1.3.1 单调性与最大(小)值 学案 第二课时

131 《单调性与最大（小）值》（1）导案【习目标】1 通过已过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义；2 能够熟练应用定义判断数在某区间上的单调性；3 会运用函数图象理解和研究函数的性质【重点难点】重点：理解增函数、减函数的概念。

难点：单调性概念的形成与应用。

【知识链接】（预习教材P27~ P29，找出疑惑之处）引言：函数是描述事物运动变化规律的数模型，那么能否发现变化中保持不变的特征呢？复习1：观察下列各个函数的图象探讨下列变化规律：①随的增大，y的值有什么变化？[]②能否看出函数的最大、最小值？③函数图象是否具有某种对称性？复习2：画出函数()2f x x =+、2()f x x =的图象小结：描点法的步骤为：列表→描点→连线【习过程】※ 习探究探究任务：单调性相关概念思考：根据()2f x x =+、2()(0)f x x x =>的图象进行讨论：随的增大，函数值怎样变化？当1>2时，f (1)与f (2)的大小关系怎样？问题：一次函数、二次函数和反比例函数，在什么区间函数有怎样的增大或减小的性质？新知：设函数y=f()的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量1，2，当1<2时，都有f(1)<f(2)，那么就说f()在区间D上是增函数（increasing f unctin）试试：仿照增函数的定义说出减函数的定义新知：如果函数f()在某个区间D上是增函数或减函数，就说f()在这一区间上具有（严格的）单调性，区间D叫f()的单调区间反思：①图象如何表示单调增、单调减？②所有函数是不是都具有单调性？单调性与单调区间有什么关系？③函数2的单调递增区间是，单调递减区间是f x x()试试：如图，定义在[-55]上的f()，根据图象说出单调区间及单调性※ 典型例题[&&]例1 根据下列函数的图象，指出它们的单调区间及单调性，并运用定义进行证明（1）()32f x x =-+； （2）1()f x x =变式：指出y kx b =+、(0)ky k x =≠的单调性例2 物理中的玻意耳定律k p V=（为正常数），告诉我们对于一定量的气体，当其体积V 增大时，压强p 如何变化？试用单调性定义证明小结：① 比较函数值的大小问题，运用比较法而变成判别代数式的符号； ② 证明函数单调性的步骤：第一步：设1、2∈给定区间，且1<2；第二步：计算f (1)－f (2)至最简；第三步：判断差的符号； 第四步：下结论※ 动手试试练1求证1()f x x x=+的(01)上是减函数，在[1,)+∞是增函数[§§]练2 指出下列函数的单调区间及单调性（1）()||f x x =； （2）3()f x x =[]【习反思】※ 习小结1 增函数、减函数、单调区间的定义；2 判断函数单调性的方法（图象法、定义法）3 证明函数单调性的步骤：取值→作差→变形→ 定号→下结论※ 知识拓展 函数()(0)af x x a x =+>的增区间有)+∞、(,-∞，减区间有、[※ 自我评价 你完成本节导案的情况为（ ）A 很好B 较好 一般 D 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1 函数2()2f x x x =-的单调增区间是（ ）A (,1]-∞B [1,)+∞ R D 不存在2 如果函数()f x kx b =+在R 上单调递减，则（ ）A 0k >B 0k < 0b > D 0b <3 在区间(,0)-∞上为增函数的是（ ）A ．2y x =-B ．2y x = ．||y x = D ．2y x =-[##] 4 函数31y x =-+的单调性是 5 函数()|2|f x x =-的单调递增区间是 ，单调递减区间是1 讨论1()f x x a =-的单调性并证明2 讨论2()(0)f x ax bx c a =++≠的单调性并证明。

【典例】(多选)下列函数在(0，＋∞)上单调递增的是( )
A．y＝ex－e－x
B．y＝|x2－2x|
C．y＝x＋cos x
D．y＝ x2＋x－2
【解析】∵y＝ex 与 y＝－e－x 为 R 上的增函数，∴y＝ex－e－x 为 R 上的增函数，故 A 正确； 由 y＝|x2－2x|的图象知，故 B 不正确；对于选项 C，y′＝1－sin x≥0，∴y＝x＋cos x 在 R 上为增函数，故 C 正确； y＝ x2＋x－2的定义域为(－∞，－2]∪[1，＋∞)，故 D 不正确．
【典例】已知二次函数 f(x)＝x2－2x＋3, 当 x∈[t，t＋1]时，求 f(x)的最小值 g(t).
【解析】①当 t>1 时，f(x)在[t，t＋1]上是增函数， 所以当 x＝t 时，f(x)取得最小值，此时 g(t)＝f(t)＝t2－2t＋3. ②当 t≤1≤t＋1，即 0≤t≤1 时，f(x)在[t，t＋1]上先递减后递增， 故当 x＝1 时，f(x)取得最小值，此时 g(t)＝f(1)＝2. ③当 t＋1<1，即 t<0 时，f(x)在[t，t＋1]上是减函数，所以当 x＝t＋1 时，f(x)取得最小值，
函数 f(x)＝ x－1在其定义域内是增函数.
【解析】函数 f(x)＝ x－1的定义域是[1，＋∞)，
设∀x1，x2∈[1，＋∞)，且 x1<x2，则 f(x2)－f(x1)＝ x2－1－ x1－1
＝
x2－1－ x1－1 x2－1＋ x2－1＋ x1－1
x1－1＝
x2－x12－＋x1x1－1.
因为 x1，x2∈[1，＋∞)，且 x1<x2，所以 x2－1＋ x1－1>0，x2－x1>0.

1.3.1 单调性与最大(小)值(一)自主学习1．理解单调性的定义．2．运用单调性的定义判断函数的单调性．1．定义域为I的函数f(x)的增减性：思考讨论在增、减函数定义中，能否把“任意两个自变量”改为“存在两个自变量”？ 答案 不能2．如果函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做y ＝f (x )的单调区间． 3．设x 1，x 2∈[a ，b ]，如果f x 1－f x 2x 1－x 2>0，则f (x )在[a ，b ]上是单调递增函数，如果f x 1－f x 2x 1－x 2<0，则f (x )在[a ，b ]上是单调递减函数．利用图象求单调区间【例1】 求下列函数的单调区间．(1)f (x )＝3|x |； (2)f (x )＝|x 2＋2x －3|.分析 由函数的图象来确定函数的单调性是一种直观、简单的方法，若图象从左向右连续上升(下降)，则称函数在该区间上是单调递增(减)的． 解(1)∵f (x )＝3|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ， x ≥0，－3x ， x <0.图象如图所示．f (x )在(－∞，0]上是减函数，在[0，＋∞)上是增函数．(2)令g (x )＝x 2＋2x －3＝(x ＋1)2－4.先作出g (x )的图象，保留其在x 轴及x 轴上方部分，把它在x 轴下方的图象翻到x 轴上方就得到f (x )＝|x 2＋2x －3|的图象，如图所示．由图象易得：函数的递增区间是[－3，－1]，[1，＋∞)；函数的递减区间是(－∞，－3] [－1,1]．规律方法 函数的单调区间可以是开的，也可以是闭的，也可以是半开半闭的，对于闭区间上的连续函数来说，只要在开区间上单调，它在闭区间上也单调．因此，只要单调区间端点使f (x )有意义，都可以使单调区间包括端点．但要注意，不连续的单调区间必须分开写，不能用“∪”符号连接它们．变式迁移1 写出函数f (x )＝ax 2|x |＋1(a ≠0)的单调区间．解 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋1x >0－ax ＋1 x <0当a >0时，如图①所示，∴单调递增区间为(0，＋∞)，递减区间为(－∞，0)． 当a <0时，如图②所示．∴单调递增区间为(－∞，0)，递减区间为(0，＋∞)．① ②利用定义证明函数的单调性【例2】 证明：函数f (x )＝x ＋1x在(0,1)上是减函数．分析 证明的关键是对f (x 1)－f (x 2)进行变形，尽量变形成几个最简单的因式的乘积形式．证明 设0<x 1<x 2<1，f (x 1)－f (x 2)＝⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋1x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 2＝(x 1－x 2)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1－1x 2＝(x 1－x 2)＋x 2－x 1x 1x 2＝x 1－x 2x 1x 2－1x 1x 2， ∵0<x 1<x 2<1，∴x 1－x 2<0，x 1x 2－1<0，x 1x 2>0. ∴f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)． ∴f (x )＝x ＋1x在(0,1)上是减函数．规律方法 证明函数的单调性的常用方法是利用函数单调性的定义．其步骤为(1)取值(注意x 1、x 2的任意性)；(2)作差变形(目的是便于判断符号)；(3)判断差的符号；(4)写出结论．变式迁移2 利用单调性的定义证明函数y ＝x － 1x在(0，＋∞)上是增函数．证明 任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，设x 1<x 2，f (x 1)－f (x 2)＝(x 1－x 2)－1x 1＋1x 2＝(x1－x2)(1＋1x1x2)，∵0<x1<x2，∴x1－x2<0,1＋1x1x2>0，∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数．函数单调性的应用【例3】已知函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上是减函数，求实数a的取值范围．分析解答本题可先将函数解析式配方，然后找出图象的对称轴，再考虑对称轴与所给区间的位置关系，利用数形结合求解．解f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2＝[x＋(a－1)]2－(a－1)2＋2，∴此二次函数的对称轴为x＝1－a.∴f(x)的单调减区间为(－∞，1－a]．∵f(x)在(－∞，4]上是减函数，∴对称轴x＝1－a必须在直线x＝4的右侧或与其重合．∴1－a≥4，解得a≤－3.规律方法已知函数的单调性求参数的取值范围，要注意数形结合思想，采用逆向思维．变式迁移3 本例中，若将函数“在区间(－∞，4]上是减函数”改为“函数的单调递减区间为(－∞，4]”，则a为何值？解由题意知，f(x)的单调减区间为(－∞，1－a]，∴1－a＝4，∴a＝－3.1．函数的单调区间必须是定义域的子集．因此讨论函数的单调性时，必须先确定函数的定义域．2．研究函数的单调性，必须注意无意义的特殊点，如函数f (x )＝1x在(－∞，0)和(0，＋∞)上都是减函数，但不能说函数f (x )＝1x在定义域上是减函数．3．求单调区间的方法：(1)图象法；(2)定义法；(3)利用已知函数的单调性． 4．用单调性的定义证明函数的单调性分四个主要步骤：取值——作差变形——定号——判断．若f (x )>0，则判断f (x )的单调性可以通过作比的方法去解决，即“取值——作比变形——与1比较——判断”． 课时作业一、选择题1．下列说法中正确的有( )①若x 1，x 2∈I ，当x 1<x 2时，f (x 1)<f (x 2)，则y ＝f (x )在I 上是增函数；②函数y ＝x2在R 上是增函数；③函数y ＝－1x 在定义域上是增函数；④y ＝1x的单调区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 答案 A解析 函数的单调性的定义是指定义在区间I 上任意两个值x 1，x 2，强调的是任意，从而①不对；②y ＝x 2在x ≥0时是增函数，x <0时是减函数，从而y ＝x 2在整个定义域上不具有单调性；③y ＝－1x在整个定义域内不是单调递增函数，如－3<5而f (－3)>f (5)；④y ＝1x的单调递减区间不是(－∞，0)∪(0，＋∞)，而是(－∞，0)和(0，＋∞)，注意写法．2．设(a ，b )，(c ，d )都是函数f (x )的单调增区间，且x 1∈(a ，b )，x 2∈(c ，d )，x 1<x 2，则f (x 1)与f (x 2)的大小关系是( )A ．f (x 1)<f (x 2)B ．f (x 1)>f (x 2)C ．f (x 1)＝f (x 2)D ．不能确定 答案 D解析 根据单调性定义，所取两个自变量是同一单调区间内的任意两个变量，才能由该区间上的函数单调性来比较出函数值的大小． 3．下列函数在区间(2，＋∞)上为减函数的为( ) A ．y ＝2x －7 B ．y ＝－1xC ．y ＝－x 2＋4x ＋1D ．y ＝x 2－4x －3 答案 C4．若函数f (x )＝x 2＋2(a －2)x ＋2在区间[4，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是( )A ．a ≤－2B ．a ≥－2C ．a ≥－6D ．a ≤－6 答案 B解析 对称轴x ＝2－a ≤4，得a ≥－2.5．设函数f (x )是(－∞，＋∞)上的减函数，则( )A ．f (a )>f (2a )B ．f (a 2)<f (a ) C ．f (a 2＋a )<f (a ) D ．f (a 2＋1)<f (a ) 答案 D解析 由a 2＋1－a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋34，得a 2＋1>a ，又∵f (x )是R 上的减函数，∴f (a 2＋1)<f (a )． 二、填空题6．已知函数f (x )为区间[－1,1]上的增函数，则满足f (x )<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12的实数x 的取值范围为________． 答案 －1≤x <12解析 由题设得⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤1x <12，即－1≤x <12.7．函数f (x )＝2x 2－3|x |的单调递减区间是___________ ． 答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－34和⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，348．若函数y ＝ax 与y ＝－ bx在(0，＋∞)上都是减函数，则函数y ＝ax 2＋bx 在(0，＋∞)上是单调______函数． 答案 递减解析 由已知得a <0，b <0，y ＝ax 2＋bx 对称轴为x ＝－b2a <0，开口向下，∴y ＝ax 2＋bx 在(0，＋∞)上是单调递减函数． 三、解答题 9．证明：函数y ＝x ＋2x ＋1在(－1，＋∞)上是减函数． 证明 设x 1>x 2>－1， 则y 1－y 2＝x 1＋2x 1＋1－x 2＋2x 2＋1＝x 2－x 1x 1＋1x 2＋1， ∵x 1>x 2>－1，∴x 2－x 1<0，x 1＋1>0，x 2＋1>0， ∴x 2－x 1x 1＋1x 2＋1<0.即y 1－y 2<0，y 1<y 2，∴y ＝x ＋2x ＋1在(－1，＋∞)上是减函数． 10．设函数f (x )＝x ＋ax ＋b(a >b >0)，求f (x )的单调区间，并证明f (x )在其单调区间上的单调性．解 在定义域内任取x 1，x 2，且x 1<x 2，则f (x 2)－f (x 1)＝x 2＋a x 2＋b －x 1＋ax 1＋b＝x 2＋a x 1＋b －x 2＋b x 1＋ax 1＋b x 2＋b＝b －a x 2－x 1x 1＋bx 2＋b∵a >b >0，∴b －a <0，且x 2－x 1>0.只有当x 1<x 2<－b ，或－b <x 1<x 2时，函数才单调．当x 1<x 2<－b ，或－b <x 1<x 2时，f (x 1)－f (x 2)>0，则f (x 1)>f (x 2)．∴y ＝f (x )在(－∞，－b )上是单调减函数，在(－b ，＋∞)上也是单调减函数． 函数的单调减区间是(－∞，－b )和(－b ，＋∞)． 【探究驿站】11．已知函数f (x )，当x ，y ∈R 时，恒有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，当x >0时，f (x )>0，试判断f (x )在(0，＋∞)上的单调性． 解 f (x )在(0，＋∞)上为增函数． 证明如下：∵x ，y ∈R ，∴不妨取y ＝Δx ，Δx >0， ∵f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )， ∴f (x ＋Δx )＝f (x )＋f (Δx )，∴f(x＋Δx)－f(x)＝f(Δx)．∵Δx>0，∴f(Δx)>0，∴f(x＋Δx)－f(x)>0，f(x＋Δx)>f(x)，∴f(x)在(0，＋∞)上为增函数．。

用定义证明函数单调性的步骤：
1.任取 x1, x2 D,且x1 x2 2.作差 3.变形 4.定号 5.结论
例3、“菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时 一般是期望在它达到最高点时爆裂. 如果在距地 面高度h m与时间t s之间的 关系为:h(t)= -4.9t2+14.7t+18 ， 那么烟花冲出后什么时候是
x … 0 1 2 3 4 … 列表法 f(x) … 0 1 4 9 16 …
定义： 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I
内某个区间D上的任意两个自变量的值 x1, x2 ， 当 x1 x2 时，都有 f (x1) f (x2 ) ，那么就说f(x)在区间
D上是增函数。
一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I 内某个区间D上的任意两个自变量的值 x1, x2 ， 当 x1 x2 时，都有 f (x1) f (x2 ) ，那么就说f(x)在区间
1.利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大(小)值 2. 利用图象求函数的最大(小)值
3.利用函数单调性的判断函数的最大(小)值
如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，则函数 y=f(x)在x=a处有最小值f(a),在x=b处有最大值f(b) ；
如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区 间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值 f(b)；
思考2：能否根据自己的理解说说什么是增函数， 什么是减函数？
（1）如果函数在某个区间上随着自变量x的增大， y也越来越大，我们就说函数在该区间上为增函数。
（2）如果函数在某个区间上随着自变量x的增大， y越来越小，我们就说函数在该区间上为减函数。
例1：下图是定义在区间[-5，5]上的函数y=f(x)， 根据图像说出函数的单调区间以及每一单调 区间上，它是增函数还是减函数？