第二章机电系统模型及其运动方程

f = K ( x1 − x2 )
位能
1 V = Kx 2 2
位能
1 V = Kθθ 2 2
储能
1 q2 We = 2C
储能
1ψ 2 Wm = 2 L
机械系统的模拟电路求解步骤 （以例2-2作说明） 1. 将机械量换成电量，即将机械元件两端的位移 x ，
R 等。 L、 换成电荷 q ，将各机械元件换成 C 、
第二章
机电系统模型及其运动方程
第二章全部内容 第一章作业解答
本章讲授思路：
机械方程 电路方程 类比 对偶
发现规律
使用特定的能量函 数来建立普遍方程
实践应用
汉密尔顿 原理严格 证明
变分原理
拉格朗日 方程
运动方程：机械方程、电路方程
推导运动方程的方法有两种：
• 微分原理法
能量守恒定律
机械方程
两种优缺点比较：
• 微分原理法。描述的是真实运动的普遍规律，其 物理概念容易理解和掌握，面对复杂系统，必须 有相当的洞察力和直观能力。 • 变分原理法。采用统一方法机械处理问题，步骤 单一和系统化，容易忘掉具体的物理概念。但是 系统愈复杂，越能发挥作用，由于是系统的状态 函数的积分函数达到极值所应满足的方程是拉格 朗日方程，因此该运动方程实际是应用拉格朗日 方程。（只适用于完整约束系统）
§2-1
本节目的：
机电类比
1. 通过机电系统的类比为机械或电路工程师提供一种 临时的处理不熟悉系统（如电路对于机械工程师） 的灵活方法。 2. 通过机电系统的类比或对偶，能对机电系统的相似 性有一个较为深入的了解。为学习建立统一的机电 系统运动方程打下基础。
这一节内容较简单不作详细的讲解，给同学们一节 课的自学时间，下节课将对表2-3和例2-2作以下重 点讲解 注意对偶和类比概念的区别 对偶电路不等效 一般采用
一．弹簧质量系统
ma && + kx = 0
m
dv d d ∂T ⎞ = (mv ) = ⎛ ⎜ ⎟ dt dt dt ⎝ ∂v ⎠ d ⎛ ∂T ⎞ ∂V =0 ⎜ ⎟+ dt ⎝ ∂v ⎠ ∂x
dv m + kx = 0 dt 1 2 ∂V T = mv ； kx = ∂x 2
K
1 V = Kx 2 2
x
系统 元件 惯 性 作 用
C
惯性力
fM = m dv dt d 2 x dp =m 2 = dt dt
电压
u=L di dt d 2 q dψ =L 2 = dt dt
TJ = J
dt d 2θ dpω =J 2 = dt dt
动能
1 W = mv 2 2
动能
1 W = Jω 2 2
储能
1 Wm = Li 2 2
2. 作出各元件的等值电路，并标明各个元件流入电 荷的方向。 3. 根据约束关系，把各电路元件连接起来，形成一 闭合回路。
机械量换成电量
x1 = 0 → q1 = 0 K1 → 1 / C1 1 x2 → q 2 K1 F1 (t ) → e1 (t ) 2 F (t ) 1 m1 → L1 m1 x3 = x 2 → q 3 = q 2 3 K 2 → 1 / C2 K2 x4 → q4 4 Rv1 → R1 m2 x7 = 0 → q7 = 0 5 Rv 2 m2 → L2 x5 = x 4 → q5 = q 4 6 Rv 2 → R2 x6 = 0 → q6 = 0
电路方程
牛顿定律和达朗贝尔原理
电磁感应定律和基尔霍夫定律
•
变分原理法 机电系统运动微分方程在形式上是相似的，这
说明两类系统的物理量和物理定律之间有相似的对 应关系，能不能用一种统一的方法来建立机电系统 运动微分方程。考虑到，保守系统中的力与电容电 压都可以表示为储能的函数。因而可以用某一特定 的能量函数来建立一个普遍的方程——拉格朗日方 程，即通过机电系统的某个特定的能量函数的积分 求极值来导出它的运动方程，这种方法就是变分原 理法。
f −e
类比
机 名 称
械
系
统
电
f − e 类比
系
统
f − i 类比
平移运动 坐 标 速 度 动 量 位移 x 速度
v= dx dt
旋转运动 角位移 θ 角速度 dθ ω=
dt
电荷 q 电流
i= dq dt
磁链 ψ
广义 变量
电势 e
动量 p 力
角动量 pω 转矩
dp T= ω dt
磁链 ψ
电荷 q 电流
f R = Rv v = Rv d ( x1 − x2 ) dt
损耗函数
1 F = v 2 Rv 2
损耗函数
1 F = ω 2 Rω 2
损耗函数
1 FR = i 2 R 2
损耗函数
1 FG = u 2G 2
质量 m
转动惯量 J
电感 L
电容 C
m
θ
fM
θ
TJ
惯性转矩 dω
q
L u
u
+q
−q
电流
i=C du dt d 2ψ dq =C 2 = dt dt
x 令能量函数（即拉格朗日函数） L = T − V （ T 为系统的动能，V 为系统的位能），带入 上式得： d⎛∂ ⎞ ∂ 式（2-1） ⎜ L⎟ − L = 0
等值电路
C1
元件连接
q2
e1 (t )
q2
q3=q2 q3
q3
L1
C1
R1
L1
e1 (t )Rv1R1 NhomakorabeaC2
q4
~
C2 L2
q4 R2
7
q5 = q4
q5
L2
R2
§2-2 机电系统的能量 和拉格朗日函数
前面提到的保守系统中的力与电容电压都可以表 示为储能的函数，而机电系统中的电磁力是与耦合磁 场能量变化率紧密相关的，因此适当定义一个能量函 数，便有可能通过此能量函数写出弹性力、惯性力和 电磁力的表达式，并进而写出系统的运动方程。 既然微分方程和变分原理法都能导出系统的运动 方程，取两个实例来通过微分方程反演出拉格朗日方 程。
力
f =
dp dt
电势 e
i=
dq dt
阻力系数 Rv
旋转阻力系数
Rω
电
阻R
电 导G
v
θ1
fR
阻力
θ2
x1
系统 元件 阻 力 作 用
x2
TR
u q1
R q2 u
G
阻力转矩
TR = Rωω = Rω d (θ1 − θ 2 ) dt
电压
u = Ri d = R (q1 − q2 ) dt
电流
i = Gu dψ =G dt
储能
1 We = Cu 2 2
刚性系数 K
扭转刚性系数
Kθ
电容的倒数
1 C
电感的倒数 L
1
fK
系 统 元 件 弹 性 作 用
θ1
x2
Kθ
θ2
x1
K
弹力
TK
u q1
C
L
q2
ψ1
i
ψ2
扭转力矩
TK = Kθ (θ1 − θ 2 )
u=
电压
1 q (q1 − q2 ) = C C
i=
电流
1 (ψ 1 − ψ 2 ) L