辽宁省大连24中高二数学理科下学期期末考试试卷

2023-2024学年度下学期辽宁省普通高中期末考试模拟试题高二数学（中档）一、单选题：本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．已知集合A ＝{x |﹣2≤x ＜2}，B ＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2}，则A ⋂B ＝（ ） A ．{﹣2，﹣1，0，1，2} B ．{﹣1，0，1}C ．{x |﹣3≤x ≤2}D ．{﹣2，﹣1，0，1}2．数列{a n }中，“a n 2＝a n ﹣1•a n +1（n ≥2）”是“数列{a n }为等比数列”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．某种产品的加工需要经过6道工序，如果其中某2道工序必须相邻，另外有2道工序不能相邻，那么加工顺序的种数为（ ） A ．72B ．144C ．288D ．1564. 已知指数曲线e bx y a =进行适当变换后得到的方程为1u x =−，则二次函数2y x bx a =++的单调递增区间为（ ） A. (0,)+∞B. 3,10+∞C. 1,2+∞D. (1,)+∞5. 已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12a =，()211323nnn n n n S a S S ++−=+⋅，则2023S =（ ）A202331−B. 2023312C.2023312+ D. 2022312+6．已知，则必有（ ）A ．a ＞c ＞bB ．b ＞c 且a ＞cC ．b ＞c ＞aD ．a ＞b 且a ＞c7. 已知某疾病的某种疗法治愈率为80%.若有100位该病患者采取了这种疗法，且每位患者治愈与否相互独立，设其中被治愈的人数为X ，则下列选项中正确的是（ ）A. (21)160E X +=B. 303070100(30)C (0.8)(0.2)P X == .C. (21)32D X +=D. 存在50k ≠，使得()(100)P Xk P X k ===−成立8. 已知函数()(e 1)m f x x =−的图象恒在()e ln x g x x m =−−的图象的下方，则实数m 的取值范围是（ ） A (,1)−∞B. (,e 1)−∞−C. (0,1)D. (0,e 1)−二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得09. 下列命题为真命题的是（ ）A. 若a b c d >>,，则a c b d +>+B. 若a b c d >>,，则ac bc >C. 若a b >，则22ac bc >D. 若0,0a b c <<>，则c ca b> 10. 下列命题正确的有（ ）A. 若等差数列{}n a 的前n 项的和为n S ，则3S ，6S ，9S 成等差数列B. 若{}n a 为等比数列，且27366a a a a +=，则123881a a a a = C. 若等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知210a =，且140S >，150S <，则n S 的最大值是7SD. 若(1)(41)nn b n =−−，则数列{}n b 的前2024项和为4048 11. 对于函数2()ln xf x x=，下列说法正确的是（ ） A. ()f x 在(1,e)上单调递增，在(e,)+∞上单调递减 B. 若方程(||)2f x m =有4个不等的实根，则e m > C. 当1201x x <<<时，1221ln ln x x x x <D. 设2()2g x x a =+，若对1x ∀∈R ，2(1,)x ∃∈+∞，使得()()122g x f x =成立，则e a ≥三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．13. 已知正实数x ，y 满足1x y +=，则63x y xy ++的最小值为______．.14. 设函数21()11f x x x =+−+，则使得()212log 2log 1f x f x >−− 成立的实数x 的取值范围是________.15. 艾萨克·牛顿，英国著名物理学家、数学家，牛顿用“作切线”的方法求函数()f x 零点时给出一个数列{}n x ：满足()()()1n n n n x x f x f x +′−=，我们把该数列称为牛顿数列．如果函数2()(0)f x ax bx c a ++>有两个零点1和3，数列{}n x 为牛顿数列，设3ln 1n n n x a x −=−，已知12a =，3n x >，则{}n a 的通项公式n a =______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 从①12|log (1)2A x x=+≥−;②11|282xA x =≤<;③31|21x A x x −=≤ + 三个条件中，任选一个补充在下面问题中，并求解.已知集合_____，集合{}2|2,R B x m x m m =<<∈.（1）当1m =−时，求A B ∪；（2）设命题:p x A ∈，命题:q x B ∈，p 是q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围.16. 已知数列{}n a 是正项等比数列，且12a =，23231a a a a −=⋅，若数列{}n b 满足234b =，11n n nb b a +=+. （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）已知111n n n n c b b a ++=⋅⋅，记12n n S c c c =+++ .若228n n tS n−≥恒成立，求实数t 的取值范围.17. 区教育局准备组织一次安全知识竞赛．某校为了选拔学生参赛，按性别采用分层抽样的方法抽取200名学生进行安全知识测试，记A ＝“性别为男”，B ＝“得分超过85分”，且()2|5P A B =，()5|8P B A =，()34P B =．（1）完成下列2×2列联表，并根据小概率值α＝0.001的独立性检验，能否推断该校学生了解安全知识的程度与性别有关？性别了解安全知识的程度合计得分不超过85分人数得分超过85的人数男 女 合计（2）学校准备分别选取参与测试的男生和女生前两名学生代表学校参加区级别的竞赛，已知男生获奖的概率为34，女生获奖的概率为23，记该校获奖的人数为X ，求X 的分布列与数学期望．下表是2χ独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值．α 0.1 0.050010.005 0.001a x2.7063.841 6.635 7.879 10.82818. 已知函数()ln 1x f x ax+=. （1）讨论()f x 的单调性； （2）若()()2112e e x xx x =（e 是自然对数的底数），且1>0x ，20x >，12x x ≠，证明：22122x x +>19. 已知函数()()()e ln 2R xf x a x a =−+∈，（1）若1a =−，求()f x 的图象在0x =处的切线方程；（2）若()0f x >对任意的()2,x ∈−+∞恒成立，求整数a 的最小值；的.（3）求证23341eln2ln ln ln23e1nnn+++++<−，Nn∗∈2023-2024学年度下学期辽宁省普通高中期末考试模拟试题高二数学（中档）一、单选题： 二、多项选择题：三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．2513．)2 14．2n四、解答题：15．（1）{}23A B x x =|−<≤ （2）1,22−16．（1）212n n a −=，()1214n n b =− （2）24,5∞+17．（1）68X Y =−，()130256P X <= （2）分布列略，()10E X = 18.(1)当a<0时，函数()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增；当0a >时，函数()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减. (2)证明略 19．（1）31ln 22y x =−−− （2）1 （3）证明略题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 DB BCCDB A题号 9 10 11 答案ADBCDBD。

辽宁省大连24中高二数学理科下学期期末考试试卷第I 卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。

1．复数ii -+1)1(4+2等于（ ）A ．2－2iB ．－2iC ．1－ID ．2i 2．若nn ba Rb a )(lim ,,∞→∈则存在的一个充分不必要条件是（ ）A ．b >aB ．b <aC ．b <a <0D ．0<b <a3．抽屈中有10只外观一样的手表，其中有3只是坏的，现从抽屈中随机地抽取4只，那么61等于 （ ）A ．恰有1只是坏的概率B ．恰有2只是坏的概率C ．恰有4只是好的概率D ．至多2只是坏的概率4．将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端点异色，如果只有4 种颜色可供使用，则不同的染色的方法数为 （ ） A ．24 B ．60 C ．48 D ．725．设)(0,,0,2)(0x f im l x e x p x x f x x →⎩⎨⎧>≤-=若存在，则常数p 的值为（ ）A ．－1B ．0C ．1D ．e6．环卫工人准备在路的一侧依次载种7棵树，现只有梧桐树和柳树可供选择，则相邻两棵 树不同为柳树的栽种方法有 （ ） A ．21 B ．34 C ．33 D ．14 7．已知(5x －3)n的展开式中各项系数的和比nyy x 2)1(--的展开式中各项系数的和多1023， 则n 的值为（ ）A ．9B ．10C ．11D ．128．设函数*)()(1,12)()(N n n f x x f tx x x f m∈⎭⎬⎫⎩⎨⎧+='+=则数列的导数的前n 项和为（ ）A ．nn 1- B ．nn 1+ C ．1+n n D ．12++n n9．设ξ是离散型随机变量，,,31)(,32)(2121x x x P x P <====且ξξ又已知 21,92,34x x D E +==则ξξ的值为 （ ）A ．35B ．37C ．3D ．31110．已知关于x 的方程09)3(222=-+--b x a x ，其中a ,b 都可以从集合{1，2，3，4，5，6}中任意选取，则已知方程两根异号的概率为（ ）A ．61 B ．21 C ．121 D ．31 11．设n 是奇数，12)(,,++∈n i x b a R x 分别表示的展开式中系数大于0与小于0的项的个数，那么（ ）A ．a =b +2B ．a =b +1C ．a =bD ．a =b －112．设函数b x a x g x f b a x g x f <<'<'则当且上均可导在),()(,],[)(),(时，有 （ ） A ．)()(x g x f >B ．)()(x g x f <C ．)()()()(a f x g a g x f +<+D ．)()()()(b f x g b g x f +<+第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。

大连市2023~2024学年度第二学期期末考试高二数学参考答案与评分标准说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分． 三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 一、单项选择题：1. D2. A3. D4. C5. B6. B7. A8. B 二、多项选择题：9．BCD 10．BC 11．ACD11题详解：因为g(x +3)为奇函数，所以g (x +3)=−g (−x +3)， 所以g(x)的图象关于(3,0)中心对称，所以g ′(x)的图象关于x =3对称， 因为f (x +2)−g (1−x )=4，所以f ′(x +2)+g ′(1−x )=0；所以f ′(x )+g ′(3−x )=0，又f ′(x )=g ′(x +1)，所以g ′(x +1)+g ′(3−x )=0， 所以函数g ′(x )的图象关于点(2,0)对称，B 错；g(x)的图象关于x =2对称，所以g(x)是周期函数，且4是一个周期，又因为f (x )=4+g (3−x )，所以f(x)是周期函数，且4是一个周期，A 正确； 因为g(1)=g(3)=0，所以f (2)=4+g (3−2)=4，C 正确； 因为T =4，所以k 为奇数时，g(k)=0，k 为偶数时，g (k )+g(k +2)=0，f(k)=4−g(3−k)=4，所以()20241()4[(2)(4)(6)(8)(2022)(2024)]0k f k g k g g g g g g ==++++⋅⋅⋅++=∑，D 正确； 故选：ACD.三、填空题：12．1+cosx ； 13．−1； 14．(−∞,−e]14题详解：f (x )=x 3+px 2+x +q ，f′(x )=3x 2+2px +1，f′′(x )=6x +2p ， 因为f (x )图象的对称中心点为(−1,2)，所以f ′′(−1)=−6+2p =0，所以p =3， f (−1)=−1+3−1+q =2，所以q =1， 原不等式为e x −mx e (lnx +1)≥(x +1+e)x e ， 因为x ∈(1,+∞)，所以m ≤e x −(x+1+e)x e x e (lnx+1)=e xx e−(x+1+e)lnx+1=e x−elnx −(x+1+e)lnx+1，因为e x−elnx ≥x −elnx +1，当且仅当x −elnx =0，即x =e 时等号成立， 所以e x−elnx −(x+1+e)lnx+1≥x−elnx+1−(x+1+e)lnx+1=−e ，所以其最小值为−e ，故m ≤−e ．四、解答题：15．（本小题满分13分）解：(I)f′(x )=(x 2+(a +2)x +a +b )e x ， f (0)=b ，f ′(0)=a +b ，…………2分 ∵切线6x +y +3=0过点P ，∴f (0)=b =−3，……………………………………4分 斜率k =f ′(0)=a +b =−6，∴a =b =−3；…………………………………………6分 (II)∵f (x )=(x 2−3x −3)e x ，∴f ′(x )=(x 2−x −6)e x =(x +2)(x −3)e x ，解方程f ′(x )=0，可得x =−2或x =3，………………………………………………7分 解不等式f ′(x )>0，可得x <−2或x >3， 解不等式f ′(x )<0，可得−2<x <3，因此，f (x )在(−∞，−2)上递增，在(−2，3)上递减，在(3，+∞)上递增，………9分 而且f ′(−2)=f ′(3)=0，从而可知x =−2是函数的极大值点，极大值为f (−2)=7e −2，……………………11分 x =3是函数的极小值点，极小值为f (3)=−3e 3．……………………………………13分 16．（本小题满分15分）解：(I) 记“取出的3个小球上的数字互不相同”为事件M ， 所以P (M )=C 31×C 31×C 21C 83=928. ……………………………………………………………6分(II)由题意可知，X 的可取值为1,2,3所以P (X =1)=C 33C 83=156，…………………………………………………………………8分P(X=2)=C31C32+C32C31+C33C83=1956，……………………………………………………10分P(X=3)=C21C62+C22C61C83=3656=914，…………………………………………………12分所以X的分布列为：13分所以E(X)=1×156+2×1956+3×3656=14756=218. ………………………………………15分17．（本小题满分15分）解：(I)因为4S n=a n2+2a n+1①n≥2时，4S n−1=a n−12+2a n−1+1②①-②整理得(a n+a n−1)(a n−a n−1−2)=0,n≥2…………………………………2分数列{a n}是正项数列，∴a n−a n−1=2,n≥2，当n=1时，∵4S1=a12+2a1+1∴a1=1……………………………………………4分 数列{an}是以1为首项，2为公差的等差数列，∴a n=2n−1；…………………6分(II)由题意知，设{b n}的前2n项中奇数项的和为A n，偶数项的和为B n，B n=b2+b4+b6+...+b2n=13(a1+a3+a5+...+a2n−1)=13(2n2−n)，…………10分A n=b1+b3+b5+⋯+b2n−1=b2−2+b4−23+b6−25+...+b2n−22n−1=B n−2(1−4n)1−4，……………………13分T2n=A n+B n=2(1−4n)3+23(2n2−n)．………………………………………………15分18．（本小题满分17分）所以≈â≈90−260×故所求的回归方程为：(I)数列6,5,4，经第1次“差扩充”后得到数列为6,1,5,1,4，数列6,5,4，经第2次“差扩充”后得到数列为6,5,1,-4,5,4,1,-3,4，………………………1分所以P2=5+4=9，………………………………………………………………………2分S2=6+5+1−4+5+4+1−3+4=19；……………………………………………3分(II)数列经每1次“差扩充”后是在原数列的相邻两项中增加一项，由数列经第n次“差扩充”后的项数为P n，则经第n+1次“差扩充”后增加的项数为P n−1，所以P n+1=P n+(P n−1)=2P n−1，所以P n+1−1=2P n−2=2(P n−1)，由(I)得P1−1=4，{P n−1}是首项为4，公比为2的等比数列，所以P n−1=4⋅2n−1=2n+1，所以P n=2n+1+1，……………………………………5分由P n=2n+1+1≥2024，即2n+1≥2023，解得n≥10，即n0=10，所以[n03]=3，………………………………………………………………………………7分求S[n03]法一：数列a，b，c经过第1次“差扩充”后得到数列a,a−b,b,b−c,c，经过第2次“差扩充”后得到数列a,b,a−b,a−2b,b,c,b−c,b−2c,c，经过第3次“差扩充”后得到数列a,a−b,b,2b−a,a−b,b,a−2b,a−3b,b,b−c，c,2c−b,b−c,c,b−2c,b−3c,c，即S[n03]=S3=4a+b−2c；………………………………………………………………9分求S[n03]法二：数列a，b，c经过第1次“差扩充”后得到数列a,a−b,b,b−c,c，S1=a+b+c+(a−c)=2a+b，设数列a，b，c经过第n次“差扩充”后得到数列a1,a2,⋯,a Pn，且a1=a，a Pn=c，和为S n，则经过第n+1次“差扩充”后得到数列a1,a1−a2,a2,⋯,a Pn−1,a Pn−1−a Pn,a Pn，和为S n+1=a1+a2+⋯+a Pn +a1−a2+a2−a3+⋯+a Pn−1−a Pn=S n+a−c，所以{S n}是以2a+b为首项，a−c为公差的等差数列，S n=S1+(n−1)(a−c)=a+b+c+n(a−c)，…………………………………9分所以S[n03]=S3=4a+b−2c；…………………………………………………………11分(方法二中数列{S n}通项公式的推导过程分值为2分，也可在第(III)问推导)(III)不存在，…………………………………………………………………………………12分由(II)可得，当a=2,b=−3,c=1时，S n=a+b+c+n(a−c)=n,∴a n=3S n−1=3n−1,∵a n+1=a n+(n+2−1)d n∴d n=2×3n−1n+1……………………………………………13分假设在数列{d n}中存在不同的三项d m,d k,d p（其中m,k,p成等差数列）成等比数列(d k)2=d m⋅d p，即(2⋅3k−1k+1)2=2⋅3m−1m+1⋅2⋅3p−1p+1．∴4⋅32k−2(k+1)2=4⋅3m+p−2(m+1)⋅(p+1)，∵m,k,p成等差数列，∴m+p=2k∴(k+1)2=(m+1)⋅(p+1)k2+2k+1=mp+m+p+1,k2=mp,(m−p)2=0，∴m=k=p，与题设矛盾…………………………………………………………………16分所以在数列{d n}中不存在不同的三项d m,d k,d p成等比数列．………………………17分。

2021-2022学年辽宁省五校（24中、8中、东北育才、省实验、鞍山一中）联考高二下学期期末数学试题一、单选题1．已知公比为q 的等比数列{}n a 的首项10a >，则“1q >”是“53a a >”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】根据等比数列的性质可得530,0a a >>，若53a a >，可得21q >，然后再根据充分条件和必要条件的判断方法即可得到结果． 【详解】由于公比为q 的等比数列{}n a 的首项10a >， 所以530,0a a >>，若53a a >，则233a q a >，所以21q >，即1q >或1q <-，所以公比为q 的等比数列{}n a 的首项10a >， 则“1q >”是“53a a >”的充分不必要条件， 故选：A.【点睛】本题主要考查了等比数列的相关性质和充分必要条件的判断方法，熟练掌握等比数列的性质是解题的关键. 2．已知两个随机变量X ，Y 满足112Y X =+，且()21,2X N ，则()D Y 的值为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】D【分析】结合正态分布的方差，以及方差的性质求解即可 【详解】由题，()21,2X N ，则()4D X =，又112Y X =+，()()114D Y D X ==， 故选：D3．函数3222x xx y -=+在[]6,6-的图像大致为A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】由分子、分母的奇偶性，易于确定函数为奇函数，由(4)f 的近似值即可得出结果．【详解】设32()22x x x y f x -==+，则332()2()()2222xx x x x x f x f x ----==-=-++，所以()f x 是奇函数，图象关于原点成中心对称，排除选项C ．又34424(4)0,22f -⨯=>+排除选项D ；36626(6)722f -⨯=≈+，排除选项A ，故选B ．【点睛】本题通过判断函数的奇偶性，缩小考察范围，通过计算特殊函数值，最后做出选择．本题较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．4．若数列{}n a 满足112,02121,12n n n n n a a a a a +⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-<<⎪⎩，135a =，则数列{}n a 中的项的值不可能为（ ）A ．15B ．25C ．45D ．65【答案】D【分析】利用数列{}n a 满足的递推关系及135a =，依次取1,2,3,4n =代入计算2345,,,a a a a ，能得到数列{}n a 是周期为4的周期数列，得项的所有可能值，判断选项即得结果.【详解】数列{}n a 满足112,02121,12n n n n n a a a a a +⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-<<⎪⎩，135a =，依次取1,2,3,4,...n =代入计算得， 211215a a =-=，32225a a ==，43425a a ==，5413215a a a =-==，因此继续下去会循环，数列{}n a 是周期为4的周期数列，所有可能取值为：1234,,,5555.故选：D.5．已知函数()2e 2x a g x x =-有两个不同极值点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()0,e B ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()e,+∞D ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】C【分析】函数()g x 有两个不同极值点⇔()0g x '=有两个不同解⇔()()e ,x f x h x ax ==有两个不同交点，用导数法，求出()(),f x h x 相切时对应的a ，即可根据图形得出范围【详解】()e xg x ax '=-，函数()g x 有两个不同极值点⇔()0g x '=有两个不同解⇔()()e ,x f x h x ax ==有两个不同交点.如图所示，()e xf x =与()h x ax =切于点(),A m n ，故()()e m f m h x a ''=⇒=，又()()e ,m f m n h m am n ====，综上可解得1,e m a n ===，故当e a >时有两个不同交点， 故选：C6．“立定跳远”是《国家学生体质健康标准》测试项目中的一项，已知某地区高中男生的立定跳远测试数据ξ（单位：cm ）服从正态分布()2200,N σ，且()2200.1P ξ≥=，现从该地区高中男生中随机抽取3人，并记ξ不．在()180,220的人数为X ，则（ ） A ．()1802200.9P ξ<<= B ．() 2.4E X = C ．()0.16D X = D ．()10.488P X ≥=【答案】D【分析】根据正态分布求得特定区间的概率；由题知，ξ不．在()180,220的概率为10.80.2-=，则()3,0.2XB ，从而求得期望，方差及概率.【详解】由()2200,N ξσ，则()()2201800.1P P ξξ≥=≤=则()()()18022012201800.8P P P ξξξ<<=-≥-≤=，故A 错误； 由题知，ξ不．在()180,220的概率为10.80.2-=，则()3,0.2X B ，则()30.20.6E X =⨯=，故B 错误；()30.2(10.2)0.48D X =⨯⨯-=，故C 错误；()()311010.80.488P X P X ≥=-==-=，故D 正确；故选：D7．已知数列{}n a ，定义数列{}12n n a a +-为数列{}n a 的“2倍差数列”.若{}n a 的“2倍差数列”的通项公式1122n n n a a +--=，且12a =，则数列{}n a 的前n 项和n S =（ ）A ．()1122n n +-+ B ．122n n +⋅-C ．()122nn -+ D ．()122nn +-【答案】A【分析】由1122n n n a a ++-=可得11122n n n n a a ++-=，从而得数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭表示首项为1，公差1d =的等差数列，求得2nn a n =⋅，再根据错位相减法即可得n S .【详解】根据题意得11122,2n n n a a a ++-==，11122n nn n a a ++∴-=， ∴数列2nn a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭表示首项为1，公差1d =的等差数列， ()11,22n nn n a n n a n ∴=+-=∴=⋅， 123122232...2n n S n ∴=⨯+⨯+⨯++⋅， 23412122232...2n n S n +∴=⨯+⨯+⨯++⋅， 23412222...22n n n S n +∴-=++++-⋅()111212222212n n n n n n +++-=-⋅=-+-⋅-，()1212n n +=-+-，()1122n n S n +∴=-+.故选：A.8．若过点(,)a b 可以作曲线ln y x =的两条切线，则（ ） A ．ln a b < B ．ln b a <C ．ln b a <D ．ln a b <【答案】D【分析】设切点坐标为00(,)x y ，由切点坐标求出切线方程，代入坐标(,)a b ，关于0x 的方程有两个不同的实数解，变形后转化为直线与函数图象有两个交点，构造新函数由导数确定函数的图象后可得.【详解】设切点坐标为00(,)x y ，由于1y x'=，因此切线方程为0001ln ()y x x x x -=-，又切线过点(,)a b ，则000ln a x b x x --=，001ln ab x x +=+，设()ln a f x x x =+，函数定义域是(0,)+∞，则直线1y b =+与曲线()ln af x x x=+有两个不同的交点，221()a x af x x x x-'=-=， 当0a ≤时，()0f x '>恒成立，()f x 在定义域内单调递增，不合题意；当0a >时，0x a <<时，()0f x '<，()f x 单调递减，x a >时，()0f x '>，()f x 单调递增，所以min ()()ln 1f x f a a ==+，结合图像知1ln 1b a +>+，即ln b a >.故选：D. 二、多选题9．已知随机事件A ，B 发生的概率分别为()0.3,()0.6==P A P B ，下列说法正确的有（ ） A ．若()0.18=P AB ，则A ，B 相互独立 B ．若A ，B 相互独立，则()0.6P B A = C ．若()0.4P B A =，则()0.12P AB = D ．若A B ⊆，则()0.3P A B =【答案】ABC【分析】利用条件概率公式及独立事件的定义逐项分析即得.【详解】因为随机事件A ，B 发生的概率分别为()0.3,()0.6==P A P B ，对于A ，因为()0.18()()0.30.6P AB P A P B ===⨯，所以A ，B 相互独立，故A 正确； 对于B ，若A ，B 相互独立，则()()0.6P B A P B ==，故B 正确；对于C ，若()()()()0.40.3P AB P AB P B A P A ===，则()0.12P AB =，故C 正确；对于D ，若A B ⊆，则()()()0.30.50.6P A P A B P B ===，故D 错误. 故选：ABC10．数列{}n a 的前n 项为n S ，已知2421n nn S a a =++，下列说法中正确的是（ ） A ．{}n a 为等差数列B ．{}n a 可能为等比数列C ．{}n a 为等差数列或等比数列D ．{}n a 可能既不是等差数列也不是等比数列 【答案】BD【分析】利用11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩来对{}n a 进行判断，从而确定正确答案.【详解】依题意，2421n n n S a a =++，当1n =时，22111111421,210,1a a a a a a =++-+==，当2n ≥时，2421n n n S a a =++，2111421n n n S a a ---=++，两式相减得2211422n n n n n a a a a a --=-+-，()()()11120n n n n n n a a a a a a ---+--+=，()()1120n n n n a a a a ----+=，当10n n a a -+=时，1n n a a -=-，则数列{}n a 是首项为1，公比为1-的等比数列. 当120n n a a ---=时，12n n a a --=，则数列{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列， 当10n n a a -+=，120n n a a ---=交替成立时，{}n a 既不是等差数列也不是等比数列. 故选：BD11．已知具有相关关系的两个变量x ，y 的一组观测数据()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，由此得到的线性方程为ˆˆˆybx a =+，则下列说法中正确的是（ ） A ．回归直线ˆˆˆybx a =+至少经过点()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y 中的一个点 B ．若111ni x x n ==∑，111n i y y n ==∑，则回归直线ˆˆˆybx a =+定经过点()x y ，C ．若点()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y 都在直线20x y -+=上，则变量x ，y 的相关系数1r =D ．若变量x 增加一个单位时，则变量y 平均增加或减少ˆb个单位 【答案】BCD【分析】对AB ，由样本中心点定义，以及回归直线ˆˆˆybx a =+一定经过样本中心点可判断；对C ，根据相关系数的含义即可判断； 对D ，根据回归系数的含义即可判断【详解】对AB ，回归直线ˆˆˆybx a =+一定经过样本中心点(),x y ， 而样本中心点(),x y 并不一定是()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y 中的一个点，故A 错、B 对；对C ，直线20x y -+=斜率为1，且所有样本点都在直线上，故样本数据完全正相关，相关系数达到最大值1，故C 对；对D ， 根据回归系数的含义，变量x 增加一个单位时，则变量y 平均增加或减少ˆb个单位，故D 对， 故选：BCD12．已知函数2()e x f x x =-，则下列说法正确的是（ ） A ．()f x 在R 上单调递增 B ．()f x 在(,ln2)-∞上单调递减C ．若函数2()ln y f x x x =-+在0x x =处取得最小值，则0(0,1)x ∈D ．(0,)∀∈+∞x ，2()ln 2f x x x >-+ 【答案】ACD【分析】AB 选项利用二次求导的方法求得()f x 的单调性来判断，CD 选项通过构造函数()g x ，结合二次求导的方法来进而判断.【详解】()e 2x f x x '=-，令()()e 2x g x f x x '==-，则()e 2x g x '=-，所以()g x 在(,ln2)-∞上单调递减，在()ln 2,+∞上单调递增，所以()(ln 2)22ln 20g x g ≥=->，所以()f x 在R 上单调递增.A 正确，B 错误.令2()()ln e ln xg x f x x x x =-+=-，则1e 1()e x xx g x x x-'=-=.令()e 1x h x x =-，则()(1)0x h x x e '=+>在(0,)+∞上恒成立，则()h x 在(0,)+∞上单调递增.又(0)(1)(e 1)0h h ⋅=--<，所以0(0,1)x ∃∈，()00h x =，则()g x 在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，即()0min 00()e ln xg x g x x ==-.又001x e x =，00ln x x =-，所以min 001()2g x x x =+>.CD 选项正确. 故选：ACD 三、填空题13．已知曲线C 的方程为()2ln 1e xy x =++，则曲线C 在点()0,1A 处的切线方程为______.【答案】31y x 或310x y -+=【分析】求导函数y '，求切线斜率0y x '=，最后用点斜式即可写出切线方程【详解】212e 1x y x '=++，1230y x =+'==，由点斜式得曲线C 在点()0,1A 处的切线方程为()130y x -=-，即31y x故答案为：31yx14．等差数列{}n a 中，12020a =，前n 项和为n S ，若101221210S S -=-，则2022S =______. 【答案】2022-【分析】由已知结合等差数列的性质可得n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，再设公差为d 及通项公式即可求解．【详解】设{}n a 的公差为0d ，由等差数列的性质可知，因为()12n n n a a S +=，故12n nS a a n +=，故111101222n n n n S S a a a a d n n --++-=-=-为常数，所以n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，设n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭公差为d 12020a =，∴120201S =，1012221210S S d -==-， 1d ∴=-，∴202220202021(1)12022S =+⨯-=-，则20222022S =- 故答案为：2022- 15．已知()35P A =，()12P B A =，()23P B A =，则()P B =______.【答案】1330【分析】根据已知条件结合全概率公式求解即可 【详解】因为()35P A =，所以32()1()155P A P A =-=-=， 因为()23P B A =，所以()()211133P B A P B A =-=-=， 所以由全概率公式可得()()()()()P B P B A P A P B A P A =+ 131213253530=⨯+⨯=, 故答案为：133016．已知函数()1ln xf x x+=，若对()12,1,x x ∀∈+∞，12x x ≠，都有()()1212ln ln f x f x k x x -≤-，则k 的取值范围是________．【答案】1,e ∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭【分析】对函数()1ln xf x x+=求导可知()f x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，设()()ln g x f x k x =+，则当1x >时，()2ln 0x k g x x x=-+≥'恒成立，即ln xk x ≥恒成立，设()ln xh x x=，求其最大值后可求k 的取值范围. 【详解】()2ln xf x x '=-，则当01x <<时，()0f x '>， 当1x >时，()0f x '<，所以()f x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减， 不妨设121x x <<，则()()12f x f x >，12ln ln x x <，由已知()()()1221ln ln f x f x k x x -≤-，即()()1122ln ln f x k x f x k x +≤+， 令()()ln g x f x k x =+，则()g x 在()1,+∞上不存在减区间， 从而当1x >时，()2ln 0x k g x x x=-+≥'恒成立，即ln xk x ≥恒成立， 令()ln x h x x=，则()21ln xh x x -'=，当()1,e x ∈时，()0h x '>，()h x 单调递增； 当()e,x ∈+∞时，()0h x '<，()h x 单调递减，所以()()max?1e e h x h ==，所以1e k ≥.四、解答题17．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，332n n a a =-，且5324S S a -=. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，证明：34n T <.【答案】（1）21n a n =+；（2）证明见解析.【分析】（1）根据等差数列的性质及题干条件，可求得1,a d ，代入公式，即可求得数列{}n a 的通项公式；（2）由（1）可得n S ，利用裂项相消求和法，即可求得n T ，即可得证.【详解】解：（1）设数列{}n a 的公差为d ，在332n n a a =-中，令1n =，得3132a a =-， 即11232a d a +=-，故11a d =+①.由5324S S a -=得4524a a a +=，所以123a d =②. 由①②解得13a =，2d =.所以数列{}n a 的通项公式为：21n a n =+. （2）由（1）可得()12(321)222n n n a a n n S n n +++===+， 所以211111222n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭， 故1111111112324352n T n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 所以11113231221242(1)(2)n n T n n n n +⎛⎫=+--=- ⎪++++⎝⎭. 因为2302(1)(2)n n n +>++，所以34n T <. 【点睛】数列求和的常见方法：（1）倒序相加法：如果一个数列{}n a 的前n 项中首末两端等距离的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和可以用倒序相加法；（2）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和可以用错位相减法来求；（3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时，中间的一些项可相互抵消，从而求得其和；（4）分组转化法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转换法分别求和再相加减；（5）并项求和法：一个数列的前n 项和可以两两结合求解，则称之为并项求和，形如()()1nn a f n =-类型，可采用两项合并求解.18．冰墩墩是2022年北京冬季奥运会的吉祥物，将熊猫形象与富有超能量的冰晶外壳相结合，头部外壳造型取自冰雪运动头盔，装饰彩色光环，整体形象酷似航天员，深受广大民众的喜爱，已成为最火爆的商品，“一墩难求”.某调查机构随机抽取100人，对是否有意向购买冰墩墩进行调查，结果如下表：(1)若以年龄40岁为分界线，由以上统计数据完成下面的2×2列联表，并判断是否有99.9%的把握认为购买冰墩墩与人的年龄有关？(2)若从年龄在[)60,70的被调查人群中随机选出3人进行调查，设这三人中打算购买冰墩墩的人数为X ，求X 的分布列和数学期望.参考数据：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.【答案】(1)列联表见解析，有99.9%的把握性认为购买冰墩墩与人的年龄有关； (2)分布列见解析，127. 【分析】（1）由表格中的数据，分别求得年龄低于40岁的人数、有意向购买的人数、年龄不低于40岁的人数、有意向购买的人数，得出22⨯的列联表，利用公式求得观测值，结合附表即可求解；（2）根据题意得到购买冰墩墩的人数X 可能取值为0,1,2,3，求得相应的概率，利用期望的公式，即可求解.【详解】(1)解：由表格中的数据，可得年龄低于40岁的人数为10202555++=人，其中有意向购买的人数为10182250++=人，年龄不低于40岁的人数为15187545+++=人，其中有意向购买的人数为9104225+++=人， 可得22⨯的列联表，如下表所示：可得()()()()()222100(5020255)16.49810.82855457525n ad bc K a b c d a c b d -⋅⨯-⨯==≈>++++⨯⨯⨯， 所以有99.9%的把握性认为购买冰墩墩与人的年龄有关.(2)解：表格中的数据，可得年龄在[)60,70的人数为7人，其中有意向购买的人数为4人，无意向购买的人数为3人，从被调查人群中随机选出3人，打算购买冰墩墩的人数X 可能取值为0,1,2,3，可得3123434477112(0),(1)3535C C C P X P X C C ======, 2134344477184(2),(3)3535C C C P X P X C C ======,则随机变量X 的分布列为：所以期望为：()112184120123353535357E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 19．新型冠状病毒肺炎，简称“新冠肺炎”，是指2019新型冠状病毒感染导致的肺炎．某定点医院对来院就诊的发热病人的血液进行检验，随机抽取了1000份发热病人的血液样本，其中感染新型冠状病毒的有200份，以频率作为概率的估计值．(1)某时间段内来院就诊的5名发热病人中，恰有3人感染新型冠状病毒的概率是多少？ (2)治疗重症病人需要使用呼吸机，若该呼吸机的一个系统G 由3个电子元件组成，各个电子元件能否正常工作的概率均为12，且每个电子元件能否正常工作相互独立．若系统G 中有超过一半的电子元件正常工作，则G 可以正常工作．为提高G 系统正常工作概率，在系统内增加两个功能完全一样的其他品牌的电子元件，每个新元件正常工作的概率均为p （01P <<），且新增元件后有超过一半的电子元件正常工作，则G 可以正常工作，问：p 满足什么条件时，可以提高整个G 系统的正常工作概率？ 【答案】(1)32625(2)112p << 【分析】（1）依题意每人被感染的概率为15，再根据独立重复试验的概率公式计算可得；（2）首先求出原系统G 正常工作的概率，再对前3个电子元件正常工作的电子元件个数分类讨论，求出新增两个元件后系统G 能正常工作的概率，再解不等式即可； 【详解】(1)解：每人被感染的概率为200110005=，设“恰有3人被感染”为事件E ，则 ()32351132C 155625P E ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； (2)解：①原系统G 正常工作的概率为：2323331111C C 2222⎛⎫⎛⎫⋅⋅+⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；②当系统G 有5个电子元件时，原来3个电子元件中至少有1个元件正常工作，G 系统才能正常工作．（i ）若前3个电子元件中有1个正常工作，同时新增的两个必须都正常工作， 则概率为21223113C 228p p ⎛⎫⋅⋅⋅= ⎪⎝⎭； （ii ）若前3个电子元件中有2个正常工作，同时新增的两个至少有1个正常工作， 则概率为()()222122232311113C C 1C 222228p p p p p ⎛⎫⎛⎫⋅⋅⋅⋅⋅-+⋅⋅⋅=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （iii ）若前3个电子元件中3个都正常工作，则不管新增两个元件能否正常工作． 系统G 均能正常工作，则概率为33311C 28⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭．所以新增两个元件后系统G 能正常工作的概率为()2233131288848p p p p +-+=+，于是由()3113214828p p +-=-知，当210p ->，即112p <<时，可以提高整个G 系统的正常工作概率．20．已知数列{}n a 中，11a =，13nn n a a a +=+. (1)求证：112n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列，并求{}n a 的通项公式；(2)若不等式()()122731n n n n a λ+⋅≥--对于*n ∈N 恒成立，求实数λ的最小值. 【答案】(1)证明见解析；231n n a =- (2)332【分析】（1）由条件可得出11111322n n a a +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭从而可证，从而可得出{}n a 的通项公式. (2)将（1）中n a 的代入即得()()131227312n n n n λ+-⨯⋅≥--对于*n ∈N 恒成立，设()272nn f n -=，分析出其单调性，得出其最大项，即可得出答案. 【详解】(1)由13n n n a a a +=+，可得13131n n n n a a a a ++==+，即11111322n n a a +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭所以112n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是以111322a +=为首项，3为公比的等比数列，所以111333222n n n a -+=⨯=，所以231n na =- (2)不等式()()122731n n n n a λ+⋅≥--对于*n ∈N 恒成立 即()()131227312n n n n λ+-⨯⋅≥--对于*n ∈N 恒成立 即272nn λ-≥对于*n ∈N 恒成立 设()272nn f n -=， 由()()112527921222n n n n n nf n f n ++---+-=-= 当4n ≤时，()()10f n f n +->，即()()1f n f n +> 即()()()()()12345f f f f f <<<<当5n ≥时，()()10f n f n +-<，即()()1f n f n +<即()()()567f f f >>>所以()5f 最大，()()3532f n f ≤= 所以332λ≥，故λ的最小值为33221．已知函数2()(2)ln ()f x a x ax x a R =++-∈． （Ⅰ）当0a =时，求证：2()22x f x x >-．（Ⅱ）设232()3g x x x =-，若1(0,1]x ∀∈，2[0,1]x ∃∈，使得()()12f x g x 成立，求实数a 的取值范围．【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）1a -.【分析】（1）将0a =代入，只需证明()2202xf x x -+>成立即可，然后构造函数，利用导数讨论单调区间及最小值，利用最值证明即可；（2）若1(0,1]x ∀∈，2[0,1]x ∃∈，使得()()12f x g x 成立，只需使()()min 1min 2f x g x 在1(0,1]x ∈，2[0,1]x ∈上恒成立，然后分别讨论函数()f x 与()g x 的最小值，利用最值分析求解.【详解】解：（Ⅰ）当0a =时，要证222()22ln 2022x xf x x x x x -+=--+≥，只需证ln 02xx -<， 令()ln (0)2x h x x x =->，则112()22xh x x x-'=-=当(0,2)x ∈时，()0,()h x h x '>单调递增； 当(2,)x ∈+∞时，()0,()h x h x '<单调递减； 所以max ()(2)ln 210h x h ==-<，()(2)0h x h ≤< 故ln 02x x -<，所以2()22x f x x >-． （Ⅱ）问题等价于1(0,1]x ∀∈，2[0,1]x ∃∈，()()12min min f x g x由232()3g x x x =-得2()22g x x x '=-， 由2()220g x x x '=-得01x ，所以在[0,1]上，()g x 是增函数，故min ()(0)0g x g ==．()f x 定义域为(0,)+∞，而()()()()()22121221122x a x a x ax f x a x a x x x⎡⎤++-++-⎣⎦=++-=='． 当2a -时，()0f x '<恒成立，()f x 在(0,1]上是减函数， 所以min ()(1)2(1)01f x f a a ==+⇒-，不成立； 当2a >-时，由()0f x '<，得102x a <<+；由()0f x '>，得12x a >+，所以()f x 在10,2a ⎛⎫ ⎪+⎝⎭单调递减，在1,2a ⎛⎫+∞⎪+⎝⎭单调递减． 若112a >+，即21a -<<-时，()f x 在(0,1]是减函数， 所以min ()(1)2(1)01f x f a a ==+⇒-，不成立； 若1012a <+，即1a -时，()f x 在12x a =+处取得最小值，min 11()1ln(2)22f x f a a a ⎛⎫==++- ⎪++⎝⎭， 令1()1ln(2)(1)2h a a a a =++--+， 则22113()02(2)(2)a h a a a a +'=+=>+++在[1,)-+∞上恒成立， 所以()h a 在[1,)-+∞是增函数且min ()(1)0h a h =-=， 此时min 1()02f x f a ⎛⎫= ⎪+⎝⎭成立，满足条件．综上所述，1a -．【点睛】本题考查导数与不等式的证明，考查导数与双变量问题，难度较大,考查学生分析问题处理问题的能力.导数与不等式的证明，一般需要构造函数，通过证明函数的最值满足条件从而得出结论,双变量问题多用函数的最值来比较.22．已知函数()ln 1f x x mx =-+，()()2xg x x e =-．（1）若()f x 的最大值是0，求m 的值；（2）若对其定义域内任意x ，()()f x g x ≤恒成立，求m 的取值范围． 【答案】（1）1；（2）[)1,+∞．【解析】（1）根据某点上的切线斜率即为函数在该点的导数，列出点斜式方程即可得出答案.（2）构造函数，对函数求导后，讨论函数单调性，求出m 的取值范围. 【详解】解：（1）∵()f x 的定义域()0,∞+，()1f x m x'=-． 若0m ≤，()0f x '>，()f x 在定义域内单调递增，无最大值；若0m >，10,x m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()f x 单调递增；1,x m ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，()f x 单调递减．∴1x m =时，()f x 取得最大值11ln 0f m m ⎛⎫== ⎪⎝⎭，∴1m =．（2）原式恒成立，即()ln 12xx mx x e -+≤-在()0,∞+上恒成立，即1ln 2xx m e x+-≥-在()0,∞+上恒成立． 设()1ln x x x e x ϕ+=-，则()22ln x x e xx xϕ+'=-， 设()2ln xh x x e x =+， 则()()2120xh x x x e x'=++>， 所以()h x 在()0,∞+上单调递增，且112211110ee h e e e e-⎛⎫=⋅-=-< ⎪⎝⎭，()10h e =>． 所以()h x 有唯一零点0x ，且0200ln 0xx e x +=，即000ln x x x e x -=． 两边同时取对数得()()0000ln ln ln ln x x x x +=-+-，易知ln y x x =+是增函数∴00ln x x =-，即001xe x =． 由()()2h x x x ϕ'=-知 ()x ϕ'在()00,x 上单调递增，在()0,x +∞上单调递减．∴()()00000001ln 111x x x x x e x x x ϕϕ+-≤=-=-=-， ∴21m -≥-，∴m 1≥ 故m 的取值范围是[)1,+∞．【点睛】本题主要考查导数的几何意义和函数的极值与最值，属于难题.思路点睛:本题考查用导函数研究原函数性质的方法，是常见题.不等式恒（能）成立求参数范围的一般方法:①当x D ∀∈时，()()f x h a ≥成立，则()()min f x h a ≥； ②当x D ∃∈时，()()f x h a ≥成立，则()()max f x h a ≥。