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空间向量与立体几何.板块二.空间向量的坐标运算.学生版

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典例分析【例1】空间四边形中，，，则的值OABCOBOCπ3AOBAOCcos，OABC



是（ ）A． B． C． D．1222120

【例2】已知，若三向量共面，则(213)(142)(75)abc，，，，，，，，abc，，等于（ ）A． B． C． D．6279647657

【例3】设、分别是平面的法向量，则平面的位置关(225)u，，(644)v，，，,系是（ ）A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．不能确定

【例4】设，，，则使、、三点共线的条件是（ ）OAaOBbOCcABC

A． B．C． D．cab1123cab34cab43cab

【例5】已知，，且与垂直，则的值为（ ）(110)，，a(102)，，bkab2abk

A． B． C． D．1513575

【例6】已知四面体中，两两互相垂直，给出下列两个命题：ABCDABACAD，，①；ABCDACBDADBC

②．2222||||||||ABACADABACAD



则下列关于以上两个命题的真假性判断正确的为（ ）A．①假、②假B．①真、②假C．①真、②真D．①假、②真

板块二.空间向量的坐标运算【例7】如图，在正方体中，是侧面内一动点，若到直线1111ABCDABCDP11BBCCP

与直线的距离相等，则动点的轨迹所在的曲线是（ ） BC11CDP

A． 直线 B． 圆 C． 双曲线 D． 抛物线

PD1C

1

B1

ABCD

A1

【例8】如图，在四棱锥中，侧面为正三角形，底面为正方形，侧PABCDPADABCD面底面．为底面内的一个动点，且满足．则点PADABCDMABCDPMMC在正方形内的轨迹为（ ）MABCD

DCBAMMMMDCBADCBAABCDDC

BA

【例9】已知，，则(110)(011)(101)abc，，，，，，，，2pabqabc，pq

_______．

【例10】若向量，确定平面的一个法向量，则向1,0,2a0,2,1b,,2nxy量在上的射影的长是________．1,21,2cn

【例11】设向量与互相垂直，向量与它们构成的角都是，且，，abc60°||5a||3b，那么______，_________．||8c(3)(32)acba|23|abc

【例12】已知向量和不共线，向量，且，，则ac0b()()abcbcadacdb， ．

【例13】已知点的坐标分别为，则向量的相反向量的坐标AB，(235)(117)，，，，，AB是__________．【例14】已知，若，则_____，______．(245)(3)abxy，，，，，ab∥xy【例15】已知向量，，若，则______，(102)a，，(6212)b，，ab∥ ．

【例16】若，，三点共线，则(113)Amn，，(22)Bmnmn，，(339)Cmn，，mn ．

【例17】已知向量，，若，垂直，则(22)amm，，(15)bmm，，abab_____________．

【例18】已知，，若，且，则_________．(24)ax，，(22)by，，||6aabxy

【例19】已知，，且与的夹角为，，，若，||2a||3babπ232cabdmabcd则_____．m【例20】已知，，，且，则______．(221)a，，(453)b，，0nanb||1nn【例21】已知，，，为坐标原点，点在直线(123)OA，，(212)OB，，(112)OP，，OQ上运动，则当取得最小值时，点的坐标为___________．OPQAQB

Q

【例22】若，，点在轴上，且，则点的坐标121A，，222B，，PzPAPBP为 ．

【例23】已知的三个顶点为，，，则边上的中ABC(332)A，，(437)B，，(051)C，，BC线长为（ ）A．2 B．3 C．4 D．5

【例24】已知空间两个动点，则的最小值是(12)(1323)AmmmBmmm，，，，，||AB_______．【例25】设，，且的夹角为，则_____，||1a||2bab，120°()(2)abab|2|ab_______．

【例26】若均为单位向量，且，则_______；ab，60ab，°3ab【例27】已知，，，则 ．||1a||1b|32|3ab|3|ab

【例28】已知向量，，则与的夹角为（ ）(021)a，，(112)b，，abA．0° B．45° C．90° D．180°

【例29】已知向量，，则与的夹角为_________；(033)a，，(110)b，，ab

【例30】已知是空间中两两垂直的单位向量，，，则与的夹abc，，mabnbcmn角为 ．

【例31】已知向量，则与的夹角为_________．(021)(112)ab，，，，，ab

【例32】若，且，则与的夹角为________．(3)(75)abab(4)(75)ababab

【例33】若向量，，夹角的余弦值为，则(12)a，，(212)b，，ab，89_________．

【例34】已知向量，若与成角，则_____．(230)(03)abk，，，，，ab120k

【例35】已知向量，，且与互相垂直，则的值是(110)a，，(102)b，，kab2abk

_________．

【例36】已知是空间中两两垂直的单位向量，，，则与的夹abc，，mabnbcmn角为 ．【例37】已知，，，则向量与的夹角为(251)A，，(224)B，，(141)C，，ABAC

________；

【例38】设，，与垂直，，，则||1m||2n2mn3mn4amn72bmn||a_____，______， ．||bab，

【例39】已知为原点，向量，则O(301)(112)OAOBOCOABCOA，，，，，，，∥________．AC

【例40】已知垂直正方形所在平面，，是的中点，PDABCD2ABEPB．以、、所在直线分别为轴、轴、轴建立3cos3，DPAEDADCDPxyz

空间坐标系，则点的坐标为 ；E又在平面内有一点，当点是 时，平面．PADFFEFPCB

【例41】已知点，其中，求平面的一个法(00)(00)(00)AaBbCc，，，，，，，，0abcABC向量．

【例42】已知空间三点，(023)(216)(115)ABC，，，，，，，，⑴求以向量为一组邻边的平行四边形的面积；ABAC，S⑵若向量分别与向量垂直，且，求向量的坐标．aABAC，||3aa

【例43】已知，，(116)a，，(220)b，，⑴求，，；ababab，⑵求与同时垂直的单位向量．ab，⑶当实数的值为多少时，的模最小．ab

【例44】已知点是平行四边形所在平面外一点，，PABCD(2,1,4)AB，．(4,2,0)AD(1,2,1)AP

⑴求证：是平面的法向量；⑵求平行四边形的面积．APABCDABCD

【例45】已知，求证：共面．(101)(446)(223)(101417)ABCD，，，，，，，，，，，ABCD，，，

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2022-2023学年人教A版选择性必修第一册 1-3-2 空间向量运算的坐标表示 课件(48张)

2022-2023学年人教A版选择性必修第一册 1-3-2 空间向量运算的坐标表示 课件(48张)

第一章 空间向量与立体几何
1．3 空间向量运算的坐标表示/
新课程标准
新学法解读 1.会利用空间向量的坐标运算解决简单的运算
问题． 1.掌握空间向量的线性
2．掌握空间向量运算的坐标表示，并会判断两 运算的坐标表示．
个向量是否共线或垂直． 2．掌握空间向量的数量
数量积
a·b
a·b＝_____a_1_b_1＋__a_2_b_2_＋__a_3b_3___________
知识点二 空间向量的平行、垂直及模、夹角 设 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则有
当 b≠0 时，a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)；
a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0；
|a|＝ a·a＝ a12＋a22＋a32； cos〈a，b〉＝|aa|·|bb|＝ a21＋a1ba122＋＋aa232b2b＋21＋a3bb223＋b23.
知识点三 空间两点间的距离公式 设 P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空间中任意两点，则 P1P2＝|P→1P2|＝
_____x_2－__x_1__2＋___y_2_－__y1__2＋___z_2_－__z1__2 ____.
2．已知向量 a＝(0，－1,1)，b＝(4,1,0)，|λa＋b|＝ 29，且 λ>0，则 λ 等于( C ) A．5 B．4 C．3 D．2
解析：λa＋b＝λ(0，－1,1)＋(4,1,0)＝(4,1－λ，λ)，由已知得|λa＋b|＝ 42＋1－λ2＋λ2 ＝ 29，且 λ>0，解得 λ＝3.
研习 1 空间向量的坐标运算 [典例 1] (1)已知 a＝(2，－1，－2)，b＝(0，－1,4)，求 a＋b，a－b，a·b，(2a)·(－b)， (a＋b)·(a－b)．
高中数学第三章空间向量与立体几何1空间向量及其运算5空间向量运算的坐标表示3课件新人教A版选修2

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变式训练
已知 a＝(1,2，12)，b＝(12，－12，1)，c＝(－2,3， －12)，d＝(1，－32，14)．
求证：a⊥b，c∥d.
证明： ∵ a＝ (1,2，12)， b＝ (12，－12，1)， ∴a·b＝1×12＋2×(－12)＋12×1＝0. ∴ a⊥ b. ∵ c＝ (－ 2,3，－12)， d＝ (1，－32，14)， ∴ c＝－ 2(1，－32，14)＝－ 2d. ∴ c∥ d.
(1)求证：EF⊥CF； (2)求E→F与C→G所成角的余弦值； (3)求 CE 的长． [分析] 可建立空间直角坐标系，利用向量的坐 标形式解题．
[解] 建立如图 3 所示的空间直角坐标系 D－xyz， 则 D(0,0,0)，E(0,0，12)，C(0,1,0)， F(12，12，0)，G(1,1，12)．
[解] (1)如图 1，以 D 为原点，DA，DC，DD1 所在的直线为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，设 AA1＝a，
则 B(4,4,0)，N(2,2，a)， A(4,0,0)，M(2,4，a2)，
图1
∴B→N＝ (－ 2，－ 2， a)， A→M＝ (－ 2, 4，a)，
2 由B→N⊥A→M得B→N·A→M ＝ 0， ∴4－8＋a2＝0，a＝2 2，
b32.
2．空间中向量的坐标及两点间的距离公式 在空间直角坐标系中，设 A(a1，a2，a3)，B(b1， b2， b3)，则： (1)A→B＝ (b1－ a1， b2－ a2， b3－ a3)； (2)AB＝ |A→B|＝
b1－ a1 2＋ b2－ a2 2＋ b3－ a3 2.
如何理解空间向量的坐标运算与平面向量的坐 标运算间的关系？
|E→F|＝ |C→G|＝
高中数学第一章空间向量与立体几何：空间向量运算的坐标表示pptx课件新人教A版选择性必修第一册

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2．特殊情况：点 P(x，y，z)到原点的距离公式是：OP＝|O→P|＝ ____x_2_＋__y_2＋__z_2____．
【预习自测】
1．思维辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)空间两点间的距离公式是平面上两点间的距离公式的推广．
() (2)平面上两点间的距离公式是空间两点间距离公式的特例. ( ) 【答案】(1)√ (2)√ 【解析】(1)空间中点的坐标比平面内点的坐标，多了竖坐标，此说 法正确． (2)平面中点的坐标比空间内点的坐标，少了竖坐标，此说法正确．
2．在空间直角坐标系中，已知点 A(2，3，5)，B(3，1，4)，则 A，B
两点间的距离为
()
A．6
B． 6
C． 30
D． 42
【答案】B 【解析】|AB|＝ (3－2)2＋(1－3)2＋(4－5)2＝ 6．
3．若点 A(1，2，a)到原点的距离为 11，则 a 的值为________． 【答案】± 6 【解析】由已知得 12＋22＋a2＝ 11，所以 a2＝6，解得 a＝± 6．
|课堂互动|
题型1 空间向量的坐标运算 已知a＝(2，－1，－2)，b＝(0，－1，4)，求a＋b，2a·(－
b)，(a＋b)·(a－b)． 解：a＋b＝(2，－1，－2)＋(0，－1，4)＝(2，－2，2)，2a·(－b)＝
2(2，－1，－2)·(0，1，－4)＝14，又∵a－b＝(2，－1，－2)－(0，－ 1，4)＝(2，0，－6)，∴(a＋b)·(a－b)＝(2，－2，2)·(2，0，－6)＝
2．空间向量的模及夹角的坐标计算公式： (1)模：|a|＝___a_21＋__a_22_＋__a_23_，|b|＝____b_21＋__b_22_＋__b_23__；
空间向量与立体几何PPT课件

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⑶∵已知点 A、B 、C 在平面 内且 AB a , AC b ,对于空间任意一点 O ∴点 P 在平面 上 是存在唯一有序实数对(x, y), 使 OP OA x AB y AC ③
（4）对于不共线的三点 A、B 、C 和平面 ABC 外的一点 O , 空间一点 P 满足关系式 OP xOA yOB zOC ,则点 P 在平 面 ABC 内的充要条件是 x y z 1 .
则 D(0,0,0),B
⑴ CD 0, 2，0
2,0,0
,PB
,C 2 2
0, 2,0 ,0, 2
2
,P ,
2 2
,0,
2 2
CD PB 0,CD PB,CD PB
⑵取平面 BDx,y,z)
PB
2021
6
4、两个向量的数量积
注:①两个向量的数量积是数量，而不是向量. ②规定:零向量与任意向量的数量积等于零.
空间两个向量的数量积的性质
注：空间向量的数量积具有和平面202向1 量的数量积完全相同的性质7 .
(三)空间向量的理论
1.共线向量定理:对空间任意两个向量
a,b(b0),a//b的充要条件是存在实数 使
17
例 1.一副三角板 ABC 和 ABD 如图摆成直二面角， 若 BC＝a，求 AB 和 CD 的夹角的余弦值.
分析:用几何法求两异面直 线所成的角关键在于巧妙地利 用平行线构造角,且能通过解三 角形的知识求出该角的大小.
若在异面直线上选取两个非零向量 a 和 b ，借助向量的夹角 公式计算出这两个向量的夹角的大小就可得出两异面直线所
VD PBC
1 3
1 2
PB
PD
DC
1 3
1 2