江苏省南通中学高三最后10天冲刺 6(数学)
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南通中学高三最后10 天冲刺 6--加试题2班级_________学号__________姓名_________,1、.已知矩阵33A c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，若矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为111α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，属于特征值1的一个特征向量为232α⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦．求矩阵A ，并写出A 的逆矩阵．2、过点P （－3，0）且倾斜角为30°直线和曲线1,()1x t t t y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩为参数相交于A 、B 两点．求线段AB 的长． 3、在平面直角坐标系xoy 中，动点P 到直线4x =的距离与它到点()2,0F（Ⅰ）求动点P 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）过点()2,0F 作垂直于x 轴的直线l ,求轨迹C 与y 轴及直线l 围成的封闭图形的面积．4、某大楼共5层，4个人从第一层上电梯，假设每个人都等可能地在每一层下电梯，并且他们下电梯与否相互独立. 又知电梯只在有人下时才停止. （Ⅰ） 求某乘客在第i 层下电梯的概率)5,4,3,2(=i ； （Ⅱ）求电梯在第2层停下的概率；（Ⅲ）求电梯停下的次数ξ的数学期望.4AM N3A 2A1A5、如图，在某城市中，,M N 两地之间有整齐的方格形道路网，其中1A 、2A 、3A 、4A 是道路网中位于一条对角线上的４个交汇处.今在道路网,M N 处的甲、乙两人分别要到,N M 处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达,N M 为止. （１）求甲经过2A 到达Ｎ的方法有多少种；（２）求甲、乙两人在2A 处相遇的概率；（３）求甲、乙两人相遇的概率.6、．设数列{a n }满足a 1＝a ，a n ＋1＝a n 2＋a 1，{}* | |2R N n M a n a =∈∈，≤． (1)当a ∈(－∞,－2)时，求证：a ∉M ；(2)当a ∈(0,14］时，求证：a ∈M ；(3)当a ∈(14,＋∞)时，判断元素a 与集合M 的关系，并证明你的结论．7、已知()121,2,3,n n n n na A A A n =+++=，当n ≥2时，求证：⑴n a a n n =+-11； ⑵12311111(1)(1)(1)(1)3n a a a a n++++-≤高三最后10天冲刺6--加试题2（答案）1、. 3324A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦12/31/21/31/2A c -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦2、：曲线的普通方程为224x y -=．||AB =．3、（Ⅰ） 22184x y +=．（Ⅱ） 所求的封闭图形的面积．4、 （Ⅰ）41)(=i F ； （Ⅱ）256175)411(14=--=P ξ的分别列如下表：∴6464464364264=⨯+⨯+⨯+=ξE 5、（1）9种 （２）.81400 （３）.411006、．（3） 当14a >时，a M ∉．． 7、（1）思路: )2(A A 11n k n k n k n ≤≤=--，故当2≥n 时，n n a n 1=)A A A (21n n n n +++ =)]A A ([11111---+++n n n n n n n 11...-+==n a .（2）由（1）得1111---=+n n n n na aa a ，可得 左11(1)!(1)!n a n n +==++)A A A (112111+++++++n n n n +-+=)!1(1!1n n …1112!1!+++ 111...11(1)(1)(2)21n n n n ≤+++++---⨯…n 13-=．1、.已知矩阵33A c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，若矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为111α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，属于特征值1的一个特征向量为232α⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦．求矩阵A ，并写出A 的逆矩阵．解：由矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为111α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦可得，3311611c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 即c ＋d ＝6； ………………………………………2分由矩阵A 属于特征值1的一个特征向量为232α⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，可得333322c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即3c －2d ＝－2， …………………………………………6分解得233424c A a =⎧⎡⎤⇒=⎨⎢⎥=⎩⎣⎦…………………………8分 A 的逆矩阵 12/31/21/31/2A c -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦2、过点P （－3，0）且倾斜角为30°直线和曲线1,()1x t t t y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩为参数相交于A 、B 两点．求线段AB 的长．解：直线的参数方程为3,()12x s y s ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数，…………………………3分 曲线1,()1x t t t y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩为参数可以化为224x y -=．……………………………5分将直线的参数方程代入上式，得2100s -+=．设A 、B 对应的参数分别为12s s ，，∴121210s s s s +==．……………8分AB 12s s =-10分3、在平面直角坐标系xoy 中，动点P 到直线4x =的距离与它到点()2,0F（Ⅰ）求动点P 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）过点()2,0F 作垂直于x 轴的直线l ,求轨迹C 与y 轴及直线l 围成的封闭图形的面积．（Ⅰ）设(),P x y，化简得22184x y +=． 即动点P 的轨迹C 的方程为22184x y +=． ………………4分4AMN3A2A1A（Ⅱ）当0y ≥时，y =y =． ………………6分设所求的图形的面积为S，则002S ==⎰=11228224π⎫⨯⨯+⨯⨯=⎪⎭．故所求的封闭图形的面积． ………………10分4、某大楼共5层，4个人从第一层上电梯，假设每个人都等可能地在每一层下电梯，并且他们下电梯与否相互独立. 又知电梯只在有人下时才停止. （1）求某乘客在第i 层下电梯的概率)5,4,3,2(=i ；（2）求电梯在第2层停下的概率；（3）求电梯停下的次数ξ的数学期望. 解：（Ⅰ）41)(=i F ； （Ⅱ）256175)411(14=--=P （Ⅲ）ξ可取1、2、3、4四种值6414)1(414===C P ξ； 64214)22()2(4424=-==C P ξ； 64364)3(4332434===A C C P ξ；6464)4(444===A P ξ 故ξ的分别列如下表：∴6464464364264=⨯+⨯+⨯+=ξE 5、如图，在某城市中，,M N 两地之间有整齐的方格形道路网，其中1A 、2A 、3A 、4A 是道路网中位于一条对角线上的４个交汇处.今在道路网,M N 处的甲、乙两人分别要到,N M 处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达,N M 为止.（１）求甲经过2A 到达Ｎ的方法有多少种；（２）求甲、乙两人在2A 处相遇的概率； （３）求甲、乙两人相遇的概率.解：（１）甲经过2A ，可分为两步： 第一步，甲从M 经过2A 的方法数为13C 种； 第二步，甲从2A 到N 的方法数为13C种 所以甲经过2A 到达N 的方法数为123()9C =种...2分（２）由（１）知，甲经过2A 的方法数为213)(C ；乙经过2A 的方法数也为213)(C . 所以甲、乙两人在2A 处相遇的方法数为413)(C ＝81；甲、乙两人在2A 处相遇的概率为40081)(3636413==C C C P .………………………6分 （３）甲、乙两人沿最短路径行走，只可能在1A 、2A 、3A 、4A 处相遇，他们在)4,3,2,1(=i A i 相遇的走法有413)(-i C 种方法；所以：433423413403)()()()(C C C C +++＝164故甲、乙两人相遇的概率10041400164==P .答：（1）甲经过2A 到达N 的方法数为9种；（2）甲、乙两人在2A 处相遇的概率为81400； （3）甲、乙两人相遇的概率41100. ………………………10分 6、．设数列{a n }满足a 1＝a ，a n ＋1＝a n 2＋a 1，{}* | |2R N n M a n a =∈∈，≤． (1)当a ∈(－∞,－2)时，求证：a ∉M ；(2)当a ∈(0,14］时，求证：a ∈M ；(3)当a ∈(14,＋∞)时，判断元素a 与集合M 的关系，并证明你的结论．证明：（1）如果2a <-，则1||2a a =>，a M ∉． ………………………………2分（2） 当 104a <≤时，12n a ≤（1n ∀≥）．事实上，〔〕当1n =时，112a a =≤． 设1n k =-时成立（2k ≥为某整数）， 则〔〕对n k =，221111242k k a a a -⎛⎫++= ⎪⎝⎭≤≤．由归纳假设，对任意n ∈N *，|a n |≤12＜2，所以a ∈M ．…………………6分（3） 当14a >时，a M ∉．证明如下：对于任意1n ≥，14n a a >>，且21n n a a a +=+．对于任意1n ≥，221111()244n n n n n a a a a a a a a +-=-+=-+--≥，则114n n a a a +--≥．所以，1111()4n n a a a a n a ++-=--≥．当214a n a ->-时，11()224n a n a a a a +-+>-+=≥，即12n a +>，因此a M ∉.10分7、已知()121,2,3,n n n n na A A A n =+++=，当n ≥2时，求证：⑴n a a nn =+-11； ⑵12311111(1)(1)(1)(1)3n a a a a n++++-≤ 23.（1）因为)2(A )]!1()1[()!1()!(!A 11n k n k n n n k n n k n k n ≤≤=----⋅=-=--， 所以当2≥n 时，n n a n 1=)A A A (21n n n n +++ =)]A A ([11111---+++n n n n n n n111111)A A (1----+=+++=n n n n a .所以naa n n =+-11． ………………………………4分（2）由（1）得1111---=+n n n n na a a a ，即1111--=+n n n na a a ， 所以3241231231111(1)(1)(1)(1)234n a a a a a a a a a a +⋅+⋅+⋅⋅+=⋅⋅…nn a n a )1(1++11(1)!(1)!n a n n +==++)A A A (112111+++++++n n n n+-+=)!1(1!1n n …1112!1!+++ 11(1)(1)(2)n n n n ≤++--- (2211)+⨯++-+-+--=)2111()111(n n n n …2)211(+-+n13-=． …………………10分。
