甘肃省兰州市2015届高三3月诊断考试数学(理)试题含答案

兰州一中2015届高三第三次模拟考试文科数学本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试用时120分钟．考试结束后，将试题纸和答题卡一并交回．第Ⅰ卷(选择题共60分)注意事项：1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将姓名、座位号和准考证号填写在答题卡和试卷规定的位置．2．答题时，考生需用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={x|-1<x<1}，B={x|x2-3x≤0}，则A∩B等于()．A．B．(-1，3] C．，(45，50]，(50，55]，(55，60]进行分组，得到频率分布直方图如图所示．已知样本中体重在区间(45，50]上的女生数与体重在区间(55，60]上的女生数之比为4:3．(Ⅰ)求a，b的值；(Ⅱ)从样本中体重在区间(50，60]上的女生中随机抽取两人，求体重在区间(55，60]上的女生至少有一人被抽中的概率．20．(本小题满分12分)已知⊙C过点P(1，1)，且与⊙M：(x+2)2+(y+2)2=r2(r>0)关于直线x+y+2=0对称．(Ⅰ)求⊙C的方程；(Ⅱ)过点P作两条相异直线分别与⊙C相交于A，B，且直线P A和直线PB的倾斜角互补，O为坐标原点，试判断直线OP和AB是否平行？请说明理由．(Ⅰ)求a，b的值，并求函数f(x)的单调递增区间；(Ⅱ)设g(x)=f(x)-3x，试问过点(2，2)可作多少条直线与曲线y=g(x)相切？请说明理由．请考生在第22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号．22．(本小题满分10分)选修4-1：几何证明选讲在△ABC 中，AB =AC ，过点A 的直线与其外接圆交于点P ，交BC 延长线于点D ．(Ⅰ)求证：PC PDAC BD=； (Ⅱ)若AC =2，求AP ·AD 的值．23．(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xoy 中，动点A 的坐标为(2-3sin α，3cos α-2)，其中α∈R ．以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的方程为ρcos(θ -4π)=a ． (Ⅰ)判断动点A 的轨迹表示什么曲线； (Ⅱ)若直线l 与动点A 的轨迹有且仅有一个公共点，求实数a 的值．24．(本小题满分10分)选修4-5；不等式选讲若实数a ，b 满足ab >0，且a 2b =4，若a +b ≥m 恒成立． (Ⅰ)求m 的最大值； (Ⅱ)若2|x -1|+|x |≤a +b 对任意的a ，b 恒成立，求实数x 的取值范围．D兰州一中2015届高三第三次模拟试题文科数学参考答案一、选择题1．C 解析：∵A =(-1，1)，B =，则A ∩B =． 解析：直线y +2=k (x +1)过定点(-1，-2)，作图得k 的取值范围是(-∞，-2)∪(0，23]．14．16解析：在36对可能的结果中，和为7的有6对：(1，6)，(2，5)，(2，5)，(3，4)，(3，4)，(4，3)．∴得到两数之和为7的概率是61366=． 15．(1，-1) 解析：由题意可知b 的终点在直线x =1上，可设b =(1，y )，则||⋅a b b =17y 2+48y +31=0，∴y =-1或y =-3117(增解，舍去)，∴b =(1，-1)．16 解析：∵{a n }是等差数列，∴a =0，S n =n 2，∴a 2=3，a 3=5，a 4=7． 设三角形最大角为θ，由余弦定理，得cos θ=-12，∴θ=120°．∴该三角形的面积S =12×3×5×sin120°三、解答题17．(Ⅰ)解：a 1=2，a 2=2+k ，a 3=2+3k ，由a 22=a 1a 3得，(2+k )=2(2+3k )，∵k ≠0，∴k =2．······················································································2分 由a n +1=a n +2n ，得a n -a n -1=2(n -1)， ∴a n =a 1+(a 2-a 1)+(a 3-a 2)+···+(a n -a n -1)=2+2=n 2-n +2．·························6分(Ⅱ)解：(1)122n n n n a k n n n n k n ---==⋅⋅．·······························································8分 ∴T n =12301212222nn -+++⋅⋅⋅+， 2341101221222222n n n n n T +--=+++⋅⋅⋅++，························································10分 两式相减得，234111111111111111(1)22222222222n n n n n n n n n T +-++--+=+++⋅⋅⋅+-=--=-，∴T n =1-12nn +．·······················································································12分 18．(Ⅰ)证明：设O 为AB 的中点，连结A 1O ，∵AF =14AB ，O 为AB 的中点，∴F 为AO 的中点，又E 为AA 1的中点，∴EF ∥A 1O ．又∵D 为A 1B 1的中点，O 为AB 的中点，∴A 1D =OB ． 又A 1D ∥OB ，∴四边形A 1DBO 为平行四边形． ∴A 1O ∥BD ．又EF ∥A 1O ，∴EF ∥BD ． 又EF ⊄平面DBC 1，BD ⊂平面DBC 1． ∴EF ∥平面DBC 1．…………………6分 (Ⅱ)解：∵AB =BC =CA =AA 1=2，D 、E 分别为A 1B 1、AA 1的中点，AF =14AB ，∴C 1D ⊥面ABB 1A 1． 而11D BEC C BDE V V --=，1111BDE ABA B BDB ABE A DE S S S S S ∆∆∆∆=---=1113222121112222⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=．∵C 1D∴111113332D BEC C BDE BDE V V S C D --∆==⋅=⨯=．………………………………12分19．(Ⅰ)解：样本中体重在区间(45，50]上的女生有a ×5×20=100a (人)，·····················1分样本中体重在区间(50，60]上的女生有(b +0.02)×5×20=100(b +0.02)(人)，··············2分依题意，有100a =43×100(b +0.02)，即a =43×(b +0.02)．①·································3分根据频率分布直方图可知(0.02+b +0.06+a )×5=1，②··········································4分解①②得：a =0.08，b =0.04．······································································6分 (Ⅱ)解：样本中体重在区间(50，55]上的女生有0.04×5×20=4人，分别记为 A 1，A 2，A 3，A 4，··················································································7分 体重在区间(55，60]上的女生有0.02×5×20=2人，分别记为B 1，B 2．··················8(第18题解图)分从这6名女生中随机抽取两人共有15种情况：(A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 1，A 4)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，A 3)，(A 2，A 4)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，A 4)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(A 4，B 1)，(A 4，B 2)，(B 1，B 2)．·······10分其中体重在(55，60]上的女生至少有一人共有9种情况：(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(A 4，B 1)，(A 4，B 2)，(B 1，B 2)．····························································································11分 记“从样本中体重在区间(50，60]上的女生随机抽取两人，体重在区间(55，60]上的女生至少有一人被抽中”为事件M ，则P (M )=93155=．··········································12分20．(Ⅰ)解：设圆心C (a ，b )，则222022212a b b a --⎧++=⎪⎪⎨+⎪=⎪+⎩，解得00a b =⎧⎨=⎩． (3)分则圆C 的方程为x 2+y 2=r 2，将点P 的坐标代入得r 2=2， 故圆C 的方程为x 2+y 2=2．·····································································5分 (Ⅱ)解：由题意知，直线P A 和直线PB 的斜率存在，且互为相反数， 故可设P A ：y -1=k (x -1)，PB ：y -1=-k (x -1)，且k ≠0，······································6分 由221(1)2y k x x y -=-⎧⎨+=⎩，得(1+k 2)x 2-2k (k -1)x +k 2-2k -1=0，······································7分 ∵点P 的横坐标x =1一定是该方程的解，故可得x A =22211k k k --+． (8)分同理，x B =22211k k k+-+．···········································································9分∴(1)(1)2()B A B A B A AB B A B A B Ay y k x k x k k x x k x x x x x x ------+===---=1=k OP ． (11)分∴直线AB 和OP 一定平行．·····································································12分依题设，f (1)=5，f ′(1)=-3，∴a =-3，b =-2．···················································4分 ∴f ′(x )=2-22232223xx x x x ---=，令f ′(x )>0，又x >0，∴x ．∴函数的单调增区间为，+∞)．······················································6分(Ⅱ)g (x )=f (x )-3x =2x -2ln x ，g ′(x )=2-2x．设过点(2，2)与曲线g (x )的切线的切点坐标为(x 0，y 0)，则y 0-2=g ′(x 0)(x 0-2)，即2x 0-2ln x 0-2=(2-02x )(x 0-2)，∴ln x 0+02x =2． (8)分令h (x )=ln x +2x -2，则h ′(x )=212x x-，∴x =2． ∴h (x )在(0，2)上单调递减，在(2，+∞)上单调递增．······································10分∵h (12)=2-ln2>0，h (2)=ln2-1<0，h (e 2)=22e >0． ∴h (x )与x 轴有两个交点，∴过点(2，2)可作2条曲线y =g (x )的切线．···············12分22．(Ⅰ)证明：∵∠CPD =∠ABC ，∠D =∠D ，∴△DPC ～△DBA ． ∴PC PD AB BD=． 又∵AB =AC ，∴PC PDAC BD=．·····································································5分 (Ⅱ)解：∵∠ACD =∠APC ，∠CAP =∠CAD ，∴△APC ～△ACD ． ∴AP AC AC AD =，∴AC 2=AP ·AD =4．·······························································10分 23．(Ⅰ)解：设动点A 的直角坐标为(x ，y )，则23sin ,3cos 2.x y αα=-⎧⎨=-⎩∴动点A 的轨迹方程为(x -2)2+(y +2)2=9，其轨迹是以(2，-2)为圆心，半径为3的圆．·····················································5分(Ⅱ)解：直线l 的极坐标方程ρcos(θ-4π)=a 化为直角坐标方程是x +y ．由=3，得a =3，或a =-3．··························································10分24．(Ⅰ)解：由题设可得b =24a >0，∴a >0．∴a +b =a +24a =2422a a a ++≥3， 当a =2，b =1时，a +b 取得最小值3，∴m 的最大值为3．·································5分(Ⅱ)解：要使2|x -1|+|x |≤a +b 对任意的a ，b 恒成立，须且只须2|x -1|+|x |≤3．用零点区分法求得实数x 的取值范围是-13≤x ≤53．········································10分。

兰州一中2015年高三冲刺数学（理）考试及答案————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：甘肃省兰州一中2015届高三冲刺模拟试题数 学（理 科）第I 卷（选择题）注意事项：1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

不能答在试题卷上。

3．本卷共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

一、选择题1.设集合M={}22|21x x y -=，N={}2|y y x =，则M N I =( )A. {（1,1）}B. {（-1,1），（1,1）}C. )1,2⎡+∞⎢⎣ D. 2,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭2. 设i 是虚数单位，那么使得31()122n i -+=的最小正整数n 的值为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 53. 如果直线ax +by =4与圆C ：x 2+y 2=4有两个不同的交点，那么点（a ，b ）和圆C 的位置关系是（ ） A.在圆外B.在圆上C.在圆内D.不能确定4.要得到函数sin 2y x =的图象，只需将函数πcos(2)3y x =-的图象（ ）A ．向右平移π6个单位长度 B ．向左平移π6个单位长度 C ．向右平移π12个单位长度 D ．向左平移π12个单位长度5.过椭圆22143y x +=的右焦点F 作两条相互垂直的直线分别交椭圆于A ，B ，C ，D 四点，则11||||AB CD +的值为（ ） A. 18 B. 16 C. 1 D. 7126. 已知ABC ∆的外接圆半径为R ，且B b a C A R sin )2()sin (sin 222-=-（其中a ，b分别是A ∠，B ∠的对边），那么角C 的大小为（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°7.如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm ）,图中粗线画出的是某多面件的三视图，该多面体的体积为（ ） A. 403cm B. 503cm C. 603cm D. 803cm 8.电子钟表一天显示的时间是从00：00到23：59，每一时刻都 由4个数字组成，那么一天中任一时刻的4个数字之和等于23 的概率是（ ） A.1180 B. 1288 C. 1360D. 1480 9.已知三棱锥S —ABC 的所有顶点都在球O 的表面上，△ABC 是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且SC=2，则此三 棱锥的体积为（ ） A. 14B.24 C. 26 D. 21210.执行右图程序框图，如果输入的正实数x 与输出的实数y 满足y =x ，则x = （ ） A.3 B. 132+ C. 13 D. 1132+11.已知函数3y x =在k x a =时的切线和x 轴交于1k a +，若11a =，则数列{}n a的前n 项和为（ ）A. 1233n +B. 12()3n -C. 23()3n -D. 1233nn -- 12.已知函数()3,f x x mx x R =-∈，若方程()f x =2在[4,4]x ∈-恰有3 个不同的实数解，则实数m 的取值范围是（ ）A. (31,32⎤-⎥⎦B. (313,2⎤⎥⎦C. ()()31,3,2-∞-+∞UD. ()()31,3,2-∞+∞U第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题，每个试题考生必须做答.第22题~第24题为选考题，考生根据要求做答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13. 在(x 2+24x－4)5的展开式中含x 4项的系数是___________. (用数字填写答案) 14.在△ABC 中，∠A=90°，AB=1，BC=5，点M ，N 满足AM AB λ=u u u u r u u u r ，(1)AN AC λ=-u u u r u u u r，R λ∈，若2BN CM ⋅=-u u u r u u u u r，则λ=_________.15.平面上满足约束条件2,0,100.x x y x y ≥⎧⎪+≤⎨⎪--≤⎩的点（x ，y ）形成的区域为D ，区域D 关于直线y =2x对称的区域为E ，则两个区域中距离最近的两点之间的距离为__________.16.定义在R 上的奇函数()f x 的导函数满足()()f x f x '<，且()()31f x f x ⋅+=-，若()2015f e =-，则不等式()x f x e <的解集为__________.三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.（本小题满分12分）已知点A (sin ,1)θ，B (cos ,0)θ，C (sin ,2)θ-，且AB BP =u u u r u u u r.（Ⅰ）记函数()f BP CA θ=⋅u u u r u u u r ，(,)82ππθ∈-，讨论函数的单调性，并求其值域；（Ⅱ）若O ，P ，C 三点共线，求||OA OB +u u u r u u u r的值.18. （本小题满分12分）如图，四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，AB ∥CD ， ∠DAB=60°，AB=AD=2CD=2，侧面PAD ⊥底面ABCD ，且△PAD 是以AD 为底的等腰三角形. （Ⅰ）证明：AD ⊥PB ；（Ⅱ）若四棱锥P —ABCD 的体积等于32，试求PB 与平面PCD 所成角的正弦值.19. （本小题满分12分）一种智能手机电子阅读器，特别设置了一个“健康阅读”按钮，在开始阅读或者阅读期间的任意时刻按下“健康阅读”按钮后，手机阅读界面的背景会变为蓝色或绿色以保护阅读者的视力. 假设“健康阅读”按钮第一次按下后，出现蓝色背景与绿色背景的概率都是.21从按钮第二次按下起，若前次出现蓝色背景，则下一次出现蓝色背景、绿色背景的概率分别为31、32；若前次出现绿色背景，则下一次出现蓝色背景、绿色背景的概率分别为53、.52记第)1,(≥∈n N n n 次按下“健康阅读”按钮后出现蓝色背景概率为P n . （Ⅰ）求P 2的值；（Ⅱ）当,2n N n ∈≥时，试用P n -1表示P n ；ABCDP（Ⅲ）求P n 关于n 的表达式.20. （本小题满分12分）已知椭圆C:()222210y x a b a b+=>>的左右焦点1F ，2F 与椭圆短轴的一个端点构成边长为4的正三角形.（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）过椭圆C 上任意一点P 做椭圆C 的切线与直线1F P 的垂线1F M 相交于点M ，求点M 的轨迹方程；（Ⅲ）若切线MP 与直线x =-2交于点N ，求证：11||||NF MF 为定值.21. （本小题满分12分）已知函数()ln h x x x =，2()(0)a x a xϕ=>.（Ⅰ）求()()xag x t dt ϕ=⎰；（Ⅱ）设函数()()()1f x h x g x '=--，试确定()f x 的单调区间及最大最小值； （Ⅲ）求证：对于任意的正整数n ，均有111123!nne e n ++++≥L 成立.请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，按所做的第一题计分，做答时请写清题号.22.（本小题满分10）选修4—1：几何证明选讲如图，在四边形ABCD 中，已知60BAD ∠=︒，90ABC ∠=︒，120BCD ∠=︒，对角线BD AC ,交于点S ，且SB DS 2=，P 为AC 的中点．求证：（Ⅰ）︒=∠30PBD ；（Ⅱ）DC AD =．23. （本小题满分10）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程是ρ＝2，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线L 的参数方程为123x ty t=+⎧⎪⎨=+⎪⎩ (t 为参数).（Ⅰ）写出直线L 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；SD A PCB（Ⅱ）设曲线C 经过伸缩变换12x x y y '=⎧⎪⎨'=⎪⎩得到曲线C '，设M(x ,y )为C '上任意一点，求2232x xy y -+的最小值，并求相应的点M 的坐标.24. （本小题满分10）选修4-5：不等式选讲已知正数a ，b ，c 满足a +b +c =6，求证：1111(1)(1)(1)2a b b c c a ++≥+++.甘肃省兰州一中2015届高三冲刺模拟试题参考答案数 学（理 科）第I 卷（选择题）一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案DBACDBACCDDB第Ⅱ卷二、填空题13. -960 ； 14. 23； 15. 1255； 16. ()1,+∞ ． 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.（本小题满分12分）解：设P （x ，y ），由 AB BP =u u u r u u u r得 OB OA OP OB -=-u u u r u u u r u u u r u u u r ，即 (cos sin ,1)(cos ,)x y θθθ--=-，所以 2cos sin ,1x y θθ=-=-，亦即(2cos sin ,1)P θθ--；…………………… 2分（Ⅰ）()(sin cos ,1)(2sin ,1)f BP CA θθθθ=⋅=-⋅-u u u r u u u r22sin 2sin cos 1sin 2cos2θθθθθ=--=-- 2sin(2)4πθ=-+；由(,)82ππθ∈-得52(0,)44ππθ+∈，所以，当2(0,)42ππθ+∈即(,88ππθ⎤∈-⎥⎦时，()f θ单调递减，且2()0f θ-≤<，当)52,424πππθ⎡+∈⎢⎣即),82ππθ⎡∈⎢⎣时，()f θ单调递增，且2()1f θ-≤<，故，函数()f θ的单调递减区间为(,88ππ⎤-⎥⎦，单调递增区间为),82ππ⎡⎢⎣，值域为)2,1⎡-⎣. …………………………………… 6分（Ⅱ）由O 、P 、C 三点共线可知，OP uuu r ∥OC u u u r ，即 (1)(sin )2(2cos sin )θθθ-⋅-=⋅-，得4tan 3θ=，所以 2||(sin cos )122sin cos OA OB θθθθ+=++=+u u u r u u u r222752sin cos 2tan 22sin cos tan 15θθθθθθ=+=+=++ ………………………………… 12分18. （本小题满分12分）（Ⅰ）证明：取AD 的中点G ，连PG ，BG ，CG ；60PA PDPG AD AD PGB AB AD BG AD DAB =⇒⊥⎫⎪⇒⊥=⎫⎬⇒⊥⎬⎪∠=︒⎭⎭平面 …………………………………… 5分（Ⅱ） ∵ 侧面PAD ⊥底面ABCD ，PG ⊥AD ，∴ PG ⊥底面ABCD ；在底面直角梯形A BCD 中，由已知可得3BC =， 由 32P ABCD V -=，即311[123]322PG ⋅+⋅⋅=（），得3PG =， 而BG=CG=3，DG=1，在Rt △PGB 、Rt △PGC 、Rt △PGD 中分别可求得PB=6、PC=6、PD=2，在△PCD 中，2221cos 24PD CD PC PDC PD CD +-==-⋅⋅，∴ 15sin 4PDC =，∴△PCD 的面积151sin 24PDC S PD CD PDC =⋅⋅⋅=V ，设点B 到平面PCD 的距离为h ，由P BCD B PCD V V --=得2155h =，∴ PB 平面PCD 所成角的正弦值为215101556h PB=⋅=.…………………………………… 12分19. （本小题满分12分）解：（Ⅰ）若按钮第一次、第二次按下后均出现蓝色背景，则其概率为613121=⨯； 若按钮第一次、第二次按下后依次出现绿色背景、蓝色背景，则其概率为.1035321=⨯ 故所求概率为.157103612=+=P …………………………………… 4分 （Ⅱ）第1-n 次按下按钮后出现蓝色背景的概率为2,(1≥∈-n N n P n ），则出现绿色PB PGB ⊂平面AD PB ⎫⇒⊥⎬⎭GABCDP背景的概率为11--n P .若第1-n 次、第n 次按下按钮后均出现蓝色背景，则其概率为311⨯-n P ； 若第1-n 次、第n 次按下按钮后依次出现绿色背景、蓝色背景，则其概率为.53)1(1⨯--n P所以，53154)1(5331111+-=-+=---n n n n P P P P （其中2,≥∈n N n ）. …………………………………… 8分（Ⅲ）由（2）得)199(1541991--=--n n P P （其中2,≥∈n N n ）. 故}199{-n P 是首项为381，公比为154-的等比数列，所以).1,(199)154(3811≥∈+-=-n N n P n n …………………………………… 12分20. （本小题满分12分）解：（Ⅰ）依题意，2c =a =4，∴ c =2，b =23；∴椭圆C 的标准方程为2211612y x +=； …………………………………… 2分（Ⅱ）设00(,)P x y ，由（Ⅰ），1(2,0)F -，设00(,)P x y ，(,)M x y 过椭圆C 上过P 的切线方程为： 0011612x x y y+=， ① 直线1F P 的斜率1002F P y k x =+，则直线1MF 的斜率1002MF x k y +=-， 于是，则直线1MF 的方程为：002(2)x y x y +=-+， 即 00(2)(2)yy x x =-++， ②① 、②联立，解得 x = -8，∴ 点M 的轨迹方程为 x = -8； …………………………………… 8分（Ⅲ）依题意及（Ⅱ），点M 、N 的坐标可表示为(8,)M M y -、(2,)N N y -， 点N 在切线MP 上，由①式得 003(8)2N x y y +=， 点M 在直线1MF 上，由②式得 006(2)M x y y +=，02022129(8)||4N x NF y y +==， 022*********[(2)]||[(2)(8)]M y x MF y y ++=---+=， ∴ 002222001222222100009(8)(8)||1||436[(2)]16(2)y x x NF MF y y x y x ++=⋅=++++， ③ 注意到点P 在椭圆C 上，即 220011612x y +=， 于是020484x y -=代人③式并整理得 2121||1||4NF MF =， ∴ 11||||NF MF 的值为定值12. …………………………………… 12分21. （本小题满分12分）解：（Ⅰ）2111()()[]|()xx x a a a a x a g x t dt dt a a t t x a xϕ-===-=--=⎰⎰； …………… 3分 （Ⅱ）∵ ()(ln )ln 1(0)h x x x x x ''==+>，∴ ()ln 11ln (0)x a x a f x x x x x x--=+--=->， 22()1()(0)x x a x a f x x x x x---'=-=>， ∵ a >0，∴ 函数()f x 在区间(0,)a 上单调递减，在区间(,)a +∞上单调递增， 函数()f x 的最小值为()ln f a a =，函数()f x 无最大值； ……………… 7分 （Ⅲ）取a =1，由（Ⅱ）知，1()ln (1)0x f x x f x-=-≥=， ∴ 11ln 1x x x x -≥=-，即 11ln ln e x x x ≥-=，亦即 1x e e x≥，……… 10分 分别取 1,2,,x n =L 得111e e ≥，122e e ≥，133e e ≥，…，1n e e n ≥， 将以上各式相乘，得：111123!n n e e n ++++≥L ……………………………… 12分 22.（本小题满分10）选修4—1：几何证明选讲证明： （Ⅰ）由已知得 90ADC ∠=︒，从而D C B A ,,,四点共圆，AC 为直径，P 为该圆的圆心．作BD PM ⊥于点M ，知M 为BD 的中点，所以BPM ∠＝12BPD ∠＝60A ∠=︒， 从而︒=∠30PBM ． …………………………………… 5分（Ⅱ）作BP SN ⊥于点N ，则12SN SB =． 又BD MB DM SB DS 21,2===， ∴ SN SB SB SB DM DS MS ==-=-=21232， ∴ Rt △PMS ≌Rt △PNS ， ∴ ︒=∠=∠30NPS MPS ，又PB PA =，所以1152PAB NPS ∠=∠=︒， 故DCA DAC ∠=︒=∠45，所以DC AD =． ……………………10分 23. （本小题满分10）选修4-4：坐标系与参数方程解：（1）圆C 的方程为224x y += …………………………………… 1分直线L 方程为3320x y --+= ………………………… 3分 （2）由''12x x y y ⎧=⎪⎨=⎪⎩和224x y +=得'C 2214x y += ………………… 5分 设M 为2x cos y sin θθ==⎧⎨⎩，则 223232cos(2)3x xy y πθ-+=++ …… 8分 所以当M 为3(1,)2或3(1,)2--时原式取得最小值1． …………… 10分 24. （本小题满分10）选修4-5：不等式选讲已知正数a ，b ，c 满足a +b +c =6，求证：1111(1)(1)(1)2a b b c c a ++≥+++. 证明：由已知及均值不等式： 33111(1)(1)(1)(1)(1)(1)a b b c c a abc a b c ++≥++++++ 3333111(1)(1)(1)33a b c a b c abc a b c =≥+++++++⋅+++⋅ 31232==⋅ ……………………… 10分第一课件网系列资料 N M S D A P C B。

第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合}023|{2<++=x x x M ，集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤=4)21(x x N , 则=N M （ ）A ．{|2}x x ≥-B ．}1|{->x xC ．}1|{-<x xD ．}2|{-≤x x 【答案】A考点：1、解不等式；2、集合的并集. 2.下面是关于复数iz -=12的四个命题: 1p :2z =, 2:p 22z i = 3:p z 的共轭复数为i +-1 4:p z 的虚部为1其中真命题为( ) A ．23,p p B ．12,p pC ．24,p pD ．34,p p【答案】C考点：1、复数的概念；2、复数的基本运算.3.已知平面向量与的夹角为3π，==+=,321（ ）俯视图侧视图正视图A ．1B ．3C ．3 D．2 【答案】D考点：平面向量的数量积. 4.下列推断错误的是( )A.命题“若2320,x x -+=则1x = ”的逆否命题为“若1x ≠则2320x x -+≠”B.命题:p 存在R x ∈0，使得20010x x ++<，则非:p 任意R x ∈，都有210x x ++≥C.若p 且q 为假命题，则q p ,均为假命题D.“1x <”是“2320x x -+>”的充分不必要条件【答案】C考点：命题真假性的判断.5.若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如下图所示，则这个棱柱的体积为（ ）A ．312B ．336C ．327D ．6 【答案】B【解析】试题分析：该几何体为一个三棱柱，棱柱的高是4，底面正三角形的高是33，设底面边长为x ， 则3323=⋅x ，6=∴x ，故三棱柱的体积336433621=⋅⋅⋅，故答案为B.考点：由三视图求体积.6.等比数列{}n a 中，452,5a a ==，则数列{lg }n a 的前8项和等于（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．4lg 1+ 【答案】A考点：1、对数的运算；2、等比数列的性质.7.若实数y x 、满足不等式组5230.10y x y x y ≤⎧⎪-+≤⎨⎪+-≥⎩则y x z 2||+=的最大值是（ ）A ．10B ．11C ．13D ．14 【答案】D考点：线性规划的应用.8.抛物线y x 212=在第一象限内图象上一点)2,(2i i a a 处的切线与x 轴交点的横坐标记 为1+i a ，其中i N *∈，若322=a ，则=++642a a a （ ） A ．64 B ．42 C ．32 D ．21 【答案】B 【解析】考点：1、导数的几何意义；2、等比数列求和.9.定义行列式运算：12142334a a a a a a a a =-.若将函数-sin ()1x f x =m (0)m >个单位后，所得图象对应的函数为奇函数，则m 的最小值是（ ）A ．6π B ．3π C ．32π D ．65π 【答案】A考点：1、三角函数的化简；2、奇函数的应用.10.设k 是一个正整数，1kx k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中第四项的系数为116，记函数2x y =与kx y = 的图像所围成的阴影部分为S ，任取]16,0[],4,0[∈∈y x ,则点),(y x 恰好落在阴影区域内的概率为（ ）A ．9617 B．325 C ．61 D ．487【答案】C 【解析】考点：1、二项式定理的应用；2、定积分的几何意义；3、几何概型的概率计算公式.11.已知2F 、1F 是双曲线()222210,0y x a b a b-=>>的上、下焦点，点2F 关于渐近线的对称点恰好落在以1F 为圆心，1OF 为半径的圆上，则双曲线的离心率为( ) A ．3B ．3C ．2D ．2 【答案】C考点：椭圆的几何性质.12.已知实数,,,a b c d 满足1112=--=-d cb e a a 其中e 是自然对数的底数,则22()()a c b d -+-的最小值为（ ）A ．4B ．8C ．12D ．18 【答案】B 【解析】试题分析：实数d c b a ,,,满足1112=--=-d cb e a a ，a e a b 2-=∴，cd -=2 因此点()b a ,在曲线xe x y 2-=上，点()d c ,在曲线x y -=2上，()()22d b c a -+-的几何意义就是曲线x e x y 2-=到直线x y -=2上点的距离最小值的平方，求曲线xe x y 2-=平行于直线x y -=2的切线，x e y 21-='，令121-=-='x e y ，得0=x ，因此切点()2,0-，切点到直线x y -=2的距离2211220=+--=d ，就是两曲线的最小距离，()()22d b c a -+-的最小值82=d ，故答案为B.考点：1、求切线方程；2、两点间的距离公式.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.定义某种运算⊗，S a b =⊗的运算原理如右图：则式子5324⊗+⊗=_________.【答案】14考点：新定义在程序框图的应用.14.正四棱锥ABCD P -的五个顶点在同一球面上，若正四棱锥的底面边长是4，侧棱长为62，则此球的表面积___________.【答案】π36 【解析】试题分析：由图知，正四棱锥ABCD P -的外接球的球心在它的高1PO 上，设为点O ，R AO PO ==∴，41=PO ，41-=r OO ，在O AO Rt 1∆中，()2248-+=R R ，得3=R ，π36=∴S .考点：球的表面积.15.从某校数学竞赛小组的10名成员中选3人参加省级数学竞赛，则甲、乙2人至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为 （用数字作答）. 【答案】49考点：排列、组合的应用.16.在平面直角坐标系xOy 中,圆C 的方程为015822=+-+x y x ，若直线2+=kx y 上至少存在一点,使得以该点为圆心,半径为1的圆与圆C 有公共点,则k 的最小值是____. 【答案】34-考点：圆的方程的应用.三、解答题 （本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.(本题满12分)在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,且B c B a C b cos cos 3cos -= (1)求B cos 的值；(2)若2=⋅BC BA ，且22=b ，求c a 和的值. 【答案】(1)31cos =B ；（2）6==c a .考点：正余弦定理的应用. 18.（本小题满分12分）甲乙两人进行围棋比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率p 1()2p >，且各局胜负相互独立．已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为59．（1）求p 的值；（2）设ξ表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量ξ的分布列和数学期望ξE . 【答案】(1)32；（2）81266. 【解析】试题分析：(1)求随机变量的分布列的主要步骤：一是明确随机变量的取值，并确定随机变量服从何种概率分布；二是求每一个随机变量取值的概率，三是列成表格；（2）求出分布列后注意运用分布列的两条性质检验所求的分布列是否正确；（3)求解离散随机变量分布列和方差，首先要理解问题的关键，其次要准确无误的找出随机变量的所有可能值，计算出相对应的概率，写成随机变量的分布列，正确运用均值、方差公式进行计算.试题解析：（1）依题意，当甲连胜2局或乙连胜2局时，第二局比赛结束时比赛结束．∴有225(1)9p p +-=． 解得23p =或13p =．12p >， 23p ∴=． ………………………………5分 （2）依题意知，依题意知，ξ的所有可能值为2，4，6．………………6分设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为59．若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响． 从而有5(2)9P ξ==，5520(4)(1)()9981P ξ==-=，5516(6)(1)(1)19981P ξ==--⋅=． 10分 ∴随机变量ξ的分布列为：则 5246.9818181E ξ=⨯+⨯+⨯= ……………………12分考点：1、随机事件的概率；2、离散型随机变量的分布列和期望. 19.（本题满分12分）己知斜三棱柱111ABC A B C -的底面是边长为2的正三角形，侧面11AACC 为菱形，160A AC ∠= ，平面11A ACC ⊥平面ABC ，N 是1CC 的中点．（1）求证：1AC ⊥BN ； （2）求二面角1B A N C --的余弦值．【答案】(1)证明略；（2）721.考点：1、直线与直线垂直的判定；2、平面与平面所成角的余弦值.20.（本题满分12分）已知椭圆C 的对称中心为原点O ，焦点在x 轴上，左右焦点分别为1F 和2F ，且2||21=F F ，点)23,1(在该椭圆上．（1）求椭圆C 的方程；（2）过1F 的直线l 与椭圆C 相交于B A ,两点，若B AF 2∆的面积为7212，求以2F 为圆心且与直线l 相切圆的方程．【答案】(1)13422=+y x ；（2）()2122=+-y x考点：1、椭圆的标准方程；2、直线与椭圆的综合问题. 21.（本小题满分12分） 已知函数()ln(1)2af x x x =+++ （1）当254a =时，求()f x 的单调递减区间； （2）若当0x >时，()1f x >恒成立，求a 的取值范围； （3）求证：1111ln(1)()35721n n N n *+>++++∈+【答案】（1）)(x f 的单调递减区间为)3,43(- ；（2）2≥a ；（3）证明略 【解析】试题分析：（1）函数()x f y =在某个区间内可导，则若()0>'x f ，则()x f 在这个区间内单调递增，若()0<'x f ，则()x f 在这个区间内单调递减；(2)对于恒成立的问题，常用到两个结论：（1）()x f a ≥恒成立()max x f a ≥⇔，（2）()x f a ≤恒成立()min x f a ≤⇔；（3）利用导数方法证明不等式()()x g x f >在区间D 上恒成立的基本方法是构造函数()()()x g x f x h -=，然后根据函数的单调性，或者函数的最值证明函数()0>x h ，其中一个重要的技巧就是找到函数()x h 在什么地方可以等于零，这往往就是解决问题的一个突破口，观察式子的特点，找到特点证明不等式.试题解析：（1）当425=a 时 222')2)(1(4)3)(34()2)(1(4994)(++-+=++--=x x x x x x x x x f 由()0<'x f ，得343<<-x ∴)(x f 的单调递减区间为)3,43(- ………………………………… 4分（2） 由12)1ln(>+++x ax 得)1ln()2()2(++-+>x x x a 记[])1ln(1)2()(+-+=x x x g11)1ln(12)1ln(1)('+-+-=++-+-=x x x x x x g 当0>x 时 0)('<x g ∴)(x g 在),0(+∞递减又[]21ln 12)0(=-⋅=g ∴2)(<x g )0(>x∴2≥a ………………………………………………………… 8分（3）由(Ⅱ)知 122)1ln(>+++x x )0(>x ∴2)1ln(+>+x xx 取k x 1=得211)11ln(+>+kkk即121)1ln(+>+k k k∴1217151311ln34ln 23ln 12ln +++++>+++++n n n …… 12分 考点：1、利用导数求函数的单调区间；2、恒成立的问题；3、证明不等式.请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图所示,PA 为圆O 的切线,A 为切点,两点，于交圆C B O PO ,20PA =，10,PB =BAC ∠的角平分线与BC 和圆O 分别交于点D 和E.（1）求证AB PC PA AC ⋅=⋅ （2）求AD AE ⋅的值. 【答案】(1)证明略；（2）360.考点：1、切割线定理的应用；2、三角形相似的应用. 23.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程1cos (sin x y ϕϕϕ=+⎧⎨=⎩为参数）．以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． （1）求圆C 的极坐标方程；（2）直线l 的极坐标方程是2sin()3πρθ+=射线:3OM πθ=与圆C 的交点为P 、O ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长． 【答案】（1）θρcos 2=；（2)2.考点：极坐标方程的应用.24.(本小题满分l0分)选修4—5：不等式选讲 已知函数()|21|,()||f x x g x x a =+=+ （1）当0=a 时，解不等式()()f x g x ≥；（2）若存在R x ∈，使得，)()(x g x f ≤成立，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）(]⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞--∞-,311, ；（2）21-≥a 【解析】试题分析：(1)理解绝对值的几何意义，x 表示的是数轴的上点x 到原点离.(2)对于恒成立的问题，常用到以下两个结论：（1）()x f a ≥恒成立()max x f a ≥⇔，（2）()x f a ≤恒成立()min x f a ≤⇔(3)b a b a b a +≤+≤-的应用.(4)掌握一般不等式的解法：()()a x a x a a x -≤≥⇔>≥或01，()()a x a a a x ≤≤-⇔>≤02.试题解析：当0=a 时，由()()x g x f ≥得x x ≥+12，两边平方整理得01432≥++x x ，解得1-≤x 或31-≥x ，因此原不等式的解集为(]⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞--∞-,311, （2）由()()x g x f ≤得x x a -+≥12，令()x x x h -+=12，则()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥+<<-+-≤--=0,1021,1321,1x x x x x x x h 故()2121min -=⎪⎭⎫⎝⎛-=h x h ，从而所求实数a 的范围21-≥a . 考点：1、含绝对值不等式的解法；2、恒成立的问题.。

催化剂2015年高三诊断考试理综参考答案及评分标准化学参考答案及评分标准7. A 8. C 9. D 10. C 11. C 12. B 13. B 26.（1）SO 2（1分）Cu 2S+2O 2高温2CuO+SO 2 或2Cu 2S+3O 2高温2Cu 2O+2SO 2 （写一个即可 2分）（2）溶解CuO 、Fe 3O 4，并将Fe 2+氧化为Fe 3+（1分） 浓硫酸与Fe 2+反应会生成对环境有污染的SO 2（2分）（3）取少量D 溶液于试管中，滴入KSCN 溶液，若溶液未出现血红色，则证明Fe 3+完全除尽（2分） (NH 4)2SO 4（1分） （4）过滤洗涤（1分） （5）① 2Cu 2++4I -==2CuI ↓+I 2（2分）100cva%（2分） 27.（1）C(s) + 2H 2O(g) = CO 2(g) + 2H 2(g) ⊿H = + 90.0 kJ ·mol －1(2分) 高温（1分） （2）①0.00015 mol/（L ·S ）或0.009 mol /（L ·min ）（1分） ②AD （2分） （3）75%（2分）（4）① 2.24L （2分） ②Cu 2＋（2分） 280（2分）28.（1）圆底烧瓶和分液漏斗 （全对2分 有错不得分） 将气体通过装有无水硫酸铜的U 形管（干燥管），若白色粉末未变蓝，则气体干燥 （或者通入装有干燥的有色布条的集气瓶,布条不褪色等,合理答案均可）（2分）（2）先打开K 2，等反应体系中充满CO 2后，加入白磷，然后通入氯气，再加热 （2分 顺序有错不得分）（3）冷却收集PCl 3 （1分） 吸收多余的氯气和防止空气中的水蒸气干扰 （2分） （4）C （2分）（5）①c (H +)﹥c (Cl -)﹥c (H 2PO 3-)﹥c (HPO 32-) （2分） ②AgCl (2分)36.（1）增大固液接触面积，加快浸出速率，提高浸出率(2分) V 2O 5+ SO 32－+4H +=2VO 2+ + SO 42－+2H 2O （3分）（2）分液漏斗和烧杯（2分）加入碱中和硫酸使平衡正移、多次连续萃取（答案合理即可）（2分） （3）1.7~1.8（2分） （4）B （2分） （5）VO 2+＋2H ++ e －＝ VO 2+＋H 2O (2分) 37．（1）3d 54s 1 (1分) （2）C<O<N (1分)（3）sp 3杂化 (1分) 三角锥形 (1分)(2分)（4）由于水分子间形成氢键，导致沸点升高 (2分) 减小 （1分） 水形成晶体时，每个水分子与4个水分子形成氢键，构成空间正四面体网状结构，水分子空间利用率低，密度反而减小 （2分） （5）Cu 2O (2分) AN a 32327 (2分)38.（1）CH 3CH 2OH （2分） 醛基和碳碳双键（2分） （2）① CH 3CH=CHCHO +H 2 CH 3CH=CHCH 2OH （3分） ②O C（3分）取代反应（1分） （3）6（2分）、、、、、（任写两种即可，2分）2015年高三诊断考试物理参考答案及评分标准22.（1）在质量不变的情况下，加速度与外力成正比（2分）（2）C （2分） 23.（1）5，3，1 （每空2分） （2）①B ，D ，F （每空1分）②如右图（2分）24.（13分）（1）设小滑块在B 点时的速度为v B ，从A 到B 的过程中机械能守恒：2121B m mgh v =，v B =10m/s （2分） 从B 到C ，由牛顿第二定律得：O C ，2m/s 2=a（2分） 由221at t s B -=v （2分） 解得t =1s （另一解9s 舍去，其他方法算出正确解同样给分） （1分） （2）设小滑块在C 点时的速度为v C ，则m/s 8=-=at B C v v （2分）从C 到D 的过程中，由动能定理f C D W mgh m m 克--=-2222121v v ，v D =0 （2分） 得W 克f =2.4J（2分）25.（19分）（1）粒子运动的轨迹如图所示粒子在电场中x ，y 方向的运动： 2h=v 0t 1， h =2121at （2分） 根据牛顿第二定律：Eq =ma ，求得qhE o2m 2v=（2分）· · · ·· · · ·· · · · · · · ··PB · xQ·· αβ根据动能定理：2022121v v m m Eq -=，解得02v v = （2分） ︒===4522cos 0αα，v v （2分） （其他方法算出正确解同样给分） （2）设粒子在电场中运动的时间为t 1：012v ht =（1分）粒子在磁场中运动的周期：Bqmr T ππ22==v （1分）设粒子射入磁场时与x 轴成α角，在磁场中运动的圆弧所对圆心角为β由几何关系得，故β=135º （1分） 所以粒子在磁场中运动的时间为T t 832= （1分）总时间Bqmh t t t 432021π+=+=v （2分） （3）根据r m Bq 2v v =，求出Bqm r 02v = （2分）y =r +r sin45°=Bqm 0)21(v + ， x =2h -r cos45°=Bq mv h 02- （3分）33.（1）（5分）A D E（2）（10分）（i ）A →B : 0002B p V p V =⨯ （2分）012B p p =（1分） （ii ）A →B : 0U ∆=（1分） U Q W ∆=+（2分） 10Q W J =-=（1分） （iii ）B →C ：等压变化，p C =012B p p =（1分）CBC B T T V V = （1分） T C =021T（1分）34.（1）（5分）ABD（2）（10分）（i ）设∠AON =i ，∠CON'=r ，由折射定律可得n =risin sin （2分)由于AO 等于CO ， 所以r i sin sin ， （3分） 玻璃的折射率n=5/3 （2分） （ii ）由sin C =1/n 可得光从这种玻璃进入空气时的临界角C =37°。