江苏省南通中学高考数学模拟试卷一

江苏南通高考数学全真模拟试卷一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.1.已知集合{0,1,2}A =，则A 的子集个数为 ．2.已知复数12i z a =+,22i z =-（其中0a >，i 为虚数单位）.若12||||z z =，则a 的值为 ．3.执行如图所示的流程图，则输出的结果S = ．4.若直线1ey x b =+（e 是自然对数的底数）是曲线ln y x =的一条切线，则实数b 的值是 ．5.某学校有两个食堂，甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则他们在同一个食堂用餐的概率为 ．6.已知数据12,,,n x x x 的方差为3，若数据1ax b +，2ax b +，…，n ax b +(,)a b ∈R 的方差为12，则a 的值为 ．7.我们知道，以正三角形的三边的中点为顶点的三角形与原正三角形的面积之比为1:4，类比该命题得到：以正四面体的四个面的中心为顶点的四面体与原正四面体的体积之比为 ．8.在平面直角坐标系中，如果双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的焦距为2(0)c c >，那么当,a b 任意变化时，a b c+的最大值是 ．9.已知函数21,0()(1),0x x f x f x x -⎧-+≤=⎨->⎩，若方程()log (2)(01)a f x x a =+<<有且仅有两个不同的实数根，则实数a 的取值范围为 ．10.已知函数()2cos f x x x =-，数列{}n a 是公差为8π的等差数列，若123()()()f a f a f a ++4()f a +5()5f a π+=，则2315[()]f a a a -= ．11.在平面直角坐标系中，若直线l 与圆221:1C x y +=和圆222:((49C x y -+-=都相切，且两个圆的圆心均在直线l 的下方，则直线l 的斜率为 ．12.已知实数6n ≤，若关于x 的不等式2(2)80xm x n +--≥对任意的[4,2]x ∈-都成立，则443m n m n-的最小值为 ． 13.已知角,αβ满足tan 7tan 13αβ=，若2sin()3αβ+=，则sin()αβ-的值为 ． 14.将圆的六个等分点分成相同的两组，它们每组三个点构成的两个正三角形除去内部的六条线段后可以形成一个正六角星.如图所示的正六角星的中心为点O ，其中,x y 分别为点O 到两个顶点的向量.若将点O 到正六角星12个顶点的向量都写成ax by +的形式，则a b +的最大值为 ．二、解答题 （本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.在平面直角坐标系中，已知点(0,0)A ，(4,3)B ，若,,A B C 三点按顺时针方向排列构成等边三角形ABC ，且直线BC 与x 轴交于点D .（1）求cos CAD ∠的值；（2）求点C 的坐标.16.如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，平面11A ABB ⊥底面ABCD ，且2ABC π∠=.（1） 求证：//BC 平面11AB C ；（2）求证：平面11A ABB ⊥平面11AB C .17. 已知城A 和城B 相距20km ，现计划以AB 为直径的半圆上选择一点C （不与点A ，B 重合）建造垃圾处理厂.垃圾处理厂对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，对城A 和城B 的总影响度为对城A 与城B 的影响度之和.记点到C 城A 的距离为x km ，建在C 处的垃圾处理厂对城A 和城B 的总影响度为y .统计调查表明：垃圾处理厂对城A 的影响度与所选地点到城A 的距离的平方成反比例关系，比例系数为4；对城B 的影响度与所选地点到城B 的距离的平方成反比例关系，比例系数为k .当垃圾处理厂建在AB 的中点时，对城A 和城B 的总影响度为0.065.（1）将y 表示成x 的函数.（2）讨论（1）中函数的单调性，并判断在AB 上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A 和城B 的总影响度最小？若存在，求出该点到城A 的距离；若不存在，请说明理由.18. 已知椭圆:C 2231mx my +=(0)m >的长轴长为，O 为坐标原点.（1）求椭圆C 的方程和离心率.（2）设点(3,0)A ，动点B 在y 轴上，动点P 在椭圆C 上，且点P 在y 轴的右侧.若BA BP =，求四边形OPAB 面积的最小值.19. 已知函数32()f x ax bx cx b a =-++=(0)a >.（1）设0c =.①若a b =，曲线()y f x =在0x x =处的切线过点(1,0)，求0x 的值；②若a b >，求()f x 在区间[0,1]上的最大值.（2） 设()f x 在1x x =，2x x =两处取得极值，求证：11()f x x =，22()f x x =不同时成立.20. 若数列{}n a 和{}n b 的项数均为m ，则将数列{}n a 和{}n b 的距离定义为1||m i i i a b =-∑. （1）求数列1，3，5，6和数列2，3，10，7的距离.（2）记A 为满足递推关系111n n na a a ++=-的所有数列{}n a 的集合，数列{}nb 和{}nc 为A 中的两个元素，且项数均为m .若12b =，13c =，数列{}n b 和{}n c 的距离小于2016，求m 的最大值.（3）记S 是所有7项数列{}n a （其中17n ≤≤，0n a =或1）的集合，T S ⊆，且T 中的任何两个元素的距离大于或等于3.求证：T 中的元素个数小于或等于16.（附加题）21.【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.[选修4-1：几何证明选讲]如图，AB BC ，分别与圆O 相切于点D ，C ，AC 经过圆心O ，且2AC AD =，求证：2BC OD =.B.[选修4-2：矩阵与变换]在平面直角坐标系中，已知点(0,0)A ，(2,0)B ，(2,2)C ，(0,2)D ，先将正方形ABCD 绕原点A 逆时针旋转90°，再将所得图形的纵坐标压缩为原来的一半、横坐标不变，求连续两次变换所对应的矩阵M .C.[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程为cos 1sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）.现以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，求曲线C 的极坐标方程.D.[选修4-5：不等式选讲]已知,a b 为互不相等的正实数，求证：3334()()a b a b +>+.【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共计20分.请在答题卡制定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22.从集合{1,2,3,4,5,6,7,8,9}M =中，抽取三个不同的元素构成子集123{,,}a a a .（1）求对任意的i j ≠满足||2i j a a -≥的概率；（2）若123,,a a a 成等差数列，设其公差为(0)ξξ>，求随机变量ξ的分布列与数学期望.23.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，通项公式为1n a n =，且221,1(),2n nn S n f n S S n -=⎧=⎨-≥⎩. （1）计算(1)(2)(3)f f f ，，的值；（2）比较()f n 与1的大小，并用数学归纳法证明你的结论.参考答案一、填空题1. 82. 13.12 4. 0 5. 14 6. 2± 7. 1:278. 9. 11[,)32 10. 21316π 11. 7 12. 803- 13. 15- 14. 5 二、解答题15.解：（1）设BAD α∠=，CAD β∠=， 由三角函数的定义得4cos 5α=，3sin 5α=，故cos cos(60)βα=-=°1cos 2αα==，即4cos 10CAD +∠=. （2）设点(,)C x y .由（1）知sin sin(60)βα=-=°13cos sin 2210αα-=， 因为5AC AB ==，所以5cos x β==5sin y β=-=，故点C . 16.证明：（1）在四棱柱1111ABCD A B C D -中，11//BC B C .因为BC ⊄平面11AB C ，11B C ⊂平面11AB C ，所以//BC 平面11AB C .（2）因为平面11A ABB ⊥底面ABCD ，平面11A ABB ∩底面ABCD AB =，BC ⊂底面ABCD ， 且由2ABC π∠=知AB BC ⊥，所以BC ⊥平面11A ABB .又11//BC B C ，故11B C ⊥平面11A ABB .而11B C ⊂平面11AB C ，所以平面11A ABB ⊥平面11AB C .17. 解：（1）由题意知AC BC ⊥，AC x =，20AB =，则22400BC x =-， 所以224400k y x x =+-(020)x <<.因为当x =时，0.065y =，代入表达式解得9k =， 所以2249400y x x =+-(020)x <<. （2）因为2249400y x x =+-， 所以32289(2)'(400)x y x x ⨯-=--=-422322188(400)(400)x x x x ---. 令'0y =，得422188(400)x x =-，所以2160x =，即x =.当0x <<'0y <，所以函数2249400y x x=+-为减函数；当20x <<时，'0y >，所以函数2249400y x x =+-为增函数. 所以当x =，即点C 到城A 的距离为km 时，函数2249400y x x =+-(020)x <<有最小值.18. 解：（1）由题意知椭圆:C 221113x y m m+=， 所以21a m =，213b m=，故2a == 解得16m =， 所以椭圆C 的方程为22162x y +=.因为2c ==，所以离心率c e a ==. （2）设线段AP 的中点为D .因为BA BP =，所以BD AP ⊥.由题意知直线BD 的斜率存在，设点P 的坐标为000(,)(0)x y y ≠，则点D 的坐标为003(,)22x y +，直线AP 的斜率003AP y k x =-， 所以直线BD 的斜率0031BD AP x k k y -=-=， 故直线BD 的方程为000033()22y x x y x y -+-=-. 令0x =，得2200092x y y y +-=，故220009(0,)2x y B y +-. 由2200162x y +=，得220063x y =-，化简得202023(0,)2y B y --. 因此，OAP OAB OPAB S S S ∆∆=+四边形200023113||3||222y y y --=⨯⨯+⨯⨯ 2000233(||||)22y y y --=+0033(2||)22||y y =+32≥⨯=． 当且仅当0032||2||y y =时，即0[y =时等号成立． 故四边形OPAB面积的最小值为19.解：（1）当0c =时，32()f x ax bx b a =-+-.①若a b =，则32()f x ax ax =-，从而2'()32f x ax ax =-，故曲线()y f x =在0x x =处的切线方程为3200()y ax ax --=2000(32)()ax ax x x --. 将点(1,0)代入上式并整理得200(1)x x -=000(1)(32)x x x --，解得00x =或01x =.②若a b >，则令2'()320f x ax bx =-=，解得0x =或213b x a=<. （ⅰ）若0b ≤，则当[0,1]x ∈时，'()0f x ≥，所以()f x 为区间[0,1]上的增函数，从而()f x 的最大值为(1)0f =.（ii ）若0b >，列表：所以()f x 的最大值为(1)0f =.综上，()f x 的最大值为0.（2）假设存在实数,,a b c ，使得11()f x x =与22()f x x =同时成立.不妨设12x x <，则12()()f x f x <.因为1x x =，2x x =为()f x 的两个极值点，所以2'()32f x ax bx c =-+123()()a x x x x =--.因为0a >，所以当12[,]x x x ∈时，'()0f x ≤，故()f x 为区间12[,]x x 上的减函数，从而12()()f x f x >，这与12()()f x f x <矛盾，故假设不成立.既不存在实数a ，b ，c ，使得11()f x x =，22()f x x =同时成立.20. 解：（1）由题得数列1，3，5，6和数列2，3，10，7的距离为7.（2）设1a p =，其中0p ≠且1p ≠±. 由111n n na a a ++=-， 得211p a p +=-，31a p =-，411p a p -=+，5a p =，…. 所以15a a =，26a a =，….因此集合A 中的所有数列都具有周期性，且周期为4.所以数列{}n b 中，32a b -=，23a b -=-，112a b -=-，13a b =*()k N ∈， 数列{}n c 中，33a c -=，22a c -=-，113a c -=-，12a c =*()k N ∈. 因为111||||k k i i i i i i b c b c +==-≥-∑∑， 所以项数m 越大，数列{}n b 和{}n c 的距离越大. 因为17||3k i ii b c =-=∑，所以3456485411||||i i i ii i b c b c ⨯⨯==-=-=∑∑786420163⨯=， 因此，当3456m <时，1||2016mi i i b c =-<∑. 故m 的最大值为3455. （3）假设T 中的元素个数大于或等于17.因为数列{}n a 中，0n a =或1，所以仅由数列前三项组成的数组（1a ，2a ，3a ）有且只有8个：（0，0，0），（1，0，0），（0，1，0），（0，0，1），（1，1，0），（1，0，1），（0，1，1），（1，1，1）. 那么这17个元素之中必有3个具有相同的1a ，2a ，3a .设这3个元素分别为{}n c ：1c ，2c ，3c ，4c ，5c ，6c ，7c ；{}n d ：1d ，2d ，3d ，4d ，5d ，6d ，7d ；{}n f ：1f ，2f ，3f ，4f ，5f ，6f ，7f ，其中111c d f ==，222c d f ==，333c d f ==. 因为这3个元素中每两个元素的距离大于或等于3，所以在{}n c 与{}n d 中，i i c d ≠(4,5,6,7)i =至少有3个成立.不妨设44c d ≠，55c d ≠，66c d ≠.由题意得4c ，4d 中一个等于0，另一个等于1.又因为40f =或1，所以44f c =和44f d =中必有一个成立.同理得：55f c =和55f d =中必有一个成立，66f c =和66f d =中必有一个成立， 所以“i i f c =(4,5,6)i =中至少有两个成立”和“i i f d =(4,5,6)i =中至少有两个成立”中必有一个成立.故71||2i i i fc =-≤∑和71||2i i i f d =-≤∑中必有一个成立，这与题意矛盾. 所以T 中的元素个数小于或等于16.（附加题）21.【选做题】A.解：易得90ADO ACB ∠=∠=°，又A A ∠=∠，故Rt Rt ADO ACB ∆∆∽， 所以BC AC OD AD=. 又2AC AD =，故2BC OD =.B.解：设将正方形ABCD 绕原点A 逆时针旋转90°所对应的矩阵为A ，则cos90sin9001sin90cos9010A --⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦°°°°. 设将所得图形的纵坐标压缩为原来的一半，横坐标不变所对应的矩阵为B ， 则10102B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦， 所以连续两次变换所对应的矩阵10010111100022M BA -⎡⎤⎡⎤-⎡⎤⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦. C.解：依题意知cos 1sin x y αα=-⎧⎨=⎩（α为参数）， 因为22sin cos 1αα+=，所以22(1)1x y -+=，即2220x y x +-=，化为极坐标方程得22cos 0ρρθ-=，即2cos ρθ=，所以曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=.D.证明：因为0a >，0b >，所以要证3334()()a b a b +>+，只要证2234()()()a b a ab b a b +-+>+，即要证2224()()a ab b a b -+>+，只需证23()0a b ->，而a b ≠，故23()0a b ->成立.【必做题】22.解：（1）由题意知基本事件数为39C ，而满足条件||2i j a a -≥，即取出的元素不相邻，则用插空法，有37C 种可能， 故所求事件的概率3739C 5C 12P ==. （2）分析123,,a a a 成等差数列的情况；1ξ=的情况有7种:{1,2,3}，{2,3,4}，{3,4,5}，{4,5,6}，{5,6,7}，{6,7,8}，{7,8,9}； 2ξ=的情况有5种：{1,3,5}，{2,4,6}，{3,5,7}，{4,6,8}，{5,7,9}； 3ξ=的情况有3种：{1,4,7}，{2,5,8}，{3,6,9}；4ξ=的情况有1种：{1,5,9}.故随机变量ξ的分布列如下：因此，75()121616E ξ=⨯+⨯31153416168+⨯+⨯=. 23.解：（1）213(1)122f S ==+=， 4111113(2)23412f S S =-=++=， 62111119(3)345620f S S =-=+++=. （2）由（1）知(1)1f >，(2)1f >.下面用数学归纳法证明：当3n ≥时，()1f n <.（i ）由（1）知当3n =时，()1f n <.（ii ）假设当(3)n k k =≥时，()1f n <，即111()112f k k k k =+++<+，那么11(1)12f k k k +=++++11122122k k k +++++ 1111()122k k k k =++++++1112122k k k++-++ 11111()()21222k k k k<+-+-++ 2(21)2(22)12(21)2(22)k k k k k k k k -+-+=++++ 11112(21)(22)k k k k =--<++． 所以当1n k =+时，()1f n <也成立.因此，当3n ≥时，()1f n <.综上，当1n =和2n =时，()1f n >；当时，()1f n <.。

江苏省南通市（新版）2024高考数学人教版模拟(提分卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知集合，则集合（）A．B．C．D．第(2)题若，则（）A．B．C．D．第(3)题已知集合，则（）A．B．C．D．第(4)题中国灯笼又统称为灯彩，主要有宫灯、纱灯、吊灯等种类．现有4名学生，每人从宫灯、纱灯、吊灯中选购1种，则不同的选购方式有（）A．种B．种C．种D．种第(5)题已知全集，，则（）A．B．或C．D．或第(6)题已知函数，关于x的不等式的解集中有且只有一个整数，则实数a的范围是（）A．B．C．D．第(7)题设则A．B．C．D．第(8)题在的展开式中,含项的系数为A．30B．20C．15D．10二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知数列的通项公式为，其前项和为.对任意正整数，设，其中，记，则（）A．B．C．D．第(2)题已知数列的前项和为，，，且，则（）A．存在实数使得B．存在实数使得C．若，则D．若为数列中的最大项，则第(3)题函数，则下列结论正确的是（）A．若的最小正周期为，则B ．若，则是的一个对称中心C．若在内单调，则D．若在上恰有个极值点，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题若复数满足，其中为虚数单位，则的共轭复数在复平面内对应点的坐标为_____．第(2)题已知，与的夹角为45°，求使向量与的夹角是锐角，则的取值范围______.第(3)题能说明“若，则方程表示的曲线为椭圆或双曲线”是错误的一组的值是_____.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知为抛物线上一动点，若点满足（为坐标原点），记点的轨迹为曲线．(1)求的方程；(2)已知过上一点的直线分别交于两点（异于点A），设的斜率分别为．①若，求证：直线过定点；②若，且的纵坐标均不大于0，求的面积的最大值．第(2)题已知函数．(1)讨论的单调性；(2)当时，恒成立，求实数的取值范围．第(3)题已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在上，，过点作两条斜率互为相反数的直线，分别交于不同的两点．(1)求的标准方程；(2)证明：直线的斜率为定值，并求出该值．第(4)题为促进物资流通，改善出行条件，驻某县扶贫工作组引入资金新建了一条从该县到市区的快速道路.该县脱贫后，工作组为了解该快速道路的交通通行状况，调查了行经该道路的各种类别的机动车共1000辆，对行车速度进行统计后，得到如图所示的频率分布直方图：（1）试根据频率分布直方图，求样本中的这1000辆机动车的平均车速(同一组中的数据用该组区间的中点值代替)；（2）设该公路上机动车的行车速度服从正态分布，其中，分别取自该调查样本中机动车的平均车速和车速的方差(经计算).（i）请估计该公路上10000辆机动车中车速不低于85千米/时的车辆数(精确到个位)：（ii）现从经过该公路的机动车中随机抽取10辆，设车速低于85千米/时的车辆数为，求的数学期望.附注：若，则，，.参考数据：.第(5)题一个盒子中装着标有数字的卡片各 2 张，从中任意抽取 3 张，每张卡片被取出的可能性相等，用表示取出的 3张卡片中的最大数字.(1)求一次取出的3张卡片中的数字之和不大于5的概率;(2)求随机变量的分布列和数学期望.。

江苏省南通市（新版）2024高考数学统编版模拟(综合卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知集合，，则（）A．B．C．D．第(2)题算盘是中国传统的计算工具，其形长方，周为木框，内贯直柱，俗称“档”，档中横以梁，梁上两珠，每珠作数五，梁下五珠，每珠作数一，算珠梁上部分叫上珠，梁下部分叫下珠，例如，在百位档拨一颗下珠，十位档拨一颗上珠和两颗下珠，则表示数字170，若在个、十、百、千位档中，先随机选择一档拨一颗上珠，再随机选择两个档位各拨一颗下珠，则所拨数字大于的概率为（）A．B．C．D．第(3)题若，则s1,s2,s3的大小关系为A．s1＜s2＜s3B．s2＜s1＜s3C．s2＜s3＜s1D．s3＜s2＜s1第(4)题已知是的外心，，，则向量在向量上的投影向量为（）A．B．C．D．第(5)题设全集，集合，，那么等于A．B．C．D．第(6)题已知函数的极值点为，则（）A．B．2C．D．1第(7)题若函数在区间内恒有，则的单调递增区间是A．B．C．D．第(8)题某人每天早上在任一时刻随机出门上班，他的报纸每天在任一时刻随机送到，则该人在出门时能拿到报纸的概率为（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知函数是的导函数，则（）A．“”是“为奇函数”的充要条件B．“”是“为增函数”的充要条件C．若不等式的解集为且，则的极小值为D ．若是方程的两个不同的根，且，则或小竹以某速度沿正北方向匀速行进. 某时刻时，其北偏西方向上有一距其6米的洒水桩恰好面朝正东方向. 已知洒水桩会向面朝方向喷洒长为米，可视为笔直线段的水柱，且其沿东—北—西—南—东的方向每3秒匀速旋转一周循环转动. 若小竹不希望被水柱淋湿且不改变行进方向和速度，则他行进的速度可以是（）A．B．C．D．第(3)题已知圆台的上、下底面直径分别为2，6，高为，则（）A．该圆台的体积为B．该圆台外接球的表面积为C．用过任意两条母线的平面截该圆台所得截面周长的最大值为16D．挖去以该圆台上底面为底，高为的圆柱后所得几何体的表面积为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题函数的定义域为A，若时总有为单函数.例如，函数=2x+1（）是单函数.下列命题：①函数=（x R）是单函数；②若为单函数，且则；③若f：A B为单函数，则对于任意b B，它至多有一个原象；④函数f（x）在某区间上具有单调性，则f（x）一定是单函数.其中的真命题是 .（写出所有真命题的编号）第(2)题无限循环小数可以通过等比数列法转化为分数.如；应用上述方法转化（，为互质整数），则___________.第(3)题函数是计算机程序中一个重要函数，它表示不超过的最大整数，例如，已知函数，且，若的图像上恰有3对点关于原点对称，则实数的最小值为__________.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题椭圆：的离心率为，焦距为.（1）求椭圆的标准方程；（2）设是椭圆上的动点，过原点作圆：的两条斜率存在的切线分别与椭圆交丁点，，求的最大值.第(2)题已知数列满足(1)写出;(2)证明:数列为等比数列;(3)若，求数列的前项和.第(3)题如图，在多面体中，底面是平行四边形，为的中点，．(1)证明：；(2)若多面体的体积为，求平面与平面夹角的余弦值．已知数列，满足：．（1）若，求数列的通项公式；（2）若，且．①记，求证：数列为等差数列；②若数列中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次，求首项应满足的条件．第(5)题若方程有实数根，则称为函数的一个不动点，已知函数.（1）若，求证：有唯一不动点；（2）若有两个不动点，求实数a的取值范围.。

江苏省南通第一中学2025届高三下学期4月份高考模拟训练（一）数学试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知函数()222ln 02x x e f x e x x e ⎧<≤=⎨+->⎩，，，存在实数123x x x <<，使得()()()123f x f x f x ==，则()12f x x 的最大值为（ ） A ．1eBCD ．21e 2．已知函数1,0()ln ,0x xf x x x x⎧<⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩，若函数()()F x f x kx =-在R 上有3个零点，则实数k 的取值范围为（ ）A ．1(0,)eB ．1(0,)2eC ．1(,)2e-∞ D ．11(,)2e e3．已知抛物线22(0)y px p =>，F 为抛物线的焦点且MN 为过焦点的弦，若||1OF =，||8MN =，则OMN 的面积为（ ） A．B．C．D4．已知1F 、2F 分别为双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点，过1F 的直线l 交C 于A 、B 两点，O为坐标原点，若1OA BF ⊥，22||||AF BF =，则C 的离心率为（ ） A ．2BCD5．如图，圆O 的半径为1，A ，B 是圆上的定点，OB OA ⊥，P 是圆上的动点， 点P 关于直线OB 的对称点为P '，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，将OP OP '-表示为x 的函数()f x ，则()y f x =在[]0,π上的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．6．ABC 中，点D 在边AB 上，CD 平分ACB ∠，若CB a =，CA b =，2a =，1b =，则CD =（ ） A ．2133a b + B ．1233a b + C ．3455a b + D ．4355a b + 7．已知函数()sin()(0,0)3f x x πωφωφ=+><<满足()(),()12f x f x f ππ+==1，则()12f π-等于（ ）A ．2B 2C ．-12D ．128．已知直线y ＝k （x ﹣1）与抛物线C ：y 2＝4x 交于A ，B 两点，直线y ＝2k （x ﹣2）与抛物线D ：y 2＝8x 交于M ，N 两点，设λ＝|AB |﹣2|MN |，则（ ） A ．λ＜﹣16B ．λ＝﹣16C ．﹣12＜λ＜0D ．λ＝﹣129．已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>的焦距为2c ，焦点到双曲线C 3，则双曲线的渐近线方程为（） A ．3y x =B ．2y x =±C ．y x =±D ．2y x =±10．已知等差数列{}n a 满足1=2a ，公差0d ≠，且125,,a a a 成等比数列，则=d A ．1B ．2C ．3D ．411．已知函数()()sin f x A x =+ωϕ（其中0A >，0>ω，0ϕπ<<）的图象关于点5,012M π⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称，且与点M 相邻的一个最低点为2,33N π⎛⎫- ⎪⎝⎭，则对于下列判断： ①直线2x π=是函数()f x 图象的一条对称轴；②点,012π⎛⎫-⎪⎝⎭是函数()f x 的一个对称中心； ③函数1y =与()351212y f x x ππ⎛⎫=-≤≤⎪⎝⎭的图象的所有交点的横坐标之和为7π. 其中正确的判断是（ ） A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③12．已知变量的几组取值如下表：若y 与x 线性相关，且ˆ0.8yx a =+，则实数a =（ ） A ．74B ．114C ．94D ．134二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020届江苏省南通市高三年级第一次高考全真经典模拟试卷数学I 卷2020.4一､填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上. 1.设复数z 满足(z+i)(2+i)=5(i 为虚数单位),则z=___. 2.设全集U={1,2,3,4},集合A={1,3},B={2,3},则B U A ⋂ ___.3.箱子中有形状､大小都相同的3只红球和2只白球,一次摸出2只球,则摸到的2球颜色不同的概率为____.4.某学校从高三年级共800名男生中随机抽取50名测量身高.据测量被测学生身高全部介于155cm 和195cm 之间,将测量结果按如下方式分成八组:第一组[155,160)､第二组[160,165)､…､第八组[190,195],按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分如图所示.估计这所学校高三年级全体男生身高180cm 以上(含180cm)的人数为___.5.阅读如图所示的程序框,若输入的n 是30,则输出的变量S 的值是___.6.在平面直角坐标系xOy 中,已知抛物线C 的顶点在坐标原点,焦点在x 轴上,若曲线C 经过点P(1,3),则其焦点到准线的距离为__.7.抛物线24y x =的焦点到双曲线221169x y -=渐近线的距离为__.8.已知四棱锥PABCD 的底面ABCD 是边长为2,锐角为60°的菱形,侧棱PA ⊥底面ABCD,PA=3.若点M 是BC 的中点,则三棱锥MPAD 的体积为___.9.以抛物线24y x =的焦点为焦点,以直线y=±x 为渐近线的双曲线标准方程为___.10.一个圆锥的侧面积等于底面面积的2倍,,则圆锥的体积___是cm³ 11.设f(x)是R 上的奇函数,当x>0时,()2ln ,4x f x x=+记(5),n a f n =-则数列{}n a 前8项和为__.12.过曲线1(0)y x x x=->上一点P(x 0,y 0)处的切线分别与x 轴,y 轴交于点A,B,O 是坐标原点,若△OAB 的面积为1,3则0x =__.13.在平面直角坐标系xOy 中,已知圆O:222211,:(4)4,x y O x y +=-+=动点P 在直线0x b -=上,过P 分别作圆O,1O 的切线,切点分别为A,B,若满足PB=2PA 的点P 有且只有两个,则实数b 的取值范围是___. 14.已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数,当x≥0时,1()(|||2|3||)2f x x a x a a =-+--.若集合{|(1)()0,}x f x f x x -->∈=∅R ,则实数a 的取值范围为___. 二､解答题;本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.(本小题满分14分)在△ABC 中,三个内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,已知m=(sinB-sinC,sinC-sinA),n=(sinB+sinC,sinA),且m ⊥n. (1)求角B 的大小;(2)若b=c·cosA,△ABC 的外接圆的半径为1,求△ABC 的面积.16.(本小题满分14分)如图,在直四棱柱,1111ABCDA B C D 中,E,F 分别是AB,BC 的中点,11A C 与11B D 于点O.(1)求证:11,,A C F,E 四点共面;(2)若底面ABCD 是菱形,且1,OD A E ⊥求证:OD ⊥平面11.A C FE 17.(本小题满分14分) 已知函数2()2 1.f x x ax =-+(1)若函数()log [()](0,1)a g x f x a a a =+>≠的定义域是R ,求实数a 的取值范围; (2)当x>0时,恒有不等式()ln f x x x>成立,求实数a 的取值范围.18.(本小题满分16分)如图,墙上有一壁画,最高点A 离地面4m,最低点B 离地面2m,观察者从距离墙xm(x>1),离地面高am(1≤a≤2)的C 处观赏该壁画,设观赏视角∠ACB=θ.(1)若a=1.5,问:观察者离墙多远时,视角θ最大? (2)若1tan ,2θ=当a 变化时,求x 的取值范围.19.(本小题满分16分)在平面直角坐标系xOy 中,设椭圆22221(0)x y a b n b+=>>的离心率是e,定义直线by e =±椭圆的“类准线”.已知椭圆C 的“类准线”方程为y =±长轴长为4.(1)求椭圆C 的方程;(2)点P 在椭圆C 的“类准线”上(但不在y 轴上),过点P 作圆O 22:3x y +=的切线1,过点O 且垂直于OP 的直线与1交于点A,问点A 是否在椭圆C 上?证明你的结论.20.(本小题满分16分)已知数列{}n a 的奇数项是公差为1d 的等差数列,偶数项是公差为2d 的等差数列,n S 数列{}n a 的前n 项和,121, 2.a a ==(1)若54516,,S a a ==求a 10;(2)已知15815,S a =且对任意n ∈N *，有1n n a a +<恒成立,求证:数列{}n a 是等差数列;(3)若1213(0),d d d =≠且存在正整数m,n(m≠n),使得.n m a a =求当1d 最大时,数列{}n a 的通项公式.21.[选做题]本题包括A ､B ､C 三小题,请选定其中两小题,并在相应的答题区域内作答.若多做,则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤.A.[选修4--2:矩阵与变换](本小题满分10分)求矩阵3113⎡⎤⎢⎥⎣⎦的特征值及对应的特征向量.B.[选修4--4:坐标系与参数方程](本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中,曲线C :x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩(α为参数).以原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴,建立极坐标系,直线1的极坐标方程为(cos )40ρθθ+=).求曲线C 上的点到直线1的最大距离,C.[选修4--5:不等式选讲](本小题满分10分) 设x,y 均为正数,且x>y,求证:22122 3.2x y x xy y +≥+-+[必做题]第22题､第23题,每题10分,共计20分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤.22.(本小题满分10分)如图,在直三棱柱111ABCA B C 中,AC=3,BC=4,AB=5,1 4.AA =(1)设,AD AB λ=异面直线1AC 与CD 所成角的余弦值为求λ的值; (2)若点D 是AB 的中点,求二面角1DCB B 的余弦值.23.(本小题满分10分) 设*(,)(1),.n f x n x n =+∈N (1)求f(x,6)的展开式中系数最大的项;(2)*n ∈N 时,化简01122310144444n n n n n n n n n n C C C C C -----+++++ (3)求证:21132132n n n n n n C C C nC n -++++=⨯绝密★启用前2020届江苏省南通市高三年级第一次高考全真经典模拟试卷数学Ⅰ卷 参考答案与解析2020.4一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分． 1. (本小题满分5分) 【答案】2－2i 2. (本小题满分5分) 【答案】{2} 3. (本小题满分5分) 【答案】354. (本小题满分5分) 【答案】1445. (本小题满分5分) 【答案】2406. (本小题满分5分) 【答案】927. (本小题满分5分) 【答案】358. (本小题满分5分) 【答案】3 9. (本小题满分5分) 【答案】x 212－y 212＝110. (本小题满分5分) 【答案】3π 11. (本小题满分5分) 【答案】－16 12. (本小题满分5分) 【答案】5【解析】P(x 0，y 0)处的切线斜率为1＋1x 20，则切线方程为y －⎝⎛⎭⎫x 0－1x 0＝⎝⎛⎭⎫1＋1x 20(x －x 0) ，当x ＝0时，y ＝－2x 0；当y ＝0时，x ＝2x 0x 20＋1.S △OAB ＝12×2x 0 ×2x 0x 20＋1＝13，则x 0＝ 5.本题考查了导数的几何意义、直线方程，属于中等题． 13. (本小题满分5分) 【答案】⎝⎛⎭⎫－203，4 【解析】设P 点坐标为(x ，y)，∵ PB ＝2PA ，∴ PB 2＝4PA 2，即(x －4)2＋y 2－4＝4(x 2＋y 2－1)，整理得3x 2＋3y 2＋8x －16＝0.(方法1)该方程表示一个圆，圆心⎝⎛⎭⎫－43，0，r ＝83.因为P 点有且只有两个，所以直线和圆相交，故⎪⎪⎪⎪－43－b 2<83，解得b ∈⎝⎛⎭⎫－203，4.(方法2)因为P 在直线x ＋3y －b ＝0上，所以3y ＝－x ＋b ，代入3x 2＋3y 2＋8x －16＝0，得4x 2＋(8－2b)x ＋b 2－16＝0.因为P 点有且只有两个，所以方程有两个不相等的根，即Δ>0，整理得3b 2＋8b －80<0，所以b ∈⎝⎛⎭⎫－203，4.本题考查了直线与圆的位置关系，以及一元二次不等式的解法，突出了方程思想和解析法，其中方法1是利用方程对应的几何图形解决问题；方法2用代数方法算方程根的个数．本题属于难题． 14. (本小题满分5分) 【答案】⎝⎛⎦⎤－∞，16 【解析】∵ {x|f(x －1)－f(x)>0，x ∈R }＝∅ ，∴ f(x －1)－f(x)≤0恒成立，即f(x －1)≤f(x)．(1) 当a ≤0时，当x ≥0时，f(x)＝12x ，又函数f(x)是定义在R 上的奇函数，∴ 函数f(x)是在R 上的解析式为f(x)＝12x ，而f(x －1)是由f(x)向右平移1个单位，则函数f(x)和f(x －1)的图象有下图关系：通过图象观察，当a ≤0时，f(x －1)≤f(x)恒成立；(2) 当a>0时，当x ≥0时，f(x)＝⎪⎩⎪⎨⎧+∞∈-∈-∈-=),2[,3)2,[,),0[,)(a x a x a a x a a x x x f ∵ 函数f(x)是定义在R上的奇函数，∴ f(x)在R 上的图象为(如下图)：要使f(x －1)≤f(x)，两图象只要满足：由图知，只要满足－3a ＋1≥3a ，即0<a ≤16时，f(x －1)≤f(x)恒成立．综上可得，当a ≤16时，f(x －1)≤f(x)恒成立．本题考查了集合、分段函数、函数的图象与性质、不等式等内容的综合运用，体现了数形结合思想和分类讨论的思想．本题属于难题． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分． 15．(本小题满分14分) 【答案与解析】(1) 因为m ⊥n ，所以sin 2B －sin 2C ＋sinA(sinC －sinA)＝0，即sinAsinC ＝sin 2A ＋sin 2C －sin 2B.(2分)由正弦定理得ac ＝a 2＋c 2－b 2，所以cosB ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12.(4分)因为B ∈(0，π)，所以B ＝π3.(6分)(2) 因为c·cosA ＝b ，所以b c ＝b 2＋c 2－a22bc，即b 2＝c 2－a 2.(8分)又ac ＝a 2＋c 2－b 2，b ＝2RsinB ＝3，(10分) 解得a ＝1，c ＝2.(12分)所以S △ABC ＝12acsinB ＝32.(14分)16．(本小题满分14分) 【答案与解析】(1) 连结AC ，因为E ，F 分别是AB ，BC 的中点，所以EF 是△ABC 的中位线，所以EF ∥AC.(2分)由直棱柱知AA 1平行等于CC 1，所以四边形AA 1C 1C 为平行四边形，所以AC ∥A 1C 1.(5分)所以EF ∥A 1C 1，故A 1，C 1，F ，E 四点共面．(7分)(2) 连结BD ，因为直棱柱中DD 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，A 1C 1⊂平面A 1B 1C 1D 1，所以DD 1⊥A 1C 1.(9分)因为底面A 1B 1C 1D 1是菱形，所以A 1C 1⊥B 1D 1.又DD 1∩B 1D 1＝D 1，所以A 1C 1⊥平面BB 1D 1D.(11分) 因为OD ⊂平面BB 1D 1D ，所以OD ⊥A 1C 1.又OD ⊥A 1E ，A 1C 1∩A 1E ＝A 1，A 1C 1平面A 1C 1FE ，A 1E ⊂平面A 1C 1FE ，所以OD ⊥平面A 1C 1FE.(14分) 17．(本小题满分14分) 【答案与解析】(1) 由题意得，对任意x ∈R ，恒有f(x)＋a ＞0，即恒有x 2－2ax ＋1＋a ＞0，(2分) 于是Δ＝4a 2－4(1＋a)＜0，(3分)即a 2－a －1＜0，解得1－52＜a ＜1＋52.(3分)因为a ＞0，a ≠1，所以实数a 的取值范围是(0，1)∪⎝⎛⎭⎪⎫1，1＋52.(5分)(2) 当x ＞0时，不等式f （x ）x ＞lnx 等价于x －2a ＋1x ＞lnx ，即2a ＜x ＋1x－lnx ，(7分)设g(x)＝x ＋1x －lnx ，则g′(x)＝1－1x 2－1x ＝x 2－x －1x 2.(9分)令g′(x)＝0，得x ＝1＋52，当0＜x ＜1＋52时，g ′(x)＜0，g(x)单调减，当x ＞1＋52时，g ′(x)＞0，g(x)单调增，(11分)故当x ＝1＋52时，g(x)min ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋52＝5－ln 1＋52，(13分)所以2a ＜5－ln 1＋52，所以实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，52－12ln 1＋52.(14分) 18．(本小题满分16分) 【答案与解析】(1) 当a ＝1.5时，过C 作AB 的垂线，垂足为D ，则BD ＝0.5 m ，且θ＝∠ACD －∠BCD ，由已知观察者离墙x m ，且x ＞1，则tan ∠BCD ＝0.5x ，tan ∠ACD ＝2.5x，(2分)所以tan θ＝tan(∠ACD －∠BCD)＝ 2.5x －0.5x 1＋2.5×0.5x 2＝2x1＋1.25x 2＝2x ＋1.25x ≤2254＝255，当且仅当x ＝52＞1时，取“＝”．(6分)又tan θ在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调增，所以，当观察者离墙52m 时，视角θ最大．(8分)(2) 由题意，得tan ∠BCD ＝2－a x ，tan ∠ACD ＝4－a x ，又tan θ＝12，所以tan θ＝tan(∠ACD－∠BCD)＝2x x 2＋（a －2）·（a －4）＝12，(10分)所以a 2－6a ＋8＝－x 2＋4x ，当1≤a ≤2时，0≤a 2－6a ＋8≤3，所以0≤－x 2＋4x ≤3，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ≤0x 2－4x ＋3≥0，解得0≤x ≤1或3≤x ≤4.(14分) 因为x ＞1，所以3≤x ≤4，所以x 的取值范围为[3，4]．(16分)19．(本小题满分16分) 【答案与解析】(1) 由题意⎩⎪⎨⎪⎧ab c ＝23，a ＝2，又a 2＝b 2＋c 2，解得b ＝3，c ＝1，(4分)所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(5分)(2) 点A 在椭圆C 上．证明如下：设切点为Q(x 0，y 0)，x 0≠0，则x 20＋y 20＝3，切线l 的方程为x 0x ＋y 0y －3＝0，当y P ＝23时，x P ＝3－23y 0x 0，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3－23y 0x 0，23，则k OP ＝233－23y 0x 0＝2x 03－2y 0，(7分)所以k OA ＝2y 0－32x 0，直线OA 的方程为y ＝2y 0－32x 0x.(9分)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2y 0－32x 0x ，x 0x ＋y 0y －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6x 06－3y 0，y ＝3（2y 0－3）6－3y 0，即A(6x 06－3y 0，3（2y 0－3）6－3y 0)．(11分)因为⎝ ⎛⎭⎪⎫6x 06－3y 024＋（3（2y 0－3）6－3y 0）23＝9（3－y 20）＋3（4y 20－43y 0＋3）3y 20－123y 0＋36＝3y 20－123y 0＋363y 20－123y 0＋36＝1， 所以点A 的坐标满足椭圆C 的方程．(14分)当y P ＝－23时，同理可得点A 的坐标满足椭圆C 的方程， 所以点A 在椭圆C 上．(16分)20．(本小题满分16分) 【答案与解析】(1) 由题意，得a 1＝1，a 2＝2，a 3＝a 1＋d 1＝1＋d 1，a 4＝a 2＋d 2＝2＋d 2，a 5＝a 3＋d 1＝1＋2d 1.(2分)因为S 5＝16，a 4＝a 5，所以a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝7＋3d 1＋d 2＝16，2＋d 2＝1＋2d 1.所以d 1＝2，d 2＝3，(4分)所以a 10＝2＋4d 2＝14.(5分)(2) 证明：当n 为偶数时，因为a n ＜a n ＋1恒成立，即2＋⎝⎛⎭⎫n 2－1d 2＜1＋n 2d 1，n2(d 2－d 1)＋1－d 2＜0恒成立，所以d 2－d 1≤0且d 2＞1.(7分) 当n 为奇数时，因为a n ＜a n ＋1恒成立，即1＋n －12d 1＜2＋⎝⎛⎭⎫n ＋12－1d 2，(1－n)(d 1－d 2)＋2＞0恒成立，所以d 1－d 2≤0，于是有d 1＝d 2.(9分)因为S 15＝15a 8，所以8＋8×72d 1＋14＋7×62d 2＝30＋45d 2，所以d 1＝d 2＝2，a n ＝n ，所以数列{a n }是等差数列．(11分)(3) 解：若d 1＝3d 2(d 1≠0)，且存在正整数m ，n(m ≠n)，使得a m ＝a n ，由题意得，在m ，n 中必然一个是奇数，一个是偶数，不妨设m 为奇数，n 为偶数．因为a m ＝a n ，所以1＋m －12d 1＝2＋⎝⎛⎭⎫n 2－1d 2.(13分) 因为d 1＝3d 2，所以d 1＝63m －n －1. 因为m 为奇数，n 为偶数，所以3m －n －1的最小正值为2，此时d 1＝3，d 2＝1.(15分)所以数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎨⎧32n －12，n 为奇数，12n ＋1，n 为偶数.(16分)2020届江苏省南通市高三年级第一次高考全真经典模拟试卷数学Ⅱ卷（附加题） 参考答案与解析2020.421．【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题。

2022-2023学年江苏省南通市高三数学第一次全市联考模拟考试数学试题1. 已知M，N为R的两个不相等的非空子集，若，则( )A. B.C. D.2. 设i是虚数单位，复数z满足，则复数z的共轭复数在复平面内对应的点在( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 函数的图象大致是( )A. B.C. D.4. 在矩形ABCD中，E是BC的中点，F是AE上靠近E的三等分点，则向量( )A. B. C. D.5. 函数的部分图象如图所示，则下列叙述正确的是( )A. 函数的图象可由的图象向左平移个单位得到B. 函数的图象关于直线对称C. 函数在区间上单调递增D. 函数图象的对称中心为6. 记“方程表示椭圆”，“函数无极值”，则p是q的( )A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件7. 已知、是双曲线的左、右焦点，点A是双曲线C的右顶点，点P在过点A且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则双曲线C的离心率为( )A. B. 2 C. 3 D. 48. 已知O为坐标原点，点P为函数图象上一动点，当点P的横坐标分别为，，时，对应的点分别为，则下列选项正确的是( )A. B.C. D.9. 已知复数，在复平面内对应的点分别为，，O为坐标原点，则下列说法正确的是( )A. 当时，B. 当时，C. 满足的点表示的轨迹为直线D. 满足的点表示的轨迹为椭圆10. 已知数列的前n项和为，则下列说法正确的是( )A. 若则是等差数列B. 若则是等比数列C. 若是等差数列，则D. 若是等比数列，且则，11. 已知O为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交C于两点，则( )A. C的准线为B. 直线AB与C相切C. D.12. 已知函数，的定义域为为的导函数，且，，若为偶函数，则( )A. B.C. D.13. 在平面直角坐标系xOy中，已知圆C经过抛物线的焦点，且与直线相切于坐标原点O，则圆C的标准方程为__________.14. 已知函数的定义域为R，，若对于任意的都有，则当时，不等式的解集为__________.15. 已知圆，过x轴上的点存在一直线与圆M相交，交点为，且满足，则点P的横坐标a的取值范围为__________16. 已知，则的最小值为__________.17. 设为等差数列的前n项和，已知，且，，成等比数列．求数列的通项公式；若，求数列的前n项和18. 已知函数求函数的最小正周期及对称轴方程；将函数的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的纵坐标不变､横坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象，求在上的单调递减区间.19. 椭圆的左右焦点分别为，焦距为，点M为椭圆上位于x轴上方的一点，，且的面积为求椭圆C的方程；过点的直线l与椭圆交于A，B两点，且，求直线l的方程.20. 如图，在四边形ABCD中，，求角A；若，求四边形ABCD的面积.21. 已知双曲线的离心率是，实轴长是求双曲线C的方程；过点的直线l与双曲线C的右支交于不同的两点A和B，若直线l上存在不同于点P的点D满足成立，证明：点D的纵坐标为定值，并求出该定值.22. 已知函数当时，①求的极值；②若对任意的都有，，求m的最大值；若函数有且只有两个不同的零点，，求证答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】本题考查了集合的运算及集合的包含关系判断与应用，属于基础题．由题意知M，N为R的两个不相等的非空真子集，且，取，，从而依次判断即可．【解答】解：，N为R的两个不相等的非空真子集，，则，取，，对于A，，对于B，，故，对于D，，故，由排除法，可得C正确.故选2.【答案】D【解析】【分析】本题考查复数的代数表示及其几何意义，共轭复数，复数的四则运算，属于基础题.由题意利用复数的四则运算得，进而可求出在复平面内对应的点所在象限.【解答】解：，，即，故在复平面内对应的点为，在第四象限 .故选3.【答案】C【解析】【分析】本题考查函数图象的识别，属于基础题.利用奇偶性和函数值的分布即可解答.【解答】解：函数的定义域为R，，则是奇函数，图象关于原点对称，故排除A，B，当时，，则，排除D，故选4.【答案】B【解析】【分析】本题考查了平面向量的线性运算，属于基础题．根据平面向量的线性运算法则，准确化简，即可求解.【解答】解：如图所示，根据平面向量的运算法则，可得故选5.【答案】C【解析】【分析】本题考查由部分图象求三角函数解析式，求正弦型函数的对称轴和对称中心、判断正弦型函数的单调区间以及正弦型函数的图象变换，属于中档题；利用图象求出函数的解析式，利用三角函数图象变换可判断A选项；利用正弦型函数的对称性可判断BD选项；利用正弦型函数的单调性可判断C选项.【解答】解：由图象可知，，可得，因为，则，由图可知函数的最小正周期为，，所以对于A选项，因为，所以函数的图象可由的图象向左平移个单位得到，故A错；对于B选项，因为，所以函数的图象不关于直线对称，故B错；对于C选项，当时，则，由于在上单调递增，所以函数在区间上单调递增，故C对；对于D选项，令，则，则函数的对称中心为，故D错.故选6.【答案】B【解析】【分析】本题考查充分必要条件的判断，涉及椭圆的定义及利用导数研究函数的极值，属于中档题.根据椭圆的定义，以及利用导数研究函数的极值问题，结合充分必要条件的判断进行判定即可.【解答】解：若p为真，则，解得且，所以；若q为真，“函数无极值”，则不存在相异的两个实根，即²，解得，所以\(p⇒q,q⇏p\)，所以p是q的充分不必要条件.故选7.【答案】B【解析】【分析】本题考查了双曲线的几何性质与直线方程的应用问题，是中档题．求得直线AP的方程，根据题意求得P点坐标，代入直线方程，即可求得双曲线的离心率．【解答】解：如图所示，由题意知：，，，直线AP的方程为：，由，，则，代入直线AP：，整理得：，所求的双曲线离心率为故选8.【答案】D【解析】【分析】本题考查利用导数比较大小，属于较难题．设，，构造函数通过求导来判别其增减性，进而求得答案．【解答】解：设，则，令，，则，设，，则，所以在上为增函数，故，所以在上为增函数，因为，所以，即，故选9.【答案】AD【解析】【分析】本题考查复数的模及其几何意义，复数的四则运算及其几何意义，属于中档题.根据复数的代数运算及模的运算可判定选项AB；根据复数的模的几何意义可判定选项【解答】解：设，，则点，，对于A，，，因为，可求得，所以，即，故A正确；对于B，当，可得，解得，由于a，b，c，d不会都为零，所以，故B错误；对于C，根据复数的几何意义可知，表示的几何图形是圆，故C错误；对于D，在复平面中，点到间距离为，设，，点的轨迹表示以、为焦点的椭圆，故D正确.故选10.【答案】BC【解析】【分析】本题考查等比、等差数列的判定，涉及等比、等差数列的前n项和，属于中档题．对于选项A，由，求，再验证是否满足，即可判断其正误；对于选项B，先利用求得数列的通项公式，再利用等比数列的定义判断其正误即可；利用等差数列的前n项和公式与性质可判断选项C的正误；对于选项D，可用当时求得，可判断其正误．【解答】解：对于A选项，若，当时，，不满足，故A错误；对于B选项，若，则，由于满足，所以是等比数列，故B正确；对于C选项，若是等差数列，则，故C正确；对于D选项，当时，，故当时不等式不成立，故不成立，所以D错误.故答案为11.【答案】BCD【解析】【分析】本题考查了直线与抛物线的位置关系及其应用，以及抛物线的性质，属较难题．根据抛物线的性质、直线与抛物线的关系及弦长公式逐项判断，即可得出结论.【解答】解：点在抛物线上，即，所以准线为，所以A错误直线代入得：得，所以与C相切，故B正确；由题知直线PQ的斜率一定存在，则可设直线，，，则，或，此时，，故C 正确，故D 正确．故选12.【答案】AD【解析】【分析】本题考查抽象函数的奇偶性应用，奇偶函数的导数，周期性应用，属于较难题.通过变形，求得的周期，是本题解题的关键，在对题目中的等式进行相应的赋值相加可求得结果.【解答】解：由于是偶函数，则，两边求导得，所以是奇函数，，由，，得，即，所以是周期函数，且周期为4，，在，中令得，则，A正确；没法求得的值，B错；令得，，，则，无法求得，同理令得，，，因此，相加得，只有在时，有，但不一定为0，因此C错；在中令得，，在中令得，，两式相加得，即，D正确.故选13.【答案】【解析】【分析】本题主要考查圆的标准方程的求解，以及抛物线的焦点，圆的切线问题，是中档题．求出抛物线的焦点，结合直线与圆相切的性质求出圆心和半径即可．【解答】解：抛物线的焦点为，圆与直线相切于坐标原点O，圆心在直线上，圆过原点O以及点，则圆心在直线上，即圆心横坐标为1，纵坐标为，即圆心为，半径，则圆的标准方程为，故答案为：14.【答案】【解析】【分析】本题考查了利用导数解不等式，考查函数单调性的应用，属于中档题．令，求导可得单调递增，且，故不等式的解集为的解集．【解答】解：令，则，故在R上单调递增，又，的解集为，，故不等式等价于，即，，又，故答案为15.【答案】【解析】【分析】本题主要考查直线与圆的位置关系及其求参，属于中档题.由题意可得圆的半径为2，动点P到圆M的最近的点的距离小于或等于4，P到圆心的距离小于或等于6，即，由此求得a的范围.【解答】解：由题意可知：圆的半径为2，故弦长AB的范围是又，所以动点P到圆M的最近的点的距离小于或等于4，由于圆与x轴相离，故P到圆上的点的距离恒大于进而分析得：P到圆心的距离小于或等于6，根据两点间的距离公式有：，解得，故所求的a的范围是：，故答案为16.【答案】【解析】【分析】本题考查由基本不等式求最值，属于较难题．利用基本不等式结合配凑求出结果．【解答】解：由于，所以，当且仅当，即，时，等号成立．故答案为：17.【答案】解：设等差数列的公差为d，由得：整理得，因为，，成等比数列，所以故舍去，或，又由，解得，，满足条件.故由得，所以，所以，所以……，则……，两式相减得：……，所以【解析】本题考查等比数列的性质，等差数列的通项公式与求和公式，错位相减法求和，属于中档题.根据等差数列的通项公式与求和公式，结合等比数列的性质，列式求得，，从而求得；结合，得，再运用错位相减法求解即可.18.【答案】解：，，所以函数的最小正周期为，令，解得：，所以对称轴方程为：；将函数的图象向左平移个单位，所得图象的解析式为：，再将所得图象上各点的纵坐标不变、横坐标伸长为原来的2倍，得到：，令：，所以：，又，所以在上的单调递减区间为：，【解析】本题主要考查三角函数的恒等变换，余弦型函数单调性、周期性、对称轴，三角函数图象的平移和伸缩变换，属于中档题．利用三角函数的恒等变换将解析式变形成余弦型函数，即可进一步求出函数的周期和对称轴方程；利用三角函数图象的平移和伸缩变换规律得到的解析式，即可求解在上的单调递减区间．19.【答案】解：由题意可知，，由可得，因为的面积为2，所以，又，，解得，则，故椭圆方程为当直线l的斜率为0时，此时，不合题意，当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为，，，联立，得，所以，，因为的面积为2，，所以M纵坐标为，所以代入椭圆方程可得，因为，所以，所以，所以，所以，所以，所以，解得或，当时，直线l过点M，不符合题意，所以直线l的方程为【解析】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系及其应用，以及椭圆的定义，属于中档题．由椭圆的定义得到，再结合直角三角形勾股定理，即可求解；当直线l的斜率为0时，此时，不合题意，当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为，，，联立直线l与椭圆的方程，结合韦达定理可得，，由，推出，解得m，进而可得答案．20.【答案】解：因为，，所以，从而，则因为，所以，所以，所以，解得在中，，，，由余弦定理得，所以，在中，由正弦定理得，所以，又因为，所以，即，又因为，所以，从而因此四边形ABCD的面积故四边形ABCD的面积【解析】本题考查了诱导公式、二倍角公式、三角形的面积，考查了正、余弦定理的综合应用，属于中档题.根据诱导公式结合二倍角公式可求出，即可求出答案；根据余弦定理求出BD，再根据正弦定理可得，进而得，最后结合三角形面积公式即可得出答案.21.【答案】解：依题意得，，解得，所以双曲线C的方程是；证明：由题意知，直线l的斜率一定存在，设，，，直线l的方程为，将直线方程代入双曲线方程，化简整理得，，则，，要使直线与双曲线的右支有两个不同的交点A和B，则应满足，即，解得，由，得，故，所以，又，所以点D的纵坐标为定值【解析】本题考查双曲线方程，直线与双曲线的综合应用中的定值问题，属于较难题.由题意得求得即可得双曲线方程;设直线l的方程为联立双曲线方程，利用一元二次方程根与系数的关系，求出k的范围，根据题目条件带入坐标求出，即可得22.【答案】解：①当时，，定义域为，，，令，解得当x变化时，，的变化情况如下表：x-0+递减极小值递增所以的极小值为，没有极大值.②对任意的都有，即恒成立，由，故，所以由①知在上单调递增，因此，可得，即当时，的最小值为，所以m的最大值为证明：要证明，只需证明即可.依题意，，是方程的两个不等实根，因为，所以①､②相加得：，①､②相减得：，消去a，整理得，不妨设，令，则故只需证明当时，，即证明设，则于是在上单调递增，从而，因此所以【解析】本题主要考查函数的极值，函数的单调性以及最值问题，考查了导数的应用以及不等式证明，属于较难题.①将代入，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出函数的极小值即可；②问题转化为恒成立，且，得，即，求出m的最大值最大值即可；问题转化为证明即可，求出，不妨设，令，则，证明，设，求出函数的导数，根据函数的单调性证明即可.。

江苏省南通市（新版）2024高考数学人教版模拟(综合卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知点P是正方体上底面上的一个动点，记面ADP与面BCP所成的锐二面角为，面ABP与面CDP所成的锐二面角为，若，则下列叙述正确的是（）A．B．C．D．第(2)题已知向量满足，则（）A．B．C．D．在方向上的投影向量为第(3)题某生物兴趣小组为研究一种红铃虫的产卵数y与温度x（单位：℃）的关系.现收集了7组观测数据得到下面的散点图：由此散点图，在20℃至36℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为红铃虫产卵数y和温度x的回归方程类型的是（）A．B．C．D．第(4)题已知集合，则集合A B中元素的个数为（）A．0B．1C．2D．3第(5)题设全集，集合，，则（）A．B．C．D．第(6)题已知函数，则满足不等式的取值范围为（）A．B．C．D．第(7)题2019年10月1日上午，庆祝中华人民共和国成立70周年阅兵仪式在天安门广场隆重举行，这次阅兵不仅展示了我国的科技军事力量，更是让世界感受到了中国的日新月异，去年的阅兵方阵有一个很抢眼，他们就是院校科研方阵，他们是由军事科学院，国防大学，国防科技大学联合组建，若已知甲，乙，丙三人来自上述三所学校，学位分别有学士、硕士、博士学位，现知道：①甲不是军事科学院的，②来自军事科学院的均不是博士，③乙不是军事科学院的，④乙不是博士学位，⑤来自国防科技大学的是硕士，则甲是来自哪个院校的，学位是什么（）A．国防大学，博士B．国防科技大学，硕士C．国防大学，学士D．军事科学院，学士第(8)题已知复数（，是虚数单位）．若，则的虚部是（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题欧拉函数是初等数论中的重要内容．对于一个正整数，欧拉函数表示小于或等于且与互质的正整数的数目．换句话说，是所有不超过且与互素的数的总数．如：，．则以下是真命题的有（）A．的定义域为，其值域也是B．在其定义域上单调递增，无极值点C．不存在，使得方程有无数解D．，当且仅当是素数时等号成立第(2)题已知抛物线，过点作直线，直线与交于两点．在轴上方，直线与交于两点，在轴上方，连接，若直线过点，则下列结论正确的是（）A．若直线的斜率为1，则直线的斜率为B．直线过定点C．直线与直线的交点在直线上D．与的面积之和的最小值为．第(3)题随着社会的发展，人们的环保意识越来越强了，某市环保部门对辖区内A、B、C、D四个地区的地表水资源进行检测，按照地表水环境质量标准，若连续10天，检测到地表水粪大肠菌群都不超过200个/L，则认为地表水粪大肠菌群指标环境质量稳定达到Ⅰ类标准，否则不能称稳定达到Ⅰ类标准.已知连续10天检测数据的部分数字特征为：A地区的极差为20，75%分位数为180；B地区的平均数为170，方差为90；C地区的中位数为150，极差为60；D地区的平均数为150，众数为160.根据以上数字特征推断，地表水粪大肠菌群指标环境质量稳定达到Ⅰ类标准的地区是（）A．A地区B．B地区C．C地区D．D地区三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知8个非零实数a 1，a2，a3，a4，a5，a6，a7，a8，向量，，，，给出下列命题：①若a 1，a2，…，a8为等差数列，则存在，使＋＋＋与向量共线；②若a1，a2，…，a8为公差不为0的等差数列，向量，，，则集合M的元素有12个；③若a 1，a2，…，a8为等比数列，则对任意，都有∥；④若a1，a2，…，a8为等比数列，则存在，使·＜0；⑤若m＝·，则m的值中至少有一个不小于0．其中所有真命题的序号是________________．第(2)题设某几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为________．第(3)题一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面．已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的高为，底面周长为3，则这个球的体积为______．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题某小区对本小区1000户居民的生活水平进行调查统计，月人均收入（单位：元）在的有150户，在的有250户，在的有300户，在的有200户，不低于5000元的有100户.(1)若本小区每户居民的月人均收入均不超过6000元，试估计该小区居民的月人均收入（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；(2)根据月人均收入，按分层抽样的方法从该小区抽取20户参加某项幸运家庭活动游戏，游戏结束后，再从这20户参加了游戏且月人均收入不低于4000元的家庭中随机抽取2户参加有奖竞猜，求抽出的2户月人均收入均在的概率.第(2)题已知函数，其中．（1）当时，求证：时，；（2）试讨论函数的零点个数．第(3)题如图所示，在直三棱柱中，，设D为的中点，且.(1)求证：平面平面；(2)求点到平面的距离.第(4)题已知椭圆的左右焦点分别是，，，点为椭圆短轴的端点，且的面积为4，过左焦点的直线与椭圆交于，两点（，不在轴上）(1)求椭圆的标准方程；(2)若点在椭圆上，且（为坐标原点），求的取值范围.第(5)题甲､乙､丙､丁四支球队进行单循环小组赛（每两支队比赛一场），比赛分三轮，每轮两场比赛，第一轮第一场甲乙比赛，第二场丙丁比赛；第二轮第一场甲丙比赛，第二场乙丁比赛；第三轮甲对丁和乙对丙两场比赛同一时间开赛，规定：比赛无平局，获胜的球队记3分，输的球队记0分.三轮比赛结束后以积分多少进行排名，积分相同的队伍由抽签决定排名，排名前两位的队伍小组出线.假设四支球队每场比赛获胜概率以近10场球队相互之间的胜场比为参考.队伍近10场胜场比队伍甲乙甲丙甲丁乙丙乙丁丙丁(1)三轮比赛结束后甲的积分记为，求；(2)若前二轮比赛结束后，甲､乙､丙､丁四支球队积分分别为3､3､0､6，求甲队能小组出线的概率.。

江苏省南通市（新版）2024高考数学统编版模拟(培优卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知正四棱锥中，，那么当该棱锥的体积最大时，它的高（）A．1B．C．2D．3第(2)题在钝角中，，，则的取值范围是（）A．B．C．D．第(3)题在抗击新冠疫情期间，有3男3女共6位志愿者报名参加某社区“人员流调”、“社区值守”这两种岗位的志愿服务，其中3位志愿者参加“人员流调”，另外3位志愿者参加“社区值守”．若该社区“社区值守”岗位至少需要1位男性志愿者．则这6位志愿者不同的分配方式共有（）A．19种B．20种C．30种D．60种第(4)题在平面直角坐标系xOy中，椭圆和抛物线交于点A，B，点P为椭圆的右顶点.若O、A、P、B四点共圆，则椭圆离心率为（）A．B．C．D．第(5)题若非零向量,满足，则与的夹角为A．B．C．D．第(6)题已知，，，则（）A．B．C．D．第(7)题定义在上的函数满足，其中为的导函数，则下列不等式中，一定成立的是（）A．B．C．D．第(8)题已知函数，且，则A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题如图，直四棱柱中，底面ABCD为平行四边形，，点P是经过点的半圆弧上的动点（不包括端点），点Q是经过点D的半圆弧上的动点（不包括端点），则下列说法正确的是（）A．四面体PBCQ的体积是定值B．的取值范围是C．若与平面ABCD所成的角为，则D．若三棱锥的外接球表面积为S，则第(2)题若存在直线与曲线都相切，则的值可以是（）A．0B．C．D．第(3)题据新华社报道，“十三五”以来，中国建成了全球规模最大的信息通信网络，光纤宽带用户占比从2015年底的56%提升至94%，行政村通光纤和4G的比例均超过了99%；中国移动网络速率在全球139个国家和地区中排名第4位；在5G网络方面，中国已初步建成全球最大规模的5G移动网络．如图是某科研机构对我国2021-2029年5G用户规模和年增长率发展的预测图，则下列结论正确的是（）2021—2029年中国5G用户规模和年增长率发展预测图A．2021-2029年，我国5G用户规模逐年增加B．2022-2029年，我国5G用户规模后4年的方差小于前4年的方差C．2022-2026年，我国5G用户规模的年增长率逐年下降D．2021-2029年，我国5G用户规模年增长最多的是2022年三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题设函数在内有定义，下列函数：（1）；（2）；（3）；（4）中必为奇函数的有______．（填选所有正确答案的序号）第(2)题已知向量若则__________.第(3)题从如图所示的长方形区域内任取一个点M(x，y)，则点M取自阴影部分的概率为________．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题如图所示，在三棱柱中，点，，，分别为棱，，，上的点，且，，，.(1)证明：平面；(2)若，，四边形为矩形，平面平面，，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.第(2)题咖啡馆配制两种饮料，甲种饮料分别用奶粉、咖啡、糖．乙种饮料分别用奶粉、咖啡、糖．已知每天使用原料限额为奶粉、咖啡、糖．如果甲种饮料每杯能获利元，乙种饮料每杯能获利元．每天在原料的使用限额内饮料能全部售出，每天应配制两种饮料各多少杯能获利最大?第(3)题如图几何体中，底面是边长为2的正三角形，平面，若，，，．(1)求证：平面平面；(2)求该几何体的体积．第(4)题已知椭圆，，为的左右焦点.点为椭圆上一点，且.作作两直线与椭圆相交于相异的两点A，，直线、的倾斜角互补，直线与，轴正半轴相交.(1)求椭圆的方程；(2)求直线的斜率.第(5)题如图，在三棱柱中，平面，是的中点，是边长为的等边三角形．(1)证明：．(2)若，求异面直线与所成角的余弦值．。

南通市2023届高三第一次调研测试数学本试卷共6页，22小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号和座位号填写在答题卡上，将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效．4.考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回一､选择题．本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合A =x 1≤x ≤3 ，B ={x 2<x <4 }，则A ∩B =()A.2,3B.1,4C.-∞,4D.1,+∞2.已知向量a ，b 满足a =1，b =2，a ,b =2π3，则a ⋅a +b =()A.-2B.-1C.0D.23.在复平面内，复数z 1，z 2对应的点关于直线x -y =0对称，若z 1=1-i ，则z 1-z 2 =()A.2B.2C.22D.44.2022年神舟接力腾飞，中国空间站全面建成，我们的“太空之家”遨游苍穹．太空中飞船与空间站的对接，需要经过多次变轨．某飞船升空后的初始运行轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆，其远地点(长轴端点中离地面最远的点)距地面S 1，近地点(长轴端点中离地面最近的点)距地面S 2，地球的半径为R ，则该椭圆的短轴长为()A.S 1S 2B.2S 1S 2C.S 1+R S 2+RD.2S 1+R S 2+R5.已知sin α-π6 +cos α=35，则cos 2α+π3=()A.-725B.725C.-2425D.24256.已知随机变量X 服从正态分布N μ,σ2 ，有下列四个命题：甲：P (X >m +1)>P (X <m -2)；乙：P (X >m )=0.5；丙：P X ≤m =0.5；丁：P (m -1<X <m )<P (m +1<X <m +2)如果只有一个假命题，则该命题为()A.甲B.乙C.丙D.丁7.已知函数f x 的定义域为R ，且f 2x +1 为偶函数，f x =f x +1 -f x +2 ，若f 1 =2，则f 18 =()A.1B.2C.-1D.-28.若过点P t ,0 可以作曲线y =1-x e x 的两条切线，切点分别为A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，则y 1y 2的取值范围是Oxy π35π6-11()A.0,4e -3B.-∞,0 ∪0,4e -3C.-∞,4e -2D.-∞,0 ∪0,4e -2二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AC 与BD 交于点O ，则()A.AD 1∥平面BOC 1B.BD ⊥平面COC 1C.C 1O 与平面ABCD 所成的角为45∘D.三棱锥C -BOC 1的体积为2310.函数f x =sin ωx +φ ω>0,φ <π2的部分图象如图所示，则()A.ω=2B.φ=π6C.f x 的图象关于点π12,0 对称D.f x 在区间π,5π4上单调递增11.一个袋中有大小､形状完全相同的3个小球，颜色分别为红､黄､蓝．从袋中先后无放回地取出2个球，记“第一次取到红球”为事件A ，“第二次取到黄球”为事件B ，则()A.P A =13B.A ，B 为互斥事件C.P B ∣A =12D.A ，B 相互独立12.已知抛物线x 2=4y 的焦点为F ，以该抛物线上三点A ，B ，C 为切点的切线分别是l 1，l 2，l 3，直线l 1，l 2相交于点D ，l 3与l 1，l 2分别相交于点P ，Q ．记A ，B ，D 的横坐标分别为x 1，x 2，x 3，则()A.DA ⋅DB =0B.x 1+x 2=2x 3C.AF ⋅BF =|DF |2D.AP ⋅CQ =PC ⋅PD三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知函数f x =1+log 22-x ,x <1,2x -1,x ≥1,则f f -2 =．14.写出一个同时满足下列条件①②的等比数列a n 的通项公式a n =．①a n a n +1<0；②a n <a n +115.已知圆O :x 2+y 2=r 2(r >0)，设直线x +3y -3=0与两坐标轴的交点分别为A ，B ，若圆O 上有且只有一个点P 满足AP =BP ，则r 的值为．16.已知正四棱锥S -ABCD 的所有棱长都为1，点E 在侧棱SC 上，过点E 且垂直于SC 的平面截该棱锥，得到截面多边形Γ，则Γ的边数至多为，Γ的面积的最大值为．(第一空2分，第二空3分)四､解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．17.(10分)在①S 1，S 2，S 4成等比数列，②a 4=2a 2+2，③S 8=S 4+S 7-2这三个条件中任选两个，补充在下面问题中，并完成解答已知数列a n 是公差不为0的等差数列，其前n 项和为S n ，且满足，．(1)求a n 的通项公式；(2)求1a 1a 2+1a 2a 3+1a 3a 4+⋯+1a n a n +1注：如果选择多个方案分别解答，按第一个方案计分。

南通市高三数学一模试卷一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1. 若函数f(x) = ax^2 + bx + c（a ≠ 0）的图像开口向上，且与x 轴有且仅有一个交点，则a和b的取值范围是：A. a > 0, b^2 - 4ac = 0B. a > 0, b^2 - 4ac > 0C. a < 0, b^2 - 4ac = 0D. a < 0, b^2 - 4ac > 02. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S5 = 5a3，则S9等于：A. 9a5B. 18a5C. 9a4D. 18a43. 若复数z满足|z| = 1，则z的共轭复数的模长为：A. 0B. 1C. -1D. 24. 已知函数f(x) = x^3 - 3x，求f'(x)的值。

A. 3x^2 - 3B. x^2 - 3xC. 3x^2 + 3xD. x^3 - 35. 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，点E是CC1的中点，则A1到平面BB1DD1的距离为：A. 1B. 2C. √2D. √36. 若直线y = kx + b与曲线y = x^3 + 1相切，且切点在第一象限，则k的取值范围是：A. (0, 1)B. (1, +∞)C. (-∞, 0)D. (-∞, 1)7. 已知函数f(x) = ln(x + √(1 + x^2))，求f'(x)的值。

A. 1 / (x + √(1 + x^2))B. 1 / (x + √(1 + x^2))^2C. 1 / (x + √(1 + x^2))^2D. 1 / (1 + x^2)8. 已知等比数列{an}的公比q > 0，且a1 = 1，a3 = 4，则a2等于：A. 2B. 4C. 8D. 169. 若向量a = (1, 2)，向量b = (2, 1)，则a·b的值为：A. 0B. 1C. 2D. 310. 已知双曲线C的方程为x^2 / a^2 - y^2 / b^2 = 1（a > 0，b > 0），若双曲线的一条渐近线方程为y = 2x，则b / a的值为：A. 1B. 2C. √2D. √3二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分。

2025届江苏省南通市第一中学高考压轴卷数学试卷注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．2021年部分省市将实行“312++”的新高考模式，即语文、数学、英语三科必选，物理、历史二选一，化学、生物、政治、地理四选二，若甲同学选科没有偏好，且不受其他因素影响，则甲同学同时选择历史和化学的概率为 A ．18B ．14 C ．16 D ．12 2．若实数x ，y 满足条件25024001x y x y x y +-≤⎧⎪+-≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，目标函数2z x y =-，则z 的最大值为( )A ．52B ．1C ．2D ．03．已知命题p ：“a b >”是“22a b >”的充要条件；:q x ∃∈R ，|1|x x +≤，则（ ）A ．()p q ⌝∨为真命题B ．p q ∨为真命题C ．p q ∧为真命题D ．()p q ∧⌝为假命题4．已知椭圆22y a +22x b=1(a >b >0)与直线1y a x b -=交于A ，B 两点，焦点F (0，-c )，其中c 为半焦距，若△ABF 是直角三角形，则该椭圆的离心率为（ ）A．2 B．2 C．14 D．145，体积为3，AB 、CD 是底面圆O 的两条互相垂直的直径，E 是母线PB 的中点，已知过CD 与E 的平面与圆锥侧面的交线是以E 为顶点的抛物线的一部分，则该抛物线的焦点到圆锥顶点P 的距离等于（ ）A ．12B ．1C ．104D ．526．执行如图所示的程序框图，则输出的S =（ ）A ．2B ．3C ．23D ．12- 7．已知圆截直线所得线段的长度是，则圆与圆的位置关系是（ ）A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离8．下列命题中，真命题的个数为（ ）①命题“若1122a b <++，则a b >”的否命题； ②命题“若21x y +>，则0x >或0y >”；③命题“若2m =，则直线0x my -=与直线2410x y -+=平行”的逆命题.A ．0B ．1C ．2D ．39．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，动点E 在线段11A C 上，F 、M 分别是AD 、CD 的中点，则下列结论中错误的是（ ）A ．11//FM AC ，B ．存在点E ，使得平面//BEF 平面11CCD D C ．BM ⊥平面1CC F D ．三棱锥B CEF -的体积为定值10．若复数()()31z i i =-+，则z =（ ） A ．22 B ．25 C ．10 D ．2011．执行如图所示的程序框图后，输出的值为5，则P 的取值范围是（ ）.A ．37,48⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．59,610⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．715,816⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．1531,1632⎛⎤ ⎥⎝⎦12．函数的图象可能是下列哪一个？（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

高考数学模拟试卷（一）一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.已知集合A={1，3，5，7}，B={0，1，3}，则集合A∩B=______．2.若，其中i为虚数单位，a，b∈R，则ab的值为______．3.已知一组数据7，8，11，14，15，则该组数据的方差为______．4.一个算法的流程图如图所示，则输出的a的值为______．5.函数f（x）=ln（4-x2）的定义域为______．6.一根绳子长为5米，若将其任意剪为两段，则剪成的两段绳子的长度有一段大于3米的概率为______．7.在平面直角坐标系xOy中，双曲线的离心率为，则该双曲线的焦距为______．8.某长方体的长、宽、高分别为2cm，2cm，4cm，则该长方体的体积与其外接球的体积之比为______．9.已知等差数列{a n}满足a4=4，且a1，a2，a4成等比数列，则a3的所有值为______．10.在平面直角坐标系xOy中，圆O1：x2+y2=9与圆O2：x2+y2-4x+2y-3=0的公共弦的长为______．11.若函数f（x）=ax2+a-1（a∈R）存在零点，且与函数f（f（x））的零点完全相同，则实数a的值为______．12.如图，在直角△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，AB=4．以BC为直径向△ABC外作半圆，点P在半圆弧上，且满足，则的值为______．13.在△ABC中，已知AB边上的中线CM=1，且成等差数列，则AB的长为______．14.已知函数f（x）=|e x-1|，若存在实数a，b（a＜b）使得f（a）=f（b），则a+2b的最大值为______．二、解答题（本大题共11小题，共144.0分）15.如图，在三棱锥A-BCD中，AB⊥BC，，BE⊥AC，点F是CD的中点，EF=3，BF=5．求证：（1）EF∥平面ABD；（2）平面ABC⊥平面ADC．16.在中，已知，，.（1）求的长；（2）求的值.17.如图所示，现有一张边长为10cm的正三角形纸片ABC，在三角形的三个角沿图中虚线剪去三个全等的四边形ADA1F1，BD1B1E，CE1C1F（剪去的四边形均有一组对角为直角），然后把三个矩形A1B1D1D，B1C1E1E，A1C1FF1折起，构成一个以A1B1C1为底面的无盖正三棱柱．（1）若所折成的正三棱柱的底面边长与高之比为3，求该三棱柱的高；（2）求所折成的正三棱柱的体积的最大值．18.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆（a＞b＞0）经过点．设椭圆C的左顶点为A，右焦点为F，右准线与x轴交于点M，且F为线段AM的中点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若过点A的直线l与椭圆C相交于另一点P（P在x轴上方），直线PF与椭圆C相交于另一点Q，且直线l与OQ垂直，求直线PQ的斜率．19.设函数f（x）=e x-a ln x（a∈R），其中e为自然对数的底数．（1）当a＜0时，判断函数f（x）的单调性；（2）若直线y=e是函数f（x）的切线，求实数a的值；（3）当a＞0时，证明：f（x）≥2a-a lna．20.定义：从数列{a n}中抽取m（m∈N，m≥3）项按其在{a n}中的次序排列形成一个新数列{b n}，则称{b n}为{a n}的子数列；若{b n}成等差（或等比），则称{b n}为{a n}的等差（或等比）子数列．（1）记数列{a n}的前n项和为S n，已知．①求数列{a n}的通项公式；②数列{a n}是否存在等差子数列，若存在，求出等差子数列；若不存在，请说明理由．（2）已知数列{a n}的通项公式为a n=n+a（a∈Q+），证明：{a n}存在等比子数列．21.已知1是矩阵的一个特征值，求点（1，2）在矩阵A对应的变换作用下得到的点的坐标．22.已知曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ．以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为（t为参数）．（1）求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（2）求直线l被曲线C所截得的弦长．23.已知关于x的不等式x2-mx+n＜0的解集为{x|1＜x＜2}，其中m，n∈R．求证：．24.已知正四棱锥P-ABCD的底面边长和高都为2．现从该棱锥的5个顶点中随机选取3个点构成三角形，设随机变量X表示所得三角形的面积．（1）求概率P（X=2）的值；（2）求随机变量X的概率分布及其数学期望E（X）．25.已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，过F且斜率为的直线l与抛物线C交于A，B两点，B在x轴的上方，且点B的横坐标为4．（1）求抛物线C的标准方程；（2）设点P为抛物线C上异于A，B的点，直线PA与PB分别交抛物线C的准线于E，G两点，x轴与准线的交点为H，求证：HG•HE为定值，并求出定值．答案和解析1.【答案】{1，3}【解析】解：∵A={1，3，5，7}，B={0，1，3}；∴A∩B={1，3}．故答案为：{1，3}．进行交集的运算即可．考查列举法的定义，以及交集的运算．2.【答案】-2【解析】解：∵，∴，解得：，∴ab=-2．故答案为：-2．把已知等式左边利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的条件列式求得a，b的值，则答案可求．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，是基础题．3.【答案】10【解析】解：数据的平均数为：，方差为：故填：10．根据所给数据计算出平均数，代入方差的计算公式即可．本题考查了平均数，方差的计算，属于基础题．4.【答案】9【解析】解：第1步：n=1＜4成立，a=a+3=3，n=n+1=2；第2步：n=2＜4成立，a=a+3=6，n=n+1=3；第3步：n=3＜4成立，a=a+3=9，n=n+1=4；第4步：n=4＜4不成立，退出循环；所以，a=9．故答案为：9．模拟程序的运行过程，即可得出程序运行后输出的a值．本题考查了程序的运行与应用问题，是基础题．5.【答案】（-2，2）【解析】解：由题意得：4-x2＞0，解得：-2＜x＜2，故函数的定义域是（-2，2），故答案为：（-2，2）．根据对数函数的性质求出函数的定义域即可．本题考查了对数函数的性质，考查函数的定义域问题，是一道基础题．6.【答案】【解析】解：如下图，在A、C之间任意一点剪开，或在BD之间任意一点剪开，都可以满足有一段大于3米，所以，所求的概率为：P=．故答案为：．由题意画出图形，数形结合得答案．本题考查了概率的加法问题，考查几何概型问题，是一道基础题．7.【答案】4【解析】解：双曲线双曲线中，b=1，又c=，离心率为：，即：9a2+9=12a2，所以，，c==2所以，双曲线的焦距为4．故答案为：4．利用双曲线的标准方程求出双曲线的离心率，然后求出a，c，即可得到双曲线的焦距．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．8.【答案】【解析】解：长方体的体积为：V1=2×2×4=16，长方体外接球的直径为：2R=，外接球的体积为：V2=，长方体的体积与其外接球的体积之比为：．故填：．长方体的体积为：V1=2×2×4=16，设球的半径为R，则因为球心为长方体的中心，所以2R=，求出球的半径，则球的体积可以求出，则长方体的体积与其外接球的体积比值可求．本题考查了球的体积，长方体的外接球．解题时注意球心为长方体的中心．属于中档题．9.【答案】3或4【解析】解：因为a1，a2，a4成等比数列，所以，，即，化简，得：d（d-a1）=0，所以，或，解得：或，所以a3=a4=4，或a3=a1+2d=3，所以，a3的所有值为3，4．故答案为：3或4．利用等差数列以及等比数列的通项公式，结合已知条件求出首项与公差，然后求解即可．本题考查等差数列，等比数列的应用，通项公式的应用，考查计算能力．10.【答案】【解析】【分析】先用两圆方程相减求出公共弦所在直线方程，再求圆心到直线的距离，最后用勾股定理可得．本题考查了圆与圆的位置关系及其判定，属中档题．直线与圆的方程，两圆的公共弦长问题．【解答】解：由，两个式子相减得，两圆的公共弦所在的直线方程为：2x-y-3=0，圆O1：x2+y2=9的圆心（0，0）到直线2x-y-3=0的距离为：，公共弦长为：=．故答案为：．11.【答案】1【解析】解：函数f（x）=ax2+a-1（a∈R）存在零点，显然a≠0，设x=x0是函数f(x)的零点，则，因为函数f(x)与函数f（f（x））的零点完全相同，即x=x0是函数f（f（x））的零点，故，又因为，所以，即a-1=0，得：a=1．故答案为：1．利用函数的零点相同，列出方程，转化求解即可．本题考查函数的零点，考查分析问题解决问题的能力．12.【答案】7【解析】【分析】本题考查平面向量的坐标运算．向量的数量积的应用，考查数形结合以及计算能力．设BC为直径的圆交AB于D，则∠ABC=30°，以D为原点建立如图所示的平面直角坐标系，求出相关点的坐标，利用向量的数量积转化求解即可．【解答】解：∠ACB=90°，∠BAC=60°，AB=4，所以，AC=2，BC=2，∠BDC=90°，设BC为直径的圆交AB于D，则∠ABC=30°，以D为原点建立如图所示的平面直角坐标系，则CD=，BD=3，AD=1，A（-1，0），B（3，0），C（0，），设P（x，y），，，解得：x=，又BC为直角，所以，∠BPC=90°，所以，=0，即=0，即=0，解得：，所以，P（，），=（1，）（，）=+=7故答案为7．13.【答案】【解析】解：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，根据中线长公式，得．由成等差数列，得，从而2=，即为a2+b2=2c2=2+c2，解得．故答案为：．运用三角形的中线长公式可得a2+b2=2+c2，再由等差数列的中项性质和三角函数的恒等变换公式，结合正弦定理、余弦定理，化简可得a2+b2=2c2，解方程可得所求值．本题考查三角形的余弦定理和正弦定理，以及等差数列中项性质，三角函数的恒等变换，考查化简运算能力，属于中档题．14.【答案】【解析】解：设f（a）=f（b）=t，则|e a-1|=|e b-1|=t，解得a=ln（1-t），b=ln（1+t），所以a+2b=ln（1-t）+2ln（1+t）=ln（1-t）（1+t）2．设g（t）=（1-t）（1+t）2（0＜t＜1），则g'（t）=（1-3t）（1+t）．因为时，g'（t）＞0，g（t）单调递增，时，g'（t）＜0，g（t）单调递减，所以，所以a+2b的最大值为．故答案为：．设f（a）=f（b）=t，则|e a-1|=|e b-1|=t，解得a=ln（1-t），b=ln（1+t），推出a+2b的表达式．设g（t）=（1-t）（1+t）2（0＜t＜1），求出导函数，判断函数的单调性，然后求解最值即可．函数的导数及其应用．函数的单调性以及函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力．15.【答案】证明：（1）△ABC中，因为AB=BC，BE⊥AC，所以E为AC的中点；又因为点F是CD的中点，所以EF∥AD；又AD⊂平面ABD，EF⊄平面ABD，所以EF∥平面ABD；（2）在Rt△ABC中，因为，所以AC=8；又因为AE=CE，所以BE=4；又因为EF=3，BF=5，所以BF2=BE2+EF2，即BE⊥EF；又因为BE⊥AC，AC⊂平面ACD，EF⊂平面ACD，AC∩EF=E，所以BE⊥平面ACD，又因为BE⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面ADC．【解析】（1）由等腰三角形以及中位线的性质证明EF∥AD，即可证明EF∥平面ABD；（2）由等腰直角三角形的性质和勾股定理，证明BE⊥EF，再由BE⊥AC，得出BE⊥平面ACD，从而证明平面ABC⊥平面ADC．本题考查了空间中的平行与垂直关系证明与应用问题，是中档题．16.【答案】解：（1）因为，0＜B＜π，所以．在△ABC中，A+B+C=π，所以A=π-（B+C），于是sin A=sin[π-（B+C）]=sin（B+C）=．在△ABC中，由正弦定理知，所以．（2）在△ABC中，A+B+C=π，所以A=π-（B+C），于是cos A=cos（π-（B+C））=-cos（B+C）=，于是，．因此，=．【解析】（1）利用同角三角函数的基本关系求得sin B的值，再求得sin A=sin[π-（B+C）]的值，利用正弦定理求得BC的值．（2）先求出cos A=cos[π-（B+C）]的值，再利用二倍角公式求得sin2A、cos2A的值，再利用两角和差的正弦公式求得的值．本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和差的三角公式、正弦定理、诱导公式、二倍角公式的应用，属于中档题．17.【答案】解：（1）设A1D=x，则，．因为，所以（cm）．答：该三棱柱的高为cm．（2）因为，所以．三棱柱的体积=，所以．因为当时，V'（x）＞0，V（x）单调递增，当时，V'（x）＜0，V（x）单调递减，所以时，（cm3）．答：该三棱柱的体积为cm3．【解析】（1）设A1D=x，则，，根据=3列方程求解即可得x；（2）将三棱柱的体积表示为x的函数，利用导数研究体积函数的单调性，即可得到其最值．本题考查棱柱侧面积与其内切球体积的求法，考查根据实际问题选择函数模型，正确理解题意是关键，是中档题．18.【答案】解：（1）因为A（-a，0），F（c，0），，且F为AM的中点，所以，则2c2+ac-a2=0．即（2c-a）（a+c）=0，所以a=2c．b2=a2-c2=3c2………………（2分）因为点在椭圆上，所以，………………（4分）又因为b2=a2-c2=3c2，所以c=1，则a2=4，b2=a2-c2=3．所以椭圆的标准方程为．………………（6分）（2）由题意直线AP的斜率必存在且大于0，设直线AP的方程为：y=k（x+2），（k＞0）代入椭圆方程并化简得：（3+4k2）x2+16k2x+16k2-12=0，因为，得，，………………（8分）当时，PQ的斜率不存在，此时不符合题意．当k2≠时，直线PQ的方程为：，因为，所以直线OQ的方程为：，……………（12分）两直线联立解得：Q（4k2，-4k），因为Q在椭圆上，所以，化简得：（2k2+3）（6k2-1）=0，即，因为k＞0，所以，……………（14分）此时．直线PQ的斜率为．……………（16分）【解析】（1）推导出，从而（2c-a）（a+c）=0，进而a=2c．b2=a2-c2=3c2，由点在椭圆上，得到，再由b2=a2-c2=3c2，得到c=1，由此能求出椭圆的标准方程．（2）设直线AP的方程为：y=k（x+2），（k＞0），代入椭圆方程，得（3+4k2）x2+16k2x+16k2-12=0，由，得，，推导出直线PQ的方程为：，由，得直线OQ的方程为：，两直线联立解得：Q（4k2，-4k），再由Q在椭圆上，能求出直线PQ的斜率．本题考查椭圆方程、直线的斜率的求法，考查椭圆方程、椭圆与直线的位置关系、根的判别式、韦达定理等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．19.【答案】解：（1）函数f（x）=e x-a ln x（a∈R）的定义域为（0，+∞）．因为a＜0，所以，所以f（x）在区间上单调递增（2）设切点为，则，因为，所以，得，所以．设g（x）=e x-xe x ln x，则g'（x）=（-x-1）e x ln x，所以当0＜x＜1时，g'（x）＞0，g（x）单调递增，当x＞1时，g'（x）＜0，g（x）单调递减，所以g（x）max=g（1）=e．因为方程仅有一解x0=1，所以a=e．（3）证明：a＞0，因为，设h（x）=xe x-a（x≥0），则h'（x）=（x+1）e x＞0，所以h（x）单调递增．因为h（0）=-a＜0，h（a）=ae a-a=a（e a-1）＞0，所以存在0＜x0＜a，使得．当0＜x＜a时，h'（x）＜0，f'（x）＜0，f（x）单调递减，当x＞1时，h'（x）＞0，f'（x）＞0，f（x）单调递增，所以．因为，所以，ln x0=ln a-x0，所以．【解析】（1）求出函数的导数，由判断导函数与0的大小可得；（2）设切点表达函数切线的方程与已知直线y=e相同，可得实数a的值；（3）转换构造新函数h（x）=xe x-a（x≥0），利用单调性，分类讨论可得函数最小值，利用f（x）最小值≥2a-a lna．得证．本题考查函数的导数应用与证明，函数的单调性，切线方程以及分类讨论思想的应用，考查计算能力．20.【答案】解：（1）①因为，所以当n=1时，，当n≥2时，，所以．综上可知：．②假设从数列{a n}中抽3项a k，a l，a m（k＜l＜m）成等差，则2a l=a k+a m，即2×2l-1=2k-1+2m-1，化简得：2×2l-k=1+2m-k．因为k＜l＜m，所以l-k＞0，m-k＞0，且l-k，m-k都是整数，所以2×2l-k为偶数，1+2m-k为奇数，所以2×2l-k=1+2m-k不成立．因此，数列{a n}不存在三项等差子数列．若从数列{a n}中抽m（m∈N，m≥4）项，其前三项必成等差数列，不成立．综上可知，数列{a n}不存在等差子数列．（2）假设数列{a n}中存在3项n0+a，n0+a+k，n0+a+l（k＜l）成等比．设n0+a=b，则b∈Q+，故可设（p与q是互质的正整数）．则需满足，即需满足（b+k）2=b（b+l），则需满足．取k=q，则l=2k+pq．此时，．故此时（b+k）2=b（b+l）成立．因此数列{a n}中存在3项n0+a，n0+a+k，n0+a+l（k＜l）成等比，所以数列{a n}存在等比子数列．【解析】（1）记数列的前n项和为S n，已知．①求出数列的首项，通过a n=S n-S n-1，可求数列{a n}的通项公式；②假设从数列{a n}中抽3项a k，a l，a m（k＜l＜m）成等差，则2a l=a k+a m，化简得：2×2l-k=1+2m-k．说明l-k＞0，m-k＞0，且l-k，m-k都是整数，推出数列{a n}不存在三项等差子数列．（2）假设数列{a n}中存在3项n0+a，n0+a+k，n0+a+l（k＜l）成等比．设n0+a=b，则b∈Q+，故可设（p与q是互质的正整数）．．取k=q，则l=2k+pq．此时（b+k）2=b（b+l）成立．说明数列{a n}存在等比子数列．本题考查数列的应用，数列与函数的综合，考查分析问题解决问题的能力．21.【答案】解：由题意，可知：矩阵A的特征多项式为：，∵1是矩阵A的一个特征值，∴f（1）=0．即：（1-a）（1-2）=0．解得a=1，∴矩阵．由题意，有矩阵关系式：．∴点（1，2）在A对应的作用下得到的点为（3，4）．【解析】本题可先将特征值1代入特征多项式解得a的值，即可得到矩阵A，然后根据变换对应的矩阵关系式的乘法运算可得点（1，2）在矩阵A对应的变换作用下得到的点的坐标．本题主要考查特征值和特征多项式求参数，以及根据变换对应的矩阵关系式的乘法运算得到对应点的坐标问题．本题属基础题．22.【答案】解（1）因为曲线C的极坐标方程可化为ρ2=2ρsinθ．且x2+y2=ρ2，y=ρsinθ，所以曲线C的直角坐标方程为x2+y2-2y=0．直线l：（t为参数）的普通方程为．…………（6分）（2）圆心（0，1）到直线l：的距离为，又因为半径为1，所以弦长为．………………（10分）【解析】（1）利用直角坐标与极坐标的互化公式可得曲线C的直角坐标方程；消去参数t可得直线l的普通方程．（2）利用点到直线的距离公式和勾股定理可得弦长．本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．23.【答案】证明：因为关于x的不等式x2-mx+n＜0的解集为{x|1＜x＜2}，所以m=1+2=3，n=1×2=2；所以，且x∈[3，4]；由柯西不等式可得，，当且仅当，即时取等号；所以，．【解析】根据关于x的不等式x2-mx+n＜0的解集求出m、n的值，再化简不等式，利用柯西不等式求得．本题考查了不等式的解法与应用问题，也考查了柯西不等式应用问题，是中档题．24.【答案】解：（1）从5个顶点中随机选取3个点构成三角形，共有种取法．其中X=2的三角形如△ABD，这类三角形共有个．因此，（2）由题意，X的可能取值为，2，．其中的三角形是侧面，这类三角形共有4个；其中的三角形有两个，△PAC和△PBD．因此，．所以随机变量X的概率分布列为：所求数学期望E（X）=．【解析】（1）通过X=2，求出基本事件的个数，然后求解概率；（2）求X的值，求出概率即可得到随机变量X的概率分布，然后求解数学期望E（X）．本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，考查转化思想以及计算能力．25.【答案】解：（1）由题意得：，因为点B的横坐标为4，且B在x轴的上方，所以，因为AB的斜率为，所以，整理得：，即，得p=2，抛物线C的方程为：y2=4x．（2）由（1）得：B（4，4），F（1，0），准线方程x=-1，直线l的方程：，由，解得或x=4，于是得．设点，又题意n≠1且n≠-4，所以直线PA：，令x=-1，得，即，同理可得：，HG•HE=．【解析】（1）由AB的斜率为，可得，解得p=2即可，（2）设点，可得，，即可得HG•HE=．本题考查了抛物线的性质，计算能力，转化思想，属于中档题．。

高三数学模拟试卷南通中学南通中学_高三数学模拟试卷本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．共150分,考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)一.选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．设M={yy=3－_2,_∈R},N={yy=2_2－1,_∈R},则MN=A．{y－3y13} B．{y－1y3} C．{}D．{－}2．函数在上的最大值是A．2 B．1 C．D．03．已知直线l:,则直线1的倾斜角为A．B．－C．D．4．有10级台阶,一次每步跨上一级,二级或三级,共7步走完,则不同的走法总数是A．175 B．42 C．77 D．355．已知i, j为互相垂直的单位向量,a = i – 2j,b = i + λj,且a与b的夹角为锐角,则实数的取值范围是A．B．C．D．6．将函数f(_)=tan(2_+)+1按向量a 平移得到奇函数g(_),要使a最小,则a=A．() B．()C．()D．()7．,则方程在(0,2)上恰好有A． 0 个根B． 1个根C．2个根D． 3个根8．是定义在R上的奇函数,它的最小正周期为T,则的值为A．0B．C．T D．9．在直角坐标系中,O是原点,=(－2＋cosθ,－2＋sinθ) (θ∈R),动点P在直线_=3上运动,若从动点P向Q点的轨迹引切线,则所引切线长的最小值为A．4 B．5 C．2 D．10．已知P为抛物线y=2_2+1上的动点,定点A(0,－1).点M分所成的比为2,则点M的轨迹方程为A．y=6_2－B．_=6y2－C．y=3_2+ D．y=－3_2－111．教师想从52个学生中抽取10名分析期中考试情况,一小孩在旁边随手拿了两个签,教师没在意,在余下的50个签中抽了10名学生．则其中的李明被小孩拿去和被教师抽到的概率分别为A．B．C．D．12．某工厂投入98万元购买一套设备,第一年的维修费用12万元,以后每年增加4万元,每年可收入50万元．就此问题给出以下命题:①前两年没能收回成本;②前5年的平均年利润最多;③前10年总利润最多;④第11年是亏损的;⑤10年后每年虽有盈利但与前10年比年利润有所减少．(总利润=总收入－投入资金－总维修费)其中真命题是A．①②⑤B．①③⑤C．①③④ D．②③④第Ⅱ卷(非选择题,共90分)二.填空题:本大题4个小题,每小题4分,共16分．13．已知有公共端点的向量a.b不共线,a=1,b=2．则与向量a.b的夹角平分线平行的单位向量是______________．14．函数f(_)=a_3+b_2+c_+d的图象(如图),则实数a.b.c.d与零的大小关系是__________;方程f(_)=f’(_)实根的个数_____________．15．设命题p:(_．y∈R),命题q:_2+y2r2(_.y.r∈R,r_gt;0),若命题q是命题_not;p的充分非必要条件,则r的最大值为__________.16．删去正整数列中的所有奇数的完全平方数,得到一个新数列,此新数列的第_项是____．三.解答题:(本大题6小题,共74分,必需写出必要的文字说明．推理过程或计算步骤.)17．(本题满分12分)同时抛掷15枚均匀的硬币一次．(1)试求至多有1枚正面向上的概率;(2)试问出现正面向上为奇数枚的概率与出现正面向上为偶数枚的概率是否相等?请说明理由．18．(本题满分12分)已知,函数．(1)将f(_)写成的形式,并求其图象对称中心的坐标;(2)如果△ABC的三边a,b,c满足b2=ac,且边b所对的角为_,试求_的范围及此时函数f(_)的值域.19．(本题满分12分)已知点H(0,―3),点P在_轴上,点Q在y轴正半轴上,点M在直线PQ上,且满足,．(1)当点P在_轴上移动时,求动点M的轨迹曲线C的方程;(2)过定点A(a,b)的直线与曲线C相交于两点S.R,求证:抛物线S.R两点处的切线的交点B恒在一条直线上．20．(本题满分12分)已知,如图四棱锥P—ABCD中,底面ABCD是平行四边形,PG⊥平面ABCD,垂足为G,G 在AD上,且AG=GD,BG⊥GC,GB=GC=2,E是BC的中点,四面体P—BCG的体积为.(1)求异面直线GE与PC所成的角;(2)求点D到平面PBG的距离;(3)若F点是棱PC上一点,且DF⊥GC,求的值．21．(本题满分12分)在中,已知,,.两边所在的直线分别与轴交于原点同侧的点.,且满足(为不等于零的常数)．(1)求点的轨迹方程;(2)如果存在直线,使与点的轨迹相交于不同的.两点,且,求的取值范围．22．(本题满分14分)设数列满足:若;若．(1)求:;(2)若,求证:;(3)证明:．参考答案一.选择题1．B2．B 3．D 4．C 5．B 6．D 7．B 8．A 9．C 10．A 11．B 12．C二.填空题13．14．a_gt;0,b_lt;0,c_lt;0,d=0 15．16．_[解析]:注意到:故前_项共删去22个数,又因为_与_间还有一个需要删去的_,所以第_项是_+22+1=_三.解答题17．(1)解:记〝抛掷1枚硬币1次出现正面向上〞为事件A,P(A)＝抛掷15枚均匀的硬币一次相当于做15次独立的重复试验,根据n次独立重复试验中事件A发生k次的概率公式,记至多有1枚正面向上的概率为P1,则P1＝P(0)＋P(1)＝(2)解:记正面向上为奇数枚的概率为P2,记正面向上为偶数枚的概率为P3,则有又〝出现正面向上为奇数枚〞的事件与〝出现正面向上为偶数枚〞的事件是对立事件∴P3＝1－＝．∴出现正面向上为奇数枚的概率与出现正面向上为偶数枚的概率相等．18．解(1)．令=0,得．而y=的图象可由向上平移个单位得到,故所求对称中心的坐标为．(2)由已知b2=ac,即的值域为．综上所述, ,值域为．19．(1)解:设P(a,0),Q(0,b)则: ∴设M(_,y)∵∴∴(2)解法一:设A(a,b),,(_1≠_2)则直线SR的方程为:,即4y = (_1+_2)_－_1_2∵A点在SR上,∴4b=(_1+_2)a－_1_2 ①对求导得:y′=_∴抛物线上S．R处的切线方程为即4 ②即4 ③联立②.③得代入①得:a_－2y－2b=0故:B点在直线a_－2y－2b=0上．解法二:设A(a,b),当过点A的直线斜率不存在时l与抛物线有且仅有一个公共点,与题意不符,可设直线SR的方程为y－b=k(_－a)．与联立消去y,得_2－4k_+4ak－4b=0．设,(_1≠_2)则由韦达定理,得又过S.R点的切线方程分别为,．联立,并解之,得 (k为参数) 消去k,得a_－2y－2b=0．故B点在直线2a_－y－b=0上．20．解法一:(1)由已知,∴PG=4．如图所示,以G点为原点建立空间直角坐标系o—_yz, 则B(2,0,0),C(0,2,0),P(0,0,4),故E(1,1,0)．∴异面直线GE与PC所成的角为arccos．(2)平面PBG的单位法向量．∴点D到平面PBG的距离为．(3)设F(0,y,z),在平面PGC内,过F点作FM⊥GC,M为垂足,则．．解法二:(1)由已知,∴PG=4．在平面ABCD内,过C点作CH//EG,交AD于H,连结PH,则∠PCH(或其补角)就是异面直线GE与PC所成的角.在△PCH中,,由余弦定理得,cos∠PCH=∴异面直线GE与PC所成的角为arccos(2)∵PG⊥平面ABCD,PG平面PBG ∴平面PBG⊥平面ABCD在平面ABCD内,过D作DK⊥BG,交BG延长线于K,则DK⊥平面PBG∴DK的长就是点D到平面PBG的距离．在△DKG,DK=DGsin45°=∴点D到平面PBG的距离为．(3)在平面ABCD内,过D作DM⊥GC,M为垂足,连结MF,又因为DF⊥GC∴GC⊥平面MFD, ∴GC⊥FM．由平面PGC⊥平面ABCD,∴FM⊥平面ABCD,∴FM//PG．由GM⊥MD,得GM=GD·cos45°=．21．解:(1)设点,．当时,轴,当时, 轴,与题意不符,所以; 由．．三点共线有,解得．同理由．．三点共线,解得．, ,化简得点的轨迹方程为．(2)设的中点为,,由,化简得…①,．,即,,,即………②, ．把②代入①并化简得．当时,直线过点B,而曲线C不过点B,所以直线与曲线C只有一个公共点.故舍去;故的取值范围是且．22．解:(1)=22;(3)由(2)知=．。

江苏省南通市（新版）2024高考数学部编版模拟(押题卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（）A．0B．C．D．第(2)题已知集合则（）A．B．C．D．第(3)题已知若，则z的最小值为（）A．1B．-C．-1D．-3第(4)题若，，则的最大值为（）A．3B．5C．D．第(5)题在某次美术专业测试中，若甲、乙、丙三人获得优秀等级的概率分别是和，且三人的测试结果相互独立，则测试结束后，在甲、乙、丙三人中恰有两人没达优秀等级的前提条件下，乙没有达优秀等级的概率为（）A．B．C．D．第(6)题人口问题是当今世界各国普遍关注的问题.认识人口数量的变化规律，可以为制定一系列相关政策提供依据.早在1798年，英国经济学家马尔萨斯（T.R.Malthus，1766—1834）就提出了人口增长模型.已知1650年世界人口为5亿，当时这段时间的人口的年增长率为0.3%.根据模型预测________年世界人口是1650年的2倍.（参考数据：，）A．1878B．1881C．1891D．1993第(7)题已知函数，（为自然对数的底数），则函数的零点个数为（）A．8B．6C．4D．3第(8)题从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知函数，则（）A．B．若有两个不相等的实根、，则C．D．若，x，y均为正数，则第(2)题抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形．已知抛物线，阿基米德三角形，弦过的焦点，其中点在第一象限，则下列说法正确的是（）A．点的纵坐标为B．的准线方程为C．若，则的斜率为D．面积的最小值为16第(3)题已知双曲线的渐近线方程为，过的右焦点的直线交双曲线右支于，两点，的内切圆分别切直线，，于点，，，内切圆的圆心为，半径为，则（）A．的离心率等于B．切点与右焦点重合C．D．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题函数的值域为_____________．第(2)题当前新冠肺炎疫情形势依然严峻，防控新冠肺炎疫情需常态化，某校从含甲、乙、丙在内的名行政人员中选取人负责每周周一至周六的疫情防控工作（周日学校放假），每人各负责天，其中甲、乙、丙人必被选中．若甲与乙需安排在相邻的两天，乙与丙不安排在相邻的两天，且丙不排周一，则不同的安排方法有___种．第(3)题在平面直角坐标系中，设D是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D中随意投一点，则落入E中的概率为__________________．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知函数其中为自然对数的底数．（1）讨论的单调性；（2）当时，对于，都有成立．求的取值范围；证明：．第(2)题已知椭圆：的焦距为2，点是上一点.（1）求的方程；（2）设直线与平行且交于，两点，求的面积的最大值.第(3)题设n是正整数，对每一个满足0≤≤n（i＝1，2…，n）的整数数列A：0，a1…,a n，定义变换T：T将数列A变换成数列T（A）：0，T（a1），T（a2），…，T（a n），其中T（a i）为数列A位于之前的与不相等的项的个数（i＝1，2，…，n），令A k+1＝T（A k）（k＝0，1，2，…）（1）已知数列A0分别为0，1，2，3和0，0，2，0，1，3，请写出对应的数列A1，A2，A3，（2）数列B：0，b1，b2…，b n满足b i﹣1≤b i，且b i＝i或b i﹣1（i＝1，2，…，n），求证；T（B）＝B；（3）求证：对任意满足已知条件的数列A0，当k≥n时，A k＝T（A k）．第(4)题某厂包装白糖的生产线，正常情况下生产出来的白糖质量服从正态分布（单位：）.（Ⅰ）求正常情况下，任意抽取一包白糖，质量小于的概率约为多少？（Ⅱ）该生产线上的检测员某天随机抽取了两包白糖，称得其质量均小于，检测员根据抽检结果，判断出该生产线出现异常，要求立即停产检修，检测员的判断是否合理？请说明理由.附：，则，，.第(5)题已知函数.（1）指出的单调区间；（不要求证明）（2）若满足，且，求证：；（3）证明：当时，不等式对任意恒成立.。