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江苏省南通中学2018届高三(上)开学数学试卷(含解析)

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2017-2018学年江苏省南通中学高三（上）开学数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需写出解题过程，请把答案直接填写在答卷相应位置上．）1．已知集合A={﹣2，﹣1，3，4}，B={﹣1，2，3}，则A∩B=．2．命题“∃x∈（0，+∞），ln x=x﹣1”否定是．3．设复数z满足（z﹣1）i=﹣1+i，其中i是虚数单位，则复数z模是．4．执行如图所示流程图，则输出k值为．5．一汽车厂生产A，B，C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月产量（单位：辆）如表：按类用分层抽样方法在这个月生产轿车中抽取50辆，其中有A类轿车10辆．则z值为．6．已知，则=．7．设函数f（x）为定义在R上奇函数，当x≥0时，f（x）=2x+2x+b（b为常数），则f（﹣1）=．8．在棱长为2正方体内随机取一点，取到点到正方体中心距离大于1概率．9．已知函数f（x）=满足对任意x1≠x2，都有＜0成立，则a取值范围是．10．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若各条棱长均为2，且M为A1C1中点，则三棱锥M﹣AB1C体积是．11．已知点F是双曲线（a＞0，b＞0）左焦点，点E是该双曲线右顶点，过F且垂直于x轴直线与双曲线交于A、B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线离心率e取值范围是．12．已知三次函数f（x）=x3+x2+cx+d（a＜b）在R上单调递增，则最小值为．13．已知函数g（x）=，若函数y=g（g（x））﹣2m有3个不同零点，则实数m取值范围是．14．已知，是非零不共线向量，设=+，定义点集M={K|=}，当K1，K2∈M时，若对于任意r≥2，不等式||≤c||恒成立，则实数c最小值为．二、解答题：（本大题共6小题，15-17每题14分，18-20每题16分，共计90分．请在答卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB∥CD，AB1⊥BC，且AA1=AB．（1）求证：AB∥平面D1DCC1；（2）求证：AB1⊥平面A1BC．16．已知向量=（cosα，﹣1），=（2，sinα），其中，且．（1）求cos2α值；（2）若sin（α﹣β）=，且，求角β．17．如图所示，摄影爱好者S在某公园A处，发现正前方B处有一立柱，测得立柱顶端O仰角和立柱底部B俯角均为．设S眼睛到地面距离为米．（1）求摄影爱好者到立柱水平距离和立柱高度；（2）立柱顶端有一长2米彩杆MN绕其中点O在S与立柱所在平面内旋转．摄影爱好者有一视角范围为镜头，在彩杆转动任意时刻，摄影爱好者是否都可以将彩杆全部摄入画面？请说明理由．18．已知：已知函数f（x）=﹣+2ax，（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点P（2，f（2））处切线斜率为﹣6，求实数a；（Ⅱ）若a=1，求f（x）极值；（Ⅲ）当0＜a＜2时，f（x）在[1，4]上最小值为﹣，求f（x）在该区间上最大值．19．已知椭圆=1（a＞b＞0）右焦点为F2（1，0），点H（2，）在（I）求椭圆方程；（Ⅱ）点M在圆x2+y2=b2上，且M在第一象限，过M作圆x2+y2=b2切线交椭圆于P，Q两点，求证：△PF2Q周长是定值．20．设数列{a n}是各项均为正数等比数列，其前n项和为S n，若a1a5=64，S5﹣S3=48．（1）求数列{a n}通项公式；（2）对于正整数k，m，l（k＜m＜l），求证：“m=k+1且l=k+3”是“5a k，a m，a l 这三项经适当排序后能构成等差数列”成立充要条件；（3）设数列{b n}满足：对任意正整数n，都有a1b n+a2b n﹣1+a3b n﹣2+…+a n b1=3•2n+1﹣4n﹣6，且集合中有且仅有3个元素，试求λ取值范围．II卷（本大题共4小题，每题10分，共计40分．请在答卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）21．已知矩阵A=，若A=，求矩阵A特征值．22．在平面直角坐标系xOy中，已知直线（l为参数）与曲线（t为参数）相交于A，B两点，求线段AB长．23．某乐队参加一户外音乐节，准备从3首原创新曲和5首经典歌曲中随机选择4首进行演唱．（1）求该乐队至少演唱1首原创新曲概率；（2）假定演唱一首原创新曲观众与乐队互动指数为a（a为常数），演唱一首经典歌曲观众与乐队互动指数为2a，求观众与乐队互动指数之和X概率分布及数24．已知函数f （x ）=2x ﹣3x 2，设数列{a n }满足：a 1=，a n +1=f （a n ） （1）求证：对任意n ∈N *，都有0＜a n ＜；（2）求证： ++…+≥4n +1﹣4．2017-2018学年江苏省南通中学高三（上）开学数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需写出解题过程，请把答案直接填写在答卷相应位置上．）1．已知集合A={﹣2，﹣1，3，4}，B={﹣1，2，3}，则A∩B={﹣1，3} ．【考点】1E：交集及其运算．【分析】根据集合基本运算即可得到结论．【解答】解：∵A={﹣2，﹣1，3，4}，B={﹣1，2，3}，∴A∩B={﹣1，3}，故答案为：{﹣1，3}2．命题“∃x∈（0，+∞），ln x=x﹣1”否定是∀x∈（0，+∞），lnx≠x﹣1．【考点】2J：命题否定．【分析】运用特称命题否定为全称命题，以及量词和不等号变化，即可得到所求命题否定．【解答】解：由特称命题否定为全称命题，可得命题“∃x∈（0，+∞），ln x=x﹣1”否定是∀x∈（0，+∞），ln x≠x﹣1．故答案为：∀x∈（0，+∞），ln x≠x﹣1．3．设复数z满足（z﹣1）i=﹣1+i，其中i是虚数单位，则复数z模是．【考点】A5：复数代数形式乘除运算；A3：复数相等充要条件．【分析】先求出z代数形式，再求模计算．【解答】解：由（z﹣1）i=﹣1+i，得z=+1=i+1+1=2+i所以|z|=故答案为：4．执行如图所示流程图，则输出k值为4．【考点】EF：程序框图．【分析】按照程序框图流程写出前几次循环结果，并判断每一次得到结果是否满足判断框中条件，直到满足条件，执行输出．【解答】解：当k=1，S=1时，进入循环，S=1，不满足退出循环条件，k=2，S=2，不满足退出循环条件，k=3，S=6，不满足退出循环条件，k=4，S=15，满足退出循环条件，故输出k值为4．故答案为：45．一汽车厂生产A，B，C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月产量（单位：辆）如表：按类用分层抽样方法在这个月生产轿车中抽取50辆，其中有A类轿车10辆．则z值为400．【考点】B3：分层抽样方法．【分析】由题意可得，解得z值即可．【解答】解：由题意可得，解得z=400，故答案为：400．6．已知，则=．【考点】GR：两角和与差正切函数；GG：同角三角函数间基本关系．【分析】根据α范围，以及cosα值，利用同角三角函数间基本关系求出sinα值，进而确定出tanα值，所求式子利用两角和与差正切函数公式及特殊角三角函数值化简，计算即可得到结果．【解答】解：∵α∈（π，π），cosα=﹣，∴sinα=﹣=﹣，∴tanα=，则tan（﹣α）===．故答案为：7．设函数f（x）为定义在R上奇函数，当x≥0时，f（x）=2x+2x+b（b为常数），则f（﹣1）=﹣3．【考点】3L：函数奇偶性性质．【分析】由奇函数性质得f（0）=0，代入解析式求出b值，利用函数奇偶性将f （﹣1）转化为f（﹣1）=﹣f（1），然后直接代入解析式即可．【解答】解：∵函数f（x）为定义在R上奇函数，∴f（0）=1+b=0，解得b=﹣1，则当x≥0时，f（x）=2x+2x﹣1，∴f（﹣1）=﹣f（1）=﹣（2+2﹣1）=﹣3，故答案为：﹣3．8．在棱长为2正方体内随机取一点，取到点到正方体中心距离大于1概率1﹣．【考点】CF：几何概型．【分析】本题利用几何概型求解．只须求出满足：OQ≥1几何体体积，再将求得体积值与整个正方体体积求比值即得．【解答】解：取到点到正方体中心距离小于等于1构成几何体体积为：×13=，∴点到正方体中心距离大于1几何体体积为：v=V正方体﹣=8﹣取到点到正方体中心距离大于1概率：P==1﹣．故答案为：1﹣．9．已知函数f（x）=满足对任意x1≠x2，都有＜0成立，则a取值范围是（0，] ．【考点】3E：函数单调性判断与证明．【分析】根据已知条件可知函数f（x）在R上单调递减，所以对于a x，0＜a＜1；对于（a﹣3）x+4a，a＜3，又a x＞1，所以（a﹣3）x+4a最大值满足小于等于1，而（a﹣3）x+4a对于x≥0时最大值为4a，所以4a≤1，所以得到，和前面0＜a＜1a取值求交集即得a取值范围．【解答】解：∵对任意x1≠x2，都有＜0成立；∴f（x1）﹣f（x2）与x1﹣x2异号，即x1﹣x2＜0时，f（x1）﹣f（x2）＞0，即x1＜x2时，f（x1）＞f（x2）；∴函数f（x）在R上是减函数；∴x＜0时，f（x）=a x，0＜a＜1；x≥0时，f（x）=（a﹣3）x+4a，a﹣3＜0，a＜3，又a x＞1，（a﹣3）x+4a）max=4a ≤1，∴；又0＜a＜1，∴0＜a≤；∴a取值范围是．故答案为：．10．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若各条棱长均为2，且M为A1C1中点，则三棱锥M﹣AB1C体积是．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台体积．【分析】由，利用等积法能求出三棱锥M﹣AB1C体积．【解答】解：∵在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，各条棱长均为2，且M为A1C1中点，==2，∴S△AMCMB1⊥平面AMC，且B1M==，∴====．故答案为：．11．已知点F是双曲线（a＞0，b＞0）左焦点，点E是该双曲线右顶点，过F且垂直于x轴直线与双曲线交于A、B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线离心率e取值范围是（1，2）．【考点】KC：双曲线简单性质．【分析】利用双曲线对称性及锐角三角形∠AEF＜45°得到AF＜EF，求出A坐标；求出AF，EF得到关于a，b，c不等式，求出离心率范围．【解答】解：∵△ABE是锐角三角形∴∠AEB为锐角∵双曲线关于x轴对称，且直线AB垂直x轴∴∠AEF=∠BEF＜45°∴AF＜EF∵F为左焦点，设其坐标为（﹣c，0）所以A（）所以AF=，EF=a+c∴即c2﹣ac﹣2a2＜0解得双曲线离心率范围是（1，2）故答案为（1，2）12．已知三次函数f（x）=x3+x2+cx+d（a＜b）在R上单调递增，则最小值为3．【考点】6A：函数单调性与导数关系．【分析】由题意得f'（x）=ax2+bx+c在R上恒大于或等于0，得a＞0，△=b2﹣4ac≤0，将此代入，将式子进行放缩，以为单位建立函数关系式，最后构造出运用基本不等式模型使问题得到解决．【解答】解：由题意f'（x）=ax2+bx+c≥0在R上恒成立，则a＞0，△=b2﹣4ac ≤0．∴≥令，≥≥3．（当且仅当t=4，即b=c=4a时取“=”）故答案为：313．已知函数g（x）=，若函数y=g（g（x））﹣2m有3个不同零点，则实数m取值范围是（，1] ．【考点】54：根存在性及根个数判断．【分析】作出函数y=g（g（x））图象，即可确定实数k取值范围．【解答】解：当x＜0时，g（x）=﹣x+1＞0，此时g（g（x））=（﹣x+1）2﹣1=x2﹣2x当0≤x＜1时，g（x）=x2﹣1＜0，此时g（g（x））=﹣（x2﹣1）+1=﹣x2+2当x≥1时，g（x）=x2﹣1≥0，此时g（g（x））=（x2﹣1）2﹣1=x4﹣2x2，函数y=g（g（x））=．函数y=g（g（x））图象如下：结合图象可得若函数y=g（g（x））﹣2m有3个不同零点，则实数m取值范围是（，1]故答案为：（]14．已知，是非零不共线向量，设=+，定义点集M={K|=}，当K 1，K2∈M时，若对于任意r≥2，不等式||≤c||恒成立，则实数c最小值为．【考点】9R：平面向量数量积运算．【分析】由=+，可得A，B，C共线，再由向量数量积几何意义可得KC为∠AKB平分线，由角平分线性质定理可得==r，可得K轨迹为圆，求得圆直径与AB关系，即可得到所求最值．【解答】解：由=+，可得A，B，C共线，由=，可得||cos∠AKC=||cos∠BKC，即有∠AKC=∠BKC，则KC为∠AKB平分线，由角平分线性质定理可得==r，即有K轨迹为圆心在AB上圆，由|K1A|=r|K1B|，可得|K1B|=，由|K2A|=r|K2B|，可得|K2B|=，可得|K1K2|=+=|AB|=|AB|，由r﹣在r≥2递增，可得r﹣≥2﹣=，即有|K1K2|≤|AB|，即≤，由题意可得c≥，故c最小值为．故答案为：．二、解答题：（本大题共6小题，15-17每题14分，18-20每题16分，共计90分．请在答卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB∥CD，AB1⊥BC，且AA1=AB．（1）求证：AB∥平面D1DCC1；（2）求证：AB1⊥平面A1BC．【考点】LW：直线与平面垂直判定；LS：直线与平面平行判定．【分析】（1）由AB∥CD，且CD⊂平面D1DCC1，AB⊄平面D1DCC1，由线面平行判定定理即可证明AB∥平面D1DCC1；（2）证明AB1⊥平面A1BC，只需证明AB1⊥A1B，利用四边形ABB1A1为菱形即可；【解答】证明：（1）∵AB∥CD，CD⊂平面D1DCC1，AB⊄平面D1DCC1；∴AB∥平面D1DCC1；…（2）在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，四边形ABB1A1为平行四边形，∵AA1=AB，∴四边形ABB1A1为菱形，∴AB1⊥A1B，∵AB1⊥BC，A1B∩BC=B，∴AB1⊥平面A1BC，…16．已知向量=（cosα，﹣1），=（2，sinα），其中，且．（1）求cos2α值；（2）若sin（α﹣β）=，且，求角β．【考点】9T：数量积判断两个平面向量垂直关系．【分析】（1）由已知得=2cosα﹣sinα=0，从而sin2α+cos2α=5cos2α=1，进而cos2α=，由此能求出cos2α．（2）由cos2α=，，得cosα=，sinα==，由sin（α﹣β）=，且，得sinβ=2cos，由此能求出β值．【解答】解：（1）∵向量=（cosα，﹣1），=（2，sinα），其中，且．∴=2cosα﹣sinα=0，∴sin2α+cos2α=5cos2α=1，∴cos2α=，∴cos2α=2cos2α﹣1=﹣．（2）∵cos2α=，，∴cosα=，sinα==，∵sin（α﹣β）=，且，∴sinαcosβ﹣cosαsinβ=，∴2cosβ﹣sinβ=，∴sinβ=2cos，∴sin2β+cos2β=5cos2β﹣2﹣=0，解得cosβ=或cosβ=﹣（舍），∵，∴β=．17．如图所示，摄影爱好者S在某公园A处，发现正前方B处有一立柱，测得立柱顶端O仰角和立柱底部B俯角均为．设S眼睛到地面距离为米．（1）求摄影爱好者到立柱水平距离和立柱高度；（2）立柱顶端有一长2米彩杆MN绕其中点O在S与立柱所在平面内旋转．摄影爱好者有一视角范围为镜头，在彩杆转动任意时刻，摄影爱好者是否都可以将彩杆全部摄入画面？请说明理由．【考点】HU：解三角形实际应用．【分析】（1）作SC垂直OB于C，通过求解三角形求解立柱高即可．（2）连结SM，SN．设SN=a，SM=b．推出cos∠SOM=﹣cos∠SON，利用余弦定理求解即可．【解答】解：（1）如图，作SC垂直OB于C，则∠CSB=，∠ASB=．又SA=，故在Rt△SAB中，可求得BA=3，即摄影爱好者到立柱水平距离为3米．由SC=3，∠CSO=，在Rt△SCO中，可求得OC=．因为BC=SA=，故OB=2，即立柱高为2米．（2）如图，连结SM，SN．设SN=a，SM=b．由（1）知SO=2，在△SOM和△SON中，cos∠SOM=﹣cos∠SON，即=﹣，可得a2+b2=26．在△MSN中，cos∠MSN==≥=＞，当且仅当a=b时，等号成立．又∠MSN∈（0，π），则0＜∠MSN＜．故摄影爱好者S可以将彩杆全部摄入画面．18．已知：已知函数f（x）=﹣+2ax，（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点P（2，f（2））处切线斜率为﹣6，求实数a；（Ⅱ）若a=1，求f（x）极值；（Ⅲ）当0＜a＜2时，f（x）在[1，4]上最小值为﹣，求f（x）在该区间上最大值．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程；6K：导数在最大值、最小值问题中应用．【分析】（Ⅰ）求出曲线y=f（x）在点P（2，f（2））处导数值等于切线斜率为﹣6，即可求实数a；（Ⅱ）通过a=1，利用导函数为0，判断导数符号，即可求f （x ）极值； （Ⅲ）当0＜a ＜2时，利用导函数单调性，通过f （x ）在[1，4]上最小值为﹣，即可求出a ，然后求f （x ）在该区间上最大值． 【解答】（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）因为f′（x ）=﹣x 2+x +2a ，曲线y=f （x ）在点P （2，f （2））处切线斜率k=f′（2）=2a ﹣2，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣依题意：2a ﹣2=﹣6，a=﹣2．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ （Ⅱ）当a=1时，，f′（x ）=﹣x 2+x +2=﹣（x +1）（x ﹣2）﹣﹣﹣﹣所以，f （x ）极大值为，f （x ）极小值为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ （Ⅲ）令f′（x ）=0，得，，f （x ）在（﹣∞，x1），（x 2，+∞）上单调递减，在（x 1，x 2）上单调递增， 当0＜a ＜2时，有x 1＜1＜x 2＜4，所以f （x ）在[1，4]上最大值为f （x 2），f （4）＜f （1），所以f （x ）在[1，4]上最小值为，解得：a=1，x 2=2．故f （x ）在[1，4]上最大值为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣19．已知椭圆=1（a ＞b ＞0）右焦点为F 2（1，0），点H （2，）在椭圆上．（I）求椭圆方程；（Ⅱ）点M在圆x2+y2=b2上，且M在第一象限，过M作圆x2+y2=b2切线交椭圆于P，Q两点，求证：△PF2Q周长是定值．【考点】K4：椭圆简单性质．【分析】（I）利用椭圆定义及其性质即可得出；（II）方法1：设P（x1，y1），Q（x2，y2），利用两点之间距离公式与，可得，再利用切线性质可得|PM|=，可得，同理|QF2|+|QM|=3，即可证明；方法2：设P（x1，y1），Q（x2，y2），设PQ方程为y=kx+m（k＜0，m＞0），与椭圆方程联立可得根与系数关系，利用弦长公式可得|PQ，利用PQ与圆x2+y2=8相切性质可得，得到，利用两点之间距离公式可得，同理可得，即可证明．【解答】（I）解：根据已知，椭圆左右焦点为分别是F1（﹣1，0），F2（1，0），c=1，∵在椭圆上，∴，∴a=3，b2=a2﹣c2=8，椭圆方程是；（II）证明：方法1：设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，，∵0＜x1＜3，∴，在圆中，M是切点，∴，∴，同理|QF2|+|QM|=3，∴|F2P|+|F2Q|+|PQ|=3+3=6，因此△PF2Q周长是定值6．方法2：设PQ方程为y=kx+m（k＜0，m＞0），由，得（8+9k2）x2+18kmx+9m2﹣72=0设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，，∴===，∵PQ与圆x2+y2=8相切，∴，即，∴，∵，∵0＜x1＜3，∴，同理，∴，因此△PF2Q周长是定值6．斜率不存在时也成立．故△PF2Q周长是定值6．20．设数列{a n}是各项均为正数等比数列，其前n项和为S n，若a1a5=64，S5﹣S3=48．（1）求数列{a n}通项公式；（2）对于正整数k，m，l（k＜m＜l），求证：“m=k+1且l=k+3”是“5a k，a m，a l 这三项经适当排序后能构成等差数列”成立充要条件；（3）设数列{b n}满足：对任意正整数n，都有a1b n+a2b n﹣1+a3b n﹣2+…+a n b1=3•2n+1﹣4n﹣6，且集合中有且仅有3个元素，试求λ取值范围．【考点】8M：等差数列与等比数列综合；8K：数列与不等式综合．【分析】（1）由题意和等比数列性质先求出a3，由等比数列通项公式、前n项和定义求出公比q，代入等比数列通项公式化简即可；（2）由充要条件定义分别证明充分性、必要性，顺序分类讨论后分别利用等差数列性质和a n进行证明；（3）由（1）化简a1b n+a2b n﹣1+a3b n﹣2+…+a n b1=3•2n+1﹣4n﹣6后，两边同乘以2再作差求出b n，注意验证n=1是否成立代入，利用作差判断数列{}单调性，再求出符合条件λ范围．【解答】解：（1）设等比数列{a n}公比是q，∵数列{a n}是各项均为正数等比数列，∴，解得a3=8，又∵S5﹣S3=48，∴，解得q=2，∴；…4分（2）（ⅰ）必要性：设5a k，a m，a l这三项经适当排序后能构成等差数列，①若2•5a k=a m+a l，则10•2k=2m+2l，∴10=2m﹣k+2l﹣k，∴5=2m﹣k﹣1+2l﹣k﹣1，∴，∴．…6分②若2a m=5a k+a l，则2•2m=5•2k+2l，∴2m+1﹣k﹣2l﹣k=5，左边为偶数，等式不成立，③若2a l=5a k+a m，同理也不成立，综合①②③，得m=k+1，l=k+3，所以必要性成立．…8分（ⅱ）充分性：设m=k+1，l=k+3，则5a k，a m，a l这三项为5a k，a k+1，a k+3，即5a k，2a k，8a k，调整顺序后易知2a k，5a k，8a k成等差数列，所以充分性也成立．综合（ⅰ）（ⅱ），原命题成立．…10分（3）因为，即，①∴当n≥2时，，②则②式两边同乘以2，得，③∴①﹣③，得2b n=4n﹣2，即b n=2n﹣1（n≥2），又当n=1时，，即b1=1，适合b n=2n﹣1（n≥2），∴b n=2n﹣1．…14分∴，∴，∴n=2时，，即；∴n≥3时，，此时单调递减，又，，，，∴．…16分II卷（本大题共4小题，每题10分，共计40分．请在答卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）21．已知矩阵A=，若A=，求矩阵A特征值．【考点】OV：特征值与特征向量计算．【分析】由矩阵乘法首先求得实数a，b值，然后求解矩阵特征值即可．【解答】解：因为，所以，解得a=2，d=1，所以矩阵A特征多项式为：，令f（λ）=0解得矩阵A特征值为λ=4或﹣1．22．在平面直角坐标系xOy中，已知直线（l为参数）与曲线（t为参数）相交于A，B两点，求线段AB长．【考点】QH：参数方程化成普通方程．【分析】先把方程化为普通方程，再联立，利用弦长公式，即可求线段AB长．【解答】解：直线（l为参数）与曲线（t为参数）普通方程分别为x﹣y=﹣，y2=8x，联立可得x2﹣5x+=0，∴|AB|==4．23．某乐队参加一户外音乐节，准备从3首原创新曲和5首经典歌曲中随机选择4首进行演唱．（1）求该乐队至少演唱1首原创新曲概率；（2）假定演唱一首原创新曲观众与乐队互动指数为a（a为常数），演唱一首经典歌曲观众与乐队互动指数为2a，求观众与乐队互动指数之和X概率分布及数学期望．【考点】CH：离散型随机变量期望与方差．【分析】（1）设“至少演唱 1 首原创新曲”为事件A，则事件 A 对立事件为：“没有1 首原创新曲被演唱”．可得P（A）=1﹣P（）．（2）设随机变量x 表示被演唱原创新曲首数，则x 所有可能值为0，1，2，3．依题意，X=ax+2a（4﹣x）=8a﹣ax，故X 所有可能值依次为8a，7a，6a，5a．利用超几何分布列计算公式即可得出．【解答】解：（1）设“至少演唱 1 首原创新曲”为事件A，则事件A 对立事件为：“没有 1 首原创新曲被演唱”．所以P（A）=1﹣P（）=1﹣=．答：该乐队至少演唱 1 首原创新曲概率为．（2）设随机变量x 表示被演唱原创新曲首数，则x 所有可能值为0，1，2，3．依题意，X=ax+2a（4﹣x）=8a﹣ax，故X 所有可能值依次为8a，7a，6a，5a．则P（X=8a）=P（x=0）==．P（X=7a）=P（x=1）==．P（X=6a）=P（x=2）==．P（X=5a）=P（x=3）==．．从而X 概率分布为：所以X 数学期望E（X）=8a×+7a×+6a×+5a×=a．=f（a n）24．已知函数f（x）=2x﹣3x2，设数列{a n}满足：a1=，a n+1（1）求证：对任意n∈N*，都有0＜a n＜；（2）求证： ++…+≥4n+1﹣4．【考点】8E ：数列求和；8K ：数列与不等式综合．【分析】（1）由已知可得：a n +1=2a n ﹣3=﹣3+≤．可得a n ＜．作差==3a n （3a n ﹣2），由a n＜（n ∈N *），可得：a n +1与a n 同号，因此a n ＞0，（2）由0＜a n ＜，a n +1=2a n ﹣3，可得a n +1﹣a n ==a n （1﹣3a n ）＞0，因此数列{a n }单调递增．n ＞1时，，可得＞4，=＞＞…＞，即可证明．【解答】证明：（1）∵a n +1=f （a n ），函数f （x ）=2x ﹣3x 2，∴a n +1=2a n ﹣3=﹣3+≤．若a n +1=，则a n =，可得a 1=，与已知a 1=矛盾，因此等号不成立．∴a n ＜．===3a n（3a n ﹣2），由a n ＜（n ∈N *），可得a n +1，3a n ﹣2＜0，因此a n +1与a n 同号，a 1=＞0， ∴a n ＞0，综上可得：对任意n ∈N *，都有0＜a n ＜．（2）∵0＜a n ＜，a n +1=2a n ﹣3，∴a n +1﹣a n ==a n （1﹣3a n ）＞0，∴a n +1＞a n ，∴数列{a n }单调递增．∴n ＞1时， ，∴＞4，∴==＞＞＞…＞=4n+1，∴++…+≥3（4+42+…+4n）=3×=4n+1﹣4．∴++…+≥4n+1﹣4．。

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2023届江苏省南通市海安市实验中学高三下学期开学考试数学试题(解析版)

2023届江苏省南通市海安市实验中学高三下学期开学考试数学试题(解析版)

2023届江苏省南通市海安市实验中学高三下学期开学考试数学试题一、单选题1．若2(1i)1i z +=-，则z =（ ）A ．1i 22-B ．1i 22--C ．1i 22+D ．1i 22-+【答案】B【分析】根据题意，由复数的运算即可得到结果. 【详解】因为2(1i)1i z +=-，则()()221i i 1i1i i 11i2i 2i 2221i z -⨯--+=====---+ 故选:B2．设集合{}{}2|1,|4M x x N x x =<-=<，则()M N ⋃=R （ ）A ．{}2x x >-B ．{}12x x -≤<C ．{}1x x ≥-D ．{}2x x <【答案】A【分析】根据题意，将集合N 化简，然后由集合的运算即可得到结果.【详解】因为{}{}2|422N x x x x =<=-<<，且{}1M x x =≥-R ，所以{}()2M N x x ⋃=>-R 故选:A3．如图所示是我国古代舂米用的一种青石制成的石臼，其外形是正四棱台，糙米(杂粮等)放在中间凿出的半球内，利用石锤等工具对糙米进行加工．已知该石臼上口宽和高都等于0.8m ，下底边长与球的直径都等于0.6m ，则该石臼的体积约为(参考数据：π 3.14≈)（ ）A ．0.213mB ．0.283mC ．0.343mD ．0.463m【答案】C【分析】根据台体体积公式和球的体积公式求解.【详解】正四棱台的体积为 ()()11212110.640.360.640.360.80.4033V S S S S h =++=++⨯⨯≈3m ， 半球的体积为331414π 3.140.30.062323R ⨯=⨯⨯⨯≈3m ，所以该石白的体积约为0.400.060.34-=3m ， 故选:C.4．在ABC 中，2AB DA =，2CE EA =，直线DE 与直线BC 交于点F ．设AB a =，AC b =，则DF ＝（ ）A ．2193a b +B ．5193a b +C ．93105a b + D ．23510a b +【答案】C【分析】根据题意，可得2133DE DA DC =+，再由,,F B C 三点共线，利用共线定理求解即可. 【详解】如下图所示：由题可知，()22213333DE DC CE DC CA DC CD DA DA DC =+=+=++=+，由共线定理可知，存在实数λ满足()1DF DB DC λλ=+-， 又因为2AB DA =，所以3DB DA =， 因此()31DF DA DC λλ=+-， 又2133DE DA DC =+与()31DF DA DC λλ=+-共线， 所以3211λλ=-，解得2=5λ，则()2323355525DF DB DC AB DA AC =+=⨯++ 33135525AB AB AC =+⨯+93105a b =+. 故选：C.5．已知函数()f x 的定义域为R ，()()()()2,24f x f x f f +=--=-，且()f x 在[)1,+∞上递增，则()10xf x ->的解集为（ ）A ．()()2,04,∞-⋃+B ．()(),15,∞∞--⋃+C ．()(),24,-∞-+∞D ．()()1,05,∞-⋃+【答案】B【分析】根据()()2f x f x +=-可得()f x 关于直线1x =对称，根据()()24f f -=-可得()()240f f -==，结合函数()f x 的单调性可得函数图象，根据图象列不等式求解集即可.【详解】解：函数()f x ，满足()()2f x f x +=-，则()f x 关于直线1x =对称， 所以()()()244f f f -==-，即()()240f f -==， 又()f x 在[)1,+∞上递增，所以()f x 在(),1-∞上递减， 则可得函数()f x 的大致图象，如下图：所以由不等式()10xf x ->可得，20210x x -<<⎧⎨-<-<⎩或414x x >⎧⎨->⎩，解得10x -<<或5x >，故不等式()10xf x ->的解集为()(),15,∞∞--⋃+. 故选：B.6．已知圆C ：222(2)(2)(0)x y r r -+-=>，过点()4,0P 的直线与圆C 交于A ，B 两点．若PA AB r ==，则r 的值为（ ） A 26B 36C 22D 33【答案】A【分析】根据题意，取AB 中点为D ，由勾股定理可得2||CP ，然后再根据,C P 的坐标得到2||CP ,列出方程即可得到r .【详解】取AB 中点为D ，则可得CD AB ⊥，因为PA AB r ==，则AC BC AB r ===，即ABC 为等边三角形， 所以3CD =，322r r PD r =+=，在直角三角形CDP 中，222||||CD PD CP +=，则222233||32r CP r ⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭又因为()()2,2,4,0C P ，即()()222||42028CP =-+-=所以238r =，解得26r =故选:A7．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若数列{}n b 满足：对任意的*N n ∈，都有1+=-n n a b n ，且2n n S b =，则20a =（ ） A ．20 B ．39 C ．63 D ．81【答案】B【分析】首先设出等差数列的首项和公差，利用条件，根据待定系数法求等差数列{}n a 的通项公式，即可求解.【详解】设等差数列的首项为1a ，公差为d ，则()11n a a n d +-=， ()2111222n n n d d S na d n a n -⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭ 因为1+=-n n a b n ，所以()()1111n n b a n d n d a =-+-=-+--，因为2n n S b =，所以()()()()22221111211122d d n a n d n d d a n d a ⎛⎫+-=-+---+-- ⎪⎝⎭，则()()()()2112112211210dd d a d d a d a ⎧=-⎪⎪⎪-=---⎨⎪⎪--=⎪⎩，解得：112a d =⎧⎨=⎩，所以()11221n a n n =+-⨯=-，那么20220139a =⨯-=. 故选：B8．已知函数()ln =f x a x ，存在两条过原点的直线与曲线()y f x =相切，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()2e ,0-B ．()3,e ∞--C．()D ．32,e ∞⎛⎫-- ⎪⎝⎭【答案】D【分析】根据导数的几何意义设切点坐标为()00,x y，则切线方程为()()000ln a y a x x x x ⎛⎫-=-⎪⎪⎭，又切线过零点得方程0ln 0a x a -=在()00,x ∈+∞上有两不相等的实根，设函数()ln h x a x a =-，求导确定单调性求值即可得实数a 的取值范围. 【详解】解：设切点坐标为()00,x y ，又()af x x='，则切线斜率()00a k f x x '=又00ln y a x =，则切线方程为：()()000ln a y a x x x x ⎛⎫-=-⎪⎪⎭，又切线过原点，则()()000ln a a x x x ⎛⎫-=-⎪⎪⎭，即方程0ln 0a x a -=在()00,x ∈+∞上有两不相等的实根，设()ln h x a x a =-，()0,x ∈+∞，则()a h x x '== 当0a ≥时，()0h x '>恒成立，()h x 在()0,x ∈+∞上单调递增，不可能存在两个零点，故不符合题意；当a<0时，()0h x '=得2x a =，当()20,x a ∈时，()0h x '<，()h x 单调递减，()2,x a ∞∈+时，()0h x '>，()h x 单调递增，要使得()0h x =两个不同的零点，则()()()22min ln 32ln 0h x h a a a a a a a ⎡⎤==-=---<⎣⎦，解得32e a <-，又()e 2e 0h =>，x →+∞时，()h x →+∞，故当32e a <-时，()0h x =有两个零点，则实数a 的取值范围是32,e ∞⎛⎫-- ⎪⎝⎭.故选：D.二、多选题9．在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面边长为1，若直线1BD 与1BC 所成的角为30°，则（ ） A ．直线1BD 与直线11A B 所成的角为60° B ．直线1BD 与直线1B C 所成的角为90° C ．直线1BD 与平面11AA D D 所成的角为30° D ．直线1BD 与平面11AA B B 所成的角为60° 【答案】AC【分析】运用向量的夹角公式，结合题干的异面直线所成的角，先求出四棱柱的高.对于AB 选项，继续使用夹角公式求出异面直线所成的角，对于CD 选项，根据线面角的定义，作辅助线，先找出线面角，然后进行计算求解.【详解】由于正四棱柱即为长方体，设长方体的高1AA h =，则体对角线21BD h =21BC h =111BD BD DD BA BC BB =+=++，11BC BC BB =+，又()()222111111BD BC BA BC BB BC BB BC BB h ⋅=++⋅+=+=+，由题意211111cos ,BD BC BD BC BD BC h ⋅====h =212BD h ==.A 选项，设直线1BD 与直线11AB 所成的角为α，()211111BD A B BA BC BB AB AB ⋅=++⋅=-=-，又1112,1BD A B ==，于是1111111111cos cos ,2BD A B BD A B BD A B α⋅===，即直线1BD 与直线11A B 所成的角为60，A 选项正确； B 选项，()()221111110BD B C BA BC BB BC BB BC BB ⋅=++⋅-=-=-≠，即直线1BD 与直线1B C 不垂直，B 选项错误；C 选项，连接1AD ，显然BA ⊥平面11ADD A ，即1BD A ∠为直线1BD 与平面11AA D D 所成的角，在直角三角形1BAD 中，12BD =，1BA =，且190BAD ∠=，此时11sin 2BD A ∠=，故130BD A ∠=，C 选项正确；D 选项，连接1A B ，显然11A D ⊥平面11ABB A ，即11A BD ∠为直线1BD 与平面11ABB A 所成的角，在直角三角形11BA D 中，12BD =，13BA =，且1190BA D ∠=，此时113cos A BD ∠=1130A BD ∠=，D 选项错误. 故选：AC10．已知函数()2sin()(0)f x x ωϕω=+>的图象的一条对称轴为π4x =，则（ ） A ．当02ω<<时，()f x 在π(0,)2上存在零点B ．π4是()f x 的导数()f x '的一个零点C ．()f x 在区间ππ(,)42上单调，则04ω<≤D ．当ω为偶数时，()f x 是偶函数 【答案】BC【分析】根据三角函数的图象性质与周期之间的关系可判断A,C ，根据对称轴与极值点的关系可判断B ，利用特殊值举反例可判断D. 【详解】对于A ，当02ω<<时，周期2ππT ω=>，所以π44T >， 因为区间π(0,)4的区间长度为π44T<，所以()f x 在π(0,)4上不存在零点，根据对称性可得，()f x 在π(0,)2上不存在零点，A 错误；对于B ，因为图象的一条对称轴为π4x =，所以π4x =为函数()f x 的一个极值点，所以π()04f '=，所以π4是()f x 的导数()f x '的一个零点，B 正确；对于C ，因为()f x 在区间ππ(,)42上单调，且图象的一条对称轴为π4x =，所以区间ππ(,)42的长度ππ1242T -≤，即π2T ≥,也即2ππ2ω≥， 解得04ω<≤，C 正确；对于D ，例如，2,2πωϕ==，则()2sin 2f x x =为奇函数，D 错误； 故选:BC.11．在平面直角坐标系xOy 中，P 是直线l ：x ＋y ＋2＝0上一点(除去与x 轴的交点)，过P 作抛物线C ：x 2＝2y 的两条切线，切点分别为A ，B ，直线P A ，PB 与x 轴分别交于点M ，N ，则（ ） A ．直线AB 过定点(－1，2) B ．MNC ．∠MPN 为锐角D ．OA OB ⋅最小值为－1【答案】ABD【分析】对A ：由()()1122,,,A x y B x y 写出切线方程，将()00,P x y 代入可得直线AB 方程，整理可得恒过定点；对B ：联立直线AB 与抛物线方程得12x x +，12x x ，求出M ，N 的横坐标，求M N x x -的最小值即可；对C ：将PM PN ⋅化为()00322x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭判断正负即可；对D ： 将OA OB ⋅22121214x x x x =+视为关于12x x 的函数求最小值；【详解】设()()()()1122000,,,,,,2A x y B x y P x y x ≠-，由22x y =得y x '=，所以()11,A x y 处切线斜率1k x = ，所以切线PA 的方程为：()211111y y x x x x x x -=-=⋅-，将112y x 2=代入得1112y y x x y -=⋅-，整理得切线PA 的方程为：11y y x x +=⋅，同理切线PB 的方程为：22y y x x +=⋅， 将()00,P x y 代入切线PA ，PB 方程得0110y y x x +=⋅，0220y y x x +=⋅ ， 所以直线00:AB y y x x +=⋅，即00y x x y =⋅-，将0020x y ++=代入得:AB 0002(1)2y x x x x x =⋅++=++， 所以直线AB 过定点(－1,2)，故A 正确；将直线AB 的方程002y x x x =⋅++代入 22x y =得2002240x x x x -⋅--=，由直线AB 过抛物线内定点(－1,2)知直线一定与抛物线有两个交点， 所以1201202,24x x x x x x +=⋅=--，在直线PA 的方程11y y x x +=⋅中令0y =得M 的横坐标11112M y x x x ==，故11,02M x ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 同理N 的横坐标212N x x =，21,02N x ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以1212M N x x x x -=-()21212142x x x x =+-()200144242x x =++20024x x =++()20133x =++≥当01x =-时MN 3B 正确；10020011,,22PM PN x x y x x y ⎛⎫⎛⎫⋅=---- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()220012120124x x x x x x y =-+++()()22000001224224x x x x x =-⋅+--+--()00322x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，当0322x -<<-时0PM PN ⋅<，MPN ∠为钝角，故C 错误；1212OA OB x x y y ⋅=+22121214x x x x =+()21212114x x =+-≥-，当122x x =-即01x =-时，OA OB ⋅最小值为－1，故D 正确； 故选：ABD【点睛】结论点睛：定义:已知曲线22:0G ax cy dx ey f ++++=,则称点()00,P x y 和直线0000:022dx dx ey ey l axx cyy f ++++++=是曲线G 的一对极点与极线,点P 称为直线l 关于曲线G 的极点;直线l 称为点P 关于曲线G 的极线.已知点P 关于圆锥曲线G 的极线是直线l ,则三者的位置关系是: ①若点P 在曲线G 上,则直线l 是曲线G 在点P 处的切线;②若点P 在曲线G 外,则直线l 是由点P 向曲线G 引两条切线的切点弦;③若点P 在曲线G 内,则直线l 是经过点P 的曲线G 的弦的两端点处的切线交点轨迹.如图:12．若函数2()ln (R)f x ax x a =-∈有两个极值点12,x x ，且12x x <，则下列结论正确的是（ ） A ．20ea << B ．1201x x <<< C ．1()1f x < D ．12ln ln 2x x +>【答案】ACD【分析】对于选项A 、B ，()f x 有两个极值点，则()0f x '=在(0,)+∞上有2个不同的根，分离参数画图可得a 的范围及1x 、2x 的范围. 对于选项C ，将112ln x a x =代入1()f x 可得关于1ln x 的二次函数，求其范围即可. 对于选项D ，运用比值代换法构造函数求导研究其范围. 【详解】由题意知，()0f x '=在(0,)+∞上有2个不同的根， 又∵2ln 2ln ()x ax xf x a x x-'=-=， ∴2ln 0ax x -=，即：2ln xa x=，∴2ln y a x y x =⎧⎪⎨=⎪⎩在(0,)+∞上有2个不同的交点，令2ln ()xh x x=，(0)x > ∴22(1ln )()x h x x -'=， ()00e h x x '>⇒<<，()0e h x x '<⇒>，∴()h x 在(0,e)上单增，在(e,)+∞上单减，又∵2(e)e h =，(1)0h =，当0x →时，()h x →-∞，当x →+∞时，()0h x →，∴()h x 的图象如图所示，∴当20ea <<时，y a =与2ln ()xh x x=在(0,)+∞上有2个不同的交点，121x e x <<<. 故选项A 项正确，选项B 项错误； 对于C 项，由题意知，1112ln ()x a h x x ==， ∴2211111()(ln )2ln (ln )f x ax x x x =-=-，又∵11e x <<，∴10ln 1x <<，令1ln t x =，则01t <<，则22y t t 在(0,1)上单调递增， ∴1y <，即：1()1f x <.故选项C 项正确； 对于D 项，设211x t x =>，12(1e )x x <<< ∴1211212ln 2ln 2ln x x tx a x x tx ===，解得：1ln ln 1t x t =- ∴2ln ln 1t tx t =-， ∴12(1)ln ln ln 1t tx x t ++=-，1t >， 令(1)ln ()1t tg t t +=-，1t > 则222ln 1()(1)t t t g t t t -+-'=-，令2()2ln 1m t t t t =-+-，则()2ln 22m t t t '=-+-，1()2(1)m t t ''=-，∵1t >， ∴()0m t ''>∴()m t '在(1,)+∞上单调递增， ∴()(1)0m t m ''>=，∴()m t 在(1,)+∞上单调递增， ∴()(1)0m t m >=， ∴()0g t '>，∴()g t 在(1,)+∞上单调递增， ∴()(1)g t g >1111ln (1)ln lim ()limlim 211t t t t t t tt g t t →→→+++===-∴()2g t >，即：12ln ln 2x x +>，故选项D 正确. 故选：ACD.【点睛】极值点偏移问题的解法(1)(对称化构造法)构造辅助函数：对结论120()2x x x +><型，构造函数0()()(2)F x f x f x x =--；对结论2120()x x x ><型，构造函数20()()()x F x f x f x=-，通过研究F (x )的单调性获得不等式．(2)(比值代换法)通过代数变形将所证的双变量不等式通过代换12x t x =化为单变量的函数不等式，利用函数单调性证明.三、填空题13．写出满足πsin sin()5θθ=+的一个θ的值为______．【答案】2π5(答案不唯一) 【分析】根据两角正弦值相等，则两角关于ππ,Z 2x k k =+∈对称，即可求解. 【详解】当ππ2π,Z 5k k θθ++=+∈，即2ππ,Z 5k k θ=+∈时， πsin sin()5θθ=+，所以可取当0k =时2π5θ=，故答案为:2π5(答案不唯一). 14．3名男同学、2名女同学排成一行，则至多2名男生相邻的概率为______． 【答案】710##0.7 【分析】根据排列数求3名男同学、2名女同学排成一行与至多2名男生相邻的方法总数，在利用古典概型公式求解概率即可.【详解】解：3名男同学、2名女同学排成一行的总的方法数为：55A 120=，则至多2名男生相邻的方法总数为：3222232323A A A A A 6262684+=⨯+⨯⨯=，所以多2名男生相邻的概率为84712010=. 故答案为：710. 15．若函数()|e |=+-x f x a x 的最小值为1-，则=a ______． 【答案】e -【分析】分类讨论，根据函数的单调性与最值的关系求解. 【详解】当0a ≥时，()e x f x a x =+-，()e 1x f x '=-，当0x >时，e ()10x f x '=->，当0x <时，()e 10x f x '=-<， 所以()e x f x a x =+-在(,0)-∞单调递减，在(0,)+∞单调递增， 所以min ()(0)11f x f a ==+=-解得2a =-，与0a ≥矛盾；当a<0时，e ,ln()()e ,ln()x x a x x a f x a x x a ⎧+-≥-=⎨---<-⎩，(i)若ln()0a -<，即10a -<<，则有()f x 在(,0)-∞单调递减，(0,)+∞单调递增，所以min ()(0)11f x f a ==+=-解得2a =-，与10a -<<矛盾； (ii)若ln()0a -≥，即1a ≤-，则有()f x 在(,ln())a -∞-单调递减，(ln(),)a -+∞单调递增， 所以min ln()ln )(())1(a f x a f --=-=-=解得a e =-，满足题意； 综上，a e =-， 故答案为:e -.16．已知椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为55，F 是左焦点，过F 且倾斜角为45°的直线交C于点A ，B ．设M ，N 分别是AF 和BF 的中点，O 为坐标原点，若509+=OM ON ，则OMN 的面积为______． 【答案】10109##10109 【分析】设右焦点为2F ,连接22,AF BF , 由中位线知221009AF BF +=，再由224AB AF BF a ++=及弦AB 的长可以求出c 值，再由MN 长及原点到AB 的距离求出OMN 的面积.【详解】设右焦点为2F ,连接22,AF BF ,M 为AF 的中点,O 为2FF 中点,221,//2OM AF OM AF ∴=,同理221,//2ON BF ON BF =， ()2215029OM ON AF BF ∴+=+=,221009AF BF ∴+=，2255,5c e a c a c a ==∴==, 22222,4a b c b c =+∴=, ∴椭圆方程可化为2222154x y c c+=,设直线:AB y x c =+,()()1122,,,A x y B x y ，由2222154x y c c y x c ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得22910150x cx c +-=， ()22(10)49150c c ∆=-⨯⨯->, 22121210155,993x x c x x c c ∴+=-=-=-， 212||11AB x ∴=+-()2121224x x x x =+-221020293c c ⎡⎤⎛⎫-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦1659c =， 224AB AF BF a ++=，10049a +==， 80140|,||||929c AB MN AB ∴====，原点到直线:AB y x c =+的距离为d ==所以1140||229MONSMN d ==⨯=故答案为【点睛】椭圆中两个周长为定值的三角形：若过椭圆焦点1F 的直线与椭圆交于A B ，两点，另一焦点为2F ， ①2ABF △周长为定值4a ； ②12AF F △周长为定值22a c +；这两个三角形的边长为焦半径时可以与椭圆的定义联系在一起使用，而三角形的周长也可以与三角形内切圆半径结合使用.四、解答题17．从下列三个条件①②③中任意选择两个条件填入空格：①π3ACB ∠=；②AB AD ；③sin ∠BAD ＝2sin ∠ABC ．已知D 是△ABC 的边BC 上一点，AC ＝CD ，且满足条件 和 ． (1)证明另一个条件成立；(2)若△ABC 的外接圆半径为1，求△ABC 的面积． 注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分． 【答案】(1)详见解析【分析】（1）根据条件，结合正余弦定理，即可证明；（2）根据（1）的结果，结合正弦定理求边长，最后根据三角形的面积公式，即可求解. 【详解】（1）若选择①②，设角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，因为AC CD =，且π3ACB ∠=，所以ACD 是等边三角形，AD CD b ==，因为77AB AD b ==，ABC 中，根据余弦定理，2222cos AB AC BC AC BC ACB =+-⋅⋅∠，即2227b b a ab =+-，整理为2260a ab b --=，解得：2a b =-（舍）或3a b =， 所以32BD a b b b b =-=-=，ABD △中，根据正弦定理，sin 22sin BAD BD bABC AD b∠===∠，即sin 2sin BAD ABC ∠=∠，故③正确；若选择①③，设角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，因为AC CD =，且π3ACB ∠=，所以ACD 是等边三角形，AD CD b ==，所以120ADB ∠=，ABD △中，根据正弦定理，sin 2sin BAD BD BDABC AD b∠===∠，所以2BD b =，ABD △中，根据余弦定理，2222cos120AB AD BD AD BD =+-⋅⋅，所以22222427AB b b b b =++=，即77AB b AD ==,故②正确； 若选择②③，设角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，设AD x =，因为77AB AD x ==，sin 2sin BAD BD BDABC AD x∠===∠，所以2BD x =，ABD △中，根据余弦定理，222222471cos 2222AD BD AB x x x ADB AD BD x x +-+-∠===-⋅⋅， 因为()0,πADB ∠∈,120ADB ∴∠=，即ADC 60∠=，又因为AC CD =，所以ACD 是等边三角形，60ACB ∠=，故①正确；（2）因为ABC 外接圆的半径为1，根据正弦定理可知，22sin AB R ACB ==∠，解得：b = 根据（1）的证明可知37a b ==，所以11sin 22ABC S ab ACB =∠==18．已知数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和n S 满足11111n n n S a a +=-+，n ∈N *． (1)证明：数列{}n a 是等比数列；(2)若111132n n n a S a ++≤≤对任意n ∈N *恒成立，求a 1．【答案】(1)证明见解析 (2)12a =【分析】（1）根据n a 与n S 的关系，利用相减法结合0n a >，可得211n n n a a a +-=，即可证明；（2）由11111n n n S a a +=-+，令1n =，可得等比数列{}n a 的公比2111aq a a ==+，则前n 项和()111nn S a =+-，()1111nn a a a +=+，根据不等式111132n n n a S a ++≤≤对任意*N n ∈恒成立，结合数列()1111n a ⎧⎫⎪⎪-⎨⎬+⎪⎪⎩⎭的单调性，则可列不等式求得1a 的值.【详解】（1）证明：因为11111n n n S a a +=-+，*N n ∈，所以111n n n n n a a S a a +++=-①， 当2n ≥时，1111n n n n n a a S a a ---+=-②，则①-②得：1111n n n n n n n n n a a a aa a a a a +-+-=---，因为0n a >， 所以11111n n n n n n a a a a a a +-+-=---，整理得：211n n n a a a +-=，即11n n n n a a a a +-=，所以数列{}n a 是等比数列； （2）解：由于111n n n n n a a S a a +++=-，则当1n =时，21112111a a S a a a +=+=-，整理得2211a a a =+，所以等比数列{}n a 的公比2111aq a a ==+，则()()()1111111111nn n a a S a a ⎡⎤-⎣⎦=++-+=-，()1111n n a a a +=+， 若111132n n n a S a ++≤≤，因为0n a >，则()()()1111111111132n n na a a a a +≤+-≤+，所以()1111111321n a a a ≤-≤+对任意*N n ∈恒成立，又数列()1111n a ⎧⎫⎪⎪-⎨⎬+⎪⎪⎩⎭单调递增，所以()()1111111111na a -≤-<++，即()11111111na a a ≤-<++， 则1111131112a a a a ⎧≤⎪+⎪⎨⎪≥⎪⎩，所以122a ≤≤，即12a =. 19．某地开展生态环境保护主题的知识竞赛，满分为100分，现从参赛者的答卷中随机抽取100份作为样本，经统计得到如下成绩分布表．若规定对竞赛的得分类别作如下规定：得分大于90分的为“优秀”，得分大于80不大于90分的为“良好”，(1)估计所有参赛者的得分的平均数和中位数；(2)从获得“良好”和“优秀”等第的样本试卷中，按分层抽样抽取6份，再从中随机抽取3份，获“优秀”者奖励200元购书券，获“良好”者奖励100元购书券，记购书券总金额为X (单位：元)，求X 的分布列和数学期望．【答案】(1)82.282.5；(2)分布列见解析；400（元）【分析】（1）根据平均数的估计方法即可求得平均数的估计值；根据中位数的计算方法可求得中位数的估计值；（2）算出良好和优秀试卷的比例，可得抽取的份数，确定X 的可能取值，根据超几何分布算出每个值对应的概率，可得分布列，根据期望的计算公式即可求得数学期望. 【详解】（1）由表可估计所有参赛者的得分的平均数为83240206575859582.2100100100100⨯+⨯+⨯+⨯=， 因为前两组的频率之和为0.080.320.400.5+=<，第四组为0.2， 故估计中位数为0.50.4801082.50.4-+⨯=. （2）由题意可知“良好”和“优秀”的比例为2:1，故按分层抽样抽取6份，“良好”试卷由4份，“优秀”试卷有2份， 则X 的取值可能为300元、400元、500元，则3436C 1(300)C 5P X ===,214236C C 3(400)C 5P X ===,124236C C 1(500)C 5P X ===,则X 的分布列如下： X 300400500P 15 35 15故131()300400500400555E X =⨯+⨯+⨯=（元）.20．如图，在三棱柱111ABC A B C 中，AC ⊥BC ，AC ＝BC ＝2，123BC =，BC 1与1B C 交于点E ，平面11AA C C ⊥平面ABC ，145︒∠=A AC ，是侧棱1AA 上一点．(1)若D 为1AA 的中点，证明：1//A E 平面BCD ． (2)是否存在点D ，使得二面角1B CD B --314D 的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)详见解析(2)存在，D 为1AA 的三等分点处，即1113A D AA =或1123A D AA =.【分析】(1)由线面平行的判定定理即可证明1//A E 平面BCD. (2)首先假设存在，使得二面角1B CD B --314的两个平面的法向量，即可求得二面角1B CD B --的正弦值为31414时点D 的位置. 【详解】（1）取1CC 的中点F ，连接1,EF A F ，F 为1CC 的中点，E 为1CB 的中点，11//EF B C ∴，又11//BC B C ，//EF BC ∴，F 为1CC 的中点，1//CF AA ∴且112CF AA =，D 为1AA 的中点，1112A D AA ∴=， 11//,CF A D CF A D ∴∴=，∴四边形1A DCF 为平行四边形，1//A F DC ∴， 1A F ⊂面1A EF ，DC ∴⊄面1A EF ，故//DC 面1A EF ，同理//BC 面1A EF ，又DC ⊂面BDC ，BC ⊂面BDC 且BCDC C =，所以面1A EF //面BDC ，又1A E ⊂面1A EF ，∴1//A E 平面BCD （2）连接1A C ，面11AAC C ⊥面ABC 且面11AAC C面ABC AC =，又BC AC ⊥∴BC ⊥面11AAC C ，又1CC ⊂面ABC ，1BC CC ∴⊥221122CC BC BC ∴=-=，在11ACC △中，22111111122cos 45482222AC AC CC AC CC =+-⋅⋅︒=+-⨯⨯=， 则2221111A C A C CC +=，111AC AC ∴⊥即1A C AC ⊥，则1AC ⊥面ABC ， 分别以1,,CA CB CA 为,,x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设1122A D AA λλ==，则()()()()10,0,0,0,2,0,2,0,22,2,2,2C B D B λλ--，()0,2,0CB ∴=，()2,0,22CD λλ=-，()12,2,2CB =-，设平面BCD 的一个法向量为(),,m x y z =， 则00CB m CD m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即()202220y x z λλ=⎧⎨+-=⎩令1x λ=-，则0,y z λ==，()1,0,m λλ=-； 设平面1B CD 的一个法向量为(),,n a b c =， 则100CB n CD n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即()22202220a b c a c λλ-++=⎧⎨+-=⎩令1a λ=-，则1,b c λ=-=，()1,1,n λλ=--；(22cos ,m n m n m nλ⋅∴<>===⋅,1m n <>=， 解得13λ=或23λ=，所以存在点D ，使得二面角1B CD B --D 为1AA 的三等分点处，即1113A D AA =或1123A D AA =.21．已知双曲线C ：22221x y a b -=(a ＞0，b ＞0)的左、右顶点为12,A A ，P (4，1)是C 上一点，且直线P A 1与P A 2的斜率乘积为14．(1)求C 的方程．(2)设直线l 与C 交于点M ，N ，且PM ⊥PN ．证明：直线l 过定点．【答案】(1)221123y x -=； (2)过定点205,33⎛⎫- ⎪⎝⎭，证明见解析.【分析】（1）由直线P A 1与P A 2的斜率乘积为14及P (4，1)在双曲线上求解2a ，2b ，从而得到双曲线方程；（2）先考虑直线MN 斜率存在时，设出其方程，联立双曲线方程，得到两根之和，两根之积，利用0AM AN ⋅=得到20350k m ++=或410k m +-=，排除不合要求的情况，求出所过定点，再考虑直线MN 斜率不存在时，设(),M t n ，则(),N t n -，由0AM AN ⋅=求出t ，去掉不合要求的情况，证明出结论.【详解】（1）由题意知()()12,0,,0A a A a -，则12111444PA PA k k a a =⨯=+-，解得212a =，将P (4，1)代入222112x y b-=得23b =，故双曲线方程为221123y x -=； （2）当直线MN 斜率存在时， 设直线:MN y kx m =+，联立双曲线方程得：()2224184120k x kmx m -+++=，则要满足2410k -≠，且()()2222644414120k k m m ∆=-+>-，解得：22123m k >-且214k ≠，设()()1122,,,M x y N x y ，则122841km x x k -+=-，212241241m x x k +-=，()212122284122421y y k x x m m k m mk k --+=+-+==-+，()()()22222121212121241k m y y kx m kx m k x x k x k m x m -=++=+++-=， ()()()()1122121212124,14,141610PM PN x y x y x x x x y y y y ⋅=--⋅--=-+++-++=，所以222222212214123241640141411m km k mk k m k k -+++---++-=+， 即()22221412321722410k m k m km m -+++++-=，整理得2280323250k mk m m +++-=，即()()280323510k mk m m +++-=，即()()2035410k m k m +++-=， 所以20350k m ++=或410k m +-=， 当20350k m ++=时20533k m =--，满足0∆>，此时直线方程为2052053333k y kx k x ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭，直线恒过定点205,33⎛⎫- ⎪⎝⎭，当410k m +-=时41m k =-+，此时直线方程为()4141y kx k k x =-+=-+，直线恒过定点()4,1P ，舍去.当直线MN 斜率不存在时，设(),M t n ，则(),N t n -，且221123t n -=，此时()()()224,14,1410PM PN t n t n t n ⋅=--⋅---=-+-=， 解得：203t =或4t =， 因为点M 和N 都异于点A ，故4t =时不合要求，舍去，故203t =，此时直线MN 经过点205,33⎛⎫- ⎪⎝⎭，综上：直线MN 过定点，定点坐标为205,33⎛⎫- ⎪⎝⎭.【点睛】处理定点问题的思路：（1）确定题目中的核心变量（此处设为k ），（2）利用条件找到k 与过定点的曲线(),0F x y =的联系，得到有关k 与,x y 的等式，（3）所谓定点，是指存在一个特殊的点()00,x y ，使得无论k 的值如何变化，等式恒成立，此时要将关于k 与,x y 的等式进行变形，直至找到()00,x y ，①若等式的形式为整式，则考虑将含k 的式子归为一组，变形为“()k ⋅”的形式，让括号中式子等于0，求出定点；②若等式的形式是分式，一方面可考虑让分子等于0，一方面考虑分子和分母为倍数关系，可消去k 变为常数.22．已知函数()(1)e =-ax f x x (a ≠0)． (1)讨论函数f (x )的单调性；(2)若a ＝1，证明：曲线y ＝f (x )与直线y ＝x ＋1恰有两个公共点，且这两个公共点关于点(0，1)对称． 【答案】(1)答案见解析. (2)证明见解析.【分析】（1）求导后分类讨论0a =、0a >、0a <时的()f x 的单调性.（2先构造函数研究单调性，再由零点存在性定理可证得有两个公共点；先设一个交点坐标，再判断此点关于点(0,1)对称的点是否也在()y f x =与1y x =+上即可. 【详解】（1）∵()e (1)e e (1)ax ax ax f x x a ax a '=+-⋅=-+， 当0a >时，1()01f x x a'>⇒>-，1()01f x x a '<⇒<-，∴()f x 在1(,1)a -∞-上单调递减，在1(1,)a-+∞单调递增；当0a <时，1()01f x x a '>⇒<-，1()01f x x a'<⇒>-， ∴()f x 在1(,1)a -∞-上单调递增，在1(1,)a-+∞单调递减；综述：当0a >时，()f x 在1(,1)a -∞-上单调递减，在1(1,)a-+∞单调递增；当0a <时，()f x 在1(,1)a -∞-上单调递增，在1(1,)a-+∞单调递减；（2）①证曲线与直线有两个公共点，当1a =时，()(1)e x f x x =-，令(1)e 1x x x -=+， ∵=1x -不是方程(1)e 1x x x -=+的根，∴(1)e 101xx x --=+，令(1)e ()11xx g x x -=-+，1x ≠-，则22(1)e ()0(1)x x g x x +'=>+， ∴()g x 在(,1)-∞-，(1,)-+∞上单调递增， 又()23210e g -=-<，3235102e g ⎛⎫-=-> ⎪⎝⎭，∴由零点存在性定理可知，()g x 在(,1)-∞-上有一个零点，又(1)10g =-<，2e (2)103g =->，∴由零点存在性定理可知，()g x 在(1,)-+∞上有一个零点， ∴()g x 有两个零点，即：()y f x =与1y x =+恰有两个公共点. ②证两个公共点关于(0,1)对称，设00(,)x y 为()(1)e x f x x =-与()1h x x =+的一个交点，则0000(1)e 1xy x x =-=+，又0000000001()(1)e (1)1(1)121x x f x x x x y y x ---=--=-+⨯=-+=--+=-+， 000()12h x x y -=-+=-，∴点00(,2)x y --也是()y f x =与()1y h x x ==+的一个交点， 又∵()y f x =与1y x =+恰有两个公共点， ∴两交点分别为：00(,)x y ，00(,2)x y --， 又∵点00(,)x y 与点00(,2)x y --关于点(0,1)对称， ∴两个公共点关于点(0,1)对称.∴综述：()y f x =与1y x =+恰有两个公共点，且两个公共点关于点(0,1)对称.。

2025届江苏省南通市海安中学高三第一次模拟考试数学试卷含解析

2025届江苏省南通市海安中学高三第一次模拟考试数学试卷含解析

2025届江苏省南通市海安中学高三第一次模拟考试数学试卷注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设a ，b 都是不等于1的正数，则“22a b log log ＜”是“222a b ＞＞”的（ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件2．设等比数列{}n a 的前项和为n S ，若2019201680a a +=，则63S S 的值为（ ） A ．32B ．12C ．78 D ．983．已知复数z 534i=+，则复数z 的虚部为（ ） A ．45B ．45-C ．45iD ．45-i 4．《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术.得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟.”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：====上规律，若=“穿墙术”，则n =（ ） A ．48B ．63C ．99D ．1205．我国古代有着辉煌的数学研究成果，其中的《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《缉古算经》，有丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献．这5部专著中有3部产生于汉、魏、晋、南北朝时期．某中学拟从这5部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选2部专著中至少有一部是汉、魏、晋、南北朝时期专著的概率为（ ） A ．35B ．710C ．45D ．9106．已知实数x ，y 满足约束条件202201x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则目标函数21y z x -=+的最小值为A ．23-B ．54-C ．43-D ．12-7．曲线312ln 3y x x =+上任意一点处的切线斜率的最小值为（ ） A ．3B ．2C ．32D ．18．如图是国家统计局于2020年1月9日发布的2018年12月到2019年12月全国居民消费价格的涨跌幅情况折线图.（注：同比是指本期与同期作对比；环比是指本期与上期作对比.如：2019年2月与2018年2月相比较称同比，2019年2月与2019年1月相比较称环比）根据该折线图，下列结论错误的是（ ）A ．2019年12月份，全国居民消费价格环比持平B ．2018年12月至2019年12月全国居民消费价格环比均上涨C ．2018年12月至2019年12月全国居民消费价格同比均上涨D ．2018年11月的全国居民消费价格高于2017年12月的全国居民消费价格9．已知:|1|2p x +> ，:q x a >，且p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，则a 的取值范围是（ ） A ．1a ≤B ．3a ≤-C ．1a ≥-D ．1a ≥10．已知函数()1xf x xe-=，若对于任意的0(0,]x e ∈，函数()20()ln 1g x x x ax f x =-+-+在(0,]e 内都有两个不同的零点，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(1,]eB ．2(,]e e e-C ．22(,]e e e e-+ D ．2(1,]e e-11．已知,m n 为两条不重合直线，,αβ为两个不重合平面，下列条件中，αβ⊥的充分条件是（ ） A ．m ∥n m n ,,αβ⊂⊂ B ．m ∥n m n ,,αβ⊥⊥ C ．m n m ,⊥∥,n α∥βD ．m n m ,⊥n ,αβ⊥⊥12．函数()y f x =满足对任意x ∈R 都有()()2f x f x +=-成立，且函数()1y f x =-的图象关于点()1,0对称，()14f =，则()()()201620172018f f f ++的值为（ ）A ．0B ．2C ．4D ．1二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2025届江苏省南通市如东中学高三压轴卷数学试卷含解析

2025届江苏省南通市如东中学高三压轴卷数学试卷含解析

2025届江苏省南通市如东中学高三压轴卷数学试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点()11,P x y ，()11,Q x y --在椭圆C 上，其中1>0x ，10y >，若22PQ OF =，11QF PF ≥，则椭圆C 的离心率的取值范围为（ ） A．⎡⎢⎣⎭B．(2⎤⎦C．1⎤⎥⎝⎦D．(1⎤⎦2．已知随机变量X 的分布列是则()2E X a +=（ ） A ．53B ．73C ．72D ．2363．对于正在培育的一颗种子，它可能1天后发芽，也可能2天后发芽，….下表是20颗不同种子发芽前所需培育的天数统计表，则这组种子发芽所需培育的天数的中位数是( )A ．2B ．3C ．3.5D ．44．在311(21)x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中的常数项为( ) A ．1B ．2C ．3D ．75．已知i 是虚数单位，则(2)i i +=（ ） A ．12i +B ．12i -+C ．12i --D ．12i -6．新闻出版业不断推进供给侧结构性改革，深入推动优化升级和融合发展，持续提高优质出口产品供给，实现了行业的良性发展.下面是2012年至2016年我国新闻出版业和数字出版业营收增长情况，则下列说法错误的是（ ）A ．2012年至2016年我国新闻出版业和数字出版业营收均逐年增加B ．2016年我国数字出版业营收超过2012年我国数字出版业营收的2倍C ．2016年我国新闻出版业营收超过2012年我国新闻出版业营收的1.5倍D ．2016年我国数字出版营收占新闻出版营收的比例未超过三分之一7．若函数()()2(2 2.71828 (x)f x x mx e e =-+=为自然对数的底数)在区间[]1,2上不是单调函数，则实数m 的取值范围是( ) A ．510,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．510,23⎛⎫⎪⎝⎭C ．102,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．102,3⎛⎫⎪⎝⎭8．若函数()ln f x x =满足()()f a f b =，且0a b <<，则224442a b a b+-+的最小值是（ ）A ．0B ．1C ．32D ．229．等差数列{}n a 中，已知51037a a =，且10a <，则数列{}n a 的前n 项和n S *()n N ∈中最小的是（ ）A ．7S 或8SB ．12SC ．13SD ．14S10．某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图，90后从事互联网行业岗位分布条形图，则下列结论中不正确的是（ ）注：90后指1990年及以后出生，80后指1980-1989年之间出生，80前指1979年及以前出生.A ．互联网行业从业人员中90后占一半以上B ．互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%C ．互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多D ．互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多11．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右两个焦点分别为1F ，2F ，若存在点P 满足1212::4:6:5PF PF F F =，则该双曲线的离心率为（ ）A ．2B ．52C ．53D ．512．总体由编号01，,02，…，19,20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为 7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198 3204 923449358200 3623486969387481A ．08B ．07C ．02D ．01二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

江苏省南通中学高考数学复习小题专题综合运用练习(含解析)

江苏省南通中学高考数学复习小题专题综合运用练习(含解析)

南通中学数学高考小题专题复习练习综合运用一、填空题（共12题，每题5分）1、设集合P={3，4，5}，Q={4，5，6，7}，定义P ★Q={（},|),Q b P a b a ∈∈则P ★Q 中 元素的个数为 ________．2、某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________．3、设集合{()||2|0}A x y y x x =-，≥，≥，{()|}B x y y x b =-+，≤，若()x y A B ∈，，且2x y +的最大值为9，则b 的值是 ________．4、1到200这200个数中既不是2的倍数，又不是3的倍数，也不是5的倍数的自然数共有_______个5、定义符号函数⎪⎩⎪⎨⎧-=101s g n x 000<=>x x x ，则不等式：x x x sgn )12(2->+的解集是________．6、满足条件M ∪{1}={1，2，3}的集合M 的个数是 ________．7、若不等式的值等于则实数的解集为a x a x x ],5,4[4|8|2-≤+-________．8、已知集合2{|320}A x ax x x R =-+=∈至多有一个元素，则a 的取值范围________．若至少有一个元素，则a 的取值范围________．9、设[]x 表示不超过x 的最大整数(例[5、5]=5,[－5、5]=－6),则不等式2[]5[]6x x -+≤0的解集为10、 记关于x 的不等式01x a x -<+的解集为P ，不等式11x -≤的解集为Q ． 若Q P ⊆，正数a 的取值范围是11、已知集合2{,,2},{,,}A m m d m d B m mq mq =++=，0m ≠其中,A B =且,则q 的值为________．12、设A 是整数集的一个非空子集，对于k A ∈，如果1k A -∉且1k A +∉，那么k 是A的一个“孤立元”，给定{1,2,3,4,5,6,7,8,}S =，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有 个.南通中学数学高考小题专题复习练习题纸班级 姓名 分数一、填空题：（共12小题，每小题5分）1、 2、 3 4、5、 6 7、 8、9 、 10、 11、 12 、二、解答题(共20分,要求写出主要的证明、解答过程)13、设命题:p 函数()2lg y ax x a =-+的定义域为R ．命题:q 函数()2lg 1y x ax =-+的值域为R ．如果命题“p 或q ”为真命题，命题“p 且q ”为假命题，求实数a 的范围．综合运用1、 12 ； 2．12； 3、 92； 4、54 ；5、 3x ⎧⎫⎪⎪<<⎨⎬⎪⎪⎩⎭； 6、 2 ； 7、 16提示：等价于(4)(5)0x x --≤；8、 9|,08a a a ⎧⎫≥=⎨⎬⎩⎭或，9|8a a ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭ 当A 中仅有一个元素时，0a =，或980a ∆=-=；当A 中有0个元素时，980a ∆=-<； 当A 中有两个元素时，980a ∆=->9、提示：2[]5[]6x x -+≤0 ∴ 2[]3x ≤≤ ∴ 24x ≤<∴不等式2[]5[]6x x -+≤0 的解集为{}24x x ≤< 10、 a>2 提示：a>-1时，解集为P =（-1，a ）因为Q P ⊆，a>2; a<-1时，解集为P =（a ，-1）因为Q P ⊆，舍; a=-1时，解集为P = φ因为Q P ⊆，舍∴a>211、q=-1212．依题意可知，必须是没有与k 相邻的元素，因而无“孤立元”是指在集合中有与k 相邻的元素.故所求的集合可分为如下两类：因此，符合题意的集合是：{}{}{}{}{}{}1,2,3,2,3,4,3,4,5,4,5,6,5,6,7,6,7,8共6个.13、解：若p 真，则()220140a a >⎧⎪⎨--<⎪⎩，解得12a >． 若q 真，则()240a --≥，解得2a ≤-或者2a ≥．因为命题“p 或q ”为真命题，命题“p 且q ”为假命题，所以命题p 和q 有且仅有一个为真．所以实数a 范围为：2a ≤-或122a <<.。