湖南省长沙市雅礼中学2020学年高一上学期期中考试数学试题含答案

2020-2021学年湖南省长沙雅礼中学高一下期中考试数学试卷一．单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分）1．已知复数z =2i 31+i ，则z ＝（ ）A ．﹣1﹣iB ．1﹣iC ．1+3i 2D ．1+3i2．在△ABC 中，已知a ＝2，b ＝3，cosC =13，则边c 长为（ ） A ．3B ．2C ．√11D ．√173．给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另外一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； ②若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直； ③若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； ④垂直于同一直线的两条直线相互平行． 其中，为真命题的是（ ） A ．①和②B ．②和③C ．③和④D ．②和④4．三棱锥S ﹣ABC 的各顶点均在球O 的球面上，SC 为该球的直径，AC ＝BC ＝2，∠ACB ＝120°，且三棱锥S ﹣ABC 的体积为2，则球O 的半径为（ ） A ．√7B ．√5C ．52D ．35．在△ABC 中，|CA |＝1，|CB |＝2，∠ACB =23π，点M 满足CM →=CB →+2CA →，则MA →•MB →=（ ） A ．0B ．2C ．2√3D ．46．已知：向量a →=（1，2），b →=（﹣2，m ），若a →∥b →，则实数m 的值为（ ） A ．4B ．﹣4C ．1D ．﹣17．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＝4，b ＝5，A ＝45°，则满足条件的三角形有（ ） A ．0个B ．1个C ．2个D ．无法确定8．如图，向量OA →，OB →，OC →的终点在同一直线上，且AC →=−3CB →，设OA →=p →，OB →=q →，OC →=r →，则下列等式中成立的是（ ）A．r→=−12p→+32q→B．r→=−p→+2q→C．r→=32p→−12q→D．r→=−q→+2p→二．多选题（共4小题，每小题5分，共20分）9．已知向量e1→=（﹣1，2），e2→=（2，1），若向量a→=λ1e1→+λ2e2→，则可使λ1λ2＜0成立的a→可能是（）A．（1，0）B．（0，1）C．（﹣1，0）D．（0，﹣1）10．对任意z1，z2，z∈C，下列结论成立的是（）A．当m，n∈N*时，有z m z n＝z m+nB．当z1，z2∈C时，若z12+z22＝0，则z1＝0且z2＝0C．互为共轭复数的两个复数的模相等，且|z|2＝|z|2＝z•zD．z1＝z2的充要条件是|z1|＝|z2|11．在四面体ABCD中，∠DAB＝∠DAC＝60°，AB＝AC＝AD＝4，AB⊥AC，E是棱BC 上一动点，则下列说法正确的是（）A．△AED的面积最小值为4B．平面BCD⊥平面ABCC．四面体ABCD的体积为16√2 3D．若F为棱AC的中点，当且仅当E点为棱BC的中点时，EF∥平面ABD12．已知α，β是两个不重合的平面，m，n是两条不重合的直线，则下列命题正确的是（）A．若m⊥n，m⊥α，n∥β，则α⊥βB．若m⊥α，n∥α，则m⊥nC．若α∥β，m⊂α，则m∥βD．若m∥n，α∥β，则m与α所成的角和n与β所成的角相等三．填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．设i是虚数单位，复数z满足（1+2i）z＝4+3i，则z＝．14．复数z满足|z+i|＝1，且z+z=2，则z＝．15．已知向量a →=（m ，3），b →=（1，﹣2），且（a →+b →）⊥b →，则m ＝ ． 16．在△ABC 中，若AB ＝2，∠B =5π12，∠C =π4，则BC ＝ ． 四．解答题（共6小题，第17题10分，第18-22题各12分，共70分） 17．已知复数z ＝（m 2﹣3m +2）+（m 2﹣4m +3）i ，m ∈R ． （1）若z 对应复平面上的点在第四象限，求m 的范围； （2）若z 是纯虚数，求m 的值．18．已知向量a →=（5，﹣12），b →=（﹣3，4）． （1）求a →与b →夹角θ的余弦值；（2）若向量a →+t b →与a →−b →垂直，求实数t 的值．19．如图1，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，过A ，B 分别作AE ⊥CD ，BF ⊥CD ，垂足分别为E 、F ．若AB ＝AE ＝2，CD ＝5，DE ＝1，将梯形ABCD 沿AE ，BF 折起，且平面ADE ⊥平面ABFE （如图2）． （Ⅰ）证明：AF ⊥BD ；（Ⅱ）若CF ∥DE ，在线段AB 上是否存在一点P ，使得直线CP 与平面ACD 所成角的正弦值为√618，若存在，求出AP 的值，若不存在，说明理由．20．已知平面向量a →=（1，x ），b →=（2x +3，﹣x ），x ∈R ． （1）若x ＝2，求b →在a →上的投影向量c 的坐标； （2）若a →⊥b →，求x 的值．21．已知等腰△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，b＝c，D是AC的中点．（Ⅰ）若cos∠BDC=√24，sin∠ABD=√148，CD＝1，求△ABC的面积S；（Ⅱ）若△ABC的面积S等于2，求BD的最小值．22．如图①，是由正三角形ABE和正方形BCDE组成的平面图形，其中AB＝2；将其沿BE 折起，使得AC＝2√2，如图②所示．（1）证明：图②中平面ABE⊥平面BCDE；（2）在线段AB上有一点P，且AP=13AB，求三棱锥P﹣ACE的体积．2020-2021学年湖南省长沙雅礼中学高一下期中考试数学试卷参考答案与试题解析一．单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分）1．已知复数z =2i 31+i ，则z ＝（ ）A ．﹣1﹣iB ．1﹣iC ．1+3i 2D ．1+3i【解答】解：∵复数z =2i 31+i =−2i1+i=−1﹣i ，故选：A ．2．在△ABC 中，已知a ＝2，b ＝3，cosC =13，则边c 长为（ ） A ．3B ．2C ．√11D ．√17【解答】解：在△ABC 中，已知a ＝2，b ＝3，cosC =13， 则c =√a 2+b 2−2abcosC =√4+9−2×2×3×13=3． 故选：A ．3．给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另外一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； ②若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直； ③若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； ④垂直于同一直线的两条直线相互平行． 其中，为真命题的是（ ） A ．①和②B ．②和③C ．③和④D ．②和④【解答】解：当两个平面相交时，一个平面内的两条直线可以平行于另一个平面，故①不对；若两个平面垂直，只有在一个平面内与它们的交线垂直的直线才与另一个平面垂直，故②正确；由平面与平面垂直的判定定理可知③正确；空间中垂直于同一条直线的两条直线可以平行，相交也可以异面，故④不对． 故选：B ．4．三棱锥S ﹣ABC 的各顶点均在球O 的球面上，SC 为该球的直径，AC ＝BC ＝2，∠ACB＝120°，且三棱锥S ﹣ABC 的体积为2，则球O 的半径为（ ） A ．√7B ．√5C ．52D ．3【解答】解：因为AC ＝BC ＝2，∠ACB ＝120°， 所以S △ABC =12×2×2×√32=√3，设△ABC 的外接圆的圆心E ，连接OE ，则OE ⊥平面ABC ，作圆的直径CD ，连接SD ， 因为O ，E 分别为SC ，CD 的中点， 所以SD ∥OE ，SD ⊥平面ABC ，所以三棱锥S ﹣ABC 的体积13×√3×SD =2，所以SD ＝2√3，因为AC ＝BC ＝2，∠ACB ＝120°， 所以∠ABC ＝30°， 由正弦定理可得，CD =AC sin∠ABC =2sin30°=4，所以SC =√CD 2+SD 2=√42+(2√3)2=2√7， 则外接球直径2R ＝SC ＝2√7即R =√7． 故选：A ．5．在△ABC 中，|CA |＝1，|CB |＝2，∠ACB =23π，点M 满足CM →=CB →+2CA →，则MA →•MB →=（ ） A ．0B ．2C ．2√3D ．4【解答】解：建立平面直角坐标系如图所示，由题意知，C （0，0），B （2，0），A （−12，√32）；∴CB →=（2，0），CA →=（−12，√32）， ∴CM →=CB →+2CA →=（1，√3）， ∴MA →=CA →−CM →=（−32，−√32），MB →=CB →−CM →=（1，−√3）， 则MA →•MB →=−32+32=0． 故选：A ．6．已知：向量a →=（1，2），b →=（﹣2，m ），若a →∥b →，则实数m 的值为（ ） A ．4B ．﹣4C ．1D ．﹣1【解答】解：∵a →∥b →，∴m ﹣2×（﹣2）＝0，解得m ＝﹣4． 故选：B ．7．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＝4，b ＝5，A ＝45°，则满足条件的三角形有（ ） A ．0个B ．1个C ．2个D ．无法确定【解答】解：由于a ＝4，b ＝5，A ＝45°， 由于b ＞a ＞b sin A ， 所以三角形有两解． 故选：C ．8．如图，向量OA →，OB →，OC →的终点在同一直线上，且AC →=−3CB →，设OA →=p →，OB →=q →，OC →=r →，则下列等式中成立的是（ ）A ．r →=−12p →+32q →B ．r →=−p →+2q →C ．r →=32p →−12q →D ．r →=−q →+2p →【解答】解：有题意可知r →=q →+BC →=q →−13AC →=q →−13(r →−p →)，∴r →=−12p →+32q →， 故选：A ．二．多选题（共4小题，每小题5分，共20分）9．已知向量e 1→=（﹣1，2），e 2→=（2，1），若向量a →=λ1e 1→+λ2e 2→，则可使λ1λ2＜0成立的a →可能是（ ） A ．（1，0）B ．（0，1）C ．（﹣1，0）D ．（0，﹣1）【解答】解：e 1→=（﹣1，2），e 2→=（2，1）， ∴向量a →=λ1e 1→+λ2e 2→=（﹣λ1，2λ1）+（2λ2，λ2）， ＝（2λ2﹣λ1，2λ1+λ2）， 若使λ1λ2＜0成立，a →=（1，0），则2λ1+λ2＝0，满足题意，a →=（0，1），则2λ2﹣λ1＝0，不满足题意，a →=（﹣1，0），则2λ1+λ2＝0，满足题意，a →=（0，﹣1），则2λ2﹣λ1＝0，不满足题意， 故选：AC ．10．对任意z 1，z 2，z ∈C ，下列结论成立的是（ ） A ．当m ，n ∈N *时，有z m z n ＝z m +nB ．当z 1，z 2∈C 时，若z 12+z 22＝0，则z 1＝0且z 2＝0C ．互为共轭复数的两个复数的模相等，且|z |2＝|z |2＝z •zD ．z 1＝z 2的充要条件是|z 1|＝|z 2|【解答】解：根据复数的运算法则，当m ，n ∈N *时，有z m z n ＝z m +n ，故选项A 正确； 设z 1＝i ，z 2＝1，则有z 12+z 22＝﹣1+1＝0，但此时z 1≠0且z 2≠0，故选项B 错误； 设z ＝a +bi ，z =a ﹣bi ，所以|z|2=a 2+b 2，|z|=a 2+b 2，z ⋅z =(a +bi)(a −bi)=a 2+b 2，所以|z |2＝|z |2＝z •z ，故选项C 正确；由z 1＝z 2能推出|z 1|＝|z 2|，但是|z 1|＝|z 2|不能推出z 1＝z 2，所以z 1＝z 2的必要不充分条件是|z 1|＝|z 2|，故选项D 错误． 故选：AC ．11．在四面体ABCD 中，∠DAB ＝∠DAC ＝60°，AB ＝AC ＝AD ＝4，AB ⊥AC ，E 是棱BC 上一动点，则下列说法正确的是（ ） A ．△AED 的面积最小值为4 B ．平面BCD ⊥平面ABCC ．四面体ABCD 的体积为16√23D ．若F 为棱AC 的中点，当且仅当E 点为棱BC 的中点时，EF ∥平面ABD【解答】解：如图所示，当E 是棱BC 的中点时，△AED 的面积最小，由∠DAB ＝∠DAC ＝60°，AB ＝AC ＝AD ＝4，AB ⊥AC ，所以BC ＝4√2，AE =12BC ＝2√2，又BD ＝CD ＝AB ＝4，所以△BCD 是等腰直角三角形，DE =12BC ＝2√2， 所以AD 2＝AE 2+DE 2，所以DE ⊥AE ，所以△ADE 的面积为12×2√2×2√2=4，选项A 正确；又DE ⊥BC ，AE ∩BC ＝E ，AE ⊂平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以DE ⊥平面ABC ， 又DE ⊂平面BCD ，所以平面BCD ⊥平面ABC ，所以选项B 正确；四面体ABCD的体积为V三棱锥D﹣ABC=13S△ABC•DE=13×12×4×4×2√2=16√23，所以选项C正确；当F为棱AC的中点时，过F作FE∥AB，交BC于E，则E点为棱BC的中点，由EF∥AB，AB⊂平面ABD，EF⊄平面ABD，所以EF∥ABD；反之，EF∥平面ABD时，由直线与平面平行的性质定理得出EF∥BA，由F是AC的中点，得出E是BC的中点，所以选项D正确．故选：ABCD．12．已知α，β是两个不重合的平面，m，n是两条不重合的直线，则下列命题正确的是（）A．若m⊥n，m⊥α，n∥β，则α⊥βB．若m⊥α，n∥α，则m⊥nC．若α∥β，m⊂α，则m∥βD．若m∥n，α∥β，则m与α所成的角和n与β所成的角相等【解答】解：A．满足m⊥n，m⊥α，n∥β时，得不出α⊥β，α与β可能平行，如图所示：∴该选项错误；B．∵n∥α，∴设过n的平面β与α交于a，则n∥a，又m⊥α，∴m⊥a，∴m⊥n，∴该选项正确；C．∵α∥β，∴α内的所有直线都与β平行，且m⊂α，∴m∥β，∴该选项正确；D．根据线面角的定义即可判断该选项正确．故选：BCD．三．填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．设i是虚数单位，复数z满足（1+2i）z＝4+3i，则z＝2﹣i．【解答】解：∵i是虚数单位，复数z满足（1+2i）z＝4+3i，∴z=4+3i1+2i=(4+3i)(1−2i)(1+2i)(1−2i)=4+3i−8i−6i21−4i2=10−5i5=2﹣i．故答案为：2﹣i ．14．复数z 满足|z +i |＝1，且z +z =2，则z ＝ 1﹣i ．【解答】解：设复数z ＝a +bi ，z +z =a +bi +a −bi =2a =2，解得a ＝1， 又z +i ＝a +（b +1）i ＝1+（b +1）i ，且|z +i |＝1， 所以√1+(b +1)2=1，解得b ＝﹣1， 所以z ＝1﹣i ． 故答案为：1﹣i ．15．已知向量a →=（m ，3），b →=（1，﹣2），且（a →+b →）⊥b →，则m ＝ 1 ．【解答】解：根据题意，向量a →=（m ，3），b →=（1，﹣2），则a →+b →=(m +1，1)． 因为(a →+b →)⊥b →，所以（a →+b →）•b →=m +1﹣2＝0，解得m ＝1， 故答案为：1．16．在△ABC 中，若AB ＝2，∠B =5π12，∠C =π4，则BC ＝ √6 ． 【解答】解：A =π−B −C =π−5π12−π4=π3，由正弦定理得AB sinC =BCsinA ，所以BC =ABsinA sinC =2sin π3sin π4=√6．故答案为：√6．四．解答题（共6小题，第17题10分，第18-22题各12分，共70分） 17．已知复数z ＝（m 2﹣3m +2）+（m 2﹣4m +3）i ，m ∈R ． （1）若z 对应复平面上的点在第四象限，求m 的范围； （2）若z 是纯虚数，求m 的值．【解答】解：（1）由题意，{m 2−3m +2＞0m 2−4m +3＜0，解得2＜m ＜3，∴m 的范围是（2，3）；（2）由题意，{m 2−3m +2=0m 2−4m +3≠0，解得m ＝2．18．已知向量a →=（5，﹣12），b →=（﹣3，4）． （1）求a →与b →夹角θ的余弦值；（2）若向量a →+t b →与a →−b →垂直，求实数t 的值．【解答】解：（1）∵a →⋅b →=5×(−3)+(−12)×4=−63，|a →|=13，|b →|=5，∴cosθ=a →⋅b|a →|⋅|b →|=−6365，（2）∵a →+tb →=(5，−12)+t(−3，4)=(5−3t ，−12+4t)，a →−b →=(5，−12)−(−3，4)=(8，−16) 又a →+tb →与a →−b →垂直， ∴(a →+tb →)⋅(a →−b →)=0，即8（5﹣3t ）﹣16（﹣12+4t ）＝0，解得t =2911．19．如图1，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，过A ，B 分别作AE ⊥CD ，BF ⊥CD ，垂足分别为E 、F ．若AB ＝AE ＝2，CD ＝5，DE ＝1，将梯形ABCD 沿AE ，BF 折起，且平面ADE ⊥平面ABFE （如图2）． （Ⅰ）证明：AF ⊥BD ；（Ⅱ）若CF ∥DE ，在线段AB 上是否存在一点P ，使得直线CP 与平面ACD 所成角的正弦值为√618，若存在，求出AP 的值，若不存在，说明理由．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵平面ADE ⊥平面ABFE ，DE ⊂平面ADE ， 平面ADE ∩平面ABFE ＝AE ，DE ⊥AE ，∴DE ⊥平面ABFE ，又AF ⊂平面ABFE ，∴DE ⊥AF ， 又正方形ABFE 中，AF ⊥BE ，且BE ∩DE ＝E ， DE ⊂平面BDE ，BE ⊂平面BDE ， ∴AF ⊥平面BDE ，∵BD ⊂平面BDE ，∴AF ⊥BD ．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，DE 、EA 、EF 两两垂直，如图建立空间直角坐标系，∵CF ∥DE ，CF ⊥平面ABFE ，则A （2，0，0），B （2，2，0），C （0，2，2），D （0，0，1）， AD →=（﹣2，0，1），AC →=（﹣2，2，2）， 设平面ACD 的一个法向量n →=（x ，y ，z ）， 则{AD →⋅n →=−2x +z =0AC →⋅n →=−2x +2y +2z =0，取x ＝1，得n →=（1，﹣1，2），设P （2，t ，0），且0≤t ≤2，则CP →=（2，t ﹣2，﹣2）， 设直线CP 与平面ACD 所成角为θ∵在线段AB 上存在一点P ，使得直线CP 与平面ACD 所成角的正弦值为√618， ∴sin θ=|n →⋅CP →||n →|⋅|CP →|=|2+2−t−4|√6⋅√8+(t−2)2=√618，解得t ＝1或t =−32（舍）．∴AP ＝1．20．已知平面向量a →=（1，x ），b →=（2x +3，﹣x ），x ∈R ． （1）若x ＝2，求b →在a →上的投影向量c 的坐标； （2）若a →⊥b →，求x 的值．【解答】解：（1）若x ＝2，则a →=（1，2），b →=（7，﹣2），则c →=a →⋅b →|a →|×a→|a →|=（35，65）．（2）若a →⊥b →，则a →⋅b →=（1，x ）•（2x +3，﹣x ）＝1×（2x +3）+x （﹣x ）＝0， 即x 2﹣2x ﹣3＝0，解得x ＝﹣1或x ＝3．21．已知等腰△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，b ＝c ，D 是AC 的中点． （Ⅰ）若cos ∠BDC =√2，sin ∠ABD =√14，CD ＝1，求△ABC 的面积S ；（Ⅱ）若△ABC的面积S等于2，求BD的最小值．【解答】解：（Ⅰ）因为b＝c，D是AC的中点，所以AD＝CD=b2=1，所以b＝c＝2，因为cos∠BDC=(b2)2+BD2−a22BD⋅b2=√24，即1+BD2−a22BD=√24，又因为∠ADB+∠BDC＝π，所以cos∠ADB＝﹣cos∠BDC=(b2)2+BD2−c22BD⋅b2=−√24，整理可得2BD2+√2BD﹣6＝0，解得BD=√2，可得22√2=√24，可得a=√2，在△ABD中，由正弦定理可得BDsinA =b2sin∠ABD，即sin A=2BD⋅sin∠ABDb=2×√2×√1482=√7 4，所以S△ABC=12bc sin A=12×2×2×√74=√72．（Ⅱ）取BC的中点F，连接AF交BD于O，则AF⊥BC，OF=13AF，作DE⊥BC，则E为CF的中点，设OF＝t，则AF＝3t，DE=12AF=3t2，因为S△BDC=12S△ABC＝1，而S△BDC=12DE•BC，所以BC=43t，BE=34BC=1t，所以BD2＝BE2+DE2=1t2+9t24≥2√94=3，当且仅当1t2=9t24，即t=√63时取等号，所以BD的最小值为√3．22．如图①，是由正三角形ABE和正方形BCDE组成的平面图形，其中AB＝2；将其沿BE 折起，使得AC＝2√2，如图②所示．（1）证明：图②中平面ABE⊥平面BCDE；（2）在线段AB上有一点P，且AP=13AB，求三棱锥P﹣ACE的体积．【解答】（1）证明：分别取BE，CD的中点O，M，连接AO，AM，OM，∵△ABE为正三角形且AB＝2，∴AO⊥BE，且AO=√3，∵BCDE为正方形，∴OM＝2，依题意，△ACD为等腰三角形，∵AC＝2√2，∴AM=√7，则AO2+OM2＝AM2，∴AO⊥OM，又∵BE∩OM＝O，且BE，OM⊂平面BCDE，∴AO⊥平面BCDE，∵AO⊂平面ABE，∴平面ABE⊥平面BCDE．（2）解：如图，取AP=13AB，连接PC，PE，EC，由（1）可得平面ABE⊥平面BCDE．则C到平面P AE的距离d＝|BC|＝2，∵AP=13AB，∴S△APE=13S△ABE，∵△ABE为正三角形，且AB＝2，∴S△ABE=13×2×2×sin60°=√3，∴S△APE=13S△ABE=√33，所以，三棱锥P﹣AEC的体积V P﹣AEC=13d⋅S△APE=2√39．。

雅礼中学2021年上学期高一年级入学考试数 学时量：120分钟 满分：150分一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.已知集合{}2340=--<A x x x ，{}4,1,3,5=-B ，则=AB ( )A.{}4,1-B.{}1,5C.{}3,5D.{}1,32.已知0>a ，0>b ，则“>a b ”是“11+>+a b b a”的( ) A.充分不必要条件 B.必要要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.如图，△ABC 中，E 是AB 的中点，点F 满足2=BF FC ，则=EF ( )A.1263-+AB AC B.1263+AB AC C.1163-+AB AC D.1123+AB AC 4.在同一直角坐标系中，函数1=xy a ，1log 2⎛⎫=+ ⎪⎝⎭a y x (0>a 且1≠a )的图象可能是( ) A. B.C. D.5.已知向量()2,4=a ，()1,=b k ，且a 与b 的夹角为锐角，则实数k 的取值范围是( )A.1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B.1,22⎛⎫- ⎪⎝⎭C.1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭D.()1,22,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭6.将函数()sin2=f x x x 的图象沿x 轴向左平移()0>ϕϕ个单位后得到函数()g x .若()g x 为偶函数，则ϕ的最小值为( )A.12π B.6π C.4π D.512π 7.在△ABC 中，a 、b 、c ，分别为△ABC 的内角A 、B 、C 的对边，15=a 、10=b 、60=︒A .则cos =B ( )A.12-B.3-C.3-3D.38.已知{}min ,m n 表示实数m ，n 中的较小数，若函数()124min 3log ,log ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭f x x x ，当0<<a b 时，有()()=f a f b ，则( )A.6B.8C.9D.16二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分.)9.下列结论正确的是( )A.在三角形ABC 中，若>A B ，则sin sin >A BB.在锐角三角形ABC 中，不等式2220+->b c a 恒成立C.若sin2sin2=A B ，则三角形ABC 为等腰三角形D.在锐角三角形ABC 中sin sin cos cos +>+A B A B10.已知函数()()sin 0,0,2⎛⎫=+>><⎪⎝⎭f x A x A πωϕωϕ的部分图象如图所示，下列说法正确的是( ) A.函数()=y f x 的周期为πB.函数()=y f x 在2,36⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ππ单调递减 C.函数()=y f x 的图象关于直线512=-x π对称 D.该图象向右平移6π个单位可得2sin 2=y x 的图象11.如图，正方形ABCD 的长为2，O 为边AD 中点，射线OP 绕点O 按逆时针方向从射线OA 旋转至射线OD ，在旋转的过程中，记∠AOP 为x ，射线OP 扫过的正方形ABCD 内部的区域(阴影部分)的面积为()f x ，则下列说法正确的是( )A.142⎛⎫=⎪⎝⎭f πB.()f x 在,2⎛⎫⎪⎝⎭ππ上为减函数 C.()()4+-=f x f x πD.()f x 图像的对称轴是2=x π12.设函数()=y f x 和()=-y f x ，若两函数在区间[],m n 上的单调性相同，则把区间[],m n 叫做()=y f x 的“稳定区间”.已知区间[]1,2020为函数12⎛⎫=+ ⎪⎝⎭xy a 的“稳定区间”，则实数a 的可能取值是( )A.32-B.56-C.0D.132三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13.已知命题“∃∈x R ，210-+<mx x ”是假命题，则实数m 的取值范围是________. 14.已知a ，b 满足：3=a ，2=b ，4+=a b ，则-=a b ________.15.已知0>a ，0>b ，且21+=a b+的最大值为________.16.某市规定某工厂产生的废气必须过滤后才能排放.已知在过滤过程中，废气中的污染物P (单位：毫克/升)与过滤时间t (单位：小时)之间的函数关系式为：()0ktP t Pe -=(e 为自然对数的底数，0P 为污染物的初始含量)，过滤2小时后检测，发现污染物的含量为原来的1625.则=k ________；且至少需要过滤________小时后，才能使污染物的含量不超过初始值的110000.(参考数据：lg 20.3≈)四、解答题(本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.(10分)已知集合303⎧+⎫=<⎨⎬-⎩⎭x M xx ，集合{}2220N x x mx m =--<，其中0>m .(1)当2=m 时，求M N ；(2)若“∈x M ”是“∈x N ”的必要不充分条件，求实数m 的取值范围.18.(12分)已知函数()22sin cos 22222⎛⎫⎛⎫=-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x x x f x ππ. (1)求()f x 的最小正周期；(2)求()f x 在区间[]0,π上的最小值及单调减区间.19.(12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知1=a ，(1,3=-m ，()sin ,cos =A n A 且⊥m n .(1)求角A 的大小；(2)求△ABC 周长的取值范围.20.(12分)已知△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且满足cos sin =+b a C c A .(1)求A 的大小；(2)若3cos 5=B ，5=BC ，17=BD BA ，求CD 的长. 21.(12分)湖南省第二届张家界园林博览会于2019年9月28日至11月28在张家界园博园举办，本届园林博览会以“辉煌张家界，生态林园博”为主题，展示张家界生态之美，文化之韵，吸引更多优秀企业来张投资，从而促进张家界经济快速发展.在此博览会期间，某公司带来了一种智能设备供采购商谈采购，并决定大量投放张家界市场.已知该种设备年固定研发成本为50万元，每生产一台需另投入80元，设该公司一年内生产该设备x 万台，且全部售完.且每万台的销售收入()G x (万元)与年产量x (万台)的函数关系式近似满足：()21802.0202000900070,20x x x x x G x -<≤⎧⎪=⎨+->⎪⎩. (1)写出年利润()W x (万元)关于年产量x (万台)函数解析式：(年利润=年销售收入-总成本)； (2)当年产量为多少万台时，该公司获得的利润最大？并求最大利润.22.(12分)设函数()-=-xxf x ka a (0>a 且1≠a )是定义域为R 的奇函数，()312=f . (1)求函数()f x 的解析式；(2)若()()222-=+-xx g x a a mf x 在[)1,+∞上的最小值为2-，求m 的值.雅礼中学2021上学期高一年级入学考试数学参考答案一、单项选择题二、多项选择题三、填空题13.14m ≥16.5ln4，40四、解答题17.【解析】(1)由303x x +<-，得33x -<<， 所以{}33M x x =-<<；当2m =时，由2280x x --<，得24x -<<，所以{}24N x x =-<<.所以{}23MN x x =-<<.(2)由2220x mx m --<及0m >，得2m x m -<<.即{}2N x m x m =-<<因为x M ∈是x N ∈的必要不充分条件，所以N 是M 的真子集所以323m m -≥-⎧⎨≤⎩，且等号不同时成立，解得32m ≤.又0m >，所以实数m 的取值范围是30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦.18.【解析】(1)()1cos 2sin cos sin 222x x xf x x x +=+-=+12sin 2sin 223x x x π⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 所以()f x 的最小正周期为2π. (2)因为[]0,x π∈，所以4,333x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦， 所以当433x ππ+=，即x π=时，函数()f x取得最小值 由4233x πππ≤+≤，得6x ππ≤≤， 所以函数()f x 的单调递减区间为,6ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 19.【解析】(1)由(1,m =-，()sin ,cos n A A =，且m n ⊥，得sin 0m n A A ⋅=-=，∴tan A =；又()0,A π∈.∴3A π=；(2)由(1)知3A π=，1a =，则1sin sin sin sin 3b c a B C A π====，∴b B =，c C =，22C A B B ππ=--=-，20,2B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；∴2311sin 322l a b c B B B B π⎛⎫⎛⎫=++=++-=++=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭12sin 6B π⎛⎫++ ⎪⎝⎭，又20,3B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， ∴5,666B πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭， ∴1sin ,162B π⎛⎫⎛⎤+∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦， ∴212sin 36B π⎛⎫<++≤ ⎪⎝⎭，ABC △周长的取值范围(]2,3. 20.【解析】(1)在ABC △中，由正弦定理得sin sin cos sin sin B A C C A =+，又()()sin sin sin B A C A C π=-+=+⎡⎤⎣⎦， 所以()sin sin cos sin sin A C A C C A +=+即sin cos cos sin sin cos sin sin A C A C A C C A +=+，整理得cos sin sin sin A C C A =， 因为sin 0C ≠可得cos sin A A =， 又0A π<<， 所以4A π=；(2)在ABC △中，4sin 5B ==，由4sin sin 52AC BC AC B A =⇒=，解得AC =又因为()cos cos cos cos sin sin C A B A B A B =-+=-+=， 所以2222cos 49AB AC BC AC BC C =+-⨯⨯⨯=，得7AB =，由17BD BA =得17BD BA =， 所以1BD =，所以2222cos 20CD BD BC BD BC B =+-⨯⨯⨯=，所以CD ==.21.【解析】(1)()()8050W x xG x x =--，∴()2210050,0209000101950,20x x x W x x x x ⎧-+-<≤⎪=⎨--+>⎪⎩. (2)当020x <≤时，()2210050W x x x =-+- ()22251200x =--+，在(]0,20上单调递增， ∴当20x =时，()W x 取得最大值()max 22512001150W x =-⨯+=(万元)；当20x >时，()9000195010W x xx =--9001950101950101350x x ⎛⎫=-+≤-⨯= ⎪⎝⎭. 当且仅当900x x=，即30x =时，等号成立. ∴()max 1350x W =(万元).答：当年产量为30万台时，该公司获得的利润最大，最大利润为1350万元.22.【解析】(1)由题意知：()00f =，即()00010f ka a k =-=-=， 解得：1k =，∴()x x f x a a -=-，由()312f =，得：()1312f a a -=-=， 即22320a a --=，解得：2a =，或12a =-(舍去)， ∴()22x x f x -=-； (2)由(1)得，()()()()22222222222222x x x x x x x x g x m m ----=+--=---+， 令22x x t -=-，易知：22x x t -=-在[)1,+∞上单调递增， 故当1x ≥时，113222t -≥-=， ∴函数()g x 转化为()222h t t mt =-+，对称轴为：t m =， ①当32m ≥时， ()()22min 222h t h m m m ==-+=-，即24m =，解得2m =，或2m =-(舍去)； ②当32m <时，()min 3932224h t h m ⎛⎫==-+=- ⎪⎝⎭， 解得2512m =(舍去)； 综上所述：2m =.。

雅礼中学2022年高一上学期第一次检测数 学本试卷满分150分，考试时间120分钟．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．命题“x ∀∈R ，23230x x -->”的否定为（ ） A ．x ∀∈R ，23230x x --≤ B ．x ∀∉R ，23230x x --≤ C ．x ∃∈R ，23230x x --≤D ．x ∃∉R ，23230x x --≤【分析】利用含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论，求解即可． 【解析】解：由含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论可得， 命题“x ∀∈R ，23230x x -->”的否定为：x ∃∈R ，23230x x --≤． 故选：C ．2．已知集合{}33A y y =-≤≤，{}3B x x =≥-，则A B =（ ）A ．[)3,-+∞B ．[)0,+∞C ．(]3,3-D ．[]3,3-【分析】直接进行交集的运算即可．【解析】解：∵{}33A y y =-≤≤，{}3B x x =≥-； ∴[]3,3AB =-．故选：D ．3．等式a b a b +=+成立的充要条件是（ ）A ．0ab =B ．0ab >C ．0ab ≥D ．0ab ≤ 【分析】根据a 、b 取值分类讨论即可．【解析】解：当a 、b 同号或为0时满足等式||||||a b a b +=+，当a 、b 异号时不满足等式||||||a b a b +=+，∴等式||||||a b a b +=+成立的充要条件是0ab …． 故选：C ． 4．若0x >，则42x x+-有（ ） A ．最小值1 B ．最小值2 C ．最大值1 D ．最大值2【分析】利用基本不等式的性质即可得出． 【解析】解：∵0x >，∴4222x x +-≥=，当且仅当4x x =，2x =时取等号．因此42x x+-的最小值为2． 故选：B ．5．图中阴影部分所表示的集合是（ ）A ．U NM ðB ．U MN ð C ．MNN ðD ．()()U UMN 痧【分析】由图象可知元素属于N 但不属于M ，则阴影部分对应的集合为()U M N ð．【解析】解：由Venn 图，元素属于N 但不属于M ， 即阴影部分对应的集合为U N M ð，故选：A ．6．已知实数x ，y 满足41x y -≤-≤-，125x y -≤-≤，则y 的取值范围是（ ） A ．{}09y y ≤≤B ．{}54y y -≤≤C ．{}113y y ≤≤D ．{}013y y ≤≤【分析】利用不等式的性质进行运算即可得出． 【解析】解：令x y m -=，2x y n -=，则2x n my n m =-⎧⎨=-⎩，∵41x y -≤-≤-，125x y -≤-≤， 即41m -≤≤-，15n -≤≤ ∴228m ≤-≤ ∴1213n m ≤-≤ 即113y ≤≤ 故选：C ．7．已知集合{}21,S s s n n ==-∈Z ，{}41,T t t n n ==+∈Z ，则S T =（ ）A ．SB ．TC ．RD ．∅【分析】由集合{}21,S s s n n ==-∈Z ，{}41,T t t n n ==+∈Z ，推导出T S ⊆，由此能求出ST ．【解析】解：任取t T ∈则()412213t n n =+=-+，n ∈Z ，t S ∴∈，T S ∴⊆，∴S T S =．故选：A ．8．已知不等式20ax x c ++≥的解集为R，且不等式)()2102x a c x a c +++-≥的解集为R ，则()20cx a c x a +++≥的解集是（ ）A ．∅B ．RC ．{}0D ．不能确定【答案】B【解析】∵不等式20ax x c ++≥的解集为R ；不等式)()2102x a c x a c +++-≥的解集为R∴)()214001402a a a a c c c ⎧⎪>⎪⎪⎨⎪⎡⎤⎡⎤⎪+-+-≤⎢⎥⎣⎪=-≤⎦=⎦⎣⎩△△解得：1212a c ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴()20cx a c x a +++≥转化为211022x x ++≥ ∵410221211a ⎧=>⎪⎪⎨⎪⨯⎪=⨯=⎩-△，抛物线开口向上∴不等式()20cx a c x a +++≥恒成立即不等式()20cx a c x a +++≥的解集为R故选：B ．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2019-2020学年湖南省长沙市第一中学高一上学期期中数学试题一、单选题1．设集合{|21,}A x x k k ==+∈Z ，则（ ） A ．3A ⊆ B ．3A ∈ C ．3A ∉ D ．3 A【答案】B【解析】根据元素与集合的关系以及表示方法即可求解. 【详解】由21,x k k =+∈Z ，可得x 表示的是奇数， 所以3A ∈， 故选：B 【点睛】本题考查了元素与集合之间的关系以及表示方法，属于基础题. 2．下列函数既是偶函数又有零点的是（ ） A ．21y x =+ B ．||2x y = C ．2y x x =+ D ．1lg ||y x =+【答案】D【解析】利用函数的奇偶性定义以及函数的零点定义即可求解. 【详解】对于A ，函数21y x =+为偶函数，令210y x =+=，方程无解，故函数无零点，A 不选；对于B ，函数||2x y =为偶函数，令||20x y ==，方程无解，故函数无零点，B 不选；对于C ，函数2y x x =+为非奇非偶函数，C 不选；对于D ，函数1lg ||y x =+为偶函数，令1lg ||0y x =+=，解得110x =±，故函数有零点，D 符合题意； 故选：D 【点睛】本题考查了函数的奇偶性以及函数的零点，需掌握函数奇偶性定义和零点定义，属于基础题.3．函数f （x ），g （x ）由如下表格给出，则f （g （3））=（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】A【解析】通过表格求出g （3）的值，然后求解f （g （3））的值． 【详解】由表格可知，g （3）＝2， ∴f （g （3））＝f （2）＝4． 故选：A ． 【点睛】本题考查函数值的求法，考查两次对应，考查计算能力．4．函数()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()4x f x m =+，则12f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭( ) A ．1 B ．2- C ．1-D ．32-【答案】C【解析】由题意可得()00f =，进而求出1m =-，再利用函数为奇函数可得1122f f ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，代入解析式即可求解 【详解】由函数()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()4xf x m =+，则()00f =，即040m +=，解得1m =-， 所以()41xf x =-又1122f f ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1214112f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，所以112⎛⎫-=- ⎪⎝⎭f ， 故选：C 【点睛】本题考查了奇函数的性质，利用函数的奇偶性求函数值，解题的关键是求出参数值，属于基础题.5．函数()f x 与()xg x a =互为反函数，且()g x 过点()2,4-，则()()12f f +=( )A ．1-B ．0C ．1D ．14【答案】A【解析】利用反函数的定义以及性质求出()f x 的解析式，代入即可求解. 【详解】由题意可得()log a f x x =，又()g x 过点()2,4-，则()4,2-在()f x 上，即2log 4a -=，解得12a =，所以()12log f x x =，所以()()1122log 1l 1og 20121f f +=+=-=-，故选：A 【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的关系以及反函数的性质，属于基础题.6．根据表格中的数据，可以断定方程e 20x x --=的一个根所在的区间是( )A ．(1,0.5)-B ．()1,0-C ．()1,2D ．()2,3【答案】C【解析】利用零点存在性定理即可判断.【详解】令()2xf x e x =--，由表中数据可得()1 2.7230.280f =-=-<，()27.394 3.390f =-=>，所以()()120f f ⋅<， 故函数零点所在的区间为()1,2. 故选：C 【点睛】本题考查了零点存在性定理的应用，需熟记定理的内容，属于基础题.7．如图，在直三棱柱111ABC A B C -(侧棱1AA 垂直于底面ABC 中，D 为11A B 的中点，12AB BC BB ===，25AC =，则异面直线BD 与AC 所成的角为（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°【答案】C【解析】取11B C 的中点E ，连接,DE BE ，得BDE ∠或其补角为所求，在DEB ∆中求解角即可. 【详解】如图，取11B C 的中点E ，连接,DE BE ，则11DE AC AC P P ， 故BDE ∠或其补角为所求异面直线BD 与AC 所成的角，又5BD BE ==5DE所以DEB ∆为等边三角形，所以60DEB ∠=o ， 故选：C 【点睛】本题考查了求异面直线所成角的大小，解题的关键是找到与异面直线所成角的大小相等的两角，属于基础题.8．我们处在一个有声世界里,不同场合,人们对声音的音量会有不同要求．音量大小的单位是分贝()dB ,对于一个强度为I 的声波，其音量的大小η可由如下公式计算：10lgII η=⋅(其中0I 是人耳能听到的声音的最低声波强度)，设170dB η=的声音强度为1I ，260dB η=的声音强度为2I ，则1I 是2I 的（ ） A ．76倍 B ．10倍C ．7610倍D ．7ln 6倍【答案】B【解析】根据题意代入170dB η=，260dB η=，得到方程组，然后将两式相减，整理化简后得到12I I 的值，得到答案. 【详解】因为010lgI I η=⋅， 代入170dB η=，260dB η=，得10207010lg 6010lg I I I I ⎧=⋅⎪⎪⎨⎪=⋅⎪⎩，两式相减，得12001010lglg I I I I ⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭得到12lg1I I =，即1210II =， 故选：B. 【点睛】本题考查利用已知函数模型解决问题，对数运算公式，属于简单题. 9．下列不等式中不成立的是（ ）A ．0.50.556<B ．22log 3log 5<C ．0.23log 0.83-<D ．0.30.40.10.1<【答案】D【解析】利用指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质，即可判断. 【详解】对于A ，0.5y x =为增函数，0.50.556∴<，故A 正确； 对于B ，2log y x =为增函数，22log 3log 5∴<，故B 正确； 对于C ，33log 0.8log 10<=，0.230->，0.23log 0.83-∴< ，故C 正确；对于D ，0.1xy =为减函数，则0.30.40.10.1>，故D 不正确； 故选：D 【点睛】本题考查了指数函数、对数函数、幂函数的性质，属于基础题.10．若三棱锥P ABC -中，PA PB ⊥，PB PC ⊥，PC PA ⊥，且1PA =，2PB =，3PC =，则该三棱锥外接球的表面积为（）A ．72π B ．14π C ．28π D ．56π【答案】B【解析】将棱锥补成长方体，根据长方体的外接球的求解方法法得到结果. 【详解】根据题意得到棱锥的三条侧棱两两垂直，可以以三条侧棱为长方体的楞，该三棱锥补成长方体，两者的外接球是同一个，外接球的球心是长方体的体对角线的中点处。