2016新课标三维人教A版数学选修2-1 1. 3 简单的逻辑联结词

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简单的逻辑联结词

预习课本P14～17，思考并完成以下问题

1．课本提到的简单的逻辑联结词有哪些？

2．命题p∧q、p∨q以及綈p的真假是如何确定的？

[新知初探]

1．逻辑联结词，“且”“或”“非”

符号 含义 读法

p∧q 用联结词“且”把命题p和命题q联结起来的一个新命题 p且q

p∨q 用联结词“或”把命题p和命题q联结起来的一个新命题 p或q

綈p 对一个命题p全盘否定的一个新命题 非p或p的否定

2．“p∧q”“p∨q”“綈p”的真假判断

p q p∨q p∧q 綈p

真 真 真 真 假

真 假 真 假 假

假 真 真 假 真

假 假 假 假 真

[点睛] (1)“或”含义的理解

对“或”的理解，可联想集合中“并集”的概念，“x∈A∪B”是指“x∈A”“x∈B”中至少有一个是成立的，即“x∈A，且x∉B”，也可以“x∉A，且x∈B”，也可以“x∈A，且x∈B”．逻辑联结词中的“或”的含义与“并集”中的“或”的含义是一致的，它们都不同于生活用语中的“或”的含义，生活用语中的“或”表示“不兼有”，而数学中的“或”则表示“可兼有但不必兼有”．

(2)命题“p∧q”“p∨q”“綈p”真假的记忆

①对于“p∧q”，简称为“一假即假”，即p，q中只要有一个为假，则“p∧q”为假；

②对于“p∨q”，简称为“一真即真”，即p，q中只要有一个为真，则“p∨q”为真．

版权所有:中国好课堂 [小试身手]

1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)当p是真命题时，“p∧q”为真命题( )

(2)当p是真命题时，“p∨q”为真命题( )

(3)若綈p为假命题，则p为真命题( )

答案：(1)× (2)√ (3)√

2．命题“矩形的对角线相等且互相平分”是( )

A．“p∧q”形式的命题 B．“p∨q”形式的命题

C．“綈p”形式的命题 D．以上说法都不对

答案：A

3．命题“2 016≥2 015”使用的逻辑联结词是________．

答案：或

4．“p∨q”为真是“p∧q”为真的________条件．(填“充分”“充分不必要”“必要不充分”或“既不充分也不必要”)

答案：必要不充分

用逻辑联结词联结新命题

[典例] 分别写出由下列命题构成的“p∨q”“p∧q”“綈p”形式的命题．

(1)p：梯形有一组对边平行，q：梯形有一组对边相等；

(2)p：－1是方程x2＋4x＋3＝0的解，q：－3是方程x2＋4x＋3＝0的解．

[解] (1)p∧q：梯形有一组对边平行且有一组对边相等．

p∨q：梯形有一组对边平行或有一组对边相等．

綈p：梯形没有一组对边平行．

(2)p∧q：－1与－3是方程x2＋4x＋3＝0的解．

p∨q：－1或－3是方程x2＋4x＋3＝0的解．

綈p：－1不是方程x2＋4x＋3＝0的解．

用“或”“且”“非”联结两个简单命题时，要正确理解这三个联结词的意义，通常情况下，可以直接使用逻辑联结词联结，有时为了通顺也可以适当添加词语或省略联结词．如甲

版权所有:中国好课堂 是运动员兼教练员，就省略了“且”．

[活学活用]

指出下列命题的构成形式及构成它们的简单命题．

(1)方程2x2＋1＝0没有实数根；

(2)12能被3或4整除．

解：(1)是“綈p”形式，其中p：方程2x2＋1＝0有实根．

(2)是“p或q”形式，其中p：12能被3整除；q：12能被4整除.

含有逻辑联结词的命题的真假判断

[典例] (1)已知命题p：若x>y，则－x<－y：命题q：若x>y，则x2>y2，在命题①p∧q；②p∨q；③p∧(綈q)；④(綈p)∨q中，真命题是( )

A．①③ B．①④

C．②③ D．②④

(2)已知命题p：对任意x∈R，总有2x>0；q：“x>1”是“x>2”的充分不必要条件．

则下列命题为真命题的是( )

A．p∧q B．綈p∧綈q

C．綈p∧q D．p∧綈q

[解析] (1)由不等式的性质可知，命题p是真命题，命题q为假命题，故①p∧q为假命题，②p∨q为真命题，③綈q为真命题，则p∧(綈q)为真命题，④綈p为假命题，则(綈p)∨q为假命题，所以选C.

(2)依题意，命题p是真命题．由x>2⇒x>1，而x>1⇒/x>2，因为此“x>1”是“x>2”的必要不充分条件，故命题q是假命题，则綈q是真命题，p∧綈q是真命题，选D.

[答案] (1)C (2)D

1．命题结构的两种类型及判断方法

(1)从含有联结词“且”“或”“非”或者与之等价的词语上进行判断．

(2)若命题中不含有联结词，则从命题所表达的数学意义上进行判断．

2．判断命题真假的三个步骤

(1)明确命题的结构，即命题是“p∧q”“p∨q”，还是“綈p”；

(2)对命题p和q的真假作出判断；

(3)由“p∧q”“p∨q”“綈p”的真假判断方法给出结论．

[活学活用]

分别写出下列含有逻辑联结词的命题的形式，并判断其真假．

(1)等腰三角形顶角的平分线平分且垂直于底边；

版权所有:中国好课堂 (2)1或－1是方程x2＋3x＋2＝0的根；

(3)A⃘(A∪B)．

解：(1)这个命题是“p∧q”的形式，其中p：等腰三角形顶角的平分线平分底边，q：等腰三角形顶角的平分线垂直于底边，因为p真，q真，则“p∧q”真，所以该命题是真命题．

(2)这个命题是“p∨q”的形式，其中p：1是方程x2＋3x＋2＝0的根，q：－1是方程x2＋3x＋2＝0的根，因为p假，q真，则“p∨q”真，所以该命题是真命题．

(3)这个命题是“綈p”的形式，其中p：A⊆(A∪B)，因为p真，则“綈p”假，所以该命题是假命题.

根据含逻辑联结词命题的真假求参数取值范围

[典例] 已知：p：方程x2＋mx＋1＝0有两个不等的负实根；q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根．若p或q为真，p且q为假，求m的取值范围．

[解] p： Δ＝m2－4>0，－m<0，解得m>2.

q：Δ＝16(m－2)2－16＝16(m2－4m＋3)<0，

解得1

∵p或q为真，p且q为假．

∴p为真，q为假，或p为假，q为真，

即 m>2，m≤1或m≥3或 m≤2，1

解得m≥3或1

故m的取值范围是(1,2]∪[3，＋∞)．

[一题多变]

1．[变条件]本例中将“p∨q为真，p∧q为假”改为“p∧q为真”，求实数m的取值范围．

解：∵“p∧q”为真命题，

∴p为真且q为真．

p：方程x2＋mx＋1＝0有两个不等的负实根

⇔ Δ＝m2－4>0，－m<0⇔m>2.

q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根

⇔Δ＝16(m－2)2－16<0⇔1

∴实数m的取值范围为(2,3)．

版权所有:中国好课堂 2．[变条件]本例中将“q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根”改为“q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0有两个不等的实数根”，求实数m的取值范围．

解：p：方程x2＋mx＋1＝0有两个不等的负实数根⇔ Δ＝m2－4>0，－m<0⇔m>2.

q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0有两个不等的实根

⇔Δ＝16(m－2)2－16>0

⇔m>3或m<1.

∵p∨q为真命题．p∧q为假命题，

∴p，q为一真一假．

①当p为真q为假时，

则 m>2，1≤m≤3，解得，2

②当p为假q为真时，

则 m≤2，m>3或m<1，解得m<1.

综上所述，实数m的取值范围是(－∞，1)∪(2,3]．

解决此类问题的方法，一般是先假设p，q分别为真，化简其中的参数取值范围，然后当它们为假时取其补集，最后确定参数的取值范围．当p，q中参数的范围不易求出时，也可以利用綈p与p，綈q与q不能同真同假的特点，先求綈p，綈q中参数的范围．

层级一 学业水平达标

1．“xy≠0”是指( )

A．x≠0且y≠0 B．x≠0或y≠0

C．x，y至少一个不为0 D．x，y不都是0

解析：选A xy≠0是指x，y均不能为0，故选A.

2．若命题“p且q”为假，且綈p为假，则( )

A．p或q为假 B．q假

C．q真 D．p假

解析：选B 綈p为假，则p为真，而p∧q为假，得q为假．

3．已知全集U＝R，A⊆U，B⊆U，如果命题p：3∈(A∪B)，则命题“綈p”是( )

版权所有:中国好课堂 A.3∉A B.3∈(∁UA)∩(∁UB)

C.3∈∁UB D.3∉(A∩B)

解析：选B 由p：3∈(A∪B)，可知綈p：3∉(A∪B)，即3∈∁U(A∪B)，而∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)，故选B.

4．给定两个命题p，q.若綈p是q的必要而不充分条件，则p是綈q的( )

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

解析：选A q⇒綈p等价于p⇒綈q，綈pq等价于綈qp，故p是綈q的充分而不必要条件．

5．设a，b，c 是非零向量，已知命题p：若 a·b＝0，b·c＝0，则 a·c＝0；命题q：若a∥b，b∥c，则a∥c，则下列命题中真命题是( )

A．p∨q B．p∧q

C．(綈p)∧(綈q) D．p∨(綈q)

解析：选A 对于命题p：因为a·b＝0，b·c＝0，所以a，b与b，c的夹角都为90°，但a，c的夹角可以为0°或180°，故a·c≠0，所以命题p是假命题；对于命题q：a∥b，b∥c说明a，b与b，c都共线，可以得到a，c的方向相同或相反，故a∥c，所以命题q是真命题．则p∨q是真命题，p∧q是假命题，綈p是真命题，綈q是假命题，所以(綈p)∧(綈q)是假命题，p∨(綈q)是假命题，故选A.

6．命题“若a

解析：命题“若p，则q”的否命题是“若綈p，则綈q”，命题的否定是“若p，则綈q”．

答案：若a≥b，则2a≥2b 若a

7．已知p：x2－x≥6，q：x∈Z.若“p∧q”“綈q”都是假命题，则x的值组成的集合为________．

解析：因为“p∧q”为假，“綈q”为假，所以q为真，p为假．

故 x2－x<6，x∈Z，即 －2

因此，x的值可以是－1,0,1,2.

答案：{－1,0,1,2}

8．已知条件p：(x＋1)2>4，条件q：x>a，且綈p是綈q的充分不必要条件，则a的取值范围是________．

解析：由綈p是綈q的充分不必要条件，可知綈p⇒綈q，但綈q綈p.由一个命题与它的逆否命题等价，可知q⇒p但pq．又p：x>1或x<－3，可知{x|x>a}{x|x<－3或x>1}，