平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质和判定(5)

A
⑵求菱形ABCD的面积．
O B C D
点拨矫正
⒊菱形ABCD中，点E、F分别是BC、CD 的中点． EF与AC有什么关系？为什么？ A
B
E C F
D
才艺展示
顺次连接菱形的四边中点得到的 四边形是什么图形？试说明你的 猜想．
D H A G C E B F
顺次连接矩形的四边中点呢？
怎样的四边形各边中点连 线所得四边形是正方形?
点拨矫正
⒈在菱形ABCD中，对角线AC、BD的长 分别为a、b，AC、BD相交于点O． ⑴用含a、b的代数式表示菱形ABCD的 面积S． ⑵若a=3cm，b=4cm，求菱形ABCD的面 A 积和周长．
O B C
D
点拨矫正
⒉菱形ABCD的周长为20，相邻两角的 度数比为1：2． ⑴求菱形ABCD的对角线的长；
—菱形
知识回顾
有一组邻边相等的平行四边形叫 做菱形． 菱形是特殊的平行四边形，它具 有平行四边形的一切性质． 对边相等．
对角相等． 对角线互相平分．
菱形还具有那些特殊的性质呢?
探索菱形的性质
自主探究
菱形具有的特殊性质
B
A
O
D
C
菱形的４条边都相等．
菱形的对角线互相垂直，并且 每一条对角线平分一组对角．
巩固提高
1.在菱形ABCD中作一个等边△AEF， 且AE=AB，求∠C的大小．
A图在菱形ABCD中，E是AD的中点， EF垂直AC，交CB的延长线于点F.试 说明:AB与EF互相平分.
Zx。xk
A
E
D
F B C
收获反思
你对菱形知多少？请你谈一谈． 从概念上来谈； 从性质上来谈； 从计算上来谈．

专题22 正方形1．正方形定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。

2．正方形的性质：（1）具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质；（2）正方形的四个角都是直角,四条边都相等；（3）正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角；（4）正方形是轴对称图形,有4条对称轴；（5）正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形,两条对角线把正方形分成四个全等的小等腰直角三角形；（6）正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两端点的距离相等。

3．正方形的判定判定一个四边形是正方形的主要依据是定义,途径有两种：先证它是矩形,再证有一组邻边相等。

即有一组邻边相等的矩形是正方形先证它是菱形,再证有一个角是直角。

即有一个角是直角的菱形是正方形。

4．正方形的面积：设正方形边长为a,对角线长为b ,S正方形=222ba【例题1】（2019湖南郴州）我国古代数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的三角形,如图所示,已知∠A＝90°,BD＝4,CF＝6,则正方形ADOF的边长是（）A．√2B．2C．√3D．4专题知识回顾专题典型题考法及解析【例题2】（2019•四川省凉山州）如图,正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,E是OC上一点,连接E B．过点A作AM⊥BE,垂足为M,AM与BD相交于点F．求证：OE＝OF．一、选择题1．（2019内蒙古包头）如图,在正方形ABCD中,AB＝1,点E,F分别在边BC和CD上,AE＝AF,∠EAF＝60°,则CF的长是（）A．B．C．﹣1D．2．（2019湖南张家界）如图,在平面直角坐标系中,将边长为1的正方形OABC绕点O顺时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1,依此方式,绕点O连续旋转2019次得到正方形OA2019B2019C2019,那么点A2019的坐标是（）A．（,﹣）B．（1,0）C．（﹣,﹣）D．（0,﹣1）3.（2019•四川省广安市）把边长分别为1和2的两个正方形按图的方式放置.则图中阴影部分的面积为（）专题典型训练题()A61()B31()C51()D414.（2019•贵州省铜仁市）如图,正方形ABCD中,AB＝6,E为AB的中点,将△ADE沿DE翻折得到△FDE,延长EF交BC于G,FH⊥BC,垂足为H,连接BF、DG．以下结论：①BF∥ED；②△DFG≌△DCG；③△FHB∽△EAD；④tan∠GEB＝；⑤S△BFG＝2.6；其中正确的个数是（）A．2B．3C．4D．5\5．（2019黑龙江省绥化）如图,在正方形ABCD中,E、F是对角线AC上的两个动点,P是正方形四边上的任意一点,且AB＝4,EF＝2,设AE＝x．当△PEF是等腰三角形时,下列关于P点个数的说法中,一定正确的是（）①当x＝0（即E、A两点重合）时,P点有6个②当0＜x＜42﹣2时,P点最多有9个③当P点有8个时,x＝22﹣2④当△PEF是等边三角形时,P点有4个A．①③B．①④C．②④D．②③二、填空题6．（2019湖南邵阳）公元3世纪初,中国古代数学家赵爽注《周髀算经》时,创造了“赵爽弦图”．如图,设勾a=6,弦c=10,则小正方形ABCD的面积是.127．（2019湖南张家界）如图：正方形ABCD的边长为1,点E,F分别为BC,CD边的中点,连接AE,BF交于点P,连接PD,则tan∠APD＝．8.（2019•湖北省随州市）如图,已知正方形ABCD的边长为a,E为CD边上一点（不与端点重合）,将△ADE 沿AE对折至△AFE,延长EF交边BC于点G,连接AG,CF．给出下列判断：①∠EAG=45°；②若DE=a,则AG∥CF；③若E为CD的中点,则△GFC的面积为a2；④若CF=FG,则DE=（-1）a；⑤BG•DE+AF•GE=a2．其中正确的是______．（写出所有正确判断的序号）9．（2019福建）如图,边长为2的正方形ABCD中心与半径为2的⊙O的圆心重合,E、F分别是AD、BA的延长与⊙O的交点,则图中阴影部分的面积是．（结果保留π）10.（2019•四川省凉山州）如图,正方形ABCD中,AB＝12,AE＝AB,点P在BC上运动（不与B、C重合）,过点P作PQ⊥EP,交CD于点Q,则CQ的最大值为．11. （2019•广东广州）如图,正方形ABCD的边长为a,点E在边AB上运动（不与点A,B重合）,∠DAM＝45°,点F在射线AM上,且AF＝BE,CF与AD相交于点G,连接EC,EF,EG,则下列结论：①∠ECF＝45°；②△AEG的周长为（1+）a；③BE2+DG2＝EG2；④△EAF的面积的最大值a2．其中正确的结论是．（填写所有正确结论的序号）12.（2019·广西贺州）如图,正方形ABCD的边长为4,点E是CD的中点,AF平分∠BAE交BC于点F,将△ADE 绕点A顺时针旋转90°得△ABG,则CF的长为．13．（2019•山东青岛）如图,在正方形纸片ABCD中,E是CD的中点,将正方形纸片折叠,点B落在线段AE上的点G处,折痕为AF．若AD＝4cm,则CF的长为cm．14.（2019江苏镇江）将边长为1的正方形ABCD 绕点C 按顺时针方向旋转到FECG 的位置（如图）,使得点D 落在对角线CF 上,EF 与AD 相交于点H ,则HD＝ ．（结果保留根号）15．（2019辽宁抚顺）如图,在2×6的网格中,每个小正方形的边长都是1个单位长度,网格中小正方形的顶点叫格点,点A ,B ,C 在格点上,连接AB ,BC ,则tan ∠ABC ＝ ．三、解答题16．（2019湖南湘西州）如图,在正方形ABCD 中,点E ,F 分别在边CD ,AD 上,且AF ＝CE ．（1）求证：△ABF ≌△CBE ；（2）若AB ＝4,AF ＝1,求四边形BEDF 的面积．17. (2019海南)如图,在边长为1的正方形ABCD 中,E 是边CD 的中点,点P 是边AD 上一点(与点A,D 不重合),射线PE 与BC 的延长线交于点Q.第10题图HGFEDCBA(1)求证:△PDE≌△QCE;(2)过点E作EF∥BC交PB于点F,连接AF,当PB＝PQ时,①求证:四边形AFEP是平行四边形;②请判断四边形AFEP是否为菱形,并说明理由.18．（2019湖南株洲）如图所示,已知正方形OEFG的顶点O为正方形ABCD对角线AC、BD的交点,连接CE、DG．（1）求证：△DOG≌△COE；（2）若DG⊥BD,正方形ABCD的边长为2,线段AD与线段OG相交于点M,AM＝12,求正方形OEFG的边长．19.（2019•湖北省仙桃市）如图,E,F分别是正方形ABCD的边CB,DC延长线上的点,且BE＝CF,过点E作EG ∥BF,交正方形外角的平分线CG于点G,连接GF．求证：（1）AE⊥BF；（2）四边形BEGF是平行四边形．20．（2019•山东泰安）如图,四边形ABCD是正方形,△EFC是等腰直角三角形,点E在AB上,且∠CEF＝90°,FG ⊥AD,垂足为点C．（1）试判断AG与FG是否相等？并给出证明；（2）若点H为CF的中点,GH与DH垂直吗？若垂直,给出证明；若不垂直,说明理由．21．（2019湖北襄阳）（1）证明推断：如图（1）,在正方形ABCD中,点E,Q分别在边BC,AB上,DQ⊥AE于点O,点G,F分别在边CD,AB上,GF⊥AE．①求证：DQ＝AE；②推断：的值为；（2）类比探究：如图（2）,在矩形ABCD中,＝k（k为常数）．将矩形ABCD沿GF折叠,使点A落在BC 边上的点E处,得到四边形FEPG,EP交CD于点H,连接AE交GF于点O．试探究GF与AE之间的数量关系,并说明理由；（3）拓展应用：在（2）的条件下,连接CP,当k＝时,若tan∠CGP＝,GF＝2,求CP的长．。

关于一些特殊的四边形的定义、性质定理、判定定理一、两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形平行四边形性质定理1：平行四边形的对边相等平行四边形性质定理2：平行四边形的对角相等平行四边形性质定理3：平行四边形的对角线互相平分平行四边形性质定理4：平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点平行四边形判定定理1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形平行四边形判定定理2：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形平行四边形判定定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形平行四边形判定定理4：两组对角分别相等的四边形是平行四边形二、有一个内角是直角的平行四边形叫做矩形矩形性质定理1：矩形的四个角都是直角矩形性质定理2：矩形的两条对角线相等矩形判定定理1：有三个内角是直角的四边形是矩形矩形判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形三、有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形菱形性质定理1：菱形的四条边都相等菱形性质定理2：菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角菱形判定定理1：四条边都相等的四边形是菱形菱形判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形四、有一组邻边相等并且有一个内角是直角的平行四边形叫做正方形正方形判定定理1：有一组邻边相等的矩形是正方形正方形判定定理2：有一个内角是直角的菱形是正方形正方形性质定理1正方形的四个角都是直角，四条边都相等正方形性质定理2：正方形的两条对角线相等，并且互相垂直，每一条对角线平分一组对角五、一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形；有一个角是直角的梯形叫做直角梯形；两腰相等的梯形叫做等腰梯形.等腰梯形性质定理1：等腰梯形在同一底上的两个内角相等等腰梯形性质定理2：等腰梯形的两条对角线相等等腰梯形判定定理1：在同一底边上的两个内角相等的梯形是等腰梯形等腰梯形判定定理2：对角线相等的梯形是等腰梯形。

A．2B．4C． D．
【例题3】（2022秋•汉台区期末）如图，正方形ABCD的边长为8，在各边上顺次截取AE＝BF＝CG＝DH＝6，则四边形EFGH的面积是（ ）
A．34B．36C．40D．100
解题技巧提炼
正方形的周长：边长×4.
正方形的面积：（1）边长的平方；（2）对角线乘积的一半；
【变式31】（2022秋•永安市期中）正方形的周长为8cm，则它的面积为（ ）
（1）若连接GF，求证：DG＝GF；
（2）若∠BAE＝30°，求∠AGD的度数．
【例题5】（2022秋•武侯区期末）下列说法不正确的是（ ）
A．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
B．菱形的对角线互相垂直
C．矩形的对角线相等
D．对角线互相平分的四边形是平行四边形
解题技巧提炼
正方形的判定方法：
①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；
【变式12】（2022秋•新城区期末）如图，在正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，连接AE、CE，∠BCE＝70°，则∠EAD为（ ）
A．10°B．15°C．20°D．30°
【变式13】（2022秋•保定期末）如图，在正方形ABCD中，等边△AEF的顶点E，F分别在边BC和CD上，则∠AEB等于（ ）
AE＝BF＝CM＝DN
（1）求证：四边形EFMN是正方形；
（2）若AB＝7，AE＝3，求四边形EFMN的周长．
【变式72】（2022秋•胶州市校级月考）如图所示，在正方形ABCD中，DF＝AP＝BQ＝CE．
八年级下册数学《第十八章平行四边形》
18.5正方形的性质与判定
●●定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形.
◆1、正方形的四条边都相等，说明正方形是特殊的菱形；