湖南省长沙市雅礼中学2018-2019学年高一上期中考试数学试题

湖南省长沙二十一中2018-2019学年高一数学上学期期中试题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题）一．选择题（共12小题，每题5分，共60分）1．已知集合A={x|x2﹣1=0}，则下列式子表示正确的有（）①1∈A②{﹣1}∈A③{0}⊆A④{1，﹣1}⊆A．A．1个B．2个C．3个D．4个2．对于集合A={x|0≤x≤2}，B={y|0≤y≤3}，则由下列图形给出的对应f中，能构成从A到B的函数的是（）A．B．C．D．3．下列各组函数中，表示同一函数的是（）A．f（x）=，g（x）=（）2B．f（x）=（x﹣1）0，g（x）=1C．f（x）=，g（x）=x+1D．f（x）=，g（t）=|t|4．函数的定义域为（）A．（﹣1，+∞）B．[﹣1，+∞）C．[﹣1，0）∪（0，+∞）D．（﹣1，0）∪（0，+∞）5．已知集合M={0，1，2}，则下列关系式正确的是（）A．{0}∈MB．{0}∉MC．0∈MD．0⊆M6．下列计算正确的是（）A．（a3）2=a9B．log26﹣log23=1C．a•a=0D．log3（﹣4）2=2log3（﹣4）7．已知集合，则M∩N=（）A．{0，1}B．{﹣1，0}C．{﹣1，0，1}D．{﹣2，﹣1，0，1，2}8．函数f（x）=的定义域为（）A．（3，+∞）B．[3，+∞）C．（3，4]D．（﹣∞，4]9．已知f（x）是R上的偶函数，且在（﹣∞，0）上是增函数，设，b=f（log43），c=f（0.4﹣1.2）则a，b，c的大小关系为（）A．a＜c＜bB．b＜a＜cC．c＜a＜bD．c＜b＜a10．下列结论：（1）函数y=和y=（）2是同一函数；（2）函数f（x﹣1）的定义域为[1，2]，则函数f（3x2）的定义域为[0，]；（3）函数y=log2（x2+2x﹣2）的递增区间为（﹣1，+∞）；其中正确的个数为（）A．0个B．1个C．2个D．3个11．设函数的定义域为A，关于x的不等式log22x+1＜a的解集为B，且A∩B=A，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，3）B．（0，3]C．（5，+∞）D．[5，+∞）12．把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是θ1℃，空气的温度是θ0℃，tmin后物体的温度θ℃可由公式求得．把温度是100℃的物体，放在10℃的空气中冷却tmin后，物体的温度是40℃，那么t的值约等于（参考数据：ln3取1.099，ln2取0.693）（）A．6.61B．4.58C．2.89D．1.69。

2019-2020学年湖南省长沙市雅礼中学高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 命题“∃x ∈R ，x 2+2x +a ≤0”的否定是( )A. ∀x ∈R ，x 2+2x +a ≤0B. ∃x ∈R ，x 2+2x +a >0C. ∀x ∈R ，x 2+2x +a >0D. ∃x ∈R ，x 2+2x +a ≤02. 已知集合M ={x|−1<x <2}，N ={x|x(x +3)≤0}，则M ∩N =( )A. [−3,2)B. (−3,2)C. (−1,0]D. (−1,0)3. a 3√a⋅√a 45(a >0)的值是( )A. 1B. aC. a 15D. a 17104. 已知f(x −1)=2x +1，则f(3)的值是( )A. 5B. 9C. 7D. 85. 若实数a,b ∈R 且a >b ，则下列不等式恒成立的是( )A. a 2>b2B. ab >1 C. 2a>2b D. lg(a −b)>06. 若集合A ={x|x > −1}，则( )A. 0⊆AB. {0}⊆AC. {0}∈AD. ⌀∈A7. 已知p ：ab >0，q ：b a +ab ≥2，则p 与q 的关系是( )A. p 是q 的充分而不必要条件B. p 是q 的必要而不充分条件C. p 是q 的充分必要条件D. 以上答案都不对8. 已知a ，b >0，且a ，b ≠1，(e a )b =e ，函数f(x)=log a x 与函数g(x)=b −x 的图象可能是()A. B.C. D.9. 已知f(x)=ax 3+bx +2(ab ≠0)，若f(2018)=k ，则f(−2018)=( )A. kB. −kC. 4−kD. 2−k10. 已知x ，y 是正实数，则下列运算中正确的是( )A. 3lgx+lgy =3lgx +3lgyB. 3lg(x+y)=3lgx ·3lgyC. 3lg x ·lg y=3lg x +3lg y D. 3lg (xy)=3lg x ·3lg y11. 若函数f (x )={a x , x ≥1(4−a 2)x +2, x <1是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围是( )A. (1,+∞)B. [1,8)C. (4,8)D. [4,8) 12. 设a =ln 13，b =20.3，c =(13)2，则( )A. a <c <bB. c <a <bC. a <b <cD. b <a <c二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知幂函数y =f(x)的图像过点(2,√2)，则f(16)的值是________．14. (14)−2+(6√2)0−2713=_______． 15. 定义在R 上的偶函数f(x)在(−∞,0]上递减，f(−1)=0，则满足f(log 2x)>0的x 的取值范围是______ ．16. 已知函数f (x )=√2−x log 2(2x−1)，则函数f (x )的定义域为________． 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知f(x)=x 2−(a +b)x +3a ．(1)若不等式f(x)≤0的解集为[1,3]，求实数a ，b 的值；(2)若b =3，求不等式f(x)>0的解集．18. 已知函数f(x)=a x−1(x ≥0)的图象经过点(2,12)，其中a >0且a ≠1．(1)求a 的值；(2)求函数y =f(x)(x ≥0)的值域．19. 设f(x)是R 上的奇函数，且当x ∈[0,+∞)时，f(x)=x(x +3x).求：(1)f(−8)；(2)f(x)在R上的解析式．20.某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P(单位：mg/L)与时间t(单位：ℎ)间的关系为P=P0e−kt，其中P0，k是正的常数.如果在前5h消除了10%的污染物，那么(1)10ℎ后还剩百分之几的污染物？(2)污染物减少50%需要花多少时间(精确到1ℎ)？(lg2≈0.3010,lg3≈0.4771)21.已知函数f(x)=3x2+bx+c，不等式f(x)>0的解集为(−∞,−2)∪(0,+∞)．(1)求函数f(x)的解析式；(2)若对于任意的x∈[−2,2]，f(x)+m≤3都成立，求实数m的最大值．22.已知二次函数f(x)=ax2+bx+c，其中常数a，b，c∈R．(1)若f(3)=f(−1)=−5，且f(x)的最大值是3，求函数f(x)的解析式；(2)a=1，若对任意的x1，x2∈[−1,1]，有|f(x1)−f(x2)|≤4，求b的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“∃x ∈R ，x 2+2x +a ≤0”的否定是：∀x ∈R ，x 2+2x +a >0．故选：C ．利用特称命题的否定是全称命题，写出结果即可．本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题．2.答案：C解析：【分析】本题主要考查了一元二次不等式的解法，交集及其运算，考查学生的计算能力，属于基础题． 根据题意求出集合N ，从而即可得M ∩N ．【解答】解：∵集合N ={x|x(x +3)≤0}，∴N ={x|−3≤x ≤0}，又∵集合M ={x|−1<x <2}，∴M ∩N =(−1,0]，故选C ．3.答案：D解析：【分析】本题考查了分数指数幂的运算，属于基础题．将根式化为分数指数幂的形式，从而计算．【解答】 解：3√a⋅√a 45>0)=a 3·a −12·a −45 =a 3−12−45=a 1710． 故选D ．4.答案：B解析：本题考查函数的解析式的求法，考查计算能力．直接利用函数的解析式，求解函数值即可．【解答】解：f(x−1)=2x+1，则f(3)=f(4−1)=2×4+1=9．故选：B．5.答案：C解析：【分析】本题考查不等式的性质，是基础题．只需对各个选项逐一验证即可．【解答】解：对于A，B，a=1，b=−2不成立；对于D，a=12，b=13不成立，对于C，根据函数的图象与不等式的性质可知：当a>b时，2a>2b为正确选项，故选C．6.答案：B解析：【分析】本题考查元素与集合的关系，集合与集合之间的关系，属于基础题．根据元素和集合之间的关系以及集合和集合之间的关系进行解答，对各个选项逐一判断．【解答】解：集合A={x|x>−1}，则0∈A，{0}⊆A，ϕ⊆A，故选B．7.答案：C解析：本题考查了充分必要条件，考查基本不等式，属于基础题．当ab>0时，则ba >0，ab>0，利用基本不等式可得ba+ab≥2；当ba+ab≥2时，即(a−b)2ab≥0，故ab>0.据充分必要条件的定义判断即可．【解答】解：若ab>0，则ba >0，ab>0，∴ba +ab≥2，当且仅当ba=ab时等号成立，故p⇒q成立．若ba +ab≥2，则a2+b2ab≥2，∴a2+b2−2abab ≥0，即(a−b)2ab≥0．∵(a−b)2≥0，∴ab>0，故q⇒p成立，即p是q的充分必要条件，故选C．8.答案：B解析：【分析】本题考查了函数图象的应用，涉及到对数函数、指数函数以及互为反函数性质的应用．通过化简，得到f(x)=log a x与g(x)=a x(a>0,a≠1)互为反函数，故f(x)与g(x)的图象关于直线y=x对称，结合选项得到结果．【解答】解：∵(e a)b=e，∴ab=1，∴b=1a，∴g(x)=b−x=a x，∴f(x)=log a x与g(x)=a x(a>0,a≠1)互为反函数，∴f(x)与g(x)的图象关于直线y=x对称，故选B．9.答案：C解析：解：f(2018)=a⋅20183+b⋅2018+2=k；∴a⋅20183+b⋅2018=k−2；∴f(−2018)=−a⋅20183−b⋅2018+2=−k+2+2=4−k．根据f(2018)=k 即可得出a ⋅20183+b ⋅2018=k −2，从而可求出f(−2018)．考查奇函数的定义，已知函数求值的方法．10.答案：D解析：【分析】本题考查指对数的运算．根据指对数的运算法则求解．【解答】解：根据指数与对数的运算法则可知，3lg x+lg y =3lg x ·3lg y ，故A 错，B 错，C 错；D 中，3lg(xy)=3lg x +lg y =3lg x ·3lg y ，正确故选D ．11.答案：D解析：【分析】本题考查函数的单调性，考查学生对分段函数单调性质的理解，注意数形结合思想在分析本题中的应用．欲使函数f(x)在R 上递增，须有f(x)在(−∞,1)，[1,+∞)上递增，且满足(4−a 2)·1+2≤a 1，联立解不等式组即可．【解答】解：因为函数f(x)是R 上的增函数，所以有{a >14−a 2>0(4−a 2)⋅1+2≤a 1⇒{a >1a <8a ≥4⇒4≤a <8， 故选D ． 12.答案：A解析：【分析】本题考查三个数的大小的比较，考查指数函数、对数函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．利用指数函数、对数函数的性质直接求解．【解答】解：∵a =ln 13<ln1=0，b =20.3>20=1，0<c =(13)2<(13)0=1， ∴a <c <b ．故选：A ．13.答案：4解析：【分析】本题考查了幂函数和待定系数法．利用待定系数法求出幂函数的解析式，再根据所得函数的解析式计算函数的值得结论．【解答】解：∵设幂函数解析式y =x α，其图象过点(2,√2)，则2α=√2，∴α=12，故函数的解析式为f(x)=√x ， ∴f(16)=4．故答案为4． 14.答案：14解析：【分析】本题考查指数幂的运算．根据幂的运算即得答案．【解答】解：(14)−2+(6√2)0−2713=42+1−(33)13=16+1−3=14． 故答案为14．15.答案：(0,12)∪(2,+∞)解析：解：∵偶函数f(x)在(−∞,0]上递减，f(−1)=0，∴函数f(x)在(0,+∞]上递增，f(1)=0，则f(log 2x)>0等价为f(|log 2x|)>f(1)，即|log 2x|>1，即log 2x >1或log 2x <−1，得x >2或0<x <12，故答案为：(0,12)∪(2,+∞)根据函数奇偶性和单调性的关系，将不等式进行转化，结合绝对值不等式以及对数不等式的解法进行求解即可．本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性和单调性的关系将不等式进行转化是解决本题的关键． 16.答案：(12,1)∪(1,2)解析：【分析】本题考查函数的定义域，涉及对数函数的性质，属于基础题．【解答】解：由条件可知{2−x ≥02x −1>0log 2(2x −1)≠0，解得{x ≤2x >12x ≠1，所以12<x ≤2，且x ≠1．则函数f (x )的定义域为(12,1)∪(1,2)．故答案为(12,1)∪(1,2)． 17.答案：解：(1)∵函数f(x)=x 2−(a +b)x +3a ，当不等式f(x)≤0的解集为[1,3]时，方程x 2−(a +b)x +3a =0的两根为1和3，由根与系数的关系得{a +b =1+33a =1×3, 解得a =1，b =3；(2)当b =3时，不等式f(x)>0可化为x 2−(a +3)x +3a >0，即(x −a)(x −3)>0；∴当a >3时，原不等式的解集为：{x|x <3或x >a}；当a <3时，原不等式的解集为：{x|x <a 或x >3}；当a =3时，原不等式的解集为：{x|x ≠3,x ∈R}．综上可得：当a <3时，原不等式的解集为：(−∞,a)∪(3,+∞)，当a =3时，原不等式的解集为：(−∞,3)∪(3+∞)，当a >3时，原不等式的解集为：(−∞,3)∪(a +∞)．解析：本题考查了含有字母系数的一元二次不等式的解法和应用问题，是基础题目．(1)由一元二次不等式与对应方程的关系，利用根与系数的关系即可求出a 、b 的值；(2)利用分类讨论法求出b =3时不等式f(x)>0的解集．18.答案：解：(1)由题意得f(2)=a 2−1=a =12所以a =12(2)由(1)得f(x)=(12)x−1(x ≥0)因为函数f(x)=(12)x−1在[0,+∞)上是减函数所以当x =0时f(x)由最大值所以f(x)max =2所以f(x)∈(0,2]所以函数y =f(x)(x ≥0)的值域为(0,2]．解析：(1)由f(x)的图象过点(2,12)所以f(2)=a 2−1=a =12即a =12．(2)先判断函数f(x)=(12)x−1在[0,−∞)上是减函数，所以f(x)max =2，所以f(x)∈(0,2]．本题属于基础题型主要考查利用函数的单调性求函数的最值，在高考中以选择题或填空题的形式考查． 19.答案：解：(1)∵当x ∈[0,+∞)时，f(x)=x(x +3x)，∴f(8)=8×(8+24)=256，∵f(x)是R 上的奇函数，∴f(−8)=−f(8)=−256；(2)设x <0，则−x >0，∵当x ∈[0,+∞)时，f(x)=x(x +3x)，∴f(−x)=−x(−x −3x)=x(x +3x)，∵f(x)是R 上的奇函数，∴f(x)=−f(−x)=−x(x +3x)，综上得，f(x)={x(x +3x),x ≥0−x(x +3x),x <0．解析：(1)根据解析式先求出f(8)，由奇函数的性质求出f(−8)；(2)设x <0则−x >0，代入解析式化简得f(−x)，由奇函数的性质求出f(x)，利用分段函数表示出 f(x)．本题考查了利用函数奇偶性的性质求函数值和解析式，考查转化思想，属于基础题．20.答案：解：(1)由P =P 0e −kt ，可知，当t =0时，P =P 0，当t =5时，P =(1−10%)P 0，于是有(1−10％)P 0=P 0e −5k ，解得k =−15ln0.9，那么P =P 00.9t5，∴当t =10时，P =0.81P 0=81%P 0．∴10个小时后还剩81%的污染物；(2)当P =50%P 0时，有，解得，∴污染物减少50%大约需要花33个小时．解析：本题考查了函数模型的选择及应用，关键是对题意的理解，由题意正确列出相应的等式，考查了计算能力，是中档题．(1)由5小时后剩留的污染物列等式求出P =P 0e −kt 中k 的值，得到具体关系式后代t =10求得10个小时后还剩污染物的百分数；(2)由污染物减少50%，即P =50%P 0，列等式，即可求解污染物减少50%所需要的时间． 21.答案：解：(1){f(0)=0f(−2)=0，可得{c =012−2b =0，解得{c =0b =6， ∴f(x)=3x 2+6x ； (2)f(x)+m ≤3即m ≤−3x 2−6x +3，而x ∈[−2,2]时，函数y =−3x 2−6x +3的对称轴为：x =−1，开口向下，所以函数的最小值为f(2)=−21，∴m ≤−21，实数m 的最大值为−21．解析：本题考查函数与方程的应用，函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力．(1)利用二次不等式的解集，列出方程组，求解即可．(2)通过分离变量，利用二次函数的性质，求解函数的最值推出结果．22.答案：解：(1)由题意得：{9a +3b +c =−5a−b +c =−54ac−b 24a=3， 解得：a =−2，b =4，c =1，∴f(x)=−2x 2+4x +1；(2)函数f(x)=x 2+bx +c 对任意的x 1，x 2∈[−1,1]，有|f(x 1)−f(x 2)|≤4恒成立， 即f(x)max −f(x)min ≤4，记f(x)max −f(x)min =M ，则M ≤4．当|−b 2|>1，即|b|>2时，M =|f(1)−f(−1)|=|2b|>4，与M ≤4矛盾；当|−b 2|≤1，即|b|≤2时，M =max{f(1),f(−1)}−f(−b 2)=f(1)+f(−1)+|f(1)−f(−1)|2−f(−b 2)=(1+|b|2)2≤4，解得：|b|≤2，即−2≤b ≤2，综上，b 的取值范围为−2≤b ≤2．解析：(1)结合题意得到关于a ，b ，c 的方程组，解出即可；(2)若对任意的x 1，x 2∈[−1,1]，有|f(x 1)−f(x 2)|≤4，f(x)max −f(x)min ≤4，结合二次函数的图象和性质分类讨论，可得实数b 的取值范围．本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解答的关键．。

湖南省长沙市雅礼中学2019-2020学年高一数学上学期期中试题（含解析）一、选择题（每小题5分，共60分）1.命题“2000,10x x x ∃∈++<R ”的否定为（ ） A. 2000,10x x x ∃∈++≥RB. 2000,10x x x ∃∈++≤RC. 2,10x R x x ∀∈++≥ D. 2,10x x x ∀∉++≥R【答案】C 【解析】 【分析】特称命题的否定为全称命题。

【详解】由题意得原命题的否定为2,10x R x x ∀∈++≥. 故选C.【点睛】本题考查含有一个量词的命题的否定，全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题.2.已知集合{}}242{60M x x N x x x =-<<=--<，，则M N ⋂=A. }{43x x -<<B. }{42x x -<<-C. }{22x x -<<D.}{23x x <<【答案】C 【解析】 【分析】本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．采取数轴法，利用数形结合的思想解题．【详解】由题意得，{}{}42,23M x x N x x =-<<=-<<，则{}22M N x x ⋂=-<<．故选C ．【点睛】不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分．3.2的结果为（ ）A. 32aB. 16a C. 56a D. 65a【答案】C 【解析】 【分析】利用同底数幂运算法则完成计算.75222266271362a a aa a aa-====⋅，故选：C【点睛】本题考查同底数幂的计算，难度较易.一般有：rsr sa a a+⋅=，rr s s a a a-=. 4.若2(21)2f x x x +=-，则(2)f 的值为（ ）A. 34-B.34C. 0D. 1【答案】A 【解析】 【分析】先令212x +=得12x =，代入原式，即可求出结果. 【详解】令212x +=得12x =，代入2(21)2f x x x +=-可得：2113(2)2224⎛⎫=-⋅=- ⎪⎝⎭f .故选：A【点睛】本题主要考查由解析式求函数值，利用赋值法即可求解，属于基础题型. 5.若,,a b c ∈R 且a b >，则下列不等式成立的是( ) A. 22a b >B.11a b< C. ||||a c b c >D.2211a bc c >++ 【答案】D 【解析】【分析】利用不等式的性质对四个选项逐一判断.【详解】选项A: 0,1a b ==-，符合a b >，但不等式22a b >不成立，故本选项是错误的； 选项B:当0,1a b ==-符合已知条件，但零没有倒数，故11a b<不成立 ，故本选项是错误的；选项C:当0c =时，a c b c >不成立，故本选项是错误的； 选项D:因为210c +>，所以根据不等式的性质，由a b >能推出2211a bc c >++，故本选项是正确的，因此本题选D.【点睛】本题考查了不等式的性质，结合不等式的性质，举特例是解决这类问题的常见方法. 6.设集合{}1,0,2A =-，集合{}|2B x x A x A 且=-∈-∉，则B =（ ） A. {}1B. {}2-C. {}1,2--D.{}1,0-【答案】A 【解析】试题分析：根据集合B 的定义可得，当1x =-时，23x A -=∉，所以1x B -=∈；当0x =时，22x A -=∈，所以0x B -=∉；当2x =时，20x A -=∈，所以2x B -=-∉；所以{}1B =.考点：集合的基本运算.7.若0,0a b >>，则“4a b +<”是“4ab <”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分条件与必要条件的概念，可直接判断出结果.【详解】因为0,0a b >>，由4a b +<可得：4≤+<a b ，因此4ab <；即“4a b +<”是“4ab <”的充分条件； 若4a =，18=b ，满足4ab <，但是不满足4a b +<，因此由“4ab <”不能推出“4a b +<”，即“4a b +<”不是“4ab <”的必要条件. 因此，“4a b +<”是“4ab <”的充分不必要条件. 故选：A【点睛】本题主要考查命题的充分不必要条件的判定，熟记充分条件与必要条件的概念即可，属于常考题型.8.已知0a >，且1a ≠，函数log ,,xa y x y a y x a ===+在同一坐标系中的图象可能是( )A. B. C. D.【答案】A 【解析】由题可知，当底数a>1时，指数函数与对数函数均为增函数，直线与y 轴的截距大于1，当底数0<a<1时，指数函数与对数函数均为减函数，直线与y 轴的截距小于1，故选A.9.已知532()1(,f x ax bx x x a b =++++为常数)，若(2)11f =，则(2)f -=（ ）A. 11-B. 1-C. 0D. 1【答案】B 【解析】 【分析】先由题意求出3284+=a b ，再直接计算(2)f -，即可得出结果. 【详解】因532()1(,f x ax bx x x a b =++++为常数)，由(2)11f =得：32842111++++=a b ，即3284+=a b ；因此(2)328421431-=--+-+=-+=-f a b . 故选：B【点睛】本题主要考查求函数的值，熟记函数概念即可，属于常考题型. 10. 已知x ，y 为正实数，则（ ） A. 2lgx+lgy =2lgx +2lgy B. 2lg （x+y ）=2lgx •2lgy C. 2lgx•lgy =2lgx +2lgy D. 2lg （xy ）=2lgx •2lgy【答案】D 【解析】因为a s+t=a s•a t，lg （xy ）=lgx+lgy （x ，y 为正实数）， 所以2lg （xy ）=2lgx+lgy =2lgx •2lgy ，满足上述两个公式， 故选D ．11.已知函数()25,1,1x ax x f x a x x⎧---≤⎪=⎨>⎪⎩是R 上的增函数，则实数a 的取值范围是（ ）A. [)3,0-B. (,2]-∞-C. []3,2--D.(),0-∞【答案】C 【解析】 【分析】首先保证()f x 在每一段上都为单调递增；再根据在R 单调增得分段处函数值的大小关系，可得a 的范围.【详解】当1x ≤时，()25f x x ax =---若函数为增函数，则：12a-≥，解得：2a ≤-当1x >时，()a f x x=若函数为增函数，则0a <()f x 在R 上为增函数，则15a a ---≤，解得：3a ≥-综上所述：[]3,2a ∈-- 本题正确选项：C【点睛】本题考查根据分段函数的单调性求解参数范围的问题，易错点是忽略分段处函数值的大小关系，造成求解错误.12.设1311ln ,log 22a b ==，则 （ ） A. 0a b ab +<<B. 0ab a b <+<C. 0a b ab +<<D.0ab a b <<+【答案】B 【解析】分析：先分析出ab<0,a+b<0，再利用作差法比较ab a b +和的大小关系得解. 详解：由题得1ln2a =＜ln1=0,131log 2b =>13log 10=. 所以ab<0. 1311ln 211ln 3lnlog ln 2ln 2(1)ln 2022ln 3ln 3ln 3a b -+=+=-+=-=⋅<. 所以11331111ln 2ln 2()ln log ln log ln 2ln 22222ln 3ln 3ab a b ab a b -+=--=⋅--=-⋅+-3lnln 21ln 3ln 212ln 2(1)ln 2ln 20ln 3ln 3ln 3ln 3e ---+-=⋅=⋅<，所以ab a b <+. 故答案为：B.点睛：（1）本题主要考查实数大小的比较和对数函数的性质，考查对数的运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和基本运算能力.(2)解答本题的关键是对数的运算. 二、填空题（每小题5分，共20分）13.已知幂函数()y f x =的图象过点(，则()9f =______．【答案】3 【解析】 【分析】先利用待定系数法代入点的坐标，求出幂函数()y f x =的解析式，再求()9f 的值.【详解】设()ay f x x ==，由于图象过点(,12,2aa ==， ()12y f x x ∴==，()12993f ∴==，故答案为3.【点睛】本题考査幂函数的解析式，以及根据解析式求函数值，意在考查对基础知识的掌握与应用，属于基础题.14.32==___________ 【答案】52【解析】 【分析】先由题意得到1134+=a a =，即可求出结果.【详解】32=，所以294=，即1924+-=a a ，所以1174+=a a ，52===. 故答案为：52【点睛】本题主要考查根式的化简求出，熟记根式的运算性质即可，属于常考题型. 15.已知偶函数()f x 在[)0,+∞单调递减，()20f =.若()10f x ->，则x 的取值范围是__________.【答案】(1,3)- 【解析】 因为()f x 是偶函数，所以不等式(1)0(|1)(2)f x f x f ->⇔-，又因为()f x 在[0,)+∞上单调递减，所以12x -<，解得13x -<<.考点：本小题主要考查抽象函数的奇偶性与单调性，考查绝对值不等式的解法，熟练基础知识是关键.16.若函数()(1)ln(2)f x a ax =--在区间()0,1上是减函数，则实数a 的取值范围是_____________【答案】()(],01,2-∞⋃ 【解析】 【分析】根据题意，结合对数型复合函数的单调性，分别讨论1a >，1a =，01a <<，0a =，0a <五种情况，即可得出结果.【详解】当1a >时，2t ax =-单调递减，10a ->，因此()(1)ln(2)f x a ax =--在定义域内是减函数，为使函数()(1)ln(2)f x a ax =--在区间()0,1上是减函数，只需220->-≥ax a ，即2a ≤，所以12a <≤；当1a =时，()0f x =非增非减，不满足题意；当01a <<时，2t ax =-单调递减，10a -<，因此()(1)ln(2)f x a ax =--在定义域内是增函数，不满足题意；当0a =时，()ln 2=-f x 非增非减，不满足题意；当0a <时，2t ax =-单调递增，10a -<，因此()(1)ln(2)f x a ax =--在定义域内是减函数，为使()(1)ln(2)f x a ax =--在区间()0,1上是减函数，只需220->>ax 显然成立，因此0a <满足题意；综上，实数a 的取值范围是()(],01,2-∞⋃. 故答案为：()(],01,2-∞⋃【点睛】本题主要考查由对数型复合函数的单调性求参数，熟记对数函数以及一次函数的单调性即可，属于常考题型.三、解答题（共6小题，共70分）17.若不等式2(1)40a x x b --+>的解集是{}31x x -<<.（1）求,a b 的值；（2）若关于x 的不等式230ax mx ++≥的解集为R ，求m 的取值范围. 【答案】（1）3a =，6b =；（2）66-≤≤m . 【解析】 【分析】（1）由不等式解集，得到3-和1是方程2(1)40--+=a x x b 的两个根，根据根与系数关系，列出方程组求解，即可得出结果；（2）根据题意得到24330∆=-⨯⨯≤m ，求解，即可得出结果.【详解】（1）因为不等式2(1)40a x x b --+>的解集是{}31x x -<<，所以3-和1是方程2(1)40--+=a x x b 的两个根；所以10431131a a ba⎧⎪-<⎪⎪=-+⎨-⎪⎪=-⎪-⎩，解得63b a =⎧⎨=⎩； （2）由（1），不等式230ax mx ++≥的解集为R ，可化为2330++≥x mx 的解集为R ， 因此，只需24330∆=-⨯⨯≤m ，解得66-≤≤m .【点睛】本题主要考查由不等式的解集求参数，以及一元二次不等式恒成立的问题，熟记三个二次之间关系即可，属于常考题型.18.已知函数()(0xf x a a =>且1)a ≠的图象经过点()2,9.（1）求a 的值；（2）b R ∈，比较(2)f b 与2(1)f b +的大小.【答案】（1）3a =；（2）2(1)(2)+≥f b f b . 【解析】 【分析】（1）由函数所过定点代入函数解析式，即可求出结果；（2）作差法比较2b 与21b +的大小，再由指数函数单调性，即可得出结果. 【详解】（1）因为函数()(0xf x a a =>且1)a ≠的图象经过点()2,9，所以29a =，解得3a =；（2）因为b R ∈，2212(1)0+-=-≥b b b ，所以212+≥b b ； 又指数函数()3xf x =单调递增，因此2(1)(2)+≥f b f b .【点睛】本题主要考查由函数过定点求参数，以及由指数函数单调性比较大小，熟记指数函数的及其性质即可，属于常考题型.19.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，2()22f x x x =-+.（1）求函数()f x 的解析式； （2）求函数()f x 的值域.【答案】（1）2222,0()0,022,0x x x f x x x x x ⎧---<⎪==⎨⎪-+>⎩；（2）(]{}[),101,-∞-+∞U U .【解析】 【分析】（1）根据0x >时的解析式，先求出0x <时，22()()2222-=-+=+++f x x x x x ，根据奇函数的定义，即可得出结果；（2）分情况讨论，结合二次函数的性质，即可得出结果. 【详解】（1）因为当0x >时，2()22f x x x =-+，因此0x <时，0x ->，22()()2222-=-+=+++f x x x x x ，又函数()f x 是定义在R 上的奇函数，所以(0)0f =，()()f x f x -=-，因此22()()()2222+-=-=-+=++f x f x x x x x ，即2()22=---f x x x ； 故，函数()f x 的解析式为2222,0()0,022,0x x x f x x x x x ⎧---<⎪==⎨⎪-+>⎩；（2）由（1），当0x <，22()22(1)1=--=---+f x x x x ，在(,1)-∞-上单调递增，在(1,0)-上单调递减，因此max ()(1)1=-=-f x f ；当0x >时，22()22(1)1f x x x x =-+=-+，在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，因此min ()(1)1f x f ==；又(0)0f =；所以，函数()f x 的值域为(]{}[),101,-∞-+∞U U .【点睛】本题主要考查由函数奇偶性求解析式，以及求分段函数的值域问题，熟记函数奇偶性的概念，以及二次函数的性质即可，属于常考题型.20.某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量(/)P mg L 与时间t(h)之间的关系为kt 0e P P -=．已知5h 后消除了10%的污染物，试求：（1）10h 后还剩百分之几的污染物．（2）污染物减少50%所需要的时间．（参考数据：ln 20.7≈，ln3 1.1≈，ln5 1.6≈）．【答案】（1）10个小时后还剩81%的污染物；（2）污染物减少50%所需要的时间为35个小时.【解析】试题分析：（1）由5小时后剩留的污染物列等式求出kt 0eP P -=中k 的值，得到具体关系式后代t=10求得10个小时后还剩污染物的百分数；（2）由污染物减少50%，即P=50%P 0列等式1ln0.9t 50050%e P P =求解污染物减少50%所需要的时间．试题解析：（1）由kt 0e P P -=，可知0t =时，0P P =，当5t =时，()5k 5k 00110%ee 0.9P P P --=-=⇒=， 所以1ln0.95k =-，当10t =时，1ln0.910ln0.815000e e 81%P P P P ⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭===，所以10个小时后还剩81%的污染物． （2）当050%P P =时，有1ln0.9t 50050%e P P =， 解得1lnln2ln20.7255559ln9ln10ln2ln52ln30.7 1.52 1.1ln 10t -=⋅=⋅=⋅=⋅-+-+-⨯ 35=，所以污染物减少50%所需要的时间为35个小时．点睛：解决函数模型应用的解答题，还有以下几点容易造成失分：①读不懂实际背景，不能将实际问题转化为函数模型．②对涉及的相关公式，记忆错误．③在求解的过程中计算错误.另外需要熟练掌握求解方程、不等式、函数最值的方法，才能快速正确地求解．含有绝对值的问题突破口在于分段去绝对值，分段后在各段讨论最值的情况.21.设函数()(0x x f x ka a a -=->且1)a ≠是定义域为R的奇函数. （1）若(1)0f >，试求不等式2(2)(4)0f x x f x ++->解集；（2）若3(1)2f =，且22()4()x xg x a a f x -=+-，求()g x 在[)1,+∞上的最小值. 【答案】（1）(,4)(1,)-∞-+∞U ；（2）2-.【解析】【分析】先由函数是奇函数求出1k =，得到()x x f x a a -=-；（1）根据(1)0f >得到1a >，1())(-=->x x f x a a a 单调递增；利用单调性转化不等式，求解，即可得出结果；（2）先由3(1)2f =得2a =，()()2()224222--=---+x x x x g x ，令22x x t -=-，先求出32t ≥，得到22()42(2)2=-+=--g t t t t 的单调性，从而可求出最小值. 【详解】因为函数()(0x x f x ka a a -=->且1)a ≠是定义域为R 的奇函数，所以00(0)10=-=-=f ka a k ，所以1k =，()x x f x a a-=-；经检验满足题意 （1）由(1)0f >得10a a ->，解得1a >或1a <-（舍）； 又指数函数(1)x y a a =>单调递增，(11)⎛⎫= ⎪⎝⎭>x a y a 单调递减； 因此1())(-=->x xf x a a a 单调递增；又不等式2(2)(4)0f x x f x ++->可化为2(2)(4)+>-f x x f x ；所以224x x x +>-，即2340x x +->，解得1x >或4x <-；即不等式的解集为：(,4)(1,)-∞-+∞U ； （2）因为3(1)2f =，所以132a a -=，即22320a a --=，解得2a =或12a =-（舍）； 因此()22x x f x -=-，所以()()()222()22422224222----=+--=---+x x x x x x x x g x ， 令22x x t -=-，易知22x x t -=-在[)1,x ∈+∞上单调递增，因此13222t ≥-=， 则23()42,2=-+≥g t t t t ， 又22()42(2)2=-+=--g t t t t 在3,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在(2,)+∞上单调递增；因此min ()(2)2==-g t g ，即()g x 在[)1,+∞上的最小值为2-.【点睛】本题主要考查由指数函数的单调性解不等式，以及求指数型复合函数的最值，熟记指数函数与二次函数的性质，以及函数奇偶性即可，属于常考题型.22.已知函数2()(,)f x x bx c b c R =++∈，对任意的x ∈R ，恒有2()x b f x +≤.（1）证明：当0x ≥时，2()()f x x c ≤+；（2）若对满足题设条件的任意,b c ，不等式22()()()f c f b M c b -≤-恒成立，求M 的最小值.【答案】（1）证明过程见详解；（2）32. 【解析】【分析】（1）先由题意得到2(2)0x b x c b +-+-≥恒成立，得2(2)4()0b c b ∆=---≤，得到214b c ≥+，推出1c ≥，≥=c b ，得到2()0c b c c b -=+->，再由作差法，即可得出结论成立；（2）先由（1）得到c b ≥，分别讨论c b >和c b =两种情况，构造适当的函数，求出取值范围，即可得出结果.【详解】（1）证明：由题设，对任意的x ∈R ，恒有22+≤++x b x bx c ，即2(2)0x b x c b +-+-≥恒成立，所以2(2)4()0b c b ∆=---≤，即214b c ≥+.于是1c ≥；且≥=c b ，因此2()0c b c c b -=+->. 故当0x ≥时，有2()()(2)(1)0+-=-+-≥x c f x c b x c c ，即当0x ≥时，2()()f x x c ≤+；（2）由（1）知，c b ≥， 当c b >时，有2222222()()2--+-+≥==--+f c f b c b bc b c b M c b c b c b， 令=b t c ，则11t -<<，所以2121+=-++c b c b t ， 而函数1()2(11)1=--<<+g t t t 的值域为3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭， 因此，当c b >时，M 的取值集合为3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭； 当c b =时，由（1）知，2b =±，2c =.此时()()8==-f c f b 或0，220-=c b ， 从而223()()()2-≤-f c f b c b 恒成立。

第1页（共6页） 第2页（共6页） 2018-2019学年湖南省长沙一中 高一上学期期中测试题 数学 （考试时间：120分钟，满分150分） 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷 一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，只有一个选项正确，请把答案写在答题卷上．．．．．．．．．．） 1．已知集合{}Z 1A x x =∈≤，且集合,A B 满足A B A ⋃=，则符合条件的集合B 共有 A ． 4个 B ． 8个 C ． 9个 D ． 16个 2．函数()=23x f x x +的零点0x 所在的区间是 A ． ()2,1-- B ． ()1,0- C ． ()0,1 D ． ()1,2 3．将正方体（如图1所示）截去两个三棱锥，得到如图2所示的几何体，则该几何体的左视图是 A ． B ． C ． D ．4．设1323a ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 2313b ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 1313c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则()f x 的大小关系是 A ． b c a >> B ． a b c >> C ． c a b >> D ． a c b >> 5．半径为R 的半圆卷成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的体积为 A ．3R B ．3R C ．3R D ．3R 6．一个几何体的三视图如图所示，已知这个几何体放入体积为，则为 A ．B ．C ．D ．7．若长方体1111ABCD A BC D -中， 1AB =， 11,B C C D 分别与底面ABCD 所成的角45°，60°，则长方体1111ABCD A BC D -的外接球的体积为 A ．6 B ．C ．D ．8．定义在R 上的奇函数()f x 满足： ()10f =，且在区间()0,+∞上单调递减，则不等式()0xf x >的解集是 A ． {}1,1x x x -或 B ． {}01,10x x x <<-<<或 C ． {}01,1x x x <<<-或 D ． {}10,1x x x -<或 9．已知,m n 表示两条不同的直线， α表示一个平面，给出下列四个命题： ①{ ||m m n n αα⊥⇒⊥；②{ ||m n m n αα⊥⇒⊥； ③||{ ||||m m n n αα⇒；④{ ||m m n n αα⊥⇒⊥. 其中正确命题的序号是此卷只装订不密封班级姓名准考证号考场号座位号第3页（共6页）第4页（共6页） A ． ①② B ． ②③ C ． ②④ D ． ①④10．衣柜里的樟脑丸，随着时间会挥发而体积缩小，刚放进的新丸体积为a ，经过t 天后体积与天数的t 的关系式为： e kt V a -=⋅，已知新丸经过50天后，体积变为49a ；若一个新丸体积变为827a ，则需经过的天数为A ． 75天B ． 100天C ． 125天D ． 150天11．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且()21,01,{ 1, 1.x x f x x x -≤<=≥偶函数()g x 的定义域为{}0x x ≠，且当0x >时， ()2log g x x =.若存在实数a ，使得()()f a g b =成立，则实数b 的取值范围是A ． 1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ． 12,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ． []2,2-D ． 112,,222⎡⎤⎡⎤--⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）12．已知幂函数()223222m m y m m x --=--在区间()0,+∞是减函数，则实数m 的值是__________．13．轴截面为正方形的圆柱的侧面积为8π，则此圆柱的体积为__________．14．如图，在三棱锥P ABC -中， ABC ∆与PBC ∆是边长为2的正三角形， 3PA =， D 为PA 的中点，则二面角D BC A --的大小为__________．15．已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上， SC 是球O 的直径，若平面SCA ⊥平面SCB ， SA AC =， SB BC =，三棱锥S ABC -的体积为83，则球O 的表面积为__________．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16．已知集合{}225120A x x x =--≥， (){}2log 2B x y x ==-.（1）求集合A B ⋂， ()R A B ⋃. （2）若集合{}22C x m x m =-≤≤且()R A C C ⋂=，求m 的取值范围. 17．如图，已知四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，侧棱PC ⊥底面ABCD ，且2PC =， E 是侧棱PC 上的动点. （1）求四棱锥P ABCD -的表面积； （2）是否在棱PC 上存在一点E ，使得AP 平面BDE ；若存在，指出点E 的位置，并证明；若不存在，请说明理由. 18．如图， AB 是O 直径， PA O ⊥所在的平面， C 是圆周上不同于,A B 的动点. （1）证明：平面PBC ⊥平面PAC ； （2）若2PA AB ==，且当二面角P BC A --AB 与平面PBC 所成的角的正弦值. 19．在如图所示的几何体中，平面ACE ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为平行四边形， 90ACB ∠=︒， EF BC ，AC BC == 1AE EC ==. （1）求证： AE ⊥平面BCEF ； （2）求F 到平面ABCD 的距离； （3）求三棱锥B ACF -的体积.第5页（共6页） 第6页（共6页）20．已知函数()()()2log 41R xf x kx k =++∈是偶函数.（1）求k 的值；（2）若函数()y f x x a =--没有零点，求a 得取值范围；（3）若函数()()221f x x x h x m +=+⋅-， []20,log 3x ∈的最小值为0，求实数m 的值.21．已知函数()()222f x x m x m =-+-+-， R x ∈.（1）若函数()y f x =在[]1,0-上是减函数，求实数m 的取值范围；（2）是否存在整数,a b ，使得()a f x b ≤≤的解集恰好是[],a b ，若存在，求出,a b 的值；若不存在，说明理由.第1页（共12页）第2页（共12页） 数学 答 案参考答案1．B 【解析】{}{}Z 1101A x x =∈≤=-，，，∴A 的子集个数为328=个；A B A ⋃=，即B A ⊆，∴符合条件的集合B 共有8个.故选：B2．B【解析】由函数()23x f x x =+可知函数()f x 在R 上单调递增，又()11302f -=-<，()010f =>，∴()()100f f -<，可知：函数()f x 的零点所在的区间是()1,0-，故选B.3．B【解析】试题分析：由题意可知几何体前面在右侧的射影为线段，上面的射影也是线段，后面与底面的射影都是线段，轮廓是正方形， 1AD 在右侧的射影是正方形的对角线， 1B C 在右侧的射影也是对角线是虚线．如图B ．故选B ．考点：简单空间图形的三视图．4．D 【解析】∵13y x =为()0∞+，上的单调增函数， 又2133> ∴113321 33a c ⎛⎫⎛⎫=>= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ∵1y 3x⎛⎫= ⎪⎝⎭在()∞∞-+，上单调递减，又2133> ∴12331133c b ⎛⎫⎛⎫=>= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴a c b >>故选：D 点睛：利用指数函数对数函数及幂函数的性质比较实数或式子的大小，一方面要比较两个实数或式子形式的异同，底数相同，考虑指数函数增减性，指数相同考虑幂函数的增减性，当都不相同时，考虑分析数或式子的大致范围，来进行比较大小，另一方面注意特殊值0,1的应用，有时候要借助其“桥梁”作用，来比较大小． 5．A【解析】2312,,23R r R l R r h V h r R πππ==∴==∴==,选A. 6．B 【解析】试题分析：由三视图可知，该几何体是四棱锥，底面积，体积，解得，故答案为B. 考点：由三视图求几何体的体积. 7．A 【解析】试题分析：依题意可求得，则长方体的体对角线长为．易知长方体的体对角线长即为外接球的直径，所以，所以长方体1111ABCD A BC D -的外接球的体积为77π．选A ． 考点：多面体与其外接球的关系． 8．B 【解析】∵定义在R 上的奇函数f （x ）在（0，+∞）上单调递减，且f （1）=0， ∴函数f （x ）在（﹣∞，0）上单调递减，且f （﹣1）=0， ∴不等式()0xf x >等价于()()0{ 1x f x f >>或()0{ 1x f x f <<（﹣） ∴0<x<1或﹣1<x<0 ∴不等式xf （x ）>0的解集为{}01,10x x x <<-<<或． 故选：B 9．D第3页（共12页）第4页（共12页） 【解析】①{ m n αα⊥⊥⇒m ∥n ，根据线面垂直的性质定理：垂直于同一平面的两直线平行，故①正确．②{ m m n α⊥⊥⇒n ∥α，由m ⊥α，m ⊥n 得n ∥α或n ⊂α，故②不正确．③{ m n αα⇒m ∥n ，由m ∥α，n ∥α，则m ，n 可能平行、可能相交、可能异面．故③不正确． ④{ m m n n αα⊥⇒⊥ ，则m ，n 可能相交、可能异面，根据异面直线所成的角，可知m ⊥n ．故④正确．故选D ．10．A【解析】试题分析：由题意，得，解得；令，即，即需经过的天数为75天.考点：指数的运算.11．D【解析】∵()21,01,{ 1, 1.x x f x x x -≤<=≥，∴当0≤x≤1时，2x ﹣1∈[0，1]，当x≥1时， 1x ∈（0，1]，即x≥0时，f （x ）的值域为[0，1]，∵f （x ）是定义在R 上的奇函数，∴x≤0时f （x ）的值域为[﹣1，0]，∴在R 上的函数f （x ）的值域为[﹣1，1]．∵定义在{x|x≠0}上的偶函数g （x ），x ＞0的g （x ）=log 2x ，∴g （x ）=log 2|x|（x≠0）∵存在实数a ，使得f （a ）=g （b ）成立，∴令﹣1≤g （b ）≤1．即﹣1≤log 2|b|≤1． 即有12≤|b|≤2， ∴12≤b≤2或﹣2≤b≤﹣12． 故选：D ． 点睛：存在实数a ，使得()()f a g b =成立等价于()(){}|g b y y f a ∈=,同时本题考查了分段函数的应用及奇偶性的应用. 12．3 【解析】∵幂函数()223222m m y m m x --=--在区间()0,+∞是减函数 ∴22221{ 320m m m m --=--<，解得： 3m = 故答案为：3 13．【解析】22,28r h rh h r V r h πππ==∴==== 14．60° 【解析】因为,AB PB PC AC BD CD ==∴=,取BC 中点M,则,DM BC AM BC ⊥⊥ ,所以 二面角D BC A --的平面角为DMA ∠ ,因为3,22AD AM DM ==== 所以060DMA ∠=，即二面角D BC A --的大小为60︒ 15．16π 【解析】 32121822,4163323S ABC ABO V S SO R R S R ππ-=⨯⨯=⨯=∴=== 点睛：(1)求锥体的体积要充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题求解，注意求体积的一些特殊方法——分割法、补形法、等体积法. (2)涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画第5页（共12页）第6页（共12页） 内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.16．（1）{}4A B x x ⋂=≥， ()R 32A B x x ⎧⎫⋃=>-⎨⎬⎩⎭；（2）()1,2,22m ⎛⎫∈-∞-⋃ ⎪⎝⎭.【解析】试题分析：（1）化简集合A 、B ，根据交集与并集和补集的定义计算即可；（2）根据题意（∁R A ）∩C=C 知C ⊆∁R A ，讨论C=∅和C≠∅时，分别求出m 的取值范围． 试题解析：（1）()22512023x x x --≥⇒+ ()404x x -≥⇒≥或32x ≤-， ∴342A x x x ⎧⎫=≥≤-⎨⎬⎩⎭或， {}2B x x =>， ∴{}4A B x x ⋂=≥， ()R 32A B x x ⎧⎫⋃=>-⎨⎬⎩⎭.（2）∵()R A C C ⋂=，∴()R C A ⊆， R 342A x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭.①当C =∅时， 22m m ->，即2m <-时满足()R C A ⊆，∴2m <-；②当C ≠∅时，要使()R C A ⊆，则223{2 224m m m m -≤->-⇒< 211{ 2222m m m m ≥->⇒<<<综上所述， ()1,2,22m ⎛⎫∈-∞-⋃ ⎪⎝⎭.点睛：(1)认清元素的属性，解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件.(2)注意元素的互异性.在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误.(3)防范空集.在解决有关A ∩B ＝∅，A ⊆B等集合问题时，往往忽略空集的情况，一定先考虑∅是否成立，以防漏解.17．（1；（2）当E 时PC 的中点时， AP 平面BDE .【解析】试题分析：（1）先根据条件确定四棱锥各侧面形状，再根据直角三角形面积公式以及正方形面积公式求表面积（2）连接AC 交BD 于点O ，当E 是PC 的中点时，由三角形中位线性质得//OE AP ，再根据线面平行判定定理证结论试题解析：（1）四棱锥P ABCD -的底面是边长为1的正方形，侧棱PC ⊥底面ABCD ，且2PC=， ∴PB PD ==． ∵AB CB ⊥， AB PC ⊥， ∴AB ⊥平面PCB，∴AB PB ⊥， ∴12PAB S ABPB ∆=⋅=．同理，PAD S ∆=．∴1113P ABCD ABCD PAB PAD PCD PCB S S S S S S -∆∆∆∆=++++=+=． （2）当E 是PC 的中点时， //AP 平面BDE ． 证明：连接AC 交BD 于点O ，连接OE ，则在三角形ACP 中， O 、E 分别为AC 、PC 的中点， ∴//OE AP ， 又∵OE ⊂平面BDE ， AP ⊄平面BDE ， ∴//AP 平面BDE ． 18．（1）详见解析；（2）3. 【解析】试题分析：（1）先根据圆的性质得BC AC ⊥，再根据线面垂直得BC PA ⊥，根据线面垂直判定定理得BC ⊥平面PAC ，最后根据面面垂直判定定理得结论（2）先根据二面角定义得二面角P BC A --的平面角为PCA ∠，再过过A 作AH PC ⊥于H ，易得ABH ∠为直线AB 与平面PBC 所成的角．最后通过解三角形可得结论 试题解析：（1）证明：∵C 在圆O 上， AB 为圆O 的直径， ∴BC AC ⊥， 又∵PA O ⊥所在的平面，∴BC PA ⊥， 而PA AC A ⋂=，∴BC ⊥平面PAC ， 由于BC ⊂平面PBC ，∴平面PBC ⊥平面PAC ． （2）解：如图，过A 作AH PC ⊥于H ，连接BH ，第7页（共12页）第8页（共12页）∵BC ⊥平面PAC ，∴BC AH ⊥，∴AH ⊥平面PBC ，则ABH ∠即为所求的角，∵BC ⊥平面PAC ，∴PCA ∠为二面角P BC A --的平面角．又tan PAPCA AC ∠== 2PA =，∴AC =在Rt PAC ∆中，PA AC AH PC ⋅===，在Rt ABH ∆中，3sin 2AHABH AB ∠===，即直线AB 与平面PBC19．（1）详见解析；（23【解析】试题分析：（1）先根据面面垂直性质定理得BC ⊥平面AEC ，即得BC AE ⊥，再利用勾股定理得AE EC ⊥，最后根据线面垂直判定定理得结论（2）先根据平行转化F 到平面ABCD 的距离为点E 到平面ABCD 的距离，再作EG AC ⊥，由面面垂直性质定理得EG ⊥平面ABCD ，最后计算EG 即得结果（3）由于已知F 到平面ABCD 的距离，所以利用等体积法先转化为B ACF F ACB V V --=，再根据锥体体积公式求体积试题解析：（1）∵平面ACE ⊥平面ABCD ，且平面ACE ⋂平面ABCD AC =，又BC ⊂平面ABCD ， BC AC ⊥，∴BC ⊥平面AEC ，而AE ⊂平面AEC ，∴BC AE ⊥，∵AC = 1AE EC ==，∴222AC AE CE =+，∴AE EC ⊥，又BC EC C ⋂=，∴AE ⊥平面BCEF ．（2）设AC 的中点为G ，连接EG ，∵AE CE =，∴EG AC ⊥． ∵平面ACE ⊥平面ABCD ，且平面ACE ⋂平面ABCD AC =， ∴EG ⊥平面ABCD ， ∵//EF BC ， EF ⊄平面ABCD ， 所以点F 到平面ABCD 的距离就等于点E 到平面ABCD 的距离， 即点F 到平面ABCD 的距离为EG =． （3）∴13B ACF F ACB ACB V V S EG --∆==⋅，∵11122ACB S AC BC ∆=⋅==，∴11326B ACF V -=⨯⨯=，即三棱锥B ACF -的体积为6． 点睛:垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型. (1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行. (2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直. (3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直. 20．（1）1k =-；（2）(],0-∞；（3）1m =-. 【解析】试题分析：（1）若函数()()()2log 41R x f x kx k =++∈是偶函数，则f （﹣x ）=f （x ），可得k 的值； （2）函数()y f x x a =--没有零点，即方程()2log 412x x a +-=无实数根，令()()2log 412x g x x =+-，则函数()y g x =的图象与直线y a =无交点，则a 不属于函数g （x ）值域； （3）函数()()221f x x x h x m +=+⋅-， []20,log 3x ∈，令t=2x ∈[1，3]，则y=t 2+mt ，t ∈[1，3]，结合二次函数的图象和性质，分类讨论，可得m 的值． 试题解析： （1）∵()f x 是偶函数，∴()()f x f x -=， 即()()22log 41log 41x x kx kx -+-=++对任意R x ∈恒成立. ∴()()222log 41log 41x x kx -=+-+= 2241log log 4241x x x x --+==-+，∴1k =-.第9页（共12页）第10页（共12页） （2）函数()y f x x a =--没有零点，即方程()2log 412xx a +-=无实数根.令()()2log 412xg x x =+-，则函数()y g x =的图象与直线y a =无交点，∵()()()222log 412log 41log 4x x xg x x =+-=+-22411log log 144x x x +⎛⎫==+ ⎪⎝⎭， 又1114x +>，∴()21log 104x g x ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，∴a 的取值范围是(],0-∞.（3）由题意()42x x h x m =+⋅， []20,log 3x ∈，令[]21,3x t =∈， ()2t t mt ϕ=+， []1,3t ∈， ①当12m-≤，即2m ≥-时，()()min 110t m ϕϕ==+=， 1m =-； ②当132m<-<，即62m -<<-时，()2min 024m m t ϕϕ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭， 0m =（舍去）； ③当32m-≥，即6m ≤-时，()()min 3930t m ϕϕ==+=， 3m =-（舍去）.综上可知，实数1m =-.21．（1）(][),02,-∞⋃+∞；（2）符合要求的整数a b 、是1,{1, 2,a b m =-==或2,{4, 8,a b m ===.【解析】试题分析：（1）求出函数的对称轴，由于y=|f （x ）|在[﹣1，0]上是减函数，则讨论区间在对称轴的右边，且f （0）不小于0，区间在对称轴的左边，且f （0）不大于0．解出它们即可；（2）假设存在整数a ，b ，使得a≤f （x ）≤b 的解集恰好是[a ，b]．则f （a ）=a ，f （b ）=a ，a≤f （22m -）≤b ，由f （a ）=f （b ）=a ，解出整数a ，b ，再代入不等式检验即可．试题解析：（1）令()0f x =，则()()()()224226m m m m ∆=---=--.当0∆≤，即26m ≤≤时， ()()2220f x x m x m =-+-+-≤恒成立，所以()()222f x x m x m =--+-. 因为()y f x =在[]1,0-上是减函数， 所以202m -≥，解得0m ≥， 所以26m ≤≤. 由0∆>，解得2m <或6m >. 当6m >时， ()y f x =的图象对称轴222m x -=>， 且方程()0f x =的两根均为正， 此时()y f x =在[]1,0-为减函数，所以6m >符合条件. 当2m <时， ()y f x =的图象对称轴202m x -=<， 且方程()0f x =的根为一正一负， 要使()y f x =在[]1,0-单调递减，则212m -≤-，解得0m ≤. 综上可知，实数m 的取值范围为(][),02,-∞⋃+∞. （2）假设存在整数a b 、，使()a f x b ≤≤的解集恰好是[],a b ，则 ①若函数()y f x =在[],a b 上单调递增，则()f a a =， ()f b b =且22m b -≥， 即()()2222,{ 22,a m a m a b m b m b -+-+-=-+-+-= 作差得到21m a b -=++，代回得到： 1ab a b --=，即()()112a b --=，由于a b 、均为整数， 故1a =-， 0b =， 2m =或2a =， 3b =， 8m =，经检验均不满足要求； ②若函数()y f x =在[],a b 上单调递减，则()f a b =， ()f b a =且22m a -≤， 即()()2222,{ 22,a m a m b b m b m a -+-+-=-+-+-= 作差得到21m a b -=++，代回得到： 221ab a b --=-，即()()223a b --=，由于a b 、均为整数， 故1a =-， 1b =， 1m =或3a =， 5b =， 9m =，经检验均不满足要求； ③若函数()y f x =在[],a b 上不单调，则22m f b -⎛⎫≤ ⎪⎝⎭， ()()f a f b a ==且22m a b -<<，第11页（共12页） 第12页（共12页） 即()()2222,{ 22,a m a m a b m b m a -+-+-=-+-+-=作差得到2m a b -=+，代回得到： 20ab a b --=，即()()122a b --=，由于a b 、均为整数， 故2a =， 4b =， 8m =或1a =-， 1b =， 2m =，，经检验均满足要求； 综上，符合要求的整数a b 、是1,{1, 2,a b m =-==或2,{4, 8,a b m ===。

2019-2020学年湖南省长沙市雅礼中学高一（上）期中数学试卷一、选择题（每小题5分，共60分）1. 命题“∃x 0∈R ，x 02+x 0+1<0”的否定为（ ） A.不存在x 0∈R ，x 02+x 0+1≥0 B.∃x 0∈R ，x 02+x 0+1≥0C.∀x ∈R ，x 2+x +1<0D.∀x ∈R ，x 2+x +1≥0 【答案】 D【考点】 命题的否定 【解析】利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可． 【解答】∵ 特称命题的否定是全称命题．∴ 命题p:∃x 0∈R ，使x 02+x 0+1<0的否定是：∀x ∈R ，x 2+x +1≥0．2. 已知集合M ＝{x|−4<x <2}，N ＝{x|x 2−x −6<0}，则M ∩N ＝（ ） A.{x|−4<x <3} B.{x|−4<x <−2} C.{x|−2<x <2} D.{x|2<x <3} 【答案】 C【考点】一元二次不等式的应用 一元二次不等式的解法 交集及其运算 【解析】利用一元二次不等式的解法和交集的运算即可得出． 【解答】∵ M ＝{x|−4<x <2}，N ＝{x|x 2−x −6<0}＝{x|−2<x <3}， ∴ M ∩N ＝{x|−2<x <2}． 3. 计算2√a⋅√a 23的结果为（ ）A.a 32 B.a 16 C.a 56 D.a65【答案】 C【考点】有理数指数幂的运算性质及化简求值 【解析】化根式为分数指数幂，再由有理指数幂的运算性质化简求值． 【解答】2√a⋅√a23=a 2⋅a −12⋅a −23=a 2−12−23=a 56．4. 若f(2x+1)＝x2−2x，则f(2)的值为（）A.−34B.34C.0D.1【答案】A【考点】函数的求值求函数的值【解析】直接利用函数的解析式，求解即可．【解答】f(2)＝f(2×12+1)=(12)2−2×12=−34．5. 若a，b，c∈R，a>b，则下列不等式成立的是（）A.1 a <1bB.a2>b2C.a|c|>b|c|D.ac2+1>bc2+1【答案】D【考点】不等式的概念【解析】本题中a，b，c∈R，a>b，三个参数的关系不定，故可以采用排除法对四个选项依次判断，排除错误的，得出正确选项．【解答】A选项不对，当a>0>b时不等式不成立，故排除；B选项不对，当a＝0，b＝−1时不等式不成立，故排除；C选项不对，当c＝0时，不等式不成立，故排除；D选项正确，由于1c2+1>0，又a>b故ac2+1>bc2+16. 设集合A={−1, 0, 2}，集合B={−x|x∈A, 且2−x∉A}，则B=()A.{1}B.{−2}C.{−1, −2}D.{−1, 0}【答案】A【考点】集合的包含关系判断及应用【解析】本题的关键是认清集合B的研究对象，利用列举法写出集合B的元素即可．【解答】解：∵集合A={−1, 0, 2}，集合B={−x|x∈A, 且2−x∉A}，−1∈A，且2−(−1)=3∉A，故1∈B；0∈A，但2−0=2∈A，不满足题意；2∈A，但2−2=0∈A，不满足题意；故B={1}，故选A.7. 若a>0，b>0，则“a+b<4”是“ab<4”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【考点】充分条件、必要条件、充要条件【解析】由a>0，b>0，且a+b<4，利用均值不等式得到ab<4；举例说明由ab<4不能得到a+b<4，再由充分必要条件的判定得答案．【解答】∵a>0，b>0，且a+b<4，∴ab≤(a+b)2<4；2，满足ab＝1<4，但a+b>4．反之，若a＝4，b=14∴ “a+b<4”是“ab<4”的充分不必要条件．8. 已知a>0且a≠1，函数y=log a x，y=a x，y=x+a在同一坐标系中的图象可能是（）A.B.C.D.【答案】C【考点】函数图象的作法函数的图象变化【解析】根据函数y =a x 与y =log a x 互为反函数，得到它们的图象关于直线直线y =x 对称，从而对选项进行判断即得． 【解答】解：∵ 函数y =a x 与y =log a x 互为反函数，∴ 它们的图象关于直线y =x 对称． 再由函数y =a x 的图象过(0, 1)，y =a x 的图象过(1, 0)， 观察图象知，只有C 正确． 故选C ．9. 已知f(x)＝ax 5+bx 3+x 2+x +1（a ，b 为常数），若f(2)＝11，则f(−2)＝（ ） A.−11 B.−1 C.0 D.1 【答案】 B【考点】函数奇偶性的性质与判断 【解析】根据f(2)＝11即可求出a ⋅25+b ⋅23＝4，这样即可求出f(−2)＝−1． 【解答】∵ f(2)＝a ⋅25+b ⋅23+4+2+1＝11， ∴ a ⋅25+b ⋅23＝4，∴ f(−2)＝−a ⋅25−b ⋅23+4−2+1＝−4+4−2+1＝−1．10. 已知x ，y 为正实数，则( ) A.2lgx+lgy =2lgx +2lgy B.2lg(x+y)=2lgx ⋅2lgy C.2lgx⋅lgy =2lgx +2lgy D.2lg(xy)=2lgx ⋅2lgy 【答案】 D【考点】对数的运算性质有理数指数幂的化简求值 【解析】直接利用指数与对数的运算性质，判断选项即可． 【解答】解：因为a s+t =a s ⋅a t ，lg(xy)=lgx +lgy （x ，y 为正实数）， 所以2lg(xy)=2lgx+lgy =2lgx ⋅2lgy ，满足上述两个公式. 故选D ．11. 已知函数f(x)={−x 2−ax −5,(x ≤1),a x,(x >1),是R 上的增函数，则a 的取值范围是( )A.−3≤a <0B.−3≤a ≤−2C.a ≤−2D.a <0 【答案】 B【考点】二次函数的性质 【解析】由函数f(x)上R 上的增函数可得函数，设g(x)=−x 2−ax −5，ℎ(x)=ax ，则可知函数g(x)在x ≤1时单调递增，函数ℎ(x)在(1, +∞)单调递增，且g(1)≤ℎ(1)，从而可求 【解答】解：∵ 函数f(x)={−x 2−ax −5,(x ≤1),ax,(x >1),是R 上的增函数,设g(x)=−x 2−ax −5(x ≤1)，ℎ(x)=ax (x >1), 由分段函数的性质可知，函数g(x)=−x 2−ax −5在(−∞, 1]单调递增， 函数ℎ(x)=ax 在(1, +∞)单调递增，且g(1)≤ℎ(1), ∴ {−a2≥1,a <0,−a −6≤a,∴ {a ≤−2,a <0,a ≥−3,解可得，−3≤a ≤−2. 故选B.12. 设a ＝ln 12，b =log 1312，则（ ）A.a +b <ab <0B.ab <a +b <0C.a +b <0<abD.ab <0<a +b 【答案】 B【考点】对数值大小的比较 【解析】利用对数函数的性质、运算法则直接求解． 【解答】∵ a ＝ln 12<ln 1e =−1， 0<b =log 1312<log 1313=1，∴ ab <a +b <0．二、填空题（每小题5分，共20分）已知幂函数y =f(x)的图象过点(2, √2)，则f(9)=________． 【答案】 3【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域 函数的求值 【解析】先由幂函数的定义用待定系数法设出其解析式，代入点的坐标，求出幂函数的解析式，再求f(16)的值【解答】解：由题意令y=f(x)=x a，由于图象过点(2, √2)，得√2=2a，a=12，∴y=f(x)=x12，∴f(9)=3．故答案为：3．已知√aa =32，则√a+a=________．【答案】52【考点】有理数指数幂的运算性质及化简求值【解析】设√a√a =t，则t>0，所以t2=(√a√a)2=(√a√a)2+4=254，即可得到√a+a的值．【解答】依题意，设√a√a=t，则t>0，所以t2=(√a√a )2=(√a√a)2+4=254，所以t=52，已知偶函数f(x)在[0, +∞)单调递减，f(2)=0，若f(x−1)>0，则x的取值范围是________．【答案】(−1, 3)【考点】函数奇偶性的性质函数单调性的性质【解析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系将不等式等价转化为f(|x−1|)>f(2)，即可得到结论．【解答】解：∵偶函数f(x)在[0, +∞)单调递减，f(2)=0，∴不等式f(x−1)>0等价为f(x−1)>f(2)，即f(|x−1|)>f(2)，∴|x−1|<2，解得−1<x<3.故答案为：(−1, 3).若函数f(x)＝(a−1)ln(2−ax)在区间(0, 1)上是减函数，则实数a的取值范围是________．【答案】(−∞, 0)∪(1, 2]【考点】函数的概念【解析】根据f(x)在(0, 1)上是减函数可得出a<0或a>1，从而得出：a<0时，可得出满足题意；a>1时，可求出f(x)的定义域为(−∞,2a )，据题意知(0, 1)⊆(−∞,2a)，从而可求出1<a≤2，这样即可得出a的取值范围．【解答】根据题意，a<0，或a>1，①a<0时，f(x)的定义域为(2a ,+∞)，且满足(0,1)⊆(2a,+∞)，∴a<0；②a>1时，f(x)的定义域为(−∞,2a )，且(0,1)⊆(−∞,2a)，∴2a≥1，解得1<a≤2，∴实数a的取值范围是(−∞, 0)∪(1, 2]．三、解答题（共6小题，共70分）已知不等式(1−a)x2−4x+6>0的解集为{x|−3<x<1}．（1）求a的值；（2）若不等式ax2+mx+3≥0的解集为R，求实数m的取值范围．【答案】不等式(1−a)x2−4x+6>0的解集为{x|−3<x<1}，∴1−a<0，且方程(1−a)x2−4x+6＝0的两根为−3，1；由根与系数的关系知{41−a =−3+16 1−a =−3，解得a＝3；不等式3x2+mx+3≥0的解集为R，则△＝m2−4×3×3≤0，解得−6≤m≤6，∴实数m的取值范围为(−6, 6)．【考点】一元二次不等式的应用【解析】（1）一元二次不等式与对应方程的关系，旅游根与系数的关系求出a的值；（2）根据一元二次不等式解集为R，利用判别式△≤0，求出m的取值范围．【解答】不等式(1−a)x2−4x+6>0的解集为{x|−3<x<1}，∴1−a<0，且方程(1−a)x2−4x+6＝0的两根为−3，1；由根与系数的关系知{41−a =−3+16 1−a =−3，解得a＝3；不等式3x2+mx+3≥0的解集为R，则△＝m2−4×3×3≤0，解得−6≤m≤6，∴实数m的取值范围为(−6, 6)．已知函数f(x)＝a x(a>0且a≠1)的图象经过点(2, 9)．（1）求a的值；（2）b∈R，比较f(2b)与f(b2+1)的大小．【答案】依题意，函数f(x)＝a x(a>0且a≠1)的图象经过点(2, 9)．所以a2＝9，又因为a>0且a≠1，所以a＝3，由（1）知，f(x)＝3x，所以f(x)为R上的增函数，又2b−(b2+1)＝−(b−1)2≤0，所以2b≤b2+1，所以f(2b)≤f(b2+1)，【考点】指数函数的单调性与特殊点【解析】（1）图象经过点(2, 9)，所以a2＝9，得a＝3；（2）f(x)＝3x，所以f(x)为R上的增函数，将f(2b)与f(b2+1)的大小比较转化为2b 和b2+1的大小比较．【解答】依题意，函数f(x)＝a x(a>0且a≠1)的图象经过点(2, 9)．所以a2＝9，又因为a>0且a≠1，所以a＝3，由（1）知，f(x)＝3x，所以f(x)为R上的增函数，又2b−(b2+1)＝−(b−1)2≤0，所以2b≤b2+1，所以f(2b)≤f(b2+1)，已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2−2x+2．（1）求函数f(x)的解析式；（2）求函数f(x)的值域．【答案】∵f(x)是R上的奇函数，∴f(0)＝0，且x>0时，f(x)＝x2−2x+2，∴ 设x <0，−x >0，则f(−x)＝x 2+2x +2＝−f(x)， ∴ f(x)＝−x 2−2x −2，∴ f(x)={x 2−2x +2x >00x =0−x 2−2x −2x <0；x >0时，f(x)＝x 2−2x +2＝(x −1)2+1≥1， ∴ x <0时，f(x)≤−1，且f(0)＝0，∴ f(x)的值域为{f(x)|f(x)≤−1或f(x)≥1或f(x)0}． 【考点】函数奇偶性的性质与判断 【解析】（1）根据f(x)是R 上的奇函数即可得出f(0)＝0，再根据当x >0时，f(x)＝x 2−2x +2可设x <0，从而得出f(−x)＝x 2+2x +2＝−f(x)，从而得出f(x)={x 2−2x +2x >00x =0−x 2−2x −2x <0；（2）x >0时，f(x)＝x 2−2x +2＝(x −1)2+1≥1，根据f(x)是奇函数可得出x <0时，f(x)≤−1，并且f(0)＝0，这样即可得出f(x)的值域． 【解答】∵ f(x)是R 上的奇函数，∴ f(0)＝0，且x >0时，f(x)＝x 2−2x +2，∴ 设x <0，−x >0，则f(−x)＝x 2+2x +2＝−f(x)， ∴ f(x)＝−x 2−2x −2， ∴ f(x)={x 2−2x +2x >00x =0−x 2−2x −2x <0；x >0时，f(x)＝x 2−2x +2＝(x −1)2+1≥1， ∴ x <0时，f(x)≤−1，且f(0)＝0，∴ f(x)的值域为{f(x)|f(x)≤−1或f(x)≥1或f(x)0}．某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量P(mg/L)与时间t （小时）间的关系为P ＝P 0e −kt ．如果在前5个小时消除了10%的污染物，试求： （1）10个小时后还剩百分之几的污染物？（2）污染物减少50%所需要的时间．（参考数据：ln2＝0.7，ln3＝1.1，ln5＝1.6） 【答案】由P ＝P 0e −kt ，可知，当t ＝0时，P ＝P 0； 当t ＝5时，P ＝(1−10%)P 0．于是有(1−10%)P 0=P 0e −5k ，解得k =−15ln0.9，那么P =P 0e (15ln0.9)t ， ∴ 当t ＝10时，P =P 0e (15ln0.9)×10=P 0e ln0.81=81%P 0． ∴ 10个小时后还剩81%的污染物； 当P ＝50%P 0时，有50%P 0=P 0e (15ln0.9)t ， 解得t =ln0.515ln0.9=51n12ln 910=5⋅−ln2ln9−ln10=5⋅ln2ln2+ln5−21n3=35．∴ 污染物减少50%所需要的时间为35个小时． 【考点】根据实际问题选择函数类型 【解析】（1）由5小时后剩留的污染物列等式求出P ＝P 0e −kt 中k 的值，得到具体关系式后代t ＝10求得10个小时后还剩污染物的百分数；（2）由污染物减少50%，即P ＝50%P 0列等式50%P 0=P 0e (15ln0.9)t 求解污染物减少50%所需要的时间． 【解答】由P ＝P 0e −kt ，可知，当t ＝0时，P ＝P 0； 当t ＝5时，P ＝(1−10%)P 0．于是有(1−10%)P 0=P 0e −5k ，解得k =−15ln0.9，那么P =P 0e (15ln0.9)t ， ∴ 当t ＝10时，P =P 0e (15ln0.9)×10=P 0e ln0.81=81%P 0． ∴ 10个小时后还剩81%的污染物； 当P ＝50%P 0时，有50%P 0=P 0e (15ln0.9)t ， 解得t =ln0.515ln0.9=51n12ln 910=5⋅−ln2ln9−ln10=5⋅ln2ln2+ln5−21n3=35．∴ 污染物减少50%所需要的时间为35个小时．设函数f(x)＝ka x −a −x (a >0且a ≠1)是定义域为R 的奇函数． （1）若f(1)>0，试求不等式f(x 2+2x)+f(x −4)>0的解集；（2）若f(1)=32，且g(x)＝a 2x +a −2x −4f(x)，求g(x)在[1, +∞)上的最小值． 【答案】∵ f(1)>0，∴ a −1a >0．又a >0且a ≠1，∴ a >1． ∵ k ＝1，∴ f(x)＝a x −a −x ．当a >1时，y ＝a x 和y ＝−a −x 在R 上均为增函数， ∴ f(x)在R 上为增函数．原不等式可化为f(x 2+2x)>f(4−x)， ∴ x 2+2x >4−x ，即x 2+3x −4>0． ∴ x >1或x <−4．∴ 不等式的解集为{x|x >1或x <−4}． ∵ f(1)=32，∴ a −1a =32，即2a 2−3a −2＝0． ∴ a ＝2或a =−12（舍去）．∴ g(x)＝22x +2−2x −4(2x −2−x )＝(2x −2−x )2−4(2x −2−x )+2． 令t ＝ℎ(x)＝2x −2−x (x ≥1)， 则g(t)＝t 2−4t +2，∵ t ＝ℎ(x)在[1, +∞)上为增函数（由（1）可知），ℎ(x)≥ℎ(1)=32，即t ≥32．试卷第11页，总13页g(t)＝t 2−4t +2＝(t −2)2−2，t ∈[32,+∞)．∴ 当t ＝2时，g(t)取得最小值2，即g(x)取得最小值−2，此时x =log 2(1+√2)． 故当x =log 2(1+√2)时，g(x)有最小值−2．【考点】函数与方程的综合运用【解析】（1）利用函数是奇函数，求出k ，利用f(1)>0，推出a >1，判断函数的单调性，利用单调性的性质转化不等式为代数不等式，求解即可．（2）通过f(1)=32，求出a ，化简函数的解析式，通过换元法结合二次函数的性质转化求解函数的最小值即可．【解答】∵ f(1)>0，∴ a −1a >0．又a >0且a ≠1，∴ a >1．∵ k ＝1，∴ f(x)＝a x −a −x ．当a >1时，y ＝a x 和y ＝−a −x 在R 上均为增函数，∴ f(x)在R 上为增函数．原不等式可化为f(x 2+2x)>f(4−x)，∴ x 2+2x >4−x ，即x 2+3x −4>0．∴ x >1或x <−4．∴ 不等式的解集为{x|x >1或x <−4}．∵ f(1)=32，∴ a −1a =32，即2a 2−3a −2＝0．∴ a ＝2或a =−12（舍去）．∴ g(x)＝22x +2−2x −4(2x −2−x )＝(2x −2−x )2−4(2x −2−x )+2．令t ＝ℎ(x)＝2x −2−x (x ≥1)，则g(t)＝t 2−4t +2，∵ t ＝ℎ(x)在[1, +∞)上为增函数（由（1）可知），ℎ(x)≥ℎ(1)=32，即t ≥32． g(t)＝t 2−4t +2＝(t −2)2−2，t ∈[32,+∞)．∴ 当t ＝2时，g(t)取得最小值2，即g(x)取得最小值−2，此时x =log 2(1+√2)． 故当x =log 2(1+√2)时，g(x)有最小值−2．已知函数f(x)＝x 2+bx +c(b 、c ∈R)对于任意x ∈R 恒有2x +b ≤f(x)成立． （1）证明：当x ≥0时，f(x)≤(x +c)2（2）若对于满足题设要求的任意b 、c ，不等式f(c)−f(b)≤M(c 2−b 2)恒成立，求M 的最小值．【答案】证明：由题设，对任意的x ∈R ，2x +b ≤x 2+bx +c ，即x 2+(b −2)x +c −b ≥0恒成立，∴ (b −2)2−4(c −b)≤0，从而c ≥b 24+1．于是c≥1，且c≥2√b24×1=|b|，因此2c−b＝c+(c−b)>0．故当x≥0时，有(x+c)2−f(x)＝(2c−b)x+c(c−1)≥0．即当x≥0时，f(x)≤(x+c)2；由（1）得，c≥|b|，当c>|b|时，有M≥f(c)−f(b)c2−b2=c2−b2+bc−b2c2−b2=c+2bc+b，令t=bc，则−1<t<1，∴c+2bc+b =2−1t+1，而函数g(t)＝2−1t+1(−1<t<1)的值域(−∞, 32)，因此，当c>|b|时M的取值集合为[32, +∞)；当c＝|b|时，由（1）知，b＝±2，c＝2．此时f(c)−f(b)＝−8或0，c2−b2＝0，从而f(c)−f(b)≤32(c2−b2)恒成立．综上所述，M的最小值为32．【考点】函数恒成立问题二次函数的图象二次函数的性质【解析】（1）把2x+b≤f(x)转化为x2+(b−2)x+c−b≥0恒成立，找到b和c之间的关系，再对f(x)和(x+c)2作差整理成关于b和c的表达式即可．（2）对c≥|b|分c>|b|和c＝|b|两种情况分别求出对应的M的取值范围，再综合求M的最小值即可．【解答】证明：由题设，对任意的x∈R，2x+b≤x2+bx+c，即x2+(b−2)x+c−b≥0恒成立，∴(b−2)2−4(c−b)≤0，从而c≥b24+1．于是c≥1，且c≥2√b24×1=|b|，因此2c−b＝c+(c−b)>0．故当x≥0时，有(x+c)2−f(x)＝(2c−b)x+c(c−1)≥0．即当x≥0时，f(x)≤(x+c)2；由（1）得，c≥|b|，当c>|b|时，有M≥f(c)−f(b)c2−b2=c2−b2+bc−b2c2−b2=c+2bc+b，令t=bc，则−1<t<1，∴c+2bc+b =2−1t+1，而函数g(t)＝2−1t+1(−1<t<1)的值域(−∞, 32)，试卷第12页，总13页, +∞)；因此，当c>|b|时M的取值集合为[32当c＝|b|时，由（1）知，b＝±2，c＝2．此时f(c)−f(b)＝−8或0，c2−b2＝0，(c2−b2)恒成立．从而f(c)−f(b)≤32综上所述，M的最小值为3．2试卷第13页，总13页。

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2019届湖南省重点中学高一上学期期中考试试题数学试卷第I 卷 （选择题， 共60分）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个正确答案)在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的，选出正确的选项并将该选项在答题卡上涂黑。

1．已知集合A ={x ｜log 2x >0}，B ={x |x 2–2x –3〈0}，则A ∪B =（ ） A ．(–1，+∞） B ．（–∞，3） C ．（–1,1）D ．（1，3）2．与610°角终边相同的角的集合( ）A ．{α|α＝k ·360°＋230°,k ∈Z }B ．｛α｜α＝k ·360°＋250°，k ∈Z ｝C ．{α｜α＝k ·360°＋70°，k ∈Z ｝D ．{α|α＝k ·360°＋270°，k ∈Z } 3。

下列函数中,在定义域内既是奇函数又是增函数的为（ )A ．1y x =+B ．3y x =-C ．1y x=D ．||y x x =4．当a 〉0且a ≠1时，函数f （x ）=a x –2–3的图象必过定点（ ） A ．（0，–3) B ．(2,–2）C ．（2，–3)D ．（0，1）5．已知角α的终边经过点(－4，3），则cos α＝（ ）A ．错误!B ．错误!C ．－错误!D ．－错误!6．函数f （x ）=ln （x +1）–2x的零点所在的大致区间是（ ）A ．（3,4)B ．（2，e)C ．（1，2）D ．(0，1)7.已知一扇形的弧所对的圆心角为54°，半径r ＝20cm ，则扇形的周长为（ ）A ．（40＋6π）cmB ．1120cmC ．6πcmD ．1 080cm8.设05log 06a ．＝．，11log 06b ．＝．,0611c ．＝．，则（ ） A ．a b c << B ．b c a <<C ．b a c <<D ．c a b <<9．已知幂函数y =pqx ,（p ，q ∈Z ）的图象如图所示，则( ）A ．p ，q 均为奇数，且pq>0 B ．q 为偶数，p 为奇数,且p q<0 C ．q 为奇数，p 为偶数，且pq〉0 D ．q 为奇数，p 为偶数，且pq〈0 10．函数f (x ）=log 0.5（2–x )+log 0.5(2+x ）的单调递增区间是（ ） A ．(2，+∞） B ．（–∞，–2） C ．(0，2）D ．（–2，0）11．已知f （x ）是定义在R 上的偶函数,且在区间（–∞，0］上单调递增．若实数a 满足f (22log a )〉f （–3），则a 的取值范围是（ ）A ．（–∞，–3）B ．（0，3）C ．(3，+∞）D ．（–3，+3）12．已知函数()21,0log ,0kx x f x x x +≤⎧=⎨>⎩，则当0k >时，函数()1y f f x =+⎡⎤⎣⎦的零点个数是 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4第Ⅱ卷二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分）13. 若，则=_________．14．已知()1ln f x x x=-在区间(1，2）内有一个零点x 0,若用二分法求x 0的近似值(精确度为0.2)，则最少需要将区间等分的次数为 _________________.15.若函数)(x f y =的定义域是]4,2[，则)(log 21x f y =的定义域是_____________.16．把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是 o 1C θ，空气的温度是 o 0C θ，min t 后物体的温度 o C θ可由公式()0.24010e t θθθθ-=+-求得．把温度是 o 100C 的物体，放在o 10C 的空气中冷却min t 后，物体的温度是o 40C ，那么t 的值约于 ．（保留三位有效数字，参考数据：ln 3取1.099,ln 2取0.693)三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本题满分10分)求值：（1）计算:715log 2043210.064()70.250.58----++⨯；（2）已知lg 2a =，103b =，用,a b 表示．6log 3018．（本题满分12分) 已知集合{}{}21216,21318x A x B x m x m -=≤≤=+≤≤- （1）求集合A（2）若B ⊆A ，求实数m 的取值范围.19.已知是定义在R 上的奇函数，当时，．（1）求函数的解析式;（2）若函数为R 上的单调减函数，求a 的取值范围；20。

2018-2019学年湖南省长沙市雅礼中学高三（上）月考数学试卷（五）（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合A={−1,0，1，2}，B={z|z=|x−y|,x∈A,y∈A}，则集合A∩B=()A. {0,1}B. {0,1，2}C. {0,1，2，3}D. {−1,0，1，2}2.若复数z=a2−1+(a+1)i(i为虚数单位)是纯虚数，则实数a的取值集合是()A. ⌀B. {−1,1}C. {−1}D. {1}3.已知向量a⃗=(3,−4),|b⃗ |=2，若a⃗⋅b⃗ =−5，则a⃗与b⃗ 的夹角为()A. 2π3B. π3C. π4D. π64.安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有()A. 12种B. 18种C. 24种D. 36种5.公元263年左右，我国数学家刘徽发现，当圆内接多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，由此创立了割圆术，利用割圆术刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值3.14，这就是著名的徽率．如图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，则输出的n值为()(参考数据：√3=1.732，sin15°≈0.2588，sin7.5°≈0.1305.)A. 12B. 24C. 48D. 966.如图1所示，是一个棱长为2的正方体被削去一个角后所得到的几何体的直观图，其中DD1=1，若此几何体的俯视图如图2所示，则可以作为其正视图的是()A.B.C.D.7. 已知命题p ：“方程x 2−4x +a =0有实根”，且￢p 为真命题的充分不必要条件为a >3m +1，则实数m 的取值范围是( )A. [1,+∞)B. (1,+∞)C. (0,1]D. (0,1)8. 已知等差数列{a n }，S 3=6，a 9+a 11+a 13=60，则S 13的值为( )A. 66B. 42C. 169D. 1569. 在抛物线y =x 2与直线y =2围成的封闭图形内任取一点A ，O 为坐标原点，则直线OA 被该封闭图形解得的线段长小于√2的概率是( )A. √315B. √316C. √216D. √21410. 已知正方形ABCD 的边长为2，E 是BC 的中点，以点C 为圆心，CE 长为半径作圆，点P 是该圆上的任一点，则AP⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是( ) A. [0,2+√6] B. [2−√6,2+√6] C. [0,2+√5] D. [2−√5,2+√5] 11. 如图，已知双曲线的左、右焦点分别为F 1、F 2，左、右顶点分别为A 、B ，M 在双曲线上，且MF 1⊥x 轴，直线MA ，MB 与y 轴分别交于P ，Q 两点，若|OP||OQ|=2+√3，则|PQ||AB|=( )A. 2+√3B. 2−√3C. 2D. √312. 已知奇函数f(x)，当x <0时，又函数，若在y 轴的右侧，满足f 1(x)的图象在f 2(x)图象上方的整数x 不超过三个，则a 的取值范围是( )A. B.C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 二项式(x 2−2x )7中含x 2项的二项式系数为______．14. 若动点P 在抛物线y =2x 2+1上运动，则点P 与点A(0,−1)所连线段的中点M 的轨迹方程是______．15. 已知奇函数y =f(x)在上单调递减，实数x ，y 满足不等式f(x 2−3x)+f(−3y −y 2)≥0，则z =x 2+y 2+4x +6y +13的最小值为______．16. 数列{a n }是等差数列，3a 5=8a 12>0，数列{b n }满足b n =a n+1a n+2a n+3(n ∈N ∗)，设S n 为{b n }的前n 项和，则当S n 取得最大值时，n 的值等于______． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 如图，在△ABC 中，B =π4，角A 的平分线AD 交BC 于点D ，设∠BAD =α，sinα=√55．(Ⅰ)求sin C ； (Ⅱ)若BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =28，求AC 的长．18. 如图，已知长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1，底面为正方形，边长AB =2，侧棱BB 1=4，过点B 作B 1C 的垂线交侧棱CC 1于点E ，交B 1C 于点F ．(1)求证：A 1C ⊥平面BDE ；(2)求锐二面角E −BD −A 1的余弦值．19. 已知椭圆E ：x 24+y 2t=1(0<t <4)的左焦点为F ，设M ，N 是椭圆E 的两个短轴端点，A 是椭圆E 的长轴左端点．(Ⅰ)当t =1时，设点P(m,−2)(m ≠0)，直线PN 交椭圆E 于Q ，且直线MP 、MQ 的斜率分别为k 1，k 2，求k 1⋅k 2的值；(Ⅱ)当t =3时，若经过F 的直线l 与椭圆E 交于C ，D 两点，O 为坐标原点，求△OAD与△OAC的面积之差的最大值．20.2018年12月18日，庆祝改革开放40周年大会在北京召开，习近平在会上强调“改革开放40年来，民营企业蓬勃发展，民营经济从小到大、由弱变强，在稳定增长、促进创新、增加就业、改善民生等方面发挥了重要作用，成为推动经济社会发展的重要力量．支持民营企业发展，是党中央的贯方针，这一点丝毫不会动摇．”在习近平总书记讲话的鼓舞下，长沙某民营商场与某跨国生产厂家甲、乙签署了合作协议．商场邀请甲、乙两个厂家进场试销10天，两个厂家提供的返利方案如下：甲厂家每天固定返利70元，且每卖出一件产品厂家再返利2元；乙厂家无固定返利，卖出40件以内(含40件)的产品，每件产品厂家返利4元，超出40件的部分每件返利6元．分别记录其10天内的销售件数，得到如下频数表：甲厂家销售件数频数40而另一天销售量小于40的概率；(2)若将類率视作概率，回答以下向题：①记乙厂家的日返利额为X(单位：元)，求X的分布列和数学期望；②商场拟在甲、乙两个厂家中选择一家长期销售，如果仅从日返利额的角度考虑，请利用所学的统计学知识为商场作出选择，并说明理由．21.已知函数f(x)=xlnx−12x3+a,g(x)=xe1−x+2a−12x3−x(a∈R,e为自然对数的底数)．(1)若函数f(x)在(1e,1)上有零点，求实数a的取值范围；(2)当x≥1时，不等式f(x)≤g(x)恒成立，求实数a的取值范围．22. 在极坐标系中，曲线C 1的极坐标方程是ρ=244cosθ+3sinθ，以极点为原点O ，极轴为x轴正半轴(两坐标系取相同的单位长度)的直角坐标系xOy 中，曲线C 2的参数方程为{x =cosθy =sinθ(θ为参数)． (1)求曲线C 1的直角坐标方程与曲线C 2的普通方程；(2)将曲线C 2经过伸缩变换{x′=2√2x y′=2y 后得到曲线C 3，若M ，N 分别是曲线C 1和曲线C 3上的动点，求|MN|的最小值．23. 已知函数f(x)=|2x +1|+|x −1|(1)求关于x 的不等式f(x)≥2的解集；(2)∀x ∈R ，∃x 0>0，使得f(x)≥x 0+ax 0(a >0)成立，求实数a 的取值范围．。

2018～2019学年度湖南省长沙市雅礼中学高一第一学期期末数学试题一、单选题1.已知集合A ＝{x |﹣1＜x ＜2},B ＝{x |x ≥﹣1},则A ∩B ＝( ) A.(﹣1,1] B.(﹣1,2)C.∅D.[﹣1,2]【参考答案】：B【试题解答】：直接利用交集的运算求解即可.解:因为A ＝{x |﹣1＜x ＜2},B ＝{x |x ≥﹣1}, 所以A ∩B ＝{x |﹣1＜x ＜2}. 故选:B .本题考查了交集的运算,属基础题.2.圆柱的底面半径为1,高为1,则圆柱的表面积为( ) A.πB.3πC.2πD.4π【参考答案】：D【试题解答】：根据圆柱表面积的计算公式直接求解即可.解:因为圆柱的底面半径为1,高为1,所以圆柱的表面积221214S πππ=⨯+⨯⨯=. 故选:D .本题考查了圆柱表面积的求法,属基础题.3.若点2)在直线l ：10ax y ++=上,则直线l 的倾斜角为( ) A.30°B.45︒C.60︒D.120︒【参考答案】：C【试题解答】：210,a ++=∴=直线方程为：10y ++=,据此可得,直线l 的倾斜角为60︒.本题选择C 选项.4.已知函数f (x )＝1,0,0x x x a x -≤⎧⎨>⎩,若f (1)＝f (－1),则实数a =A.1B.2C.3D.4【参考答案】：B【试题解答】：根据题意,由f (1)＝f (－1)可得a ＝1－(－1)＝2,故选:B 5.已知m,n 为不同的直线,α,β为不同的平面,则下列说法正确的是( ) A.m ⊂α,n ∥m ⇒n ∥α B .m ⊂α,n ⊥m ⇒n ⊥α C.m ⊂α,n ⊂β,m ∥n ⇒α∥β D .n ⊂β,n ⊥α⇒α⊥β 【参考答案】：D【试题解答】：在A 选项中,可能有n ⊂α,故A 错误； 在B 选项中,可能有n ⊂α,故B 错误； 在C 选项中,两平面有可能相交,故C 错误；在D 选项中,由平面与平面垂直的判定定理得D 正确. 故选：D.6.已知直线:20l kx y k -+-=过定点M ,点(),P x y 在直线210x y +-=上,则MP 的最小值是( )D.【参考答案】：B【试题解答】：令直线l 的参数k 的系数等于零,求得定点M 的坐标,利用两点间的距离公式、二次函数的性质,求得MP 的最小值.直线:20l kx y k -+-=,即()120k x y --+=,过定点()1,2M , 点(),P x y 在直线210x y +-=上,12y x ∴=-,MP ∴==故当15x =-时,MP ,故选B.本题主要考查直线经过定点问題,两点间的距离公式的应用,二次函数的性质,属于中档题.7.设2()3xa =,13()2x b -=,23c log x =,若x ＞1,则a ,b ,c 的大小关系是( )A.a ＜b ＜cB.c ＜a ＜bC.b ＜c ＜aD.c ＜b ＜a【参考答案】：B【试题解答】：根据x ＞1,取x ＝2,则可以得到a ,b ,c 的具体值,然后比较大小即可.解:由x ＞1,取x ＝2,则2()439x a ==,123()23x b -==,2233log log 20c x ==<,所以b a c >>. 故选:B .本题考查了指数和对数大小的比较,解题的关键是根据条件取特殊值,属基础题. 8.在正方体1111ABCD A B C D -中,异面直线1A B 与AC 所成角是( ) A.30°B.45︒C.60︒D.90︒【参考答案】：C【试题解答】：在正方体1111ABCD A B C D -中,11//AC A C , 所以11B AC ∠即为所求(或其补角).连接1B C ,因为1111B C AC A B ==,所以11B 60AC ∠=︒. 故选C.9.设两条直线的方程分别为x ＋y ﹣a ＝0、x ＋y ＋b ＝0,已知a 、b 是关于x 的方程x 2＋x ＋c ＝0的两个实数根,则这两条直线之间的距离是( )D.无法确定【参考答案】：C【试题解答】：根据条件,由韦达定理可得1a b +=-,然后利用平行线间的距离公式求出距离.解:因为a 、b 是关于x 的方程x 2＋x ＋c ＝0的两个实数根,所以1a b +=-,所以两直线间的距离2d ==.故选:C .本题考查了韦达定理和两平行直线间的距离,属基础题.10.已知函数22y x x =+在闭区间[,]a b 上的值域为[﹣1,3],则满足题意的有序实数对(,)a b 在坐标平面内所对应点组成的图形为A. B.C. D.【参考答案】：C【试题解答】：∵y ＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2﹣1,∴可画出图象如图1所示.；由x 2＋2x ＝3,解得x ＝﹣3或x ＝1；又当x ＝﹣1时,(﹣1)2﹣2＝﹣1.①当a ＝﹣3时,b 必须满足﹣1≤b≤1,可得点(a,b)在坐标平面内所对应点组成图形的长度为|AB|＝1﹣(﹣1)＝2；②当﹣3＜a≤﹣1时,b 必须满足b ＝1,可得点(a,b)在坐标平面内所对应点组成图形的长度为|BC|＝(﹣1)﹣(﹣3)＝2. 如图2所示：图2；故选：C.点睛：本题考查了二次函数在给定区间上的值域问题,值域是确定的,而定义域是变动的,解题关键是分辨清楚最大值是在左端点取到还是在右端点取到,问题就迎刃而解了. 11.已知函数y＝f(x)的定义域为{x|x∈R,且x≠2},且y＝f(x＋2)是偶函数,当x＜2时,f(x)＝|2x﹣1|,那么当x＞2时,函数f(x)的递减区间是( )A.(3,5)B.(3,＋∞)C.(2,＋∞)D.(2,4]【参考答案】：D【试题解答】：试题分析：根据函数的奇偶性,推导出函数的对称性,再由题意和对称性求出函数的解析式,根据指数函数的图象画出函数大致的图形,可得到函数的减区间.解：∵y＝f(x＋2)是偶函数,∴f(﹣x＋2)＝f(x＋2),则函数f(x)关于x＝2对称,则f(x)＝f(4﹣x).若x＞2,则4﹣x＜2,∵当x＜2时,f(x)＝|2x﹣1|,∴当x＞2时,f(x)＝f(4﹣x)＝|24﹣x﹣1|,则当x≥4时,4﹣x≤0,24﹣x﹣1≤0,此时f(x)＝|24﹣x﹣1|＝1﹣24﹣x＝1﹣16×,此时函数递增,当2＜x≤4时,4﹣x＞0,24﹣x﹣1＞0,此时f(x)＝|24﹣x﹣1|＝24﹣x﹣1＝16×﹣1,此时函数递减,所以函数的递减区间为(2,4],故选D.【考点】奇偶性与单调性的综合；函数奇偶性的性质.12.设函数21(0)()ln 2(0)a x y f x x x x x ⎧+<⎪==⎨⎪->⎩,若()y f x =的图像上有四个不同的点A 、B 、C 、D 同时满足：①A 、B 、C 、D 、O (原点)五点共线；②共线的这条直线斜率为3-,则a 的取值范围是( )A.)+∞B.(4)-∞，C.(-∞-，D.(4)+∞，【参考答案】：A【试题解答】：由题过A 、B 、C 、D 、O 的直线y 3x =-,当x 0>时,记()2g ln 2x x x =-,则()241g'x x x-+=()g x 在102⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递增,12∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭，单调递减,与y 3x =-有两个交点C 、D 。

高一 数学时量:120分钟 满分:150分一、 选择题 ：(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选择项中,只有一项是符合题目要求的. 请将选择题答案填入答题栏内)1.已知全集{}{}{}()====N M C ，N M U U I 则3,2,2.1,0,4,3,2,1,0( ) A. {}2 B. {}3 C. {}432，， D. {}43210，，，。

2.函数1a )x (f )22(+=-x 恒过定点（ ）A ．（-1,2）B ．（1,-2）C ．（1,2）D ．（-1,-2）3.下列函数与y x =有相同图象的一个是（ ）A、y = B 、2x y x=C 、log (0,a x y a a =>且1)a ≠D 、log (0,x a y a a =>且1)a ≠ 4.下列函数中是偶函数的是( )A.3y x=- B.]3,3(,22-∈+=x x y C.x y 2log =D.2-=x y5.下列函数中，在区间（0，1）上为增函数的是（ ） A.322+-=x x yB.x y )(31= C.32x y =D.x y 21log =6.当10<<a 时,在同一坐标系中,函数x y a y a x log ==-与的图象是( )A B C D7.三个数3.0222,3.0log ,3.0===c b a 之间的大小关系是( )A b c a <<. B. c b a << C. c a b << D.a c b << 8.已知函数f (n )=⎩⎨⎧<+≥-),10)](5([),10(3n n f f n n 其中n ∈N ，则f (8)等于( )A.2B.4C.6D.7 9. 函数)1,0(log )(≠>=a a x x f a 对任意的正实数x 、y ，都有（ ）A ．)()()(y f x f y x f •=•B ．)()()(y f x f y x f +=•C ．)()()(y f x f y x f •=+D ．)()()(y f x f y x f +=+10.函数xx x f 2ln )(-=的零点所在的大致区间是( ) ()2,1A ()3,2.B ⎝⎛⎪⎭⎫e C 1,1.和()4,3 )(∞+,e D11.若函数()f x 为奇函数，且在(0,)+∞内是增函数，又(2)f 0=，则()()0f x f x x--<的解集为( )A ．( 2.0)(0,2)-UB ．(,2)(0,2)-∞-UC ．(,2)(2,)-∞-+∞UD ．(2,0)(2,)-+∞U12.若,*,(1)(2)(1)nx x R n N E x x x x n ∈∈=+++-L 定义，例如：44(4)(3)(2)(1)24E -=-⋅-⋅-⋅-= , 则52()x f x x E -=⋅的奇偶性为（ ）A. 为偶函数不是奇函数B. 是奇函数不是偶函数C. 既是奇函数又是偶函数D. 非奇非偶函数二．填空题:（本大题共4小题，每题5分，共20分，请将选择题答案填入答题栏内）13.若幂函数y =()x f 的图象经过点（9,13）, 则f(25)的值是14.若函数()()()3122+-+-=x a x a x f 是偶函数,则()x f 的增区间是 15.函数)23(log 32-=x y 的定义域为16.关于下列命题:①若函数x y 2=的定义域是{}0≤x x ,则它的值域是{}1≤y y ; ②若函数x y 1=的定义域是{}2>x x ,则它的值域是⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤21y y ; ③若函数2x y =的值域是{}40≤≤y y ,则它的定义域一定是{}22≤≤-x x ; ④若函数x y 2log =的值域是{}3≤y y ,则它的定义域一定是{}80≤<x x ; 其中不正确的命题的序号是 三、解答题: （本大题共6小题，共70分） 17．（本题满分10分）设}1log {x B },2733{x 2x >=≤≤=x A ，求 A.B)(C B,R ⋃⋂A ．18. (本题满分12分） 求值: (1)3log 2333558log 932log 2log 2-+- (2)25.0403482)2019()22(⨯--+19．（本题满分12分）已知1)1(),32(log )(24=++=f x ax x f . （1）求函数)(x f 的解析式及其定义域; （2）求)(x f 的单调区间.20. (本题满分12分）某体育用品商场经营一批进价为40元的运动服,经市场调查发现销售量y （件）与销售单价x （元）符合一次函数模型，且销售单价为60元时，销量是600件；当销售单价为64元时，销量是560件。

2019-2020学年湖南省长沙市雅礼中学高一（上）期中数学试卷一、选择题（每小题5分，共60分）1. 命题“∃x 0∈R ，x 02+x 0+1<0”的否定为（ ）A.不存在x 0∈R ，x 02+x 0+1≥0B.∃x 0∈R ，x 02+x 0+1≥0C.∀x ∈R ，x 2+x +1<0D.∀x ∈R ，x 2+x +1≥02. 已知集合M ＝{x|−4<x <2}，N ＝{x|x 2−x −6<0}，则M ∩N ＝（ ）A.{x|−4<x <3}B.{x|−4<x <−2}C.{x|−2<x <2}D.{x|2<x <3}3. 计算2√a⋅√a 23的结果为（ ） A.a 32 B.a 16 C.a 56 D.a 654. 若f(2x +1)＝x 2−2x ，则f(2)的值为（ ）A.−34B.34C.0D.15. 若a ，b ，c ∈R ，a >b ，则下列不等式成立的是（ ）A.1a <1bB.a 2>b 2C.a|c|>b|c|D.a c 2+1>bc 2+16. 设集合A ={−1, 0, 2}，集合B ={−x|x ∈A, 且2−x ∉A}，则B =( )A.{1}B.{−2}C.{−1, −2}D.{−1, 0}7. 若a >0，b >0，则“a +b <4”是“ab <4”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件8. 已知a >0且a ≠1，函数y =log a x ，y =a x ，y =x +a 在同一坐标系中的图象可能是（ ）A. B.C.D.9. 已知f(x)＝ax 5+bx 3+x 2+x +1（a ，b 为常数），若f(2)＝11，则f(−2)＝（ ）A.−11B.−1C.0D.110. 已知x ，y 为正实数，则( )A.2lg x+lg y =2lg x +2lg yB.2lg （x+y ）=2lg x ⋅2lg yC.2lg x⋅lg y =2lg x +2lg yD.2lg （xy ）=2lg x ⋅2lg y11. 已知函数f(x)={−x 2−ax −5，(x ≤1)，a x ，(x >1)，是R 上的增函数，则a 的取值范围是( )A.−3≤a <0B.−3≤a ≤−2C.a ≤−2D.a <012. 设a ＝ln 12，b =log 1312，则（ ）A.a +b <ab <0B.ab <a +b <0C.a +b <0<abD.ab <0<a +b二、填空题（每小题5分，共20分）已知幂函数y =f(x)的图象过点(2, √2)，则f(9)=________．已知√a √a =32，则√a +√a =________．已知偶函数f(x)在[0, +∞)单调递减，f(2)=0，若f(x −1)>0，则x 的取值范围是________．若函数f(x)=(a−1)ln(2−ax)在区间(0, 1)上是减函数，则实数a的取值范围是________．三、解答题（共6小题，共70分）已知不等式(1−a)x2−4x+6>0的解集为{x|−3<x<1}．（1）求a的值；（2）若不等式ax2+mx+3≥0的解集为R，求实数m的取值范围．已知函数f(x)＝a x(a>0且a≠1)的图象经过点(2, 9)．（1）求a的值；（2）b∈R，比较f(2b)与f(b2+1)的大小．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2−2x+2．（1）求函数f(x)的解析式；（2）求函数f(x)的值域．某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量P(mg/L)与时间t （小时）间的关系为P＝P0e−kt．如果在前5个小时消除了10%的污染物，试求：（1）10个小时后还剩百分之几的污染物？（2）污染物减少50%所需要的时间．（参考数据：ln2＝0.7，ln3＝1.1，ln5＝1.6）设函数f(x)＝ka x−a−x(a>0且a≠1)是定义域为R的奇函数．（1）若f(1)>0，试求不等式f(x2+2x)+f(x−4)>0的解集；（2）若f(1)=3，且g(x)＝a2x+a−2x−4f(x)，求g(x)在[1, +∞)上的最小值．2已知函数f(x)＝x2+bx+c(b、c∈R)对于任意x∈R恒有2x+b≤f(x)成立．（1）证明：当x≥0时，f(x)≤(x+c)2（2）若对于满足题设要求的任意b、c，不等式f(c)−f(b)≤M(c2−b2)恒成立，求M 的最小值．参考答案与试题解析2019-2020学年湖南省长沙市雅礼中学高一（上）期中数学试卷一、选择题（每小题5分，共60分）1.【答案】D2.【答案】C3.【答案】C4.【答案】A5.【答案】D6.【答案】A7.【答案】A8.【答案】C9.【答案】B10.【答案】D11.【答案】B12.【答案】B二、填空题（每小题5分，共20分）【答案】3【答案】52【答案】(−1, 3)【答案】(−∞, 0)∪(1, 2]三、解答题（共6小题，共70分）【答案】不等式(1−a)x2−4x+6>0的解集为{x|−3<x<1}，∴1−a<0，且方程(1−a)x2−4x+6＝0的两根为−3，1；由根与系数的关系知{41−a =−3+16 1−a =−3，解得a＝3；不等式3x2+mx+3≥0的解集为R，则△＝m2−4×3×3≤0，解得−6≤m≤6，∴实数m的取值范围为(−6, 6)．【答案】依题意，函数f(x)＝a x(a>0且a≠1)的图象经过点(2, 9)．所以a2＝9，又因为a>0且a≠1，所以a＝3，由（1）知，f(x)＝3x，所以f(x)为R上的增函数，又2b−(b2+1)＝−(b−1)2≤0，所以2b≤b2+1，所以f(2b)≤f(b2+1)，【答案】∵f(x)是R上的奇函数，∴f(0)＝0，且x>0时，f(x)＝x2−2x+2，∴设x<0，−x>0，则f(−x)＝x2+2x+2＝−f(x)，∴f(x)＝−x2−2x−2，∴f(x)={x2−2x+2x>00x=0−x2−2x−2x<0；x>0时，f(x)＝x2−2x+2＝(x−1)2+1≥1，∴x<0时，f(x)≤−1，且f(0)＝0，∴f(x)的值域为{f(x)|f(x)≤−1或f(x)≥1或f(x)＝0}．【答案】由P＝P0e−kt，可知，当t＝0时，P＝P0；当t＝5时，P＝(1−10%)P0．于是有(1−10%)P0=P0e−5k，解得k=−15ln0.9，那么P=P0e(15ln0.9)t，∴ 当t ＝10时，P =P 0e (15ln 0.9)×10=P 0e ln 0.81=81%P 0．∴ 10个小时后还剩81%的污染物；当P ＝50%P 0时，有50%P 0=P 0e (15ln 0.9)t ，解得t =ln 0.515ln 0.9=51n 12ln 910=5⋅−ln 2ln 9−ln 10=5⋅ln 2ln 2+ln 5−21n3=35． ∴ 污染物减少50%所需要的时间为35个小时．【答案】∵ f(1)>0，∴ a −1a >0． 又a >0且a ≠1，∴ a >1．∵ k ＝1，∴ f(x)＝a x −a −x ．当a >1时，y ＝a x 和y ＝−a −x 在R 上均为增函数，∴ f(x)在R 上为增函数．原不等式可化为f(x 2+2x)>f(4−x)，∴ x 2+2x >4−x ，即x 2+3x −4>0．∴ x >1或x <−4．∴ 不等式的解集为{x|x >1或x <−4}．∵ f(1)=32，∴ a −1a =32，即2a 2−3a −2＝0．∴ a ＝2或a =−12（舍去）．∴ g(x)＝22x +2−2x −4(2x −2−x )＝(2x −2−x )2−4(2x −2−x )+2． 令t ＝ℎ(x)＝2x −2−x (x ≥1)，则g(t)＝t 2−4t +2，∵ t ＝ℎ(x)在[1, +∞)上为增函数（由（1）可知），ℎ(x)≥ℎ(1)=32，即t ≥32． g(t)＝t 2−4t +2＝(t −2)2−2，t ∈[32,+∞)．∴ 当t ＝2时，g(t)取得最小值2，即g(x)取得最小值−2，此时x =log 2(1+√2)． 故当x =log 2(1+√2)时，g(x)有最小值−2．【答案】证明：由题设，对任意的x ∈R ，2x +b ≤x 2+bx +c ，即x 2+(b −2)x +c −b ≥0恒成立，∴ (b −2)2−4(c −b)≤0，从而c ≥b 24+1． 于是c ≥1，且c ≥2√b 24×1=|b|，因此2c −b ＝c +(c −b)>0．故当x ≥0时，有(x +c)2−f(x)＝(2c −b)x +c(c −1)≥0． 即当x ≥0时，f(x)≤(x +c)2；由（1）得，c ≥|b|，当c >|b|时，有M ≥f(c)−f(b)c 2−b 2=c 2−b 2+bc−b 2c 2−b 2=c+2b c+b ， 令t =b c ，则−1<t <1，∴c+2bc+b =2−1t+1，而函数g(t)＝2−1t+1(−1<t<1)的值域(−∞, 32)，因此，当c>|b|时M的取值集合为[32, +∞)；当c＝|b|时，由（1）知，b＝±2，c＝2．此时f(c)−f(b)＝−8或0，c2−b2＝0，从而f(c)−f(b)≤32(c2−b2)恒成立．综上所述，M的最小值为32．。

2018-2019学年湖南省长沙市雅礼中学高一上学期期末数学试题一、单选题1．已知集合A ＝{x |﹣1＜x ＜2}，B ＝{x |x ≥﹣1}，则A ∩B ＝（ ） A ．（﹣1，1] B ．（﹣1，2）C ．∅D ．[﹣1，2]【答案】B【解析】直接利用交集的运算求解即可. 【详解】解:因为A ＝{x |﹣1＜x ＜2},B ＝{x |x ≥﹣1}, 所以A ∩B ＝{x |﹣1＜x ＜2}. 故选:B . 【点睛】本题考查了交集的运算,属基础题.2．圆柱的底面半径为1，高为1，则圆柱的表面积为（ ） A ．π B ．3πC ．2πD ．4π【答案】D【解析】根据圆柱表面积的计算公式直接求解即可. 【详解】解:因为圆柱的底面半径为1,高为1,所以圆柱的表面积221214S πππ=⨯+⨯⨯=. 故选:D . 【点睛】本题考查了圆柱表面积的求法,属基础题.3．若点2)在直线l ：10ax y ++=上，则直线l 的倾斜角为（ ） A ．30° B ．45︒C ．60︒D ．120︒【答案】C【解析】210,a ++=∴=直线方程为：10y ++=，据此可得，直线l 的倾斜角为60︒. 本题选择C 选项.4．已知函数f (x )＝1,0,0x x x a x -≤⎧⎨>⎩，若f (1)＝f (－1)，则实数a =A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】根据题意，由f (1)＝f (－1)可得a ＝1－(－1)＝2，故选:B5．已知m ，n 为不同的直线，α，β为不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A ．m ⊂α，n ∥m ⇒n ∥α B ．m ⊂α，n ⊥m ⇒n ⊥α C ．m ⊂α，n ⊂β，m ∥n ⇒α∥β D ．n ⊂β，n ⊥α⇒α⊥β 【答案】D【解析】在A 选项中，可能有n ⊂α，故A 错误； 在B 选项中，可能有n ⊂α，故B 错误； 在C 选项中，两平面有可能相交，故C 错误；在D 选项中，由平面与平面垂直的判定定理得D 正确． 故选：D ．6．已知直线:20l kx y k -+-=过定点M ，点(),P x y 在直线210x y +-=上，则MP 的最小值是（ ）A ．BCD ．【答案】B【解析】令直线l 的参数k 的系数等于零，求得定点M 的坐标，利用两点间的距离公式、二次函数的性质，求得MP 的最小值. 【详解】直线:20l kx y k -+-=，即()120k x y --+=，过定点()1,2M ， 点(),P x y 在直线210x y +-=上，12y x ∴=-，MP ∴==故当15x =-时，MP ，故选B. 【点睛】本题主要考查直线经过定点问題，两点间的距离公式的应用，二次函数的性质，属于中档题.7．设2()3xa =，13()2x b -=，23c log x =，若x ＞1，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a ＜b ＜cB ．c ＜a ＜bC ．b ＜c ＜aD ．c ＜b ＜a【答案】B【解析】根据x ＞1,取x =2,则可以得到a ,b ,c 的具体值,然后比较大小即可. 【详解】解:由x ＞1,取x =2,则2()439x a ==,123()23x b -==,2233log log 20c x ==<,所以b a c >>. 故选:B . 【点睛】本题考查了指数和对数大小的比较,解题的关键是根据条件取特殊值,属基础题. 8．在正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线1A B 与AC 所成角是（ ） A ．30° B ．45︒C ．60︒D ．90︒【答案】C【解析】在正方体1111ABCD A B C D -中，11//AC A C ， 所以11B AC ∠即为所求（或其补角）.连接1B C ，因为1111B C AC A B ==，所以11B 60AC ∠=︒. 故选C.9．设两条直线的方程分别为x +y ﹣a ＝0、x +y +b ＝0，已知a 、b 是关于x 的方程x 2+x +c ＝0的两个实数根，则这两条直线之间的距离是（ ）A ．4B C ．2D ．无法确定【答案】C【解析】根据条件,由韦达定理可得1a b +=-,然后利用平行线间的距离公式求出距离. 【详解】解:因为a 、b 是关于x 的方程x 2+x +c ＝0的两个实数根,所以1a b +=-,所以两直线间的距离2d ==.故选:C . 【点睛】本题考查了韦达定理和两平行直线间的距离,属基础题.10．已知函数22y x x =+在闭区间[,]a b 上的值域为[﹣1，3]，则满足题意的有序实数对(,)a b 在坐标平面内所对应点组成的图形为A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】∵y=x 2+2x=（x+1）2﹣1，∴可画出图象如图1所示．；由x 2+2x=3，解得x=﹣3或x=1；又当x=﹣1时，（﹣1）2﹣2=﹣1．①当a=﹣3时，b 必须满足﹣1≤b≤1，可得点（a ，b ）在坐标平面内所对应点组成图形的长度为|AB|=1﹣（﹣1）=2；②当﹣3＜a≤﹣1时，b 必须满足b=1，可得点（a ，b ）在坐标平面内所对应点组成图形的长度为|BC|=（﹣1）﹣（﹣3）=2． 如图2所示：图2；故选：C．点睛：本题考查了二次函数在给定区间上的值域问题，值域是确定的，而定义域是变动的，解题关键是分辨清楚最大值是在左端点取到还是在右端点取到，问题就迎刃而解了. 11．已知函数y=f（x）的定义域为{x|x∈R，且x≠2}，且y=f（x+2）是偶函数，当x＜2时，f（x）=|2x﹣1|，那么当x＞2时，函数f（x）的递减区间是（）A．（3，5）B．（3，+∞）C．（2，+∞）D．（2，4]【答案】D【解析】试题分析：根据函数的奇偶性，推导出函数的对称性，再由题意和对称性求出函数的解析式，根据指数函数的图象画出函数大致的图形，可得到函数的减区间．解：∵y=f（x+2）是偶函数，∴f（﹣x+2）=f（x+2），则函数f（x）关于x=2对称，则f（x）=f（4﹣x）．若x＞2，则4﹣x＜2，∵当x＜2时，f（x）=|2x﹣1|，∴当x＞2时，f（x）=f（4﹣x）=|24﹣x﹣1|，则当x≥4时，4﹣x≤0，24﹣x﹣1≤0，此时f（x）=|24﹣x﹣1|=1﹣24﹣x=1﹣16×，此时函数递增，当2＜x≤4时，4﹣x＞0，24﹣x﹣1＞0，此时f（x）=|24﹣x﹣1|=24﹣x﹣1=16×﹣1，此时函数递减，所以函数的递减区间为（2，4]，故选D．【考点】奇偶性与单调性的综合；函数奇偶性的性质．12．设函数21(0)()ln 2(0)a x y f x xx x x ⎧+<⎪==⎨⎪->⎩，若()y f x =的图像上有四个不同的点A 、B 、C 、D 同时满足：①A 、B 、C 、D 、O （原点）五点共线；②共线的这条直线斜率为3-，则a 的取值范围是（ ） A．)+∞ B ．(4)-∞，C．(-∞-，D ．(4)+∞，【答案】A【解析】由题过A 、B 、C 、D 、O 的直线y 3x =-，当x 0>时，记()2g ln 2x x x =-，则()241g'x x x-+=()g x 在102⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递增，12∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭，单调递减，与y 3x =-有两个交点C 、D 。

湖南省长沙市雅礼中学2018-2019学年高三上学期第三次月考试卷数学含答案班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1． 已知,,a b c 为ABC ∆的三个角,,A B C 所对的边，若3cos (13cos )b C c B =-，则s i n :s i n C A =（ ） A ．2︰3 B ．4︰3 C ．3︰1 D ．3︰2 【命题意图】本题考查正弦定理、余弦定理，意在考查转化能力、运算求解能力．2． 设函数()()21x f x e x ax a =--+，其中1a <，若存在唯一的整数，使得()0f t <，则的 取值范围是（ ） A ．3,12e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ B ．33,24e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ C ．33,24e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭1111] 3． 与命题“若x ∈A ，则y ∉A ”等价的命题是（ ）A ．若x ∉A ，则y ∉AB ．若y ∉A ，则x ∈AC ．若x ∉A ，则y ∈AD ．若y ∈A ，则x ∉A4． 已知f （x ），g （x ）分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f （x ）﹣g （x ）=x 3﹣2x 2，则f （2）+g （2）=（ ） A ．16B ．﹣16C ．8D ．﹣85． 已知圆C 方程为222x y +=，过点(1,1)P -与圆C 相切的直线方程为（ ）A ．20x y -+=B ．10x y +-=C ．10x y -+=D ．20x y ++= 6． 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．64B ．72C ．80D ．112【命题意图】本题考查三视图与空间几何体的体积等基础知识，意在考查空间想象能力与运算求解能力.7． 已知函数()e sin xf x x =，其中x ∈R ，e 2.71828=为自然对数的底数．当[0,]2x π∈时，函数()y f x =的图象不在直线y kx =的下方，则实数k 的取值范围（ ）A ．(,1)-∞B ．(,1]-∞C ．2(,e )π-∞D ．2(,e ]π-∞【命题意图】本题考查函数图象与性质、利用导数研究函数的单调性、零点存在性定理，意在考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，以及构造思想、分类讨论思想的应用． 8． 函数y=a x +2（a ＞0且a ≠1）图象一定过点（ ）A ．（0，1）B ．（0，3）C ．（1，0）D ．（3，0）9． 若函数()y f x =的定义域是[]1,2016，则函数()()1g x f x =+的定义域是（ ）A ．(]0,2016B ．[]0,2015C ．(]1,2016D ．[]1,2017 10．在ABC ∆中，22tan sin tan sin A B B A =，那么ABC ∆一定是（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰三角形或直角三角形 11．已知集合23111{1,(),,}122i A i i i i -=-+-+（其中为虚数单位），2{1}B x x =<，则A B =（ ） A ．{1}- B ．{1} C ．{1,}2- D ．{}212．设βα,是两个不同的平面，是一条直线，以下命题正确的是（ ） A ．若α⊥l ，βα⊥，则β⊂l B ．若α//l ， βα//，则β⊂l C ．若α⊥l ，βα//，则β⊥l D ．若α//l ，βα⊥，则β⊥l二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）13．（﹣2）7的展开式中，x 2的系数是 ．14．图中的三个直角三角形是一个体积为20的几何体的三视图，则h =__________.15．已知1,3x x ==是函数()()()sin 0f x x ωϕω=+>两个相邻的两个极值点，且()f x 在32x = 处的导数302f ⎛⎫'<⎪⎝⎭，则13f ⎛⎫= ⎪⎝⎭___________．16．设,则三、解答题（本大共6小题，共70分。

1 / 42018-2019学年雅礼中学高一第一学期期末考试数学试卷命题人：陈朝阳 审题人：张博 杨日武一．选择题（本大题包括12个小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）1. 已知集合{}21<<-=x x A 丨，{}1-≥=x x B 丨，则=B A （ ）A.()2,1-B.(]1,1-C.ØD.[]2,1-2.圆柱的底面半径为1，高为1，则圆柱的表面积为（ ）A.πB.π3C.π2D.π43.若点()23，在直线01:=++y ax l 上，则直线l 的倾斜角为（）A.︒30 B.︒45 C.︒60 D.︒1204.已知函数=)(x f 0,0,-1>≤x a x x x ，若)1()1(-=f f ，则实数a 的值等于（ ） A.1 B.2C.3D.45.已知n m ,为不同的直线，βα，为不同的平面，则下列说法正确的是（ ）A.αα////n m n m ⇒⊂， B.αα⊥⇒⊥⊂n m n m ，C.βαβα////,⇒⊂⊂m n n m ， D.βααβ⊥⇒⊥⊂n n ,6.已知直线02:=-+-k y kx l 过定点M ，点M 到直线012=-+y x 的距离是（ ） A.10 B.553 C.6 D.537.设x c b a x x 321log 2332=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=-，，，若1>x ，则c b a ，，的大小关系是（ ）A.c b a <<B.b a c <<C a c b << D.ab c <<8.在正方体1111D C B A ABCD -中，异面直线CA 与1BA 所成角是（ ）A.︒30B.︒45C.︒60D.︒909.设两条直线的方程分别为00=++=-+b y x a y x ，，已知b a ，是关于x 的方程02=++c x x 的两个实数根，则这两条直线之间的距离是（ ）A.42 B.2 C.22 D.无法确定10.已知函数x x y 22+=在闭区间[]b a ,上的值域为[]3,1-，则满足题意的有序实数对()b a ,在坐标平面内所对应点组成图形为（ ）2 / 4A. B.C. D.11.已知函数()x f y =的定义域为{}2≠∈x R x x 且丨，且()2+=x f y 是偶函数，当2<x 时，()12-=x x f ，那么当2>x 时，函数()x f 的递减区间是（ ）A.()5,3B.()+∞,3C.()+∞,2D.(]4,212.设函数()=x f 02ln 012>-<+x x x x xa ，，若函数()x f 的图像上有四个不同的点D C B A ，，，同时满足：①O D C B A ，，，，（原点）五点共线；②共线的这条直线斜率为3-；则a 的取值范围是（ ） A.()+∞,32 B.()4,-∞- C.()32,-∞- D.()+∞,4二．填空题（每题5分，满分20分，将答案写在答题纸上）13.若三点()()⎪⎭⎫ ⎝⎛--m C B A ,212,33,2，，共线，则m 的值为__________. 14.设集合{}10<≤x x A 丨，{}21≤≤x x B 丨，函数()=x f Bx x A x x ∈-∈，，242，若A x ∈0且()230=x f ，则0x 的值是__________.15.将底边长为2的等腰直角三角形ABC 沿高线AD 折起，使︒=∠60BDC ，若折起后D C B A ，，，四点都在球O 的表面上，则球O 的表面积为__________.16.在平面直角坐标系中，两点()()222111,,y x P y x P ，间的“L 距离”定义为212121y y x x P P -+-=，记平面内与x 轴上两个不同的定点()()()00,0,21>-c c F c F ，的“L -距离”之和等于定值()02>a a （大于21F F ）的点的轨迹是T ，则T 围成的面积是_________.三．解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）3 / 417.（本小题满分10分）如图所示，在棱长为2的正方形1111D C B A ABCD -中，F E 、分别为DB DD 、1的中点.（1）求证：11//D ABC EF 平面；（2）求三棱锥1FCB E -的体积.18.（本小题满分12分）已知ABC ∆三边所在直线方程：0623:=+-y x l AB ，02232:=-+y x l AC ，()30,043:≠∈=-+m R m m y x l BC .（1）判断ABC ∆的形状；（2）当BC 边上的高为1时，求m 的值.19.（本小图满分12分）某个实心零部件的形状是如图所示的几何体，其下部是底面均是正方形，侧面为全等的等腰梯形的四棱台ABCD D C B A -1111，上部是一个底面与四棱台的上底面重合，侧面是全等的矩形的四棱柱2222D C B A ABCD -（1）证明：直线11D B ⊥平面22A ACC ；（2）现需要对该零部件表面进行防腐处理，已知201011==B A AB ，，302=AA ，131=AA （单位：厘米），每平方厘米的加工处理费为20.0元，需加工处理费多少元？20.（本小题满分12分）已知函数()()R a a x f x x ∈-=22. （1）若函数()x f y =为奇函数，求a 的值；4 / 4 （2）若方程()a x f =在[]1,0∈x 上有且仅有一个实根，求a 的取值范围.21.（本小题满分12分）三棱锥平行于底面ABC 的平面所截得的几何体如图所示，截面为111C B A ，︒=∠90BAC ，⊥A A 1平面ABC ，31=A A ，2=AB A ，2=AC ，111=C A ，21=DC BD . （1）证明：D A BC 1⊥；（2）求二面角B CC A --1的余弦值. 22.（本题满分12分）设函数()()a x x f a 3log -=()10≠>a a 且，当点()y x P ,是函数()x f y =图象上的点时，点()y a x Q --,2是函数()x g y =图象上的点.（1）写出函数()x g y =的解析式；（2）把()x g y =的图象向左平移a 个单位得到()x h y =的图象，函数()()[]()x h x h a a x F --+-=22，是否存在实数()n m n m <,，使函数()x F 的定义域为()n m ,，值域为()n m ,，如果存在，求出n m ,的值；如果不存在，说明理由；（3）若当[]3,2++∈a a x 时，恒有()()1≤-x g x f ，试确定a 的取值范围.。