2019高考总复习优化设计1轮理科数学人教A课时规范练44 直线的倾斜角、斜率与直线的方程(附答案)

课时规范练40　直线的倾斜角、斜率与直线的方程基础巩固组1.(2017贵州模拟)已知直线l 经过点P (-2,5),且斜率为-,则直线l 的方程为( )34 A.3x+4y-14=0B.3x-4y+14=0C.4x+3y-14=0D.4x-3y+14=02.一次函数y=-x+的图象同时经过第一、第二和第四象限的必要不充分条件是( )m n 1n A.m>1,且n>1B.mn>0C.m>0,且n<0D.m>0,且n>03.设直线ax+by+c=0的倾斜角为α,且sin α+cos α=0,则a ,b 满足( )A.a+b=1 B.a-b=1C.a+b=0D.a-b=04.(2017河北石家庄调研)已知直线l 的斜率为k (k ≠0),它在x 轴、y 轴上的截距分别为k 和2k ,则直线l 的方程为( )A.2x-y-4=0B.2x-y+4=0C.2x+y-4=0D.2x+y+4=05.经过点P (1,4)的直线在两坐标轴上的截距都是正的,且截距之和最小,则直线的方程为( )A.x+2y-6=0B.2x+y-6=0C.x-2y+7=0D.x-2y-7=06.直线2x-my+1-3m=0,当m 变动时,所有直线都经过定点( )A.(-12,3)B.(12,3)C.(12,-3)D.(-12,-3)7.设A ,B 是x 轴上的两点,点P 的横坐标为2,且|PA|=|PB|,若直线PA 的方程为x-y+1=0,则直线PB 的方程是( )A.x+y-5=0B.2x-y-1=0C.2x-y-4=0D.2x+y-7=0〚导学号24190935〛8.一条直线经过点A (2,-),并且它的倾斜角等于直线y=x的倾斜角的2倍,则这条直线的一般313式方程是 .9.直线kx+y+2=-k ,当k 变化时,所有的直线都过定点 .10.过点M (3,-4),且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为 . 11.若ab>0,且A (a ,0),B (0,b ),C (-2,-2)三点共线,则ab 的最小值为 .综合提升组12.直线l 经过点A (1,2),在x 轴上的截距的取值范围是(-3,3),则其斜率的取值范围是( )A.(-1,15)B.∪(1,+∞)(-∞,12)C.(-∞,1)∪(15,+∞)D.(-∞,-1)∪(12,+∞)13.若点(m ,n )在直线4x+3y-10=0上,则m 2+n 2的最小值是( )A.2 B.22C.4D.2314.设m ∈R ,过定点A 的动直线x+my=0和过定点B 的动直线mx-y-m+3=0交于点P (x ,y ),则|PA|·|PB|的最大值是 .15.已知直线l 过点M (1,1),且与x 轴、y 轴的正半轴分别相交于A ,B 两点,O 为坐标原点.当|MA|2+|MB|2取得最小值时,则直线l 的方程为 .〚导学号24190936〛创新应用组16.设点A (-2,3),B (3,2),若直线ax+y+2=0与线段AB 没有交点,则a 的取值范围是( )A.(-∞,-52]∪[43,+∞)B.(-43,52)C.[-52,43]D.(-∞,-43]∪[52,+∞)17.在平面直角坐标系xOy 中,设A 是半圆O :x 2+y 2=2(x ≥0)上一点,直线OA 的倾斜角为45°,过点A 作x 轴的垂线,垂足为H ,过点H 作OA 的平行线交半圆于点B ,则直线AB 的方程是 .〚导学号24190937〛答案：1.A 由点斜式方程知直线l 的方程为y-5=-(x+2),即3x+4y-14=0.342.B 因为y=-x+经过第一、第二和第四象限,所以-<0,>0,即m>0,n>0,但此为充要条件,因此,其m n 1n m n 1n 必要不充分条件为mn>0,故选B .3.D 由sin α+cos α=0,得=-1,即tan α=-1.sin αcos α又因为tan α=-,ab 所以-=-1.ab 即a=b ,故应选D.4.D 依题意得直线l 过点(k ,0)和(0,2k ),所以其斜率k==-2,由点斜式得直线l 的方程为y=-2k -00-k 2(x+2),化为一般式是2x+y+4=0.5.B 解法一:直线过点P (1,4),代入选项,排除A,D,又在两坐标轴上的截距均为正,排除C .解法二:设所求直线方程为=1(a>0,b>0),将(1,4)代入得=1,xa+y b 1a+4b a+b=(a+b )=5+≥9,(1a+4b)(b a+4a b)当且仅当b=2a ,即a=3,b=6时等号成立,此时截距之和最小,所以直线方程为=1,即2x+y-x3+y66=0.6.D ∵当m 变动时,(2x+1)-m (y+3)=0恒成立,∴2x+1=0,y+3=0,∴x=-,y=-3,定点为.12(-12,-3)7.A 易知A (-1,0).∵|PA|=|PB|,∴点P 在AB 的垂直平分线即x=2上.∴B (5,0).∵PA ,PB 关于直线x=2对称,∴k PB =-1.∴l PB :y-0=-(x-5),即x+y-5=0.8.x-y-3=0　因为直线y=x的倾斜角为,3313π6所以所求直线的倾斜角为,π3即斜率k=tan .π3=3又该直线过点A (2,-),故所求直线为y-(-)=(x-2),333即x-y-3=0.339.(-1,-2)　kx+y+2=-k 可化为y+2=-k (x+1),根据直线方程的点斜式可知,此类直线恒过定点(-1,-2).10.4x+3y=0或x+y+1=0　①若直线过原点,则k=-,所以y=-x ,即4x+3y=0.4343②若直线不过原点,设直线方程为=1,即x+y=a.xa+ya 则a=3+(-4)=-1,所以直线的方程为x+y+1=0.综上①②可知,所求的直线方程为4x+3y=0或x+y+1=0.11.16　根据A (a ,0),B (0,b )确定直线的方程为=1,又C (-2,-2)在该直线上,故=1,所xa+yb -2a+-2b 以-2(a+b )=ab.又ab>0,故a<0,b<0.根据基本不等式ab=-2(a+b )≥4,从而≤0(舍去)或≥4,故ab ≥16,当且仅当ab ab ab a=b=-4时等号成立.即ab 的最小值为16.12.D 设直线的斜率为k ,如图,过定点A 的直线经过点B 时,直线l 在x 轴上的截距为3,此时k=-1;过定点A 的直线经过点C 时,直线l 在x 轴上的截距为-3,此时k=,满足条件的直线l 的斜率范围是12(-∞,-1)∪.(12,+∞)13.C 因为点(m ,n )在直线4x+3y-10=0上,所以4m+3n-10=0.欲求m 2+n 2的最小值,可先求的最小值.(m -0)2+(n -0)2而表示4m+3n-10=0上的点(m ,n )到原点的距离,(m -0)2+(n -0)2所以(m 2+n 2)min =d 2-=4.(|0+0-10|42+32)214.5　易知A (0,0),B (1,3),且PA ⊥PB ,∴|PA|2+|PB|2=|AB|2=10,∴|PA|·|PB|≤=5|PA|2+|PB|22(当且仅当|PA|=|PB|时等号成立).15.x+y-2=0　设直线l 的斜率为k ,由题意k<0,直线l 的方程为y-1=k (x-1),则A,B (0,1-(1-1k ,0)k ),所以|MA|2+|MB|2=+12+12+(1-1+k )2=2+k 2+(1-1+1k )21k 2≥2+2=4,k 2·1k 2当且仅当k 2=,即k=-1时等号成立,此时直线l 的方程为y-1=-(x-1),即x+y-2=0.1k 216.B 直线ax+y+2=0恒过点M (0,-2),且斜率为-a ,∵k MA ==-,k MB =,3-(-2)-2-0522-(-2)3-0=43结合题意可知-a>-,且-a<,∴a ∈.5243(-43,52)17.x+y--1=0　由题意可得直线OA 的方程为y=x ,与半圆方程联立得A (1,1),即可得H (1,0),33则直线HB 的方程为y=x-1,与半圆方程联立得B.(1+32,-1+32)故直线AB 的方程为,y -1-1+32-1=x -11+32-1即x+y--1=0.33。

第八单元解析几何第46讲直线的倾斜角与斜率、直线的方程考试说明 1.在平面直角坐标系中,结合具体图形,确定直线的几何要素.2.理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直线斜率的计算公式.3.掌握确定直线位置的几何要素,掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式),了解斜截式与一次函数的关系.考情分析考点考查方向考例考查热度直线的斜率倾斜角、斜率的值或范围2016全国卷Ⅱ20 ★☆☆直线的方程截距,求直线方程2016全国卷Ⅲ20,2014全国卷Ⅰ20,2013全国卷Ⅱ12★★☆直线方程的综合应用与基本不等式相结合求最值问题,直线方程与平面向量的综合2014全国卷Ⅰ20 ★★☆真题再现■ [2017-2013]课标全国真题再现[2013·全国卷Ⅱ]已知点A(-1,0),B(1,0),C(0,1),直线y=ax+b(a>0)将△ABC分割为面积相等的两部分,则b的取值范围是()A.(0,1)B.C.D.[解析] B方法一:易得△ABC面积为1,利用极限位置和特值法.当a=0时,易得b=1-;当a=时,易得b=;当a=1时,易得b=-1>.故选B.方法二:(直接法)?y=,y=ax+b与x轴交于,结合图形与a>0,××=? (a+b)2=a(a+1)>0?a=.∵a>0,∴>0?b<,当a=0时,极限位置易得b=1-,故答案为B.■ [2017-2016]其他省份类似高考真题[2017·浙江卷节选]如图,已知抛物线x2=y,点A,B, 抛物线上的点P(x,y)-<x<.过点B 作直线AP的垂线,垂足为Q.求直线AP斜率的取值范围;解:设直线AP的斜率为k,则k==x-.因为-<x<,所以直线AP斜率的取值范围是(-1,1).【课前双基巩固】知识聚焦1.(1)0°(2)0°≤α<180°2.(1)正切值tan α(2)不存在3.y-y0=k(x-x0)y=kx+b =+=1Ax+By+C=0(A2+B2≠0)对点演练1.-1135°[解析] 因为直线AB的斜率为=-1,所以k=tan α=-1,所以α=135°,即直线AB的倾斜角为135°.2.6x-y+15=0[解析] 由题意知该直线的斜率为6,所以该直线的方程为y-3=6(x+2),即6x-y+15=0.3.x-y+1=0或x-y-1=0[解析] 设直线l在两坐标轴上的截距分别为a,b,则解得或故直线l的方程为x-y+1=0或x-y-1=0.4.∪[解析] 设直线l的倾斜角为α,则有tan α==1-m2≤1.又因为0≤α<π,所以0≤α≤或<α<π.5.[解析] ∵Ａ(2,2),B(-1,3),直线l过点P(1,1)且与线段AB相交,∴边界直线PA的斜率k PA==1,边界直线PB的斜率k PB==-1,∴直线PA的倾斜角为,直线PB的倾斜角为.∵直线l与线段AB总有公共点,∴直线l的倾斜角α的取值范围为,.6.2x+y=0或x+y-2=0[解析] 当直线过原点时,斜率为=-2,故直线的方程为y=-2x,即2x+y=0;当直线不过原点时,设直线的方程为x+y+m=0,把(-2,4)代入直线的方程,得m=-2,故所求的直线方程为x+y-2=0.综上,满足条件的直线方程为2x+y=0或x+y-2=0.【课堂考点探究】例1[思路点拨] (1)根据倾斜角与斜率间的关系确定直线的斜率的取值范围;(2)分sin θ=0与sin θ≠0两种情况进行求解.(1)∪[1,+∞)(2)A[解析] (1)∵直线l的倾斜角为α,且≤α≤,∴ｋ≥1或k≤-,∴直线l的斜率k的取值范围是-∞,-∪[1,+∞).(2)设α为直线l的倾斜角,当sin θ=0时,直线l的斜率不存在,直线的倾斜角α=.当sin θ≠0时,直线的斜率k=tan α=∈(-∞,-1]∪[1,+∞),所以直线的倾斜角的取值范围是,∪,.综上所述,α∈,,故选A.变式题(1)∪(2)(-∞,-4]∪,+∞[解析] (1)由题意知cos θ≠0,则斜率k=tanα==-cos θ∈[-1,0)∪(0,1],那么直线AB的倾斜角的取值范围是0,∪,π.(2)因为k PM==-4,k PN==,所以k的取值范围为(-∞,-4]∪,+∞.例2[思路点拨] (1)利用截距式求解,注意不要遗漏截距为0的情况,也可考虑利用直线的点斜式方程求解;(2)根据条件,利用正切的二倍角公式,求得倾斜角的正切值,代入点斜式即得所求直线方程.解:(1)方法一:设直线l在x轴、y轴上的截距均为 a.若a=0,则l过点(0,0)和(3,2),∴ｌ的方程为y=x,即2x-3y=0.若a≠0,则设l的方程为+=1,∵ｌ过点(3,2),∴+=1,∴a=5,∴ｌ的方程为x+y-5=0.综上可知,直线l的方程为2x-3y=0或x+y-5=0.方法二:由题意知,所求直线的斜率k存在且k≠0,设直线方程为y-2=k(x-3),令y=0,得x=3-,令x=0,得y=2-3k,由已知,得3-=2-3k,解得k=-1或k=,∴直线l的方程为y-2=-(x-3)或y-2=(x-3),即x+y-5=0或2x-3y=0.(2)设直线y=3x的倾斜角为α,则所求直线的倾斜角为2α.∵tan α=3,∴tan 2α==-.又直线l经过点A(-1,-3),因此所求直线方程为y+3=-(x+1),即3x+4y+15=0.变式题(1)B(2)B[解析] (1)由于直线l1:x-y+-1=0的斜率为1,所以它的倾斜角为45°,故旋转后得到的直线l2的倾斜角为45°+15°=60°,所以直线l2的斜率为tan 60°=,所以直线l2的方程为y-=(x-1),即x-y=0,故选B.(2)∵m+2n-1=0,∴m+2n=1.∵mx+3y+n=0,∴(mx+n)+3y=0,当x=时,m+n=,∴3y=-,∴y=-,故直线过定点,-,故选B.例3[思路点拨] (1)首先根据直线的一般式方程求出直线的横截距与纵截距,然后利用三角形面积公式结合基本不等式求解;(2)由两直线的位置关系得出a,再结合直角三角形的性质直接求线段AB的长.(1)x-2y+4=0(2)12[解析] (1)易知k≠0.当x=0时,y=1+2k;当y=0时,x=-.因为直线l交x轴负半轴于A,交y轴正半轴于B,所以k>0,所以S△OAB=(1+2k)×==2k++2≥2+2=4,当且仅当2k=,即k=时,等号成立,此时直线l的方程为x-y+2=0,即x-2y+4=0.(2)由两直线垂直,得2-a=0,所以a=2,所以P(0,5).由2x-y-1=0和x+2y+2=0,得两直线的交点为Q(0,-1).由直角三角形的性质,得线段AB的长为2|PQ|=12.变式题(1)-1≤k≤1且k≠0(2)D[解析] (1)直线不过原点,所以k≠0.令x=0,则y=k,令y=0,则x=-2k,故三角形面积为··=k2≤1,解得-1≤k≤1.综上,k的取值范围是-1≤k≤1且k≠0.(2)直线l:+=1(a>0,b>0)在两坐标轴上的截距之和为4,所以a+b=4,即4≥2?ab≤4?ab≤2,则该直线与两坐标轴围成的三角形的面积的最大值是2,故选D.【备选理由】例1考查直线的倾斜角与斜率和三角形间的关系,难度加大了一点;例2为直线的斜率与线性规划的综合.1[配合例1使用] 直线l1与直线l2交于一点P,且l1的斜率为,l2的斜率为2k,直线l1,l2与x轴围成一个等腰三角形,则正实数k的所有可能的取值为.[答案] 或[解析] 设直线l1与直线l2的倾斜角分别为α,β,因为k>0,所以α,β均为锐角.由于直线l1,l2与x轴围成一个等腰三角形,则有以下两种情况:(1)当α=2β时,tan α=tan 2β,有=,因为k>0,所以k=;(2)当β=2α时,tan β=tan 2α,有2k=,因为k>0,所以k=.故k的所有可能的取值为或.2[配合例3使用] [2017·襄阳五中三模]已知点P在直线x+3y-2=0上,点Q在直线x+3y+6=0上,线段PQ的中点为M(x0,y0),且y0<x0+2,则的取值范围是()A.B.C.D.∪(0,+∞)[解析] D设P(x1,y1),Q(x2,y2),则得x0+3y0+2=0,即M(x0,y0)在直线x+3y+2=0上.又因为y0<x0+2,所以M(x0,y0)位于直线x+3y+2=0与直线x-y+2=0交点的右下部分的直线上.设两直线的交点为F,易得F(-2,0),而可看作点M与原点O连线的斜率,数形结合可得的取值范围为-∞,-∪(0,+∞).故选D.。

P(1,1)且与线段 AB 相交,∴边界直线
PA 的斜率 kPA=22--11=1,边界直线 PB 的 斜率 kPB=-31--11=-1,∴直线 PA 的倾斜角 为π4,直线 PB 的倾斜角为34π.∵直线 l 与线段 AB 总有公共点,∴直线 l 的倾 斜角 α 的取值范围为 π4,34π .
课前双基巩固
第46讲 PART 8
直线的倾斜角 与斜率、直线 的方程
教学参考│课前双基巩固│课堂考点探究│教师备用例题
考试说明
1.在平面直角坐标系中,结合具体图形,确定直线的几何要素. 2.理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直线斜率的计算公式. 3.掌握确定直线位置的几何要素,掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式), 了解斜截式与一次函数的关系.
l:x-ysin θ+1=0 的倾斜角的取值范围是
()
A.
π 4
,
3π 4
C.
0,
π 4
B.
0,
π 4
∪
3π 4
,π
D.
π 4
,
π 2
∪
π 2
,
3π 4
[答案]
-∞,-
3 3
∪[1,+∞)
(2)A
[解析] (1)∵直线 l 的倾斜角为 α,且π4≤α≤56π,∴
k≥1 或 k≤- 33,∴直线 l 的斜率 k 的取值范围是
,π
D.
π 4
,
π 2
∪
π 2
,
3π 4
(2)设 α 为直线 l 的倾斜角,当 sin θ=0 时,直线 l
的斜率不存在,直线的倾斜角 α=π2.当 sin θ≠0 时,

3．过点 P(2，3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为 _3_x_－__2_y_＝_．0 或 x＋y－5＝0
解析 当纵、横截距均为 0 时，直线方程为 3x－2y＝0； 当纵、横截距均不为 0 时，设直线方程为ax＋ay＝1， 则2a＋3a＝1，解得 a＝5. 所以直线方程为 x＋y－5＝0.
◇考题再现
向旋转 15°，则旋转后得到的直线 l2 的方程为( B )
A．x－ 3y＋1＝0
B． 3x－y＝0
C． 3x＋y＋1＝0
D．3x－ 3y－1＝0
(2)若 A(1，－2)，B(5，6)，直线 l 经过 AB 的中点 M 且在两坐
标轴上的截距相等，则直线 l 的方程为_2_x_－__3_y_＝__0_或 ___x_＋__y．－5＝0
(2)求直线方程．弄清确定直线的两个条件，由直线方 程的几种特殊形式直接写出方程．
(3)求参数值或范围．注意点在直线上，则点的坐标适 合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解．
[巩固演练] 3．已知直线 l：(2a＋b)x＋(a＋b)y＋a－b＝0 及点 P(3， 4)． (1)证明：直线 l 过某定点，并求该定点的坐标； (2)当点 P 到直线 l 的距离最大时，求直线 l 的方程． 解析 (1)在直线 l 的方程可化为： a(2x＋y＋1)＋b(x＋y－1)＝0， 由2x＋x＋y－y＋11＝＝00，解得xy＝＝－3 2，， ∴直线恒过定点(－2，3)．
＝5＋－k＋－4k≥5＋4＝9. 所以当且仅当－k＝－4k且 k<0， 即 k＝－2 时，|OA|＋|OB|取最小值． 这时 l 的方程为 2x＋y－6＝0.
►规律方法 与直线方程有关问题的常见类型及解题策略
(1)求解与直线方程有关的最值问题．先设出直线方程， 建立目标函数，再利用基本不等式求解最值．