苏教版高中数学必修二知识讲解_直线的斜率_提高
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资料来源于网络 仅供免费交流使用 直线的斜率
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【学习目标】
1.理解直线斜率，掌握过两点的直线的斜率公式.
2.理解直线倾斜角的定义，知道直线的倾斜角的范围.
3.掌握直线的斜率和倾斜角之间的关系.
【要点梳理】
要点一：直线的倾斜角
平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，如果把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为，则叫做直线的倾斜角.
规定：当直线和x轴平行或重合时，直线倾斜角为0，所以，倾斜角的范围是0180．
要点诠释：
1.要清楚定义中含有的三个条件
①直线向上方向；
②x轴正向；
③小于180的角.
2.从运动变化观点来看，直线的倾斜角是由x轴按逆时针方向旋转到与直线重合时所成的角.
3.倾斜角的范围是0180.当0时，直线与x轴平行或与x轴重合.
4.直线的倾斜角描述了直线的倾斜程度，每一条直线都有唯一的倾斜角和它对应.
5.已知直线的倾斜角不能确定直线的位置，但是，直线上的一点和这条直线的倾斜角可以唯一确定直线的位置.
要点二：直线的斜率
1．定义：
倾斜角不是90的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用k表示，即tank．
要点诠释：
(1)当直线l与x轴平行或重合时，=0°，k=tan0°=0；
(2)直线l与x轴垂直时，=90°，k不存在.
由此可知，一条直线l的倾斜角一定存在，但是斜率k不一定存在. 精品文档 用心整理
资料来源于网络 仅供免费交流使用 2．直线的倾斜角与斜率k之间的关系
由斜率的定义可知，当在(090)，范围内时，直线的斜率大于零；当在(90180)，范围内时，直线的斜率小于零；当0时，直线的斜率为零；当90时，直线的斜率不存在．直线的斜率与直线的倾斜角(90除外)为一一对应关系，且在090，和(90180)，范围内分别与倾斜角的变化方向一致，即倾斜角越大则斜率越大，反之亦然．因此若需在090，或(90180)，范围内比较倾斜角的大小只需比较斜率的大小即可，反之亦然．
要点三：斜率公式
已知点111(,)Pxy、222(,)Pxy，且12PP与x轴不垂直，过两点111(,)Pxy、222(,)Pxy的直线的斜率公式2121yykxx.
要点诠释：
1.对于上面的斜率公式要注意下面五点：
(1) 当x1=x2时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角=90°，直线与x轴垂直；
(2)k与P1、P2的顺序无关，即y1，y2和x1，x2在公式中的前后次序可以同时交换，但分子与分母不能交换；
(3)斜率k可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得；
(4)当y1=y2时，斜率k=0，直线的倾斜角=0°，直线与x轴平行或重合；
(5)求直线的倾斜角可以由直线上两点的坐标先求斜率而得到．
2.斜率公式的用途：由公式可解决下列类型的问题：
(1)由1P、2P点的坐标求k的值；
(2)已知k及1122,,,xyxy中的三个量可求第四个量；
(3)已知k及1P、2P的横坐标(或纵坐标)可求12||PP；
(4)证明三点共线.
【典型例题】
类型一：直线的倾斜角
例1．设直线l过原点，其倾斜角为，将直线l绕坐标原点沿逆时针方向旋转45°，得到直线1l，则直线l1的倾斜角为（ ） 精品文档 用心整理
资料来源于网络 仅供免费交流使用 A．+45°
B．－135°
C．135°－
D．当0°≤＜180°时，为+45°，当135°≤＜180°时，为－135°
【答案】D
【解析】倾斜角的范围是[0°，180°），因此，只有当+45°∈[0°，180°），即当0°≤＜135°时，1l的倾斜角才是+45°，而当135°≤＜180°时，1l的倾斜角为－135°．故应选D．
【总结升华】（1）倾斜角的概念中含有三个条件：①直线向上的方向；②x轴的正方向；③小于平角的正角．
（2）倾斜角是一个几何概念，它直观地描述且表现了直线对于x轴正方向的倾斜程度．
（3）平面直角坐标系中每一条直线都有一个确定的倾斜角，且倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等；倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等．
（4）确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：直线上的一个定点以及它的倾斜角，二者缺一不可．
举一反三：
【变式】下列说法中，正确的是（ ）
A．直线的倾斜角为，则此直线的斜率为tan
B．直线的斜率为tan，则此直线的倾斜角为
C．若直线的倾斜角为，则sin＞0
D．任一直线都有倾斜角，但它不一定有斜率
【答案】D
【解析】本题主要考查直线的斜率与倾斜角的关系．
对于A，当=90°时，直线的斜率不存在，∴A错；对于B，虽然直线的斜率为tan，但只有当∈[0°，180°）时，才是此直线的倾斜角，∴B错；对于C，当直线平行于x轴时，=0°，而sin0°=0，∴C错．∴应选D．
类型二：直线的斜率
例2．已知直线的斜率k=-cos(∈R).求直线的倾斜角的取值范围。
【思路点拨】由cos的范围斜率求k的范围，从而求出确定tan的范围，最后求倾斜角的取值范围。 精品文档 用心整理
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【解析】
1cos1,1cos1,1k1,1tan1,3044即或
所以倾斜角的取值范围是3044或
【直线的倾斜角与斜率381490例2】
例3．如图所示，直线1l的倾斜角130，直线1l与2l垂直，求1l，2l的斜率．
【答案】133k k2=3
【解析】由图形可知，2190，则k1，k2可求．
直线1l的斜率113tantan303k．
∵直线2l的倾斜角2=90°+30°=120°，∴直线2l的斜率k2=tan120°=tan(180°―60°)=―tan60°=3．
【总结升华】（1）本例中，利用图形的形象直观挖掘出直线1l与2l的倾斜角之间的关系是解题的关键．
（2）公式tan(180°－)=－tan是一个重要公式，它是求倾斜角为钝角时的直线斜率的关键，即把钝角的正切转化为锐角的正切．熟记30°，45°，60°角的正切值可快速求解．
举一反三：
【变式】 直线cos320xy的倾斜角的范围是
A．5,,6226 B．50,,66
C．50,6
D．5,66
【答案】B
【解析】由直线cos320xy， 精品文档 用心整理
资料来源于网络 仅供免费交流使用 所以直线的斜率为cos3k．
设直线的倾斜角为，则costan3．
又因为3cos3333，即33tan33，
所以50,,66．
类型三：过两点的直线斜率公式的应用
例4．已知A（a，2），B（5，1），C（―4，2a）三点在同一条直线上，求a的值．
【答案】2或 72
【解析】 ∵A，B，C三点共线，
∴kAB=kBC，∴2121545aa，解得a=2或72a．
故所求的a的值为2或72．
【总结升华】由于直线上任意两点的斜率都相等，因此A，B，C三点共线A，B，C中任意两点的斜率相等（如kAB=kAC）．
斜率是反映直线相对于x轴正方向的倾斜程度的，直线上任意两点所确定的方向不变，即在同一直线上任意不同的两点所确定的斜率相等．这正是利用斜率可证三点共线的原因．
举一反三：
【变式1】已知A（―3，―5），B（1，3），C（5，11）三点，试判断这三点是否在同一直线上．
【答案】在同一直线上
【解析】由题意可知直线AB的斜率35213ABk，直线BC的斜率113251BCk．因为kAB=kBC，即两条直线的斜率相同，并且它们过同一点B，所以A，B，C三点在同一直线上．
例5．已知直线l经过点P（1，1），且与线段MN相交，又M（2，―3），N（―3，―2），求直线l的斜率k的取值范围．
【答案】3(,4],4
【解析】 如图所示，直线l相当于绕着点P在直线PM与PN间旋转，'l是过P点且与x轴垂直的直精品文档 用心整理
资料来源于网络 仅供免费交流使用 线．
当l从PN位置转到'l位置时，倾斜角增大到90°，而34PNk，
∴34k．
又当l从'l位置转到PM位置时，倾斜角大于90°，由正切函数的性质知，k≤kPM=―4，∴k≤―4．
综上所述，3(,4],4k．
【总结升华】直线的倾斜角是从“形”的角度刻画直线的倾斜程度，而直线的斜率及斜率公式则从“数”的角度刻画直线的倾斜程度，把二者紧密地结合在一起就是数形结合．利用它可以较为简便地解决一些综合问题，如过定点的直线与已知线段是否有公共点的问题，可先作出草图，再结合图形考虑．
一般地，若已知A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，y0），过P点作垂直于x轴的直线'l，过P点的任一直线l的斜率为k，则当'l与线段AB不相交时，k夹在kPA与kPB之间；当'l与线段AB相交时，k在kPA与kPB的两边．
举一反三：
【直线的倾斜角与斜率381490例4】
【变式】知直线l过点(1,2)P，且与以(2,3),(3,0)AB为端点的线段AB相交，求直线l斜率的取值范围.
【答案】1,5,2
例6．已知实数x，y满足2x+y=8，且2≤x≤3，求yx的最大值和最小值．
【答案】2 23
【解析】 如图所示，由已知，点P（x，y）在线段AB上运动，其中A（2，4），B（3，2），而00yyxx，其几何意义为直线OP的斜率．
由图可知kOB≤kOP≤kOA，而23OBk，kOA=2．
故所求的yx的最大值为2，最小值为23．
【总结升华】 利用斜率公式2121yykxx构造斜率，可以解决形如2121yyxx之类的代数问题．
