2015-2016年辽宁省大连二十四中、四十八中联考高二(上)期中数学试卷及参考答案

2015-2016学年辽宁省沈阳二中高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={x||x﹣a|≤1}，B={x|x2﹣5x+4≥0}，若A∩B=∅，则实数a的取值范围是（）A．[2，3]B．（2，3） C．[2，+∞）D．（﹣∞，3]2．（5分）设a∈R，则“a=1”是“直线l1：ax+2y﹣1=0与直线l2：x+（a+1）y+4=0平行”的（）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）f（x）在x0处可导，a为常数，则=（）A．f′（x0）B．2af′（x0）C．af′（x0）D．04．（5分）已知实数x，y满足a x＜a y（0＜a＜1），则下列关系式恒成立的是（）A．x3＞y3B．sinx＞sinyC．ln（x2+1）＞ln（y2+1）D．＞5．（5分）如果执行如图所示的程序，那么输出的值k=（）A．3 B．4 C．5 D．66．（5分）函数f（x）=2x3﹣9x2+12x﹣a恰有两个不同的零点，则a可以是（）A．3 B．4 C．6 D．77．（5分）若定义域为区间（﹣2，﹣1）的函数f（x）=log（2a﹣3）（x+2），满足f （x）＜0，则实数a的取值范围是（）A．（，2）B．（2，+∞）C．（，+∞）D．（1，）8．（5分）下面四图都是同一坐标系中某三次函数及其导函数的图象，其中一定不正确的序号是（）A．①②B．③④C．①③D．①④9．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若1≤a5≤4，2≤a6≤3，则S6的取值范围是（）A．[﹣3，33]B．[﹣15，39]C．[﹣12，42]D．[﹣15，42]10．（5分）抛物线C1：y=x2（p＞0）的焦点与双曲线C2：﹣y2=1的右焦点的连线交C1于第一象限的点M．若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p=（）A．B．C．D．11．（5分）f（x）是定义在（0，+∞）上的非负可导函数，且满足xf′（x）+f（x）≤0，对任意正数a、b，若a＜b，则必有（）A．af（b）≤bf（a）B．bf（a）≤af（b）C．af（a）≤f（b） D．bf（b）≤f（a）12．（5分）下列三图中的多边形均为正多边形，M，N是所在边的中点，双曲线均以图中的F1，F2为焦点，设图示①②③中的双曲线的离心率分别为e1，e2，e3、则e1，e2，e3的大小关系为（）A．e1＞e2＞e3B．e1＜e2＜e3C．e2=e3＜e1D．e1=e3＞e2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知方程+y2=1表示的曲线是焦点在x轴上且离心率为的椭圆，则m=．14．（5分）定义在R上的偶函数y=f（x），在[0，+∞）上单调递增，则不等式f （2x﹣1）＜f（3）的解为．15．（5分）已知f（x）=x3+f′（）x2﹣x，则f（x）的图象在点（，f（））处的切线斜率是．16．（5分）已知f（x）=xe x，g（x）=﹣（x+1）2+a，若∃x1，x2∈R，使得f（x2）≤g（x1）成立，则实数a的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知函数，是否存在实数k，使函数在（1，2）上递减，在（2，+∞）上递增？若存在，求出所有k值；若不存在，请说明理由．18．（12分）设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=2bsinA （Ⅰ）求B的大小；（Ⅱ）求cosA+sinC的取值范围．19．（12分）已知等差数列{a n}满足：a n+1＞a n（n∈N*），a1=1，该数列的前三项分别加上1，1，3后顺次成为等比数列{b n}的前三项．（Ⅰ）分别求数列{a n}，{b n}的通项公式a n，b n；（Ⅱ）设，若恒成立，求c的最小值．20．（12分）如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图2．（1）求证：DE∥平面A1CB；（2）求证：A1F⊥BE；（3）线段A 1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？说明理由．21．（12分）已知函数（a∈R）．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）当a＜0时，求函数f（x）在区间[1，e]的最小值．22．（12分）如图，抛物线C1：y2=2px与椭圆C2：+=1在第一象限的交点为B，O为坐标原点，A为椭圆的右顶点，△OAB的面积为．（Ⅰ）求抛物线C1的方程；（Ⅱ）过A点作直线l交C1于C、D 两点，射线OC、OD分别交C2于E、F两点，记△OEF和△OCD的面积分别为S1和S2，问是否存在直线l，使得S1：S2=3：77？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．2015-2016学年辽宁省沈阳二中高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={x||x﹣a|≤1}，B={x|x2﹣5x+4≥0}，若A∩B=∅，则实数a的取值范围是（）A．[2，3]B．（2，3） C．[2，+∞）D．（﹣∞，3]【解答】解：∵集合A={x||x﹣a|≤1}，B={x|x2﹣5x+4≥0}，∴A={x|a﹣1≤x≤a+1}B={x|x≥4或x≤1}，∵A∩B=∅，∴解得2＜a＜3，故选：B．2．（5分）设a∈R，则“a=1”是“直线l1：ax+2y﹣1=0与直线l2：x+（a+1）y+4=0平行”的（）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：当a=1时，直线l1：x+2y﹣1=0与直线l2：x+2y+4=0，显然平行；而由两直线平行可得：a（a+1）﹣2=0，解得a=1，或a=﹣2，故不能推出“a=1”，由充要条件的定义可得：“a=1”是“直线l1：ax+2x﹣1=0与直线l2：x+（a+1）y+4=0平行”的充分不必要条件．故选：B．3．（5分）f（x）在x0处可导，a为常数，则=（）A．f′（x0）B．2af′（x0）C．af′（x0）D．0【解答】解：=2a=2af′（x0）．故选：B．4．（5分）已知实数x，y满足a x＜a y（0＜a＜1），则下列关系式恒成立的是（）A．x3＞y3B．sinx＞sinyC．ln（x2+1）＞ln（y2+1）D．＞【解答】解：∵实数x，y满足a x＜a y（0＜a＜1），∴x＞y，A．当x＞y时，x3＞y3，恒成立，B．当x=π，y=时，满足x＞y，但sinx＞siny不成立．C．若ln（x2+1）＞ln（y2+1），则等价为x2＞y2成立，当x=1，y=﹣1时，满足x ＞y，但x2＞y2不成立．D．若＞，则等价为x2+1＜y2+1，即x2＜y2，当x=1，y=﹣1时，满足x＞y，但x2＜y2不成立．故选：A．5．（5分）如果执行如图所示的程序，那么输出的值k=（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：模拟执行程序框图，可得k=0，S=0满足条件S＜100，S=0+1=1，k=1满足条件S＜100，S=1+2=3，k=2满足条件S＜100，S=3+8=11，k=3满足条件S＜100，S=11+211=2059，k=4不满足条件S＜100，退出循环，输出k的值为4．故选：B．6．（5分）函数f（x）=2x3﹣9x2+12x﹣a恰有两个不同的零点，则a可以是（）A．3 B．4 C．6 D．7【解答】解：∵f（x）=2x3﹣9x2+12x﹣a，∴f′（x）=6x2﹣18x+12=6（x﹣1）（x﹣2），令f′（x）=0，求得x=1，或x=2．在（﹣∞，1）上，f′（x）＞0，f（x）单调递增；在（1，2）上，f′（x）＜0，f （x）单调递减；在（2，+∞）上，f′（x）＞0，f（x）单调递增．故f（1）=5﹣a为函数f（x）的极大值；f（2）=4﹣a为函数f（x）的极小值，故当a=4，或a=5时，函数f（x）的零点有2个，故选：B．7．（5分）若定义域为区间（﹣2，﹣1）的函数f（x）=log（2a﹣3）（x+2），满足f （x）＜0，则实数a的取值范围是（）A．（，2）B．（2，+∞）C．（，+∞）D．（1，）（x+2），【解答】解：∵定义域为区间（﹣2，﹣1）的函数f（x）=log（2a﹣3）∴﹣2＜x＜﹣1，0＜x+2＜1，要使f（x）＜0，则2a﹣3＞1，即a＞2，故实数a的取值范围是（2，+∞）故选：B．8．（5分）下面四图都是同一坐标系中某三次函数及其导函数的图象，其中一定不正确的序号是（）A．①②B．③④C．①③D．①④【解答】解：根据f′（x）＞0时，f（x）递增；f′（x）＜0时，f（x）递减可得：①中函数的图象从左向右先减后增再减，对应的导函数是小于0，大于0，再小于0；②中函数的图象也是从左向右先减后增再减，对应的导函数是小于0，大于0，再小于0；所以①②可能正确．而③中函数的图象从左向右先减后增，对应的导函数是小于0，大于0，再小于0，大于0；④中函数的图象从左向右先增后减后，对应的导函数也是小于0，大于0，再小于0，大于0；所以③④可能错误．故选：B．9．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若1≤a5≤4，2≤a6≤3，则S6的取值范围是（）A．[﹣3，33]B．[﹣15，39]C．[﹣12，42]D．[﹣15，42]【解答】解：a5=a1+4d，a6=a1+5d，所以1≤a1+4d≤4，2≤a1+5d≤3，S6==3（a1+a6）=6a1+15d分析可得，6a1+15d=15（a1+4d）﹣9（a1+5d），故﹣12≤S6≤42．故选：C．10．（5分）抛物线C1：y=x2（p＞0）的焦点与双曲线C2：﹣y2=1的右焦点的连线交C1于第一象限的点M．若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p=（）A．B．C．D．【解答】解：由抛物线C1：y=x2（p＞0）得x2=2py（p＞0），所以抛物线的焦点坐标为F（0，）．由﹣y2=1得a=，b=1，c=2．所以双曲线的右焦点为（2，0）．则抛物线的焦点与双曲线的右焦点的连线所在直线方程为，即①．设该直线交抛物线于M（），则C1在点M处的切线的斜率为．由题意可知=，得x0=，代入M点得M（，）把M点代入①得：．解得p=．故选：D．11．（5分）f（x）是定义在（0，+∞）上的非负可导函数，且满足xf′（x）+f（x）≤0，对任意正数a、b，若a＜b，则必有（）A．af（b）≤bf（a）B．bf（a）≤af（b）C．af（a）≤f（b） D．bf（b）≤f（a）【解答】解：xf′（x）+f（x）≤0⇒[xf（x）]′≤0⇒函数F（x）=xf（x）在（0，+∞）上为常函数或递减，又0＜a＜b且f（x）非负，于是有：af（a）≥bf（b）≥0①②①②两式相乘得：⇒af（b）≤bf（a），故选A．12．（5分）下列三图中的多边形均为正多边形，M，N是所在边的中点，双曲线均以图中的F1，F2为焦点，设图示①②③中的双曲线的离心率分别为e1，e2，e3、则e1，e2，e3的大小关系为（）A．e1＞e2＞e3B．e1＜e2＜e3C．e2=e3＜e1D．e1=e3＞e2【解答】解：①设等边三角形的边长为2，以底边为x轴，以底边的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，则双曲线的焦点为（±1，0），且过点（，），∵（，）到两个焦点（﹣1，0），（1，0）的距离分别是和，∴，c=1，∴．②正方形的边长为，分别以两条对角线为x轴和y轴，建立平面直角坐标系，则双曲线的焦点坐标为（﹣1，0）和（1，0），且过点（）．∵点（）到两个焦点（﹣1，0），（1，0）的距离分别是和，∴，c=1，∴．③设正六边形的边长为2，以F1F1所在直线为x轴，以F1F1的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，则双曲线的焦点为（﹣2，0）和（2，0），且过点（1，），∵点（1，）到两个焦点（﹣2，0）和（2，0）的距离分别为2和2，∴a=﹣1，c=2，∴．所以e1=e3＞e2．故选D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知方程+y2=1表示的曲线是焦点在x轴上且离心率为的椭圆，则m=．【解答】解：焦点在x轴上的椭圆方程+y2=1的离心率为，则a=＞1，b=1，c=，∴=，解得m=．则m的值是．故答案为：．14．（5分）定义在R上的偶函数y=f（x），在[0，+∞）上单调递增，则不等式f （2x﹣1）＜f（3）的解为（﹣1，2）．【解答】解：∵在R上的偶函数y=f（x），在[0，+∞）上单调递增，∴不等式f（2x﹣1）＜f（3）等价为f（|2x﹣1|）＜f（3），即|2x﹣1|＜3，解得﹣1＜x＜2，故答案为：（﹣1，2）15．（5分）已知f（x）=x3+f′（）x2﹣x，则f（x）的图象在点（，f（））处的切线斜率是﹣1．【解答】解：∵f（x）=x3+f′（）x2﹣x，∴f′（x）=3x2+2f′（）x﹣1，把x=代入得：f′（）=3×（）2+2f′（）×﹣1，解得：f′（）=﹣1，则f（x）的图象在点（，f（））处的切线斜率是﹣1，故答案为：﹣116．（5分）已知f（x）=xe x，g（x）=﹣（x+1）2+a，若∃x1，x2∈R，使得f（x2）≤g（x1）成立，则实数a的取值范围是a．【解答】解：∃x1，x2∈R，使得f（x2）≤g（x1）成立，等价于f（x）min≤g（x），maxf′（x）=e x+xe x=（1+x）e x，当x＜﹣1时，f′（x）＜0，f（x）递减，当x＞﹣1时，f′（x）＞0，f（x）递增，所以当x=﹣1时，f（x）取得最小值f（x）min=f（﹣1）=﹣；当x=﹣1时g（x）取得最大值为g（x）max=g（﹣1）=a，所以﹣≤a，即实数a的取值范围是a≥．故答案为：a≥．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知函数，是否存在实数k，使函数在（1，2）上递减，在（2，+∞）上递增？若存在，求出所有k值；若不存在，请说明理由．【解答】解：存在∵f'（x）=4k2x3﹣2x2﹣2kx+2令f′（2）=0，得k=﹣，k=，当k=﹣时，在（1，2）上有f′（）＞0，不符题意，舍；时，f'（x）=x3﹣2x2﹣x﹣+2=（x+1）（x﹣1）（x﹣2）在（1，2）上f'（x）＜0，在（2，+∞）上f'（x）＞0即函数在（1，2）上递减，在（2，+∞）上递增，所以．18．（12分）设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=2bsinA （Ⅰ）求B的大小；（Ⅱ）求cosA+sinC的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由a=2bsinA，根据正弦定理得sinA=2sinBsinA，所以，由△ABC为锐角三角形得．（Ⅱ）===．由△ABC为锐角三角形知，0＜A＜，0＜﹣A＜，∴＜A＜，，所以．由此有＜，所以，cosA+sinC的取值范围为（，）．19．（12分）已知等差数列{a n}满足：a n+1＞a n（n∈N*），a1=1，该数列的前三项分别加上1，1，3后顺次成为等比数列{b n}的前三项．（Ⅰ）分别求数列{a n}，{b n}的通项公式a n，b n；（Ⅱ）设，若恒成立，求c的最小值．【解答】解：（Ⅰ）设d、q分别为数列{a n}、数列{b n}的公差与公比，a1=1．由题可知，a1=1，a2=1+d，a3=1+2d，分别加上1，1，3后得2，2，+d，4+2d是等比数列{b n}的前三项，∴（2+d）2=2（4+2d）⇒d=±2．＞a n，∵a n+1∴d＞0．∴d=2，∴a n=2n﹣1（n∈N*）．由此可得b1=2，b2=4，q=2，∴b n=2n（n∈N*）．（Ⅱ），①∴．②①﹣②，得=+2（++…+）﹣，∴T n=3﹣．∴T n+﹣=3﹣≤2，∴满足条件恒成立的最小整数值为c=3．20．（12分）如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图2．（1）求证：DE∥平面A1CB；（2）求证：A1F⊥BE；（3）线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？说明理由．【解答】解：（1）∵D，E分别为AC，AB的中点，∴DE∥BC，又DE⊄平面A1CB，∴DE∥平面A1CB．（2）由已知得AC⊥BC且DE∥BC，∴DE⊥AC，∴DE⊥A1D，又DE⊥CD，∴DE⊥平面A1DC，而A1F⊂平面A1DC，∴DE⊥A1F，又A1F⊥CD，∴A1F⊥平面BCDE，∴A1F⊥BE．（3）线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ．理由如下：如图，分别取A1C，A 1B的中点P，Q，则PQ∥BC．∵DE∥BC，∴DE∥PQ．∴平面DEQ即为平面DEP．由（Ⅱ）知DE⊥平面A 1DC，∴DE⊥A1C，又∵P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点，∴A1C⊥DP，∴A1C⊥平面DEP，从而A1C⊥平面DEQ，故线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ．21．（12分）已知函数（a∈R）．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）当a＜0时，求函数f（x）在区间[1，e]的最小值．【解答】解：函数f（x）的定义域为（0，+∞），…（1分）（Ⅰ），…（4分）（1）当a=0时，f'（x）=x＞0，所以f（x）在定义域为（0，+∞）上单调递增；…（5分）（2）当a＞0时，令f'（x）=0，得x1=﹣2a（舍去），x2=a，当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下：此时，f（x）在区间（0，a）单调递减，在区间（a，+∞）上单调递增；…（7分）（3）当a＜0时，令f'（x）=0，得x1=﹣2a，x2=a（舍去），当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下：此时，f（x）在区间（0，﹣2a）单调递减，在区间（﹣2a，+∞）上单调递增．…（9分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知当a＜0时，f（x）在区间（0，﹣2a）单调递减，在区间（﹣2a，+∞）上单调递增．…（10分）（1）当﹣2a≥e，即时，f（x）在区间[1，e]单调递减，所以，；…（11分）（2）当1＜﹣2a＜e，即时，f（x）在区间（1，﹣2a）单调递减，在区间（﹣2a，e）单调递增，所以，…（12分）（3）当﹣2a≤1，即时，f（x）在区间[1，e]单调递增，所以．…（13分）22．（12分）如图，抛物线C1：y2=2px与椭圆C2：+=1在第一象限的交点为B，O为坐标原点，A为椭圆的右顶点，△OAB的面积为．（Ⅰ）求抛物线C1的方程；（Ⅱ）过A点作直线l交C1于C、D 两点，射线OC、OD分别交C2于E、F两点，记△OEF和△OCD的面积分别为S1和S2，问是否存在直线l，使得S1：S2=3：77？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）因为△OAB的面积为，所以，…（2分）代入椭圆方程得，抛物线的方程是：y2=8x…（4分）（Ⅱ）存在直线l：x±11y﹣4=0符合条件解：显然直线l不垂直于y轴，故直线l的方程可设为x=my+4，与y2=8x联立得y2﹣8my﹣32=0．设C（x1，y1），D（x2，y2），则y1+y2=8m，y1•y2=﹣32∴=．…（6分）由直线OC的斜率为，故直线OC的方程为，与联立得，同理，所以…（8分）可得要使，只需…（10分）即121+48m2=49×121解得m=±11，所以存在直线l：x±11y﹣4=0符合条件…（12分）。

辽宁省大连市第二十四中学2018-2019学年高二数学上学期期中试题（含解析）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.记S n为等差数列{a n}的前n项和．若a4+a5＝24，S6＝48，则{a n}的公差为（）A. 1B. 2C. 4D. 82.若a，b，c∈R，则“”是“a，b，c成等比数列”的（）A. 充分但不必要条件B. 必要但不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3.如果a＜b＜0，那么下列不等式成立的是（）A. B. C. D.4.设x，y满足约束条件则z＝2x＋y的最小值是（）A. B. C. 1 D. 95.已知数列{a n}满足3a n+1+a n=0，a2=-，则{a n}的前10项和等于（）A. B. C. D.6.已知一元二次不等式f（x）＜0的解集为{x|x＜-1或x＞}，则f（10x）＞0的解集为（）A. 或B.C. D.7.已知椭圆的标准方程为（m＞0），点P在椭圆上，F是椭圆的右焦点，|PF|的最大值为7，则m的值是（）A. 7B.C. 3D.8.已知x，y满足约束条件，当目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）在该约束条件下取到最小值2时，a2+b2的最小值为（）A. 5B. 4C.D. 29.设椭圆的两个焦点分别为F1、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（）A. B. C. D.10.已知函数f（x）=，若数列{a n}满足a n=f（n）（n∈N﹡），且{a n}是递增数列，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.11.已知x＞0，y＞0，z＞0，x-y+2z=0则的（）A. 最小值为8B. 最大值为8C. 最小值为D. 最大值为12.椭圆C：的左、右顶点分别为A1、A2，点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是[-2，-1]，那么直线PA1斜率的取值范围是（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知命题p：∀x＞1，使得，则￢p为______．14.设等差数列{a n}的前n项和为S n，S m-1=-2，S m=0，S m+1=3，则正整数m的值为______．15.若a，b∈R，ab＞0，则的最小值为______．16.不等式恒成立，则实数a的取值范围是______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.设命题p：函数f（x）=（a-）x是R上的减函数，命题q：函数g（x）=x2-4x+3在[0，a]的值域为[-1，3]．若“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，求a的取值范围．18.解关于x的不等式ax2-（a+1）x+1＜0（a∈R）19.已知等比数列{a n}满足：|a2-a3|=10，a1a2a3=125．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）是否存在正整数m，使得？若存在，求m的最小值；若不存在，说明理由．20.已知点M（4，2）是直线l被椭圆x2+4y2=36所截得的线段AB的中点．（Ⅰ）求直线l的方程；（Ⅱ）若椭圆的右顶点为N，求△NAB的面积．21.已知函数f（x）=-x2+7x，数列{a n}的前n项和为S n，点均在函数y=f（x）的图象上．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式及S n的最大值；（Ⅱ）令，其中n∈N*，若b n＞0，求数列{（2n-1）b n}的前n项和．22.已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率，左、右焦点分别为F1、F2，点满足：F2在线段PF1的中垂线上．且∠NF2F1=∠MF2A，求k的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】本题考查等差数列的面公式的求法及应用，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．利用等差数列通项公式及前n项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出{a n}的公差．【解答】解：∵S n为等差数列{a n}的前n项和，a4+a5=24，S6=48，∴，解得a1=-2，d=4，∴{a n}的公差为4．故选C．2.【答案】D【解析】解：∵a，b，c成等比数列，∴b2=ac，∵=ac推不出b2=ac，b2=ac推不出=ac，∴“”是“a，b，c成等比数列”的既不充分也不必要条件．故选：D．由a，b，c成等比数列，得b2=ac，又=ac推不出b2=ac，b2=ac推不出=ac，得结果．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，考查了推理能力，属于基础题．3.【答案】D【解析】解：由于a＜b＜0，不妨令a=-2，b=-1，可得=-1，∴，故A不正确．可得ab=2，b2=1，∴ab＞b2，故B不正确．可得-ab=-2，-a2=-4，∴-ab＞-a2，故C不正确．故选：D．由于a＜b＜0，不妨令a=-2，b=-1，代入各个选项检验，只有D正确，从而得出结论．本题主要考查不等式与不等关系，利用特殊值代入法比较几个式子在限定条件下的大小关系，是一种简单有效的方法，属于基础题．4.【答案】A【解析】解：x、y满足约束条件的可行域如图：z=2x+y 经过可行域的A时，目标函数取得最小值，由解得A（-6，-3），故选：A．画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解目标函数的最小值即可．本题考查线性规划的简单应用，考查数形结合以及计算能力．5.【答案】C【解析】解：∵3a n+1+a n=0∴∴数列{a n}是以-为公比的等比数列∵∴a1=4由等比数列的求和公式可得，S10==3（1-3-10）故选：C．由已知可知，数列{a n}是以-为公比的等比数列，结合已知可求a1，然后代入等比数列的求和公式可求本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础试题6.【答案】D【解析】解：由题意可知f（x）＞0的解集为{x|-1＜x＜}，故可得f（10x）＞0等价于-1＜10x＜，由指数函数的值域为（0，+∞）一定有10x＞-1，而10x＜可化为10x＜，即10x＜10-lg2，由指数函数的单调性可知：x＜-lg2故选：D．由题意可得f（10x）＞0等价于-1＜10x＜，由指数函数的单调性可得解集．本题考查一元二次不等式的解集，涉及对数函数的单调性及对数的运算，属中档题．7.【答案】B【解析】解：点P在椭圆上，F是椭圆的右焦点，|PF|的最大值为7，∴7=a+c=4+c，解得c=3．∴m===．故选：B．点P在椭圆上，F是椭圆的右焦点，|PF|的最大值为7，可得7=a+c，解得c．利用m=即可得出．本题考查了椭圆的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．解：由约束条件作可行域如图，联立，解得：A（2，1）．化目标函数为直线方程得：（b＞0）．由图可知，当直线过A点时，直线在y轴上的截距最小，z最小．∴2a+b=2．即2a+b-2=0．则a2+b2的最小值为．故选：B．由约束条件正常可行域，然后求出使目标函数取得最小值的点的坐标，代入目标函数得到2a+b-2=0．a2+b2的几何意义为坐标原点到直线2a+b-2=0的距离的平方，然后由点到直线的距离公式得答案．本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，考查了数学转化思想方法，训练了点到直线距离公式的应用，是中档题．9.【答案】D【解析】解：设点P在x轴上方，坐标为，∵△F1PF2为等腰直角三角形∴|PF2|=|F1F2|，即，即故椭圆的离心率e=故选：D．设点P在x轴上方，坐标为，根据题意可知|PF2|=，|PF2|=|F1F2|，进而根据求得a和c的关系，求得离心率．本题主要考查了椭圆的简单性质．椭圆的离心率是高考中选择填空题常考的题目．应熟练掌握圆锥曲线中a，b，c和e的关系．解：根据题意，a n=f（n）=；要使{a n}是递增数列，必有；解可得，2＜a＜3；故选：C．根据题意，首先可得a n通项公式，这是一个类似与分段函数的通项，结合分段函数的单调性的判断方法，可得；解可得答案．本题考查数列与函数的关系，{a n}是递增数列，必须结合f（x）的单调性进行解题，但要注意{a n}是递增数列与f（x）是增函数的区别与联系．11.【答案】D【解析】解：∵x＞0，y＞0，z＞0，x-y+2z=0，∴y=x+2z，∴==≤==当且仅当x=2z时取等号，∴的最大值为故选：D．由题意可得y=x+2z，代入可得=，由基本不等式可得．本题考查基本不等式，涉及不等式的性质，属基础题．12.【答案】B【解析】解：由椭圆C：可知其左顶点A1（-2，0），右顶点A2（2，0）．设P（x0，y0）（x0≠±2），则，得．∵=，=，∴==，∵，∴，解得．故选：B．由椭圆C：可知其左顶点A1（-2，0），右顶点A2（2，0）．设P（x0，y0）（x0≠±2），代入椭圆方程可得．利用斜率计算公式可得，再利用已知给出的的范围即可解出．13.【答案】∃x＞1，x+≤3【解析】解：命题是全称命题，则命题的否定是特称命题，即￢p为∃x＞1，x+≤3，故答案为：∃x＞1，x+≤3根据全称命题的否定是特称命题进行求解即可．本题主要考查含有量词的命题的否定，根据全称命题的否定是特称命题是解决本题的关键．14.【答案】5【解析】解：由题意可得a m=S m-S m-1=0-（-2）=2，a m+1=S m+1-S m=3-0=3，∴等差数列{a n}的公差d=a m+1-a m=3-2=1，由通项公式可得a m=a1+（m-1）d，代入数据可得2=a1+m-1，①再由求和公式可得S m=ma1+d，代入数据可得0=ma1+，②联立①②可解得m=5故答案为：5由题意可得a m和a m+1的值，进而可得公差d，由通项公式和求和公式可得a1和m的方程组，解方程组可得所求．本题考查等差数列的性质和求和公式，涉及方程组的解法，属中档题．15.【答案】2【解析】解：∵a，b∈R，ab＞0，则×=×=2ab+≥2=2，当且仅当2ab=且a2=2b2即时取得最小值2，故答案为：2．由×=×=2ab+，再次利用基本不等式可求．本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题中要注意应用条件的合理配凑．16.【答案】a＜2【解析】解：由题意，x2-1≥0，可得x≥1或x≤-1当x=±1时，显然不等式恒成立，此时a∈R；不等式，可得设，t≥0，则x2=t2+1那么：（当且仅当t=取等号）∴＞a故答案为：a＜先从分离出参数a，转化为对勾函数的最小值即可求解．本题主要考查了函数恒成立问题的求解，换元思想，对勾函数的最值的应用．17.【答案】解：命题p：∵函数是R上的减函数，由得命题q：∵g（x）=（x-2）2-1，在[0，a]上的值域为[-1，3]得2≤a≤4∵p且q为假，p或q为真，得p、q中一真一假．若p真q假，得若p假q真，得综上，＜a＜2或≤a≤4【解析】命题中，根据指数函数的性质，求出a的范围，对于命题q，根据二次函数的性质，求出a的范围，因为“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，得p、q中一真一假，然后再分类讨论；此题主要考查指数函数的性质以及二次函数的性质，以及分类讨论思想的应用，另外计算量比较大要仔细计算．18.【答案】解：不等式ax2-（a+1）x+1＜0等价于（ax-1）（x-1）＜0，其中a∈R；当a=0时，不等式化为x-1＞0，解得解集为（1，+∞），当a＞0时，不等式等价于（x-）（x-1）＜0，若0＜a＜1，则＞1，不等式的解集为（1，）；若a=1，则=1，不等式的解集为空集；若a＞1，则＜1，不等式的解集为（，1）；当a＜0时，不等式等价于（x-）（x-1）＞0，且＜0＜1，∴不等式的解集为（-∞，）∪（1，+∞）．综上，a=0时，不等式的解集为（1，+∞），0＜a＜1时，不等式的解集为（1，）；a=1时，不等式的解集为空集；a＞1时，不等式的解集为（，1）；a＜0时，不等式的解集为（-∞，）∪（1，+∞）．【解析】不等式化为（ax-1）（x-1）＜0，讨论a=0、a＞0和a＜0时，分别求出不等式的解集．本题考查了含有字母系数的不等式的解法和应用问题，关键是分类讨论，是中档题．19.【答案】解：（Ⅰ）设等比数列{a n}的公比为q，则由已知可得解得故．（Ⅱ）若，则，故是首项为，公比为的等比数列，从而．综上，对任何正整数m，总有．故不存在正整数m，使得成立．【解析】（I）设等比数列{a n}的公比为q，结合等比数列的通项公式表示已知条件，解方程可求a1，q，进而可求通项公式（Ⅱ）结合（I）可知是等比数列，结合等比数列的求和公式可求，即可判断本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的综合应用，还考查了一定的逻辑推理与运算的能力20.【答案】解：（Ⅰ）由已知直线l的斜率存在，设l：y-2=k（x-4），代入x2+4y2=36，得（4k2+1）x2-（32k2-16k）x+64k2-64k-20=0，由，得．∴l：x+2y-8=0．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），由（Ⅰ）得，x2-8x+14=0，，由得右顶点N（6，0），到直线l的距离，∴【解析】（Ⅰ）先判断直线l的斜率存在，然后设出直线l的方程为：y-2=k（x-4），代入椭圆方程，利用韦达定理及中点坐标公式，可得斜率k=-，从而得直线l的方程；（Ⅱ）用弦长公式算出弦长AB=；用点到直线的距离公式算出点N到直线l的距离d=；再代入面积公式算得面积即可．本题考查了直线与椭圆的综合．属中档题．21.【答案】解：（Ⅰ）∵f（x）=-x2+7x，点均在函数y=f（x）的图象上；∴；当n=1时，a1=S1=6；当n≥2时，a n=S n-S n-1=-2n+8；∴；令a n=-2n+8≥0得n≤4；∴当n=3或n=4时，S n取得最大值12；（Ⅱ）由题意因为b n＞0，且，所以；故{（2n-1）b n}的前n项和………………①；…………②；①-②得：=2+2（22+23+…+2n）-（2n-1）×2n+1；∴；即．【解析】（Ⅰ）根据题意可得出，n=1时，得出a1=6；n≥2时，a n=-2n+8，从而得出通项公式a n=-2n+8（n∈N*），解a n=-2n+8≥0得出n≤4，从而可求出S n的最大值；（Ⅱ）可知b n＞0，可由求出，从而得出{（2n-1）b n}的前n项和①，+=，化简即可求出T n．考查函数图象上的点和函数解析式的关系，根据前n项和公式求通项公式的方法，错位相减法求前n项和公式的方法，以及等比数列的前n项和公式．22.【答案】解：（1）解法一：椭圆C的离心率，得，其中椭圆C的左、右焦点分别为F1（-c，0），、F2（c，0），又点F2在线段PF1的中垂线上，∴F1F2=PF2，∴解得c=1，a2=2，b2=1，∴椭圆C的方程为．…（6分）解法二：椭圆C的离心率，得，其中椭圆C的左、右焦点分别为F1（-c，0），、F2（c，0），设线段PF1的中点为D，∵F1（-c，0），，∴，又线段PF1的中垂线过点F2，∴，即c=1，a2=2，b2=1，∴椭圆方程为（2）由题意，直线l的方程为y=k（x-2），且k≠0，联立，得（1+2k2）x2-8k2x+8k2-2=0，由△=8（1-2k2）＞0，得，且k≠0设M（x1，y1），N（x2，y2），则有，，（*）∵∠NF2F1=∠MF2A，且由题意∠NF2A≠90°，∴，又F2（1，0），∴，即，∴，整理得2x1x2-3（x1+x2）+4=0，将（*）代入得，，知上式恒成立，故直线l的斜率k的取值范围是．…（12分）【解析】（1）解法一：由椭圆C 的离心率和点F2在线段PF1的中垂线上知|F1F2|=|PF2|，由此推出，从而可求出椭圆C的方程．解法二：椭圆C 的离心率，得，先求得线段PF1的中点为D的坐标，根据线段PF1的中垂线过点F2，利用，得出关于c的方程求出c值，最后求得a，b写出椭圆方程即可；（2）设直线l的方程为y=k（x-2），，将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用∠NF2F1=∠MF2A得出的斜率关系即可求得k的取值范围．本小题主要考查椭圆的方程及几何性质、直线与圆锥曲线的综合问题、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．11。

2015-2016学年度上学期期末考试高二数学（理科）试卷考试时间：120分钟 试题分数：150分 命题人：李飞卷Ⅰ一、选择题：本大题共12小题,每题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1. 对于常数m 、n ，“0mn <”是“方程221mx ny +=的曲线是双曲线”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 2. 命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定．．是 A ．所有不能被2整除的数都是偶数 B ．所有能被2整除的数都不是偶数 C ．存在一个不能被2整除的数是偶数 D ．存在一个能被2整除的数不是偶数3. 已知椭圆1162522=+y x 上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为7，则P 到另一焦点距离为 A ．2 B ．3 C ．5 D ．74 . 在一次跳伞训练中,甲、乙两位学员各跳一次,设命题p 是“甲降落在指定范围”,q 是“乙降落在指定范围”,则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为 A ．()()p q ⌝∨⌝ B ．()p q ∨⌝ C ．()()p q ⌝∧⌝ D ．p q ∨5. 若双曲线22221x y a b-=3A ．2± B. 12± C. 2 D.22±6. 曲线sin 1sin cos 2x y x x =-+在点(,0)4M π处的切线的斜率为2212 D. 12-7． 已知椭圆)0(1222222>>=+b a b y a x 的焦点与双曲线12222=-bx a y 的焦点恰好是一个正方数学试卷及试题数学试卷及试题2形的四个顶点，则抛物线2bx ay =的焦点坐标为 A. )0,43(B. )0,123(C. )123,0( D.)43,0( 8．一间民房的屋顶有如图三种不同的盖法：①单向倾斜；②双向倾斜；③四向倾斜.记三种盖法屋顶面积分别为123,,P P P ，① ② ③若屋顶斜面与水平面所成的角都是α，则A. 123P P P ==B. 123P P P =<C. 123P P P <=D. 123P P P <<9. 马云常说“便宜没好货”,他这句话的意思是:“不便宜”是“好货”的A ．充分条件B ．必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件10. 设0>a ，c bx ax x f ++=2)(，曲线)(x f y =在点P （)(,00x f x ）处切线的倾斜角的取值范围是]4,0[π，则P 到曲线)(x f y =对称轴距离的取值范围为A. ]1,0[aB. ]21,0[aC. ]2,0[a bD. ]21,0[a b - 11. 已知点O 在二面角AB αβ--的棱上，点P 在α内，且60POB ∠=︒.若对于β内异于O 的任意一点Q ，都有60POQ ∠≥︒，则二面角AB αβ--的大小是A. 30︒B.45︒C. 60︒D.90︒12. 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两个焦点为1F 、2F ，点A 在双曲线第一象限的图象上，若△21F AF 的面积为1，且21tan 21=∠F AF ，2tan 12-=∠F AF ，则双曲线方程为 A ． 1312522=-y x B ．1351222=-y x C ．1512322=-y x D ．1125322=-y x 卷Ⅱ数学试卷及试题数学试卷及试题3二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13. 正方体1111ABCD A B C D -中，M 是1DD 的中点，O 为底面正方形ABCD 的中心，P 为棱11A B 上任意一点，则直线OP 与直线AM 所成的角为 ． 14. 函数2()ln '(1)54f x x f x x =-+-，则(1)f ＝________．15.已知b a,是夹角为60的两单位向量，向量b c a c⊥⊥,，且||1c =,c b a y c b a x -+-=+-=3,2，则><y x,cos = .16. 过抛物线22(0)x py p =>的焦点F 作倾斜角为45的直线，与抛物线分别交于A 、B 两点（A 在y 轴左侧），则AFFB= ．三、解答题:本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分10分)过点(1,1)-作函数3()f x x x =-的切线，求切线方程.18.(本小题满分12分)已知集合{}|(1)(2)0A x ax ax =-+≤，集合{}|24.B x x =-≤≤ 若x B ∈是x A ∈的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.19．(本小题满分12分) 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面为直角梯形,//AD BC ,90BAD ∠=,PA ⊥底面ABCD ，且2PA AD AB BC ===,,M N 分别为,PC PB 的中点.（Ⅰ）求证：PB DM ⊥；（Ⅱ）求CD 与平面ADMN 所成的角的正弦值．20. (本小题满分12分)数学试卷及试题数学试卷及试题 4已知三棱柱'''C B A ABC -如图所示，四边形''B BCC 为菱形，oBCC 60'=∠，ABC ∆为等边三角形，面⊥ABC 面''B BCC ，F E 、分别为棱'CC AB 、的中点.（Ⅰ）求证：//EF 面''BC A ；（Ⅱ）求二面角B AA C --'的大小．21. (本小题满分12分)已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为2，且椭圆上点到左焦点距离的最小值为1.（Ⅰ）求1C 的方程；（Ⅱ）设直线l 同时与椭圆1C 和抛物线22:4C y x =相切，求直线l 的方程.22. (本小题满分12分)已知椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>过点，直线(1y k x =-）(0)k ≠与椭圆C 交于不同的两点M N 、,MN 中点为P ，O 为坐标原点，直线OP 斜率为12k-. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）椭圆C 的右顶点为A ，当AMN ∆k 的值.C数学试卷及试题数学试卷及试题 5xyz2015-2016学年度上学期期末考试高二数学（理科）参考答案一．选择题CDBAC CDABB DB 二．填空题2π1- 52322-三．解答题17.解：设切点为3(,)m m m -，则切线方程为32(31)()y m m m x m -+=--，┅┅┅┅┅┅2分将点(1,1)-带入，解得0m =或32， ┅┅┅┅┅┅┅ 8分 所以切线方程为y x =-或234270x y --= ┅┅┅┅┅┅┅10分 18.解：（1）0a >时，21[,]A a a =-，若x B ∈是x A ∈的充分不必要条件，所以212,4a a-≥-≤， 104a <≤，检验14a =符合题意；┅┅┅┅┅┅┅4分（2）0a =时，A R =，符合题意；┅┅┅┅┅┅┅8分（3）0a <时，12[,]A a a =-，若x B ∈是x A ∈的充分不必要条件，所以122,4a a-≥≤-，102a -≤<，检验12a =-不符合题意.综上11(,]24a ∈-.┅┅┅┅┅┅┅12分19. 解如图，以A 为坐标原点建立空间直角坐标系A xyz -，设1BC =，则 1(0,0,0),(0,0,2),(2,0,0),(2,1,0),(1,,1),(0,2,0)2A P B C M D .（I ） 因为3(2,0,2)(1,,1)2PB DM ⋅=-⋅-0=，所以.PB DM ⊥（II ） 因为(2,0,2)(0,2,0)PB AD ⋅=-⋅0=，所以PB AD ⊥， 又因为PB DM ⊥，所以PB ⊥平面.ADMN因此,PB DC <>的余角即是CD 与平面ADMN 所成的角.数学试卷及试题数学试卷及试题6因为cos ,||||PB DC PB DC PB DC ⋅<>=⋅5=，所以CD 与平面ADMN 所成的角的正弦为51020. （Ⅰ）证明（方法一）取B A '中点D ，连接DC ED ,，因为D E ,分别为B A AB ',中点，所以'//,'21AA ED AA ED =，┅┅┅┅┅┅┅３分 所以CF ED CF ED //,=，所以四边形EFCD 为平行四边形，所以CD EF //，又因为BC A CD BC A EF ''面，面⊂⊄，所以//EF 面BC A '；┅┅┅┅┅┅┅６分（方法二）取'AA 中点G ，连接FG EG ,， 因为G E ,分别为',AA AB 中点，所以B A EG '//又因为G F ,分别为','AA CC 中点，所以''//C A FG ┅┅┅┅┅┅┅３分且G GF EG EFG GF EFG EG =⊂⊂ ,,面面，'''',''',''''A B A C A BC A B A BC A C A =⊂⊂ 面面所以面//EFG 面''BC A ，又⊂EF 面EFG ，所以//EF 面BC A '┅┅┅┅┅┅６分 （方法三）取BC 中点O ，连接',OC AO ，由题可得BC AO ⊥，又因为面⊥ABC 面''B BCC ，所以⊥AO 面''B BCC ，又因为菱形''B BCC 中oBCC 60'=∠，所以BC O C ⊥'.数学试卷及试题数学试卷及试题7可以建立如图所示的空间直角坐标系 ┅┅┅┅┅┅┅7分 不妨设2=BC ，可得)0,0,1(C ，)0,3,0('C)3,0,0(A ，)0,0,1(-B ，)3,3,1('-A ，)0,3,2('-B ，所以)0,23,21(),23,0,21(F E -所以)3,3,0('),0,3,1('),23,23,1(==-=BA BC EF ，┅┅┅┅┅┅┅9分 设面BC A '的一个法向量为),,(c b a n =，则⎩⎨⎧=+=+03303c b b a ，不妨取3=a ，则)1,1,3(),,(-=c b a ，所以0=⋅n EF，又因为⊄EF 面BC A '，所以//EF 面BC A '.┅┅┅┅┅┅┅12分 （Ⅱ）（方法一） 过F 点作'AA 的垂线FM 交'AA 于M ，连接BF BM ,.因为'//','AA CC CC BF ⊥，所以'AA BF ⊥，所以⊥'AA 面MBF ， 所以BMF ∠为二面角B AA C --'的平面角. ┅┅┅┅┅┅┅８分因为面⊥ABC 面''B BCC ，所以A 点在面''B BCC 上的射影落在BC 上，所以41cos 'cos 'cos =∠∠=∠ACB BCC ACC ， 所以ACMFACC ==∠415'sin ，不妨设2=BC ，所以215=MF ，同理可得215=BM .┅┅┅┅┅┅┅10分数学试卷及试题数学试卷及试题 8所以532153415415cos =-+=∠BMF ，所以二面角B AA C --'的大小为53arccos ┅┅┅┅┅┅┅12分（方法二）接（Ⅰ）方法三可得)0,3,1('),3,0,1(-=--=AA AB ，设面B AA '的一个法向量为),,(1111z y x n =，则⎩⎨⎧=+-=--03031111y x z x ，不妨取31=x ，则)1,1,3(),,(111-=z y x .┅┅┅┅┅┅┅８分又)0,3,1('),3,0,1(-=-=AA AC ，设面C AA '的一个法向量为),,(2222z y x n =，则⎩⎨⎧=+-=-03032222y x z x ，不妨取32=x ，则)1,1,3(),,(222=z y x .┅┅┅┅┅┅┅１０分 所以53||||,cos 212121=⋅⋅>=<n n n n n n，因为二面角B AA C --'为锐角，所以二面角B AA C --'的大小为53arccos ┅┅┅┅┅┅┅１2分21.解：（Ⅰ）设左右焦点分别为)0,(),0,(21c F c F -，椭圆上点P 满足,2||||2,2||||2121c PF PF c a PF PF ≤-≤-=+所以,||1c a PF c a +≤≤-P 在左顶点时||1PF 取到最小值12-=-c a ，又21=a c ，解得1,1,2===b c a ，所以1C 的方程为 1222=+y x .(或者利用设),(y x P 解出x aca PF +=||1得出||1PF 取到最小值12-=-c a ，对于直接说明P 在左顶点时||1PF 取到最小值的，酌情扣分)；┅┅┅┅┅┅┅4分（Ⅱ）由题显然直线l 存在斜率，所以设其方程为m kx y +=，┅┅┅┅┅┅┅5分数学试卷及试题数学试卷及试题9联立其与1222=+y x ，得到 0224)21(222=-+++m kmx x k ，0=∆，化简得01222=--k m ┅┅┅┅┅┅┅8分联立其与22:4C y x =，得到042=+-m y y k ，0=∆，化简得01=-km ，┅┅┅┅┅┅┅10分 解得2,22==m k 或2,22-=-=m k 所以直线l 的方程为222+=x y 或222--=x y ┅┅┅┅┅┅┅12分 22. 解：（Ⅰ）由题可得直线过点（1,0），在椭圆内，所以与椭圆一定相交，交点设为),(),,(2211y x N y x M ，则2121x x y y k --=，OP 斜率为2121x x y y ++，所以2122212221-=--x x y y ，┅┅┅┅┅┅┅3分又1221221=+b y a x ，1222222=+b y a x ，所以02222122221=-+-by y a x x ，所以222b a =，又 11222=+ba ，解得2,422==b a ，所以椭圆C 的方程为12422=+y x ；┅┅┅┅┅┅┅6分 （Ⅱ）(1y k x =-）与椭圆C 联立得：0424)21(2222=-+-+k x k x k ，┅┅┅┅┅┅┅8分AMN ∆面积为31021)32(82||||2||||21222121=++=-=-k k k x x k y y ， 解得1±=k .┅┅┅┅┅┅┅12分数学试卷及试题数学试卷及试题10。

2022-2023辽宁省大连市高二（上）期中数学试卷一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，其中1～10小题为单选题，每小题只有一个选项符合题意；11～12为多选题，每小题有两个选项符合题意，选对一个得3分，两个都选对得5分，选错或选错一个得0分．）1．（5分）直线2x+4y+3＝0的斜率是（）A．﹣2B．﹣C．D．22．（5分）若圆C与圆（x+2）2+（y﹣1）2＝1关于原点对称，则圆C的方程为（）A．（x﹣2）2+（y+1）2＝1B．（x+1）2+（y﹣1）2＝1C．（x﹣1）2+（y+2）2＝1D．（x+1）2+（y﹣2）2＝13．（5分）如图，在三棱锥O﹣ABC中，点D是棱AC的中点，若＝，＝，＝，则等于（）A．﹣B．C．﹣+D．﹣﹣﹣4．（5分）直线y＝k（x﹣1）（k∈R）是（）A．过点（﹣1，0）的一切直线B．过点（1，0）的一切直线C．过点（1，0）且除直线x＝1外的一切直线D．过点（1，0）且除x轴外的一切直线5．（5分）如果存在三个不全为0的实数x、y、z，使得向量，则关于叙述正确的是（）A．两两互相垂直B．中只有两个向量互相垂直C．共面D．中有两个向量互相平行6．（5分）已知点A（2，﹣1，2）在平面α内，＝（3，1，2）是平面α的一个法向量，则下列点P中，在平面α内的是（）A．P（1，﹣1，1）B．P（1，3，）C．P（1，﹣3，）D．P（﹣1，3，﹣）7．（5分）若直线y＝2x与直线（a2﹣a）x﹣y+a+1＝0平行，则a＝（）A．a＝﹣1B．a＝2C．a＝﹣1或2D．a＝1或﹣28．（5分）设A，B是椭圆C：＝1长轴的两个端点，若C上存在点P满足∠APB＝120°，则k的取值范围是（）A．（0，]∪[12，+∞）B．（0，]∪[6，+∞）C．（0，]∪[12，+∞）D．（0，]∪[6，+∞）9．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱AB和A1D1的中点分别为E，F，则直线EF 与平面AA1D1D所成角的正弦值为（）A．B．C．D．10．（5分）已知椭圆的左焦点为F1，有一质点A从F1处以速度v开始沿直线运动，经椭圆内壁反射（无论经过几次反射速率始终保持不变），若质点第一次回到F1时，它所用的最长时间是最短时间的7倍，则椭圆的离心率e为（）A．B．C．D．11．（5分）若方程所表示的曲线为C，则下面四个命题中错误的是（）A．若C为椭圆，则1＜t＜3B．若C为双曲线，则t＞3或t＜1C．曲线C可能是圆D．若C为椭圆，且长轴在y轴上，则1＜t＜212．（5分）在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2﹣4x＝0．若直线y＝k（x+1）上存在一点P，使过P所作的圆的两条切线相互垂直，则实数k的取可以是（）A．1B．2C．3D．4二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．）13．（5分）在平面直角坐标系xOy中，双曲线的虚轴的一个端点到一条渐近线的距离为．14．（5分）已知圆x2+y2＝m与圆x2+y2+6x﹣8y﹣11＝0相交，则实数m的取值范围为．15．（5分）已知双曲线：＝1，（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c，直线y＝（x+c）与双曲线的一个交点M满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则双曲线的离心率为．16．（5分）某隧道的拱线设计半个椭圆的形状，最大拱高h为6米（如图所示），路面设计是双向车道，车道总宽为米，如果限制通行车辆的高度不超过4.5米，那么隧道设计的拱宽d至少应是米．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（10分）（1）求与双曲线有相同焦点，且经过点的双曲线的标准方程；（2）已知椭圆x2+（m+3）y2＝m（m＞0）的离心率，求m的值．18．（12分）已知圆C：x2+y2＝1与直线l：x﹣y+m＝0相交于不同的A、B两点，O为坐标原点．（1）求实数m的取值范围；（2）若|AB|＝，求实数m的值．19．（12分）底面为菱形的直棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为棱A1B1、A1D1的中点．（Ⅰ）在图中作一个平面α，使得BD⊂α，且平面AEF∥α，（不必给出证明过程，只要求作出α与直棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的截面．）（Ⅱ）若AB＝AA1＝2，∠BAD＝60°，求平面AEF与平面α的距离d．20．（12分）如图，设P是圆x2+y2＝25上的动点，点D是P在x轴上的射影，M为PD上一点，且|MD|＝|PD|．（Ⅰ）当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程（Ⅱ）求过点（3，0）且斜率的直线被C所截线段的长度．21．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，P A⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，P A＝AD ＝CD＝2，BC＝3．E为PD的中点，点F在PC上，且＝．（Ⅰ）求证：CD⊥平面P AD；（Ⅱ）求二面角F﹣AE﹣P的余弦值；（Ⅲ）设点G在PB上，且＝．判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由．22．（12分）已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的离心率为，A（a，0），B（0，b），O（0，0），△OAB的面积为4．（1）求椭圆C的方程；（2）P是椭圆C上一点，直线P A与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N．求证：|AN|•|BM|为定值．2022-2023辽宁省大连市高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，其中1～10小题为单选题，每小题只有一个选项符合题意；11～12为多选题，每小题有两个选项符合题意，选对一个得3分，两个都选对得5分，选错或选错一个得0分．）1．（5分）直线2x+4y+3＝0的斜率是（）A．﹣2B．﹣C．D．2【分析】把直线2x+4y+3＝0化为斜截式方程，即可写出斜率的值．【解答】解：直线2x+4y+3＝0可化为y＝﹣x﹣，它的斜率是﹣．故选：B．【点评】本题考查了根据直线的一般式方程求斜率问题，是基础题．2．（5分）若圆C与圆（x+2）2+（y﹣1）2＝1关于原点对称，则圆C的方程为（）A．（x﹣2）2+（y+1）2＝1B．（x+1）2+（y﹣1）2＝1C．（x﹣1）2+（y+2）2＝1D．（x+1）2+（y﹣2）2＝1【分析】圆C与圆（x+2）2+（y﹣1）2＝1关于原点对称，先求圆C的圆心坐标，再求半径即可．【解答】解：由题意可知圆（x+2）2+（y﹣1）2＝1的圆心（﹣2，1），半径为1，关于原点对称的圆心（2，﹣1），半径也是1，所求对称圆的方程：（x﹣2）2+（y+1）2＝1故选：A．【点评】本题考查关于点对称的圆的方程，是基础题．3．（5分）如图，在三棱锥O﹣ABC中，点D是棱AC的中点，若＝，＝，＝，则等于（）A．﹣B．C．﹣+D．﹣﹣﹣【分析】利用向量的三角形法则，表示所求向量，化简求解即可．【解答】解：由题意在三棱锥O﹣ABC中，点D是棱AC的中点，若＝，＝，＝，可知：＝+，＝，＝＝，＝﹣+．故选：C．【点评】本题考查向量的三角形法则，空间向量与平面向量的转化，是基础题．4．（5分）直线y＝k（x﹣1）（k∈R）是（）A．过点（﹣1，0）的一切直线B．过点（1，0）的一切直线C．过点（1，0）且除直线x＝1外的一切直线D．过点（1，0）且除x轴外的一切直线【分析】方程y＝k（x﹣1）（k∈R）表示经过点（1，0）且不垂直于x轴的一切直线．即可得出．【解答】解：方程y＝k（x﹣1）（k∈R）表示经过点（1，0）且不垂直于x轴的一切直线．故选：C．【点评】本题考查了点斜式、直线系的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5．（5分）如果存在三个不全为0的实数x、y、z，使得向量，则关于叙述正确的是（）A．两两互相垂直B．中只有两个向量互相垂直C．共面D．中有两个向量互相平行【分析】运用平面向量基本定理可解决此问题．【解答】解：根据题意得，x，y，z不全为零，由平面向量基本定理知，，共面，故选：C．【点评】本题考查平面向量基本定理的简单应用．6．（5分）已知点A（2，﹣1，2）在平面α内，＝（3，1，2）是平面α的一个法向量，则下列点P中，在平面α内的是（）A．P（1，﹣1，1）B．P（1，3，）C．P（1，﹣3，）D．P（﹣1，3，﹣）【分析】设P（x，y，z），计算，由⊥得•＝0；得出3x+y+2z＝9，再验证四个选项是否满足上式即可．【解答】解：设P（x，y，z），则＝（x﹣2，y+1，z﹣2）；由题意知，⊥，则•＝0；∴3（x﹣2）+（y+1）+2（z﹣2）＝0，化简得3x+y+2z＝9．验证得，在A中，3×1﹣1+2×1＝4，不满足条件；在B中，3×1+3+2×＝9，满足条件；同理验证C、D不满足条件．故选：B．【点评】本题考查了空间向量的数量积与坐标运算问题，是基础题．7．（5分）若直线y＝2x与直线（a2﹣a）x﹣y+a+1＝0平行，则a＝（）A．a＝﹣1B．a＝2C．a＝﹣1或2D．a＝1或﹣2【分析】利用直线与直线平行的性质直接求解．【解答】解：∵直线y＝2x与直线（a2﹣a）x﹣y+a+1＝0平行，∴a2﹣a＝2，解得a＝﹣1或a＝2，当a＝﹣1时，两直线重合，∴a＝2．故选：B．【点评】本题考查实数值的求法，考查直线与直线平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8．（5分）设A，B是椭圆C：＝1长轴的两个端点，若C上存在点P满足∠APB ＝120°，则k的取值范围是（）A．（0，]∪[12，+∞）B．（0，]∪[6，+∞）C．（0，]∪[12，+∞）D．（0，]∪[6，+∞）【分析】：①0＜k＜4时，C上存在点P满足∠APB＝120°，假设M位于短轴的端点时，∠AMB取最大值，要使椭圆C上存在点M满足∠AMB＝120°，∠AMB≥120°，∠AMO ≥60°，tan∠AMO＝≥tan60°，解得k．②当椭圆的焦点在y轴上时，k＞4，同理可得k范围．【解答】解：①0＜k＜4时，C上存在点P满足∠APB＝120°，假设M位于短轴的端点时，∠AMB取最大值，要使椭圆C上存在点M满足∠AMB＝120°，∠AMB≥120°，∠AMO≥60°，tan∠AMO＝≥tan60°，解得：0＜k≤．②当椭圆的焦点在y轴上时，k＞4，同理可得：k≥12，∴m的取值范围是（0，]∪[12，+∞）故选：A．【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、三角函数的单调性、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱AB和A1D1的中点分别为E，F，则直线EF 与平面AA1D1D所成角的正弦值为（）A．B．C．D．【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求出直线EF与平面AA1D1D所成角的正弦值．【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，则E（2，1，0），F（1，0，2），＝（﹣1，﹣1，2），平面AA1D1D的法向量＝（0，1，0），设直线EF与平面AA1D1D所成角为θ，则sinθ＝＝＝．∴直线EF与平面AA1D1D所成角的正弦值为．故选：C．【点评】本题考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．10．（5分）已知椭圆的左焦点为F1，有一质点A从F1处以速度v开始沿直线运动，经椭圆内壁反射（无论经过几次反射速率始终保持不变），若质点第一次回到F1时，它所用的最长时间是最短时间的7倍，则椭圆的离心率e为（）A．B．C．D．【分析】利用椭圆的性质可得4a＝7×2（a﹣c），由此即可求得椭圆的离心率．【解答】解：假设长轴在x轴，短轴在y轴，以下分为三种情况：（1）球从F1沿x轴向左直线运动，碰到左顶点必然原路反弹，这时第一次回到F1路程是2（a﹣c）；（2 ）球从F1沿x轴向右直线运动，碰到右顶点必然原路反弹，这时第一次回到F1路程是2（a+c）；（3）球从F1沿x轴斜向上（或向下）运动，碰到椭圆上的点A，反弹后经过椭圆的另一个焦点F2，再弹到椭圆上一点B，经F1反弹后经过点F1，此时小球经过的路程是4a．综上所述，从点F1沿直线出发，经椭圆壁反射后第一次回到点F1时，小球经过的最大路程是4a，最小路程是2（a﹣c）．∴由题意可得4a＝7×2（a﹣c），即5a＝7c，得＝．∴椭圆的离心率为．故选：D．【点评】本题考查了椭圆的定义及其性质、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．（5分）若方程所表示的曲线为C，则下面四个命题中错误的是（）A．若C为椭圆，则1＜t＜3B．若C为双曲线，则t＞3或t＜1C．曲线C可能是圆D．若C为椭圆，且长轴在y轴上，则1＜t＜2【分析】利用椭圆的性质判断选项A、D的正误；双曲线的性质判断B的正误；圆的方程判断C的正误；【解答】解：方程所表示的曲线为C，则当t＝2时，方程表示圆，所以C 是真命题；A是假命题；若C为椭圆，且长轴在y轴上，则2＜t＜3，所以D是假命题；若C为双曲线，可得（3﹣t）（t﹣1）＜0解得t＞3或t＜1，所以B是真命题；故选：AD．【点评】本题考查命题的真假的判断，二次曲线与方程的关系，是基本知识的考查．12．（5分）在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2﹣4x＝0．若直线y＝k（x+1）上存在一点P，使过P所作的圆的两条切线相互垂直，则实数k的取可以是（）A．1B．2C．3D．4【分析】由题意可得圆心为C（2，0），半径R＝2，设两个切点分别为A、B，则由题意可得四边形P ACB为正方形，圆心到直线y＝k（x+1）的距离小于或等于PC＝2，即≤2，由此求得k的范围．【解答】解：圆C的方程为x2+y2﹣4x＝0，则圆心为C（2，0），半径R＝2．设两个切点分别为A、B，则由题意可得四边形P ACB为正方形，故有PC＝R＝2，∴圆心到直线y＝k（x+1）的距离小于或等于PC＝2，即≤2，解得k2≤8，可得﹣2≤k≤2，∴实数k的取可以是1，2．故选：AB．【点评】本题主要考查直线和圆相交的性质，点到直线的距离公式的应用，体现了转化的数学思想，属于中档题．二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．）13．（5分）在平面直角坐标系xOy中，双曲线的虚轴的一个端点到一条渐近线的距离为．【分析】求出双曲线的渐近线方程，虚轴的一个端点，然后利用点到直线的距离求解即可．【解答】解：双曲线的虚轴的一个端点（0，1），一条渐近线方程为：x+2y ＝0，由题意可得：＝．双曲线的虚轴的一个端点到一条渐近线的距离为：．故答案为：．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，是基础题．14．（5分）已知圆x2+y2＝m与圆x2+y2+6x﹣8y﹣11＝0相交，则实数m的取值范围为1＜m＜121．【分析】求出两个圆的圆心坐标和半径，利用两个圆的圆心距大于半径差，小于半径和，即可求出m的范围．【解答】解：x2+y2＝m是以（0，0）为圆心，为半径的圆，x2+y2+6x﹣8y﹣11＝0，（x+3）2+（y﹣4）2＝36，是以（﹣3，4）为圆心，6为半径的圆，两圆相交，则|半径差|＜圆心距离＜半径和，|6﹣|＜＜6+，|6﹣|＜5＜6+，5＜6+且|6﹣|＜5，＞﹣1 且﹣5＜6﹣＜5，＞﹣1 且1＜＜11，所以1＜＜11，那么1＜m＜121，另，定义域m＞0，所以，1＜m＜121时，两圆相交．故答案为：1＜m＜121【点评】本题是基础题，考查两个圆的位置关系，注意两个圆的位置关系的各种形式，圆心距与半径和与差的大小比较，考查计算能力，转化思想．15．（5分）已知双曲线：＝1，（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c，直线y＝（x+c）与双曲线的一个交点M满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则双曲线的离心率为1．【分析】由已知直线过左焦点F1，且其倾斜角为60°，∠MF1F2＝2∠MF2F1，可得∠MF1F2＝60°，∠MF2F1＝30°，即F1M⊥F2M，运用直角三角形的性质和双曲线的定义，由离心率公式计算即可得到所求值．【解答】解：∵直线y＝（x+c）过左焦点F1，且其倾斜角为60°，∠MF1F2＝2∠MF2F1，∴∠MF1F2＝60°，∠MF2F1＝30°．∴∠F1MF2＝90°，即F1M⊥F2M．∴|MF1|＝|F1F2|＝c，|MF2|＝|F1F2|sin60°＝c，由双曲线的定义有：|MF2|﹣|MF1|＝c﹣c＝2a，∴离心率e＝＝＝+1．故答案为：1．【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的定义和直角三角形的锐角三角函数的定义，考查运算能力，属于中档题．16．（5分）某隧道的拱线设计半个椭圆的形状，最大拱高h为6米（如图所示），路面设计是双向车道，车道总宽为米，如果限制通行车辆的高度不超过4.5米，那么隧道设计的拱宽d至少应是32米．【分析】由已知可得椭圆短半轴长，设出椭圆方程，求得x＝4时的y值，由y≤4.5求得a的最大值，即可得到隧道设计的拱宽d的最小值．【解答】解：由题意可知，b＝6，设椭圆方程为，则当x＝4时，，∵车辆的高度不超过4.5米，∴y≤4.5．∴，得a≤16．∴隧道设计的拱宽d至少应是2a＝32（米）．故答案为：32．【点评】本题考查椭圆的性质，关键是对题意的理解，是基础题．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（10分）（1）求与双曲线有相同焦点，且经过点的双曲线的标准方程；（2）已知椭圆x2+（m+3）y2＝m（m＞0）的离心率，求m的值．【分析】（1）求出双曲线的焦点坐标，利用双曲线方程求出a，b即可得到双曲线方程．（2）判断椭圆的焦点坐标所在轴，利用椭圆的离心率，列出方程求解即可．【解答】解：（1）双曲线的焦点（±2，0），设所求的双曲线方程为：，可得：，解得a2＝12，b2＝8，所求的双曲线方程为：．（2）椭圆x2+（m+3）y2＝m（m＞0）的离心率，可知椭圆的焦点坐标在x轴上，所以＝，解得m＝1．【点评】本题考查椭圆的简单性质以及双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．18．（12分）已知圆C：x2+y2＝1与直线l：x﹣y+m＝0相交于不同的A、B两点，O为坐标原点．（1）求实数m的取值范围；（2）若|AB|＝，求实数m的值．【分析】（1）直线与圆的方程联立，利用判别式大于0，即可求实数m的取值范围；（2）求出圆心C（0，0）到直线的距离，利用|AB|＝，求实数m的值．【解答】解：（1）由消去y得，由已知得，得m2﹣4＜0，得实数m的取值范围是（﹣2，2）；（2）因为圆心C（0，0）到直线的距离为，所以由已知得，解得m＝±1．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查弦长的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．19．（12分）底面为菱形的直棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为棱A1B1、A1D1的中点．（Ⅰ）在图中作一个平面α，使得BD⊂α，且平面AEF∥α，（不必给出证明过程，只要求作出α与直棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的截面．）（Ⅱ）若AB＝AA1＝2，∠BAD＝60°，求平面AEF与平面α的距离d．【分析】（Ⅰ）取B1C1的中点H，C1D1的中点G，平面BHGD就是所求平面α．（Ⅱ）取BC中点M，以D为原点，DA为x轴，DM为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面AEF与平面α的距离．【解答】解：（Ⅰ）取B1C1的中点H，C1D1的中点G，连结BH、GH、DH，则平面BHGD就是所求平面α，α与直棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的截面为平面BHGD．（Ⅱ）∵菱形的直棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，∠BAD＝60°，∴取BC中点M，以D为原点，DA为x轴，DM为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，A（2，0，0），D（0，0，0），B（1，，0），H（0，，2），＝（2，0，0），＝（1，，0），＝（0，，2），设平面α（即平面BHGD）的法向量＝（x，y，z），则，取y＝2，得＝（﹣2，2，﹣），∴平面AEF与平面α的距离d＝＝＝．【点评】本题考查满足面面平行的平面的作法，考查两平面间的距离的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．20．（12分）如图，设P是圆x2+y2＝25上的动点，点D是P在x轴上的射影，M为PD上一点，且|MD|＝|PD|．（Ⅰ）当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程（Ⅱ）求过点（3，0）且斜率的直线被C所截线段的长度．【分析】（Ⅰ）由题意P是圆x2+y2＝25上的动点，点D是P在x轴上的射影，M为PD 上一点，且|MD|＝|PD|，利用相关点法即可求轨迹；（Ⅱ）由题意写出直线方程与曲线C的方程进行联立，利用根与系数的关系得到线段长度．【解答】解：（Ⅰ）设M的坐标为（x，y）P的坐标为（x p，y p）由已知得：∵P在圆上，∴，即C的方程为．（Ⅱ）过点（3，0）且斜率为的直线方程为：，设直线与C的交点为A（x1，y1）B（x2，y2），将直线方程即：，∴线段AB的长度为|AB|＝＝＝．【点评】此题重点考查了利用相关点法求动点的轨迹方程，还考查了联立直线方程与曲线方程进行整体代入，还有两点间的距离公式．21．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，P A⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，P A＝AD ＝CD＝2，BC＝3．E为PD的中点，点F在PC上，且＝．（Ⅰ）求证：CD⊥平面P AD；（Ⅱ）求二面角F﹣AE﹣P的余弦值；（Ⅲ）设点G在PB上，且＝．判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由．【分析】（Ⅰ）推导出P A⊥CD，AD⊥CD，由此能证明CD⊥平面P AD．（Ⅱ）以A为原点，在平面ABCD内过A作CD的平行线为x轴，AD为y轴，AP为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角F﹣AE﹣P的余弦值．（Ⅲ）求出＝（，0，），平面AEF的法向量＝（1，1，﹣1），＝0，从而直线AG在平面AEF内．【解答】证明：（Ⅰ）∵P A⊥平面ABCD，∴P A⊥CD，∵AD⊥CD，P A∩AD＝A，∴CD⊥平面P AD．解：（Ⅱ）以A为原点，在平面ABCD内过A作CD的平行线为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，A（0，0，0），E（0，1，1），F（，，），P（0，0，2），B（2，﹣1，0），＝（0，1，1），＝（），平面AEP的法向量＝（1，0，0），设平面AEF的法向量＝（x，y，z），则，取x＝1，得＝（1，1，﹣1），设二面角F﹣AE﹣P的平面角为θ，则cosθ＝＝＝．∴二面角F﹣AE﹣P的余弦值为．（Ⅲ）直线AG在平面AEF内，理由如下：∵点G在PB上，且＝．∴G（，﹣，），∴＝（，﹣，），∵平面AEF的法向量＝（1，1，﹣1），＝﹣＝0，故直线AG在平面AEF内．【点评】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查直线是否在已知平面内的判断与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于中档题．22．（12分）已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的离心率为，A（a，0），B（0，b），O（0，0），△OAB的面积为4．（1）求椭圆C的方程；（2）P是椭圆C上一点，直线P A与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N．求证：|AN|•|BM|为定值．【分析】（1）运用椭圆的离心率公式和三角形的面积公式，结合a，b，c的关系，求得a 和b的值，进而得到椭圆方程；（2）方法一、设椭圆上点P（x0，y0），可得x02+4y02＝16，求出直线P A的方程，令x ＝0，求得y，|BM|；求出直线PB的方程，令y＝0，可得x，|AN|，化简整理，即可得到|AN|•|BM|为定值．方法二、设P（4cosθ，2sinθ），（0≤θ＜2π），求出直线P A的方程，令x＝0，求得y，|BM|；求出直线PB的方程，令y＝0，可得x，|AN|，运用同角的平方关系，化简整理，即可得到|AN|•|BM|为定值．【解答】解：（1）由题意可得e＝＝，又△OAB的面积为4，可得ab＝4，即ab＝8，且a2﹣b2＝c2，解得a＝4，b＝2，c＝2，可得椭圆C的方程：；（2）证法一：设椭圆上点P（x0，y0），可得x02+4y02＝16，当x0＝0时，可得P（0，﹣2），即有M（0，﹣2），N（0，0），可得|AN|•|BM|为定值16；直线P A：y＝（x﹣4），令x＝0，可得y＝﹣，则|BM|＝|2+|；直线PB：y＝x+2，令y＝0，可得x＝﹣，则|AN|＝|4+|．可得|AN|•|BM|＝|4+|•|2+|，|AN|•|BM|＝|4+|•|2+|＝||＝||＝||＝16，即有|AN|•|BM|为定值16．证法二：设P（4cosθ，2sinθ），（0≤θ＜2π），直线P A：y＝（x﹣4），令x＝0，可得y＝﹣，则|BM|＝2||；直线PB：y＝x+2，令y＝0，可得x＝﹣，则|AN|＝4||．即有|AN|•|BM|＝2||•4||，＝8||，＝8||＝16．则|AN|•|BM|为定值16．【点评】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用椭圆的离心率和基本量的关系，椭圆的参数方程，考查线段积的定值的求法，注意运用直线方程和点满足椭圆方程，考查化解在合理的运算能力，属于中档题．。