3.2函数的性质——单调性
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问题1 观察天津市2008年11月29日的气温时段图，此图反映了0时至14时的气温T（Ｃ）随时间t（h）变化的情况．
回答下面的问题：
（1） 时，气温最低，最低气温为 Ｃ， 时气温最高，最高气温为 °Ｃ．
（2）随着时间的增加，在时间段0时到6时的时间段内，气温不断地 ；6时到14时这个时间段内，气温不断地 ．
问题2
下图为股市中，某股票在半天内的行情，请描述此股票的涨幅情况.
从上图可以看到，有些时候该股票的价格随着时间推移在上涨，即时间增加股票价格也增加；有时该股票的价格随着时间推移在下跌，即时间增加股票价格反而减小．
归纳
类似地，函数值随着自变量的增大而增大（或减小）的性质就是函数的单调性．
设函数yfx在区间,ab内有意义．
（1）如图（1）所示，在区间,ab内，随着自变量的增加，函数值不断增大，图像呈上升趋势．即对于任意的12,,xxab，当12xx时，都有12fxfx成立．这时把函数fx叫做区间,ab内的__________，区间,ab叫做函数fx的__________．
（2）如图（2）所示，在区间,ab内，随着自变量的增加，函数值不断减小，图像呈下降趋势．即对于任意的12,,xxab，当12xx时，都有12fxfx成立．这时函数fx叫做区间,ab内的__________，区间,ab叫做函数fx的__________．
图（1） 图（2）
如果函数fx在区间,ab内是增函数（或减函数），那么，就称函数fx在区间,ab内具有单调性，区间,ab叫做函数fx的__________．
1 3.2.1 单调性与最大（小）值
《函数的单调性与最大（小）值}》系人教A版高中数学必修第一册第三章第二节的内容,本节包括函数的单调性的定义与判断及其证明、函数最大（小）值的求法。在初中学习函数时,借助图像的直观性研究了一些函数的增减性,这节内容是初中有关内容的深化、延伸和提高函数的单调性是函数众多性质中的重要性质之一,函数的单调性一节中的知识是前一节内容函数的概念和图像知识的延续,它和后面的函数奇偶性,合称为函数的简单性质,是今后研究指数函数、对数函数、幂函数及其他函数单调性的理论基础;在解决函数值域、定义域、不等式、比较两数大小等具体问需用到函数的单调性;同时在这一节中利用函数图象来研究函数性质的救开结合思想将贯穿于我们整个高中数学教学。
课程目标 学科素养
A.理解增函数、减函数、单调区间、单调性概念； B.掌握增（减）函数的证明与判断；
C.能利用单调性求函数的最大（小）值；
D.学会运用函数图象理解和研究函数的性质； 1.数学抽象：函数的单调性；
2.逻辑推理：证明函数的单调性；
3.数学运算：求函数的最大（小）值；
4.直观想象：由函数的图象研究函数的单调性；
5.数学模型：由实际问题构造合理的函数模型。
1.教学重点：函数单调性的概念，函数的最值；
2.教学难点：证明函数的单调性，求函数的最值。
多媒体
2
教学过程 教学设计意图
核心素养目标
一、情景引入
1. 观察这些函数图像，你能说说他们分别反映了相应函数的哪些特征吗？
2、它们分别反映了相应函数有什么变化规律？
二、探索新知
探究一 单调性
1、思考：如何利用函数解析式2)(xxf描述“随着x的增大，相应的f(x)随着增大？”
【答案】图象在区间 ）,0(上 逐渐上升，
在）,0(内随着x的增大，y也增大。
对于区间）,0(内任意21,xx，当21xx时，都有)()(21xfxf。这是，就说函数2)(xxf在区间 ）,0(上是增函数.
《 3.2.1 函数的单调性》教学设计
一、内容和内容解析
内容：函数的单调性.
内容解析：在客观世界的变化过程中， 增减性是很重要的变化规律之一，而函数的单调性可以刻画这一变化规律.我们可以利用函数的单调性求解方程、不等式、函数的最值等问题。所以，学习函数的单调性非常有必要.
在前一课，学生刚学习了函数的概念，体会到高中阶段函数的概念与初中函数的概念的联系与区别，本节课在此基础上进一步研究函数的性质之一——函数的单调性，让学生经历从图象直观到自然语言再到符号语言的刻画过程，感受数学的符号语言的作用和数学的严谨性，体验概念形成过程，也为后面进一步学习函数的其他性质打下铺垫.
学习函数的单调性，不仅可以让学生加深对函数基本性质的认识，而且可以让学生体会研究函数性质的过程与方法，培养学生的直观想象，数学抽象等数学素养，提升学生的思维水平.
基于以上分析，确定本节课的教学重点：函数单调性的定义，单调性的判断以及证明.
二、目标和目标解析
教学目标：
(1)借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性，理解单调性的作用和实际意义；
（2）会用定义证明函数的单调性；
(3)通过单调性概念教学，培养学生的抽象概括能力和逻辑思维能力. 目标解析：
达成目标（1）的标志是：能从函数图象观察求得函数的单调区间，能理解函数单调性定义中的“任意”“都有”等关键词的含义，明白函数的单调性能反映客观世界中事物的变化规律.
达成目标（2）的标志是：能利用函数单调性的定义证明函数的单调性，掌握证明的步骤.
达成目标（3）的标志是：让学生经历从具体到抽象、从特殊到一般的过程，学生能对函数单调性进行精确符号语言刻画， 并能应用到实际的问题中去.
三、教学问题诊断分析
学生在初中已经学习了一些基本初等函数，并且对函数图象的上升与下降的变化趋势能用自然语言“y随着x的增大而增大（减小）”进行描述.现在在高中阶段，要学会用符号语言“x1,x2∈D, 当x12时，都有f(x1)< f (x2)（f(x1)> f
1 §3.2 导数与函数的单调性、极值、最值
1．函数的单调性
在某个区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减．
2．函数的极值
(1)判断f(x0)是极值的方法
一般地，当函数f(x)在点x0处连续时，
①如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值；
②如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值．
(2)求可导函数极值的步骤
①求f′(x)；
②求方程f′(x)＝0的根；
③检查f′(x)在方程f′(x)＝0的根附近的左右两侧导数值的符号．如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值．
3．函数的最值
(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．
(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．
(3)设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：
①求f(x)在(a，b)内的极值；
②将f(x)的各极值与f(a)，f(b)进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
【思考辨析】
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f′(x)>0.( × )
(2)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内没有单调性．( √ )
(3)函数的极大值不一定比极小值大．( √ )
(4)对可导函数f(x)，f′(x0)＝0是x0点为极值点的充要条件．( × )
(5)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值．( √ ) 2 (6)函数f(x)＝xsin x有无数个极值点．( √ )
