第一章向量代数与空间解析几何2

微积分下册知识点

第一章 空间解析几何与向量代数

（一） 向量及其线性运算

1、 向量,向量相等,单位向量,零向量,向量平行、共线、共面；

2、 线性运算：加减法、数乘；

3、 空间直角坐标系：坐标轴、坐标面、卦限,向量的坐标分解式；

4、 利用坐标做向量的运算：设),,(zyxaaaa,),,(zyxbbbb,

则 ),,(zzyyxxbabababa,

),,(zyxaaaa；

5、 向量的模、方向角、投影：

1） 向量的模：222zyxr；

2） 两点间的距离公式：212212212)()()(zzyyxxBA

3） 方向角：非零向量与三个坐标轴的正向的夹角,,

4） 方向余弦：rzryrxcos ,cos ,cos

1coscoscos222

5） 投影：cosPraaju,其中为向量a与u的夹角;

（二） 数量积,向量积

1、 数量积：cosbaba

12aaa

2ba0ba

zzyyxxbabababa

2、 向量积：bac

大小：sinba,方向：cba,,符合右手规则 10aa

2ba//0ba

zyxzyxbbbaaakjiba

运算律：反交换律 baab

（三） 曲面及其方程

1、 曲面方程的概念：0),,(:zyxfS

2、 旋转曲面：

yoz面上曲线0),(:zyfC,

绕y轴旋转一周：0),(22zxyf

绕z轴旋转一周：0),(22zyxf

3、 柱面：

0),(yxF表示母线平行于z轴,准线为00),(zyxF的柱面

4、 二次曲面不考

1） 椭圆锥面：22222zbyax

2） 椭球面：1222222czbyax

微积分（下）知识点

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第一章 空间解析几何与向量代数

（一） 向量及其线性运算

1、 向量,向量相等，单位向量，零向量，向量平行、共线、共面；

2、 线性运算：加减法、数乘；

3、 空间直角坐标系：坐标轴、坐标面、卦限,向量的坐标分解式;

4、 利用坐标做向量的运算:设),,(zyxaaaa,),,(zyxbbbb，

则 ),,(zzyyxxbabababa, ),,(zyxaaaa；

5、 向量的模、方向角、投影：

1） 向量的模：222zyxr;

2） 两点间的距离公式：212212212)()()(zzyyxxBA

3） 方向角：非零向量与三个坐标轴的正向的夹角,,

4） 方向余弦：rzryrxcos ,cos ,cos

1coscoscos222

5） 投影：cosPraaju,其中为向量a与u的夹角。

（二） 数量积，向量积

1、 数量积：cosbaba

1)2aaa

2）ba0ba 微积分（下）知识点

第 2 页 共 17 页 zzyyxxbabababa

2、 向量积：bac

大小：sinba，方向：cba,,符合右手规则

1）0aa

2)ba//0ba

zyxzyxbbbaaakjiba

运算律：反交换律 baab

（三） 曲面及其方程

1、 曲面方程的概念：0),,(:zyxfS

2、 旋转曲面:

yoz面上曲线0),(:zyfC,

绕y轴旋转一周：0),(22zxyf

绕z轴旋转一周：0),(22zyxf

3、 柱面：

0),(yxF表示母线平行于z轴,准线为00),(zyxF的柱面

空间解析几何与向量代数

一、向量 (,,)

xyzxyzaaaaaiajak

向量a

的模222

zyxaaaa

；

与a同方向的单位向量0

(cos,cos,cos)aa

a

其中

222cos

zyxxx

aaaa

aa



，

222cos

zyxyy

aaaa

aa





，

222cos

zyxzz

aaaa

aa





称为方向余弦。

显然：222

coscoscos1

例、若,,

为一向量方向角，则222

sinsinsin

2、向量的运算

设a

zyxaaa,,

，b



zyxbbb,,

，c

zyxccc,,

加法：ba





zzyyxxbababa,,

数乘：a



zyxaaa,,

数量积：),cos(bababa









=

zzyyxxbababa

运算规律：abba





，baba





)()(

，cabacba



)( 应用：2

aaa

，

baba

ba





),cos(

，

),cos(Prjbabb

a

（b

向量在a

向量上的投影）

例：已知向量r

的模是4，它与u轴的夹角是

3

，则它在u轴上的投影是

0baba

例1、设bab,aba







32,

3π

)(2,5,求

提示：2

23(23).(2a3b)abab

例2、若(1,1,),(2,2,6)amb

，且a

//b

，则m= , ，若a垂直b

，则m= 。 例3、若

1,0,23,0,1ab

，求,ab

的夹角。

向量积：











确定。到，指向按右手法则从、方向：同时垂直于大小：

bababababa

ba













),sin(

zyxzyx

bbbaaakji

ba







运算规律：abba





， cabacba

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空间解析几何与向量代数

向量及其运算

目的：理解向量的概念及其表示；掌握向量的运算，了解两个向量垂直、平

行的条件；掌握空间直角坐标系的概念，能利用坐标作向量的线性运算；

重点与难点

重点：向量的概念及向量的运算。难点：运算法则的掌握

过程：

一、向量

既有大小又有方向的量称作向量

通常用一条有向线段来表示向量 ，有向线段的长度表示向量的大小 .有向线段的方向

表示向量的方向•

向量的表示方法有两种 ：a、AB

向量的模：向量的大小叫做向量的模 ，向量a、AB的模分别记为|a'|、|AB| .

单位向量：模等于1的向量叫做单位向量.

零向量： 模等于0的向量叫做零向量.记作0规定：0方向可以看作是任意的 ，

相等向量：方向相同大小相等的向量称为相等向量

平行向量(亦称共线向量)：两个非零向量如果它们的方向相同或相反 .就称这两个向

量平行 记作a // b规定： 零向量与任何向量都平行 ，

二、向量运算

向量的加法

向量的加法：设有两个向量a与b.平移向量使b的起点与a的终点重合.此时从a 的起点到b的终点的向量c称为向量a与b的和.记作a+b .即c=a+b .

当向量a与b不平行时.平移向量使a与b的起点重合.以a、b为邻边作一平行四边形 从公共起点到对角的向量等于向量 a与b的和a b

向量的减法：

设有两个向量a与b .平移向量使b的起点与a的起点重合.此时连接两向量终点且指 向被减数的向量就是差向量。

T T T T T AB =AO OB =0B -CA .

2、向量与数的乘法

向量与数的乘法的定义：

向量a与实数，的乘积记作 a .规定■ a是一个向量.它的模它的方向当■ >0时 与a相同.当■

<0时与a相反，

(1) 结合律，(七)=±a)=C；L)a ；

(2) 分配律(kja = 'a；

'(a b) =■ a …b 优质资料 欢迎下载

例1在平行四边形 ABCD中.设AB =a . AD二b 优质资料 欢迎下载