2021届高三新高考统一适应性考试江苏省南通中学上学期(12月)考前热身练数学试题

江苏省G4（苏州中学、扬州中学、盐城中学、常州中学）2021-2022学年高三上学期12月联考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题1．已知复数z 满足()12i z i -=（其中i 为虚数单位），则z =（ ）A B ．2C ．1D ．42．若集合{}2370,A x x x x Z =+≤∈，且B A ⊆，则满足条件的集合B 的个数是（ ） A ．5B ．6C ．7D ．83．若{}n a 为等比数列，则“s t p q a a a a =”是“s t p q +=+（s ，t ，p ，*N q ∈）”的（ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分又不必要条件4．若()*12nx n N x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭的展开式中只有第三项的二项式系数最大，则展开式中的常数项为（ ） A ．6B ．12C ．24D ．485．已知平面向量a ，b 满足2a =，2b =，a 与b 的夹角为45°，()b a a λ-⊥，则实数λ的值为（ ） A ．2B ．2-C ．12D ．12-6．已知cos()sin()6παπα-+-=cos()3πα-的值（ ）A ．B ．15-C ．15D 7．已知直线1:0l kx y +=()k R ∈与直线2:220l x ky k -+-=相交于点A ，点B 是圆22(2)(3)2x y +++=上的动点，则||AB 的最大值为（ ）A．B ．C ．5+D ．3+8．若不等式()()2e 2ln 12xa x a x ->-+++对()0,x ∈+∞恒成立，其中e 为自然对数的底数，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(),2-∞B ．(],2-∞C ．()2,+∞D ．[)2,+∞二、多选题9．已知定义在R 上的函数()4,Z4,Z x f x x -∈⎧=⎨∉⎩，则（ ）A ．()f x 是奇函数B ．()f x 是偶函数C ．对任意R x ∈，()()4f f x =-D ．()f x 的图象关于直线12x =对称10．已知函数()sin 2f x x x =，则下列说法正确的有（ ） A ．点,03π⎛⎫⎪⎝⎭为()f x 的图象的一个对称中心B ．对任意x ∈R ，函数()f x 满足66f x f x ππ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．函数()f x 在区间()0,π上有且仅有1个零点D ．存在512πθ>-，使得()f x 在()5,Z 12k k k πππθ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭上单调递增 11．已知两个变量y 与x 线性相关，为研究其具体的线性关系进行了10次实验．实验中不慎丢失2个数据点，根据剩余的8个数据点求得的线性回归方程为3 4.5y x =+，且4x =，又增加了2次实验，得到2个数据点()2,11，()6,22，根据这10个数据点重新求得线性回归方程为y mx n =+（其中m ，R n ∈），则（ ） A ．变量y 与x 正相关 B ．3m <C ． 4.5n <D ．回归直线y mx n =+经过点()4,16.512．已知实数a ，b 满足等式()2e e 22a bb a -=-，则下列不等式中可能成立的有（ ） A ．0a b << B ．0b a << C ．0a b << D ．0b a <<三、填空题13．双曲线22194x y -=的焦点到渐近线的距离为_____________．14．若数列{}n a 满足12a =，23a =，()*21n n n a a a n +++=∈N ，则2021a 的值为__________．15．在如图所示的四边形区域ABCD 中，1AB BC ==，2CD =，120B C ∠=∠=︒，现园林绿化师计划在区域外以AD 为边增加景观区域ADM ，当135AMD ∠=︒时，景观区域ADM 面积的最大值为__________．四、双空题16．已知在四棱锥S -ABCD 中，SD ⊥底面ABCD ，且底面ABCD 是等腰梯形，//BC AD ，若8SD AD ==，6BC =，AB CD ==S -ABCD 的体积为__________；它的外接球的半径为__________五、解答题17．设数列{}n a 的前n 项和为n s ，且满足()12n n n s s a n N *+=++∈，()54623s a a =+．(1)求数列的通{}n a 项公式：(2)若12na n nb a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，求数列{}n b 的前n 项和n T ．18．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1DD 的中点．(1)求证：1BD ∥平面EAC ；(2)求直线1AB 与平面EAC 所成角的正弦值．19．已知△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，sin cos sin B A C >． (1)求证：B 为钝角；(2)若△ABC 同时满足下列4个条件中的3个：△cos A △sin C =△2a =；△c =△ABC 存在的这3个条件仅有一组，写出这组条件并求b 的值． 20．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的离心率为12，且过点()2,3．(1)求椭圆C 的方程；(2)设A 为椭圆C 的左顶点，过点()3,0R 作与x 轴不重合的直线l 交椭圆C 于P ，Q 两点，连接AP ，AQ 分别交直线163x =于M ，N 两点，若直线MR ，NR 的斜率分别为1k ，2k ，试问12k k 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 21．AMC 是美国数学竞赛（American Mathematics Competitions ）的简称，其中AMC10是面向世界范围内10年级（相当于高一年级）及以下的学生的数学竞赛，AMC10试卷由25道选择题构成，每道选择题均有5个选项，只有1个是正确的，试卷满分150分，每道题答对得6分，未作答得1.5分，答错得0分．考生甲、乙都已答对前20道题，对后5道题（依次记为1T ，2T ，3T ，4T ，5T ）均没有把握确定正确选项．两人在这5道题中选择若干道作答，作答时，若能排除某些错误选项，则在剩余的选项中随机地选择1个，否则就在5个选项中随机地选择1个．(1)已知甲只能排除1T ，2T ，3T 中每道题的1个错误选项，若甲决定作答1T ，2T ，3T ，放弃作答4T ，5T ，求甲的总分不低于135的概率；(2)已知乙能排除1T ，2T ，3T 中每道题的2个错误选项，但无法排除剩余2道题中的任一错误选项．△问乙采用怎样的作答策略（即依次确定后5道题是否作答）可使其总分的数学期望最大，并说明理由；△在△的作答策略下，求乙的总分的概率分布列．22．已知函数()cos xf x e ax x =--，()()g x f x x =-，a R ∈．(1)若()f x 在[)0,∞+上单调递增，求a 的最大值；(2)当a 取（1）中所求的最大值时，讨论()g x 在R 上的零点个数，并证明()g x >参考答案：1．A 【解析】 【分析】根据复数的除法运算可得复数1z i =-+，再根据复数的模长公式可得结果. 【详解】由()12i z i -=得2i2i(1i)22i1i 1i (1i)(1i)2z +-+====-+--+，所以|||1|z i =-+= 故选：A. 【点睛】本题考查了复数的除法运算，考查了复数的模长公式，属于基础题. 2．D 【解析】 【分析】解一元二次不等式求集合A ，并列举出A 中元素，再由包含关系求集合B 的个数. 【详解】由题设，{}70,2,1,03A x x x Z ⎧⎫=-≤≤∈=--⎨⎬⎩⎭，又B A ⊆，所以集合B 有328=个. 故选：D ． 3．C 【解析】 【分析】利用等比数列的性质，分别从充分性、必要性两方面判断题设条件间的推出关系，进而确定它们充分、必要关系. 【详解】充分性：若s t p q a a a a =，当1q =时，21s t a a a =，21p q a a a =，此时s t +与p q +不一定相等，不充分．必要性：若s t p q +=+，则2112211s t s t s t a a a qa q -+-+-==，2112211p q p q p q a a a q a q -+-+-==，所以s t p q a a a a =，综上，“s t p q a a a a =”是“s t p q +=+”的必要不充分条件． 故选：C 4．C 【解析】 【分析】由题知4n =，进而得其展开式的通项公式44214C 2rrr r T x --+=，进而2r =时324T =为常数项.【详解】解：△二项式系数最大的项只有第三项， △展开式中共有5项，△4n =．△41122n x x x x ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭展开式第1r +项为()44421441C 2C 2rr r r r rr T x x x ---+⎛⎫== ⎪⎝⎭，△当2r =时，2234C 26424T ==⨯=为常数项.故选：C ． 5．A 【解析】 【分析】根据向量垂直列方程，化简求得λ的值. 【详解】()0b a a λ-=⊥，20ab a λ⋅-=，40λ⋅=，△2λ=. 故选：A 6．C 【解析】 【分析】利用差角公式和诱导公式将题中所给的条件化简，求得11cos 25αα=，利用辅助角公式得到结果. 【详解】cos()sin()6παπα-+-=3sin 2αα+=，即11cos 25αα=1cos()35πα∴-= 1cos()35πα∴-=，故选：C. 【点睛】该题考查的是有关三角变换的问题，涉及到的知识点有余弦差角公式、诱导公式和辅助角公式，属于基础题目. 7．C 【解析】求出点A 的轨迹方程，确定A 点轨迹，然后通过几何意义求得最大值． 【详解】由0220kx y x ky k +=⎧⎨-+-=⎩，消去参数k 得22(1(1)2x y -+-=），所以A 在以(1,1)C又点B 是圆22(2)(3)2x y +++=上的动点，此圆圆心为(2,3)D --5CD ，△AB 的最大值为5CD =+ 故选：C. 【点睛】本题考查交轨法求轨迹方程，考查两点间的距离公式．由圆的性质知某点到圆上的点间距离的最大值可以转化为到圆心的距离与半径的和． 8．B 【解析】 【分析】根据题意，构造函数()()2e 22ln 1xg x x a x x =--++-⎡⎤⎣⎦，0x ≥，在利用导数研究函数单调性得当2a ≤时，()g x 在[)0,∞+单调递增，()()00g x g >=满足条件；当2a >时，存在0x ，使得()g x 在[)00,x 上单调递减，进而()()00g x g <=得矛盾，进而得答案.【详解】解： 因为()2e 2ln 12xa x ax x ->-+++对()0,x ∀∈+∞恒成立，所以()2e 22ln 10xx a x x --++->⎡⎤⎣⎦对()0,x ∀∈+∞恒成立， 故令()()2e 22ln 1xg x x a x x =--++-⎡⎤⎣⎦，0x ≥，()00g =，()'12e 212e 211x x x g a a x x x -⎛⎫=-+-=-+ ⎪++⎝⎭2e 21x ax x =--+，()'00g =，()()''2e 12x g x ax -+=，()''02g a =-，()()()2''212e 11x g x a x x ⎡⎤=+-⎣⎦+， 当20a -≥时，即2a ≤时，()''0g x ≥，则()'g x 在[)0,∞+单调递增，()()''00g g x ≥=，△()g x 在[)0,∞+单调递增，△()()0g x g ≥.0x >时，()()00g x g >=，满足条件．2a >时，()''00g =，x 趋近于+∞时，()''g x 趋近于+∞， △()''g x 在[)0,∞+有解，设为0x ．[)00,x x ∈时，()''0g x <，()'g x 在[)00,x 上单调递减，()()''00g x g <=，△()g x 在[)00,x 上单调递减，△()()00g x g <=，矛盾 综上：2a ≤， 故选：B ． 9．BCD 【解析】 【分析】根据偶函数的定义判断选项A ，B ，根据对称性的定义判断D ，由解析式判断C. 【详解】解：x ∈Z 时，x -∈Z ，()()4f x f x -=-=．x ∉Z 时，x -∉Z ，()()4f x f x -==．△()()f x f x -=，即()f x 为偶函数，A 错，B 对． x ∈Z 时，()4f x =-，4-∈Z ，()()()44f f x f =-=-．x ∉Z 时，()4f x =，4∈Z ，()()()44f f x f ==-．△()()4f f x =-，C 对．x ∈Z 时，1x -∈Z ，此时()()1f x f x =-．x ∉Z 时，1x -∉Z ，此时()()1f x f x =-．综上：()()1f x f x =-，则()f x 关于12x =对称，D 对． 故选：BCD ． 10．AD 【解析】 【分析】化简函数解析式为()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，利用正弦型函数的对称性可判断AB 选项；在()0,x π∈时，解方程()0f x =，可判断C 选项的正误；利用正弦型函数的单调性可判断D选项的正误. 【详解】解：()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由()2Z 3x k k ππ+=∈，则()26k x k ππ=-∈Z ， 当1k =时，3x π=，所以，()f x 关于,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称，A 对；由()2Z 32x k k πππ+=+∈得1226k x πππ=+=，则16k =∉Z ．所以，直线6x π=不是()f x 的对称轴，B 错； 当0πx <<时，72333x πππ<+<，由()2sin 203f x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，可得23x ππ+=或2π，解得3x π=或56π，所以，函数()f x 在区间()0,π上有且仅有2个零点，C 错； 对于D 选项，由()222Z 232k x k k πππππ-+<+<+∈，则()5Z 1212k x k k ππππ-+<<+∈，所以，当51212ππθ-<≤时，()f x 在5,12k k πππθ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭上单调递增，D 对．故选：AD. 11．ABD 【解析】 【分析】结合回归直线方程、样本中心点等知识对选项进行分析，从而确定正确选项. 【详解】设()2,11A ，()6,22B ，由1134AB k =<， 而8个数据点的回归方程3b =，△03m <<，A ，B 正确． 而10个数据点的4826410x ⨯++==，16.58112216.510y ⨯++==，样品中心()4,16.5，则16.54,16.54m n n m =+=-，03,0412,1240,4.516.5416.5m m m m <<<<-<-<<-<，即4.516.5n <<△D 正确，C 错． 故选：ABD 12．ACD 【解析】 【分析】将已知条件转化为2e 2e 4a b a b +=+，通过构造函数法，结合导数判断出当0b <时，0a b <<，由此判断AB 选项的正确性.当0b >时，对b 取特殊值来判断CD 选项的正确性.【详解】()2e e 22a b b a -=-，2e 42e a b b a -=-，2e 2e 4a b a b +=+，构造()22e 2e 4e e 2b b b bf b b b b =+--=--，()'22e e 2b b f b =--，当0b <时，()'0f b <，f b 在(),0∞-上递减， ()()00f b f >=，此时2e 2e 4b b b b +>+，△22e 2e 2b a b a +>+，构造()2e 2xg x x =+，()g x 在R 上递增，△()()0g b g a a b >⇒<<，A 正确，B 错．当0b >时，()'f b 先负后正，△f b 先减后增，f b 有正有负，取21e 2e 4a b a =⇒+=+，此时()()21e 2e 41g g a a b =+>+=⇒<=，△0a b <<有可能，C 正确．取14b =，124e 2e 1a a +=+，()1124111e e 1424g g a a b ⎛⎫=+<+=⇒>= ⎪⎝⎭，△0a b >>也有可能，D 正确． 故选：ACD 13．2 【解析】 【详解】试题分析：由题意得，双曲线的右焦点0)F ，其中一条渐近线的方程为22303y x x y =⇒-=，所以焦点到渐近线的距离为2d ==． 考点：点到直线的距离公式及双曲线的性质． 14．3- 【解析】 【分析】由递推式求数列的前几项，确定数列的项的规律，由规律确定2021a . 【详解】 解：132a a a +=，则3211a a a =-=，243a a a +=，则4322a a a =-=-， 354a a a +=，则5433a a a =-=-，6541a a a =-=-， 7652a a a =-=，8763a a a =-=，⋅⋅⋅⋅⋅⋅△数列{}n a 为周期数列，且周期6T =， 又202163365=⨯+，△202153a a ==-． 故答案为：-3.15．)714【解析】 【分析】连AC ，根据已知条件可得90ACD ∠=︒、AC =AD ，再由余弦定理、基本不等式求MA MD ⋅的范围，最后应用面积公式求区域ADM 面积的最大值. 【详解】连AC ，BA BC =，120B ∠=︒，△30ACB ∠=︒，则90ACD ∠=︒，AC =△AD =在△ADM 中，2227MA MD MA MD ⎛+-⋅⋅= ⎝⎭，△2272MA MD MD MAMD MD =+⋅⋅≥△(722MA MD ⋅≤=，当且仅当MA MD =时等号成立， (())727271122284MADS≤⋅⨯==．故答案为：)714.16． 563【解析】 【分析】根据锥体体积公式即可计算第一空；结合几何关系得底面ABCD 的外接圆的半径为5，进而根据空间几何体的外接球问题求解即可． 【详解】 解： ()168172ABCD S =+⨯=， 115678333S ABCD ABCD V S SD -=⋅=⨯⨯=，AC =△BCD 外接圆半径为r 圆为设为M ，则2r =，△=5r ， 设外接球的球心为O ，半径为R ，则()222225825OM R OM R ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩，△221641OM R ⎧=⎨=⎩，△R = 17．(1)2n a n = (2)211334nn n ++-⋅【解析】 【分析】（1）根据11n n n a S S ++=-化简条件可得数列为等差数列，再由()54623s a a =+求出首项即可得出等差数列的通项公式；（2）根据等差、等比数列的求和公式利用分组求和即可求解. (1)()12n n n s s a n N *+=++∈ 12n n a a +∴-=，{}n a ∴是以2为公差的等差数列，()54623s a a =+352532a a ∴⨯=⨯，即1110(4)6(8)a a +=+， 解得12a =，2(1)22n a n n ∴=+-⨯=(2)11224na nn n b a n ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2231111111442(123)++++1444414n n n T n n n⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭∴=+++++=++ ⎪⎝⎭-211334nn n ++-⋅=.18．(1)证明见解析 【解析】 【分析】小问1：连接BD ，交AC 于O ，连接OE ，推导出1//OE BD ，由此能证明1//BD 平面EAC . 小问2：以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线1AB 与平面EAC 所成角的大小． (1)证明：连接BD ，交AC 于O ，连接OE ，△在正方体1111ABCD A B C D -中，ABCD 是正方形，△O 是BD 中点， △E 为棱1DD 的中点，△1//OE BD ， △1BD ⊄平面AEC ，OE ⊂平面AEC ， △1//BD 平面EAC . (2)以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系， 设正方体1111ABCD A B C D -中棱长为2，则()2,0,0A ，()12,2,2B ，()0,2,0C ，()0,0,1E ，()10,2,2AB =，()2,0,1AE =-，()2,2,0AC =-， 设平面EAC 的法向量(),,n x y z =，则20220n AE x z n AC x y ⎧⋅=-+=⎨⋅=-+=⎩，取1x =，得()1,1,2n =， 设直线1AB 与平面EAC 所成角的大小为θ，则116sin 8AB n AB nθ⋅===⋅⋅， △直线1AB 与平面EAC19．(1)证明见解析(2)证明见解析，△△△，1b = 【解析】 【分析】（1）变形()sin cos sin B A A B >+，整理可得cos 0B <，则可得答案；（2）分析可得△△不可能都成立，则△△均成立，再根据条件利用余弦定理计算可得答案. (1)△sin cos sin B A C >，△()sin cos sin sin cos cos sin B A A B A B A B >+=+， △sin cos 0A B <，即cos 0B <， △B 为钝角； (2)△B 为钝角，△2A C π+<，即A ，C 均为锐角，则4A π=，3C π=，若△△均成立，则4A π=，3C π=，此时5122B ππ=<与B 为钝角矛盾， △△△不可能都成立，△△△均成立，△a c >，△A C >，只能选△△△．在△ABC 中，由余弦定理得2224b b +-=由0b >，解得1b =． 20．(1)2211612x y +=(2)是定值，定值为127- 【解析】 【分析】（1）根据已知条件求得,a b ，由此求得椭圆方程.（2）设出直线l 的方程并与椭圆方程联立，化简写出根与系数关系，求得,M N 两点的坐标，由此计算出12127k k =-为定值. (1)由题意知22222124491c a a a b b a b c ⎧=⎪⎪=⎧⎪⎪+=⇒⎨⎨=⎪⎩⎪=+⎪⎪⎩△椭圆C 的方程为：2211612x y +=.(2)设直线l 的方程为3x my =+，()11,P x y ，()22,Q x y ，()4,0A -，()22223334483448x my my y x y =+⎧⇒++=⎨+=⎩， △()223418210m y my ++-=，1212221821,3434m y y y y m m --+=⋅=++， 直线AP 方程为：()1144y y x x =++， 令163x =得()112834y y x =+，△()112816,334y M x ⎛⎫⎪ ⎪+⎝⎭，同理()222816,334y N x ⎛⎫⎪ ⎪+⎝⎭， △()()()()()()121212121212122828161633347374477y y y y y y k k x x y x x my my =⋅⋅==++++++()2221212222116213421187497493434m m m y y m y y m m m m -⋅-+==--+++⋅+⋅+++()22248127318734m m m -==---++为定值．21．(1)532(2)△选择作答1T ，2T ，3T ，放弃作答4T ，5T ，理由见解析；△答案见解析 【解析】 【分析】（1）依题意得甲至少要答对1T ，2T ，3T 中的两题，分类讨论即可求解结果；（2）△1T ，2T ，3T 每道题作答的话，每题得分期望162 1.53⨯=>，4T ，5T 每道题作答的话，每题得分期望166 1.555⨯=<，即可采用策略作答；△结合二项分布求解即可．(1)前20道题和最后两道共可得分1203123+=分， 故1T ，2T ，3T 得分不低于13512312-=分． △甲至少要答对1T ，2T ，3T 中的两题．△若甲只答两题，2213139C 4464P ⎛⎫=⋅⨯= ⎪⎝⎭． △若甲答对三题，3211464P ⎛⎫== ⎪⎝⎭，故甲的总分不低于135分的概率915646432P =+=． (2)△△1T ，2T ，3T 每道题作答的话，每题得分期望162 1.53⨯=>4T ，5T 每道题作答的话，每题得分期望166 1.555⨯=<故要使乙总分的数学期望最大，应选择作答1T ，2T ，3T ，放弃作答4T ，5T ． △前20道题和最后两道乙共可得分：1203123+=分． △乙的总分的所有可能取值为123，129，135，141 ()328123327P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()213124129C 339P X ⎛⎫==⋅⋅= ⎪⎝⎭ ()223122135C 339P X ⎛⎫==⋅⋅= ⎪⎝⎭，()311141327P X ⎛⎫===⎪⎝⎭， △乙总分的概率分布列为22．(1)1；(2)2个，证明见解析.【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，转化为导函数()sin 0x f x e a x '=-+≥在[0,)+∞上恒成立，再求导求其最小值即可；（2）利用导数分析函数在0,0x x ≤>上的单调性，根据两点的存在性定理可确定出2个零点，再由导数求出函数的最小值，求出最小值的范围即可得证. (1)由题意可知，()sin 0x f x e a x '=-+≥在[0,)+∞上恒成立， 因为()cos 1cos 0x f x e x x ''=+≥+≥，所以()'f x 单调递增， 所以(0)10'=-≥f a ，解得a ≤1，所以a 的最大值为1. (2)易知a =1，所以()2cos x g x e x x =--,当x ≤0时，()2sin 1sin 0x g x e x x '=-+≤-+≤，所以g (x )单调递减，当x >0时，()2sin x g x e x '=-+，则()cos 1cos 0x g x e x x ''=+≥+≥，所以()g x '单调递增, 因为(0)10,(1)2sin10g g e ''=-<=-+>，所以存在0(0,1)x ∈，使得00()g x '=，()g x 在0(,)x -∞上单调递减，在0(,)x +∞上单调递增，又(0)0g =，所以0()0g x ,因为2(2)4cos 20g e =-->，所以存在10(,2)x x ∈，使得1()0g x =， 所以()g x 有两个零点，又因为002sin 0xe x -+=，所以00000m 0in 0()()2cos 22sin cos xg x g x e x x x x x ==--=---，因为01x <，所以0000()sin cos )4g x x x x >--=+≥π故()g x >. 【点睛】关键点点睛：求函数零点时，注意利用导数研究出函数的单调性后，根据零点存在性定理可确定出函数的隐零点，求最小值时，要注意对隐零点的使用，才能化简求值，属于难题.答案第16页，共16页。

2021年高三（上）12月综合练习数学试卷一、填空题（共14小题，每小题3分，满分42分）1．（3分）设集合A={5，log2（a+3）}，B={a，b（a，b∈R）}，若A∩B=1，则A∪B={﹣1，1，5} ．考点：交集及其运算．专题：计算题．分析：利用两个集合的交集的定义求得a 的值和 b 的值，进而得到集合A、B，依据并集的定义求得A∪B．解答：解：由题意可得 log2（a+3）=1，∴a=﹣1，∴b=1．∴集合A={5，1}，B={﹣1，1}，∴A∪B={﹣1，1，5}，故答案为{﹣1，1，5}．点评：本题考查集合的表示方法、两个集合的交集、并集的定义和求法，求出a，b的值是解题的关键．2．（3分）（xx•静安区一模）（文）若实数x满足对任意正数a＞0，均有x2＜1+a，则x的取值范围是[﹣1，1]．考点：函数恒成立问题．专题：计算题；转化思想．分析：实数x满足对任意正数a＞0，均有x2＜1+a⇔f（a）=a+1﹣x2，a＞0，则由一次函数要在a＞0上恒成立，从而可得f（0）＞0．解答：解：实数x满足对任意正数a＞0，均有x2＜1+a令f（a）=a+1﹣x2，a＞0则由一次函数的性质可得f（0）=1﹣x2≥0 ﹣1≤x≤1故答案为：[﹣1，1]点评：解决本题的灵魂在于“转化”，先将不等式转化为函数问题，转化为关于a的一次函数问题，最终得以解决．很多问题在实施化难为易中得以解决．构造函数也是本题的一个解题的技巧．3．（3分）已知函数f（x）=lg（x2﹣x﹣2），若∀a、b∈（m，+∞），都有[f（a）﹣f（b）]（a﹣b）＞0，则实数m最小值是2．考点：复合函数的单调性．专题：函数的性质及应用．分析：由∀a、b∈（m，+∞），都有[f（a）﹣f（b）]（a﹣b）＞0，知f（x）在（m，+∞）上单调递增，则（m，+∞）为函数f（x）增区间的子集，根据复合函数单调性的判断方法求出f（x）的增区间，由集合包含关系可得m的范围，注意函数定义域；解答：解：由x2﹣x﹣2＞0解得x＜﹣1或x＞2，所以函数f（x）的定义域为（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞），y=x2﹣x﹣2=在（﹣∞，）上递减，在（，+∞）上递增，又x＜﹣1或x＞2，所以y=x2﹣x﹣2的减区间为（﹣∞，﹣1），增区间为（2，+∞），而y=lgu递增，所以f（x）的减区间为（﹣∞，﹣1），增区间为（2，+∞），由∀a、b∈（m，+∞），都有[f（a）﹣f（b）]（a﹣b）＞0，知f（x）在（m，+∞）上单调递增，所以（m，+∞）⊆（2，+∞），故m≥2，所以实数m的最小值为2，故答案为：2．点评：本题考查函数单调性定义及复合函数单调性的判断，复合函数单调性的判断方法为“同增异减”．4．（3分）已知不等式|x﹣m|＜1成立的充分不必要条件是＜x＜，则m的取值范围是[﹣，]考点：充要条件．专题：计算题．分析：先求出不等式|x﹣m|＜1的解集，再由不等式|x﹣m|＜1成立的充分不必要条件是＜x ＜来确定m的取值范围．解答：解：∵|x﹣m|＜1，∴﹣1＜x﹣m＜1，∴m﹣1＜x＜m+1，∵m﹣1＜x＜m+1成立的充分不必要条件是＜x＜，∴，解得﹣．故m的取值范围是[﹣]．故答案：[﹣]．点评：本题考查充分不必要条件的应用，解题时要注意含绝对值不等式的解法和应用．5．（3分）设函数f（x）在定义域R内恒有f（﹣x）+f（x）=0，当x≤0时，，则f（1）=．考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：由条件判断出函数是奇函数，由f（0）=0求出a的值，再由奇函数的定义得f（1）=﹣f（﹣1），代入所给的解析式求值．解答：解：由f（﹣x）+f（x）=0，得f（x）=﹣f（x），∴函数f（x）在定义域R内是奇函数，即f（0）=0，∵当x≤0时，，∴=0，解得a=，∴f（1）=﹣f（﹣1）=﹣（）=，故答案为：．点评：本题考查了函数奇偶性的应用，即根据奇函数的性质求值，再利用奇偶性对应的关系式，将所求的函数值的自变量的范围转化到已知范围内求解，考查了转化思想．6．（3分）若直线（a2+2a）x﹣y+1=0的倾斜角为钝角，则实数a的取值范围是（﹣2，0）．考点：直线的一般式方程．专题：计算题．分析：由题意可得直线的斜率a2+2a＜0，解之即可．解答：解：由题意可得直线的斜率a2+2a＜0，即a（a+2）＜0，解得：﹣2＜a＜0，故实数a的取值范围是（﹣2，0），故答案为：（﹣2，0）点评：本题考查直线的倾斜角和斜率，涉及一元二次不等式的解法，属基础题．7．（3分）（xx•浙江二模）等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S1，2S2，3S3成等差数列，则{a n}的公比为．考点：等比数列的性质．专题：计算题；压轴题．分析：先根据等差中项可知4S2=S1+3S3，利用等比赛数列的求和公式用a1和q分别表示出S1，S2和S3，代入即可求得q．解答：解：∵等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S1，2S2，3S3成等差数列，∴a n=a1q n﹣1，又4S2=S1+3S3，即4（a1+a1q）=a1+3（a1+a1q+a1q2），解．故答案为点评：本题主要考查了等比数列的性质．属基础题．8．（3分）函数y=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜，x∈R）的部分图象如图所示，则函数表达式为y=﹣4sin．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：综合题．分析：观察函数的图象可得，函数的最小值﹣4，且在一周期内先出现最小值，所以A=﹣4 由图可得周期T=16，代入周期公式T=可求ω在把函数图象上的最值点代入结合已知φ的范围可得φ的值解答：解：由函数的图象可得最大值为4，且在一周期内先出现最小值，所以A=﹣4观察图象可得函数的周期T=16，ω=又函数的图象过（2，﹣4）代入可得sin（φ）=1∴φ+|φ|＜，∴φ=函数的表达式y=﹣4sin（）点评：本题主要考查了由三角函数的图象求解函数的解析式，其步骤一般是：由函数的最值求解A，（但要判断是先出现最大值或是最小值，从而判断A的正负号）由周期求解ω=2πT，由函数图象上的点（一般用最值点）代入求解φ；9．（3分）过点P（1，1）的直线，将圆形区域{（x，y）|x2+y2≤4}分两部分，使这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为x+y﹣2=0．考点：直线与圆相交的性质．专题：直线与圆．分析：要使直线将圆形区域分成两部分的面积之差最大，必须使过点P的圆的弦长达到最小，所以需该直线与直线OP垂直即可．解答：解：要使直线将圆形区域分成两部分的面积之差最大，必须使过点P的圆的弦长达到最小，所以需该直线与直线OP垂直即可．又已知点P（1，1），则k OP=1，故所求直线的斜率为﹣1．又所求直线过点P（1，1），故由点斜式得，所求直线的方程为y﹣1=﹣（x﹣1），即x+y﹣2=0．故答案为：x+y﹣2=0．点评：本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．10．（3分）函数f（x）=ax2+bx+c，其中a＜0，对∀x∈R，恒有f（x）=f（4﹣x），若f（1﹣3x2）＜f（1+x﹣x2），则x的取值范围是（﹣∞，﹣）∪（0，+∞）．．考点：二次函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：由∀x∈R，恒有f（x）=f（4﹣x），知f（x）的图象关于x=2对称，又由a＜0得f（x）的单调区间，根据1﹣3x2及1+x﹣x2的取值范围及函数单调性可得其大小关系，解出即可．解答：解：由∀x∈R，恒有f（x）=f（4﹣x），知f（x）的图象关于x=2对称，又a＜0，所以f（x）在（﹣∞，2]上递增，在[2，+∞）上递减，而1﹣3x2≤1＜2，1+x﹣x2=﹣＜2，故由f（1﹣3x2）＜f（1+x﹣x2），得1﹣3x2＜1+x﹣x2，即2x2+x＞0，解得x＜﹣或x＞0，故答案为：（﹣∞，﹣）∪（0，+∞）．点评：本题考查二次函数的单调性及其应用，属中档题．11．（3分）（xx•安徽模拟）已知{a n}是等比数列，a2=2，，则S n=a1+a2+…+a n（n∈N*）的取值范围是[4，8）．考点：等比数列的前n项和．专题：计算题．分析：首先根据条件求出q=，a1=4，然后由前n项和公式求出S n==8﹣8×（）n﹣1=8﹣（）n+2＜8，进而由a1，求出结果．解答：解：∵{a n}是等比数列，a2=2，，∴a5=a2q3=2×q3=∴q=∴a1=4，∴S n==8﹣8×（）n﹣1=8﹣（）n+2＜8 又∵a1=4∴4≤S n＜8 故答案为[4，8）点评：本题考查了等比数列的前n项和公式，求出数列的公比和首项是解题的关键，同时做题过程中要细心．属于基础题．12．（3分）已知函数f（x）=x3+2x，对任意的t∈[﹣3，3]，f（tx﹣2）+f（x）＜0恒成立，则x的取值范围是（﹣1，）．考点：函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：确定f（x）为单调递增的奇函数，再利用对任意的t∈[﹣3，3]，f（tx﹣2）+f（x）＜0恒成立，建立不等式，即可求x的取值范围．解答：解：∵f（x）=x3+2x，∴f（﹣x）=﹣x3﹣2x，∴函数是奇函数；∵f（tx﹣2）+f（x）＜0，∴f（tx﹣2）＜f（﹣x）求导函数可得f′（x）=x2+2＞0，∴函数是R上的增函数∴tx﹣2＜﹣x∴tx﹣2+x＜0∵对任意的t∈[﹣3，3]，f（tx﹣2）+f（x）＜0恒成立，∴∴﹣1＜x＜故答案为：（﹣1，）．点评：本题考查恒成立问题，考查学生的计算能力，确定f（x）为单调递增的奇函数是关键．13．（3分）在平面直角坐标系中，设直线l：kx﹣y+=0与圆C：x2+y2=4相交于A、B两点，，若点M在圆C上，则实数k=±1．考点：直线与圆相交的性质；相等向量与相反向量．专题：直线与圆．分析：把直线与圆的方程联立消去y，利用韦达定理表示出x A+x B，然后利用直线方程求得y A+y B的表达式，进而可求得M的坐标，利用点M在圆C上，即可求实数k的值．解答：解：由直线kx﹣y+=0与圆x2+y2=4相交于A，B两点，联立两方程得：（1+k2）x2+2kx﹣2=0∴x A+x B=﹣，y A+y B=kx A++kx B+=∵，∴M（﹣，）代入圆x2+y2=4可得∴k=±1故答案为：±1点评：本题主要考查了直线与圆相交的性质，平面向量的基本性质，考查学生的计算能力，属于中档题．14．（3分）（普通班做）设函数f（x）=lnx+x2+ax．若f（x）在其定义域内为增函数，则a的取值范围为[﹣2，+∞）．考点：函数的单调性与导数的关系．专题：函数的性质及应用．分析：f（x）在其定义域内为增函数可转化成只需在（0，+∞）内有2x2+ax+1≥0恒成立，建立不等关系，解之即可．解答：解：f（x）的定义域为（0，+∞）．方程2x2+ax+1=0的判别式△=a2﹣8，①当△≤0，即﹣2 ≤a≤2 时，2x2+ax+1≥0，f'（x）≥0在（0，+∞）内恒成立，此时f （x）为增函数．②当△＞0，即a＜﹣2 或a＞2 时，要使f（x）在定义域（0，+∞）内为增函数，只需在（0，+∞）内有2x2+ax+1≥0即可，设h（x）=2x2+ax+1，由得a＞0，所以a＞2 ．由①②可知，若f（x）在其定义域内为增函数，a的取值范围是[﹣2 ，+∞）．故答案为：[﹣2，+∞）．点评：本题以函数为载体，主要考查了利用导数研究函数的单调性和不等式的证明，属于中档题．二、解答题（共6小题，满分0分）15．对于函数y=f（x），若存在区间[a，b]，当x∈[a，b]时，f（x）的值域为[ka，kb]（k＞0），则称y=f（x）为k倍值函数．若f（x）=lnx+x是k倍值函数，则实数k的取值范围是（1，1+）．考点：函数的值域．专题：计算题；压轴题；新定义．分析：由于f（x）在定义域{x|x＞0} 内为单调增函数，利用导数求得g（x）的极大值为：g （e）=1+，当x趋于0时，g（x）趋于﹣∞，当x趋于∞时，g（x）趋于1，因此当1＜k＜1+ 时，直线y=k与曲线y=g（x）的图象有两个交点，满足条件，从而求得k 的取值范围．解答：解：∵f（x）=lnx+x，定义域为{x|x＞0}，f（x）在定义域为单调增函数，因此有：f（a）=ka，f（b）=kb，即：lna+a=ka，lnb+b=kb，即a，b为方程lnx+x=kx 的两个不同根．∴k=1+，令1+=g（x），令g'（x）==0，可得极大值点x=e，故g（x）的极大值为：g（e）=1+，当x趋于0时，g（x）趋于﹣∞，当x趋于∞时，g（x）趋于1，因此当1＜k＜1+ 时，直线y=k与曲线y=g（x）的图象有两个交点，方程k=1+ 有两个解．故所求的k的取值范围为（1，1+），故答案为（1，1+）．点评：本题主要考查利用导数求函数的值的方法，体现了转化的数学思想，属于基础题．16．（xx•盐城二模）设△ABC的内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，且．（1）求证：；（2）若cos（A﹣C）+cosB=1，求角B的大小．考点：解三角形．专题：解三角形．分析：（1）由条件可得cosB=，再利用基本不等式证得成立．（2）由cos（A﹣C）+cosB=1，可得sinAsinC=．再由可得sin2B=sinA•sinC=，求得sinB=，可得B的值．解答：解：（1）∵由条件可得cosB==≥=，故成立．（2）∵cos（A﹣C）+cosB=cos（A﹣C）﹣cos（A+C）=2sinAsinC=1，∴sinAsinC=．再由可得sin2B=sinA•sinC=，∴sinB=，故B=．点评：本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，基本不等式，根据三角函数的值求角，属于中档题．17．（xx•丰台区一模）已知m∈R，，，．（Ⅰ）当m=﹣1时，求使不等式成立的x的取值范围；（Ⅱ）求使不等式成立的x的取值范围．考点：平面向量数量积坐标表示的应用．专题：综合题．分析：（1）将m=﹣1代入向量，，然后用向量的数量积运算表示出•整理成•=x2+x﹣1，然后解绝对值不等式|x2+x﹣1|＜1，即可得到答案．（2）根据向量数量积的坐标运算先表示出＞0，然后对m的不同取值进行分类讨论，即可得到x的范围．解答：解：（Ⅰ）当m=﹣1时，，.=x2+x﹣1．∵，∴解得﹣2＜x＜﹣1或0＜x＜1．∴当m=﹣1时，使不等式成立的x的取值范围是{x|﹣2＜x＜﹣1或0＜x＜1}．（Ⅱ）∵，∵，所以x≠﹣m∴当m＜0时，x∈（m，0）∪（1，+∞）；当m=0时，x∈（1，+∞）；当0＜m＜1时，x∈（0，m）∪（1，+∞）；当m=1时，x∈（0，1）∪（1，+∞）；当m＞1时，x∈（0，1）∪（m，+∞）．点评：本题主要考查向量的数量积运算、绝对值不等式的解法和分式不等式的解法．求解分式不等式时一般求其等价的整式不等式，切记莫忘分母不等于0这个先决条件．18．已知﹛a n﹜是以a为首项，q为公比的等比数列，S n为它的前n项和．（Ⅰ）当S1，S3，S4成等差数列时，求q的值；（Ⅱ）当S m，S n，S l成等差数列时，求证：对任意自然数k，a m+k ，a n+k，a l+k也成等差数列．考点：等差关系的确定；等差数列的性质．专题：计算题；证明题．分析：（Ⅰ）根据题意，写出等比数列﹛a n﹜的前n项和是解决本题的关键，利用S1，S3，S4成等差数列寻找关于q的方程，通过解方程求出字母q的值；（Ⅱ）根据S m，S n，S1成等差数列，利用等比数列的求和公式得出关于q的方程式是解决本题的关键，注意分类讨论思想和整体思想的运用．解答：解：（Ⅰ）由已知得出a n=a1q n﹣1，S3=a1+a2+a3=a1（1+q+q2），S4=a1+a2+a3+a4=a1（1+q+q2+q3），根据S1，S3，S4成等差数列得出2S3=S1+S4，代入整理并化简，约去q和a1，得q2﹣q﹣1=0，解得q=；（Ⅱ）当q=1时，该数列为常数列，若S m，S n，S l成等差数列，则也有a m+k，a n+k，a1+k成等差数列；若q≠1，由S m，S n，S1成等差数列，则有2S n=S1+S m，即有，整理化简得2q n﹣1=q m﹣1+q l﹣1，两边同乘以a1，得2a1q n﹣1=a1q m﹣1+a1q l﹣1，即2a n=a m+a l，两边同乘以q k即可得到2a n+k=a m+k+a l+k，即a m+k ，a n+k，a l+k成等差数列．点评：本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查学生判断等差数列的方法，考查学生的方程思想和分类讨论思想，转化与化归思想，考查学生的运算能力．19．已知圆心为O，半径为1，弧度数为π的圆弧上有两点P，C，其中=（如图）．（1）若P为圆弧的中点，E在线段OA上运动，求的最小值；（2）若E，F分别为线段OA，OC的中点，当P在圆弧上运动时，求的最大值．考点：平面向量数量积的运算；向量的模．专题：平面向量及应用．分析：（1）由题意可得C为的中点，设OE=x（0≤x≤1），计算=，利用二次函数的性质求得它的最小值．（2）以O为原点，BA所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，求出E、F的坐标，设P（x，y），则x2+y2=1（y≥0），计算，可得当x+y取得最小值时，取得最大值，计算求得结果．解答：解：（1）由题意= 可得C为的中点，设OE=x（0≤x≤1），则=，所以当时，的最小值为．（2）以O为原点，BA所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，则，，设P（x，y），则x2+y2=1（y≥0），∴，故当x=﹣1 且y=0时，x+y取得最小值为﹣1，所以，的最大值是1﹣（﹣）=．点评：本题主要考查两个向量的数量积的定义，数量的坐标形式的运算，二次函数的性质应用，属于中档题．20．（xx•崇明县二模）已知数列{a n}是各项均不为0的等差数列，公差为d，S n为其前n项和，且满足，n∈N*．数列{b n}满足，n∈N*，T n为数列{b n}的前n项和．（1）求数列{a n}的通项公式a n和数列{b n}的前n项和T n；（2）若对任意的n∈N*，不等式恒成立，求实数λ的取值范围；（3）是否存在正整数m，n（1＜m＜n），使得T1，T m，T n成等比数列？若存在，求出所有m，n的值；若不存在，请说明理由．考点：数列与不等式的综合；等比关系的确定；数列的求和；等差数列与等比数列的综合．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）由，n∈N*．分别令n=1和2，可分别求出数列的首项和公差，代入可得数列{a n}的通项公式，由，n∈N*，可由裂项相消法得到数列{b n}的前n项和T n；（2）由（1）中T n的表达式，然后分n为奇数和n为偶数两种情况，分别求出实数λ的取值范围，综合分类讨论结果，可得答案．精品文档实用文档 （3）由（1）中T n 的表达式，结合等比数列的性质，可构造关于m ，n 的方程，根据1＜m ＜n 及m ，n 均为整数，可得答案．解答： 解：（1）在a n 2=S 2n ﹣1中，令n=1，n=2，得，即 （2分）解得a 1=1，d=2，（3分）∴a n =2n ﹣1．∵==（ ﹣ ），∴Tn=（1﹣+﹣+…+﹣ ）=．（5分）（2）①当n 为偶数时，要使不等式λT n ＜n+8•（﹣1）n 恒成立，即需不等式λ＜=2n++17恒成立．（6分）∵2n+≥8，等号在n=2时取得．∴此时λ需满足λ＜25．（7分）②当n 为奇数时，要使不等式λT n ＜n+8•（﹣1）n 恒成立，即需不等式λ＜=2n ﹣﹣15恒成立．（8分）∵2n ﹣是随n 的增大而增大，∴n=1时，2n ﹣取得最小值﹣6．∴此时λ需满足λ＜﹣21．（9分）综合①、②可得λ的取值范围是λ＜﹣21．（10分）（3）T 1=，Tm=，Tn=，若T 1，T m ，T n 成等比数列，则（）2= （），即 =．（11分）由=，可得 =＞0，即﹣2m 2+4m+1＞0，（12分）∴1﹣＜m ＜1+．（13分）又m ∈N ，且m ＞1，所以m=2，此时n=12．因此，当且仅当m=2，n=12时，数列 {T n }中的T 1，T m ，T n 成等比数列．（14分） 点评： 本小题主要考查等差、等比数列的定义、通项、求和、对数的运算、直线方程与不等式等知识，考查化归、转化、方程的数学思想方法，以及抽象概括能力、运算求解能力、创新能力和综合应用能力28507 6F5B 潛[21001 5209 刉a[35736 8B98 讘v34312 8608 蘈32610 7F62 罢 30655 77BF 瞿-29762 7442 瑂32164 7DA4 綤。

江苏省南通市2021届高三上学期开学考试
数学试题
2020．9
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）
1．记全集U ＝R ，集合A ＝{}216x x ≥，集合B ＝{}22x x ≥，则U (A)B ＝
A ．[4，+∞)
B ．(1，4]
C ．[1，4)
D ．(1，4) 2．已知5log 2a =，7log 2b =，20.5a c -=，则a ，b ，c 的大小关系为
A ．b ＜a ＜c
B ．a ＜b ＜c
C ．c ＜b ＜a
D ．c ＜a ＜b
3．若3cos()5αβ+=，5sin()413πβ-=，α，β∈(0，2
π)，则cos()4πα+＝ A ．3365- B ．3365 C ．5665 D ．1665
- 4．我国即将进入双航母时代，航母编队的要求是每艘航母配2~3艘驱逐舰，1~2艘核潜艇.船厂现有5艘驱逐舰和3艘核潜艇全部用来组建航母编队，则不同的组建方法种数为 A ．30 B ．60 C ．90 D ．120
5．函数()2sin()f x x ωϕ=+(ω＞0，ϕ＜π)的部分图像如图所示，且()f x 的图像过A(2
π，1)，B(2
π，﹣1)两点，为了得到()2sin g x x ω=的图像，只需将()f x 的图像 A ．向右平移
56π B ．向左平移56π C ．向左平移512π D ．向右平移512π
第5题 第6题
6．《易经》是中国传统文化中的精髓，上图是易轻八卦图(含乾、坤、舞、震、坎、离、良、。

江苏省南通市新高三最新高考数学模拟试卷必做题部分(时间120分钟,满分160分)一.填空题:本大题14小题,每小题5分,共70分.请将正确的答案填在答题纸上相应的横线上.1. 已知复数121,2z i z i =-=+，那么12z z ⋅的值是 ．2. 集合{}22,A x x x R =-≤∈，{}2|,12B y y x x ==--≤≤，则()R C A B = .3. 函数x y 2sin =向量a 平移后，所得函数的解析式是12cos +=x y ，则模最小的一个向量a = .4. 甲、乙两名射击运动员参加某大型运动会的预选赛，他们分别射击了5次，成绩如下表（单位：环）如果甲、乙两人中只有1人入选，则入选的最佳人选应是 . 5. 曲线在53123+-=x x y 在1=x 处的切线的方程为 .6. 已知实数x ，y 满足22,052y x y x +=++那么的最小值为 .7. 如图,是棱长为2的正四面体的左视图,则其主视图的面积为 .8. 设数列{}n a 的首项127,5a a =-=，且满足22()n n a a n N ++=+∈，则135a a a a++++ = .9. 已知tan()35πα-=-则22sin cos 3cos 2sin αααα=- .10.阅读下列程序:Read S ←1For I from 1 to 5 step 2 S ←S+I Print S End forEnd输出的结果是 .11. 设函数()()f x g x 、在R 上可导，且导函数''()()f x g x >，则当a x b <<时，下列不等式:(1)()()f x g x > (2)()()f x g x <(3)()()()()f x g b g x f b +<+ (4) ()()()()f x g a g x f a +>+ 正确的有 .12. 已知抛物线的顶点在原点,焦点在x 轴的正半轴上,F 为焦点,,,A B C 为抛物线上的三点,且满足0FA FB FC ++= ,F A + FB + 6FC =,则抛物线的方程为 .13. 已知实数x y 、满足221x y +≤，则|||1||24x y y y x ++++--的取值范围是 .14. 已知（0x ，0y ）是直线21x y k +=-与圆22223x y k k +=+-的交点，则00x y 的取值范围为 .二.解答题:本大题6小题,共90分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本大题14分,第一小题7分,第二小题7分)在△ABC 中，已知角A 、B 、C 所对的三条边分别是a 、b 、c ，且c a b ⋅=2 （1）求证：30π≤<B ；（2）求函数BB By cos sin 2sin 1++=的值域。

江苏省南通市2021届高三数学上学期开学考试试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．记全集U =，集合{}2|16A x x =≥，集合{}|22xB x =≥，则()U A B =( ).A ．[4,)+∞B ．(1,4]C ．[1,4)D ．(1,4)2．已知257log 2,log 2,0.5a a b c -===，则,,a b c 的大小关系为( ). A ．b a c <<B ．a b c <<C ．c b a <<D ．c a b <<3．若()35cos ,sin ,,0,54132ππαββαβ⎛⎫⎛⎫+=-=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则cos 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭( ).A ．3365-B ．3365C ．5665D ．1665-4．我国即将进入双航母时代，航母编队的要求是每艘航母配2~3艘驱逐舰，1~2艘核潜艇.船厂现有5艘驱逐舰和3艘核潜艇全部用来组建航母编队，则不同的组建方法种数为( ). A ．30B ．60C ．90D ．1205．函数()2sin(),(0,||)f x x ωϕωϕπ=+><的部分图像如图所示，且()f x 的图像过(),1,,12A B ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭两点，为了得到()2sin g x x ω=的图像，只需将()f x 的图像( ).A ．向右平移56π B ．向左平移56π C ．向左平移512π D ．向右平移512π 6．《易经》是中国传统文化中的精髓，上图是易轻八卦图(含乾、坤、舞、震、坎、离、良、兑八卦)，每一卦由三根线组成( -表示一根阳线，--表示一根阴线)，从八卦中任取一卦，这一卦的三根线中恰有2根阳线和1根阴线的概率为( ).A ．18B ．14C ．38D ．127．设12,F F 分别为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，过1F 的直线l 与222:O x y a +=相切，l 与C 的渐近线在第一象限内的交点是P ，若2PF x ⊥轴，则双曲线的离心率等于( ). AB ．2C ．D ．48．对于函数()y f x =，若存在区间[,]a b ，当[,]x a b ∈时的值域为[,](0)ka kb k >，则称()y f x =为k 倍值函数.若()2x f x e x =+是k 倍值函数，则实数k 的取值范围是( ). A ．()1,e ++∞ B ．()2,e ++∞C ．1,e e ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭D ．2,e e ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分. 9．下列说法正确的是( ).A ．将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数a 后，方差也变为原来的a 倍B ．设有一个回归方程35y x =-，变量x 增加1个单位时，y 平均减少5个单位C ．线性相关系数r 越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱D ．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布2(1,)(0)N σσ>，则(1)0.5P ξ>= 10．已知抛物线2:2C y px =过点(1,1)P ，则下列结论正确的是( ). A ．点P 到抛物线焦点的距离为32B ．过点P 作过抛物线焦点的直线交抛物线于点Q ，则OPQ △的面积为532C ．过点P 与抛物线相切的直线方程为210x y -+=D ．过点P 作两条斜率互为相反数的直线交抛物线于点,M N ，则直线MN 的斜率为定值 11．在ABC △中，已知cos cos 2b C c B b +=，且111tan tan sin A B C+=，则( ). A ．,,a b c 成等比数列B．sin :sin :sin 2A B C =C ．若4a =，则ABC S =△D ．,,A B C 成等差数列12．已知函数()ln f x x x =，若120x x <<，则下列选项正确的是( ). A ．1212()()0f x f x x x -<-B ．1122()()x f x x f x +<+C ．2112()()x f x x f x <D ．当211x x e>>时，11222112()()()()x f x x f x x f x x f x +>+三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．高二某班共有60名学生，其中女生有20名，三好学生占全班人数的16，而且三好学生中女生占一半.现在从该班任选一名同学参加某一座谈会.则在已知没有选上女生的条件下，选上的是三好学生的概率为__________.14．曲线ln 1y x x =++的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为__________.15．已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP AB ⋅的取值范围是__________. 16．椭圆与双曲线有相同的焦点12(,0),(,0)F c F c -，椭圆的一个短轴端点为B ，直线1F B 与双曲线的一条渐近线平行.若椭圆与双曲线的离心率分别为12,e e ，则12e e =__________；且22123e e +的最小值为__________.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．(10分)已知函数2()cos 2sin 1f x x x x =+-. (1)求函数()f x 的单调递增区间；(2)在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若()2,,24f A C c π===，求ABC △的面积.18．(12分)2021年寒假是特殊的寒假，因为疫情全体学生只能在家进行网上在线学习，为了研究学生在网上学习的情况，某学校在网上随机抽取120名学生对线上教育进行调查，其中男生与女生的人数之比为11:13，其中男生30人对于线上教育满意，女生中有15名表示 对线上教育不满意.(1)完成2x2列联表，并回答能否有99%的把握认为对“线上教育是否满意与性别有关”； (2)从被调查中对线上教育满意的学生中，利用分层抽样抽取8名学生，再在8名学生 中抽取3名学生，作学习经验介绍，其中抽取男生的个数为ξ.求出ξ的分布列及期望值 附公式及表22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.19．(12分)已知椭圆C 的中心在原点，其焦点与双曲线22221x y -=的焦点重合，点P在椭圆C 上，动直线:l y kx m =+交椭圆于不同两点,A B ，且0OA OB ⋅= (O 为坐标原点). ()求椭圆的方程;(2)讨论22712m k -是否为定值；若是，求出该定值；若不是，请说明理由.20．(12分)已知函数2()f x x bx c =++，且()0f x ≤的解集为[1,2]-. (1)求函数()f x 的解析式；(2)解关于x 的不等式()2(1),(0)mf x x m m >--≥；(3)设()31()2f x x g x +-=，若对于任意的12,[2,1]x x ∈-都有12|()()|g x g x M -≤，求M 的最小值21．(12分)已知221()(ln )x f x a x x x -=-+，.(1)讨论()f x 的单调性; (2)当1a =时，证明3()'()2f x f x >+对于任意的[1,2]x ∈成立，22．(12分)已知点P 是抛物线21:4C y x =的准线上任意一点，过点P 作抛物线的两条切线PA 、PB ，其中A 、B 为切点，(1)证明:直线AB 过定点，并求出定点的坐标;(2)若直线AB 交椭圆222:143x y C +=于C 、D 两点，12,S S 分别是,PAB PCD △△的面积,求12S S 的最小值.参考答案1~5 CACBC 6~8 CAB 9.BD10.BCD11.BC 12.CD13.1814.2y x =15.(2,6)-16.1,17.(1),,63k k k ππππ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭18.(1)29606.635143K =>,可以 (2)39388E ξ=⨯=19.(1)22143x y +=(2)2271212m k -=20.(1)2()2f x x x =--(2)()()()()()0,,1012,,11,2202,,1,232,,1,m m m m m m m =-∞>︒=-∞+∞⎛⎫︒<<-∞+∞ ⎪⎝⎭⎛⎫︒>-∞+∞ ⎪⎝⎭①②(3) min 1516M = 21.(1)0,(0,1)(1,)012,(0,)22202,(0,1)(1,)(,)23(,1)(1,)a a a a aaa a≤+∞>=+∞<<+∞>+∞①②(2)原不等式等价于233125ln 02x x x x x ++---> ln 1x x -≥，令11,12t x ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，32()23s t t t t =-++，2'()623s t t t =-++存在01,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦使得2006230t t -++=，13,(1)222s s ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以2331232x x x +-≥，因为等号不同时取，所以233125ln 02x x x x x ++---> 22.(1)过焦点(1,0)(2)设倾斜角为α，则212224134sin 1123sin 34cos S AB S CD ααα⎛⎫===+≥ ⎪⎝⎭-。

南通市2021年高三第一学期一致考试数学一、填空题:〔本大题共14小题，每题5分，共70分。

〕1.会合A xx2y21,B x,yy x，那么A B的子集个数为．2.命题“x R，x2x10〞的否定是．3.假定错误！未找到引用源。

是虚数单位，设1ia b iabR错误！未找到引用源。

，1,2i那么复数z a bi错误！未找到引用源。

在复平面内对应的点位于4.以双曲线x2y21的左焦点为焦点的抛物线标准方程是．455．命题p:x2x2,q:x Z且“p且q〞与“非q〞同时为假命题，x的值为．6．直线ax+y-a=0与圆x2+y2=4的地点关系是．7．函数y x2sinx在[0,]上的递加区间是.8.假定f(x)(x28)e x，那么f(x)的单一递减区间为．9.假定函数y4x3bx有三个单一区间，那么b的取值范围是．3x2y21的中心和左焦点，点P为椭圆上的随意一点，那么10．假定点O和点F分别为椭圆34OPFP的最大值为．F E11.假定直线y mx是y lnx+1的切线，那么m．A D12.如图，正六边形ABCDEF的两个极点A,D为椭圆的两个焦点，其他四个极点在椭圆上，那么该椭圆的离心率的值是B C _______．13.函数f(x)1x3a2x2ax b，当x1时函数f(x)的极值为7，那么312 f(2)．14.在平面直角坐标系中，假如x与y都是整数，就称点(x,y)为整点，以下命题中正确的是_____________〔写出全部正确命题的编号〕.①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点②假如k与b都是无理数，那么直线y kx b不经过任何整点③直线y kx b 经过无量多个整点的充足必需条件是：k 与b 都是有理数④存在恰经过一个整点的直线二、解答题：本大题共6小题，14+14+14+16+16+16共90分。

解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15．ABC 的三个极点为 A(3,0),B(-1,2),C(1,2) ，求：〔Ⅰ〕BC 边上的中线AD所在直线的方程；〔Ⅱ〕ABC 的外接圆方程。