平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定

平行四边形的性质和判定菱形梯形等腰梯形矩形正方形性质和判定平行四边形的性质和判定定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.性质：①平行四边形两组对边分别平行；②平行四边形的两组对边分别相等；③平行四边形的两组对角分别相等；④平行四边形的对角线互相平分 .判定：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 .注意：一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，如：等腰梯形菱形是四边相等的四边形，属於特殊的平行四边形,除了这些图形的性质之外，它还具有以下性质：对角线互相垂直平分；四条边都相等；对角相等,邻角互补；每条对角线平分一组对角．判定：一组邻边相等的平行四边形是菱形对角线互相垂直的平行四边形是菱形四边相等的四边形是菱形依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形。

不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形。

菱形的中点四边形是矩形。

菱形面积：对角线相乘后除二或边长乘高；菱形周界为边长的四倍:顺次连接菱形各边中点为矩形正方形是特殊的菱形梯形是指一组对边平行而另一组对边不平行的四边形。

平行的两边叫做梯形的底，其中长边叫下底；不平行的两边叫腰；两底间的距离叫梯形的高。

一腰垂直于底的梯形叫直角梯形，两腰相等的梯形叫等腰梯形。

梯形的性质及判定：一组对边平行且另一组对边不平行的四边形是梯形，但要判断另一组对边不平行比较困难，一般用一组对边平行且不相等的四边形是梯形来判断。

等腰梯形性质:等腰梯形在同一底上的两个底角相等等腰梯形的两条对角线相等等腰梯形判定：1两腰相等的梯形是等腰梯形；2同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形；3对角线相等的梯形是等腰梯形．梯形的体积计算公式：V=〔S1＋S2＋开根号（S1*S2）〕／3*H注：V：体积；S1：上表面积；S2：下表面积；H：高。

菱形正方形长方形平行四边形的特征一、菱形的特征菱形是一种四边形，它的四条边都相等且相互平行，同时它的对角线相互垂直且长度相等。

菱形的四个内角都是直角，即每个内角为90度。

菱形的特点使得它在几何学中具有重要的地位。

它具有对称性，即通过菱形的对角线可以将它分为两个完全相同的部分。

这种对称性在很多应用中都有着重要的作用。

二、正方形的特征正方形是一种特殊的菱形，它的四条边都相等且相互平行，同时它的四个内角都是直角。

正方形具有对称性和等边性，它的每个内角为90度，每条边的长度也相等。

正方形在日常生活中非常常见，例如我们常见的围棋棋盘、象棋棋盘、西洋棋棋盘等都是正方形的形状。

此外，在建筑中，很多房屋的平面图都是正方形或由多个正方形组成的。

三、长方形的特征长方形是一种特殊的平行四边形，它的两条对边相等且相互平行，同时它的四个内角都是直角。

长方形具有对称性和等边性，它的每个内角为90度，两条相对的边长度不同。

长方形在我们的日常生活中随处可见，例如书本的封面、电视机的屏幕、门窗的形状等都是长方形。

在建筑中，很多房屋的平面图都是长方形，例如我们常见的矩形房屋。

四、平行四边形的特征平行四边形是一种四边形，它的两对边分别相等且相互平行。

平行四边形的两对对边分别平行且相等，而且它的内角之和为360度。

平行四边形在我们的日常生活中也非常常见，例如书桌的形状、电视机架的形状、图画的边框等都是平行四边形的形状。

在建筑中，很多建筑物的地面、墙面等都是由平行四边形组成的。

五、菱形、正方形、长方形和平行四边形的应用菱形、正方形、长方形和平行四边形在我们的生活中有着广泛的应用。

例如，在建筑设计中，很多房屋的平面图都可以使用这些形状来描述。

在城市规划中，很多道路、街区等也是由这些形状组成的。

在工业生产中，很多产品的形状也可以使用这些形状来描述。

例如电视机、电脑显示屏等产品的外形常常是正方形或长方形的。

在艺术设计中，这些形状也常常被用来构图和设计。

第三节 平行四边形,矩形,菱形,正方形的性质和判定(一)平行四边形的性质和判定 一.教学重难点:重点：平行四边形的性质证明． 难点：分析、综合思考的方法．二.知识点和考点:1.平行四边形的定义2.平行四边形的性质,面积3.平行四边形的判定4.三角形的中位线及其性质三.知识点讲解考点一: 平行四边形的定义考点二:平行四边形的性质(1)平行四边形的对边相等注：在证明题时使用格式是：∵四边形ABCD 是平行四边形，定义:有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

记做例1：如图：在中，如果E F ∥AD ，GH ∥CD ，EF 与GH 相交于点O ，那么图中的平行四边形一共有 （ ） A ．4个 B 、5个 C 、8个 D 、9个例2:如图，E 、F 分别是边AD 、BC 上的点，并且AF ∥CE ，求证：∠AFB=∠DEC 。

∴AB=DC，AD=BC例1、如图，在平行四边形ABCD中，AE=CF，求证：AF=CE。

例2.平行四边形的周长等于56cm，两邻边长的比为3：1，那么这个平行四边形较长的边长为(2).平行四边形的对角相等注：在证明题时使用格式是：∵四边形ABCD是平行四边形∴∠A=∠C，∠B=∠D例1.已知中，E、F是对角线AC上的两点，且AE=CF。

求证：∠ADF=∠CBE。

例2、在中，∠A、∠B的度数之比为5：4，则∠C等于（）A、 B、 C、 D、(3)、平行四边形的对角线互相平分注：在证明题时使用格式是：∵四边形ABCD是平行四边形∴OA=OC，OB=OD例3.如图，，过其对角线交点O，引一直线交BC于E，交AD于F，若AB=2.4cm，BC=4cm，OE=1.1cm，求四边形ABEF的周长。

例4.如图，已知：中，AC、BD相交于O点，OE⊥AD于E，OF⊥BC于F，求证：OE=OF。

例5.如图，如果的周长之差为8，而AB:AD=3:2，那么的周长为多少？例6.如图，已知的周长为60cm，对角线AC、BD相交于点O，的周长长8cm，求这个四边形各边长.(4)平行四边形的面积如图（1），，也就是边长×高=ah(2）、同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等。

再努力一下


除了由定义得到的性质(两组对边分别平 行),平行四边形还有哪些性质? 平行四边形的两组对边________; 平行四边形的两组对角________; 平行四边形的对角线__________;
如何证明????


性质定理1; 性质定理2; 性质定理3;
比比看,看谁想的快?


例一பைடு நூலகம் 例二; 练习;
提升一下,锻炼大脑
小结一下吧.


两组对边分别_____四边形叫做平行四边 形; 平行四边形的两组对边________; 平行四边形的两组对角________; 平行四边形的对角线__________;
初中数学九 上册 苏科
1.3平行四边形,矩形,菱形,正方 形的性质和判定1。
教学目标


1.会证明平行四边形的性质,会利用性质解 决有关的数学问题; 2.通过用全等来证明平行四边形的性质,感 受数学中转化思想的应用;
动动脑,回忆一下



平行四边形的定义是什么? 两组对边分别_____四边形叫做平行四边 形; 根据平行四边形的定义可知,平行四边形 的两组对边_______;

矩形
菱形
平行 四边 形
正方形的性质
因为正方形既是____,又是____,当然是_____,
所以同时具备_____,_____和______的性质; 具体来说: 边的性质:正方形的四条边____; 角的性质:正方形的四个角____; 对角线的性质:正方形的对角线互相________, 备_____,_____和______的性质;具体来说: 边的性质:正方形的四条边____; 角的性质:正方形的四个角____; 对角线的性质:正方形的对角线互相________,并且每 一条对角线平分_____; 正方形的一条对角线把正方形分成两个_____的 __________形;正方形的两条对角线把正方形分成四 个_____的__________形;
初中数学九 上册 苏科 1.3平行四边形,矩形,菱形,正
方形的性质和判定5.
教学目标
1.复习正方形的定义;分清平行四边形,矩形,菱
形和正方形的关系; 2.会证明正方形的性质,会利用性质解决有关的 数学问题;
回忆一下……
正方形的定义是什么? 既是______,又是_____的四边形叫做正方形; 平行四边形,矩形,菱形和正方形的关系:
还能推导出什么?
看图: 正方形的一条对角线把正方形分成两个_____
的__________形; 正方形的两条对角线把正方形分成四个_____ 的__________形;
试试看:
例一; 例二;
锻炼一下吧.
练习一; 练习二;
小结
既是______,又是_____的四边形叫做正方形; 因为正方形既是____,又是____,当然是_____,所以

1.3平行四边形,矩形,菱形, 正方形的性质和判定7，
教学目标


1.复习矩形的定义,会证明矩形的判定定理; 2.会判定一个图形是矩形;
回忆


矩形的定义是什么? 有一个角是____的_______叫做矩形; 根据矩形的定义,要证明一个图形是矩形,必须 具备两个条件:1.是_____;2.有一个角是____; 书写格式;
矩形还有哪些判定方法?

1.对角线_____的________形是矩形; 2.有____个角是___角的_____形是矩形;
如何证明???
思路整理


如果要证明一个平行四边形是矩形,或者只要 证明有一角是____,或者只要证明________; 要证明一个四边形是矩形,或者直接证明有三 个角是____,或者先证明它是________,再证明 它是矩形;
典型例题
例一;
练一练

练习一; 练习二(课本P23);
提高一下

例二;
小结



有一个角是____的_______叫做矩形; 对角线_____的________形是矩形; 有____个角是___角的_____形是矩形; 如果要证明一个平行四边形是矩形,或者只要 证明有一角是____,或者只要证明________; 要证明一个四边形是矩形,或者直接证明有三 个角是____,或者先证明它是________,再证明 它是矩形;

⑸若AB=BC，且AC=BD，则四边形ABCD是
（正方形
）
精品课件
例2、直角三角形ABC中，CD平分∠ACB交AB于D，
DE⊥AC，DF⊥AB。求证：四边形CEDF是正方形。
证明：∵ DE⊥AC，DF⊥AB
∴ ∠DEC=90°， ∠DFC=90° F
而∠ACB=90°
B
D
A
∴ 四边形ABCD为矩形( 有三个角是直角的四边形是矩形 )
证明:
∵四边形ABCD是平行四边形,∠A=900,
∴四边形ABCD是矩形.
A
D
又∵AB=BC,
∴四边形ABCD是正方形.
B
C
精品课件
正方形的判定方法2：
有一个组邻边相等的矩形是正方形
已知:四边形ABCD是矩形,AB=BC.
求证:四边形ABCD是正方形.

D
证明:
∵四边形ABCD是矩形,
B
C
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AD=BC,AB=CD.
2
1
∴ ∠EFH=90 °
∴ 四边形EFGH是正方形 (有一个角是直角的菱形是正方形）
精品课件
设计花坛
在一块正方形的花坛上，欲修建两条直的小路 使得两条直的小路将花坛平均分成面积相等的 四部分(不考虑道路的宽度).你有几种方法？
的四边形一定是：（A ）
A．正方形
B．菱形
C．矩形
D．平行四边形
精品课件
练习5、已知四边形ABCD是平行四边形，对 角线AC、BD相交于点O。
⑴若AB=BC，则四边形ABCD是（ 菱形 ） ⑵若AC=BD，则四边形ABCD是（ 矩形 ） ⑶若∠BCD=900，则四边形ABCD是（ 矩形 ） ⑷若OA=OB，则四边形ABCD是（ 矩形 ）

1. 定义: 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

2.性质:⑴如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对边分别相等。

（简述为“平行四边形的对边相等”）⑵如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对角分别相等。

（简述为“平行四边形的对角相等”）⑶夹在两条平行线间的平行线段相等。

⑷如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两条对角线互相平分。

（简述为“平行四边形的两条对角线互相平分”）⑸平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点。

3.判定：（1）如果一个四边形的两组对边分别相等，那么这个四边形是平行四边形。

（简述为“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”）（2）如果一个四边形的一组对边平行且相等，那么这个四边形是平行四边形。

（简述为“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”）（3）如果一个四边形的两条对角线互相平分，那么这个四边形是平行四边形。

（简述为“对角线互相平分的四边形是平行四边形”）（4）如果一个四边形的两组对角分别相等，那么这个四边形是平行四边形。

（简述为“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”（5）如果一个四边形的两组对边分别平行，那么这个四边形是平行四边形。

（简述为“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”）矩形的性质和判定定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.性质：①矩形的四个角都是直角；②矩形的对角线相等 .注意：矩形具有平行四边形的一切性质 .判定：①有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形；③对角线相等的平行四边形是矩形 .菱形的性质和判定定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.性质：①菱形的四条边都相等；②菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角 .注意：菱形也具有平行四边形的一切性质 .判定：①有一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四条边都相等的四边形是菱形；③对角线互相垂直的平行四边形是菱形(4).有一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形正方形的性质和判定定义：有一组邻边相等并且有一角是直角的平行四边形叫做正方形.性质：①正方形的四个角都是直角，四条边都相等；②正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角 .判定：因为正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，所以我们判定正方形有三个途径①四条边都相等的平行四边形是正方形②有一组临边相等的矩形是正方形③有一个角是直角的菱形是正方形梯形及特殊梯形的定义梯形：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形.（一组对边平行且不相等的四边形叫做梯形.）等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形. 直角梯形：一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形.等腰梯形的性质1、等腰梯形两腰相等、两底平行；2、等腰梯形在同一底上的两个角相等；3、等腰梯形的对角线相等；4、等腰梯形是轴对称图形，它只有一条对称轴，一底的垂直平分线是它的对称轴. 等腰梯形的判定1、两腰相等的梯形是等腰梯形；2、在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形；3、对角线相等的梯形是等腰梯形.平行四边形性质定理1 平行四边形的对角相等平行四边形性质定理2 平行四边形的对边相等且平行平行四边形性质定理3 平行四边形的对角线互相平分平行四边形判定定理1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形平行四边形判定定理2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形平行四边形判定定理3 对角线互相平分的四边形是平行四边形平行四边形判定定理4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形矩形性质定理1 矩形的四个角都是直角矩形性质定理2 矩形的对角线相等矩形判定定理1 有一个角是直角的平行四边形是矩形矩形判定定理2 对角线相等的平行四边形是矩形正方形性质定理1正方形的四个角都是直角，四条边都相等正方形性质定理2正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角菱形性质定理1 菱形的四条边都相等菱形性质定理2 菱形的对角线互相垂直菱形面积=对角线乘积的一半，即S=（a×b）÷2菱形判定定理1 四边都相等的四边形是菱形菱形判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形菱形判定定理3是对称轴图形的平行四边形是菱形。

3正方形的性质和判定相关知识链接1.菱形：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

菱形的性质定理：菱形的四条边相等，菱形的对角线互相垂直。

菱形的判定定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形，四边相等的四边形是菱形。

2.矩形：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。

矩形的性质定理：矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等。

矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形，有三个角是直角的四边形是矩形。

基础知识全解知识点1 正方形的概念有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形是正方形。

知识点2 正方形的性质定理：正方形的四个角都是直角，四条边相等。

定理：正方形的对角线相等且互相垂直平分。

正方形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心。

正方形是轴对称图形，两条对角线所在的直线，以及过每一组对边中点的直线都是它的对称轴。

提示：正方形既是菱形，又是矩形，而菱形、矩形又是平行四边形，因此正方形具有平行四边形、菱形、矩形的性质。

正方形的每一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形。

例1如图所示，在正方形ABCD中，延长BC到点E，使CE=BD，连接AE交CD于点F，求∠AFC的度数。

知识点3 正方形的判定正方形的判定依据根据正方形的概念进行。

正方形的判定：定理：对角线相等的菱形是正方形。

定理：对角线垂直的矩形是正方形。

定理：有一个角是直角的菱形是正方形。

拓展：有一组邻边相等的矩形是正方形。

例2已知：如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90º，∠BAC，∠ABC的平分线交于点D，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F，求证：四边形CEDF是正方形。

AF DC E B知识点4 菱形、正方形与平行四边形之间的区别和联系例3填空对角线________的四边形是矩形；对角线___________的平行四边形是矩形；对角线_________的平行四边形是正方形；对角线__________的矩形是正方形；对角线__________的菱形是正方形。

问题：
判断矩形、菱形、正方形有 什么作用？
Байду номын сангаас
1、一组对边相等的四边形是平行四边形. 2、有两个角是直角的四边形是矩形.
3、有一个角是直角的菱形是正方形.
4、有一个角是60º 的平行四边形是菱形.
5、有两边相等的矩形是菱形.
6、有一组邻边相等的四边形是菱形. 7、两条对角线相等的四边形是矩形. 8、两条对角线相等的平行四边形是正方形. 9、有三个角相等的四边形是正方形.
的四边形是矩形. 的四边形是矩形.
菱形的判定 一、平行四边形 1、 2、 菱形 的平行四边形是菱形. 的平行四边形是菱形.
二、四边形
1、 2、
菱形
的四边形是菱形. 的四边形是菱形.
正方形的判定
一、矩形 二、菱形
三、平行四边形 四、四边形
正方形 正方形
正方形 正方形
特殊四边形的判定应注意层次
判断
特殊四边形的判定
正方形
矩形
菱形
平行四边形
四边形
一般到特殊的演变
矩形
有一个角 是直角
有一组 邻边相等
平行四边形
有一个角是直角 且有一组邻边相等 正方形
有一组 邻边相等
菱形
有一个 角是直角
矩形的判定 一、平行四边形 1、 2、 矩形 的平行四边形是矩形. 的平行四边形是矩形.
二、四边形
1、 2、
矩形
判断
10、一条对角线平分另一条对角线的四边形是 平行四边形.
11、两条对角线互相垂直的四边形是菱形.
12、一组对边平行、一组对角相等的四边形是 平行四边形. 13、有两条边相等的平行四边形是菱形. 14、一组对角的两边分别垂直的四边形是 平行四边形. 15、一组邻边相等、另一组邻边也相等的四边形 是菱形.

名称),所以具备这类图形的所有性质,而且必定 有一个角是_____;
再回忆一下
除了由定义得到的性质,矩形还有哪些性质? 性质定理一:矩形的四个角都是________;
性质定理二:矩形的对角线__________;
如何证明????
典型例题
例一; 例二;
等边三角形的判定
定义:三边都_____三角形叫做等边三角形; 三个角都______的三角形是等边三角形; 有两个角是_____的三角形是等边三角形;
有一个角是600的______三角形是等边三角形
例三;
回头再看看
两组对边分别_____四边形叫做矩形;根据矩形
的定义可知,矩形一定是______(图形名称),所 以具备这类图形的所有性质,而且必定有一个角 是_____; 性质定理一:矩形的四个角都是________; 性质定理二:矩形的对角线__________; 等边三角形的判定;
1.3平行四边形形,矩形,菱 形,正方形的性质和判定2。
教学目标
1.复习矩形的定义;分清矩形与矩形的关系;
2.会证明矩形的性质,会利用性质解决有关的数
学问题;
动动脑,回忆一下
矩形的定义是什么? 有一个角是_____的平行四边形叫做矩形;
根据矩形的定义可知,矩形一定是______(图形

平行四边形;矩形，菱形•正方形的判定平行四边形；矩形，菱形,正方形的判定学习目标：知识与技能目标：1.拿握平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理：2.能够运用判定定理进行有关的计算和证明；3.了解反证法的定义。

情感与态度目标：通过观察归纳，类比，維理，•体会数学活动中所蕴含的探索性和创造性，证明过程的严谨性和结论的确定二吏点：平行四边形、矩形、菱形、正方形判定定理三.难点：平行四边形、矩形、菱形、正方形判定在实际生活中的应用四.教学过程：（一）知识梳理：知识戌1 :平行四边形的判定（I）文字语言：方法1：两组对边分别平行的四边形是平行四边形方法2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形方法3:—組对边平行且栢等的四边形是平行四边形方法＜1 :两组对角分别相等的回边形是平行四边形方法5:对角线互相平分的四边形杲平行四边形（II）数学语言：TAB //CD, AD//BC・•・四边形ABCD是平行四边形TAB二CD, AD=BC•••四边形ABCD是平行四边形TAB〃C D, AB=CD・•・四边形ABCD是平行四边形TZABC=ZAD C, ZBAD=ZBCD・：四边形ABCD是平行四边形OA = OG OB=OD•••四边形ABCD是平行四边形知识直2：反证法（1）步骤：（1）假设命题的结论不成立（2）从这个假设出发，经推理论证，得出矛话（3）由矛JS判定假设不正确，从而青定命题的结论正确（ID说明：（1）找结论的反面要找得准确，全面（2）证题中的每一步都宴有根据，直到推出矛盾⑶雅出的矛盾有两神情况①与定义、定理、公理矛管，②与已知矛盾知识点3：矩形的判定L文字语言：方法1:有一个角是直角的平行四边形是矩形方法2：对角线相等的平行四边形是矩形平行四边形;矩形，菱形•正方形的判定方法3：有3个角是直角的四边形是矩形数学语言：方法1 ：T在平行四边形ABCD中，ZA=9（T/.平行四边形A BCD是矩形方法2： I■在平行四边形ABCD中,AC = BD・•・平行四边形ABCD是矩形方法3:TZA=ZB=ZC=9 0°•••四边形ABCD是矩形知识点4:菱形的判定（I ）文字语言：1.有一组邻边相等的平行四边形是菱形2.对角线互相垂宜的平行四边形是菱形3.4条边都相锌的四边形是菱形（口）数学语言：1.在平行四边形ABCD中VAB=BC•••平行四边形A BCD是菱形2.在平行四边形ABC D中TAC 丄BD.・.平行四边形ABCD是菱形3.VAB=BC=CD=DA•I四边形ABCD是菱形知识戌5：正方形的判定（I）文字语言：1 .有一组邻边相等的矩形是正方形2.有一个角是直角的菱形是正方形3.对角线相等的菱形是正方形4.对角线互相垂直的矩形是正方形（H）数学语言：1.在矩形A BCD中VAB=BC・•・矩形ABCD足正方形2.在菱形ABCD中T ZA-90 °・•・菱形ABCD是正方形3.在菱形ABCD中VAC=B D・：菱形A BCD是正方形4 .在矩形ABCD中VAC 丄BD・：矩形ABCD是正方形（二）实践探究例1.求证:一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形。

平行四边形矩形菱形正方形的判定
平行四边形、矩形、菱形、正方形都是四边形的一种，它们在几何学中有着特殊的性质和应用。

下面我们来介绍这几种四边形的判定方法。

一、平行四边形的判定
平行四边形是指两组对边分别平行的四边形。

平行四边形的判定方法如下：
方法一：如果一组对边平行且相等，则为平行四边形。

方法二：如果一组对边平行，则对边上的角相等；如果对边上的角相等，则一定是平行四边形。

二、矩形的判定
矩形是指四条边都相交于直角的四边形。

矩形的判定方法如下：
方法一：如果一组对边相等且平行，则为矩形。

方法二：如果四个角都是直角，则为矩形。

三、菱形的判定
菱形是指四个边都相等的四边形。

菱形的判定方法如下：
方法一：如果一组对边相等，则为菱形。

方法二：如果对角线相等，则为菱形。

四、正方形的判定
正方形是指四个边都相等且都是直角的四边形。

正方形的判定方法如下：
方法一：如果一组对边相等且平行，则为正方形。

方法二：如果所有边都相等且所有角都是直角，则为正方形。

以上是平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定方法，掌握了这些方法可以帮助我们更好地理解和应用这些几何图形。

平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质与判定（1）九年级数学备课组 课型：新授【学习目标】1、会证明平行四边形的性质定理及其相关结论2、能运用平行四边形的性质定理进行计算与证明3、在进行探索、猜想、证明的过程中，进一步发展推理论证的能力 【教学重、难点】重点：平行四边形的性质证明 表达格式的逻辑性 完整性 精炼性 难点：分析 综合 思考的方法 【情境创设】你能说说它们之间有什么联系与区别吗如图''''''//,//,//AB A B BC B C CA C A ，图中有______个平行四边形。

【合作交流】3241O DC B A活动1、上表中平行四边形的性质中，你能证明哪些性质 活动2、你认为平行四边形性质中，可以先证明哪一个为什么 活动3、证明定理“平行四边形对角线互相平分”。

【典题选讲】例1.已知，如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ， 求证：AO=CO ，BO=DO由此证明过程，同时也证明了定理“平行四边形对边相等”、“平行四边形对角相等”，这样我们可得平行四边形的三条性质定理：平行四边形对边相等。

平行四边形对角相等。

平行四边形对角线互相平分。

例2、 证明“夹在两条平行线之间的平行线段相等”分析：根据命题先画出相应图形，再由命题与所画图形写出已知、求证，最后根据已知条件写出证明过程。

例3、已知：如图，□ ABCD 中，E 、F 分别是CD 、AB 的中点。

求证：AE=CF思考与表达怎样想 怎样写要证AO=CO ，BO=DO 只需证△AOB ≌△COD 只需证AB=CD 只需证△ABC ≌△CDAADCHB 1200【课堂练习】1、已知：如图，在平行四边形ABCD 中，AB ＝8cm ，BC ＝10cm ，∠C ＝1200，求BC 边上的高AH 的长； 求平行四边形ABCD 的面积3.平行四边形ABCD 的两条对角线AC 与BD 相交于O ，已知AB=8， BC=6，△AOB 的周长为18，求△AOD 的周长。

学生写出证明过程
对于命题条件的特殊情况，知道相应的命题判定也会有特殊的判定方法。
让学生自己写出证明。让先写完的学生到黑板上板演。
板书设计
情境创设
1、
2、
定理……
……
……
例1：……
……
……
例2：……
……
……
作业布置
课后随笔
综合法：由问题入手，要证明这样的问题我得有什么样的条件那这样的条件又如何从已知条件中得到？如果条件中很“难”直接得到我是不是要“创造”出这样的条件。这种思维在表达书写时，大家不太习惯。所以我们要注意自己的表达书写格式。
比如证明平行四边形对角相等，就要创造出连接一组对角线从而以全等三角形来完成。
教师提出问题，让学生思考
当初我们是如何得到这样性质的？请复习教材回忆。
出示例题，让学生思考
证明：在□ABCD中
AB∥CD，AD∥BC
∵∠BAC＝∠ACD，
∠BCA＝∠CAD
又∵AC＝AC
∴△ABC≌△CDA
AB＝CD
显然△AOB≌△COD
∴AO＝CO，BO＝DO
根据条件写出己知、求证并进行证明的能力得到提高
讲解学生的板演，借此进一步规范学生的书写和表达
课时编号
备课时间
课题
1.3平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质和判定（1）
教学目标
1、能证明平行四边形的三个性质①对边相等②对角相等③对角线互相平分
2、进一步培养学生的分析、综合的思考方法，及表达书写能力。发展学生演绎推理能力。
教学重点
平行四边形的性质证明表达格式的逻辑性完整性精炼性
教学难点
分析综合思考的方法
所以有
定理：平行四边形对角相等

平行四边形、矩形、菱形、正方形知识点总结一．正确理解定义（1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．平行四边形的定义揭示了图形的最本质的属性，它既是平行四边形的一条性质，又是一个判定方法．（2”表示平行四边形，例如：平行四边形记作ABCD，读作“平行四边形ABCD”．2．熟练掌握性质平行四边形的有关性质和判定都是从边、角、对角线三个方面的特征进行简述的．（1）角：平行四边形的邻角互补，对角相等；（2）边：平行四边形两组对边分别平行且相等；（3）对角线：平行四边形的对角线互相平分；（4）面积：①S=底高ah；②平行四边形的对角线将四边形=⨯分成4个面积相等的三角形．3．平行四边形的判别方法①定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形②方法1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形③方法2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形④方法3：对角线互相平分的四边形是平行四边形⑤方法4：一组平行且相等的四边形是平行四边形二、．几种特殊四边形的有关概念（1）矩形：有一个角是直角的平行四边形是矩形，它是研究矩形的基础，它既可以看作是矩形的性质，也可以看作是矩形的判定方法，对于这个定义，要注意把握：①平行四边形；②一个角是直角，两者缺一不可．（2）菱形：有一组邻边相等的平行四边形是菱形，它是研究菱形的基础，它既可以看作是菱形的性质，也可以看作是菱形的判定方法，对于这个定义，要注意把握：①平行四边形；②一组邻边相等，两者缺一不可．（3）正方形：有一组邻边相等且有一个直角的平行四边形叫做正方形，它是最特殊的平行四边形，它既是平行四边形，还是菱形，也是矩形，它兼有这三者的特征，是一种非常完美的图形．（4）梯形：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形，对于这个定义，要注意把握：①一组对边平行；②一组对边不平行，同时要注意和平行四边形定义的区别，还要注意腰、底、高等概念以及梯形的分类等问题．（5）等腰梯形：是一种特殊的梯形，它是两腰相等的梯形，特殊梯形还有直角梯形．2．几种特殊四边形的有关性质（1）矩形：①边：对边平行且相等；②角：对角相等、邻角互补；③对角线：对角线互相平分且相等；④对称性：轴对称图形（对边中点连线所在直线，2条）．（2）菱形：①边：四条边都相等；②角：对角相等、邻角互补；③对角线：对角线互相垂直平分且每条对角线平分每组对角；④对称性：轴对称图形（对角线所在直线，2条）．（3）正方形：①边：四条边都相等；②角：四角相等；③对角线：对角线互相垂直平分且相等，对角线与边的夹角为450；④对称性：轴对称图形（4条）．3．几种特殊四边形的判定方法（1）矩形的判定：满足下列条件之一的四边形是矩形①有一个角是直角的平行四边形；②对角线相等的平行四边形；③四个角都相等（2）菱形的判定：满足下列条件之一的四边形是矩形①有一组邻边相等的平行四边形；②对角线互相垂直的平行四边形；③四条边都相等．（3）正方形的判定：满足下列条件之一的四边形是正方形．①有一组邻边相等且有一个直角的平行四边形②有一组邻边相等的矩形；③对角线互相垂直的矩形．④有一个角是直角的菱形⑤对角线相等的菱形；（4）等腰梯形的判定：满足下列条件之一的梯形是等腰梯形①同一底两个底角相等的梯形；②对角线相等的梯形．4．几种特殊四边形的常用说理方法与解题思路分析（1）识别矩形的常用方法①先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD的任意一个角为直角．②先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD的对角线相等．③ 说明四边形ABCD 的三个角是直角． （2）识别菱形的常用方法① 先说明四边形ABCD 为平行四边形，再说明平行四边形ABCD 的任一组邻边相等．② 先说明四边形ABCD 为平行四边形，再说明对角线互相垂直． ③ 说明四边形ABCD 的四条相等． （3）识别正方形的常用方法① 先说明四边形ABCD 为平行四边形，再说明平行四边形ABCD 的一个角为直角且有一组邻边相等．② 先说明四边形ABCD 为平行四边形，再说明对角线互相垂直且相等． ③ 先说明四边形ABCD 为矩形，再说明矩形的一组邻边相等． ④ 先说明四边形ABCD 为菱形，再说明菱形ABCD 的一个角为直角． （4）识别等腰梯形的常用方法① 先说明四边形ABCD 为梯形，再说明两腰相等．② 先说明四边形ABCD 为梯形，再说明同一底上的两个内角相等． ③ 先说明四边形ABCD 为梯形，再说明对角线相等． 5．几种特殊四边形的面积问题① 设矩形ABCD 的两邻边长分别为a,b ，则S 矩形=ab ．② 设菱形ABCD 的一边长为a ，高为h ，则S 菱形=ah ；若菱形的两对角线的长分别为a,b ，则S 菱形=12ab ．③ 设正方形ABCD 的一边长为a ，则S 正方形=2a ；若正方形的对角线的长为a ，则S 正方形=212a ．④ 设梯形ABCD 的上底为a ，下底为b ，高为h ，则S 梯形=1()2a b h ． 平行四边形 矩形 菱形 正方形图形性质1．对边 且 ；2．对角 ； 邻角 ；3．对角线 ；1．对边 且； 2．对角 且四个角都是； 3．对角线 ；1． 对边 且四条边都 ；2．对角 ；3．对角线 且每条对角线；1．对边 且四条边都 ；2．对角 且四个角都是 ；3．对角线 且每条对角线 ；面积。

一、平行四边形的判定:1. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形;2. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形;3. 两组对角分别相等的四边形是平行四边形;4. 对角线互相平分的四边形是平行四边形;5. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;6.一组对边平行一组对角相等的四边形是平行四边形。

二、平行四边形的性质:1. 平行四边形对边平行且相等;2. 平行四边形两条对角线互相平分;3. 平行四边形的对角相等,邻角互补;4. 平行四边形是中心对称图形,对称中心是两条对角线的交点;5. 过平行四边形对角线交点的直线,将平行四边形分成全等的两部分图形;6. 平行四边形对角线把平行四边形面积分成四个全等三角形;7. 平行四边形的面积等于底乘高或对角线积的一半。

三、菱形的判定:1. 一组邻边相等的平行四边形是菱形;2. 四条边都相等的四边形是菱形;3. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形;4. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形。

四、菱形的性质:1. 菱形具备平行四边形的一切性质;2. 对角线互相垂直且平分;3. 四条边都相等;4. 每条对角线平分一组对角;5. 菱形是轴对称图形,对称轴是两条对角线。

五、矩形的判定:1. 有一个角是直角的平行四边形是矩形;2. 有三个角是直角的四边形是矩形;3. 四个角相等的四边形是矩形4. 对角线相等的平行四边形是矩形;5. 一组对角互补的平行四边形是矩形;6. 对角线互相平分且有一个内角是直角的四边形是矩形。

六、矩形的性质:1. 矩形具备平行四边形的一切性质;2. 矩形对角线相等;3. 矩形的四个内角都是90°;4. 矩形既是轴对称图形,也是中心对称图形。

七、正方形的判定:1. 有一个角是直角的菱形是正方形;2. 对角线相等的菱形是正方形;3. 有一组邻边相等的矩形是正方形;4. 对角线互相垂直的矩形是正方形;5. 四边相等,有一个角是直角的平行四边形是正方形;6. 一组邻边相等,有一个角是直角的平行四边形是正方形。