第6章 多元函数微分学4-10导学解答(6.1.6 方向导数6.1.7 梯度)

非极值点
极小值点
因为该函数不存在不可微点，故 极小值。 例 32。求函数 解：（一）解方程组
为函数的极大值； 的极值。
为函数的
得三个驻点：
（二）
1。在点
处，
。 故
为极小值；
2。在点
处，
为极小值；
3。在点
处，
（沿直线变化），则有
（沿直线变化），则有
故
故不能确定是否有极值。在近旁，令
当沿直线
故
不是极值。
解：设直角三角形的两直角边长分别为
其周长为 z
则
问题化为一元函数求最值。
，所以，驻点
所以，最大周值为
刚才解决的例 34有一个特点：所求最值的函数
中两自变量 并不
独立，而是受到一个条件
的限制。称这种问题为条件极值问题。对于
这种问题，例 34为我们提供了一种比较简单地方法：即从条件
中解出
，代入
，得：
从而转化为一元函数求最值。
确定的
解法一：方程两边同时关于 求导（视 为 的函数），得： ，
解出：
解法二：令
（这里 互相独立），则 ，
所以，由公式（3）， 解出：
注意：请同学们比较一下两解法有什么本质的区别？哪种用起来更方便？ 称解法二为公式法.
（二）设三元方程
（ *） 确 定 了 一 个 隐 函 数
或
，则可视
为
，原方程化为：
是关于 的二元函数，称之为关于 有四种不同形式的二阶偏导数：
的二阶偏导数.按照对自变量求导次序的不同，共
（1）
（或记为
；（2）
（或记为
；
（3）
（或记为
；4）

y
(yz )
2z y2
f y y (x, y)
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类似可以定义更高阶的偏导数.
例如，z = f (x , y) 关于 x 的三阶偏导数为
x
(
2
x
z
2
)
3z x3
z = f (x , y) 关于 x 的 n –1 阶偏导数 , 再关于 y 的一阶
2 z y2
4ex2y
注意:此处
2z x y
2z yx
,
但这一结论并不总成立.
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偏导数为
y
(
n1z x n 1
)
nz xn1 y
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例9. 求函数 z e x2y 的二阶偏导数
解 : z ex2y x
z y
2ex2y
2z x2
ex2y
2z 2ex2y x y
2z 2ex2y yx
dx
y0 )
x x0
y0 ) dx y
dx
f (x0 , y0 ) x x0
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同样可定义对 y 的偏导数
f y (x0 , y0 )
lim
y0
f (x0 , y0 y) f (x0 , y0 ) y

在点
处的梯度为
• 二元函数
在点
处的梯度为
3. 关系
方向导数存在
偏导数存在
•
• 可微
梯度在方向 l 上的投影.
练习题 1.
函数
在点
处的梯度
解:
则
注意 x , y , z 具有轮换对称性
指向 B( 3, －2 , 2) 方向的方向导数是 .
在点A( 1 , 0 , 1) 处沿点A
2. 函数
提示:
则
1. 定义
即
同样可定义二元函数
称为函数 f (P) 在点 P 处的梯度
记作
(gradient),
在点
处的梯度
说明:
函数的方向导数为梯度在该方向上的投影.
向量
2. 梯度的几何意义
函数在一点的梯度垂直于该点等值面(或等值线) ,
称为函数 f 的等值线 .
则L*上点P 处的法向量为
同样, 对应函数
为, ) 的方向导数为
特别:
• 当 l 与 x 轴同向
• 当 l 与 x 轴反向
向角
例1. 求函数
在点 P(1, 1, 1) 沿向量
3) 的方向导数 .
解: 向量 l 的方余弦为
二、梯度
方向导数公式
令向量
这说明
方向：f 变化率最大的方向
模 : f 的最大变化率之值
方向导数取最大值：
有等值面(等量面)
当各偏导数不同时为零时,
其上
点P处的法向量为
指向函数增大的方向.
3. 梯度的基本运算公式
例4.
证:
试证
处矢径 r 的模 ,
内容小结
1. 方向导数

定义D域 时，相应 M（ 的 x,y点 , f(x,y))就在空间描绘出 面，这个曲面函 就数 z是 f(二 x,y)元 的图形。
（2） 二元函数 z=f (x,y) 的图形 — — 空 间 点 集 { ( x ,y ,f( x ,y ) ) |( x ,y )D } . ——通常是一张曲面（函数曲面）.
性质１ （最大值和最小值定理）若函f数 (x,y)有界闭区 D上 域
连续 ,则它D在 上一定至少取和 得最 最大 小值 值.各一
性质２ （介值定理） 若函f(数 x,y)在有界闭 D上 区连 域续
且它 D上 在取得两个值 不 ,则 同它 的 D上 在 函 取数 得介于 值之间的任何值至少一 次.
性质３ （零点定理） 若函f(x数 ,y)在有界闭 D上区 连,域 且 续
二元函数的极限
设函f数 (x,y)在开区域（或闭D区 内域 有） 定义
p0(x0,y0)是 D的内点或边界 对点 于， 任如 意果 给定 ，总存在正 ，数使得对于适合不等式
0p0p (xx0)2(yy0)2
的一p切 (x,y)点 D,都有 f(x,y)A成立，则 A 称
为函 f(x数 ,y)当 xx0,yy0时的极限，
内点或边 ,且p界 0D 点 ,如果
lx i1mf(x,y)f(x0,y0)
y2
则称 f(x,y函 )在 p 0 数 (点 x0,y0)连 ;否 续则 f(x 称 ,y)在 函 点
(x0y0)间.如 断果 f(x,函 y)在 数 区 D 上 域 每一 ,则 点称 都它 连
域D上连,续 和一元函数 ,二类元似连续函数有 质.下
它取得一个大数 于值 零和 的一 函个小数 于值 ,则 零至 的少 函
有(一 ,) D ,使 点 f(,得 ) 0 .