高等数学第30讲函数作图法
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第三十讲函数作图法
作函数的图形时，仅知道函数的单调性和极值还不能全而反映函数图形的特征.同是在区间［。
,切上单调增加的函数，其图形的弯曲方向也可能不同；如图3 —6中AC3与AD3同是上升曲线，但弯曲方向不同，前者是凸的，后者是凹的.本节将用导数研究曲线的凸凹及拐点，从而比较准确地作出函数的图形.
—、函数的凸凹与拐点
如图3—6可以看出，曲线AC8是向上弯
曲的，其上每一点的切线都位于曲线的上方：
曲线是向下弯曲的，其上每一点的切线都位于曲线下方，从而我们有如下定义.
定义1 如果在某区间内，曲线y = /(x) 上每一点处的切线都位于曲线的上方，则称曲线=i\x)在此区间内是凸的；如果在某区间内，曲线y = /(x)上每一点处的切线都位于曲线的下方，则称曲线y = /(A)在此区间内是凹的.
从图3—6还可以进一步看出，当曲线y = f(x)凸时，其切线斜率f\x)是单调减少的，因而/Tv)<0;当曲线凹时，其切线斜率广(x)是单调增加的，因而/"(X)> 0 ,这说明曲线的凸凹性可由函数/(X)的二阶导数的符号确定.
定理1 设/(力在［“"］上连续，在(“,方)内具有二阶导数，则：
(1 )若在⑺上)內,f\x)>O t则曲线y = f{x)在［“上］上是凹的.
(2)若在(《b)内，/"(x)vO,则曲线y = /(x)在［“上］上是凸的.
定义2 曲线y = /(x)上，凸与凹的分界点称为该曲线的拐点.
由拐点的定狡和定理1知，使/"(x) = 0的点及f^x)不存在的点可能是拐
点.这些点是不是拐点要用下面的定理来判定.
定理2 设y = /(x)在N(f° V)内有二阶导数，则
(1 )若八X )在(x 0-J,x 0)与(x 0,x 0+J)内异号，则点(％,/(“))为曲线 y = f(x)的拐点. (2)若广(x)在(心一5,儿)与(x 0,x 0 + J)内同号，则点(x 0,/(x 0))不是曲
线y = /(x)的拐点.
例1 求函数/(x) = (x-2)V?的凸凹区间及拐点.
7
0 令/”(人・)=0得兀=一二；而x = 0为f\x)不存在的点•用x = -^,x = 0将定义 区间(_oO,+oO )分成三个部分区间(见下表).
2 ?
由表可知，曲线/(X )的凸区间是(一氐一二),凹区间是(-一,0), (0,+s);
点「I'晋髭)是拐总
X
2
(七
2
5 (-严
(0,+s)
厂⑴
—— 0
+ 不存在 + fW
凸
拐点
凹
不是拐点
凹
例2 讨论函数f(x) = 的凸凹性及拐点.
1 +对 解函数/(X )的定义域为(-0+00),对函数求导得
下表).由下表可知，曲线/(X )的凸区间是(-丄
A /3
2(5兀 +
2) 9亦
2x
4•卄、—2(1 + x~)〜+ 2x - 2 • (1 + x) • 2x 2(3对—1) ■ A (1 + x 2)4 d + x 2)3
由 /U) = 0 得，x =
用这两点把定义域分成三个部分区间(见
5 二 4 二 解广⑷冷宀尹,
+・=
9
1
1 凹区间是(-CO - 和
二、曲线的渐近线
有些函数的定义域与值域都是有限区间，此时函数的图形局限于一定的范围 之内，如圆，椭圆等.而有些函数的定狡域或值域是无穷区间，此时函数的图形 向无穷远处延伸，如双曲线，抛物线等.有些向无穷远延伸的曲线，呈现出越来 越接近某一直线的形态，这种直线就是曲线的渐近线.
定义2若曲线上一点沿曲线无限远离原点时，该点与某条直线的距离趋 于零，则称此直线为曲线的渐近线.
(一) 水平渐近线
若函数y = f(x)的定义域是无限区间,且有lim f(x) = a (或lim f(x) = a ,
lim f(x) = a ),则直线y = a 称为曲线y = f(x)的水平渐近线・
例 3 对于曲线 f(x) = arctanx ,由于 lim arctanx = — , lim arctanx =, .YTY
£ XT-X
2
所以直线y =—与y =是曲线/(x) = arctanx 的水平渐近线.
2 2
(二) 垂直渐近线
若心是函数y = f(x)的间斷点，且lim f(x) = s (或lim f(x) = s ,
XT% XT 坊
lim f(x) =oo ),则直线x = x 0称为曲线y = f(x)的垂直渐近线.
例4 求/(X )=—的垂直渐近线.
X-1
解 因为lim _L = +oo,所以，X = 1是曲线的一条垂直渐近线.
—广 X 一 1
(三) 斜渐近线
若曲线)心/(X )的定义域为无限区间，且有]h^[f(x)-ax] = b 9 则直线y = or + 〃称为曲线y = /(x)的斜渐近线.
2
(Y,一-)
1
一万
(
0方
1
万
升)
厂(X )
+ 0
—— 0
+ fM
凹
拐点
凸
拐点
凹
，S ，点(专吕)和点(青》是拐点.
例5 求曲线y =—的渐近线.
1 + x
解因为=8,所以直线x = -l是曲线的垂直渐近线，又—1 1 + X
-lim 凹= lhJ + x
XTOC V
Y" X
b = lim [/(x) _ ax] = lim (———_ x) = lim (- ——) = _ 1 ; 戈TOO XT* 1 +
XfR 1 + x
X
所以y = X-l为曲线的斜渐近线.
三、函数图形的作法
前而几节讨论的函数的各种性态，可应用于函数的作图.描绘函数的图形可按下面的步骤.
第一步确定函数),=/(X)的定义域及函数的某些特性(如奇偶性，周期性等).
第二步求出方程f\x) = 0和f\x) = 0在函数定义域内的全部实根和
f'(x), f\x)不存在的点；用这些点把定爻域划分成部分区间.
第三步确定在这些部分区间内广(X)和f\x)的符号，并由此确定函数的升降、凸凹、极值点和拐点.
第四步确定函数图形的水平、铅直和斜渐近线以及其它变化趋势.
第五步为了把图形描得准确，有时还需要补充一些点；然后结合第三、四步中得到的结果，连结这些点作出函数y = f(x)的图形.
例6 描绘函数y = *'的图形.
解(1)函数的定义域为(-s,+s),且y>0,故图形在上半平面内.
(2)y = 是偶函数，
图形关于y轴对称.
(3)曲线y = e~x与y轴的交
点为(0,1).
(4)因lime』=0,故
.V->X
y = 0是一条水平渐近线.
(5)/ = -2xe_?,令y' = 0得驻点x = 0.
(6)才=2(2/— 1尢」，令；＞产=0得兀=±1/运.
由上而分析画出草图(图。
