高三第二轮复习平面向量复习专题

专题：利用三点共线结论解平面向量知识梳理：三点共线定理 OC →＝ (1－t )OA →＋tOB →的证明： 若OA →＝a ，OB →＝b 是平面内两不共线向量，对于平面内任一向量OC →＝c ，存在一对实数λ，μ使c ＝λa ＋μb .证明A 、B 、C 三点共线的充要条件是λ＋μ＝1.证明：（必要性）若A ，B ，C 三点共线，则存在实数t ，使得AC →＝tAB →， 即OC →－OA →＝t (OB →－OA →)所以OC →＝ (1－t )OA →＋tOB → 令λ＝1－t ，μ＝t ，则有c ＝λa ＋t b ，即λ＋μ＝1.（充分性）若λ＋μ＝1，则c ＝λa ＋(1－λ)b 即c －b ＝λ(a －b ) 即OC →－OB →＝λ(OA →－OB →)即BC →＝λBA →.所以A 、B 、C 三点共线．(思考：当t=21时，会发现A,B,C 是什么情况？)典型例题：例1：（全国高考）设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD →，则( )A.AD →＝－13AB →＋43AC →B.AD →＝13AB →－43AC →C.AD →＝43AB →＋13AC →D.AD →＝－43AB →－13AC →例2：已知平面内的三点A ，B ，O 不共线，且AP →＝λOA →＋μOB →，则A ，P ，B 三点共线的一个必要不充分条件是( )A ．λ＝μB ．|λ|＝|μ|C ．λ＝－μD ．λ＝1－μ例3：如图所示，在△ABC 中，H 为BC 上异于B ，C 的任一点，M 为AH 的中点，若AM →＝λAB →＋μAC →，则λ＋μ＝________.例4：如图，在△ABC 中，点O 是BC 边的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M,N ，若N nA C A M mA B A==,,则m+n 的值为_______．练习：1、已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若3OA →＝a 5OB →＋a 9OC →，且A ，B ，C 三点共线，则S 13＝________．2、［2021•江苏卷，10］设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．3、（2021华美）在△ABC 中，N 是AC 边上一点，且AN →＝12NC →，P 是BN 上一点，若AP →＝mAB →＋29AC →，则实数m 的值为4、(2021·郑州质检)如图，在△ABC 中，N 为线段AC 上靠近A 的三等分点，点P 在BN 上且A P →＝⎪⎭⎫ ⎝⎛+112m AB →＋211B C →，则实数m 的值为________.5、（2021华美）A ，B ，C 是圆O 上不同的三点，线段CO 与线段AB 交于点D (点O 与点D 不重合)，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的取值范围是__________.专题：利用三点共线结论解平面向量例1：[解析] 由BC →＝3CD →知，B 、C 、D 三点共线，从四个选项知系数和为1的仅有A ，故选A.例2：解析 A ，P ，B 三点共线，即存在一个实数m ，使得AP →＝mAB →，∵AP →＝λOA →＋μOB →，∴mAB →＝λOA →＋μOB →，即m (OB →－OA →)＝λOA →＋μOB →，∴(m －μ)OB →＝(m ＋λ)OA →，∵A ，B ，O 三点不共线，∴m －μ＝0，m ＋λ＝0，即λ＝－μ＝－m ，∴A ，B ，P 三点共线的充要条件为λ＝－μ，结合各选项知A ，B ，P 三点共线的一个必要不充分条件为|λ|＝|μ|.故选B. 例3：解析 由于B ，H ，C 三点共线，可令AH →＝xAB →＋(1－x )AC →，又M 是AH 的中点， 所以AM →＝12AH →＝12xAB →＋12(1－x )AC →.又AM →＝λAB →＋μAC →，所以λ＋μ＝12x ＋12(1－x )＝12.例4：解析 解法一：AO →＝12(AB →＋AC →)＝m 2AM →＋n 2AN →.∵M ，O ，N 三点共线，∴m 2＋n2＝1.∴m ＋n ＝2.解法二：MN 绕O 旋转，当N 与C 重合时，M 与B 重合，此时m ＝n ＝1，∴m ＋n ＝2.练习：1、[解析] 由3OA →＝a 5OB →＋a 9OC →，得OA →＝a 53OB →＋a 93OC →因为A ，B ，C 三点共线，所以a 53＋a 93＝1，即a 5＋a 9＝3，所以S 13＝13（a 1＋a 13）2＝13（a 5＋a 9）2＝392.所以S 13＝3922、解析 DE →＝DB →＋BE →＝12AB →＋23BC →＝12AB →＋23(AC →－AB →)＝－16AB →＋23AC →，∵DE →＝λ1AB →＋λ2AC →，∴λ1＝－16，λ2＝23，故λ1＋λ2＝12.（提示，过A 作DE 平行线交BC 延长线于点F,利用B,C,F 共线）3、 答案1/34、 解析 设BP →＝λBN →＝λ(AN →－AB →)＝λ⎝⎛⎭⎫13 AC →－AB →＝－λAB →＋λ3 AC →(0≤λ≤1)， ∴A P →＝AB →＋B P →＝(1－λ) AB →＋λ3AC →. 又A P →＝⎝⎛⎭⎫m ＋211AB →＋211 BC →＝⎝⎛⎭⎫m ＋211AB →＋211(AC →－AB →)＝mAB →＋211AC →，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ3＝211，m ＝1－λ，解得⎩⎨⎧λ＝611，m ＝511，∴m ＝511.5、【答案】(1，＋∞) [设OC →＝mOD →，则m >1，因为OC →＝λOA →＋μOB →，所以mOD →＝λOA →＋μOB →，即OD →＝λm OA →＋μm OB →， 又知A ，B ，D 三点共线，所以λm ＋μm＝1，即λ＋μ＝m ，所以λ＋μ>1。

高三数学第二轮专题复习---平面向量一、本章知识结构二、高考要求1、理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念。

2、掌握向量的加法和减法的运算法则及运算律。

3、掌握实数与向量的积的运算法则及运算律，理解两个向量共线的充要条件。

4、了解平面向量基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算。

5、掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件。

6、掌握线段的定比分点和中点坐标公式，并且能熟练运用；掌握平移公式。

7、掌握正、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形。

8、通过解三角形的应用的教学，继续提高运用所学知识解决实际问题的能力。

三、热点分析对本章内容的考查主要分以下三类：1、以选择、填空题型考查本章的基本概念和性质.此类题一般难度不大，用以解决有关长度、夹角、垂直、判断多边形形状等问题.2、以解答题考查圆锥曲线中的典型问题.此类题综合性比较强，难度大，以解析几何中的常规题为主.3、向量在空间中的应用（在B类教材中）.在空间坐标系下，通过向量的坐标的表示，运用计算的方法研究三维空间几何图形的性质.在复习过程中，抓住源于课本，高于课本的指导方针.本章考题大多数是课本的变式题，即源于课本.因此，掌握双基、精通课本是本章关键.分析近几年来的高考试题，有关平面向量部分突出考查了向量的基本运算。

对于和解析几何相关的线段的定比分点和平移等交叉内容，作为学习解析几何的基本工具，在相关内容中会进行考查。

本章的另一部分是解斜三角形，它是考查的重点。

总而言之，平面向量这一章的学习应立足基础，强化运算，重视应用。

考查的重点是基础知识和基本技能。

四、复习建议由于本章知识分向量与解斜三角形两部分，所以应用本章知识解决的问题也分为两类：一类是根据向量的概念、定理、法则、公式对向量进行运算，并能运用向量知识解决平面几何中的一些计算和证明问题；另一类是运用正、余弦定理正确地解斜三角形，并能应用解斜三角形知识解决测量不可到达的两点间的距离问题。

第二讲 复数、平面向量微专题1 复数常考常用结论1．已知复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则(1)当b ＝0时，z ∈R ；当b ≠0时，z 为虚数；当a ＝0，b ≠0时，z 为纯虚数． (2)z 的共轭复数z ̅＝a －b i. (3)z 的模|z |＝√a 2+b 2. 2．已知i 是虚数单位，则 (1)(1±i)2＝±2i ，1+i 1−i ＝i ，1−i1+i ＝－i.(2)i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i.保 分 题1.[2022·新高考Ⅱ卷](2＋2i)(1－2i)＝( ) A ．－2＋4i B ．－2－4i C ．6＋2i D ．6－2i 2．[2022·全国甲卷]若z ＝1＋i ，则|i z ＋3z ̅|＝( ) A ．4√5 B ．4√2 C ．2√5D ．2√23．[2022·全国乙卷]已知z ＝1－2i ，且z ＋a z ̅＋b ＝0，其中a ，b 为实数，则( ) A ．a ＝1，b ＝－2 B ．a ＝－1，b ＝2 C ．a ＝1，b ＝2 D ．a ＝－1，b ＝－2提 分 题例1 (1)[2022·福建漳州一模]已知z ＝|√3i －1|＋11+i，则在复平面内z 对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限(2)[2022·山东潍坊二模](多选)若复数z 1＝2＋3i ，z 2＝－1＋i ，其中i 是虚数单位，则下列说法正确的是( )A ．z1z 2∈RB.z 1·z 2̅̅̅̅̅̅̅̅＝z 1̅·z 2̅C ．若z 1＋m (m ∈R )是纯虚数，那么m ＝－2D ．若z 1，z 2在复平面内对应的向量分别为OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗ (O 为坐标原点)，则|AB⃗⃗⃗⃗⃗ |＝5 听课笔记：【技法领悟】复数的代数运算的基本方法是运用运算法则，可以通过对代数式结构特征的分析，灵活运用i 的幂的性质、运算法则来优化运算过程．巩固训练11.[2022·山东泰安二模]已知复数z ＝3−i 1−2i，i 是虚数单位，则复数z ̅－4在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．[2022·河北保定二模](多选)已知复数z 满足方程(z 2－4)(z 2－4z ＋5)＝0，则( )A ．z 可能为纯虚数B ．方程各根之和为4C ．z 可能为2－iD ．方程各根之积为－20微专题2 平面向量常考常用结论1．平面向量的两个定理 (1)向量共线定理：向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b ＝λa . (2)平面向量基本定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2，其中e 1，e 2是一组基底．2．平面向量的坐标运算设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0，θ为a 与b 的夹角． (1)a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.(2)a ·b ＝|a ||b |cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2. (3)a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.(4)|a |＝√a ·a ＝√x 12+y 12.(5)cos θ＝a·b|a ||b |＝1212√x 1+y 1 √x 2+y 2.保 分 题1.△ABC 中，E 是边BC 上靠近B 的三等分点，则向量AE⃗⃗⃗⃗⃗ ＝( ) A ．13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ B ．13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ C ．23AB⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ D ．23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2．[2022·全国乙卷]已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝√3，|a －2b |＝3，则a ·b ＝( ) A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．2 3．[2022·全国甲卷]已知向量a ＝(m ，3)，b ＝(1，m ＋1)，若a ⊥b ，则m ＝________．提 分 题例2 (1)[2022·河北石家庄二模]在平行四边形ABCD 中，M ，N 分别是AD ，CD 的中点，若BM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝a ，BN ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝b ，则BD ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝( ) A ．34a ＋23b B ．23a ＋23bC ．34a ＋34bD ．23a ＋34b(2)[2022·山东济宁一模]等边三角形ABC 的外接圆的半径为2，点P 是该圆上的动点，则PA ⃗⃗⃗⃗ ·PB⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗ 的最大值为( ) A ．4 B ．7 C ．8 D ．11 听课笔记：【技法领悟】求解向量数量积最值问题的两种思路1．直接利用数量积公式得出代数式，依据代数式求最值．2．建立平面直角坐标系，通过坐标运算得出函数式，转化为求函数的最值．巩固训练21.[2022·山东济南二模]在等腰梯形ABCD 中，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝－2CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，M 为BC 的中点，则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝( )A ．12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ B ．34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ C ．34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +14AD⃗⃗⃗⃗⃗ D ．12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +34AD⃗⃗⃗⃗⃗ 2．[2022·福建漳州二模]已知△ABC 是边长为2的正三角形，P 为线段AB 上一点(包含端点)，则PB⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗ 的取值范围为( ) A ．[－14，2] B ．[－14，4] C ．[0，2]D ．[0，4]第二讲 复数、平面向量微专题1 复数保分题1．解析：(2＋2i)(1－2i)＝2－4i ＋2i －4i 2＝2－2i ＋4＝6－2i.故选D. 答案：D2．解析：因为z ＝1＋i ，所以z ̅＝1－i ，所以i z ＋3z ̅＝i(1＋i)＋3(1－i)＝2－2i ，所以|i z ＋3z ̅|＝|2－2i|＝√22+(−2)2＝2√2.故选D. 答案：D3．解析：由z ＝1－2i 可知z ̅＝1＋2i.由z ＋a z ̅＋b ＝0，得1－2i ＋a (1＋2i)＋b ＝1＋a ＋b ＋(2a －2)i ＝0.根据复数相等，得{1+a +b =0，2a −2=0，解得{a =1，b =−2.故选A.答案：A提分题[例1] 解析：(1)∵z ＝|√3i －1|＋11+i ＝ √(√3)2+(−1)2+1−i1−i 2＝2＋1−i 2＝52−12i ，∴复平面内z 对应的点(52，－12)位于第四象限． (2)对于A ，z1z 2＝2+3i −1+i＝(2+3i )(−1−i )(−1+i )(−1−i )＝1−5i 2＝12−52i ，A 错误；对于B ，∵z 1·z 2＝(2＋3i)(－1＋i)＝-5-i ，∴z 1·z 2̅̅̅̅̅̅̅̅＝－5＋i ；又z 1̅·z 2̅＝(2－3i)(－1－i)＝-5+i ，∴z 1·z 2̅̅̅̅̅̅̅̅＝z 1̅·z 2̅，B 正确；对于C ，∵z 1＋m ＝2＋m ＋3i 为纯虚数，∴m ＋2＝0，解得：m ＝－2，C 正确； 对于D ，由题意得：OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(2，3)，OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(－1，－1)，∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(－3，－4)，∴|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |＝√9+16＝5，D 正确．答案：(1)D (2)BCD [巩固训练1]1．解析：z ＝3−i1−2i ＝(3−i )(1+2i )(1−2i )(1+2i )＝5+5i 5＝1＋i ，则z ̅－4＝1－i －4＝－3－i ，对应的点位于第三象限．故选C.答案：C2．解析：由(z 2－4)(z 2－4z ＋5)＝0，得z 2－4＝0或z 2－4z ＋5＝0， 即z 2＝4或(z －2)2＝－1，解得：z ＝±2或z ＝2±i ，显然A 错误，C 正确； 各根之和为－2＋2＋(2＋i)＋(2－i)＝4，B 正确； 各根之积为－2×2×(2＋i)(2－i)＝－20，D 正确． 答案：BCD微专题2 平面向量保分题1．解析：因为点E 是BC 边上靠近B 的三等分点，所以BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )＝23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ .故选C. 答案：C2．解析：将|a －2b |＝3两边平方，得a 2－4a ·b ＋4b 2＝9.因为|a |＝1，|b |＝√3，所以1－4a ·b ＋12＝9，解得a ·b ＝1.故选C.答案：C3．解析：由a ⊥b ，可得a ·b ＝(m ，3)·(1，m ＋1)＝m ＋3m ＋3＝0，所以m ＝－34. 答案：－34提分题[例2] 解析：(1)如图所示，设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝m ，AD⃗⃗⃗⃗⃗ ＝n ，且BD ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝x a ＋y b ，则BD ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝x a ＋y b ＝x (12n －m )＋y (n －12m )＝(12x ＋y )n －(x ＋12y )m ， 又因为BD⃗⃗⃗⃗⃗ ＝n －m ， 所以{12x +y =1x +12y =1，解得x ＝23，y ＝23，所以BD ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝23a ＋23b . 故选B.(2)如图，等边三角形ABC ，O 为等边三角形ABC 的外接圆的圆心，以O 为原点，AO 所在直线为y 轴，建立直角坐标系．因为AO ＝2，所以A (0，2)，设等边三角形ABC 的边长为a ，则asin A ＝asin 60°＝2R ＝4，所以a ＝2√3，则B (－√3，－1)，C (√3，－1).又因为P 是该圆上的动点，所以设P (2cos θ，2sin θ)，θ∈[0，2π)， PA ⃗⃗⃗⃗ ＝(－2cos θ，2－2sin θ)，PB⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(－√3－2cos θ，－1－2sin θ)，PC ⃗⃗⃗⃗ ＝(√3－2cos θ，－1－2sin θ)，PA ⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗ ＝－2cos θ(－√3－2cos θ)＋(2－2sin θ)(－1－2sin θ)＋(－√3－2cos θ)(√3－2cos θ)＋(－1－2sin θ)(－1－2sin θ)＝3＋1＋2sin θ＋2√3cos θ＝4＋4sin (θ＋π3)，因为θ∈[0，2π)，θ＋π3∈[π3，7π3)，sin (θ＋π3)∈[－1，1]，所以当sin (θ＋π3)＝1时，PA ⃗⃗⃗⃗ ·PB⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗ 的最大值为8.故选C.答案：(1)B (2)C [巩固训练2]1．解析：取AD 中点N ，连接MN ，∵AB⃗⃗⃗⃗⃗ ＝－2CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴AB ∥CD ，|AB |＝2|CD |， 又M 是BC 中点，∴MN ∥AB ，且|MN |＝12(|AB |＋|CD |)＝34|AB |， ∴AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝AN ⃗⃗⃗⃗⃗ +NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，故选B. 答案：B 2．解析：以AB 中点O 为坐标原点，OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OC⃗⃗⃗⃗⃗ 正方向为x ，y 轴可建立如图所示平面直角坐标系，则A (－1，0)，B (1，0)，C (0，√3)，设P (m ，0)(－1≤m ≤1)，∴PB⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(1－m ，0)，PC ⃗⃗⃗⃗ ＝(－m ，√3)， ∴PB⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗ ＝m 2－m ＝(m －12)2－14， 则当m ＝12时，(PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗ )min ＝－14；当m ＝－1时，(PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗ )max ＝2； ∴PB⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗ 的取值范围为[－14，2].故选A. 答案：A。

平面向量综合问题参考答案与试题解析一．试题（共38小题）1．如图，在ABC ∆中，13AN NC =，P 是BN 上的一点，若211AP mAB AC =+，则实数m的值为( )A ．911B ．511C ．211D ．311【分析】由已知中ABC ∆中，13AN NC =，P 是BN 上的一点，设BP BN λ=后，我们易将AP表示为(1)4AB AC λλ-+的形式，根据平面向量的基本定理我们易构造关于λ，m 的方程组，解方程组后即可得到m 的值 【解答】解：P 是BN 上的一点，设BP BN λ=，由13AN NC =，则AP AB BP =+AB BN λ=+()AB AN AB λ=+-(1)AB AN λλ=-+(1)4AB AC λλ=-+211mAB AC =+1m λ∴=-，2411λ=解得811λ=，311m =故选：D ．【点评】本题考查的知识点是面向量的基本定理及其意义，其中根据面向量的基本定理构造关于λ，m 的方程组，是解答本题的关键．2．在平行四边形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，DE 交AF 于H ，记AB 、BC 分别为a 、b ，则(AH = )A ．2455a b -B ．2455a b +C ．2455a b -+D ．2455a b --【分析】欲求出向量则AH ，关键是求出向量则AH 与向量AF 的线性．关系过点F 作BC 的平行线交DE 于G ，则G 是DE 的中点，利用相似三角形有知识即可得出它们的线性关系，从而解决问题． 【解答】解：过点F 作BC 的平行线交DE 于G ， 则G 是DE 的中点，且1124GF EC BC ==14GF AD ∴=，则AHD GHF ∆∆∽ 从而14FH AH =，∴45AH AF =又12AF AD DF b a =+=+ ∴4124()5255AH b a a b =+=+ 故选：B ．【点评】本题主要考查了向量加减混合运算及其几何意义、平行四边形的几何性质，属于基础题．3．如图所示，在凸四边形ABCD 中，对边BC ，AD 的延长线交于点E ，对边AB ，DC 的延长线交于点F ，若BC CE λ=，ED DA μ=，3(,0)AB BF λμ=>，则( )A ．3144EB EF EA =+B ．14λμ=C ．11λμ+的最大值为1 D ．49EC AD EB EA⋅-⋅ 【解答】解：对于A ，因为3AB BF =，所以3()EB EA EF EB -=-，整理得3144EB EF EA =+，故A 正确；对于B ，过点B 作//BG FD ，交AE 于点G ，则AF AD BF DG =，BC DG CE DE =，所以1AF BC ED AD DG ED BF CE DA DG DE DA⋅⋅=⋅⋅=，因为BC CE λ=，ED DA μ=，3AB BF =，所以4AF BF =，BCCEλ=，ED DA μ=， 所以41λμ=，所以14λμ=，故B 正确； 对于C ，由B 知，114()84λμλμλμ+=+=，当且仅当12λμ==时等号成立， 所以11λμ+的最小值为4，故C 错误；对于D ，因为BC CE λ=，ED DA μ=，所以(1)EB EC λ=+，(1)(1)EA DA AD μμ=+=-+， 所以111455(1)(1)9(1)(1)244EC AD EC AD EB EA EC AD λμλμλμλμ⋅⋅-===-=--++⋅-++⋅+++，当且仅当12λμ==时取等号，故D 正确． 故选：ABD ．【点评】本题主要考查平面向量的线性运算，基本不等式的应用，考查转化思想与数形结合思想的应用，属于中档题．4．已知向量a e ≠，||1e =，满足对任意t R ∈，恒有||||a te a e --，则( )A ．0a e ⋅=B ．()0a a e ⋅-=C ．()0e a e ⋅-=D ．()()0a e a e +⋅-=【分析】由平面向量数量积运算可得22210t te a e a -⋅+⋅-=，对任意t R ∈恒成立，则2(2)4(21)0e a e a ⋅-⋅-，然后求解即可．【解答】解：由向量a e ≠，||1e =，满足对任意t R ∈，恒有||||a te a e --，则2222222a te a t e a e a e -⋅+=-⋅+，即22210t te a e a -⋅+⋅-=，由题意有2(2)4(21)0e a e a ⋅-⋅-，即2(1)0e a ⋅-，即1e a ⋅=，则()0e a e ⋅-=， 故选：C ．【点评】本题考查了平面向量数量积运算，重点考查了不等式恒成立问题，属基础题．5．已知e 为单位向量，向量a 满足()(5)0a e a e -⋅-=，则||a e +的最大值为( ) A ．4B ．5C ．6D ．7【分析】设(1,0)e =，(,)a x y =，根据向量a 满足()(5)0a e a e -⋅-=，可得x ，y 的关系式，并得出x ，y 的取值范围，||(1)a e x +=+ 【解答】解：设(1,0)e =，(,)a x y =，则()(5)(1a e a e x -⋅-=-，)(5y x ⋅-，22)650y x x y =-++=，即22(3)4x y -+=，则15x ，22y -，所以||(1)a e x +=+=，当5x =6，即||a e +的最大值为6， 故选：C ．【点评】本题考查了向量数量积的应用，将所求问题坐标化转化为函数的最值问题是解题关键．6．已知ABC ∆中，对任意t R ∈，||||BA tBC AC -，则ABC ∆是 以C 为直角的直角 三角形．【分析】两边平方后整理成关于t 的一元二次不等式恒成立，再利用判别式小于等于0，以及正弦定理可得．【解答】解：对任意t R ∈，||||BA tBC AC -，即22()|BA tBC AC-，即22222cos 0a t act B c b -+-，则△2222(2cos )4()0ac B a c b =--，化简得222cos 1b B c -，即222sin b B c ，即sin b B c，设ABC ∆外接圆的半径为R ，则由正弦定理可得2b bR c，得2c R ，得sin 1C ，又sin 1C ，sin 1C ∴=，2C π∴=．故答案为：以C 为直角的直角．【点评】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属中档题． 7．已知ABC ∆，若对任意t R ∈，||||BA tBC AC -，则ABC ∆一定为( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．答案不确定【解答】解：令AM BA tBC =-，则根据向量的减法的几何意义可得M 在BC 上， 由||||BA tBC AC -对一切实数t 都成立可得：||||AM AC ，AC BC ∴⊥，则ABC ∆为直角三角形．故选：C ．【点评】本题是一道构造非常巧妙的试题，解题的关键是由||||BA tBC AC -对一切实数t都成立可得到AC 为A 到BC 的距离．8．如图，在平行四边形ABCD 中，AP BD ⊥，垂足为P ，且3AP =，则AP AC = 18 ．【分析】设AC 与BD 交于O ，则2AC AO =，在RtAPO 中，由三角函数可得AO 与AP 的关系，代入向量的数量积||||cos AP AC AP AC PAO =∠可求 【解答】解：设AC 与BD 交于点O ，则2AC AO =AP BD ⊥，3AP =，在Rt APO ∆中，cos 3AO OAP AP ∠==||cos 2||cos 2||6AC OAP AO OAP AP ∴∠=⨯∠==，由向量的数量积的定义可知，||||cos 3618AP AC AP AC PAO =∠=⨯= 故答案为：18【点评】本题主要考查了向量的数量积 的定义的应用，解题的关键在于发现规律：cos 2cos 2AC OAP AO OAP AP ⨯∠=⨯∠=．9．在ABC ∆中，M 是BC 的中点，1AM =，点P 在AM 上且满足向量2AP PM =，则向量()PA PB PC +等于( )A ．49-B ．43-C ．43D ．49【分析】由题意M 是BC 的中点，知AM 是BC 边上的中线，又由点P 在AM 上且满足2AP PM =可得：P 是三角形ABC 的重心，根据重心的性质，即可求解．【解答】解：M 是BC 的中点，知AM 是BC 边上的中线， 又由点P 在AM 上且满足2AP PM =P ∴是三角形ABC 的重心∴()PA PB PC +2||PA AP PA ==-又1AM =∴2||3PA =∴4()9PA PB PC +=-故选：A ． 【点评】本题考查向量的数量积的应用，解题的关键是判断P 点是三角形的重心，考查计算能力．10．在ABC ∆中，2AB =，3AC =，N 是边BC 上的点，且,BN NC O =为ABC ∆的外心，则(AN AO ⋅= ) A ．3B ．134C ．92D ．94【分析】利用平面向量的线性运算法则以及外心的性质、数量积的定义求解． 【解答】解：因为O 为ABC ∆的外心，故2122AO AB AB ⋅==，21922AO AC AC ⋅==， 又BN NC =，故N 为BC 的中点，故1()2AN AB AC =+，所以11()()22AN AO AB AC AO AO AB AO AC ⋅=+⋅=⋅+⋅1913(2)224=+=．故选：B ．【点评】本题考查平面向量数量积的定义以及平面向量线性运算的几何意义，属于中档题．11．设a 、b 、c 是单位向量，0a b =，则()()a c b c --的最小值为 1 【分析】利用向量的运算法则展开()()a c b c --，再利用余弦值的有界性求范围． 【解答】解：设c 与a b +的夹角等于θ，()()(a c b c a b c --=-2)a b c ++20||||cos 10||1()1c a b a b a b θ=-++-++=-++2222211a b a b a b =+++=-++1=．故答案为：1【点评】本题主要考查两个向量的数量积的定义，两个向量垂直的性质，考查向量的运算法则：交换律、分配律，但注意不满足结合律，属于中档题．12．已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()()PB AB PB PC -+的最小值是( ) A ．1-B ．32-C ．2-D ．43-【分析】建立坐标系，设(,)P x y ，得出()()PB AB PB PC -+关于x ，y 的表达式，配方即可得出结论．【解答】解：以BC 为x 轴，以BC 边上的高为y 轴建立坐标系，则(0,3)A ，设(,)P x y ，则2(2,2)PB PC PO x y +==--，()(,3)PB AB PA x y -==--， 222233()()222322()22PB AB PB PC x y y x y ∴-+=+-=+--， ∴当0x =，32y =时，()()PB AB PB PC -+取得最小值32-， 故选：B ．【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，属于中档题．13．如图，在平面四边形ABCD 中，AB BC ⊥，AD CD ⊥，120BAD ∠=︒，1AB AD ==．若点E 为边CD 上的动点，则AE BE 的最小值为( )A ．2116B ．32C ．2516D ．3【分析】如图所示，以D 为原点，以DA 所在的直线为x 轴，以DC 所在的直线为y 轴，求出A ，B ，C 的坐标，根据向量的数量积和二次函数的性质即可求出． 【解答】解：如图所示，以D 为原点，以DA 所在的直线为x 轴， 以DC 所在的直线为y 轴，过点B 做BN x ⊥轴，过点B 做BM y ⊥轴，AB BC ⊥，AD CD ⊥，120BAD ∠=︒，1AB AD ==， 1cos602AN AB ∴=︒=，3sin 60BN AB =︒，13122DN ∴=+=，32BM ∴=，3tan302CM MB ∴=︒=， 3DC DM MC ∴=+=，(1,0)A ∴，3(2B ，3)2，(0,3)C ，设(0,)E m ，∴(1,)AE m =-，3(2BE =-，3)2m -，03m，∴22233333321()()224216416AE BE m m m m =+-=-+-=-+， 当34m =时，取得最小值为2116． 故选：A ．【点评】本题考查了向量在几何中的应用，考查了运算能力和数形结合的能力，属于中档题． 14．在ABC ∆中，D 是BC 的中点，H 是AD 的中点，过点H 作一直线MN 分别与边AB ，AC 交于M ，N ，若,AM xAB AN y AC ==，则4x y +的最小值是( )A ．52B ．73C ．94D ．14【分析】根据题意，利用MH 与NH 共线，求出x 与y 的表达式，再利用基本不等式求出4x y +的最小值即可．【解答】解：在ABC ∆中，D 为BC 边的中点，H 为AD 的中点， ,AM xAB AN y AC ==，∴1()4AH AM MH xAB MH AB AC =+=+=+，∴11()44MH x AB AC =-+，同理，11()44NH AB y AC =+-， MH 与NH 共线，∴存在实数λ，使(0)MH NH λλ=<，即1111()()4444x AB AC AB y AC λλ-+=+-，即114411()44x y λλ⎧-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得14x λ-=，114y λ-=， 1115159442(444444x y λλλλ--∴+=+⨯=--+-=， 当且仅当14λλ-=-，即2λ=-时，“=”成立，4x y ∴+的最小值是94． 故选：C ．【点评】本题考查了平面向量的线性运算，以及基本不等式的应用，属于中档题． 15．直角三角形ABC 中，P 是斜边BC 上一点，且满足2BP PC =，点M 、N 在过点P 的直线上，若AM mAB =，AN nAC =，(0,0)m n >>，则下列结论错误的是( ) A ．12m n+为常数 B ．m n +的最小值为169C ．2m n +的最小值为3D ．m 、n 的值可以为：12m =，2n = 【分析】作出图形，由2BP PC =可得出1233AP AB AC =+，根据三点共线的结论得出123m n+=，结合基本不等式可判断出各选项的正误，即可得出结论． 【解答】解：如下图所示：由2BP PC =，可得2()AP AB AC AP -=-，∴1233AP AB AC =+， 若,,(0,0)AM mAB AN nAC m n ==>>，则11,AB AM AC AN m n==， ∴1233AP AM AN m n=+，M 、P 、N 三点共线，∴12133m n+=，∴123m n +=，故A 正确；所以1,22m n ==时，也满足123m n +=，则D 选项正确；122252252(2)()2333333333n m n m n m n m n mn m +=++=++⋅=， 当且仅当m n =时，等号成立，C 选项成立； 1222()()1211333333n m n m n m n m n m n m +=++=++⋅，当且仅当2n m =时，即1222,33m n ++==时等号成立，故B 选项错误． 故选：B ．17．已知点O 、N 、P 在ABC ∆所在平面内，且||||||OA OB OC ==，0NA NB NC ++=，PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅，则点O 、N 、P 依次为ABC ∆的( )A ．重心、外心、垂心B ．重心、外心、内心C ．外心、重心、垂心D ．外心、重心、内心【分析】根据O 到三角形三个顶点的距离相等，得到O 是三角形的外心，根据所给的四个选项，第一个判断为外心的只有C ，D 两个选项，只要判断第三个条件可以得到三角形的什么心就可以，移项相减，得到垂直，即得到P 是三角形的垂心． 【解答】证明：||||||OA OB OC ==，O ∴到三角形三个顶点的距离相等， O ∴是三角形的外心，根据所给的四个选项，第一个判断为外心的只有C ，D 两个选项，∴只要判断第三个条件可以得到三角形的什么心就可以，PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅，∴()0PB PA PC -=，∴0PB CA ⋅=，∴PB CA ⊥，同理得到另外两个向量都与相对应的边垂直，得到P 是三角形的垂心， 故选：C ．【点评】本题是一个考查的向量的知识点比较全面的题目，把几种三角形的心总结的比较全面，解题时注意向量的有关定律的应用，不要在运算律上出错． 18．已知非零向量,AB AC 和BC 满足())0||||AB AC BC AB AC +⋅=，且1||||2AC BC AC BC ⋅=，则ABC ∆为( ) A ．等边三角形 B ．等腰非直角三角形C ．非等腰三角形D ．等腰直角三角形【解答】解：根据向量的性质可得||||1||||AB ACAB AC == ∴||||AB ACAB AC +在BAC ∠的角平分线上（设角平分线为)AD (())0||||AB ACBC AB AC +⋅= AD BC ∴⊥从而有AB AC =又因为12||||AC BC AC BC ⋅=且||||1||||AC BCAC BC ==所以60C ∠=︒三角形为等边三角形 故选：A ．【点评】本题主要考查了平面向量的加法的四边形法则，向量的数量积的运算，考查了等边三角形的性质，属于综合试题．19．已知O 是平面上的一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足()2||cos ||cos OB OC AB ACOP AB B AC Cλ+=++，[0λ∈，)+∞，则动点P 的轨迹一定通过ABC ∆的( ) A ．内心B ．垂心C ．重心D ．外心【解答】解：设BC 的中点为D ， ()2||cos ||cos OB OC AB AC OP AB B AC C λ+=++，∴()||cos ||cos AB ACOP OD AB B AC C λ=++， 即()||cos ||cos AB ACDP AB B AC Cλ=+，两端同时点乘BC ，||||cos()||||cos ()()(||||)0||cos ||cos ||cos ||cos AB BC AC BC AB BC B AC BC CDP BC BC BC AB B AC C AB B AC Cπλλλ⋅⋅⋅-⋅⋅=+=+=-+=DP BC ∴⊥，∴点P 在BC 的垂直平分线上，即P 经过ABC ∆的外心故选：D ．【点评】本题主要考查了空间向量的加减法，以及三角形的外心的知识，属于基础题． 20．设点O 在ABC ∆的内部，且有230OA OB OC ++=，则ABC ∆的面积与AOC ∆的面积的比为( ) A ．2B ．32C ．3D ．53【解答】解：分别取AC 、BC 的中点D 、E ，230OA OB OC++=，∴2()OA OC OB OC+=-+，即2 4OD=-OE，O∴是DE的一个三等分点，∴3ABCAOCSS∆∆=，故选：C．【点评】此题是个基础题．考查向量在几何中的应用，以及向量加法的平行四边形法则和向量共线定理等基础知识，同时考查学生灵活应用知识分析解决问题的能力和计算能力．21．已知点O在ABC∆内，且::4:3:2AOB BOC AOCS S S∆∆∆=，AO AB ACλμ=+，则(λμ+= A．1B．29C．59D．23【分析】先证明0AOB BOC AOCS OC S OA S OB∆∆∆⋅+⋅+⋅=成立，得到4320OC OA OB++=，利用向量的线性运算得到429AC AB AO+=，求出λ，μ，由此能求出结果．【解答】解：先证明0AOB BOC AOCS OC S OA S OB∆∆∆⋅+⋅+⋅=，延长AO交BC于Q，由题意得AOB BOC AOC ABCS S S S∆∆∆∆++=，由面积关系得：BOCABCS OQS AQ∆∆=，∴APB CPAABCS SAQ AQS∆∆∆+=⋅，||||||||AOC AOBAOC AOB AOC AOBS SQC QBAQ AB AC AB ACS S S SBC BC∆∆∆∆∆∆=⋅+⋅=⋅+⋅++，∴0AOC AOB BOCS OB S OC S AO∆∆∆⋅+⋅-⋅=，∴0AOB BOC AOCS OC S OA S OB∆∆∆⋅+⋅+⋅=，由题意知::4:3:2AOB BOC AOCS S S∆∆∆=，4320OC OA OB∴++=，∴429AC AB AO+=，∴24,99λμ==，23λμ∴+=．故选：D．22．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”()Mercedesbenz的log o很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．奔驰定理：已知O是ABC∆内的一点，BOC ∆，AOC ∆，AOB ∆的面积分别为A S ，B S ，C S ，则0A B C S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=．若O 是锐角ABC ∆内的一点，A ，B ，C 是ABC ∆的三个内角，且点O 满足OA OB OB OC OA OC ⋅=⋅=⋅．则( )A ．O 为ABC ∆的外心B ．BOC A π∠+=C ．||:||:||cos :cos :cos OA OB OC A B C =D ．::tan :tan :tan A B C S S S A B C =【分析】选项A ，将OA OB OB OC ⋅=⋅移项，并结合平面向量的减法和数量积的运算法则，可得OB CA ⊥，同理推出OA CB ⊥，OC AB ⊥，得解； 选项B ，根据选项A 中所得，可知2OBC C π∠+=，2OCB B π∠+=，再由三角形的内角和定理，得解；选项C ，延长CO 交AB 于点P ，结合诱导公式与余弦函数的定义，可证cos :cos :A B OA OB =，进而得解；选项D ，由三角形的面积公式与诱导公式，可得:tan :tan A B S S A B =，进而得解． 【解答】解：对于选项A ，()00OA OB OB OC OB OA OC OB CA OB CA ⋅=⋅⇔⋅-=⇔⋅=⇔⊥，同理可得，OA CB ⊥，OC AB ⊥，故O 为ABC ∆的垂心，即A 错误； 对于选项B ，因为OB AC ⊥，OC AB ⊥，所以2OBC C π∠+=，2OCB B π∠+=，所以OBC C OCB B π∠++∠+=，又OBC OCB BOC π∠+∠+∠=，所以BOC C B ∠=+， 又A B C π++=，所以BOC A π∠+=，即B 正确； 对于选项C ，由上可知，A BOC π=-∠，B AOC π=-∠， 延长CO交AB 于点P ，cos :cos cos():cos()cos :cos ::OP OPA B BOC AOC BOP AOP OA OB OB OAππ=-∠-∠=∠∠==， 同理可得，cos :cos :A C OA OC =，所以cos :cos :cos ::A B C OA OB OC =，即C 正确；对于选项D ，11:():():tan :tan tan :tan tan():tan()tan :tan 22A B S S OC BP OC AP BP AP OP POB OP AOP BOC AOC A B A Bππ=⋅⋅⋅⋅==∠∠=∠∠=--=，同理可得，:tan :tan A C S S A C =，所以::tan :tan :tan A B C S S S A B C =，即D 正确．故选：BCD ．【点评】本题考查平面向量在几何中的应用，熟练掌握平面向量的数量积，诱导公式，平面几何基础知识是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于难题．23．在矩形ABCD 中，1AB =，2AD =，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP AB AD λμ=+，则λμ+的最大值为( )A ．3B ．22C 5D ．2【分析】方法一：如图：以A 为原点，以AB ，AD 所在的直线为x ，y 轴建立如图所示的坐标系，先求出圆的标准方程，再设点P 的坐标为25(1θ+，252)θ+，根据AP AB AD λμ=+，求出λ，μ，根据三角函数的性质即可求出最值．方法二：根据向量分解的等系数和线直接可得．【解答】解：如图：以A 为原点，以AB ，AD 所在的直线为x ，y 轴建立如图所示的坐标系，则(0,0)A ，(1,0)B ，(0,2)D ，(1,2)C ，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上， 设圆的半径为r ，2BC =，1CD =，22215BD ∴=+∴1122BC CD BD r ⋅=⋅， 5r ∴=，∴圆的方程为224(1)(2)5x y -+-=，设点P 的坐标为25(1θ+252)θ+，AP AB AD λμ=+，25(1θ∴+252)(1θλ+=，0)(0μ+，2)(λ=，2)μ， ∴251θλ+=2522θμ+=，255cos sin 2sin()255λμθθθϕ∴+=++=++，其中tan 2ϕ=， 1sin()1θϕ-+，13λμ∴+，故λμ+的最大值为3，方法二：根据向量分解的等系数和线，可得λμ+的最大值为3，如图所述 故选：A ．【点评】本题考查了向量的坐标运算以及圆的方程和三角函数的性质，关键是设点P 的坐标，考查了学生的运算能力和转化能力，属于中档题．24．平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点(3,1)A 、(1,3)B -，若点C 满足OC OA OB αβ=+，其中α、R β∈，且1αβ+=，则点C 的轨迹方程为( )A ．32110x y +-=B ．22(1)(2)5x y -+-=C ．20x y -=D ．250x y +-=【分析】由点C 满足OC OA OB αβ=+，其中α、R β∈，且1αβ+=，知点C 在直线AB 上，故求出直线AB 的方程即求出点C 的轨迹方程．【解答】解：C 点满足OC OA OB αβ=+且1αβ+=，A ∴、B 、C 三点共线． C ∴点的轨迹是直线AB 又(3,1)A 、(1,3)B -，∴直线AB 的方程为：133113y x --=---整理得250x y +-= 故C 点的轨迹方程为250x y +-= 故选：D ．【点评】考查平面向量中三点共线的充要条件及知两点求直线的方程，是向量与解析几何综合运用的一道比较基本的题，难度较小，知识性较强．25．若动直线:440l mx y m -+-=与圆22:(4)(5)9C x y -+-=相交于A ，B 两点，则()A ．||AB 的最小值为42B ．CA CB ⋅的最大值为7-C ．(OA OB O ⋅为坐标原点）的最大值为78D ．AC AB ⋅的最大值为18【解答】解：440mx y m -+-=，(4)(4)0m x y ∴---=，故动直线l 恒过点(4,4)D ； 圆22:(4)(5)9C x y -+-=的圆心为(4,5)C ，半径为3，则22||(44)(45)1CD =-+-=， 故||AB 的最小值为2223142⨯-=；故选项A 正确；对于选项B ，||||cos 9cos CA CB CA CB ACB ACB ⋅=⋅∠=∠，易知当CD AB ⊥时，ACB ∠最小，此时22233(42)7cos 2339maxACB +-∠==-⨯⨯；故7()9()79max CA CB ⋅=⨯-=-；故选项B 正确；对于选项C ，设AB 的中点为M ，()()OA OB OM MA OM MA ⋅=+⋅-22229OM MA OM CM =-=+-，而点M 在以DC 为直径的圆2291(4)()24x y -+-=上，设1(4cos 2M θ+，91sin )([022θθ+∈，2]π，且)2πθ≠，故2222221911119(4cos )(sin )(cos )(sin )9222222OA OB OM CM θθθθ⋅=+-=+++++--284cos 4sin 2842sin()28424πθθθ=++=+++，故错误；对于选项D ，21||||cos ||2AC AB AC AB CAB AB ⋅=⋅∠=， 故当||AB 取最大值，即AB 过圆心C 时，但动直线l 的斜率一定存在， 故动直线l 不包括垂直于x 轴的直线，故AC AB ⋅的最大值不存在，即错误； 故选：AB ．【点评】本题综合考查了直线与圆的位置关系的应用及平面向量的综合应用，属于难题．。

芯衣州星海市涌泉学校2021届高三数学二轮专题复习教案――平面向量第四中学邱金龙一、本章知识构造： 二、重点知识回忆1.向量的概念：既有大小又有方向的量叫向量,有二个要素：大小、方向.2.向量的表示方法：①用有向线段表示；②用字母a 、b 等表示；③平面向量的坐标表示：分别取与x 轴、y 轴方向一样的两个单位向量i、j 作为基底。

任作一个向量a，由平面向量根本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得axi yj =+，),(y x 叫做向量a 的〔直角〕坐标，记作(,)a x y =，其中x叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，特别地，i (1,0)=，j (0,1)=，0(0,0)=。

22a x y =+；假设),(11y x A ，),(22y x B ，那么()1212,y y x x AB --=，222121()()AB x x y y =-+-3.零向量、单位向量：①长度为0的向量叫零向量，记为0；②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.〔注：||a a 就是单位向量〕4.平行向量：①方向一样或者者相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行.向量a 、b 、c 平行，记作a ∥b ∥c .一一共线向量与平行向量关系：平行向量就是一一共线向量. 5.相等向量：长度相等且方向一样的向量叫相等向量. 6.向量的加法、减法：①求两个向量和的运算，叫做向量的加法。

向量加法的三角形法那么和平行四边形法那么。

②向量的减法向量a 加上的b 相反向量，叫做a 与b 的差。

即：a b =a +(b)；差向量的意义：OA =a ,OB =b ,那么BA =a b③平面向量的坐标运算：假设11(,)a x y =，22(,)b x y =，那么a b +),(2121y y x x ++=，a b -),(2121y y x x --=，(,)a x y λλλ=。

④向量加法的交换律：a +b =b +a ；向量加法的结合律：(a +b )+c =a +(b +c )7．实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：λa〔1〕|λa |=|λ||a |；〔2〕λ>0时λa 与a 方向一样；λ<0时λa 与a 方向相反；λ=0时λa=0；〔3〕运算定律λ(μa )=(λμ)a ，(λ+μ)a =λa +μa ，λ(a +b )=λa+λb8．向量一一共线定理向量b 与非零向量a一一共线〔也是平行〕的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b =λa。

高考数学二轮复习提高题专题复习平面向量多选题练习题附解析一、平面向量多选题1．Rt △ABC 中，∠ABC =90°，AB =BC =1，0PA PB PC PAPBPC++=，以下正确的是（ ） A ．∠APB =120° B ．∠BPC =120° C ．2BP =PC D ．AP =2PC【答案】ABCD 【分析】根据条件作几何图形，由向量的关系可得P ，G ，Q 三点共线且PQ =1，故△PMQ 和△PNQ 均为等边三角形，∠APB =∠BPC =∠APC =120°，进而可确定P 为Rt △ABC 的费马点，利用相似可确定BP 、 AP 、 PC 之间的数量关系. 【详解】在直线PA ，PB ，PC 上分别取点M ，N ，G ，使得|PM |=|PN |=|PG |=1， 以PM ，PN 为邻边作平行四边形PMQN ，则PM PN PQ +=， ∵0PA PB PC PAPBPC++=，即0PM PN PG ++=，即0PQ PG +=，∴P ，G ，Q 三点共线且PQ =1，故△PMQ 和△PNQ 均为等边三角形， ∴∠APB =∠BPC =∠APC =120°，故A 、B 正确； ∵AB =BC =1，∠ABC =90°， ∴AC =2，∠ACB =60°，在△ABC 外部分别以BC ､AC 为边作等边△BCE 和等边△ACD ，直线CP 绕C 旋转60°交PD 于P’，∴120CE CB ECA BCD CA CD =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，即ECA BCD ≅，故EAC BDC ∠=∠， EAC BDC CA CDPCA P CD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪'∠=∠⎩，即CPA CP D '≅，故CP CP '=， ∴CPP '为等边三角形，120CP D CPA '∠=∠=︒，则B ，P ，D 三点共线，同理有A ，P ，E 三点共线， ∴△BPC ∽△BCD ，即12BP BC CP CD ==，即PC =2BP ，故C 正确， 同理：△APC ∽△ACB ，即AP ACCP BC==2，即AP =2PC ，故D 正确. 故选：ABCD.【点睛】关键点点睛：根据已知条件及向量的数量关系确定P 为Rt △ABC 的费马点，结合相似三角形及费马点的性质判断各项的正误.2．已知向量(22cos ,3m x =，()1, sin2n x =，设函数()f x m n =⋅，则下列关于函数()y f x =的性质的描述正确的是 （ ）A ．()f x 的最大值为3B ．()f x 的周期为πC ．()f x 的图象关于点5,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称 D ．()f x 在,03π⎛-⎫⎪⎝⎭上是增函数 【答案】ABD 【分析】运用数量积公式及三角恒等变换化简函数()f x ，根据性质判断. 【详解】解：()22cos 3sin 2cos23sin 21f x m n x x x x =⋅==+2sin 216x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭， 当6x k ππ=+，()k Z ∈时，()f x 的最大值为3，选项A 描述准确；()f x 的周期22T ππ==,选项B 描述准确； 当512x π=时，2sin 2116x π⎛⎫++= ⎪⎝⎭，所以()f x 的图象关于点5,112π⎛⎫⎪⎝⎭对称，选项C 描述不准确； 当,03x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，2,626x πππ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，所以()f x 在,03π⎛-⎫⎪⎝⎭上是增函数，选项D 描述准确.【点睛】本题考查三角恒等变换，正弦函数的图象与性质，属于中档题.3．下列关于平面向量的说法中正确的是（ ）A ．已知,a b 均为非零向量，若//a b ，则存在唯一的实数λ，使得λabB ．已知非零向量(1,2),(1,1)a b ==，且a 与a λb +的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是5,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭C ．若a c b c ⋅=⋅且0c ≠，则a b =D ．若点G 为ABC 的重心，则0GA GB GC ++= 【答案】AD 【分析】由向量共线定理可判断选项A ；由向量夹角的的坐标表示可判断选项B ；由数量积的运算性质可判断选项C ；由三角形的重心性质即向量线性运算可判断选项D. 【详解】对于选项A ： 由向量共线定理知选项A 正确；对于选项B ：()()()1,21,11,2a b λλλλ+=+=++，若a 与a λb +的夹角为锐角，则()()122530a a b λλλλ⋅+=+++=+>解得53λ>-，当a 与a λb +共线时，()221λλ+=+，解得：0λ=，此时(1,2)a =，()1,2a b λ+=，此时a b =夹角为0，不符合题意，所以实数λ的取值范围是()5,00,3⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭，故选项B 不正确；对于选项C ：若a c b c ⋅=⋅，则()0c a b ⋅-=，因为0c ≠，则a b =或c 与a b -垂直， 故选项C 不正确；对于选项D ：若点G 为ABC 的重心，延长AG 与BC 交于M ，则M 为BC 的中点，所以()1222AG GM GB GC GB GC ==⨯⨯+=+，所以0GA GB GC ++=，故选项D 正确.【点睛】易错点睛：两个向量夹角为锐角数量积大于0，但数量积大于0向量夹角为锐角或0，由向量夹角为锐角数量积大于0，需要检验向量共线的情况. 两个向量夹角为钝角数量积小于0，但数量积小于0向量夹角为钝角或π.4．下列命题中真命题的是（ ）A ．向量a 与向量b 共线，则存在实数λ使a =λb （λ∈R ）B ．a ，b 为单位向量，其夹角为θ，若|a b -|＞1，则3π＜θ≤πC ．A 、B 、C 、D 是空间不共面的四点，若AB •AC =0，AC •AD =0，AB •AD =0则△BCD 一定是锐角三角形D ．向量AB ，AC ，BC 满足AB AC BC =+，则AC 与BC 同向 【答案】BC 【分析】对于A ：利用共线定理判断 对于B ：利用平面向量的数量积判断 对于C ：利用数量积的应用判断 对于D ：利用向量的四则运算进行判断 【详解】对于A ：由向量共线定理可知，当0b =时，不成立.所以A 错误. 对于B ：若|a b -|＞1，则平方得2221a a b b -⋅+＞，即12a b ⋅＜，又1||2a b a b cos cos θθ⋅=⋅=＜，所以3π＜θ≤π，即B 正确.对于C ：()()220BC BD AC AB AD AB AC AD AC AB AB AD AB AB ⋅=-⋅-=⋅-⋅-⋅+=＞，0||BC BD cosB BC BD ⋅=⋅＞，即B 为锐角，同理A ，C 也为锐角，故△BCD 是锐角三角形，所以C 正确.对于D ：若AB AC BC =+，则AB AC BC CB -==，所以0CB =，所以则AC 与BC 共线，但不一定方向相同，所以D 错误. 故选：BC. 【点睛】（1）多项选择题是2020年高考新题型，需要要对选项一一验证；（2）要判断一个命题错误，只需举一个反例就可以；要证明一个命题正确，需要进行证明.5．下列说法中错误的为（ ）A ．已知(1,2)a =，(1,1)b =，且a 与a b λ+的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是5,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．向量1(2,3)e =-，213,24e ⎛⎫=-⎪⎝⎭不能作为平面内所有向量的一组基底 C ．若//a b ，则a 在b 方向上的投影为||aD ．非零向量a 和b 满足||||||a b a b ==-，则a 与a b +的夹角为60° 【答案】ACD 【分析】由向量的数量积､向量的投影､基本定理与向量的夹角等基本知识，逐个判断即可求解. 【详解】对于A ，∵(1,2)a =，(1,1)b =，a 与a b λ+的夹角为锐角， ∴()(1,2)(1,2)a a b λλλ⋅+=⋅++142350λλλ=+++=+>，且0λ≠(0λ=时a 与a b λ+的夹角为0)， 所以53λ>-且0λ≠，故A 错误； 对于B ，向量12(2,3)4e e =-=，即共线，故不能作为平面内所有向量的一组基底，B 正确；对于C ，若//a b ，则a 在b 方向上的正射影的数量为||a ±，故C 错误； 对于D ，因为|||a a b =-∣，两边平方得||2b a b =⋅， 则223()||||2a ab a a b a ⋅+=+⋅=， 222||()||2||3||a b a b a a b b a +=+=+⋅+=，故23||()32cos ,2||||3||a a a b a a b a a b a a ⋅+<+>===+⋅∣， 而向量的夹角范围为[]0,180︒︒， 得a 与a b λ+的夹角为30°，故D 项错误. 故错误的选项为ACD 故选：ACD 【点睛】本题考查平面向量基本定理及向量的数量积，向量的夹角等知识，对知识广度及准确度要求比较高，中档题.6．如图所示，设Ox ，Oy 是平面内相交成2πθθ⎛⎫≠⎪⎝⎭角的两条数轴，1e ，2e 分别是与x ，y 轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系xOy 为θ反射坐标系中，若12OM xe ye =+，则把有序数对(),x y 叫做向量OM 的反射坐标，记为(),OM x y =.在23πθ=的反射坐标系中，()1,2a =，()2,1b =-.则下列结论中，正确的是（ ）A ．()1,3a b -=-B ．5a =C ．a b ⊥D ．a 在b 上的投影为3714-【答案】AD 【分析】123a b e e -=-+，则()1,3a b -=-，故A 正确；3a =，故B 错误；32a b ⋅=-，故C 错误；由于a 在b 上的投影为3372147a b b-⋅==-，故D 正确.【详解】()()121212223a b e e e e e e -=+--=-+，则()1,3a b -=-，故A 正确；()2122254cos33a e e π=+=+=B 错误；()()22121211223222322a b e e e e e e e e ⋅=+⋅-=+⋅-=-，故C 错误； 由于()22227b e e =-=a 在b 上的投影为3372147a b b-⋅==-，故D 正确。