[0，π]，∴θ－π3∈[－π3，2π3]，∴sin(θ－π3)∈[－32，1]，∴|2a －b |2的最大值为16，∴|2a －b |的最大值为4. 又|2a －b |<m 恒成立，∴m >4.9．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的对边长分别为a ，b ，c .(1)设向量x ＝(sin B ，sin C )，向量y ＝(cos B ，cos C )，向量z ＝(cos B ，－cos C )，若z ∥(x ＋y )，求tan B ＋tan C 的值；(2)若sin A cos C ＋3cos A sin C ＝0，证明：a 2－c 2＝2b 2. [解析] (1)x ＋y ＝(sin B ＋cos B ，sin C ＋cos C )， ∵z ∥(x ＋y )，∴cos B (sin C ＋cos C )＋cos C (sin B ＋cos B )＝0， 整理得tan C ＋tan B ＋2＝0， ∴tan C ＋tan B ＝－2.(2)证明：∵sin A cos C ＋3cos A sin C ＝0，∴由正、余弦定理得：a ·a 2＋b 2－c 22ab ＋3×b 2＋c 2－a 22bc×c ＝0，∴a 2－c 2＝2b 2.。